Format kuadratike të përcaktuara pozitive

Përkufizimi. Forma kuadratike nga n quhen të panjohura definitiv pozitiv, nëse rangu i tij është i barabartë me indeksin e inercisë pozitive dhe e barabartë me numrin i panjohur.

Teorema. Një formë kuadratike është pozitive e përcaktuar nëse dhe vetëm nëse, në çdo grup vlerash të ndryshueshme jozero, duhet vlerat pozitive.

Dëshmi. Le të jetë forma kuadratike një transformim linear jo i degjeneruar i të panjohurave

u kthye në normalitet

.

Për çdo grup vlerash të ndryshueshme jo zero, të paktën një nga numrat të ndryshme nga zero, d.m.th. . Domosdoshmëria e teoremës vërtetohet.

Supozoni se forma kuadratike merr vlera pozitive për çdo grup variablash jo zero, por indeksi i tij pozitiv i inercisë është një transformim linear jo i degjeneruar i të panjohurave

Le ta sjellim në formë normale. Pa humbur përgjithësinë, mund të supozojmë se në këtë formë normale katrori i ndryshores së fundit ose mungon ose përfshihet me një shenjë minus, d.m.th. , ku ose . Le të supozojmë se është një grup jo zero vlerash të ndryshueshme të marra si rezultat i zgjidhjes së sistemit ekuacionet lineare

Në këtë sistem, numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e ndryshoreve dhe përcaktori i sistemit është jozero. Sipas teoremës së Cramer-it, sistemi ka vetëm vendim, dhe është jo zero. Për këtë set. Kontradikta me kushtin. Arrijmë në një kontradiktë me supozimin, i cili vërteton mjaftueshmërinë e teoremës.

Duke përdorur këtë kriter, është e pamundur të përcaktohet nga koeficientët nëse forma kuadratike është e përcaktuar pozitive. Përgjigjen e kësaj pyetjeje e jep një teoremë tjetër, për formulimin e së cilës prezantojmë një koncept tjetër. Minoret kryesore diagonale të një matrice– këta janë të mitur të vendosur në këndin e sipërm të majtë:

, , , … , .

Teorema.Një formë kuadratike është e përcaktuar pozitive nëse dhe vetëm nëse të gjitha minoret e saj kryesore diagonale janë pozitive.

Dëshmi ne do të kryejmë metodën e plotë induksioni matematik sipas numrit n variablat kuadratikë f.

Hipoteza e induksionit. Le të supozojmë se për format kuadratike me më pak ndryshore n deklarata është e vërtetë.

Merrni parasysh formën kuadratike të n variablat. Le të vendosim të gjithë termat që përmbajnë . Termat e mbetur formojnë një formë kuadratike të ndryshoreve. Sipas hipotezës së induksionit, deklarata është e vërtetë për të.

Le të supozojmë se forma kuadratike është e përcaktuar pozitive. Atëherë forma kuadratike është e përcaktuar pozitive. Nëse supozojmë se nuk është kështu, atëherë ekziston një grup vlerash ndryshore jo zero , per cilin dhe përkatësisht, , dhe kjo bie ndesh me faktin që forma kuadratike është e përcaktuar pozitive. Sipas hipotezës së induksionit, të gjitha minoret kryesore diagonale të një forme kuadratike janë pozitive, d.m.th. të gjithë të miturit e parë kryesorë të formës kuadratike f janë pozitive. Kryesorja e fundit e formës kuadratike – kjo është përcaktuesja e matricës së saj. Ky përcaktues është pozitiv, pasi shenja e tij përkon me shenjën e matricës së tij pamje normale, d.m.th. me shenjën e përcaktorit të matricës së identitetit.

Le të jenë pozitive të gjitha minoret kryesore diagonale të formës kuadratike . Sipas hipotezës së induksionit, forma kuadratike është e përcaktuar pozitive, kështu që ka një jo të degjeneruar transformim linear variabla e cila e redukton formën në formën e shumës së katrorëve të ndryshoreve të reja. Ky transformim linear mund të zgjerohet në një transformim linear jo të degjeneruar të të gjitha variablave duke vendosur . Ky transformim e zvogëlon formën kuadratike në formë

Forma kuadratike f(x 1, x 2,...,x n) e n variablave është një shumë, çdo term i së cilës është ose katrori i njërës prej variablave, ose prodhimi i dy ndryshoreve të ndryshme, marrë me një koeficient të caktuar: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Matrica A e përbërë nga këta koeficientë quhet matricë e formës kuadratike. Është gjithmonë simetrike matricë (d.m.th. një matricë simetrike në lidhje me diagonalen kryesore, a ij =a ji).

Në shënimin e matricës, forma kuadratike është f(X) = X T AX, ku

Me të vërtetë

Për shembull, le të shkruajmë formën kuadratike në formën e matricës.

Për ta bërë këtë, gjejmë një matricë të formës kuadratike. Elementet e tij diagonale janë të barabarta me koeficientët e variablave në katror, ​​dhe elementët e mbetur janë të barabartë me gjysmat e koeficientëve përkatës të formës kuadratike. Kjo është arsyeja pse

Le të fitohet matrica-kolona e variablave X nga një transformim linear jo i degjeneruar i matricës-kolona Y, d.m.th. X = CY, ku C është një matricë jo njëjës e rendit të n-të. Atëherë forma kuadratike f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Kështu, me një transformim linear jo të degjeneruar C, matrica e formës kuadratike merr formën: A * =C T AC.

Për shembull, le të gjejmë formën kuadratike f(y 1, y 2), të marrë nga forma kuadratike f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 me transformim linear.

Forma kuadratike quhet kanonike(Ka pamje kanonike), nëse të gjithë koeficientët e tij ij = 0 për i≠j, pra f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Matrica e saj është diagonale.

Teorema(prova nuk është dhënë këtu). Çdo formë kuadratike mund të reduktohet në formë kanonike duke përdorur një transformim linear jo të degjeneruar.

Për shembull, le të çojmë në formë kanonike forma kuadratike f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Për ta bërë këtë, së pari zgjedhim katror i përsosur me ndryshore x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Tani zgjedhim një katror të plotë me ndryshoren x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Pastaj transformimi linear jo i degjeneruar y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 dhe y 3 = x 3 e sjell këtë formë kuadratike në formën kanonike f(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Vini re se forma kanonike e një forme kuadratike përcaktohet në mënyrë të paqartë (e njëjta formë kuadratike mund të reduktohet në formën kanonike menyra te ndryshme 1). Sidoqoftë, format kanonike të marra me metoda të ndryshme kanë një numër karakteristikash të përbashkëta. Në veçanti, numri i termave me koeficientë pozitivë (negativë) të një forme kuadratike nuk varet nga metoda e zvogëlimit të formës në këtë formë (për shembull, në shembullin e konsideruar gjithmonë do të ketë dy koeficientë negativë dhe një pozitiv). Kjo pronë quhet ligji i inercisë së formave kuadratike.

Le ta verifikojmë këtë duke sjellë të njëjtën formë kuadratike në formën kanonike në një mënyrë tjetër. Le ta fillojmë transformimin me ndryshoren x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1,y 2,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2, ku y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 dhe y 3 = x 1 . Këtu ka një koeficient pozitiv prej 2 për y 3 dhe dy koeficientë negativ (-3) për y 1 dhe y 2 (dhe duke përdorur një metodë tjetër, kemi marrë një koeficient pozitiv prej 2 për y 1 dhe dy negativ - (-5) për y 2 dhe (-1/20) për y 3 ).

Duhet gjithashtu të theksohet se rangu i një matrice të formës kuadratike, e quajtur rangu i formës kuadratike, është e barabartë me numrin e koeficientëve jozero të formës kanonike dhe nuk ndryshon nën shndërrimet lineare.

Forma kuadratike f(X) quhet pozitivisht(negativ)të caktuara, nëse për të gjitha vlerat e variablave që nuk janë njëkohësisht zero, është pozitive, d.m.th. f(X) > 0 (negativ, d.m.th. f(X)< 0).

Për shembull, forma kuadratike f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 është e përcaktuar pozitive, sepse është një shumë katrorësh, dhe forma kuadratike f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 është e caktuar negative, sepse përfaqëson mund të përfaqësohet në formën 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Në shumicën e situatave praktike, është disi më e vështirë të vendosësh shenjën e caktuar të një forme kuadratike, kështu që për këtë përdorim një nga teoremat e mëposhtme (do t'i formulojmë ato pa prova).

Teorema. Një formë kuadratike është pozitive (negative) e përcaktuar nëse dhe vetëm nëse të gjitha eigenvlerat matricat e tij janë pozitive (negative).

Teorema (kriteri Silvester). Një formë kuadratike është e përcaktuar pozitive nëse dhe vetëm nëse të gjitha minoret kryesore të matricës së kësaj forme janë pozitive.

Kryesor (këndor) i vogël Matricat e rendit k të rendit të An-të quhen përcaktorë të matricës, të përbërë nga k rreshtat dhe kolonat e para të matricës A ().

Vini re se për format kuadratike të përcaktuara negative, shenjat e të miturve kryesorë alternohen, dhe minorja e rendit të parë duhet të jetë negative.

Për shembull, le të shqyrtojmë formën kuadratike f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 për definicitetin e shenjës.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Prandaj, forma kuadratike është e përcaktuar pozitive.

Metoda 2. Minorja kryesore e rendit të parë të matricës A  1 =a 11 = 2 > 0. Minorja kryesore e rendit të dytë  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Prandaj, sipas kriterit të Silvesterit, kuadrati forma është e përcaktuar pozitive.

Le të shqyrtojmë një formë tjetër kuadratike për përcaktueshmërinë e shenjës, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Të ndërtojmë një matricë të formës kuadratike A = . Ekuacioni karakteristik do të duket si = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Prandaj, forma kuadratike është e përcaktuar negative.

Metoda 2. Minorja kryesore e rendit të parë të matricës A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Prandaj, sipas kriterit të Sylvester-it, forma kuadratike është e përcaktuar negative (shenjat e të miturve të mëdha alternojnë, duke filluar me minus).

Dhe si një shembull tjetër, ne shqyrtojmë formën kuadratike të përcaktuar me shenjë f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Të ndërtojmë një matricë të formës kuadratike A = . Ekuacioni karakteristik do të ketë formën = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Njëri nga këta numra është negativ dhe tjetri është pozitiv. Shenjat e vlerave vetjake janë të ndryshme. Rrjedhimisht, forma kuadratike nuk mund të jetë as mohuese dhe as pozitive e caktuar, d.m.th. kjo formë kuadratike nuk është e përcaktuar me shenjë (mund të marrë vlerat e çdo shenje).

Metoda 2. Minorja kryesore e rendit të parë të matricës A  1 =a 11 = 2 > 0. Minorja kryesore e rendit të dytë 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1 Metoda e konsideruar e reduktimit të një forme kuadratike në formë kanonike është e përshtatshme për t'u përdorur kur koeficientët jo zero hasen me katrorët e ndryshoreve. Nëse nuk janë aty, është ende e mundur të kryhet konvertimi, por duhet të përdorni disa teknika të tjera. Për shembull, le të jetë f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, ku y 1 = x 1 + x 2, аy 2 = x 1 – x 2.

Në këtë paragraf do të ndalemi në një të veçantë, por klasë e rëndësishme format kuadratike pozitive.

Përkufizimi 3. Një formë kuadratike reale quhet jonegative (jo pozitive) nëse, për ndonjë vlerë reale të variablave

. (35)

Në këtë rast, matrica simetrike e koeficientëve quhet gjysmëpërcaktuar pozitiv (gjysmëcaktuar negativ).

Përkufizimi 4. Një formë kuadratike reale quhet e caktuar pozitive (përcaktuar negative) nëse, për çdo vlerë reale të ndryshoreve që nuk janë njëkohësisht zero,

. (36)

Në këtë rast, matrica quhet edhe definitive pozitive (përcaktuese negative).

Klasa e formave të përcaktuara pozitive (përcaktuese negative) bën pjesë në klasën e formave jonegative (përkatësisht jo pozitive).

Le të jepet një formë jo negative. Le ta imagjinojmë atë si një shumë katrorësh të pavarur:

. (37)

Në këtë paraqitje, të gjitha katrorët duhet të jenë pozitive:

. (38)

Në të vërtetë, nëse do të kishte ndonjë, atëherë do të ishte e mundur të zgjidhni vlera të tilla

Por atëherë, me këto vlera të variablave, forma do të kishte një vlerë negative, e cila është e pamundur sipas kushteve. Natyrisht, anasjelltas, nga (37) dhe (38) rrjedh se forma është pozitive.

Kështu, një formë kuadratike jo negative karakterizohet nga barazitë.

Le të jetë tani një formë e caktuar pozitive. Atëherë është një formë jo negative. Prandaj, mund të paraqitet në formën (37), ku të gjitha janë pozitive. Nga përcaktueshmëria pozitive e formës del se . Në të vërtetë, në rastin kur është e mundur të zgjidhni vlera që nuk janë njëkohësisht të barabarta me zero, në të cilat të gjitha do të kthehen në zero. Por më pas, në bazë të (37), në , që bie ndesh me kushtin (36).

Është e lehtë të shihet se anasjelltas, nëse në (37) dhe janë të gjitha pozitive, atëherë është një formë e caktuar pozitive.

Me fjalë të tjera, një formë jo negative është e përcaktuar pozitive nëse dhe vetëm nëse nuk është njëjës.

Teorema e mëposhtme jep një kriter për përcaktueshmërinë pozitive të një forme në formën e pabarazive që duhet të plotësojnë koeficientët e formës. Në këtë rast, përdoret shënimi i hasur tashmë në paragrafët e mëparshëm për të miturit kryesorë të njëpasnjëshëm të matricës:

.

Teorema 3. Që një formë kuadratike të jetë e përcaktuar pozitive, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që pabarazitë të plotësohen.

Dëshmi. Mjaftueshmëria e kushteve (39) rrjedh drejtpërdrejt nga formula e Jacobi (28). Domosdoshmëria e kushteve (39) përcaktohet si më poshtë. Nga përcaktueshmëria pozitive e formës rrjedh edhe përcaktueshmëria pozitive e formave "të cunguara".

.

Por atëherë të gjitha këto forma duhet të jenë jo njëjës, d.m.th.

Tani kemi mundësinë të përdorim formulën Jacobi (28) (në ). Meqenëse në anën e djathtë të kësaj formule të gjithë katrorët duhet të jenë pozitivë, atëherë

Kjo nënkupton pabarazi (39). Teorema është vërtetuar.

Meqenëse çdo minor kryesor i një matrice, me rinumërimin e duhur të variablave, mund të vendoset në këndin e sipërm të majtë, atëherë kemi

Pasoja. Në formën kuadratike të caktuar pozitive, të gjitha minoritetet kryesore të matricës së koeficientit janë pozitive:

Koment. Nga mosnegativiteti i të miturve të njëpasnjëshëm kryesor

nuk pason mosnegativiteti i formës. Në të vërtetë, forma

,

ku , i plotëson kushtet, por nuk është jonegativ.

Megjithatë, sa vijon vlen

Teorema 4. Që një formë kuadratike të jetë jonegative, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të gjitha minoret kryesore të matricës së koeficientit të saj të jenë jonegative:

Dëshmi. Le të prezantojmë formë ndihmëse ishte jo pozitive, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të shfaqen pabarazitë

Një polinom homogjen i shkallës 2 në disa ndryshore quhet formë kuadratike.

Forma kuadratike e variablave përbëhet nga termat e dy llojeve: katrorët e ndryshoreve dhe prodhimet e tyre në çift me koeficientë të caktuar. Forma kuadratike zakonisht shkruhet si diagrami katror i mëposhtëm:

Çiftet anëtarë të ngjashëm shkruhen me koeficientë identikë, në mënyrë që secili prej tyre të përbëjë gjysmën e koeficientit me prodhimin përkatës të variablave. Kështu, çdo formë kuadratike lidhet natyrshëm me matricën e saj të koeficientit, e cila është simetrike.

Është e përshtatshme të përfaqësohet forma kuadratike në shënimin e matricës vijuese. Le të shënojmë me X një kolonë variablash përmes X - një rresht, d.m.th., një matricë e transpozuar me X. Më pas

Forma kuadratike gjendet në shumë degë të matematikës dhe zbatimet e saj.

Në teorinë e numrave dhe kristalografinë, format kuadratike konsiderohen me supozimin se variablat marrin vetëm vlera të plota. NË gjeometria analitike forma kuadratike është pjesë e ekuacionit të lakores së rendit (ose sipërfaqes). Në mekanikë dhe fizikë, forma kuadratike duket se shprehet energjia kinetike sistemet përmes komponentëve të shpejtësive të përgjithësuara etj. Por, përveç kësaj, studimi i formave kuadratike është gjithashtu i nevojshëm në analizë kur studiohen funksionet e shumë variablave, në pyetjet për zgjidhjen e të cilave është e rëndësishme të zbulohet se si këtë funksion në afërsi të një pike të caktuar devijon nga ajo që i afrohet funksion linear. Një shembull i një problemi të këtij lloji është studimi i një funksioni për maksimumin dhe minimumin e tij.

Konsideroni, për shembull, problemin e studimit të maksimumit dhe minimumit për një funksion të dy variablave që ka derivate të pjesshme të vazhdueshme deri në rend. Një kusht i domosdoshëm Në mënyrë që një pikë të japë një maksimum ose minimum të një funksioni, derivatet e pjesshme të rendit në pikë janë të barabarta me zero. Le t'i japim variablat x dhe y rritje të vogla dhe k dhe të marrim në konsideratë rritjen përkatëse të funksionit Sipas formulës së Taylor-it, kjo rritje, deri në renditje të vogla më të larta, është e barabartë me formën kuadratike ku janë vlerat e derivateve të dytë. llogaritur në pikën Nëse kjo formë kuadratike është pozitive për të gjitha vlerat e dhe k (përveç ), atëherë funksioni ka një minimum në pikën nëse është negativ, atëherë ai ka një maksimum; Së fundi, nëse forma merr edhe pozitive edhe vlerat negative, atëherë nuk do të ketë as maksimum as minimum. Funksionet e më shumë variablat.

Studimi i formave kuadratike kryesisht konsiston në studimin e problemit të ekuivalencës së formave në lidhje me një ose një grup tjetër transformimesh lineare të ndryshoreve. Dy forma kuadratike quhen ekuivalente nëse njëra prej tyre mund të shndërrohet në tjetrën nga një prej shndërrimeve të një grupi të caktuar. Lidhur ngushtë me problemin e ekuivalencës është problemi i reduktimit të formës, d.m.th. duke e transformuar atë në një formë ndoshta më të thjeshtë.

NË çështje të ndryshme të lidhura me format kuadratike, merren parasysh edhe grupe të ndryshme transformimesh të pranueshme të variablave.

Në pyetjet e analizës, përdoren çdo transformim jo të veçantë të variablave; për qëllime të gjeometrisë analitike, interesi më i madh është transformimet ortogonale, pra ato që korrespondojnë me një kalim nga një sistem variablash Koordinatat karteziane tek një tjetër. Së fundi, në teorinë e numrave dhe kristalografinë merren parasysh shndërrimet lineare me koeficientë të plotë dhe me një përcaktor të barabartë me njësinë.

Ne do të shqyrtojmë dy nga këto probleme: çështjen e reduktimit të një forme kuadratike në formën e saj më të thjeshtë përmes çdo transformimi jo njëjës dhe të njëjtën pyetje për shndërrimet ortogonale. Para së gjithash, le të zbulojmë se si transformohet një matricë e formës kuadratike gjatë një transformimi linear të ndryshoreve.

Le të , ku A është një matricë simetrike e koeficientëve të formës, X është një kolonë variablash.

Le të bëjmë një transformim linear të ndryshoreve, duke e shkruar atë të shkurtuar si . Këtu C tregon matricën e koeficientëve të këtij transformimi, X është një kolonë e variablave të rinj. Atëherë dhe prandaj, kështu matrica e formës kuadratike të transformuar është

Matrica automatikisht rezulton të jetë simetrike, e cila është e lehtë për t'u kontrolluar. Kështu, problemi i reduktimit të një forme kuadratike në formën më të thjeshtë është ekuivalente me problemin e reduktimit të një matrice simetrike në formën më të thjeshtë duke e shumëzuar atë majtas dhe djathtas me matrica të transpozuara reciprokisht.

Forma katrore.
Përcaktimi i shenjës së formave. Kriteri Silvester

Mbiemri "kuadratik" menjëherë sugjeron që diçka këtu është e lidhur me një katror (shkalla e dytë), dhe shumë shpejt do ta zbulojmë këtë "diçka" dhe çfarë forme është. Doli të ishte një përdredhës i gjuhës :)

Mirë se vini në mësimin tim të ri dhe si një ngrohje e menjëhershme do të shikojmë formën me vija lineare. Forma lineare variablave thirrur homogjene Polinom i shkallës së parë:

- disa numra specifikë * (supozojmë se të paktën njëri prej tyre është jo zero), a janë variabla që mund të marrin vlera arbitrare.

* Në kuadër të kësaj teme ne vetëm do të shqyrtojmë numra realë .

Ne e kemi hasur tashmë termin "homogjen" në mësimin rreth sistemet homogjene të ekuacioneve lineare, dhe ne në këtë rast nënkupton që polinomi nuk ka konstante plus.

Për shembull: – forma lineare e dy ndryshoreve

Tani forma është kuadratike. Forma kuadratike variablave thirrur homogjene polinomi i shkallës së dytë, secili term i të cilit përmban ose katrorin e ndryshores ose dyfishon produkt i variablave. Kështu, për shembull, forma kuadratike e dy ndryshoreve ka formën e mëposhtme:

Kujdes! Kjo shënim standard, dhe nuk keni nevojë të ndryshoni asgjë në të! Pavarësisht nga pamja "e frikshme", gjithçka është e thjeshtë këtu - nënshkrimet e dyfishta të konstantave sinjalizojnë se cilat variabla përfshihen në cilin term:
– ky term përmban produktin dhe (katrorin);
- këtu është puna;
- dhe ja ku është puna.

– Unë parashikoj menjëherë një gabim të madh kur humbin “minusin” e një koeficienti, duke mos kuptuar që i referohet një termi:

Ndonjëherë ekziston një opsion i projektimit "shkollë" në frymë, por vetëm ndonjëherë. Nga rruga, vini re se konstantet nuk na tregojnë asgjë këtu, dhe për këtë arsye është më e vështirë të mbani mend "shënimin e lehtë". Sidomos kur ka më shumë variabla.

Dhe kuadratike formë e tre variablat tashmë përmbajnë gjashtë anëtarë:

...pse “dy” faktorë vendosen në terma “të përzier”? Kjo është e përshtatshme dhe së shpejti do të bëhet e qartë pse.

Megjithatë formulë e përgjithshme Le ta shkruajmë, është e përshtatshme ta rregullojmë si "fletë":

- ne studiojmë me kujdes çdo rresht - nuk ka asgjë të keqe me këtë!

Forma kuadratike përmban terma me katrorët e ndryshoreve dhe terma me prodhimet e tyre të çiftëzuara (cm. formula e kombinimit të kombinuar) . Asgjë më shumë - asnjë "X i vetmuar" dhe asnjë konstante e shtuar (atëherë nuk do të merrni një formë kuadratike, por heterogjene polinomi i shkallës së dytë).

Shënimi matricor i formës kuadratike

Në varësi të vlerave, forma në fjalë mund të marrë vlera pozitive dhe negative, dhe e njëjta gjë vlen për çdo formë lineare - nëse të paktën një nga koeficientët e tij është i ndryshëm nga zero, atëherë ai mund të jetë pozitiv ose negativ (në varësi të vlerat).

Kjo formë quhet shenjë e alternuar. Dhe nëse me formë lineare gjithçka është transparente, atëherë me formën kuadratike gjërat janë shumë më interesante:

Është absolutisht e qartë se kjo formë mund të marrë kuptimin e çdo shenje, pra forma kuadratike mund të jetë edhe e alternuar.

Mund të mos jetë:

- gjithmonë, përveç nëse njëkohësisht është e barabartë me zero.

- për këdo vektoriale përveç zeros.

Dhe në përgjithësi, nëse për dikë jo zero vektor , , atëherë quhet forma kuadratike definitiv pozitiv; nëse po atëherë definitive negative.

Dhe gjithçka do të ishte mirë, por përcaktueshmëria e formës kuadratike është e dukshme vetëm në shembuj të thjeshtë, dhe kjo dukshmëri humbet edhe me një ndërlikim të lehtë:
– ?

Dikush mund të supozojë se forma është pozitive e përcaktuar, por a është vërtet kështu? Papritur ka vlera në të cilat ajo më pak se zero?

Në këtë pikë ka teorema: Nëse të gjithë eigenvlerat matricat e formës kuadratike janë pozitive * , atëherë është e përcaktuar pozitive. Nëse të gjitha janë negative, atëherë negative.

* Është vërtetuar në teori se të gjitha eigenvlerat e një matrice reale simetrike e vlefshme

Le të shkruajmë matricën e formës së mësipërme:
dhe nga barazimi. le ta gjejmë atë eigenvlerat:

Le të zgjidhim të vjetrën e mirë ekuacioni kuadratik:

, që do të thotë forma përkufizohet pozitivisht, d.m.th. për çdo vlerë jozero atë Mbi zero.

Metoda e konsideruar duket se funksionon, por ekziston një POR i madh. Tashmë për një matricë tre-nga-tre, kërkimi i numrave të duhur është një detyrë e gjatë dhe e pakëndshme; me një probabilitet të lartë do të merrni një polinom të shkallës së 3-të me rrënjë irracionale.

Cfare duhet te bej? Ka një mënyrë më të lehtë!

Kriteri Silvester

Jo, jo Sylvester Stallone :) Së pari, më lejoni t'ju kujtoj se çfarë është të mitur në qoshe matricat. Kjo kualifikueset të cilat “rriten” nga e majta e saj këndi i sipërm:

dhe kjo e fundit është saktësisht e barabartë me përcaktorin e matricës.

Tani, në fakt, kriter:

1) Përcaktohet forma kuadratike pozitivisht nëse dhe vetëm nëse TË GJITHA të voglat e tij këndore janë më të mëdha se zero: .

2) Përcaktohet forma kuadratike negativ nëse dhe vetëm nëse të voglat e tij këndore alternojnë në shenjë, me minorin e parë më të vogël se zero: , , nëse – çift ose , nëse – tek.

Nëse të paktën një kënd është i vogël shenjë e kundërt, pastaj formularin shenjë e alternuar. Nëse të miturit këndorë janë të shenjës "atë", por midis tyre ka zero, atëherë kjo është një rast të veçantë, të cilin do ta shikoj pak më vonë, pasi të klikojmë në shembujt më të zakonshëm.

Le të analizojmë minoret këndore të matricës :

Dhe kjo na tregon menjëherë se forma nuk është e përcaktuar negativisht.

konkluzioni: të gjitha të voglat e këndit janë më të mëdha se zero, që do të thotë forma përkufizohet pozitivisht.

Ka një ndryshim me metodën eigenvlerat? ;)

Le të shkruajmë matricën e formës nga Shembulli 1:

e para është e vogla këndore e saj dhe e dyta , nga ku del se forma është e alternuar në shenjë, d.m.th. në varësi të vlerave, mund të marrë vlera pozitive dhe negative. Megjithatë, kjo tashmë është e qartë.

Le të marrim formën dhe matricën e saj nga Shembulli 2:

Nuk ka asnjë mënyrë për ta kuptuar këtë pa njohuri. Por me kriterin e Sylvester nuk na intereson:
, prandaj, forma definitivisht nuk është negative.

, dhe definitivisht jo pozitive (pasi të gjithë të miturit këndorë duhet të jenë pozitivë).

konkluzioni: forma është e alternuar.

Shembuj të ngrohjes për vendim i pavarur:

Shembulli 4

Hulumtoni format kuadratike për përcaktueshmërinë e shenjës

A)

Në këta shembuj gjithçka është e qetë (shiko fundin e mësimit), por në fakt, për të përfunduar një detyrë të tillë Kriteri i Sylvester mund të mos jetë i mjaftueshëm.

Çështja është se ka raste "të skajshme", domethënë: nëse ka ndonjë jo zero vektor, atëherë përcaktohet forma jo negative, nese atehere negativ. Këto forma kanë jo zero vektorët për të cilët .

Këtu mund të citoni "fizarmonikën" e mëposhtme:

Duke theksuar katror i përsosur, e shohim menjëherë jonegativiteti forma: , dhe është e barabartë me zero për çdo vektor me koordinata të barabarta, për shembull: .

Shembull "Pasqyrë". negativ një formë të caktuar:

dhe një shembull edhe më i parëndësishëm:
– këtu forma është e barabartë me zero për çdo vektor , ku është një numër arbitrar.

Si të identifikohen format jo negative apo jo pozitive?

Për këtë na duhet koncepti të miturit madhorë matricat. Një minor i madh është një minor i përbërë nga elementë që qëndrojnë në kryqëzimin e rreshtave dhe kolonave me numra të njëjtë. Kështu, matrica ka dy minore kryesore të rendit të parë:
(elementi është në kryqëzimin e rreshtit të parë dhe kolonës së parë);
(elementi është në kryqëzimin e rreshtit të 2-të dhe kolonës së dytë),

dhe një minor madhor i rendit të dytë:
– i përbërë nga elementë të rreshtit 1, 2 dhe kolona 1, 2.

Matrica është "tre nga tre" Janë shtatë të miturit kryesorë dhe këtu do t'ju duhet të përkulni bicepsin tuaj:
– tre të mitur të rendit të parë,
tre të mitur të rendit të dytë:
– i përbërë nga elementë të rreshtit 1, 2 dhe kolona 1, 2;
– i përbërë nga elementë të rreshtit 1, 3 dhe kolona 1, 3;
- i përbërë nga elementë të rreshtit të dytë, të tretë dhe të kolonës së dytë, të tretë,
dhe një minoren e rendit të tretë:
– i përbërë nga elementë të rreshtit 1, 2, 3 dhe kolona 1, 2 dhe 3.
Ushtrimi për të kuptuar: shkruani të gjitha minoret kryesore të matricës .
Ne kontrollojmë në fund të mësimit dhe vazhdojmë.

Kriteri Schwarzenegger:

1) Forma kuadratike jo-zero* e përcaktuar jo negative nëse dhe vetëm nëse TË GJITHA të miturit e saj kryesorë jo negative(më e madhe ose e barabartë me zero).

* Forma kuadratike zero (e degjeneruar) i ka të gjithë koeficientët të barabartë me zero.

2) Përcaktohet forma kuadratike jo zero me matricë negativ nese dhe vetem nese:
– të miturit madhorë të rendit të parë jo pozitive(më pak ose e barabartë me zero);
– të miturit madhorë të rendit të dytë jo negative;
– të miturit madhorë të rendit të tretë jo pozitive(filloi alternimi);
…
– minor madhor i rendit të th jo pozitive, nëse – tek ose jo negative, nëse – madje.

Nëse të paktën një minor është me shenjë të kundërt, atëherë forma është e alternuar me shenjë.

Le të shohim se si funksionon kriteri në shembujt e mësipërm:

Le të krijojmë një matricë të formës, dhe Së pari Le të llogarisim të miturit këndorë - po sikur të përkufizohet pozitivisht ose negativisht?

Vlerat e marra nuk plotësojnë kriterin Sylvester, por minorin e dytë jo negative, dhe kjo e bën të nevojshme kontrollimin e kriterit të 2-të (në rastin e kriterit të dytë nuk do të plotësohet automatikisht, d.m.th. konkluzioni menjëherë për alternimin e shenjave të formës).

Të miturit kryesorë të rendit të parë:
- pozitive,
minor i madh i rendit të dytë:
- jo negative.

Kështu, TË GJITHA të miturit e mëdhenj nuk janë negativë, që do të thotë forma jo negative.

Le të shkruajmë matricën e formës , për të cilin kriteri Sylvester padyshim nuk është i plotësuar. Por gjithashtu nuk kemi marrë shenja të kundërta (pasi të dy të miturit këndorë janë të barabartë me zero). Prandaj kontrollojmë përmbushjen e kriterit jonegativ/jopozitiv. Të miturit kryesorë të rendit të parë:
- jo pozitive,
minor i madh i rendit të dytë:
- jo negative.

Kështu, sipas kriterit të Schwarzenegger-it (pika 2), forma është e përcaktuar jo pozitivisht.

Tani le të hedhim një vështrim më të afërt në një problem më interesant:

Shembulli 5

Shqyrtoni formën kuadratike për përcaktueshmërinë e shenjës

Kjo formë zbukuron rendin "alfa", i cili mund të jetë i barabartë me këdo numër real. Por do të jetë vetëm më argëtuese vendosim ne.

Së pari, le të shkruajmë matricën e formës, ndoshta shumë njerëz tashmë janë mësuar ta bëjnë këtë me gojë: në diagonale kryesore Vendosim koeficientët për katrorët, dhe në vendet simetrike vendosim gjysmën e koeficientëve të produkteve "të përziera" përkatëse:

Le të llogarisim minoret këndore:

Unë do të zgjeroj përcaktorin e tretë në rreshtin e 3-të: