Shanset e saj për të mbijetuar ishin zero.

Sigurisht, matematika funksionon ekskluzivisht me koncepte abstrakte. Më së shumti një shembull i ndritshëm numrat mund të shërbejnë si abstraksione të tilla. Le të marrim, për shembull, numrin 2. Koncepti abstrakt "dy" mund të shoqërohet me 2 rubla, dhe 2 kilokalori, dhe 2 mollë, dhe 2 klikime të miut, dhe 2 kuanta drite, madje edhe 2 Universe.

Ndër abstraksione matematikore ka më shumë konceptet abstrakte, si: pika, drejtëz, pafundësi, zero... Duke u shfaqur më vonë se abstraksionet e tjera matematikore, zero mbetet ende misteri më i madh. Nga njëra anë, zeroja konsiderohet në matematikë si një numër, pasi merr pjesë operacionet matematikore së bashku me numrat e tjerë. Nga ana tjetër, zero ka veti që nuk janë karakteristike për numrat: në veçanti, nuk mund të veprojë si pjesëtues (shih figurën).

Në lidhje me sa më sipër, propozohet të bëhet dallimi i qartë midis dy të ndryshëm konceptet matematikore: “zero” dhe “null”, të cilat tani përdoren gjerësisht si sinonime.

1. Çfarë është "zero"?

Për të përcaktuar konceptin "zero", ne izolojmë klasën problemet matematikore, duke çuar në shfaqjen e saj.

1.1. Shfaqja e "zeros"

Burimi ose arsyeja e vetme për shfaqjen e "zeros" është detyra e zbritjes së një numri nga vetvetja, ose ekuivalenti i tij, i lidhur me përdorimin e të ashtuquajturave numrat negativë, Për shembull:

x - x = 0;
x + (-x) = 0.

Është e rëndësishme të kihet parasysh se objektet botën reale, krahasuar me koncept abstrakt"Zero" nuk zhduken askund, ato mbeten në Univers!

Për shembull, nëse keni pasur 2 rubla dhe keni paguar 2 rubla, atëherë këto para thjesht ndryshojnë duart. Edhe nëse djeg para letre, është si objekt fizik nuk u zhdukën, por ndryshuan gjendjen e tyre, duke u shndërruar në hi dhe energji. Në shembullin e parë dhe të dytë, "zero" do të nënkuptojë mungesën e parave për ju personalisht, por jo zhdukjen e saj nga Universi.

1.2. Aplikimi i "zeros"

Së pari, "zero" përdoret në operacione të ndryshme matematikore, si p.sh.

0 + 0 = 0;
0 - 0 = 0;
0 + x = x;
0 - x = -x;
0 - (-x) = x;
0 x = 0;
0 / x = 0;
0 x = 0;
x0 = 1;
0! = 1;
√0 = 0;

Së dyti, "zero" përdoret për të treguar shifrën boshe në sistemet e pozicionit numrat, për shembull:

101 10 – in numër dhjetor"njëqind e një" 0 do të thotë pa vend dhjetëshe;
1010 2 – in numër binar"dhjetë" majtas 0 tregon mungesën e një shifre me peshë 4.

Është karakteristikë se në të gjithë shembujt e dhënë simboli “0” përdoret si numër. Prandaj, propozohet të përdoret termi "n" për të treguar numrin "0" në probleme të këtij lloji O l", domethënë një fjalë me shkronjën " O”, pasi pamja e tij ngjan me numrin “0”. NË versioni anglisht mund të jetë fjala “zero”.

2. Çfarë është “zero”?

Le të përcaktojmë tani një klasë problemesh ku i njëjti term luan një rol krejtësisht të ndryshëm, dhe për këtë arsye kërkon një fjalë thelbësisht të ndryshme për përcaktimin e tij:

Para së gjithash, le të përfshijmë këtu problemet në të cilat "zero" tregon kufirin e një rënieje sekuenca e numrave, për shembull, detyra e ndarjes sekuenciale të një segmenti ose numri;
këtu duhet të përfshihet edhe problemi i ndarjes çdo numër në "zero";
dhe së fundi, përdorimi i "zeros" për të treguar madhësinë e një pike matematikore.

Në fakt, të gjitha këto detyra zbresin në një, dhe termi “n në"L" këtu nuk korrespondon as me një figurë as një numër, por me një koncept krejtësisht të ndryshëm, sinonimi i të cilit mund të jetë termi " asgjë", kjo eshte mungesë e plotë diçka. Në këto detyra diçka zvogëlohet vazhdimisht deri në zhdukjen e tij nga Universi pa lënë gjurmë!

Është për këtë arsye që termi "zero", në përputhje me italishten, do të ishte i përshtatshëm këtu. nulla"asgjë"; lat. nullus“asnjë, asnjë, inekzistent, bosh”; gjermane i pavlefshëm"zero, e pavlefshme, e vogël"; anglisht i pavlefshëm"i parëndësishëm, i parëndësishëm, inekzistent, bosh".

3. A ekziston “zero”?

Duhet të theksohet veçanërisht se thjesht dallimi midis termave "zero" dhe "nul" nuk mjafton.

Duhet të kuptojmë se termi "zero":

nuk është një numër;
nuk është një numër;
nuk është sinonim me termin "zero";
nuk ka analoge në Univers dhe, për rrjedhojë, nuk ka imazh grafik;
praktikisht nuk zbatohet, por aplikimi matematik"n në"la" është një thjeshtësim bruto i realitetit. Pra, përdorimi i "zeros" në matematikë mund të krahasohet me përdorimin sëpatë për ndarje bërthamat atomike në fizikë.

Pasoja më e rëndësishme e identifikimit të termit "zero" me konceptin "asgjë" është se matematika (dhe bashkë me të e gjithë shkenca!) mbetet brenda kornizës së më primitives. model tredimensional Universi dhe pamundësia themelore e kalimit në përshkrimi matematik Botë më të larta univers shumëdimensional.

Letërsia

Mikisha A. M., Orlov V. B. Tolkovy fjalor matematike: Termat bazë. M.: Rus. gjuhë., 1989. – 244 f.

Nga ky artikull do të mësoni:

Në çfarë është pamjen ekuacionet përcaktojnë nëse ky ekuacion do të jetë jo të plota ekuacioni kuadratik? Por si zgjidh i paplotë ekuacionet kuadratike?

Si të njohim një ekuacion kuadratik jo të plotë me anë të shikimit

Majtas pjesë e ekuacionit ka trinom kuadratik , A drejtë - numri. Ekuacione të tilla quhen plot ekuacionet kuadratike.

U plot ekuacioni kuadratik Të gjitha shanset, Dhe jo të barabartë. Për zgjidhjen e tyre ekzistojnë formula të veçanta, me të cilat do të njihemi më vonë.

Shumica thjeshtë për zgjidhje janë jo të plota ekuacionet kuadratike. Këto janë ekuacione kuadratike në të cilat disa koeficientë janë zero.

Koeficienti sipas përkufizimit nuk mund të jetë zero, pasi përndryshe ekuacioni nuk do të jetë kuadratik. Ne folëm për këtë. Kjo do të thotë se rezulton se mund të shkojnë në zero vetëm shanset ose.

Në varësi të kësaj ka tre lloje të paplota ekuacionet kuadratike.

1) , Ku ;
2) , Ku ;
3) , Ku.

Pra, nëse shohim një ekuacion kuadratik, në anën e majtë të të cilit në vend të tre anëtarë prezente dy kara ose një anëtar, atëherë ekuacioni do të jetë jo të plota ekuacioni kuadratik.

Përkufizimi i një ekuacioni kuadratik jo të plotë

Ekuacioni kuadratik jo i plotë Ky quhet ekuacion kuadratik , në të cilën të paktën një nga koeficientët ose e barabartë me zero .

Ky përkufizim ka shumë e rëndësishme fraza " të paktën një nga koeficientët... e barabartë me zero Do të thotë se një ose më shumë koeficientët mund të jenë të barabartë zero.

Bazuar në këtë, është e mundur tre opsione: ose një koeficienti është zero, ose një tjetër koeficienti është zero, ose të dyja koeficientët janë njëkohësisht të barabartë me zero. Kështu marrim tre lloje ekuacionesh kuadratike jo të plota.

E paplotë ekuacionet kuadratike janë ekuacionet e mëposhtme:
1)
2)
3)

Zgjidhja e ekuacionit

Le të përvijojmë plani i zgjidhjes këtë ekuacion. Majtas pjesë e ekuacionit mund të jetë lehtësisht faktorizoj, pasi në anën e majtë të ekuacionit kanë termat shumëzues i përbashkët , mund të hiqet nga kllapa. Pastaj në të majtë merrni produktin e dy faktorëve, dhe në të djathtë - zero.

Dhe atëherë rregulli "produkti është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri nga faktorët është i barabartë me zero, dhe tjetri ka kuptim" do të funksionojë. Gjithçka është shumë e thjeshtë!

Kështu që, plani i zgjidhjes.
1) Ne faktorizojmë anën e majtë në faktorë.
2) Ne përdorim rregullin "produkti është i barabartë me zero..."

Unë i quaj ekuacione të këtij lloji "një dhuratë e fatit". Këto janë ekuacione për të cilat pjesa e djathtë e barabartë me zero, A majtas pjesa mund të zgjerohet nga shumëzuesit.

Zgjidhja e ekuacionit sipas planit.

1) Le të shpërbëhemi ana e majte ekuacionet nga shumëzuesit, për këtë nxjerrim faktorin e përbashkët, marrim ekuacionin e mëposhtëm .

2) Në barazimin. ne e shohim atë majtas shpenzimet puna, A zero në të djathtë. Reale një dhuratë e fatit! Këtu, natyrisht, do të përdorim rregullin "produkti është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri nga faktorët është i barabartë me zero, dhe tjetri ka kuptim". Kur e përkthejmë këtë rregull në gjuhën e matematikës, marrim dy ekuacionet ose .

Ne shohim se ekuacioni u shpërbë nga dy më e thjeshtë ekuacionet, e para prej të cilave tashmë është zgjidhur ().

Le të zgjidhim të dytën ekuacioni . Le t'i zhvendosim termat e panjohur në të majtë dhe ato të njohura në të djathtë. Anëtari i panjohur është tashmë në të majtë, ne do ta lëmë atë atje. Dhe le ta zhvendosim termin e njohur djathtas nga shenjë e kundërt. Ne marrim ekuacionin.

E gjetëm, por duhet ta gjejmë. Për të hequr qafe faktorin, duhet të ndani të dyja anët e ekuacionit me.

Tani Logan katër muajsh po zhvillohet si fëmijë normal mosha e saj

Nëna e ardhshme Kelly Bourville zhvilloi një gjendje të rrallë gjatë shtatzënisë, duke bërë që trupi i saj të luftonte kundër foshnjës së saj të palindur. Mjekët thanë se ka shumë Rreziku i lartë se vajza e saj do të dëmtohej aq rëndë në tru sa nuk do të mbijetonte. Edhe pas lindjes së fëmijës, prindërit u këshilluan ta pagëzonin vajzën e tyre, sepse ajo nuk pritej të jetonte më shumë se disa orë.

Në javën e 36-të të shtatzënisë, Kelly iu tha nga mjeku i saj se foshnja ishte në shtrirje të pasme, gjë që mund të çonte në komplikime gjatë lindjes, dhe e dërgoi atë për një skanim. Kur specialisti filloi procedurën, prindërit në pritje e kuptuan se diçka nuk shkonte dhe iu tha të ktheheshin të hënën. “E pyeta se çfarë nuk shkonte, por ai tha se nuk kishte të drejtë të na tregonte. Ishte një fundjavë e gjatë, e tmerrshme. Nuk e dinim se çfarë ndodhi”, kujton Kelly.

Prindërit menduan se vajza e tyre ishte e dënuar dhe u përgatitën për funeralin menjëherë pas lindjes së saj.

Të hënën e ardhshme, konsulenti dha lajmin shkatërrues se foshnja kishte pësuar një gjakderdhje në tru dhe sugjeroi ndërprerjen e shtatzënisë. “Bota jonë u shpërbë në atë moment. "Unë pashë Callum dhe shpërtheva në lot," kujton Kelly. - Ne e dinim tashmë që kishim një vajzë dhe blemë gjithçka për të. As që e kam menduar ndërprerjen e shtatzënisë. Mjeku shpjegoi se edhe nëse do të mbijetonte, nuk do të ishte në gjendje të ecte apo të fliste. Ajo nuk do të mund të hante dhe nuk do të dinte kush ishim ne. Ata thanë se nuk do të bënin asgjë për të dhe as do ta trajtonin në asnjë mënyrë pasi të lindte. Callum dhe unë u përpoqëm të mos mendonim për këtë, por zgjodhëm disa këngë që donim t'i dëgjonim në funeralin e saj."

Logan nuk duhet të kishte mbijetuar!

Prerja cezariane ishte planifikuar një javë para datës së caktuar. Dhe më pas lindi Logan. “Ishte e mahnitshme të dëgjoja britmat e saj. Vajza jonë ishte gjallë!” - kujton Kelly. Vajza ishte e rrezikshme nivel i ulët trombocitet dhe asaj iu dha një transfuzion gjaku. Çifti u vendos në dhomë të veçantë për të kaluar pak kohë të mbetur me vajzën e tij. Logan u diagnostikua me trombocitopeni alloimmune neonatale, ku trupi i nënës e percepton fëmijën e saj të palindur si një pushtues të dëmshëm. Antitrupat e nënës sulmojnë trombocitet e foshnjës, të cilat mund të çojnë në gjakderdhje në tru, stomak ose palca kurrizore fëmijë. Kjo ndodhi me Loganin, por ajo që ndodhi më pas i ngjan një mrekullie. Logan katër muajsh po zhvillohet si fëmijë i zakonshëm mosha e saj. “Ajo bën gjithçka që ju prisni fëmijë i shëndetshëm, - gëzohet nëna e re. - Konsulenti tha se fëmijët janë shumë fleksibël. Ata mund të përdorin pjesë të tjera të paprekura të trurit të tyre. Ajo është mrekullia ime e vogël!”

Nika Narubina Foto: Bulls Press

EKUACIONET LINEARE DHE PABARAZIZIMET I

§ 32. Rasti kur si përcaktorët kryesorë ashtu edhe ata ndihmës të një sistemi ekuacionesh janë të barabartë me zero.

Në paragrafët e mëparshëm, duke studiuar sistemin e ekuacioneve

kemi shqyrtuar dy raste:

1) rastin kur koeficientët për të panjohurat X Dhe në nuk janë përkatësisht proporcionale ( Δ =/= 0);

2) rasti kur koeficientët për të panjohurat X Dhe në janë proporcionale në përputhje me rrethanat, dhe koeficientët për disa të panjohura dhe anëtarë të lirë nuk janë përkatësisht proporcionale ( Δ = 0, dhe të paktën një nga përcaktuesit Δ x Dhe Δ y është i ndryshëm nga zero).

Mbetet të shqyrtojmë edhe një rast, kur koeficientët për të panjohurat X Dhe në dhe termat e lira janë në përpjesëtim të duhur, d.m.th

a 1 =ka 2 ,b 1 = kb 2 , c 1 = kc 2

a 2 = k"a 1 ,b 2 = k"b 1 , c 2 = k"c 1

Për të qenë specifik, ne do të shqyrtojmë të parën nga këto dy opsione. Sistemi i ekuacioneve (1) në këtë rast ka formën:

(2)

Natyrisht, çdo çift numrash ( x 0 , y 0), duke plotësuar ekuacionin e dytë të sistemit (2), duhet të plotësojë edhe ekuacionin e parë të këtij sistemi. Prandaj, për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve (2), mjafton të zgjidhet vetëm ekuacioni i dytë i këtij sistemi. Me fjalë të tjera, mjafton të gjesh të gjitha çiftet e tilla numrash ( x 0 , y 0), të cilat përmbysin ekuacionin

a 2 X + b 2 në = c 2

në barazi numerike.

Le të supozojmë se në këtë ekuacion të paktën një nga koeficientët a 2 dhe b 2 është i ndryshëm nga zero. Le, për shembull, b 2 =/= 0. Pastaj si x 0 mund të zgjidhni çdo numër t ; y 0 në këtë rast mund të gjendet nga kushti a 2 t + b 2 y 0 = c 2, nga ku .

Pra, në rastin në shqyrtim, sistemi i ekuacioneve (2) ka grup i pafund vendimet. Të gjitha ato janë dhënë me formula

Ku t - çdo numër.

Ne e morëm këtë rezultat me supozimin se të paktën një nga koeficientët a 2 dhe b 2 është i ndryshëm nga zero. Po sikur të dyja të jenë të barabarta me zero? Atëherë sistemi i ekuacioneve (2) ka formën:

Një sistem i tillë nuk përfaqëson interes të veçantë. Nëse c 1 = c 2 = 0, atëherë zgjidhja e tij është çdo çift numrash ( x 0 , y 0). Nëse të paktën një nga numrat c 1 dhe c 2 është jozero, atëherë sistemi (3) është jokonsistent.

Natyrisht, rasti kur a 2 = b 2 = 0 do të përjashtohet automatikisht nëse kërkojmë gjithashtu që në mesin e koeficientëve për të panjohurat x Dhe në në sistemin e ekuacioneve (1) kishte të paktën një koeficient jozero.

Ne kemi vërtetuar teoremën e mëposhtme.

Nëse koeficientët për të panjohurat dhe termat e lirë në sistemin e ekuacioneve (1) janë përkatësisht proporcionale dhe në mesin e koeficientëve për të panjohurat ka të paktën një koeficient që është i ndryshëm nga zero, atëherë sistemi i ekuacioneve (1) ka një numër i pafund zgjidhjesh. Të gjitha ato janë marrë si zgjidhje për të njëjtin ekuacion, i cili përmban një koeficient jozero për të panjohurën.

Shembull. Zgjidh sistemin e ekuacioneve

Koeficientët e të panjohurave dhe termat e lira të këtij sistemi ekuacionesh janë përkatësisht proporcionale. Prandaj, të gjitha zgjidhjet e këtij sistemi ekuacionesh mund të merren si zgjidhje vetëm për ekuacionin e parë

X -2në = 3.

Duke besuar x = t , ne e gjejmë atë në = 1 / 2 (t - 3).

Kështu që, këtë sistem ekuacionet kanë një numër të pafund zgjidhjesh:

x = t , në = 1 / 2 (t - 3),

Ku t - çdo numër. Në veçanti, kur t = 0 fitohet zgjidhja X = 0, y = - 3/2, me t = 5 - zgjidhje X = 5, në = 1, etj.

Është e dobishme të formulohet teorema e provuar më sipër në termat e përcaktorëve.

Nëse koeficientët e të panjohurave dhe termat e lirë të sistemit të ekuacioneve (1) janë përkatësisht proporcionale, atëherë është e lehtë të merren drejtpërdrejt duke përdorur (2),

Δ = Δ x = Δ y = 0.

Edhe e kundërta mund të vërtetohet. Nëse Δ = Δ x = Δ y = 0 dhe të paktën një nga koeficientët për sisteme të panjohura ekuacionet (1) janë të ndryshme nga zero, atëherë koeficientët e të panjohurave dhe termat e lirë të një sistemi të tillë ekuacionesh do të jenë përkatësisht proporcionale. Ne nuk do të ndalemi në vërtetimin e këtij fakti, megjithëse në parim kjo mund të bëhej. Por, duke e marrë atë në besim, tani mund ta formulojmë teoremën e provuar më sipër si më poshtë.

Nëse të dy përcaktuesit kryesorë dhe të dy përcaktuesit ndihmës të sistemit të ekuacioneve (1) janë të barabartë me zero dhe midis koeficientëve të të panjohurave ka të paktën një koeficient jozero, atëherë sistemi i ekuacioneve (1) ka një numër të pafundëm të Zgjidhjet. Të gjitha ato janë marrë si zgjidhje për të njëjtin ekuacion, i cili përmban një koeficient jozero për të panjohurën.

Ushtrime

241. (Me gojë) Tregoni se secili nga këto sisteme ekuacionesh ka një numër të pafund zgjidhjesh:

Zgjidh sisteme ekuacionesh (Nr. 242-244):