Sipas traditës, grupet e qarta zakonisht ilustrohen nga rrathë me kufij të theksuar qartë. Kompletet fuzzy janë rrathë të formuar nga pika individuale: në qendër të rrethit ka shumë pika, dhe më afër periferisë dendësia e tyre zvogëlohet në zero; rrethi duket se është i hijezuar në skajet. "Grupe të tilla të paqarta" mund të shihen... në një poligon qitjeje - në murin ku janë varur objektivat. Forma e shenjave të plumbave e rastit grupe matematika e të cilave është e njohur. Doli se për operacion grupe të paqarta aparati i zhvilluar prej kohësh i grupeve të rastësishme është i përshtatshëm ...

Koncepti i fuzzy set - tentativë formalizimi matematik informacion fuzzy për qëllimin e përdorimit të tij në ndërtimin modele matematikore sisteme komplekse. Ky koncept bazohet në idenë që elementet që përbëjnë një grup të caktuar dhe kanë pronë e përbashkët, mund ta kenë këtë veti në shkallë të ndryshme dhe, për rrjedhojë, i përkasin një grupi të caktuar me shkallë të ndryshme.

Një nga mënyrat më të thjeshta përshkrimi matematik grup fuzzy- karakterizimi i shkallës së anëtarësimit të një elementi në një grup nga një numër, për shembull, nga intervali. Le X– një grup i caktuar elementesh. Në vijim do të shqyrtojmë nëngrupet e këtij grupi.

Kompleti fuzzy A në X quhet një koleksion çiftesh të formës ( x, m A(x)), Ku xÎX, dhe m A– funksioni x®, i quajtur funksion anëtarësimi grup fuzzy A. m vlera A(x) këtë funksion për një specifik x quhet shkalla e anëtarësimit të këtij elementi në bashkësinë fuzzy A.

Siç mund të shihet nga ky përkufizim, një grup fuzzy përshkruhet plotësisht nga funksioni i tij i anëtarësimit, kështu që ne shpesh do ta përdorim këtë funksion si një emërtim për një grup fuzzy.

Grupet e zakonshme formojnë një nënklasë të klasës grupe të paqarta. Në të vërtetë, funksioni i anëtarësimit të një grupi të zakonshëm BÌ Xështë e tij funksioni karakteristik: m B(x)=1 nëse xÎ B dhe m B(x)=0 nëse xÏ B. Pastaj, në përputhje me përkufizimin e një grupi fuzzy, grupi i zakonshëm NË mund të përkufizohet gjithashtu si një grup çiftesh të formës ( x, m B(x)). Kështu, një grup fuzzy është më shumë koncept i gjerë se sa një grup i zakonshëm, në kuptimin që funksioni i anëtarësimit të një grupi fuzzy, në përgjithësi, mund të jetë një funksion arbitrar ose edhe një hartë arbitrare.

ne po flasim grup fuzzy. Dhe shumë çfarë? Për të qenë konsistent, duhet të themi se një element i një grupi fuzzy rezulton të jetë ... një grup i ri fuzzy grupesh të reja fuzzy, etj. Le të kthehemi tek shembull klasik- Për të grumbull drithi. Një element i këtij grupi fuzzy do të jetë milion kokrra, Për shembull. Por një milion kokrra nuk është aspak e qartë element, dhe e re grup fuzzy. Në fund të fundit, kur numëroni kokrra (me dorë ose automatikisht), nuk është për t'u habitur të bëni një gabim - duke marrë 999,997 kokrra si një milion, për shembull. Këtu mund të themi se elementi 999,997 ka një vlerë të funksionit të anëtarësimit për grupin "milion" të barabartë me 0.999997. Për më tepër, vetë kokrra nuk është përsëri një element, por një grup i ri i paqartë: ka një kokërr të plotë, dhe ka dy kokrra të shkrira, një kokërr të pazhvilluar ose thjesht një lëvore. Gjatë numërimit të kokrrave, njeriu duhet të refuzojë disa, të marrë dy kokrra si një dhe në një rast tjetër një kokërr si dy. Një grup i paqartë nuk është aq i lehtë për t'u futur në një kompjuter dixhital me gjuhë klasike: elementët e një grupi (vektori) duhet të jenë vargje të reja vargjesh (vektorë të mbivendosur dhe matrica, nëse flasim për Mathcad). Matematika klasike e grupeve të qarta (teoria e numrave, aritmetika, etj.) është grepi me anë të së cilës njeri i arsyeshëm fiksohet (përcaktohet) në botën e rrëshqitshme e të paqartë që e rrethon. Dhe një grep, siç e dini, është një mjet mjaft i papërpunuar, shpesh duke prishur atë që ngjitet. Termat që përfaqësojnë grupe të paqarta - "shumë", "pak", "pak", etj. etj. - është e vështirë ta "mbushësh" atë në një kompjuter edhe sepse ata varur nga konteksti. Është një gjë t'i thuash "Më jep disa fara" një personi që ka një gotë fara, dhe një gjë tjetër t'i thuash një personi që ulet pas timonit të një kamioni me fara.

Nëngrupi fuzzy A grupe X karakterizohet nga funksioni i anëtarësimit m A:X→, i cili cakton çdo element xÎ X numri m A(x) nga intervali që karakterizon shkallën e anëtarësimit të elementit X nëngrup A. Për më tepër, 0 dhe 1 përfaqësojnë, përkatësisht, më të ulëtin dhe shkallën më të lartë përkatësia e një elementi në një nëngrup specifik.

Le të japim përkufizimet bazë.

· Vlera sup m A(x) thirrur lartësia grup fuzzy A. Komplet fuzzy A Mirë , nëse lartësia e tij është 1 , d.m.th. kufiri i sipërm funksioni i tij i anëtarësimit është i barabartë me 1. Kur hahet mA(x)<1 grup fuzzy quhet nënnormale.

Një grup fuzzy quhet bosh, nëse funksioni i tij i anëtarësimit është i barabartë me zero në të gjithë grupin X, d.m.th. m 0 (x)= 0 " xÎ X.

Komplet fuzzy bosh , Nëse " xÎ E m A ( x)=0 . Një grup nënnormal jo i zbrazët mund të normalizohet nga formula

(Fig. 1).

Fig.1. Normalizimi i një grupi fuzzy me një funksion anëtarësimi. .

Transportuesi grup fuzzy A(emërtimi supp A) me funksion anëtarësimi m A(x) quhet një grup i formës suppA={x|xÎ X, m A(x)> 0). Për aplikime praktike bartësit e grupeve fuzzy janë gjithmonë të kufizuar. Kështu, bartësi i një grupi fuzzy të mënyrave të pranueshme për një sistem mund të jetë një nëngrup i qartë (interval), për të cilin shkalla e pranueshmërisë nuk është e barabartë me zero (Fig. 2).

Oriz. 3. Bërthama, bartës dhe α- seksion i një grupi fuzzy

Kuptimi α thirrur α - niveli. Transportuesi (kerneli) mund të konsiderohet si një seksion i një grupi fuzzy në zero (njësi) α - niveli.

Oriz. 3 ilustron përkufizimet bartës, bërthamë,α - seksionet dheα - niveli grup fuzzy.

KONCEPTET THEMELORE TË TEORISË SË KOMPLESIVE FUZZE DHE NDRYSHOREVE GJUHËSORE

1. Koncepti dhe karakteristikat kryesore të një grupi fuzzy

Përkufizimi 1.1. Le të jetë X një grup universal. Kompleti fuzzy A në grupin X (nëngrupi fuzzy A i grupit X) është një koleksion çiftesh

A = (<μ A (x ),x >}, (1.1)

ku quhet x X ,μ A (x) .X fusha e përkufizimit grup fuzzy A, dhe μ A - funksioni i anëtarësimit të kësaj shumice. Vlera e funksionit të anëtarësimit μ A (x) për një element specifik x X quhet shkalla e përkatësisë të këtij elementi në grupin fuzzy A.

Interpretimi i funksionit të anëtarësimit është një masë subjektive se sa mirë korrespondon elementi x X me konceptin, kuptimi i të cilit zyrtarizohet nga grupi fuzzy A. Në këtë rast, një vlerë e barabartë me 1 do të thotë pajtueshmëri e plotë (absolute), një vlerë e barabartë me 0 do të thotë mospërputhje e plotë (absolute).

Përkufizimi 1.2. Quhen grupe fuzzy me një domen diskrete përkufizimi grupe fuzzy diskrete, Jo -

komplete të qarta me zonë e vazhdueshme përkufizimet – të vazhdueshme

ny grupe fuzzy.

Kompletet e zakonshme (të freskëta) mund të konsiderohen gjithashtu në një kontekst të paqartë. Funksioni i anëtarësimit të një grupi të rregullt mund të marrë vetëm dy vlera: 0 nëse elementi nuk i përket grupit dhe 1 nëse elementi i përket atij.

Në literaturë mund të gjeni forma të ndryshme regjistrimet e grupeve fuzzy. Për zonë diskrete përkufizimet X = (x 1 ,x 2 , …,x n ) (rasti n = ∞ është gjithashtu i mundur) ekzistojnë format e mëposhtme:

j = 1

ku ka kuptim shenja integrale bashkim pikësor në X. Për më tepër, si për rastet diskrete ashtu edhe për ato të vazhdueshme, përdoret një formë e përgjithësuar e shënimit:

B = (x x ≈ 2) – bashkësi numrash realë, afërsisht të barabartë 2, dhe C = (x x >> 1) - bashkësia e numrave realë, në-

shume me te medha 1. Format e mundshme Funksionet e anëtarësimit të këtyre grupeve janë paraqitur në mënyrë skematike në Fig. 1.1 dhe Fig. 1.2, përkatësisht.

Si shembull i një grupi fuzzy diskrete, ne mund të konsiderojmë D = (n ≈ 1) - një grup numrash të plotë afër 1,

një formë e mundshme e specifikimit të tij është si më poshtë:

N = (0.2/-3; 0.4/-2; 0.6/-1; 0.8/0; 1/1; 0.8/2; 0.6/3; 0.4/4; 0.2/5) (pikat e mbetura kanë shkallën zero të anëtarësimi).

Forma specifike e funksionit të anëtarësimit varet nga kuptimi i vendosur në konceptin e formalizuar në kushte detyrë specifike, dhe shpesh ka një natyrë subjektive. Shumica e metodave për ndërtimin e funksioneve të anëtarësimit bazohen, në një shkallë ose në një tjetër, në përpunimin e informacionit të marrë me mjete ekspertësh.

Shënim 1. Këtu sup (supremum) është e saktë buza e sipërme funksionet e anëtarësimit. Nëse bashkësia X (domeni i përkufizimit) është i mbyllur, atëherë supremi i funksionit përkon me maksimumin e tij.

Përkufizimi 1.5. Nëse h A = 1, atëherë thirret grupi fuzzy A

duket normale, përndryshe (hA< 1) – субнормальным.

Përkufizimi 1.6. Bartësi i një grupi fuzzy A është bashkësia

elemente të fushës së përkufizimit që të paktën në një farë mase i përgjigjen konceptit që zyrtarizohet.

Shënim 2: Emërtimet sup dhe Supp nuk duhet të ngatërrohen. E para është e shkurtër për supremum, e dyta për mbështetje.

Përkufizimi 1.7. Niveli i grupit α (α -fetë) i fuzzy

Bërthama e një grupi fuzzy përmban kështu të gjithë elementët e fushës së përkufizimit që korrespondojnë plotësisht me konceptin që zyrtarizohet.

prej nga rrjedh se elementi shumëfishtë niveli α gjithashtu i përket të gjitha grupeve të niveleve më të vogla β ≤α.

Përkufizimi 1.9. Le të jenë A dhe B grupe fuzzy në bashkësinë X me funksione anëtarësimi μ A dhe μ B, respektivisht. Govo-

Thuhet se A është një nëngrup fuzzy i B(B përfshin

A), nëse plotësohet kushti i mëposhtëm:

Midis grupeve fuzzy me një domen numerik të përkufizimit, ekziston gjithashtu një klasë e numrave fuzzy dhe intervale të paqarta. Për të përcaktuar këtë klasë, është prezantuar koncepti i konveksitetit të grupeve fuzzy.

Përkufizimi 1.11. Një nëngrup fuzzy A i boshtit real quhet konveks nëse plotësohet kushti i mëposhtëm:

Në Fig. Figura 1.3 tregon shembuj të grupeve fuzzy konveks (majtas) dhe jokonveks (djathtas).

Oriz. 1.3. Drejt përcaktimit të konveksitetit të një grupi fuzzy

Përkufizimi 1.12. Interval i paqartë quhet një grup konveks normal fuzzy on domeni numerik përkufizimet që kanë funksion të vazhdueshëm sendet dhe një kernel jo bosh. Numër i paqartë është një interval fuzzy, thelbi i të cilit përmban saktësisht një element.

Për intervalet dhe numrat fuzzy, ekziston një teoremë e paraqitjes sipas së cilës një nëngrup fuzzy A i boshtit real është një interval fuzzy nëse dhe vetëm nëse funksioni i tij i anëtarësimit është i përfaqësuar si:

Funksionet L A dhe R A quhen përkatësisht degët e majta dhe të djathta të funksionit të anëtarësimit të një numri fuzzy. Këto funksione janë të vazhdueshme, ndërsa L A në segment rritet nga L A (a 0 ) = 0 në

L A (a 1 ) = 1, dhe R A në segment zvogëlohet nga R A (b 1 ) = 1 në R A (b 0 ) = 0 (Fig. 1.4).

Oriz. 1.4. Drejt përcaktimit të një intervali fuzzy

Përkufizimi 1.13. Le të A = (A 1 ,A 2 ,... ,A n ) – quhet një familje e bashkësive fuzzy të përcaktuara në domenin e përkufizimit X .Ã. Ndarja e paqartë X me parametrin α (0<α ≤ 1), если все множестваA j являются выпуклыми и нормальными, и выполняется условие:

(d.m.th., çdo element i fushës së përkufizimit i përket të paktën njërës prej grupeve të familjes à me shkallë jo më të vogël se α - Fig. 1.5).

Përgjithësimi i konceptit të përkatësisë. Në shembujt e shqyrtuar, funksioni karakteristik mori vlerat 0 ose 1. Le të supozojmë se funksioni karakteristik merr çdo vlerë nga . Atëherë elementi mund të mos i përkasë grupit, t'i përkasë një shkalle ose të jetë një element i grupit.

Komplet fuzzy . Nëngrupi fuzzy(bashkësi fuzzy) e një grupi është një grup çiftesh të renditura, ku është funksioni i anëtarësimit të një elementi në grup, duke karakterizuar shkallën e anëtarësimit të elementit në këtë grup, ose, me fjalë të tjera, masa e përputhshmërisë së një element i një grupi universal me vetitë e një grupi fuzzy. Në rastin e një grupi të vazhdueshëm, shënimi i mëposhtëm përdoret për të përcaktuar një grup fuzzy: .

Shumë aksesorë. Grupi i vlerave të funksionit të anëtarësimit quhet Shumë aksesorë. Nëse , atëherë është një grup i zakonshëm, d.m.th. një grup i mprehtë mund të konsiderohet si një rast kufizues i një grupi fuzzy. Shumë furnizime më vonë në këtë tutorial.

Fuqia e një grupi fuzzy. Le të specifikohet një grup fuzzy në një grup universal. Fuqia grup fuzzy ose i tij numër kardinal përkufizohet si më poshtë: .

Shembulli 28. Në grupin universal ne përcaktojmë grupin e mëposhtëm fuzzy:

Le të përcaktojmë numrin kardinal të një grupi fuzzy:

Përkatësia e një elementi në një bashkësi fuzzy mund të shënohet edhe si më poshtë: .

Për të përcaktuar shkallën e anëtarësimit të një elementi në një grup fuzzy, ekziston një terminologji e veçantë. Kështu, një grup fuzzy i përcaktuar në Shembulli 28, përmban në një masë të vogël elementin, nuk përmban, në një masë të vogël përmban, kryesisht - dhe, dhe përmban elementin.

Shembulli 29. Një grup fuzzy numrash të vegjël natyrorë mund të specifikohet, për shembull, si kjo:

Koment. Vlerat jepen subjektivisht.

Bartës i një grupi fuzzy. Transportuesi(mbështetja) e një grupi fuzzy (supp) është bashkësia e elementeve për të cilat . bosh nëse mbështetja e tij është grupi bosh.

Thelbi i një grupi fuzzy. Bërthamë Një grup fuzzy () është një grup elementësh për të cilët .

Lartësia e një grupi fuzzy . Sasia (për grupe universale diskrete) quhet Lartësia grup fuzzy ().

Komplete fuzzy normale dhe nënnormale . Komplet fuzzy Mirë, nëse lartësia e tij është 1. Nëse lartësia është më e vogël se 1, atëherë thirret grupi fuzzy Nënnormale. Çdo grup fuzzy subnormal jo bosh mund të shndërrohet në një normal duke normalizuar funksionin e tij të anëtarësimit:

Komplete fuzzy unimodale. Një grup fuzzy quhet Unimodale, qoftë vetëm për një.

Pikat e tranzicionit të grupeve fuzzy. Elementet për të cilat thirren Pikat e tranzicionit grup fuzzy.

Komplete konveks fuzzy . Një grup fuzzy quhet Konveks, Nëse:

Shembulli 30. Le të jetë bashkësia universale bashkësia e numrave realë, d.m.th. Le të përcaktojmë një grup fuzzy si një grup numrash afër një numri (Fig. 4).

Figura 4

Funksioni i anëtarësimit mund të specifikohet si më poshtë: , ku . Eksponenti zgjidhet në varësi të shkallës së afërsisë me . Për shembull, për të përshkruar një grup numrash shumë afër , ju mund të merrni ; për një grup numrash jo shumë larg nga , .

Shembulli 31. Në grupin universal të Shembulli 28 Jepet një grup fuzzy. Për një grup fuzzy: 1) përcaktoni kardinalitetin e tij; 2) përcaktoni bartësin, bërthamën dhe lartësinë; 3) zbuloni nëse është normale apo nënnormale. Nëse është nënnormale, shndërrojeni në normale; 4) kontrolloni nëse grupi që rezulton është unimodal; 5) përcaktoni pikat e tranzicionit.

1. Sipas përkufizimit, fuqia (numri kardinal) i një grupi fuzzy të përcaktuar në një bashkësi universale të fundme përcaktohet nga formula: .

2. Le të përdorim përkufizimet e mbështetjes, bërthamës dhe lartësisë së një grupi fuzzy. Natyrisht, , , .

3. Kompleti i dhënë fuzzy është nënnormal. Le të ndërtojmë një grup normal fuzzy që i korrespondon. Për ta bërë këtë, ne llogarisim vlerat e funksionit të anëtarësimit të elementit duke përdorur formulën:

Kemi: , të ngjashme me: , , , , . Kështu, një grup fuzzy normalizuar.

4. Kompleti është unimodal, pasi përmban vetëm një element për të cilin .

5. Kompleti ka një pikë tranzicioni unike – , pasi vetëm .

Shumëzimi i grupeve fuzzy me një numër. Nëse është një numër pozitiv i tillë që , atëherë për një bashkësi fuzzy funksioni i anëtarësimit përcaktohet si më poshtë: .

Krahasimi i grupeve fuzzy. Le të shqyrtojmë dy grupe fuzzy dhe , të përcaktuara në grupin universal .

Ata thonë se Përmbajtur në , d.m.th., nëse për ndonjë . Grafikisht, kjo do të thotë se kurba që përcakton grupin fuzzy ndodhet mbi kurbën e ngjashme të grupit fuzzy. Nëse kushti i përfshirjes nuk është i kënaqur për të gjithë, atëherë flasim Shkallët e përfshirjes në , e cila përkufizohet si , ku është grupi në të cilin plotësohet kushti i përfshirjes.

Dy grupe fuzzy dhe E barabartë, nëse ato përmbahen në njëra-tjetrën, d.m.th., nëse për ndonjë .

-nëngrupi i nivelit. Një nëngrup i nivelit - të një grupi fuzzy , , është një nëngrup i qartë elementësh për të cilët . Kompleti quhet gjithashtu -seksion i një grupi fuzzy. Në këtë rast, nëse , atëherë flasim për një seksion të fortë, dhe nëse , atëherë flasim për një seksion të dobët. Ndodh Pronë e rëndësishme : nese atehere.

Për analizën dhe sintezën e bashkësive fuzzy përdorin Teorema e zbërthimit: një grup fuzzy mund të zbërthehet në grupet e tij të nivelit si më poshtë: , ku është prodhimi i një numri dhe bashkësia .

Shembulli 32. Në një grup universal ne përcaktojmë një grup fuzzy. Le të gjejmë të gjitha nëngrupet e një grupi fuzzy:

Sipas teoremës për zbërthimin e bashkësive fuzzy, bashkësinë e dhënë fuzzy e paraqesim si më poshtë.

V. Ya. Pivkin, E. P. Bakulin, D. I. Korenkov

Komplete fuzzy në sistemet e kontrollit

E Redaktuar nga
Doktor i Shkencave Teknike, Profesor Yu.N. Zolotukhina

Parathënie. 3

HYRJE.. 4

1. SETET FUZZY... 5

Shembuj të shkrimit të një grupi fuzzy. 5

Karakteristikat themelore të grupeve fuzzy. 5

Shembuj të grupeve fuzzy. 6

Mbi metodat për ndërtimin e funksioneve të anëtarësimit të grupeve fuzzy. 7

Operacionet në grupe fuzzy. 8

Paraqitja vizuale e operacioneve në grupe fuzzy. 9

Vetitë e operacioneve È dhe Ç. 9

Veprimet algjebrike në grupe fuzzy. 10

Distanca midis grupeve fuzzy, indekseve fuzzy. 13

Parimi i përgjithësimit. 16

2. MARRËDHËNIET E KOMUNA.. 17

Operacione mbi marrëdhëniet fuzzy. 18

Përbërja e dy marrëdhënieve fuzzy. 21

Nëngrupe fuzzy të kushtëzuara. 23

3. NDRYSHORET E FUZE DHE GJUHËSORE.. 27

Numra të paqartë. 28

Veprimet mbi numrat fuzzy. 28

Lloji i numrave fuzzy (L-R). 29

4. DEKLARAT E KOMBËTARE DHE MODELET E KOMUNA TË SISTEMEVE... 32

Rregullat për transformimin e deklaratave fuzzy. 33

Metodat për përcaktimin e implikimit fuzzy. 33

Përshkrimi logjiko-gjuhësor i sistemeve, modele fuzzy. 35

Modeli i kontrollit të bojlerit me avull.. 36

Plotësia dhe konsistenca e rregullave të menaxhimit. 39

Letërsia. 40

Parathënie

Ndoshta vetia më e habitshme e inteligjencës njerëzore është aftësia për të marrë vendime të mira përballë informacionit jo të plotë dhe të paqartë. Ndërtimi i modeleve të arsyetimit të përafërt njerëzor dhe përdorimi i tyre në sistemet kompjuterike të brezave të ardhshëm është një nga problemet më të rëndësishme të shkencës sot.

Përparim domethënës në këtë drejtim është bërë 30 vjet më parë nga Lotfi A. Zadeh, profesor në Universitetin e Kalifornisë (Berkeley). Puna e tij "Fuzzy Sets", e cila u shfaq në 1965 në revistën Information and Control, ╬ 8, hodhi themelet për modelimin e veprimtarisë intelektuale njerëzore dhe ishte shtysa fillestare për zhvillimin e një teorie të re matematikore.

Çfarë propozoi Zadeh? Së pari, ai zgjeroi konceptin klasik kantorian grupe, duke supozuar se funksioni karakteristik (funksioni i anëtarësimit të një elementi në një grup) mund të marrë çdo vlerë në intervalin (0;1), dhe jo vetëm vlerat 0 ose 1. Komplete të tilla u thirrën nga ai e paqartë (mjegullt). L. Zadeh përcaktoi gjithashtu një numër operacionesh në grupe fuzzy dhe propozoi një përgjithësim të metodave të njohura të konkluzioneve logjike modus ponens dhe modus tollens.

Pas prezantimit të konceptit variabli gjuhësor dhe duke supozuar se grupet fuzzy veprojnë si vlerat (termat) e tij, L. Zadeh krijoi një aparat për të përshkruar proceset e veprimtarisë intelektuale, duke përfshirë paqartësinë dhe pasigurinë e shprehjeve.

Puna e mëtejshme e profesorit L. Zadeh dhe ndjekësve të tij hodhi një themel të fortë për teorinë e re dhe krijoi parakushtet për futjen e metodave të kontrollit fuzzy në praktikën inxhinierike.

Në 5-7 vitet e fundit ka filluar përdorimi i metodave dhe modeleve të reja në industri. Dhe megjithëse aplikimet e para të sistemeve të kontrollit fuzzy u zhvilluan në Evropë, sisteme të tilla po zbatohen më intensivisht në Japoni. Gama e aplikimeve të tyre është e gjerë: nga kontrolli i procesit të nisjes dhe ndalimit të një treni të metrosë, kontrolli i ashensorëve të mallrave dhe furrave të shpërthimit deri te makinat larëse, fshesat me korrent dhe furrat me mikrovalë. Në të njëjtën kohë, sistemet fuzzy bëjnë të mundur përmirësimin e cilësisë së produktit duke reduktuar kostot e burimeve dhe energjisë dhe ofrojnë rezistencë më të lartë ndaj faktorëve ndërhyrës në krahasim me sistemet tradicionale të kontrollit automatik.

Me fjalë të tjera, qasjet e reja bëjnë të mundur zgjerimin e fushës së aplikimit të sistemeve të automatizimit përtej zbatueshmërisë së teorisë klasike. Në këtë drejtim është interesant këndvështrimi i L. Zadeh: “Besoj se dëshira e tepruar për saktësi ka filluar të ketë një efekt që anulon teorinë e kontrollit dhe teorinë e sistemeve, pasi çon në faktin se kërkimet në këtë fushë janë fokusuar në ato dhe vetëm ato probleme që janë të përshtatshme për zgjidhje të sakta Si rezultat, shumë klasa problemesh të rëndësishme në të cilat të dhënat, qëllimet dhe kufizimet janë shumë komplekse ose të keqpërcaktuara për të lejuar analiza të sakta matematikore kanë qenë dhe mbeten mënjanë. ato nuk i nënshtrohen interpretimit matematikor, për të thënë ndonjë gjë domethënëse për probleme të këtij lloji, ne duhet të braktisim kërkesat tona për saktësi dhe të lejojmë rezultate disi të paqarta ose të pasigurta.

Zhvendosja në fokusin e kërkimit të sistemeve fuzzy drejt aplikimeve praktike ka çuar në formulimin e një sërë problemesh si arkitekturat e reja kompjuterike për informatikë fuzzy, baza elementare e kompjuterëve dhe kontrollorëve fuzzy, mjetet e zhvillimit, metodat inxhinierike për llogaritjen dhe zhvillimin e fuzzy sistemet e kontrollit dhe shumë më tepër.

Qëllimi kryesor i këtij teksti është të tërheqë vëmendjen e studentëve, studentëve të diplomuar dhe studiuesve të rinj ndaj problemeve të paqarta dhe të ofrojë një hyrje të arritshme në një nga fushat më interesante të shkencës moderne.

Profesor Yu.N. Zolotukhin

PREZANTIMI

Teoria matematikore e bashkësive fuzzy e propozuar nga L.Zade më shumë se një çerek shekulli më parë, ju lejon të përshkruani koncepte dhe njohuri të paqarta, të veproni me këtë njohuri dhe të nxirrni përfundime të paqarta. Metodat për ndërtimin e sistemeve kompjuterike fuzzy bazuar në këtë teori zgjerojnë ndjeshëm fushën e aplikacioneve kompjuterike. Kohët e fundit, kontrolli fuzzy ka qenë një nga fushat më aktive dhe produktive të kërkimit në aplikimin e teorisë së grupeve fuzzy. Kontrolli fuzzy është veçanërisht i dobishëm kur proceset teknologjike janë shumë komplekse për t'u analizuar duke përdorur metoda sasiore konvencionale, ose kur burimet e disponueshme të informacionit interpretohen në mënyrë cilësore, të pasaktë ose të paqartë. Eksperimentalisht është treguar se kontrolli fuzzy jep rezultate më të mira në krahasim me ato të marra me algoritme konvencionale të kontrollit. Metodat e paqarta ndihmojnë në kontrollin e furrave të shpërthimit dhe mullinjve, makinave dhe trenave, njohjen e të folurit dhe imazheve dhe dizajnimin e robotëve me prekje dhe vizion. Logjika fuzzy, mbi të cilën bazohet kontrolli fuzzy, është më afër në frymë me të menduarit njerëzor dhe gjuhët natyrore sesa sistemet logjike tradicionale. Logjika fuzzy në thelb ofron një mjet efikas për të përfaqësuar pasiguritë dhe pasaktësitë e botës reale. Prania e mjeteve matematikore për pasqyrimin e paqartësisë së informacionit fillestar na lejon të ndërtojmë një model që është adekuat me realitetin.

1. SETET FUZZY

Le E- set universal, x - element E, A R- disa pronë. Nëngrup i rregullt (i freskët). A set universal E, elementet e të cilit kënaqin pronën R, përkufizohet si bashkësia e çifteve të renditura A = ( m A ( X)/X } , Ku

m A ( X) - funksioni karakteristik, duke marrë vlerën 1 , Nëse x kënaq pronën R, Dhe 0 - ndryshe.

Një nëngrup fuzzy ndryshon nga një nëngrup i rregullt në atë të elementeve x nga E nuk ka përgjigje të qartë "Jo ne te vertete" në lidhje me pronën R. Në këtë drejtim, nëngrupi fuzzy A set universal E përkufizohet si bashkësia e çifteve të renditura A = ( m A ( X)/X } , Ku

m A ( X) - funksioni karakteristik i anëtarësimit(ose thjesht një funksion anëtarësimi) duke marrë vlera në një grup të renditur mirë M(Për shembull, M =). Funksioni i anëtarësimit tregon shkallë(ose niveli) i anëtarësimit në element x nëngrup A. Një tufë me M thirrur shumë aksesorë. Nëse M = (0,1), pastaj nëngrupi fuzzy A mund të konsiderohet si një grup i zakonshëm ose i freskët.

Mjegullt(ose e paqartë, e paqartë) një tufë me- një koncept i prezantuar nga L. Zadeh, i cili zgjeroi konceptin klasik (Cantor) të një grupi, duke pranuar se funksioni karakteristik (funksioni i anëtarësimit të një elementi në një grup) mund të marrë çdo vlerë në interval, dhe jo vetëm vlerat 0 ose 1.

Përkufizimi: grup fuzzy(një grup i paqartë)

Le C ka një grup universal (univers). Pastaj grupi fuzzy A V C përkufizohet si një grup çiftesh të renditura

ku quhet funksioni i anëtarësimit (MF) i elementit X te grupi fuzzy A.

FP i cakton secilit element nga C vlerë nga intervali, i cili quhet shkalla e anëtarësimit x te A ose një masë fuzzy.

Një masë fuzzy mund të konsiderohet si shkalla e së vërtetës që një element X i takon A.

Përkufizimi: baza e grupit fuzzy(një mbështetje e një fuzzyset)

Baza e një grupi fuzzy Aështë bashkësia e të gjitha pikave të tilla që .

Kështu, përkufizimi i një grupi fuzzy është një shtrirje e përkufizimit të një grupi klasik, në të cilin funksioni karakteristik mund të marrë vlera të vazhdueshme midis 0 dhe 1. Universi C mund të jetë një grup diskret ose i vazhdueshëm.

Zakonisht përdoren disa lloje funksionesh parametrike për të përfaqësuar FP-të.

Përfaqësimet tipike të FP

Trekëndësh PT (Fig. 2.2, a) përshkruhen nga tre parametra ( a, b, c), të cilat përcaktojnë x Koordinatat e tre këndeve të trekëndëshit janë si më poshtë:

Trapezoidale PT (Fig. 2.2, c) përshkruhen nga katër parametra ( a,b,c,d), të cilat përcaktojnë x Koordinatat e katër qosheve të trapezit janë si më poshtë:

Oriz. 2.2. AF trekëndore dhe trapezoidale

Gausian FP (Fig. 2.3) specifikohen nga dy parametra dhe përfaqësojnë funksionin e mëposhtëm: .

Oriz. 2.3. Gaussian PT

Variabla gjuhësore

Një nga konceptet themelore, i prezantuar edhe nga L. Zadeh, është koncepti i një ndryshoreje gjuhësore.

Përkufizimi: variabli gjuhësor(LP) përfaqëson pesëshen e mëposhtme, ku është emri i ndryshores, është një grup termash që specifikon grupin e vlerave të LP, të cilat janë shprehje gjuhësore (sintagma), X- universi, G- një rregull sintaksor, duke përdorur të cilin mund të formojmë sintagma, M– një rregull semantik, duke përdorur të cilin çdo sintagme i jepet kuptimi i saj, i cili është një grup i paqartë në univers X.

Një shembull i një LP do të ishte, për shembull, ndryshorja = "mosha". Kompleti i tij i termave mund të jetë, për shembull, si më poshtë:

(mosha) = ( Shumë i ri, i ri, pak a shumë të rinj, me moshë mesatare, e vjetër, shumë i vjetër}.

Universi për një LP të caktuar mund të jetë një grup i caktuar numrash realë, për shembull, intervali. Rregulli semantik M atributet ndaj termave nga T(mosha) vlerat që janë modifikime të ndryshme të grupeve fuzzy.

Le të kthehemi te shembulli ynë i kontrollit të lëvizjes së një makine dhe të përshkruajmë kuptimet gjuhësore në rregullat e mësipërme duke përdorur grupe fuzzy. Merrni parasysh variablat e mëposhtëm gjuhësor:

x – distancë mes makinave;

y– shpejtësia makina përpara;

z– nxitimi i mjetit të drejtuar.

PF-të duhet të përcaktohen sipas situatës së menaxhimit në shqyrtim. Kështu, për shembull, një shpejtësi prej 70 km/h është "e lartë" kur vozitni në një rrugë qyteti dhe mund të konsiderohet "e vogël" kur vozitni në autostradë.

Për shembullin tonë, ne përcaktojmë universet e mëposhtme:

[m], [km/h],

[km/orë 2].

Në Fig. Figura 2.4 tregon FP për përshkrimin e kuptimeve gjuhësore "i vogël" (i ngadalshëm) dhe "i madh" (i shpejtë) për shpejtësinë dhe "afër" (i shkurtër) dhe "i madh" (i gjatë) për distancën.

Oriz. 2.4. Komplete fuzzy për problemin e kontrollit të lëvizjes më të thjeshtë të një makine

Dallimet midis paraqitjes klasike dhe fuzzy të grupeve

Le të diskutojmë këto dallime duke përdorur shembullin e mëposhtëm. Merrni parasysh paraqitjet klasike dhe të paqarta të grupeve për të përshkruar kuptimin gjuhësor të "shkurtër" (për distancën).

Në Fig. 2.5 tregon ndryshimet midis paraqitjes klasike dhe fuzzy të grupit A për këtë shembull.

Oriz. 2.5. Paraqitje klasike dhe të paqarta të grupit A

Le të përcaktojmë paraqitjen klasike të një grupi A siç tregohet në Fig. 2.5 në të majtë. Në këtë rast, funksioni karakteristik do të jetë:

Përfaqësimi i grupit fuzzy A treguar në Fig. 2.5 në të djathtë. Në këtë rast, funksioni i anëtarësimit në FP duket si ky:

Tani le të bëjmë pyetjen e mëposhtme: nëse pika m ose pika m i përket bashkësisë A?

Nga një këndvështrim klasik, përgjigjja është "jo". Nga pikëpamja e perceptimit njerëzor, përgjigja ka më shumë gjasa "po" sesa "jo". Nga një perspektivë e paqartë, përgjigja është po.

Kështu, ky shembull i thjeshtë tregon qartë se qasja fuzzy është më afër asaj natyrore, njerëzore dhe ka fleksibilitet më të madh se qasja klasike.

Me ndihmën e grupeve fuzzy ne mund të përshkruajmë kufijtë fuzzy.

Operacionet bazë në teorinë e bashkësive fuzzy

Le të përcaktojmë operacionet kryesore fuzzy si më poshtë.

Përkufizimi: nënbashkësi fuzzy(Fuzzy Containment ose Fuzzy Subset). Komplet fuzzy A të përfshira në grupin fuzzy B(ose në mënyrë të barabartë Aështë një nëngrup B) nëse dhe vetëm nëse për të gjithë. Në formë simbolike:

Përkufizimi:ekuivalenca e grupeve fuzzy(Barazia e Kompleteve Fuzzy). Ekuivalenca (barazia) e bashkësive fuzzy A Dhe B përkufizohet si më poshtë:

Per secilin .

Përkufizimi:bashkim fuzzy ose disjunksion fuzzy(Bashkimi Fuzzy i dy grupeve fuzzy). A Dhe B(në formë simbolike të shkruar si ose A OSE B ose A B) është një grup fuzzy, PT i të cilit përcaktohet si më poshtë:

Përkufizimi:kryqëzim fuzzy(Kryqëzimi i paqartë) Kryqëzimi i dy grupeve fuzzy A Dhe B(në formë simbolike të shkruar si , ose C=A DHE B, ose C= A B) është një grup fuzzy, PT-ja e të cilit përcaktohet si më poshtë:

Përkufizimi:shtim i paqartë. Shtesa A(në formë simbolike të shkruar si ose) është e paqartë, PT e së cilës përcaktohet si më poshtë:

Figura 2.6 tregon shembuj të operacioneve fuzzy në grupe fuzzy.

Oriz. 2.6. Shembuj të operacioneve fuzzy në grupe fuzzy

Karakteristikat e grupeve fuzzy

Le të vëmë në dukje veçoritë e rëndësishme të teorisë së bashkësive fuzzy.

1) Ligji i mesit të përjashtuar Dhe ligji i kontradiktës, ku është grupi bosh janë të vërteta në teorinë klasike të grupeve, por në teorinë e bashkësive fuzzy në rastin e përgjithshëm ato nuk plotësohen.

Ligji i mesit të përjashtuar dhe ligji i kontradiktës në teorinë fuzzy janë si më poshtë: dhe .

2) Në teorinë klasike të grupeve pikë nga grupi A mund të ketë një nga dy mundësitë: ose . Në teorinë fuzzy, një pikë mund t'i përkasë një grupi A dhe në të njëjtën kohë nuk i përkasin A(d.m.th. i përkasin grupit) me vlera të ndryshme të funksioneve të anëtarësimit dhe, siç tregohet në Fig. 2.7.