Konceptet dhe përkufizimet bazë të teorisë së bashkësive fuzzy. Komplete fuzzy në sistemet e kontrollit

Duke përdorur grupe fuzzy, është e mundur që zyrtarisht të përcaktohen koncepte të pasakta dhe të paqarta si "temperatura e lartë", "djali i ri", "lartësia mesatare" ose " Qytet i madh" Para se të formulohet përkufizimi i një grupi fuzzy, është e nevojshme të përkufizohet i ashtuquajturi univers i ligjërimit. Në rastin e konceptit të paqartë të "shumë parash", një shumë do të konsiderohet e madhe nëse kufizohemi në diapazonin dhe një shumë krejtësisht të ndryshme - në interval. Zona e arsyetimit, e quajtur tani e tutje hapësirë ​​ose grup, më së shpeshti do të shënohet me simbolin. Duhet mbajtur mend se ky është një grup i qartë.

Përkufizimi 3.1

Një grup fuzzy në një hapësirë ​​(jo boshe), i cili shënohet si , është një grup çiftesh

Funksioni që i përkasin fuzzy grupe. Ky funksion i cakton secilit element shkallën e anëtarësimit të tij në një grup fuzzy dhe mund të dallohen tre raste:

1) nënkupton anëtarësimin e plotë të një elementi në një grup fuzzy, d.m.th. ;

2) do të thotë që elementi nuk i përket një grupi fuzzy, d.m.th.;

3) do të thotë se elementi i përket pjesërisht një grupi fuzzy.

Në literaturë, përdoret një përshkrim simbolik i grupeve fuzzy. Nëse është një hapësirë ​​me një numër të kufizuar elementësh, d.m.th. , atëherë grupi fuzzy shkruhet në formë

Hyrja e mësipërme është simbolike. Shenja “–” nuk do të thotë ndarje, por nënkupton caktimin e shkallëve të anëtarësimit për elementë të veçantë. Me fjalë të tjera, rekordi

do të thotë një çift

Në mënyrë të ngjashme, shenja "+" në shprehjen (3.3) nuk nënkupton një veprim të mbledhjes, por interpretohet si një përmbledhje e shumëfishtë e elementeve (3.5). Duhet të theksohet se grupet e freskëta gjithashtu mund të shkruhen në një mënyrë të ngjashme. Për shembull, shumë notat e shkollës mund të përfaqësohet simbolikisht si

që është e barabartë me shkrimin

Nëse është një hapësirë ​​me një numër të pafund elementësh, atëherë grupi fuzzy shkruhet simbolikisht në formë

Shembulli 3.1

Le të supozojmë se ka një grup numrat natyrorë. Le të përcaktojmë konceptin e grupit të numrave natyrorë "afër numrit 7". Kjo mund të bëhet duke përcaktuar grupin e mëposhtëm fuzzy:

Shembulli 3.2

Nëse , ku është bashkësia e numrave realë, atëherë bashkësia numra realë, "afër numrit 7", mund të përcaktohet nga një funksion anëtarësimi të formularit

Prandaj, grupi fuzzy i numrave realë "afër numrit 7" përshkruhet nga shprehja

Vërejtje 3.1

Komplete fuzzy Numrat natyrorë ose realë "afër numrit 7" mund të shkruhen në mënyra të ndryshme. Për shembull, funksioni i anëtarësimit (3.10) mund të zëvendësohet me shprehjen

Në Fig. 3.1a dhe 3.1b paraqesin dy funksione anëtarësimi për grupin fuzzy të numrave realë "afër numrit 7".

Oriz. 3.1. Ilustrimi për shembull 3.2: funksionet e anëtarësimit të një grupi të paqartë numrash realë "afër numrit 7".

Shembulli 3.3

Le të zyrtarizojmë përkufizimin e pasaktë të "temperaturës së përshtatshme për të notuar në Detin Baltik". Le të përcaktojmë fushën e arsyetimit në formën e një grupi. Pushuesi I, i cili ndihet më mirë në një temperaturë prej 21°, do të përcaktonte për vete një grup të paqartë

Pushuesi II, i cili preferon një temperaturë prej 20°, do të sugjeronte një përkufizim të ndryshëm të këtij grupi:

Duke përdorur grupe të paqarta, ne zyrtarizuam përkufizimin e pasaktë të konceptit "temperaturë e përshtatshme për not në Detin Baltik". Disa aplikacione përdorin forma standarde të funksioneve të anëtarësimit. Le t'i specifikojmë këto funksione dhe të shqyrtojmë interpretimet e tyre grafike.

1. Funksioni i anëtarësimit në klasë (Fig. 3.2) përcaktohet si

Ku . Funksioni i anëtarësimit që i përket kësaj klase ka një paraqitje grafike (Fig. 3.2), që të kujton shkronjën "", dhe forma e tij varet nga zgjedhja e parametrave , dhe . Në një pikë, funksioni i anëtarësimit në klasë merr një vlerë të barabartë me 0.5.

2. Funksioni i anëtarësimit në klasë (Fig. 3.3) përcaktohet përmes funksionit të anëtarësimit në klasë:

Oriz. 3.2. Funksioni i anëtarësimit në klasë.

Oriz. 3.3. Funksioni i anëtarësimit në klasë.

Funksioni i anëtarësimit në klasë merr vlera zero për dhe . Në pika vlera e tij është 0.5.

3. Funksioni i anëtarësimit në klasë (Fig. 3.4) jepet me shprehjen

Lexuesi do të vërejë lehtësisht analogjinë midis formave të funksioneve të anëtarësimit në klasë dhe .

4. Funksioni i anëtarësimit në klasë (Fig. 3.5) përcaktohet si

Oriz. 3.4. Funksioni i anëtarësimit në klasë.

Oriz. 3.5. Funksioni i anëtarësimit në klasë.

Në disa aplikacione, funksioni i anëtarësimit në klasë mund të jetë një alternativë ndaj funksionit të klasës.

5. Funksioni i anëtarësimit në klasë (Fig. 3.6) përcaktohet nga shprehja

Shembulli 3.4

Le të shqyrtojmë tre formulime të pasakta:

1) “shpejtësi e ulët e automjetit”;

2)" Shpejtësia mesatare makinë";

3) "shpejtësi e lartë e automjetit".

Si zonë e arsyetimit, ne do të marrim diapazonin, ku është shpejtësia maksimale. Në Fig. 3.7 paraqet grupet fuzzy , dhe , që korrespondojnë me formulimet e mësipërme. Ju lutemi vini re se funksioni i anëtarësimit të një grupi ka llojin, grupet kanë llojin dhe grupet kanë llojin. Në një pikë fikse km/h, funksioni i anëtarësimit të grupit fuzzy "me shpejtësi të ulët të makinës" merr vlerën 0.5, d.m.th. . Funksioni i anëtarësimit të grupit fuzzy "shpejtësia mesatare e makinës" merr të njëjtën vlerë, d.m.th. , ndërsa .

Shembulli 3.5

Në Fig. Figura 3.8 tregon funksionin e anëtarësimit të grupit fuzzy "para të mëdha". Ky është një funksion i klasës, dhe , , .

Oriz. 3.6. Funksioni i anëtarësimit në klasë.

Oriz. 3.7. Ilustrimi për shembull 3.4: funksionet e anëtarësimit të grupeve fuzzy shpejtësia e makinës "e vogël", "mesatare", "e lartë".

Oriz. 3.8. Ilustrimi për shembull 3.5: Funksioni i anëtarësimit të grupit fuzzy "para të mëdha".

Rrjedhimisht, shumat që kalojnë 10,000 rubla mund të konsiderohen definitivisht "të mëdha", pasi vlerat e funksionit të anëtarësimit bëhen të barabarta me 1. Shumat më pak se 1000 rubla nuk konsiderohen "të mëdha", pasi vlerat përkatëse të funksionit të anëtarësimit. janë të barabarta me 0. Sigurisht, një përkufizim i tillë i grupit fuzzy "para të mëdha" është subjektiv. Lexuesi mund të ketë kuptimin e tij për konceptin e paqartë të "parave të mëdha". Ky paraqitje do të pasqyrohet nga vlera të tjera të parametrave dhe funksioneve të klasës.

Përkufizimi 3.2

Bashkësia e elementeve hapësinore për të cilat , quhet mbështetje e një bashkësie fuzzy dhe shënohet me (mbështetje). Shënimi i tij zyrtar ka formën

Përkufizimi 3.3

Lartësia e një grupi fuzzy shënohet dhe përcaktohet si

Shembulli 3.6

Përkufizimi 3.4

Një grup fuzzy quhet normal nëse dhe vetëm nëse . Nëse grupi fuzzy nuk është normal, atëherë ai mund të normalizohet duke përdorur transformimin

ku është lartësia e këtij grupi.

Shembulli 3.7

Komplet fuzzy

pas normalizimit merr formën

Përkufizimi 3.5

Një grup fuzzy quhet bosh dhe shënohet nëse dhe vetëm nëse për secilën .

Përkufizimi 3.6

Një grup fuzzy përfshihet në një grup fuzzy, i cili shkruhet si , nëse dhe vetëm nëse

per secilin .

Një shembull i përfshirjes (përmbajtjes) të një grupi fuzzy në një grup fuzzy është ilustruar në Fig. 3.9. Koncepti i shkallës së përfshirjes së grupeve fuzzy gjendet gjithashtu në literaturë. Shkalla e përfshirjes së një grupi fuzzy në një grup fuzzy në Fig. 3.9 është e barabartë me 1 (përfshirja e plotë). Kompletet fuzzy të paraqitura në Fig. 3.10 nuk e kënaqin varësinë (3.27), prandaj, përfshirja në kuptimin e përkufizimit (3.6) mungon. Megjithatë, një grup fuzzy përfshihet në një grup fuzzy në shkallë

Kushti eshte plotesuar

Oriz. 3.12. Komplet konveks fuzzy.

Oriz. 3.13. Komplet konkav fuzzy.

Oriz. Figura 3.13 ilustron një grup konkave fuzzy. Është e lehtë të kontrollohet nëse një grup fuzzy është konveks (konkav) nëse dhe vetëm nëse të gjitha prerjet e tij janë konvekse (konkave).

Me një grup të qartë ose thjesht një grup, ne zakonisht kuptojmë një grup të caktuar objektesh të përcaktuara dhe të dallueshme të intuitës dhe intelektit tonë, të konceptuara si një tërësi e vetme. NË këtë deklaratë Le të vëmë re pikën e mëposhtme: grupi A është një koleksion objekte të caktuara. Kjo do të thotë se për çdo x mund të thuhet pa mëdyshje nëse i përket grupit A apo jo.

Kushti që një element x t'i përkasë grupit A mund të shkruhet duke përdorur konceptin e funksionit të anëtarësimit m(x), përkatësisht

Rrjedhimisht, grupi mund të specifikohet si një grup çiftesh: një element dhe vlera e funksionit të tij të anëtarësimit

A = ((x|m(x)) (1)

Shembulli 1. Departamenti ofron pesë kurse me zgjedhje x 1 , x 2 , x 3 , x 4 dhe x 5 . Në përputhje me programin, kërkohen tre kurse. Studenti ka zgjedhur lëndët x 2, x 3 dhe x 5 për të studiuar. Le ta shkruajmë këtë fakt duke përdorur funksionin e anëtarësimit

ku elementi i parë i çdo çifti nënkupton emrin e lëndës, dhe i dyti përshkruan faktin që i përket nëngrupit të zgjedhur nga studenti i caktuar ("po" ose "jo").

Ka pafundësisht shumë shembuj të grupeve të freskëta: lista e studentëve grup studimi, shumë shtëpi në një rrugë të caktuar të qytetit, shumë molekula në një pikë uji, etj.

Ndërkohë, një vëllim i madh njohuritë njerëzore dhe lidhjet me Bota e jashtme përfshijnë koncepte të tilla që nuk mund të quhen bashkësi në kuptimin e (1). Ato më tepër duhet të konsiderohen klasa me kufij të paqartë, kur kalimi nga përkatësia në një klasë në përkatësinë në një tjetër ndodh gradualisht, jo papritur. Kështu, supozohet se logjika e arsyetimit njerëzor nuk bazohet në logjikën klasike me dy vlera, por në logjikën me vlera të paqarta të së vërtetës - lidhjet fuzzy dhe rregullat e paqarta të përfundimit. Këtu janë disa shembuj të kësaj: gjatësia e artikullit është afërsisht 12 faqe, shumica territor, epërsi dërrmuese në lojë, një grup prej disa personash.

Le të ndalemi në shembulli i fundit. Është e qartë se një grup njerëzish prej 3, 5 ose 9 personash i përket konceptit: "një grup njerëzish i përbërë nga disa njerëz". Megjithatë, ata nuk do të kenë të njëjtën shkallë besimi në përkatësinë e këtij koncepti, i cili varet nga rrethana të ndryshme, duke përfshirë edhe ato subjektive. Këto rrethana mund të zyrtarizohen nëse supozojmë se funksioni i anëtarësimit mund të marrë çdo vlerë në interval. Për më tepër vlerat ekstreme janë të përshkruara nëse elementi definitivisht nuk i përket ose i takon patjetër këtë koncept. Në veçanti, një grup njerëzish A i përbërë nga disa njerëz mund të përshkruhet me një shprehje të formës:

A = ((1½0), 2½0,1), 3½0,4), (4½1), (5½1), (6½1), (7½0,8), (8½0,3), (9½0,1), (a½0)

Le të japim përkufizimin e një bashkësie fuzzy dhënë nga themeluesi i teorisë së bashkësive fuzzy L.A. Zade. Le të jetë x një element i një bashkësie specifike universale (të ashtuquajtur bazë) E. Pastaj mjegullt turmë (e paqartë). A e përcaktuar në grupin bazë E është bashkësia e çifteve të renditura

A= (xúm A((x)), "x О E,

ku m A(X) - funksioni i anëtarësimit, duke e paraqitur bashkësinë E në një interval njësi, d.m.th. m A (x): E ® .

Natyrisht, nëse diapazoni i vlerave m A (x) është i kufizuar në dy numra 0 dhe 1, atëherë këtë përkufizim do të përkojë me konceptin e një grupi të zakonshëm (të freskët).

Funksioni i anëtarësimit të një grupi fuzzy mund të specifikohet jo vetëm duke renditur të gjitha vlerat e tij për secilin element të grupit bazë, por edhe në formën shprehje analitike. Për shembull, shumë numra realë Z shumë afër numrit 2, mund të jepet kështu:

Z= (xúm Z(x)), "x О R,

ku m Z(x) = .

Bashkësia e numrave realë Y që janë mjaftueshëm afër numrit 2 është

Y= (xúm Y(x)), "x О R,

M Y Z(x) = .

Imazhi grafik këto dy funksione të anëtarësimit janë dhënë në Fig. 3.9.

Përkufizimi. Komplet fuzzy A i quajtur nënbashkësi fuzzy B, nëse A Dhe B janë përcaktuar në të njëjtën bashkësi bazë E dhe "x О E: m A(x) £ m B(x), e cila shënohet si AÌ B.

Kushtet për barazinë e dy grupeve fuzzy A Dhe B, i përcaktuar në të njëjtin grup bazë E, ka formën e mëposhtme

A = B ose "x О E: m A(x) = m B(x).

Komentoni. Ekziston njëfarë ngjashmërie midis koncepteve thelbësisht të ndryshme të "fuzzy" dhe "probabilitetit". Së pari, këto koncepte përdoren në detyra ku ka pasiguri ose pasaktësi të njohurive tona ose pamundësi themelore. parashikime të sakta rezultatet e vendimeve. Së dyti, intervalet e ndryshimit dhe probabiliteti dhe funksionet e anëtarësimit përkojnë:

dhe P О dhe m A(x) О .

Në të njëjtën kohë, probabiliteti është një karakteristikë objektive dhe përfundimet e marra bazuar në zbatimin e teorisë së probabilitetit, në parim, mund të verifikohen në mënyrë eksperimentale.

Funksioni i anëtarësimit përcaktohet subjektivisht, megjithëse zakonisht pasqyron marrëdhëniet reale midis objekteve në shqyrtim. Efektiviteti i përdorimit të metodave të bazuara në teorinë e grupeve fuzzy zakonisht gjykohet pas marrjes së rezultateve specifike.

Nëse teoria e probabilitetit supozon se probabiliteti ngjarje e besueshme e barabartë me një, d.m.th.

atëherë shuma përkatëse e të gjitha vlerave të funksionit të anëtarësimit mund të marrë çdo vlerë nga 0 në ¥.

Pra, për të përcaktuar një grup fuzzy A duhet të përcaktohet grup bazë elementet e E, dhe formojnë një funksion anëtarësie m A(x), e cila është një masë subjektive e besimit me të cilën çdo element x i E i përket një grupi të caktuar fuzzy A.

Komplet fuzzy- koncept kyç logjikë e paqartë. Le E- set universal, X- element E, a R është disa veti. Nëngrup i rregullt (i freskët). A set universal E, elementet e të cilit kënaqin vetinë R përkufizohet si bashkësi çiftesh të renditura

A = (μA(x) / x},

Ku μ A (x) —funksioni karakteristik, duke marrë vlerën 1 nëse X plotëson vetinë R, dhe 0 ndryshe.

Nëngrupi Fuzzy është i ndryshëm nga tema të rregullta, që është për elementet X nga E nuk ka një përgjigje të qartë po-jo në lidhje me vetinë R. Në këtë drejtim, nëngrupi fuzzy A set universal E përkufizohet si bashkësia e çifteve të renditura

A = (μA(x) / x},

Ku μ A (x) — funksioni karakteristik i anëtarësimit(ose thjesht funksioni i anëtarësimit), duke marrë vlera në një grup të porositur plotësisht M(Për shembull, M = ).

Funksioni i anëtarësimit tregon shkallën (ose nivelin) e anëtarësimit të një elementi X nëngrup A. Një tufë me M quhet një grup aksesorësh. Nëse M= (0, 1), pastaj nëngrupi fuzzy A mund të konsiderohet si një grup i zakonshëm ose i freskët.

Shembuj të shkrimit të një grupi fuzzy

Le E = {x 1 , x 2 , x z,x 4 , x 5), M = ; Aështë një grup fuzzy për të cilin μ A ( x 1 )= 0.3; μ A ( x 2)= 0; μ A ( X 3) = 1; μ A (x 4) = 0,5; μ A ( x 5)= 0,9.

Pastaj A mund të paraqitet në formë

A ={0,3/x 1 ; 0/X 2 ; 1/X 3 ; 0,5/X 4 ; 0,9/X 5 } ,

ose

A={0,3/x 1 +0/X 2 +1/X 3 +0,5/X 4 +0,9/X 5 },

ose

Komentoni. Këtu shenja "+" nuk tregon veprimin e shtimit, por ka kuptimin e bashkimit.

Karakteristikat themelore të grupeve fuzzy

Le M= dhe A— grup fuzzy me elemente nga grupi universal E dhe shumë aksesorë M.

Sasia quhet lartësia grup fuzzy A. Komplet fuzzy është në rregull nëse lartësia e tij është 1, d.m.th. kufiri i sipërm funksioni i tij i anëtarësimit është 1 (= 1). Në< 1нечеткое множество называется nënnormale.

Komplet fuzzy bosh, nëse ∀ xϵ E μ A ( x) = 0. Një grup nënnormal jo bosh mund të normalizohet duke përdorur formulën

Komplet fuzzy unimodal, Nëse μ A ( x) = 1 për vetëm një X nga E.

. Transportuesi grup fuzzy Aështë një nëngrup i zakonshëm me pronën μ A ( x)>0, d.m.th. transportuesi A = {x/x ϵ E, μ A ( x)>0}.

Elementet xϵ E, per cilin μ A ( x) = 0,5 , quhen pikat e tranzicionit grupe A.

Shembuj të grupeve fuzzy

1. Le E = {0, 1, 2, . . ., 10}, M =. Komplet fuzzy"Disa" mund të përkufizohen si më poshtë:

"Disa" = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; karakteristikat e tij:lartësia = 1, bartëse = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, pikat e tranzicionit — {3, 8}.

2. Le E = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). Grupi fuzzy "Small" mund të përcaktohet:

3. Le E= (1, 2, 3,..., 100) dhe korrespondon me konceptin "Mosha", atëherë grupi fuzzy "I ri" mund të përcaktohet duke përdorur

Kompleti fuzzy "Young" në setin universal E"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) është specifikuar duke përdorur funksionin e anëtarësimit μ i ri ( x) në E =(1, 2, 3, ..., 100) (mosha), e quajtur në lidhje me E" funksioni i përputhshmërisë, me:

Ku X- Mosha e SIDOROV-it.

4. Le E= (ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES,...) - një grup markash makinash, dhe E"= është grupi universal "Kosto", pastaj aktivizohet E" ne mund të përcaktojmë grupe fuzzy të tipit:

Oriz. 1.1. Shembuj të funksioneve të anëtarësimit

“Për të varfërit”, “Për klasën e mesme”, “Prestigjioz”, me funksione përkatësie si Fig. 1.1.

Duke pasur këto funksione dhe duke ditur koston e makinave nga E V ky moment kohën, në këtë mënyrë do të përcaktojmë E" grupe të paqarta me të njëjtët emra.

Kështu, për shembull, grupi fuzzy "Për të varfërit", i përcaktuar në grupin universal E =(ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES,...), duket siç tregohet në Fig. 1.2.

Oriz. 1.2. Një shembull i specifikimit të një grupi fuzzy

Në mënyrë të ngjashme, ju mund të përcaktoni grupin e paqartë "Me shpejtësi të lartë", "Mestare", "Me shpejtësi të ngadaltë", etj.

5. Le E- grup i numrave të plotë:

E= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Pastaj nëngrupi fuzzy i numrave, sipas vlere absolute afër zeros mund të përkufizohet, për shembull, si kjo:

A ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

Mbi metodat për ndërtimin e funksioneve të anëtarësimit të grupeve fuzzy

Shembujt e mësipërm të përdorur drejt metodat kur një ekspert ose thjesht vendos për secilën X ϵ E kuptimi μ A (x), ose përcakton një funksion përputhshmërie. Si rregull, metodat e drejtpërdrejta për specifikimin e funksionit të anëtarësimit përdoren për koncepte të matshme si shpejtësia, koha, distanca, presioni, temperatura, etj., ose kur dallohen vlerat polare.

Në shumë probleme, kur karakterizoni një objekt, është e mundur të zgjidhni një grup karakteristikash dhe për secilën prej tyre të përcaktohen vlerat polare që korrespondojnë me vlerat e funksionit të anëtarësimit, 0 ose 1.

Për shembull, në detyrën e njohjes së fytyrës, mund të dallojmë shkallët e dhëna në tabelë. 1.1.

Tabela 1.1. Shkallët në detyrën e njohjes së fytyrës

Për një person specifikAeksperti në bazë të shkallës së dhënë vendosμ A(x)ϵ, duke formuar funksionin e anëtarësimit vektor (μ A(x 1) , μ A(x 2),…, μ A(x 9)}.

Me metoda direkte përdoren edhe metoda të drejtpërdrejta në grup, kur, për shembull, një grup ekspertësh i paraqitet një person specifik dhe secili duhet të japë një nga dy përgjigjet: "ky person është tullac" ose "ky person nuk është tullac". atëherë numri i përgjigjeve pohuese i ndarë në numri i përgjithshëm ekspertët, jep kuptim μ tullac ( të këtij personi). (Në këtë shembull, ju mund të veproni përmes funksionit të përputhshmërisë, por më pas do t'ju duhet të numëroni numrin e qimeve në kokën e secilit person të paraqitur tek eksperti.)

indirekte Metodat për përcaktimin e vlerave të funksionit të anëtarësimit përdoren në rastet kur nuk ka veti elementare të matshme përmes të cilave përcaktohet grupi fuzzy i interesit për ne. Si rregull, këto janë metoda të krahasimit në çift. Nëse vlerat e funksioneve të anëtarësimit ishin të njohura për ne, për shembull, μ A(X-i) = ω i , i= 1, 2, ..., n, atëherë krahasimet në çift mund të përfaqësohen nga një matricë marrëdhëniesh A= (a ij), ku një ij= ωi/ ω j(operacioni i ndarjes).

Në praktikë, vetë eksperti formon matricën A, në këtë rast supozohet se elementet diagonale janë të barabarta me 1, dhe për elementët që janë simetrik në lidhje me diagonalen a ij = 1/a ij , d.m.th. nëse një element vlerëson të α herë më i fortë se tjetri, atëherë ky i fundit duhet të jetë 1/α herë më i fortë se i pari. NË rast i përgjithshëm problemi reduktohet në gjetjen e një vektori ω që plotëson një ekuacion të formës Aw= λ max w, ku λ max është eigenvlera më e madhe e matricës A. Që nga matrica Aështë pozitive nga ndërtimi, një zgjidhje për këtë problem ekziston dhe është pozitive.

Mund të vërehen dy qasje të tjera:

• përdorimi i formave standarde lakoret për specifikimin e funksioneve të anëtarësimit (në formën e (L-R)-Type - shih më poshtë) me sqarimin e parametrave të tyre në përputhje me të dhënat eksperimentale;
• përdorimi i frekuencave relativesipas eksperimentit si vlera të anëtarësimit.

Shkenca dhe teknologjia moderne nuk mund të imagjinohen pa përdorimin e gjerë të modelimit matematik, pasi eksperimentet në shkallë të plotë nuk mund të kryhen gjithmonë, ato shpesh janë shumë të shtrenjta dhe kërkojnë kohë të konsiderueshme, dhe në shumë raste ato shoqërohen me rrezik dhe të madh material ose moral. shpenzimet. Thelbi i modelimit matematik është zëvendësimi i një objekti real me "imazhin" e tij - një model matematik - dhe studimi i mëtejshëm i modelit duke përdorur algoritme llogaritëse dhe logjike të zbatuara në kompjuterë. Kërkesa më e rëndësishme për një model matematikor është kushti i përshtatshmërisë së tij (korrespondencës së saktë) me objektin real që studiohet në lidhje me sistemin e zgjedhur të vetive të tij. Kjo, para së gjithash, nënkupton një përshkrim të saktë sasior të vetive të objektit në shqyrtim. Ndërtimi i modeleve të tilla sasiore është i mundur për sisteme të thjeshta.

Situata është e ndryshme me sistemet komplekse. Për të marrë përfundime të rëndësishme për sjelljen sisteme komplekseështë e nevojshme të braktisni saktësinë dhe ashpërsinë e lartë gjatë ndërtimit të një modeli dhe të përdorni qasje që janë të përafërta në natyrë gjatë ndërtimit të tij. Një nga këto qasje lidhet me futjen e variablave gjuhësorë që përshkruajnë pasqyrimin e paqartë të një personi për botën përreth. Në mënyrë që një variabël gjuhësor të bëhet një objekt matematikor i plotë, u prezantua koncepti i një grupi fuzzy.

Në teorinë e grupeve të freskëta, u konsiderua funksioni karakteristik i një grupi të freskët në hapësirën universale , e barabartë me 1 nëse elementi plotëson vetinë dhe, për rrjedhojë, i përket grupit, dhe i barabartë me 0 përndryshe. Kështu, ne po flisnim për një botë të qartë (algjebër Boolean), në të cilën prania ose mungesa e një vetie të caktuar përcaktohet nga vlerat 0 ose 1 ("jo" ose "po").

Sidoqoftë, gjithçka në botë nuk mund të ndahet vetëm në të bardhë dhe të zezë, të vërtetë dhe gënjeshtra. Pra, edhe Buda pa një botë të mbushur me kontradikta, gjërat mund të ishin të vërteta në një farë mase dhe, në një farë mase, të rreme në të njëjtën kohë. Platoni hodhi themelet për atë që do të bëhej logjikë e paqartë duke vënë në dukje se ekzistonte një sferë e tretë (përtej së Vërtetës dhe Gënjeshtrës) ku këto kontradikta janë relative.

Profesori i Universitetit të Kalifornisë Zadeh botoi punimin "Fuzzy Sets" në 1965, në të cilin ai zgjeroi vlerësimin me dy vlera të 0 ose 1 në një vlerësim të pakufizuar me shumë vlera mbi 0 dhe nën 1 në një interval të mbyllur dhe fillimisht prezantoi konceptin e një "grup i paqartë". Në vend të termit "funksion karakteristik", Zadeh përdori termin "funksion i anëtarësimit". Një grup fuzzy (i njëjti shënim është lënë si për grupin crisp) në hapësirën universale përmes funksionit të anëtarësimit (i njëjti shënim si për funksionin karakteristik) përcaktohet si më poshtë

Funksioni i anëtarësimit më së shpeshti interpretohet si vijon: vlera do të thotë vlerësim subjektiv shkalla e anëtarësimit të një elementi në një grup fuzzy, për shembull, do të thotë se i përket 80%. Prandaj, duhet të ketë "funksionin e anëtarësimit tim", "funksionin tuaj të anëtarësimit", "funksionin e anëtarësimit të specialistit", etj. Paraqitja grafike e një grupi fuzzy, një diagramë Venn, është paraqitur me rrathë koncentrikë në Fig. 1. Funksioni i anëtarësimit të një grupi fuzzy ka një grafik në formë zile, në ndryshim nga funksioni karakteristik drejtkëndor i një grupi të qartë, Fig. 1.

Duhet t'i kushtoni vëmendje lidhjes midis grupeve të freskëta dhe të paqarta. Dy vlera (0,1) të funksionit karakteristik i përkasin një intervali të mbyllur të vlerave të funksionit të anëtarësimit. Prandaj, një grup i qartë është një rast i veçantë i një grupi fuzzy, dhe koncepti i një grupi fuzzy është një koncept i zgjeruar që mbulon gjithashtu konceptin e një grupi të freskët. Me fjalë të tjera, një grup i freskët është gjithashtu një grup i paqartë.

Një grup fuzzy përcaktohet rreptësisht duke përdorur funksionin e anëtarësimit dhe nuk përmban asnjë paqartësi. Fakti është se një grup fuzzy përcaktohet rreptësisht duke përdorur vlerat e vlerësuara të një intervali të mbyllur, dhe ky është funksioni i anëtarësimit. Nëse grupi universal përbëhet nga një grup elementesh të fundme diskrete, atëherë, bazuar në konsideratat praktike, tregoni vlerën e funksionit të anëtarësimit dhe elementin përkatës duke përdorur shenjat e ndarjes / dhe +. Për shembull, le të përbëhet grupi universal nga numra të plotë më pak se 10, atëherë grupi fuzzy "numrat e vegjël" mund të përfaqësohet si

A=1/0 + 1/1 + 0,8/2 + 0,5/3 + 0,1/4

Këtu, për shembull, 0.8/2 do të thotë . Shenja + tregon një bashkim. Kur shkruani një grup të paqartë në formën e mësipërme, elementët e grupit universal me vlera të funksionit të anëtarësimit të barabarta me zero hiqen. Zakonisht të gjithë elementët e grupit universal shkruhen me vlerat përkatëse të funksionit të anëtarësimit. Përdoret një shënim i grupit fuzzy, si në teorinë e probabilitetit,

Përkufizimi. Në përgjithësi, një nëngrup fuzzy i një grupi universal përcaktohet si një grup çiftesh të renditura

Sipas traditës, grupet e qarta zakonisht ilustrohen nga rrathë me kufij të theksuar qartë. Kompletet fuzzy janë rrathë të formuar nga pika individuale: në qendër të rrethit ka shumë pika, dhe më afër periferisë dendësia e tyre zvogëlohet në zero; rrethi duket se është i hijezuar në skajet. "Grupe të tilla të paqarta" mund të shihen... në një poligon qitjeje - në murin ku janë varur objektivat. Forma e shenjave të plumbave e rastit grupe matematika e të cilave është e njohur. Doli se për operacion grupe të paqarta aparati i zhvilluar prej kohësh i grupeve të rastësishme është i përshtatshëm ...

Koncepti i paqartë set - tentativë formalizimi matematik informacion fuzzy për qëllimin e përdorimit të tij në ndërtimin modele matematikore sisteme komplekse. Ky koncept bazohet në idenë që elementet që përbëjnë një grup të caktuar dhe kanë pronë e përbashkët, mund ta kenë këtë veti në shkallë të ndryshme dhe, për rrjedhojë, i përkasin një grupi të caktuar me shkallë të ndryshme.

Një nga mënyrat më të thjeshta përshkrimi matematik grup fuzzy - karakterizimi i shkallës së anëtarësimit të një elementi në një grup nga një numër, për shembull, nga intervali. Le X– një grup i caktuar elementesh. Në vijim do të shqyrtojmë nëngrupet e këtij grupi.

Kompleti fuzzy A në X quhet një koleksion çiftesh të formës ( x, m A(x)), Ku xÎX, dhe m A– funksion x®, i quajtur funksioni i anëtarësimit grup fuzzy A. m vlera A(x) këtë funksion për një specifik x quhet shkalla e anëtarësimit të këtij elementi në bashkësinë fuzzy A.

Siç mund të shihet nga ky përkufizim, një grup fuzzy përshkruhet plotësisht nga funksioni i tij i anëtarësimit, kështu që ne shpesh do ta përdorim këtë funksion si një emërtim për një grup fuzzy.

Grupet e zakonshme përbëjnë një nënklasë të klasës së grupeve fuzzy. Në të vërtetë, funksioni i anëtarësimit të një grupi të zakonshëm BÌ Xështë funksioni i tij karakteristik: m B(x)=1 nëse xÎ B dhe m B(x)=0 nëse xÏ B. Pastaj, në përputhje me përkufizimin e një grupi fuzzy, grupi i zakonshëm NË mund të përkufizohet gjithashtu si një grup çiftesh të formës ( x, m B(x)). Kështu, një grup fuzzy është më shumë koncept i gjerë se sa një grup i zakonshëm, në kuptimin që funksioni i anëtarësimit të një grupi fuzzy, në përgjithësi, mund të jetë një funksion arbitrar ose edhe një hartë arbitrare.

ne po flasim grup fuzzy. Dhe shumë çfarë? Nëse jemi të qëndrueshëm, duhet të themi se një element i një grupi fuzzy rezulton të jetë... një grup i ri fuzzy grupesh të reja fuzzy, etj. Le të kthehemi tek shembull klasik- Për të grumbull drithi. Një element i këtij grupi fuzzy do të jetë milion kokrra, Për shembull. Por një milion kokrra nuk është aspak e qartë element, por e re grup fuzzy. Në fund të fundit, kur numëroni kokrra (me dorë ose automatikisht), nuk është për t'u habitur të bëni një gabim - duke marrë 999,997 kokrra si një milion, për shembull. Këtu mund të themi se elementi 999,997 ka një vlerë të funksionit të anëtarësimit për grupin "milion" të barabartë me 0.999997. Për më tepër, vetë kokrra nuk është përsëri një element, por një grup i ri i paqartë: ka një kokërr të plotë, dhe ka dy kokrra të shkrira, një kokërr të pazhvilluar ose thjesht një lëvore. Gjatë numërimit të kokrrave, njeriu duhet të refuzojë disa, të marrë dy kokrra si një dhe në një rast tjetër një kokërr si dy. Një grup i paqartë nuk është aq i lehtë për t'u futur në një kompjuter dixhital me gjuhë klasike: elementet e një grupi (vektori) duhet të jenë vargje të reja vargjesh (vektorë të mbivendosur dhe matrica, nëse flasim për Mathcad). Matematika klasike e qartë e grupeve (teoria e numrave, aritmetika, etj.) është grepi me të cilin njeri i arsyeshëm fiksohet (përcaktohet) në botën e rrëshqitshme e të paqartë që e rrethon. Dhe një grep, siç e dini, është një mjet mjaft i papërpunuar, shpesh duke prishur atë që ngjitet. Termat që përfaqësojnë grupe të paqarta - "shumë", "pak", "pak", etj. etj., - është e vështirë ta “mbushësh” në kompjuter edhe sepse ata në varësi të kontekstit. Është një gjë t'i thuash "Më jep disa fara" një personi që ka një gotë fara, dhe një gjë tjetër t'i thuash një personi që ulet pas timonit të një kamioni me fara.

Nëngrupi fuzzy A grupe X karakterizohet nga funksioni i anëtarësimit m A:X→, i cili cakton çdo element xÎ X numri m A(x) nga intervali që karakterizon shkallën e anëtarësimit të elementit X nëngrup A. Për më tepër, 0 dhe 1 përfaqësojnë, përkatësisht, më të ulëtin dhe shkallën më të lartë përkatësia e një elementi në një nëngrup specifik.

Le të japim përkufizimet bazë.

· Vlera sup m A(x) thirrur lartësia grup fuzzy A. Komplet fuzzy A Mirë , nëse lartësia e tij është 1 , d.m.th. kufiri i sipërm i funksionit të anëtarësimit të tij është 1. Kur hahet mA(x)<1 grup fuzzy quhet nënnormale.

Një grup fuzzy quhet bosh, nëse funksioni i tij i anëtarësimit është i barabartë me zero në të gjithë grupin X, d.m.th. m 0 (x)= 0 " xÎ X.

Komplet fuzzy bosh , Nëse " xÎ E m A ( x)=0 . Një grup nënnormal jo i zbrazët mund të normalizohet nga formula

(Fig. 1).

Fig.1. Normalizimi i një grupi fuzzy me një funksion anëtarësimi. .

Transportuesi grup fuzzy A(emërtimi supp A) me funksion anëtarësimi m A(x) quhet një grup i formës suppA={x|xÎ X, m A(x)> 0). Për aplikime praktike bartësit e grupeve fuzzy janë gjithmonë të kufizuar. Kështu, bartësi i një grupi fuzzy të mënyrave të pranueshme për një sistem mund të jetë një nëngrup i qartë (interval), për të cilin shkalla e pranueshmërisë nuk është e barabartë me zero (Fig. 2).

Oriz. 3. Bërthama, bartës dhe α- seksion i një grupi fuzzy

Kuptimi α thirrur α - niveli. Transportuesi (kerneli) mund të konsiderohet si një seksion i një grupi fuzzy në zero (njësi) α - niveli.

Oriz. 3 ilustron përkufizimet bartës, bërthamë,α - seksionet dheα - niveli grup fuzzy.