Ndërtimi i funksionit të anëtarësimit të një grupi fuzzy. Komplete fuzzy

Funksioni i anëtarësimit μ A (x) ∈ cakton çdo numër

x ∈ X është një numër nga intervali që karakterizon shkallën e anëtarësimit të zgjidhjes në nëngrupin A.

Ato. kjo është një masë subjektive joprobabilistike e paqartësisë, e përcaktuar si rezultat i një anketimi të ekspertëve për shkallën e korrespondencës së elementit x me konceptin e formalizuar nga grupi fuzzy A. Në ndryshim nga masa probabilistike, e cila është një vlerësim i pasiguria stokastike, që merret me paqartësinë e shfaqjes së ndonjë ngjarjeje në momente të ndryshme koha, masa fuzzy është një vlerësim numerik i pasigurisë gjuhësore që lidhet me paqartësinë dhe paqartësinë e kategorive të të menduarit njerëzor. Kur ndërtohet një funksion anëtarësimi μ A (x), çdo grup fuzzy A shoqërohet me një veti, veçori ose atribut të caktuar që karakterizon një grup të caktuar objektesh X. Sa më shumë që një objekt specifik x ∈ X ta ketë këtë veti, aq më afër 1. vlerën përkatëse μ A(x). Nëse një element x ∈ X e ka patjetër këtë veti, atëherë μ A (x)=1, por nëse x ∈ X definitivisht nuk e ka këtë veti, atëherë μ A (x)=0.

Llojet kryesore të funksioneve të anëtarësimit

Në praktikë, është e përshtatshme të përdoren ato funksione të anëtarësimit që lejojnë paraqitjen analitike në formën e një funksioni të thjeshtë matematikor.

1. Pjesë lineare,

përdoret për të specifikuar pasiguritë e llojit: "përafërsisht e barabartë", "vlera mesatare", "e vendosur në interval", "e ngjashme me një objekt", "e ngjashme me një objekt" etj.

Trekëndësh trimf

Trapezoidale trapmf

2. në formë S-je,

përdoret për të specifikuar pasiguritë si: " nje numer i madh i”, “vlerë e madhe”, “vlerë e rëndësishme”, “nivel i lartë” etj.

S-vijza kuadratike smf

3. Z- në formë,

përdoret për të specifikuar pasiguri të tilla si "sasi e vogël", "vlera e vogël e e", "vlera e parëndësishme", "niveli i ulët", etj.

kuadratikeZ- spline zmf

4. Në formë U-je,

përdoret për të specifikuar pasiguritë e llojit: "përafërsisht brenda intervalit nga dhe në", "përafërsisht e barabartë", "rreth", etj.

Ky lloj i funksionit të anëtarësimit përfshin gjithë klasën kthesa që i ngjajnë një zile, një trapezi të rrafshuar ose shkronjës "P" në formë.

Në formë zile gbellmf

a është koeficienti i përqendrimit të funksionit të anëtarësimit; b – koeficienti i pjerrësisë së funksionit të anëtarësimit; c – koordinata e maksimumit të funksionit të anëtarësimit.

Gausian gaussmf

a – koordinon maksimumin e funksionit të anëtarësimit; b – koeficienti i përqendrimit të funksionit të anëtarësimit.

Metodat për ndërtimin e funksioneve të anëtarësimit

Direkte dhe indirekte

Në varësi të numrit të ekspertëve të përfshirë në anketë, metodat direkte dhe indirekte ndahen në beqare Dhe grup.

Direkt

Në metodat e drejtpërdrejta, një ekspert ose një grup ekspertësh thjesht vendos për secilën

x ∈ X është vlera e funksionit të anëtarësimit μ A (x).

Si rregull, metodat e drejtpërdrejta për ndërtimin e funksioneve të anëtarësimit përdoren për vetitë që mund të maten në një shkallë të caktuar sasiore. Për shembull, sasi të tilla fizike si shpejtësia, koha, distanca, presioni, temperatura dhe të tjera kanë njësi dhe standarde përkatëse për matjen e tyre.

Kur ndërtohen drejtpërdrejt funksionet e anëtarësimit, duhet të merret parasysh se teoria e grupeve fuzzy nuk kërkon një specifikim absolutisht të saktë të funksioneve të anëtarësimit. Shpesh është e mjaftueshme për të regjistruar vetëm më vlerat karakteristike dhe llojin e funksionit të anëtarësimit.

Kështu, për shembull, nëse është e nevojshme të ndërtohet një grup fuzzy që përfaqëson vetinë "shpejtësia e makinës është afërsisht 50 km/h", në fazën fillestare mund të jetë e mjaftueshme të përfaqësohet grupi fuzzy përkatës si një funksion anëtarësimi trekëndor me parametra. a = 40 km/h, b = 60 km/h dhe s = 50 km/h. Më pas, funksioni i anëtarësimit mund të rafinohet eksperimentalisht bazuar në një analizë të rezultateve të zgjidhjes së problemeve specifike.

Procesi i ndërtimit ose specifikimit të një grupi fuzzy bazuar në disa vlera të njohura sasiore të një atributi të matshëm ka marrë madje një emër të veçantë - fuzzification ose reduktim në fuzziness. Çështja është se edhe pse ndonjëherë ne dimë një vlerë të një sasie të matshme, ne njohim faktin që kjo vlerë njihet në mënyrë të pasaktë, ndoshta me një gabim ose gabim i rastësishëm. Për më tepër, sa më pak të sigurt të jemi në saktësinë e matjes së një veçorie, aq më i madh do të jetë intervali i bartësit të grupit fuzzy përkatës. Duhet mbajtur mend se në shumicën e rasteve praktike, saktësia absolute e matjes është vetëm një abstraksion i përshtatshëm për ndërtimin e modeleve matematikore. Është për këtë arsye që fuzzifikimi na lejon të përfaqësojmë në mënyrë më adekuate pasaktësinë e pranishme objektive të rezultateve të matjeve fizike.

Metoda e frekuencës relative (grupi i drejtpërdrejtë)

Le të ketë m ekspertët, n 1 prej të cilave përgjigjet pozitivisht në pyetjen nëse një element x ∈ X i përket një grupi fuzzy A. Një pjesë tjetër e ekspertëve n 2 = m – n 1 i përgjigjet kësaj pyetjeje në mënyrë negative. Atëherë pranohet μ A (x) = n 1 / (n 1 + n 2) = n 1/m.

Shembull. Le të shqyrtojmë grupin fuzzy A që korrespondon me konceptin e "normës mesatare pozitive të ndryshimit të temperaturës". Objekti x – shkalla e ndryshimit të temperaturës. Ekspertëve u paraqiten vlera të ndryshme për shkallën e ndryshimit të temperaturës x dhe secili prej tyre pyetet nëse eksperti beson se kjo shkallë e ndryshimit të temperaturës x është një mesatare pozitive. Rezultatet e anketës janë të përmbledhura në tabelë.

Si një paraqitje e vazhdueshme e kësaj ndryshoreje fuzzy, ju mund të përdorni Gaussian PT gaussmf me maksimumin e funksionit të anëtarësimit a=5 dhe koeficientin e përqendrimit të funksionit të anëtarësimit b=1.7:

μ(x) = exp [ – (x–5) 2 / 2*1,7 2 ]

indirekte

Ato përdoren për zgjidhjen e problemeve për të cilat nuk mund të maten vetitë e madhësive fizike. Më e zakonshme në mesin e metodat indirekte mori metodën e krahasimeve në çift.

Metoda e krahasimit të çiftëzuar

Intensiteti i anëtarësimit përcaktohet në bazë të krahasimeve në çift të elementeve në shqyrtim.

Për çdo çift elementësh të grupit universal, eksperti vlerëson avantazhin e një elementi mbi tjetrin në lidhje me pronën grup fuzzy. Është i përshtatshëm për të paraqitur krahasime në çift me matricën e mëposhtme:

,

ku është niveli i avantazhit të elementit (), i përcaktuar në shkallën Saaty me nëntë pikë:

1 - nëse elementi nuk ka përparësi ndaj elementit;

3 - nëse ka një avantazh të dobët ndaj;

5 - nëse ka një avantazh të rëndësishëm ndaj;

7 - nëse ka një avantazh të qartë mbi;

9 - nëse ka një avantazh absolut ndaj;

2, 4, 6, 8 - vlerësime të ndërmjetme krahasuese.

Shembull.Ndërtoni funksionin e anëtarësimit të një grupi fuzzy " një burrë i gjatë" në grupin universal (170, 175, 180, 185, 190, 195), nëse dihen krahasimet e mëposhtme të ekspertëve në çift:

avantazh absolut 195 ndaj 170;

avantazh i qartë prej 195 ndaj 175;

avantazh i rëndësishëm prej 195 mbi 180;

avantazh i lehtë 195 ndaj 185;

nuk ka asnjë avantazh prej 195 ndaj 190.

Deklaratat e dhëna të ekspertëve korrespondojnë me matricën e mëposhtme të krahasimeve të çiftuara:

Nëse mendimet e ekspertit janë të qëndrueshme, matrica e krahasimit të çiftëzuar ka këto karakteristika:

është diagonale, pra a ii =1 ‚ i=1..n ;

është anasjelltas simetrike, pra elementet simetrike në lidhje me diagonalen kryesore lidhen me varësinë a ij =1/a ji , i,j=1..n ;

është kalimtare‚ pra a ik a kj =a ij , i,j,k=1..n .

Prania e këtyre vetive na lejon të përcaktojmë të gjithë elementët e matricës së krahasimit në çift:

Pas përcaktimit të të gjithë elementëve të matricës së krahasimit në çift, shkallët e anëtarësimit të grupit fuzzy llogariten duke përdorur formulën:

Për të normalizuar një grup fuzzy, ne ndajmë të gjitha shkallët e anëtarësimit në vlera maksimale, d.m.th. në 0.3588.

Gjatë zgjidhjes së problemeve, hasim situata kur një element në një farë mase i përket një grupi të caktuar. Për shembull, përcaktohen shumë sasi të vogla. Kush mund të thotë saktësisht se nga cila vlerë mund të konsiderohet një sasi e vogël? Nuk ka një përgjigje të qartë për këtë pyetje. Prandaj, një nga mënyrat përshkrimi matematik i një grupi fuzzy është përcaktimi i shkallës së anëtarësimit të një elementi në një grup fuzzy. Shkalla e anëtarësimit përcaktohet nga një numër nga intervali. Kufijtë e intervalit - 0, 1, do të thotë, përkatësisht, "nuk i përket" dhe "i përket". Insekt. Përkatësia e 1 elementit x shumë A të shkruara në formë formale xÎA. Kjo hyrje mund të përfaqësohet si një funksion karakteristik:

Anëtarësimi në një grup mund të paraqitet grafikisht. Për shembull, në një dimension hapësirë ​​aritmetike R jepen dy grupe AÎ R Dhe BÎ R . Përkatësia xÎA mund të paraqitet si një drejtkëndësh P A, treguar në Fig. 2.1, dhe përkatësia xÎB- në formën e një drejtkëndëshi P V, treguar në Fig. 2.2. Përkatësia x bashkimi i grupeve xОАХВ përfaqësohet nga një drejtkëndësh P A Ç V, treguar në Fig. 2.3. I përket një grupi dydimensional do të përfaqësohet nga një paralelipiped in hapësirë ​​tredimensionale, dhe përkatësinë n– grup dimensional – ( n+1)-dimensionale parallelepiped.

Oriz. 2.1 Fig. 2.2

Nëngrupi fuzzy A grupe X quhet grupi i dysheve. Funksioni m A, e cila është një pasqyrim i elementeve xÎX në elementet e grupit (m a:X®), quhet funksioni i anëtarësimit në grup fuzzy, dhe X- grup bazë.

Kuptimi specifik mA(x), specifikuar për elementin x, quhet shkalla e anëtarësimit të një elementi x në një bashkësi fuzzy. Bartësi i një grupi fuzzy është një nëngrup ÎX, që përmban ato elemente xÎX, për të cilin vlera e funksionit të anëtarësimit Mbi zero.

Shembull. Le X- një tufë me numrat natyrorë X=(1,2,3, ...,x maksimum), synon të përcaktojë çmimin e produktit. Nëngrupi fuzzy "çmimi i vogël" mund të specifikohet në formën e mëposhtme:

={<1/1>,<0,9/2>,<0,8/3>,<0,7/4>,<0,6/5>,<0,5/6>,<0,4/7>,<0,3/8>,

<0,2/9>,<0,1/10>,<0/11>,...,<0/x max >}.

Përkatësia e vlerave të çmimeve në nëngrupin fuzzy "çmim i vogël" është paraqitur në Fig. 2.4.

Nëse kemi parasysh grupin X Si grup i vazhdueshëm numrat natyrorë, atëherë vlerat e çmimeve që i përkasin nëngrupit fuzzy "çmimi i vogël" do të kenë formën e një funksioni të vazhdueshëm, siç tregohet në Fig. 2.5. Le të shohim pronat grupe të paqarta.

Lartësia (lartësia - hgt) e një grupi fuzzy: .

Komplet fuzzy me hgtA=1 quhet normale, dhe kur hgtA<1 - nënnormale. Bërthama (bërthama, bërthama, bërthama) ose qendra e një grupi fuzzy: bërthamë =(xÎX/m A (x)=1). Themelimi (mbështetje – supp) i një grupi fuzzy: supp =(xÎX/m A (x)>1). Pika e kryqëzimit të një grupi fuzzy është një koleksion bërthama (xÎX/m A (x)=0,5). Niveli a, ose a– prerja (seksioni) i një grupi fuzzy: a=(xÎX/m A (x)³a). a- një prerje e një grupi fuzzy shënohet gjithashtu me: a-prerje. E rreptë a– prerje e një grupi fuzzy: a=(xÎX/m A (x)>a). Komplet konveks fuzzy: "x 1 ,x 2 ,x 3 OX:x 1 £x 2 £x 3 ®m A (x 2)³min(m A (x 1),m A (x 3)). Nëse pabarazia nuk qëndron, grupi fuzzy quhet jo-konveks. Në Fig. Figura 2.6 ofron një ilustrim të vetive të mësipërme.

Pamje e veçuar grup fuzzy Aështë një numër fuzzy (single fuzzy) nëse plotësohen kushtet e mëposhtme: Aështë konveks, lartësia është normale ( hgt A=1), m A (x)është funksion i vazhdueshëm pjesë-pjesë, bërthama ose qendra e një grupi A (bërthama A) përmban një pikë. Shembull i përkatësisë x numri fuzzy "afërsisht 5" është paraqitur në Fig. 2.7.

Një lloj tjetër i grupit fuzzy është specifikimi i disa variablave në formën e një intervali fuzzy. Përkufizimi dihet.

Një interval fuzzy është një sasi konveks fuzzy A, funksioni i anëtarësimit të të cilit është pothuajse konkav, kështu që

"u,v, "wÎ, m A (w)³min(m A (u), m A (v)), u,v,wÎX.

Atëherë numri fuzzy është një interval fuzzy i sipërm gjysmë i vazhdueshëm me mbështetje kompakte dhe një vlerë të vetme modale. Specifikimi i parametrave të një problemi në formën e një intervali fuzzy është një formë shumë e përshtatshme për formalizimin e sasive të pasakta. Intervali i zakonshëm është shpesh një paraqitje e pakënaqshme sepse... kufijtë e saj duhet të rregullohen. Vlerësimet mund të mbivlerësohen ose nënvlerësohen, gjë që do të hedhë dyshime mbi rezultatet e llogaritjes. Vendosja e parametrave të detyrës në formën e një intervali fuzzy do të mbivlerësohet dhe nënvlerësohet, dhe transportuesi ( grup bazë) i intervalit fuzzy do të zgjidhet në mënyrë që kerneli të përmbajë vlerat më të besueshme dhe do të garantohet që parametri në fjalë të jetë brenda kufijve të kërkuar.

Përcaktimi i intervaleve fuzzy mund të bëhet nga ekspertët si më poshtë. Intervali fuzzy specifikohet nga katër parametra M=() (shih Fig. 2.8), ku dhe janë përkatësisht pjesa e poshtme dhe e sipërme vlerat modale interval fuzzy, dhe a Dhe b përfaqësojnë koeficientin e paqartësisë së majtë dhe të djathtë. Vendosja e një intervali fuzzy mund të bëhet në mënyrat e mëposhtme.

Opsioni 1. Vlerat modale të poshtme dhe të sipërme të intervalit janë të njëjta, dhe a dhe b janë të barabarta me zero. Vlera e x përcaktohet me pasiguri e barabartë me zero. Për të përcaktuar një ndryshore hyrëse fuzzy në grupin X, ne përcaktojmë zyrtarisht një interval fuzzy =(x min =x, x m ax =x,0,0), ku x imin është vlera më e ulët modale dhe x m ax është modali i sipërm vlerë.

Një caktim i qartë i x në një grup vlerash të X, siç tregohet në Fig. 2.9 është një rast i veçantë i specifikimit të një intervali fuzzy, dhe m A (x) është vlera e shkallës së anëtarësimit në interval.

Opsioni 2. Detyra x përcaktohet me pasiguri të ndryshme nga zero. Një shembull është paraqitur në Fig. 2.10. Intervali fuzzy definohet si =(x min, x m sëpatë =x min,0,b), ato. vlerat modale të sipërme dhe të poshtme të intervalit përkojnë.

Oriz. 2.9 Fig. 2.10

Opsioni 3. Detyra x mund të merret nga intervali [A,B]. Një shembull është paraqitur në Fig. 2.11. Shkalla e anëtarësimit është e barabartë me një, dhe =(A=x min ,B=x m sëpatë ,0,0), Ku A– vlera më e ulët modale (vlera minimale e mundshme e variablës hyrëse x), NË– vlera e sipërme modale (vlera maksimale e ndryshores hyrëse x.

Opsioni 4. Vlera e ndryshores hyrëse x i mund të merret nga një sërë vlerash [A,C] [A,B] (A £ B£ C). Formalisht, intervali fuzzy përcaktohet si = (A=x min ,B=x max ,0,b). Një shembull i një detyre është paraqitur në Fig. 2.12, ku b=N-E.

Opsioni 5. Vlera e ndryshores hyrëse qi mund të përcaktohen nga ekspertë nga diapazoni i vlerave [A,D] në mënyrë të tillë që në interval [B,C] pasiguria e marrjes është e barabartë me një (A £ B£ C£ D). Formalisht, intervali fuzzy në këtë rast përcaktohet si = (B=x min,C=x max,a,b). Një shembull i specifikimit të një intervali fuzzy është paraqitur në Fig. 2.13, ku a=B-A, b=D-C.

Le të shqyrtojmë operacionet në intervale fuzzy.

Oriz. 2.11 Fig. 2.12

Operacioni i përmbledhjes fuzzy për intervalet fuzzy përcaktohet si më poshtë. Shuma e dy intervaleve fuzzy M i =() dhe M j =(), shkruar në formë M i M j, ekziston edhe një interval fuzzy M i M j =, Ku a=a i + a j ; b=b i + b j ;, . Shuma n intervalet e paqarta përcaktohen nga formula:

.

Nese nje , ku dhe janë intervale konvekse, atëherë , dhe është një grup intervalesh, i cili përcaktohet nga formulat e mëparshme.

Operacioni i diferencës së intervaleve fuzzy përcaktohet si më poshtë. Dallimi fuzzy i dy intervaleve fuzzy është një interval trapezoid për të cilin c=|a-h|, d=|b-l|,, , ku janë, përkatësisht, vlerat modale më të ulëta të intervaleve fuzzy, dhe janë vlerat e sipërme modale të intervaleve fuzzy.

Vendimmarrja shoqërohet me krahasime të intervalit fuzzy që rezulton ose nga ekspertët ose sipas të dhënave të modelimit me një numër real. Operacioni i krahasimit të një intervali fuzzy dhe një numri real kryhet si më poshtë.

Numri real A përfaqësojnë atë si një interval (A,A,0,0). Përkufizimi i më pak ose vlerë më të madhe intervali fuzzy në lidhje me një numër real A prodhuar sipas formulave:

A, Nëse |A-()|£|A-()| Dhe Një £;

A, Nëse |A-()|³|A-()| Dhe A³ .

Për intervalet fuzzy ekziston një operacion i produktit dhe i ndarjes. Produkti i dy intervaleve fuzzy përcaktohet në formën e një intervali trapezoidal, parametrat e të cilit përcaktohen nga formula:

c=ah, d=bl, ; .

Këto rregulla për shumëzimin e dy intervaleve fuzzy në varësi të shenjave të numrave, , , marrin formën:

Nese atehere ;

Nese atehere ;

Nese atehere ;

Nese atehere ;

Nese atehere ;

Nese atehere ;

Nese atehere ;

Nese atehere ;

Nëse , Kjo .

Le të shqyrtojmë operacionin e ndarjes. Ndarja e dy intervaleve fuzzy do të japë një interval trapezoid, parametrat e të cilit përcaktohen si më poshtë:

c=ah, d=bl, ; ,

dhe në varësi të shenjave të numrave , , , këtë rregull për të ndarë dy intervale fuzzy do të duket kështu:

Nese atehere ;

Nese atehere ;

Nese atehere ;

Nese atehere ;

Nese atehere ;

Nese atehere ;

Nese atehere ;

Nese atehere ;

Nëse , Kjo .

Funksionet e anëtarësimit

Funksionet e anëtarësimit janë një koncept subjektiv, sepse ato përcaktohen nga njerëzit (ekspertët) dhe secili jep vlerësimin e tij. ekzistojnë metoda të ndryshme caktimi i funksioneve të anëtarësimit.

Ne do të supozojmë se funksioni i anëtarësimit është një matje subjektive e pabesueshme e paqartësisë dhe se ai ndryshon nga masa e probabilitetit, d.m.th. shkalla e anëtarësimit mA(x) element x grupi fuzzy është një masë subjektive e sasisë së një elementi xÎX korrespondon me një koncept, kuptimi i të cilit zyrtarizohet nga një grup fuzzy.

Niveli i përputhjes së elementeve x koncepti, i formalizuar nga një grup fuzzy, përcaktohet nga një sondazh i ekspertëve dhe përfaqëson një masë subjektive.

Ekzistojnë dy klasa metodash për ndërtimin e funksioneve të anëtarësimit të grupeve: direkte dhe indirekte.

2.2.1. Metodat e drejtpërdrejta të ndërtimit. Metodat direkte për ndërtimin e funksioneve të anëtarësimit janë ato metoda në të cilat shkallët e anëtarësimit të elementeve x grupe X vendosen drejtpërdrejt ose nga një ekspert ose nga një ekip ekspertësh. Metodat direkte ndahen në metoda direkte për një ekspert dhe për një grup ekspertësh, në varësi të numrit të ekspertëve.

Metoda e drejtpërdrejtë për një ekspert është që një ekspert për çdo element xÎX ndeshjet një shkallë të caktuar aksesorë mA(x), e cila, sipas mendimit të tij, menyra me e mireështë në përputhje me interpretimin semantik të grupit.

Aplikacion metoda të thjeshta për një grup ekspertësh ju lejon të integroni mendimet e të gjithë ekspertëve dhe të ndërtoni një grafik të korrespondencës midis elementeve nga një grup X. Procedura e mëposhtme për ndërtimin e funksionit të anëtarësimit është e mundur mA(x).

Ekspertët që përbëjnë grupin e m njeriu që bën një pyetje në lidhje me pronësinë e një elementi xÎX grup fuzzy. Lëreni pjesën e ekspertëve që përbëhet nga n 1 personi iu përgjigj pozitivisht pyetjes, kurse pjesa tjetër e ekspertëve n 2 =m-n 1 u përgjigj negativisht. Më pas vendoset që m A (x)=n 1 /m.

Në më shumë rast i përgjithshëm vlerësimet e ekspertëve krahasohen me koeficientët e peshimit a i О. Shanset a i pasqyrojnë shkallën e kompetencës së ekspertëve. Do të përcaktohet shkalla e anëtarësimit të një elementi x në një grup fuzzy

Ku p i =1 nëse përgjigja është pozitive dhe p i =0 nëse përgjigja e ekspertit është negative.

Disavantazhet e metodave direkte janë subjektiviteti i tyre i qenësishëm sepse Është natyra njerëzore të bëjë gabime.

2.2.2. Metodat indirekte për ndërtimin e funksioneve të anëtarësimit. Metodat indirekte për ndërtimin e funksioneve të anëtarësimit janë ato metoda në të cilat arrihet një reduktim i ndikimit subjektiv për shkak të ndarjes detyrë e përbashkët përcaktimi i shkallës së anëtarësimit mA(x), xÎX në një numër nën-detyrash më të thjeshta. Një nga metodat indirekte është metoda e krahasimeve të çiftëzuara. Le të shqyrtojmë thelbin e saj.

Bazuar në përgjigjet e ekspertëve, ndërtohet një matricë e krahasimeve në çift M=½½ m ij ½½, në të cilën elementet m ij paraqesin vlerësime të intensitetit të anëtarësimit të elementeve x i OX nënbashkësi kundrejt elementeve x j ОX. Funksioni i anëtarësimit m a (x) përcaktuar nga matrica M. Le të supozojmë se vlerat e funksionit të anëtarësimit janë të njohura mA(x) për të gjitha vlerat xÎХ. Le m A (x)=r i , Pastaj përcaktohen krahasimet në çift m ij =r i /r j. Nëse raportet janë të sakta, atëherë raporti është forma matrice MR=n*R, Ku R=(r 1 ,r 2 ,...,r n), n- eigenvalue e matricës M, nga e cila është rindërtuar vektori R duke marrë parasysh kushtin Vektor empirik R ka një zgjidhje për problemin e eigenvalue M*R=l max, Ku lmax- kuptimi më i duhur. Problemi zbret në gjetjen e vektorit R, e cila plotëson ekuacionin

M*R=l max *R. (2.1)

Ky ekuacion ka vetëm vendim. Koordinoni vlerat vetvektor, që korrespondon me maksimumin eigenvalue lmax, pjesëtuar me shumën e tyre, do të jenë shkallët e kërkuara të anëtarësimit. Konceptet që u propozohen ekspertëve, si dhe përputhja e këtyre koncepteve me sasitë m ij, janë dhënë në tabelën 2.1.

Tabela 2.1

Ekspertët janë anketuar se sa është, sipas tyre, vlera m A (x i) tejkalon vlerën m A (x i), d.m.th. sa element x i më domethënëse për konceptin e përshkruar nga grupi fuzzy sesa elementi x j. Sondazhi do t'ju lejojë të ndërtoni një matricë krahasimesh në çift, e cila ka formën

Përkufizimi i elementit r i ОR ndodh si më poshtë. Shuma e secilit j kolona e matricës M. Nga ndërtimi i matricës M vijon se Nga kjo rrjedh se r i =1/k i .

Duke përcaktuar të gjitha sasitë k j, marrim vlerat e elementeve vektoriale R. Bazuar në faktin se matrica M, si rregull, është ndërtuar në mënyrë të pasaktë, vektori i gjetur R përdoret si fillestar në metodë përsëritëse zgjidhjet e ekuacionit (2.1).

2.2.3. Llojet e funksioneve të anëtarësimit. Më sipër u përcaktua se funksionet e anëtarësimit mund të kenë një formë trapezoidale (shih Fig. 2.7). pamje trekëndore(shih Fig. 2.7). Funksionet e anëtarësimit mund të kenë edhe një formë zile (Fig. 2.14).

Për formën në formë zile, funksioni i anëtarësimit përcaktohet nga

,

Ku m- një numër i dhënë, d- tregues i paqartësisë.

Për një pamje trapezoidale, funksioni i anëtarësimit përcaktohet nga shprehja: m A (x)=min(max(a-k|x-b|;0);1), Ku a, b - numrat e dhënë, k- tregues i paqartësisë.

Kur zgjidhni problemet e kontrollit fuzzy, mund të përdoren funksione të tjera:

m A (x)=e -kx, x>0; m A (x)=1-a x, 0£x£a -1/k; m A (x)=(1+kx 2) -1, k>1.

Komplet fuzzy me funksion anëtarësimi njëdimensional mA(x) zakonisht quhet grup fuzzy i llojit të parë.

ekzistojnë grupe fuzzy të llojit të dytë, për të cilin funksioni i anëtarësimit është: .

Komplet fuzzy dy-dimensionale A përcaktuar si më poshtë: A=(A 1 'A 2: m A (x 1 , x 2)), Ku A 1 'A 2- Produkt kartezian, m A (x 1,x 2)=min(a-k 1 |x 1 -b| - k 2 |x 2 -c|; (x 1 =0, x 2 =0));- funksioni dydimensional i anëtarësimit trapezoid, në të cilin: a, b, c - numrat e dhënë, k 1, k 2- treguesit e paqartësisë. Një shembull i specifikimit të një funksioni dydimensional të anëtarësimit trapezoid është paraqitur në Fig. 2.15.

Funksioni 2D Aksesori në formë zile përcaktohet nga formula:

Ku m 1, m 2- numrat e dhënë, d 1, d 2- treguesit e paqartësisë.

Logic Fuzzy Kutia e veglave përfshin 11 funksione shtesë të integruara që përdorin funksionet bazë të mëposhtme:

• pjesë-pjesë lineare;
• Shpërndarja Gaussian;
• kurba sigmoide;
• kurba kuadratike dhe kubike.

Për lehtësi, emrat e të gjitha funksioneve të integruara të anëtarësimit përfundojnë me mf. Funksioni i anëtarësimit quhet si më poshtë:

namemf (x, params),

Ku emërmf– emrin e funksionit të anëtarësimit;
x- vektor për koordinatat e të cilit është e nevojshme të llogariten vlerat e funksionit të anëtarësimit;
paramat– vektori i parametrave të funksionit të anëtarësimit.

Funksionet më të thjeshta të anëtarësimit janë trekëndësh ( trimf) dhe trapezoidale ( trapmf) është formuar duke përdorur përafrim linear pjesë-pjesë. Funksioni i anëtarësimit trapezoid është një përgjithësim i atij trekëndor, ai ju lejon të specifikoni thelbin e një grupi fuzzy në formën e një intervali. Në rastin e një funksioni të anëtarësimit trapezoid, është i mundur interpretimi i përshtatshëm i mëposhtëm: bërthama e një grupi fuzzy është një vlerësim optimist; bartësi i një grupi fuzzy është një vlerësim pesimist.

Dy funksione anëtarësimi - Gaussian simetrik ( gaussmf) dhe Gaussian i dyanshëm ( gaussmf) është formuar duke përdorur një shpërndarje Gaussian. gaussmf Funksioni gbellmf ju lejon të specifikoni funksionet asimetrike të anëtarësimit. Funksioni i përgjithësuar i anëtarësimit në formë zile () janë të ngjashme në formë me ato Gaussian. Këto funksione anëtarësimi përdoren shpesh në

sistemet fuzzy , pasi në të gjithë domenin e përkufizimit ato janë të lëmuara dhe marrin vlera jo zero.,Funksionet e anëtarësimit, sigmf dsigmf

psigmf bazohen në përdorimin e një lakore sigmoide. Këto funksione ju lejojnë të gjeneroni funksione anëtarësimi, vlerat e të cilave duke filluar nga një vlerë e caktuar argumenti dhe deri në + (-) janë të barabarta me 1. Funksione të tilla janë të përshtatshme për të specifikuar termat gjuhësorë të llojit "të lartë" ose "të ulët". Dhe smf, Përafrimi polinom përdoret kur gjenerohen funksione zmf, pimf , pasi në të gjithë domenin e përkufizimit ato janë të lëmuara dhe marrin vlera jo zero.,imazhe grafike, sigmf të cilat janë të ngjashme me funksionet

dsigmf , respektivisht. Informacioni bazë rreth funksioneve të integruara të anëtarësimit është përmbledhur në Tabelën. 6.1. Në Fig. 6.1 tregon paraqitjet grafike të funksioneve të anëtarësimit të marra duke përdorur skriptin demo

mfdemo . Siç mund të shihet nga figura, funksionet e integruara të anëtarësimit ju lejojnë të specifikoni një sërë grupesh fuzzy. NË Fuzzy Logic Toolboxështë e mundur që përdoruesi të krijojë m funksionin e vet m aksesorë. Për ta bërë këtë ju duhet të krijoni :

-funksioni që përmban dy argumente hyrëse - një vektor për koordinatat e të cilit është e nevojshme të llogariten vlerat e funksionit të anëtarësimit dhe një vektor i parametrave të funksionit të anëtarësimit. Argumenti dalës i funksionit duhet të jetë një vektor i shkallëve të anëtarësimit. Më poshtë është
-funksioni që zbaton funksionin e anëtarësimit në formë zile
funksioni mu=bellmf(x, params)
%bellmf – funksioni i anëtarësimit në zile;
%x – vektor i hyrjes;
%params(1) – koeficienti i përqendrimit (>0);
%params(2) – koordinata e maksimumit.
a=params(1);

b=params(2);

mu=1./(1+ ((x-b)/a).^2);

Komplet fuzzy- koncept kyç logjikë e paqartë. Le E- set universal, X- element E, a R është disa veti. Nëngrup i rregullt (i freskët). A set universal E, elementet e të cilit kënaqin vetinë R përkufizohet si bashkësi çiftesh të renditura

A = (μA(x) / x},

Ku μ A (x) —funksioni karakteristik, duke marrë vlerën 1 nëse X plotëson vetinë R, dhe 0 ndryshe.

Nëngrupi Fuzzy është i ndryshëm nga tema të rregullta, që është për elementet X nga E nuk ka një përgjigje të qartë po-jo në lidhje me vetinë R. Në këtë drejtim, nëngrupi fuzzy A set universal E përkufizohet si bashkësia e çifteve të renditura

A = (μA(x) / x},

Ku μ A (x) — funksioni karakteristik i anëtarësimit(ose thjesht funksioni i anëtarësimit), duke marrë vlera në një grup të porositur plotësisht M(Për shembull, M = ).

Funksioni i anëtarësimit tregon shkallën (ose nivelin) e anëtarësimit të një elementi X nëngrup A. Një tufë me M quhet një grup aksesorësh. Nëse M= (0, 1), pastaj nëngrupi fuzzy A mund të konsiderohet si një grup i zakonshëm ose i freskët.

Shembuj të shkrimit të një grupi fuzzy

Le E = {x 1 , x 2 , x z,x 4 , x 5), M = ; Aështë një grup fuzzy për të cilin μ A ( x 1 )= 0.3; μ A ( x 2)= 0; μ A ( X 3) = 1; μ A (x 4) = 0,5; μ A ( x 5)= 0,9.

Pastaj A mund të paraqitet në formë

A ={0,3/x 1 ; 0/X 2 ; 1/X 3 ; 0,5/X 4 ; 0,9/X 5 } ,

ose

A={0,3/x 1 +0/X 2 +1/X 3 +0,5/X 4 +0,9/X 5 },

ose

Koment. Këtu shenja "+" nuk tregon veprimin e shtimit, por ka kuptimin e bashkimit.

Karakteristikat themelore të grupeve fuzzy

Le M= dhe A— grup fuzzy me elemente nga grupi universal E dhe shumë aksesorë M.

Sasia quhet lartësia grup fuzzy A. Komplet fuzzy është në rregull nëse lartësia e tij është 1, d.m.th. kufiri i sipërm funksioni i tij i anëtarësimit është 1 (= 1). Në< 1нечеткое множество называется nënnormale.

Komplet fuzzy bosh, nëse ∀ xϵ E μ A ( x) = 0. Një grup nënnormal jo bosh mund të normalizohet duke përdorur formulën

Komplet fuzzy unimodal, Nëse μ A ( x) = 1 për vetëm një X nga E.

. Transportuesi grup fuzzy Aështë një nëngrup i zakonshëm me pronën μ A ( x)>0, d.m.th. transportuesi A = {x/x ϵ E, μ A ( x)>0}.

Elementet xϵ E, per cilin μ A ( x) = 0,5 , quhen pikat e tranzicionit grupe A.

Shembuj të grupeve fuzzy

1. Le E = {0, 1, 2, . . ., 10}, M =. Komplet fuzzy"Disa" mund të përkufizohen si më poshtë:

"Disa" = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; karakteristikat e tij:lartësia = 1, bartëse = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, pikat e tranzicionit — {3, 8}.

2. Le E = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). Grupi fuzzy "Small" mund të përcaktohet:

3. Le E= (1, 2, 3,..., 100) dhe korrespondon me konceptin "Mosha", atëherë grupi fuzzy "I ri" mund të përcaktohet duke përdorur

Kompleti fuzzy "Young" në setin universal E"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) është specifikuar duke përdorur funksionin e anëtarësimit μ i ri ( x) në E =(1, 2, 3, ..., 100) (mosha), e quajtur në lidhje me E" funksioni i përputhshmërisë, me:

Ku X- Mosha e SIDOROV.

4. Le E= (ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES,...) - një grup markash makinash, dhe E"= është grupi universal "Kosto", pastaj aktivizohet E" ne mund të përcaktojmë grupe fuzzy të tipit:

Oriz. 1.1. Shembuj të funksioneve të anëtarësimit

“Për të varfërit”, “Për klasën e mesme”, “Prestigjioz”, me funksione përkatësie si Fig. 1.1.

Duke pasur këto funksione dhe duke ditur koston e makinave nga E V ky moment kohën, në këtë mënyrë do të përcaktojmë E" grupe të paqarta me të njëjtët emra.

Kështu, për shembull, grupi fuzzy "Për të varfërit", i përcaktuar në grupin universal E =(ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES,...), duket siç tregohet në Fig. 1.2.

Oriz. 1.2. Një shembull i specifikimit të një grupi fuzzy

Në mënyrë të ngjashme, ju mund të përcaktoni grupin e paqartë "Me shpejtësi të lartë", "Mestare", "Me shpejtësi të ngadaltë", etj.

5. Le E- grup i numrave të plotë:

E= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Pastaj nëngrupi fuzzy i numrave, sipas vlere absolute afër zeros, mund të përcaktohet, për shembull, si kjo:

A ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

Mbi metodat për ndërtimin e funksioneve të anëtarësimit të grupeve fuzzy

Shembujt e mësipërm të përdorur drejt metodat kur një ekspert ose thjesht vendos për secilën X ϵ E kuptimi μ A (x), ose përcakton një funksion përputhshmërie. Si rregull, metodat e drejtpërdrejta për specifikimin e funksionit të anëtarësimit përdoren për koncepte të matshme si shpejtësia, koha, distanca, presioni, temperatura, etj., ose kur dallohen vlerat polare.

Në shumë probleme, kur karakterizoni një objekt, është e mundur të zgjidhni një grup karakteristikash dhe për secilën prej tyre të përcaktohen vlerat polare që korrespondojnë me vlerat e funksionit të anëtarësimit, 0 ose 1.

Për shembull, në detyrën e njohjes së fytyrës, mund të dallojmë shkallët e dhëna në tabelë. 1.1.

Tabela 1.1. Shkallët në detyrën e njohjes së fytyrës

Për një person specifikAeksperti në bazë të shkallës së dhënë vendosμ A(x)ϵ, duke formuar funksionin e anëtarësimit vektor (μ A(x 1) , μ A(x 2),…, μ A(x 9)}.

Me metoda direkte përdoren edhe metoda të drejtpërdrejta në grup, kur, për shembull, një grup ekspertësh i paraqitet një person specifik dhe secili duhet të japë një nga dy përgjigjet: "ky person është tullac" ose "ky person nuk është tullac". atëherë numri i përgjigjeve pohuese i ndarë në numri total ekspertët, jep kuptim μ tullac ( të këtij personi). (Në këtë shembull, ju mund të veproni përmes funksionit të përputhshmërisë, por më pas do t'ju duhet të numëroni numrin e qimeve në kokën e secilit person të paraqitur tek eksperti.)

indirekte Metodat për përcaktimin e vlerave të funksionit të anëtarësimit përdoren në rastet kur nuk ka veti elementare të matshme përmes të cilave përcaktohet grupi fuzzy i interesit për ne. Si rregull, këto janë metoda të krahasimit në çift. Nëse vlerat e funksioneve të anëtarësimit ishin të njohura për ne, për shembull, μ A(X-i) = ω i , i= 1, 2, ..., n, atëherë krahasimet në çift mund të përfaqësohen nga një matricë marrëdhëniesh A= (a ij), ku një ij= ωi/ ω j(operacioni i ndarjes).

Në praktikë, vetë eksperti formon matricën A, në këtë rast supozohet se elementet diagonale janë të barabarta me 1, dhe për elementet simetrike në lidhje me diagonalen a ij = 1/a ij , d.m.th. nëse një element vlerëson të α herë më i fortë se tjetri, atëherë ky i fundit duhet të jetë 1/α herë më i fortë se i pari. Në rastin e përgjithshëm, problemi reduktohet në gjetjen e një vektori ω që plotëson një ekuacion të formës Aw= λmax w, ku λ max është eigenvlera më e madhe e matricës A. Që nga matrica Aështë pozitive nga ndërtimi, një zgjidhje për këtë problem ekziston dhe është pozitive.

Mund të vërehen dy qasje të tjera:

• përdorimi i formave standarde lakoret për specifikimin e funksioneve të anëtarësimit (në formën e (L-R)-Type - shih më poshtë) me sqarimin e parametrave të tyre në përputhje me të dhënat eksperimentale;
• përdorimi i frekuencave relativesipas eksperimentit si vlera të anëtarësimit.

Le të jetë X një bashkësi universale (bazë), x një element i X dhe R të jetë një pronë. Një nëngrup i zakonshëm (i freskët) A i një bashkësie universale X, elementët e të cilit plotësojnë vetinë R, përkufizohet si bashkësia e çifteve të renditura
A = μ A x / x, ku μ A x është një funksion karakteristik që merr vlerën 1 nëse x plotëson vetinë R, dhe 0 përndryshe.

Një nëngrup fuzzy ndryshon nga një nëngrup i rregullt në atë që për elementët x të X nuk ka një përgjigje të qartë po-jo në lidhje me vetinë R. Në këtë drejtim, një nëngrup fuzzy A i një grupi universal X përkufizohet si një grup çiftesh të renditura A = μ A x / x, ku μ A x - funksioni karakteristik i anëtarësimit(ose thjesht funksioni i anëtarësimit), duke marrë vlera në disa grupe të renditura plotësisht M = 0;

Transportuesi 1 . Funksioni i anëtarësimit tregon shkallën (ose nivelin) e anëtarësimit të një elementi x në një nëngrup A. Bashkësia M quhet bashkësia e anëtarësimit. Nëse M = 0 ;

1, atëherë nëngrupi fuzzy A mund të konsiderohet si një grup i zakonshëm ose i qartë. Shkalla e anëtarësimit μ A x është një masë subjektive e asaj se sa një element x ∈ X korrespondon me konceptin, kuptimi i të cilit është zyrtarizuar nga grupi fuzzy A. Bashkësia fuzzy A është një nënbashkësi e qartë S A e bashkësisë universale X me vetinë μ A x > 0, d.m.th. S A = x ∣ x ∈ X ∧ μ A x > 0 . Me fjalë të tjera, bartësi i një bashkësie fuzzy A është një nënbashkësi S A e bashkësisë universale X, për elementet e së cilës funksioni i anëtarësimit μ A x > 0 është më i madh se zero. Ndonjëherë mbështetja e një grupi fuzzy shënohet me mbështetje A.< x 2 < x 3 < … < x n .

Nëse bartësi i një grupi fuzzy A është një nëngrup diskrete S A, atëherë nëngrupi fuzzy A i një grupi universal X i përbërë nga n elementë mund të përfaqësohet si një bashkim

numër i kufizuar

Shembull. grupe njëpikëshe μ A x / x duke përdorur simbolin ∑ : A = ∑ i = 1 n μ A x i / x i . Kjo nënkupton që elementët x i janë të renditur në rend rritës në përputhje me indekset e tyre, d.m.th.

A = 1/10;

0,9/11;

0,8/12; 0,7/13; 0,5/14;

0,3 / 15 ;

0,1 / 16 ; 0/17;... ; 0/40 A = 1 / 10 + 0,9 / 11 + 0,8 / 12 + 0,7 / 13 + 0,5 / 14 + 0,3 / 15 + 0,1 / 16 + 0 / 17 + … + 0 / 40,

ku shenja e përmbledhjes tregon një mosveprim mbledhje aritmetike, por duke kombinuar elementë në një grup. Bartësi i grupit fuzzy A do të jetë një nënbashkësi e fundme (bartës diskrete):

S A = 10;

Shembull. njëmbëdhjetë ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 .

Nëse bashkësia universale X është një bashkësi numra realë nga 10 në 40, d.m.th. trashësia e produktit mund të pranojë çdo gjë

vlerat e mundshme brenda këtyre kufijve, atëherë bartës i grupit fuzzy A është segmenti S A = 10; 16 . Një grup fuzzy me një bartës diskrete mund të përfaqësohet si pika individuale në një plan, një grup fuzzy me një bartës të vazhdueshëm mund të përfaqësohet si një kurbë, e cila korrespondon me një diskrete dhe funksionet e vazhdueshme që i përket μ A x të përcaktuar në bashkësinë universale X (Fig. 2.1). Fig.2.1. Funksionet e anëtarësimit të grupeve fuzzy me bartës (a)-diskrete dhe (b)-të vazhdueshëm Le të X = 0; 1 ; 2 ; ... është një grup numrash të plotë jo negativë. Kompleti fuzzy ital i vogël mund të përkufizohet si μ ital i vogël x = x 1 + 0,1 x 2 − 1 . Fig.2.2. Paraqitja grafike grup fuzzy i vogël Bashkësia fuzzy A quhet përfundimtar

Shembull. Koncepti fuzzy i "një numri shumë të vogël pjesësh" mund të përfaqësohet si një grup fuzzy i fundëm A = 1 / 0 + 0,9 / 1 + 0,8 / 2 + 0,7 / 3 + 0,5 / 4 + 0,1 / 5 + 0 / 6 + … me fuqi karte (A) = 6 dhe bartës S A = 0 ;

Shembull. 1 ; 2 ;

3; lartësia 4 ; 5, i cili është një grup i kufizuar i freskët. Koncepti fuzzy i "një numri shumë të madh pjesësh" mund të përfaqësohet si A = 0 / 0 + … + 0.1 / 1 0 + 0.4 / 11 + 0.7 / 12 + 0.9 / 13 + 1 / 14 + 1 / 15 + ... + 1 / n + … , n ∈ N – një grup fuzzy me mbështetje të pafundme të numërueshme S A ≡ N (bashkësi numrash natyrorë), që ka fuqi të numërueshme në kuptimin e zakonshëm.

Një grup fuzzy i panumërueshëm Një që korrespondon me konceptin fuzzy "shumë nxehtë" përcaktohet në grupin universal të vlerave të temperaturës (në Kelvin) nga temperatura x ∈ [ 0 ; ∞) dhe funksioni i anëtarësimit μ A = 1 − e − x , me mbështetje S A ≡ R + (bashkësia e numrave realë jonegativë), i cili ka fuqi vazhdimësie të panumërueshme. Sasia sup x ∈ X μ A x quhet< 1 nënnormale.

grup fuzzy. Kompleti fuzzy A Mirë

, nëse lartësia e tij është 1, d.m.th. kufiri i sipërm i funksionit të anëtarësimit të tij është sup x ∈ X μ A x = 1 . Për sup x ∈ X μ A x

grup fuzzy. Një grup fuzzy quhet bosh , nëse ∀ x ∈ X μ A x = 0 . Një grup nënnormal jo bosh mund të normalizohet gjithmonë duke pjesëtuar të gjitha vlerat e funksionit të anëtarësimit me vlerën e tij maksimale μ A x sup x ∈ X μ A x.

grup fuzzy. njëmodale, nëse μ A x = 1 për vetëm një pikë x (

modës α ) e bashkësisë universale X. pikë

, nëse μ A x > 0 vetëm për një pikë x të bashkësisë universale X.

Shembull. Shumë

- niveli Bashkësia fuzzy A e përcaktuar në një bashkësi universale X quhet një nëngrup i qartë A α i grupit universal X, i përcaktuar si: A α = x ∈ X ∣ μ A x ≥ α, ku α ∈ 0;

Elementet x ∈ X për të cilët thirren μ A x = 0,5 pikat e tranzicionit grup i paqartë A.

Bërthamë një grup fuzzy A i përcaktuar në një grup universal X quhet një bërthamë e qartë e vendosur A, elementët e së cilës plotësojnë kushtin bërthamë A = x ∈ X ∣ μ A x = 1.

Kufiri i një grupi fuzzy A i përcaktuar në një grup universal X quhet një front i qartë i vendosur A, elementët e të cilit plotësojnë kushtin front A = x ∈ X ∣ 0< μ A x < 1 .

Shembull. Le të X = 0;

1 ; 2 ; ... ; 10, M = 0;< x < b ; x , a , b ∈ X (рис.2.3).

1 . Një grup fuzzy prej disa mund të përcaktohet në grupin universal të numrave natyrorë si më poshtë: disa = 0,5 / 3 + 0,8 / 4 + 1 / 5 + 1 / 6 + 0,8 / 7 + 0,5 / 8; karakteristikat e tij: lartësia = 1, media = 3;