hyrje................................................ .......................................................... ............. ....... 2

Kapitulli I. Aspekte të përgjithshme teorike të studimit material algjebrik ne shkollen fillore...................................................... .......................................................... ................................ 7

1.1 Përvoja e futjes së elementeve të algjebrës në shkollën fillore................................... 7

1.2 Bazat psikologjike prezantimi i koncepteve algjebrike

ne shkollen fillore...................................................... .......................................... 12

1.3 Problemi i origjinës së koncepteve algjebrike dhe rëndësia e tij

për ndërtimin e një lënde arsimore................................................ ........... ....... 20

2.1 Të mësuarit në shkollën fillore nga këndvështrimi i nevojave

shkolla e mesme................................................ ........ ................................. 33

2.1 Krahasimi (kontrasti) i koncepteve në mësimet e matematikës.... 38

2.3 Studim i përbashkët i mbledhjes dhe zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit 48

Kapitulli III. Praktika e studimit të materialit algjebrik në mësimet e matematikës në shkollën fillore Shkolla e mesme nr. 4 në Rylsk..................................... 55

3.1 Arsyetimi për përdorim teknologjive inovative(teknologjitë

konsolidimi i njësive didaktike)................................................. ......... 55

3.2 Për përvojën e njohjes me konceptet algjebrike në klasën I.... 61

3.3 Të mësuarit për zgjidhjen e problemeve që lidhen me lëvizjen e trupave................................................ 72

konkluzioni................................................ ................................................ ...... .76

Bibliografia.......................................................................... 79

Hyrje

Në çdo kohë sistem modern matematika e arsimit të përgjithshëm është një nga vende qendrore, që padyshim tregon veçantinë e kësaj fushe dijeje.

Çfarë është matematika moderne? Pse është e nevojshme? Këto dhe pyetje të ngjashme shpesh u bëhen nga fëmijët mësuesve. Dhe çdo herë përgjigja do të jetë e ndryshme në varësi të nivelit të zhvillimit të fëmijës dhe të tij nevojave arsimore.

Thuhet shpesh se matematika është gjuha e shkencës moderne. Megjithatë, duket se ka një të metë të rëndësishme në këtë deklaratë. Gjuha e matematikës është kaq e përhapur dhe aq shpesh efektive pikërisht sepse matematika nuk mund të reduktohet në të.

Matematikani i shquar rus A.N. Kolmogorov shkroi: “Matematika nuk është vetëm një gjuhë plus arsyetimi, ajo është si gjuha dhe logjika së bashku, ajo përqendron rezultatet e të menduarit të saktë të shumë njerëzve lidhni një arsyetim me një tjetër ... Kompleksitetet e dukshme të natyrës me ligjet dhe rregullat e saj të çuditshme, secila prej të cilave lejon një shumë të ndryshme shpjegim i detajuar, në fakt janë të lidhura ngushtë. Megjithatë, nëse nuk doni të përdorni matematikën, atëherë në këtë larmi të madhe faktesh nuk do të shihni se logjika ju lejon të kaloni nga njëri në tjetrin” (f. 44).

Kështu, matematika na lejon të formojmë forma të caktuara të të menduarit të nevojshme për të studiuar botën përreth nesh.

Aktualisht, shpërpjestimi midis shkallës së njohjes sonë për natyrën dhe të kuptuarit tonë për njeriun, psikikën e tij dhe proceset e të menduarit po bëhet gjithnjë e më i dukshëm. W. W. Sawyer në librin "Prelude to Mathematics" (fq. 7) vëren: "Ne mund t'i mësojmë studentët të zgjidhin shumë lloje problemesh, por kënaqësia e vërtetë do të vijë vetëm kur të jemi në gjendje t'u japim studentëve tanë jo vetëm njohuri, por fleksibilitet. mendjes”, gjë që do t'u jepte atyre mundësinë në të ardhmen jo vetëm për të zgjidhur në mënyrë të pavarur, por edhe për të vendosur detyra të reja për veten e tyre.

Sigurisht, këtu ka disa kufij që nuk duhen harruar: shumë përcaktohen nga aftësitë dhe talenti i lindur. Sidoqoftë, mund të vërejmë një grup të tërë faktorësh në varësi të arsimit dhe edukimit. Kjo e bën jashtëzakonisht të rëndësishme vlerësimin e saktë të potencialit të madh të pashfrytëzuar të arsimit në përgjithësi dhe të matematikës në veçanti.

Vitet e fundit, ka pasur një tendencë të qëndrueshme të penetrimit metodat matematikore në shkenca të tilla si historia, filologjia, për të mos përmendur gjuhësinë dhe psikologjinë. Prandaj, rrethi i njerëzve që në të mëvonshmen e tyre aktivitetet profesionale Ndoshta ata do të aplikojnë matematikën, duke u zgjeruar.

Sistemi ynë arsimor është projektuar në atë mënyrë që për shumë, shkolla të ofrojë mundësinë e vetme në jetë për t'u bashkuar me një kulturë matematikore dhe për të zotëruar vlerat që përmban matematika.

Cili është ndikimi i matematikës në përgjithësi dhe matematika shkollore në veçanti për arsimin personalitet krijues? Mësimdhënia e artit të zgjidhjes së problemeve në orët e matematikës na ofron një mundësi jashtëzakonisht të favorshme për zhvillimin e një mendësie të caktuar te nxënësit. Domosdoshmëri aktivitetet kërkimore zhvillon interes për modelet, mëson të shohë bukurinë dhe harmoninë e mendimit njerëzor. E gjithë kjo është sipas mendimit tonë elementi më i rëndësishëm kulturën e përgjithshme. Lënda e matematikës ka një ndikim të rëndësishëm në formim forma të ndryshme të menduarit: logjik, hapësinor-gjeometrik, algoritmik. Çdo procesi krijues fillon me formulimin e një hipoteze. Matematika, me organizimin e duhur të trajnimit, duke qenë një shkollë e mirë për ndërtimin dhe testimin e hipotezave, mëson krahasimin. hipoteza të ndryshme, gjeni opsionin më të mirë, vendosni detyra të reja, kërkoni mënyra për t'i zgjidhur ato. Ndër të tjera, ajo zhvillon edhe zakonin e punës metodike, pa të cilën nuk mund të imagjinohet asnjë proces krijues. Duke maksimizuar mundësitë e të menduarit njerëzor, matematika është e saj arritjen më të lartë. Ndihmon një person të kuptojë veten dhe të formojë karakterin e tij.

Kjo është pak nga listë e madhe arsyet pse njohuritë matematikore duhet të bëhen pjesë përbërëse e kulturës së përgjithshme dhe element i detyrueshëm në rritjen dhe edukimin e një fëmije.

Kursi i matematikës (pa gjeometri) në shkollën tonë 10-vjeçare në fakt është i ndarë në tre pjesë kryesore: aritmetikë (klasat I - V), algjebër (VI - klasat e VIII) dhe elementet e analizës (klasat IX - X). Cila është baza për një ndarje të tillë?

Sigurisht, secila prej këtyre pjesëve ka "teknologjinë" e saj të veçantë. Pra, në aritmetikë shoqërohet, për shembull, me llogaritjet e kryera në numra shumëshifrorë, në algjebër - me transformime identike, logaritmi, në analizë - me diferencim etj. Por cilat janë arsyet më të thella që lidhen me përmbajtjen konceptuale të secilës pjesë?

Pyetja e radhës ka të bëjë me bazën për dallimin midis aritmetikës shkollore dhe algjebrës (d.m.th. pjesa e parë dhe e dytë e lëndës). Aritmetika përfshin studimin e numrave natyrorë (numrat e plotë pozitivë) dhe thyesave (të thjeshtë dhe dhjetorë). Megjithatë analiza të veçanta tregon se kombinimi i këtyre llojeve të numrave në një lëndë shkollore është i paligjshëm.

Fakti është se këta numra kanë funksione të ndryshme: i pari shoqërohet me numërimin e objekteve, i dyti me matjen e sasive. Kjo rrethanë është shumë e rëndësishme për të kuptuar faktin se numrat thyesorë (racionalë) janë vetëm një rast i veçantë i numrave realë.

Nga pikëpamja e matjes së sasive, siç vërehet nga A.N. Kolmogorov, "nuk ka një ndryshim kaq të thellë midis numrave realë racionalë dhe irracionalë, për arsye pedagogjike, ato qëndrojnë për një kohë të gjatë në numrat racionalë, pasi ato janë të lehta për t'u shkruar në formën e thyesave ato që në fillim duhet të çojnë menjëherë te numrat realë në tërësinë e tyre" (), f. 9).

A.N. Kolmogorov e konsideroi të justifikuar si nga pikëpamja e historisë së zhvillimit të matematikës ashtu edhe në thelb propozimi i A. Lebesgue për të kaluar në mësimdhënien pas numrave natyrorë drejtpërdrejt në origjinën dhe natyrën logjike të numrave realë. Në të njëjtën kohë, siç vuri në dukje A.N. Kolmogorov, "qasja ndaj ndërtimit të numrave racionalë dhe realë nga pikëpamja e matjes së sasive nuk është më pak shkencore sesa, për shembull, futja e numrave racionalë në formën e "çifteve" për shkollën avantazh” (fq. 10).

Pra ka mundësi reale në bazë të numrave natyrorë (numër të plotë), formoni menjëherë "konceptin më të përgjithshëm të numrit" (në terminologjinë e A. Lebesgue), konceptin e një numri real. Por nga pikëpamja e ndërtimit të programit, kjo nuk do të thotë asgjë më shumë ose më pak se eliminimi i aritmetikës së thyesave në interpretimin e saj shkollor. Kalimi nga numrat e plotë në numrat realë është një kalim nga aritmetika në "algjebër", në krijimin e një themeli për analizë.

Këto ide, të shprehura më shumë se 20 vjet më parë, janë ende aktuale sot. A mund të ndryshohet struktura e mësimit të matematikës në shkollën fillore në këtë drejtim? Cilat janë avantazhet dhe disavantazhet e "algjebrizimit" arsimi fillor matematikë? Qëllimi i kësaj pune është të përpiqet të japë përgjigje për pyetjet e parashtruara.

Realizimi i këtij qëllimi kërkon zgjidhjen e detyrave të mëposhtme:

Shqyrtimi i aspekteve të përgjithshme teorike të prezantimit të koncepteve algjebrike të madhësisë dhe numrit në shkollën fillore. Kjo detyrë shtrohet në kapitullin e parë të veprës;

Studimi i metodave specifike për mësimin e këtyre koncepteve në shkollën fillore. Këtu, në veçanti, synohet të merret në konsideratë e ashtuquajtura teoria e zgjerimit të njësive didaktike (UDE), e cila do të diskutohet më poshtë;

Tregoni zbatueshmërinë praktike të dispozitave në shqyrtim mbi mësimet e shkollës matematika në shkollën fillore (mësimet i ka dhënë autori në shkolla e mesme Nr. 4 Rylsk). Kapitulli i tretë i veprës i kushtohet kësaj.

Në lidhje me bibliografinë kushtuar këtë çështje, mund të vërehet në vijim. Pavarësisht se në kohët e fundit sasinë totale botuar literaturë metodologjike në matematikë është jashtëzakonisht i parëndësishëm nuk ka pasur mungesë informacioni gjatë shkrimit të veprës. Në të vërtetë, nga viti 1960 (koha kur u shtrua problemi) deri në vitin 1990. Në vendin tonë është botuar një sasi e madhe e literaturës arsimore, shkencore dhe metodologjike, e cila në një shkallë ose në një tjetër prek problemin e futjes së koncepteve algjebrike në kurset e matematikës për shkollën fillore. Përveç kësaj, këto çështje mbulohen rregullisht në periodikë të specializuar. Kështu, gjatë shkrimit të veprës, u përdorën gjerësisht botimet në revistat “Pedagogjia”, “Mësimi i matematikës në shkollë” dhe “Shkolla fillore”.

Kapitulli I. Aspekte të përgjithshme teorike të studimit të materialit algjebrik në shkollën fillore 1.1 Përvoja në futjen e elementeve algjebër në shkollën fillore

Përmbajtja e një lënde akademike, siç dihet, varet nga shumë faktorë - nga kërkesat e jetës për njohuritë e studentëve, nga niveli i shkencave përkatëse, nga aftësitë e moshës mendore dhe fizike të fëmijëve, etj. Konsiderimi i saktë i këtyre faktorëve është një kusht thelbësor për shumicën të mësuarit efektiv nxënësit e shkollave, duke zgjeruar aftësitë e tyre njohëse. Por ndonjëherë ky kusht nuk plotësohet për një arsye ose një tjetër. Në këtë rast, mësimdhënia nuk jep efektin e dëshiruar në drejtim të zotërimit të rrethit nga fëmijët njohuritë e nevojshme, dhe në lidhje me zhvillimin e inteligjencës së tyre.

Duket se aktualisht programet e mësimdhënies për disa lëndë akademike, në veçanti matematika, nuk korrespondojnë me kërkesat e reja të jetës, me nivelin e zhvillimit të shkencave moderne (për shembull, matematikën) dhe të dhënave të reja. psikologjia e zhvillimit dhe logjika. Kjo rrethanë dikton nevojën e një testimi gjithëpërfshirës teorik dhe eksperimental të projekteve të mundshme për përmbajtje të reja të lëndëve arsimore.

Fondacioni njohuri matematikore fillon në shkollën fillore. Por, për fat të keq, të dy vetë matematikanët, metodologët dhe psikologët i kushtojnë shumë pak vëmendje përmbajtjes matematikë elementare. Mjafton të thuhet se programi për matematikën në shkollën fillore (klasat I - IV) në tiparet e tij kryesore është formuar 50 - 60 vjet më parë dhe natyrshëm pasqyron sistemin e ideve matematikore, metodologjike dhe psikologjike të asaj kohe.

Le të shqyrtojmë tipare karakteristike standard shtetëror në matematikë në shkollën fillore. Përmbajtja e tij kryesore është numrat e plotë dhe veprimet mbi to, të studiuara në një sekuencë të caktuar. Së pari studiohen katër operacione në kufirin 10 dhe 20, pastaj - llogaritjet gojore në kufirin 100, llogaritjet gojore dhe me shkrim në kufirin 1000 dhe së fundi në kufirin e miliona e miliarda. Në klasën IV studiohen disa marrëdhënie midis të dhënave dhe rezultateve. veprimet aritmetike, si dhe thyesat e thjeshta. Së bashku me këtë, programi përfshin studimin masat metrike dhe masat e kohës, zotërimi i aftësisë për t'i përdorur ato për matje, njohja e disa elementeve të gjeometrisë vizuale - vizatimi i një drejtkëndëshi dhe katrori, matja e segmenteve, sipërfaqet e një drejtkëndëshi dhe katrori, llogaritja e vëllimeve.

Nxënësit duhet të zbatojnë njohuritë dhe aftësitë e marra në zgjidhjen e problemeve dhe kryerjen e llogaritjeve të thjeshta. Gjatë gjithë kursit, zgjidhja e problemeve kryhet paralelisht me studimin e numrave dhe operacioneve - gjysma e kohës së duhur është ndarë për këtë. Zgjidhja e problemeve i ndihmon nxënësit të kuptojnë kuptim specifik veprimet, kuptojnë rastet e ndryshme të zbatimit të tyre, vendosin marrëdhëniet ndërmjet sasive dhe fitojnë aftësitë bazë të analizës dhe sintezës. Nga klasa I deri në IV, fëmijët zgjidhin këto lloje kryesore të problemeve (të thjeshta dhe të përbëra): gjetja e shumës dhe e mbetjes, produktit dhe herësit, rritja dhe zvogëlimi i numrave të dhënë, ndryshimi dhe krahasimi i shumëfishtë, i thjeshtë. rregulli i tre, mbi pjesëtimin proporcional, për gjetjen e një të panjohure me dy dallime, për llogaritjen e mesatares aritmetike dhe disa lloje të tjera problemash.

Fëmijët ndeshen me lloje të ndryshme varësish sasiore gjatë zgjidhjes së problemeve. Por është shumë tipike që nxënësit fillojnë problemet pas dhe teksa studiojnë numrat; gjëja kryesore që kërkohet gjatë zgjidhjes është gjetja e një përgjigje numerike. Fëmijët me me shumë vështirësi të identifikojë vetitë e marrëdhënieve sasiore në situata specifike, të veçanta, të cilat konsiderohen si probleme aritmetike. Praktika tregon se manipulimi i numrave shpesh zëvendëson analizën aktuale të kushteve të problemit nga pikëpamja e varësive të sasive reale. Për më tepër, problemet e paraqitura në tekstet shkollore nuk paraqesin një sistem në të cilin situatat më “komplekse” do të shoqëroheshin me shtresa “më të thella” të marrëdhënieve sasiore. Probleme të së njëjtës vështirësi mund të gjenden si në fillim ashtu edhe në fund të tekstit shkollor. Ato ndryshojnë nga seksioni në seksion dhe nga klasa në klasë për sa i përket kompleksitetit të komplotit (numri i veprimeve rritet), renditja e numrave (nga dhjetë në një miliard), kompleksiteti i varësive fizike (nga problemet e shpërndarjes në lëvizje probleme) dhe parametra të tjerë. Vetëm një parametër - thellimi në vetë sistemin e ligjeve matematikore - manifestohet dobët dhe në mënyrë të paqartë në to. Prandaj, është shumë e vështirë të përcaktohet një kriter për vështirësinë matematikore të një problemi të caktuar. Pse ka probleme për gjetjen e një të panjohure duke përdorur dy dallime dhe gjetjen e mesatares aritmetike (klasa III) detyra më të vështira për dallimin dhe krahasimin e shumëfishtë (Klasa II)? Metodologjia nuk jep një përgjigje bindëse dhe logjike për këtë pyetje.

Kështu, studentët klasat fillore nuk marrin njohuri adekuate, të plota për varësitë e sasive dhe vetitë e përgjithshme ah sasitë as gjatë studimit të elementeve të teorisë së numrave, sepse në kursin e shkollës ato lidhen kryesisht me teknikën e llogaritjeve, as gjatë zgjidhjes së problemave, sepse këto të fundit nuk kanë formën përkatëse dhe nuk kanë sistemin e kërkuar. Përpjekjet e metodologëve për të përmirësuar metodat e mësimdhënies, megjithëse ato çojnë në suksese të pjesshme, nuk e ndryshojnë gjendjen e përgjithshme të punëve, pasi ato kufizohen paraprakisht nga kuadri i përmbajtjes së pranuar.

Duket se analiza kritike e programit aritmetik të miratuar duhet të bazohet në dispozitat e mëposhtme:

Koncepti i numrit nuk është identik me konceptin e karakteristikave sasiore të objekteve;

Numri nuk është forma origjinale e shprehjes së marrëdhënieve sasiore.

Le të japim arsyetimin për këto dispozita.

Dihet mirë se matematika moderne (në veçanti, algjebra) studion aspekte të marrëdhënieve sasiore që nuk kanë një guaskë numerike. Dihet gjithashtu se disa marrëdhënie sasiore janë mjaft të shprehura pa numra dhe para numrave, për shembull, në segmente, vëllime, etj. (marrëdhënie "më shumë", "më pak", "barabartë"). Prezantimi i gjeneralit origjinal konceptet matematikore V udhëzime moderne kryhet në një simbolikë të tillë që nuk nënkupton domosdoshmërisht shprehjen e objekteve me numra. Pra, në librin e E.G. "Aritmetika teorike" e Goninit objektet themelore matematikore shënohen që në fillim me shkronja dhe shenja të veçanta(, fq. 12 – 15). Është karakteristikë se disa lloje të numrave dhe varësitë numerike jepen vetëm si shembuj, ilustrime të vetive të grupeve dhe jo si të vetmet e mundshme dhe unike të tyre formë ekzistuese shprehjet. Më tej, vlen të përmendet se shumë ilustrime të përkufizimeve individuale matematikore janë dhënë në formë grafike, nëpërmjet raportit të segmenteve, zonave (, fq. 14-19). Të gjitha vetitë themelore të grupeve dhe sasive mund të nxirren dhe justifikohen pa përfshirë sistemet numerike; Për më tepër, vetë këta të fundit justifikohen në bazë të koncepteve të përgjithshme matematikore.

Nga ana tjetër, vëzhgime të shumta nga psikologë dhe mësues tregojnë se idetë sasiore lindin tek fëmijët shumë kohë përpara se të fitojnë njohuri për numrat dhe mënyrën e përdorimit të tyre. Vërtetë, ekziston një tendencë për t'i klasifikuar këto ide si "formacione para-matematikore" (që është krejt e natyrshme për metodat tradicionale që identifikojnë karakteristikat sasiore të një objekti me një numër), por kjo nuk e ndryshon funksionin e tyre thelbësor në përgjithësi të fëmijës. orientimi në vetitë e sendeve. Dhe ndonjëherë ndodh që thellësia e këtyre gjoja "formacioneve para-matematikore" është më domethënëse për zhvillimin e të menduarit matematikor të një fëmije sesa njohja e ndërlikimeve të teknologjisë kompjuterike dhe aftësia për të gjetur varësi thjesht numerike. Vlen të përmendet se akademiku A.N. Kolmogorov, duke karakterizuar tiparet e krijimtarisë matematikore, vë në dukje posaçërisht rrethanat e mëposhtme: "Baza e shumicës së zbulimeve matematikore është një ide e thjeshtë: vizuale. ndërtimi gjeometrik, pabarazi e re elementare etj. Thjesht duhet ta zbatoni këtë siç duhet ide e thjeshtë për të zgjidhur një problem që në pamje të parë duket i paarritshëm” (, f. 17).

Aktualisht, një shumëllojshmëri idesh në lidhje me strukturën dhe mënyrat e ndërtimit të një programi të ri janë të përshtatshme. Është e nevojshme të përfshihen matematikanë, psikologë, logjikë dhe metodologë në punën për ndërtimin e saj. Por në të gjitha variantet e tij specifike, duket se duhet të plotësojë kërkesat themelore të mëposhtme:

Kapërcimi i hendekut ekzistues në mes të përmbajtjes së matematikës në shkollat fillore dhe të mesme;

Të sigurojë një sistem njohurish për ligjet bazë të marrëdhënieve sasiore të botës objektive; në këtë rast, vetitë e numrave, si një formë e veçantë e shprehjes së sasisë, duhet të bëhen pjesë e veçantë, por jo kryesore e programit;

Nxitni tek fëmijët metodat e të menduarit matematik, dhe jo vetëm aftësitë e llogaritjes: kjo përfshin ndërtimin e një sistemi problemesh të bazuar në zhytjen në sferën e varësive të sasive reale (lidhja e matematikës me fizikën, kiminë, biologjinë dhe shkenca të tjera që studiojnë specifike sasitë);

Thjeshtoni me vendosmëri të gjitha teknikat e llogaritjes, duke minimizuar punën që nuk mund të bëhet pa tabela të përshtatshme, libra referimi dhe mjete të tjera ndihmëse (në veçanti, elektronike).

Kuptimi i këtyre kërkesave është i qartë: në shkollën fillore është mjaft e mundur të mësohet matematika si shkencë për ligjet e marrëdhënieve sasiore, për varësitë e sasive; Teknikat e llogaritjes dhe elementet e teorisë së numrave duhet të bëhen pjesë e veçantë dhe private e programit.

Përvoja e ndërtimit të një programi të ri në matematikë dhe testimi eksperimental i tij, i kryer që nga fundi i viteve 1960, tani na lejon të flasim për mundësinë e futjes së një kursi sistematik të matematikës në shkollë duke filluar nga klasa e parë, duke ofruar njohuri për marrëdhëniet sasiore dhe varësitë. të sasive në formë algjebrike .

1.2 Bazat psikologjike për futjen e koncepteve algjebrike në shkollën fillore

Kohët e fundit, gjatë modernizimit të programeve, një rëndësi e veçantë i është kushtuar vendosjes së një themeli teorik grupor për kursin shkollor (kjo prirje manifestohet qartë si këtu ashtu edhe jashtë saj). Zbatimi i kësaj tendence në mësimdhënie (veçanërisht në klasat fillore, siç vërehet, për shembull, në një shkollë amerikane) do të sjellë në mënyrë të pashmangshme një numër pyetje të vështira përballë çerdhes dhe psikologji edukative dhe para didaktikës, sepse tani nuk ka pothuajse asnjë studim që zbulon tiparet e asimilimit të një fëmije të kuptimit të konceptit të grupit (në kontrast me asimilimin e numërimit dhe numrit, i cili është studiuar shumë gjithëpërfshirëse).

Hulumtimi logjik dhe psikologjik vitet e fundit(sidomos vepra e J. Piaget) zbuloi lidhjen midis disa "mekanizmave" të menduarit e fëmijëve me koncepte të përgjithshme matematikore. Më poshtë diskutojmë në mënyrë specifike veçoritë e kësaj lidhjeje dhe rëndësinë e tyre për ndërtimin e matematikës si lëndë arsimore (do të flasim për anën teorike rast, dhe jo për ndonjë version të veçantë të programit).

Një numër natyror është koncept themelor matematika gjatë gjithë historisë së saj; luan një rol shumë domethënës në të gjitha fushat e prodhimit, teknologjisë, jetën e përditshme. Kjo i lejon matematikanët teorikë t'i japin asaj një vend të veçantë midis koncepteve të tjera të matematikës. NË forma të ndryshme bëhen pohime se koncepti i një numri natyror është faza fillestare abstraksioni matematik, se është baza për ndërtimin e shumicës së disiplinave matematikore.

Zgjedhja e elementeve fillestare të matematikës si lëndë në thelb i zbaton këto dispozitat e përgjithshme. Supozohet se, duke u njohur me numrat, fëmija zbulon në të njëjtën kohë për veten e tij tiparet fillestare të marrëdhënieve sasiore. Numërimi dhe numri janë baza për të gjithë mësimin e mëvonshëm të matematikës në shkollë.

Megjithatë, ka arsye për të besuar se këto dispozita, duke theksuar me të drejtë kuptimin e veçantë dhe themelor të numrit, në të njëjtën kohë shprehin në mënyrë joadekuate lidhjen e tij me konceptet e tjera matematikore dhe vlerësojnë në mënyrë të pasaktë vendin dhe rolin e numrit në procesin e zotërimit të matematikës. . Për shkak të kësaj rrethane, në veçanti lindin disa mangësi domethënëse të programeve, metodave dhe teksteve të miratuara në matematikë. Është e nevojshme të merret parasysh në mënyrë specifike lidhja aktuale e konceptit të numrit me konceptet e tjera.

Shumë koncepte të përgjithshme matematikore, dhe në veçanti konceptet e marrëdhënieve të ekuivalencës dhe rendit, konsiderohen sistematikisht në matematikë pavarësisht nga forma numerike. Këto koncepte nuk e humbasin karakterin e tyre të pavarur në bazë të tyre, mund të përshkruhet dhe studiohet një temë e veçantë - e ndryshme sistemet e numrave, konceptet e të cilave në vetvete nuk mbulojnë kuptimin dhe kuptimin e përkufizimeve origjinale. Dhe në histori shkenca matematikore konceptet e përgjithshme u zhvilluan pikërisht në atë masë sa "operacionet algjebrike" shembull i famshëm që sigurojnë katër veprimet e aritmetikës, filluan të zbatohen në elementë të një natyre krejtësisht jo numerike.

Kohët e fundit janë bërë përpjekje për të zhvilluar fazën e njohjes së një fëmije me matematikën në mësimdhënie. Kjo prirje gjen shprehje në manualet metodologjike, si dhe në disa tekste eksperimentale. Kështu, në një libër shkollor amerikan të destinuar për mësimin e fëmijëve 6-7 vjeç (), në faqet e para janë futur detyra dhe ushtrime që i trajnojnë në mënyrë specifike fëmijët në përcaktimin e identitetit të grupeve lëndore. Fëmijëve u tregohet teknika e lidhjes së grupeve dhe prezantohet simbolika përkatëse matematikore. Puna me numrat bazohet në njohuritë bazë për grupet.

Përmbajtja e përpjekjeve specifike për të zbatuar këtë prirje mund të vlerësohet ndryshe, por ajo vetë, sipas mendimit tonë, është mjaft legjitime dhe premtuese.

Në shikim të parë, konceptet e "marrëdhënies", "strukturës", "ligjeve të përbërjes", etj., kanë komplekse përkufizimet matematikore, nuk mund të shoqërohet me formimin paraqitjet matematikore te fëmijët e vegjël. Natyrisht, i gjithë kuptimi i vërtetë dhe abstrakt i këtyre koncepteve dhe vendi i tyre ndërtim aksiomatik Matematika si shkencë është një objekt i asimilimit të një koke tashmë të zhvilluar dhe të "stërvitur" në matematikë. Sidoqoftë, disa veti të gjërave të fiksuara nga këto koncepte, në një mënyrë ose në një tjetër, i shfaqen fëmijës relativisht herët: ka prova specifike psikologjike për këtë.

Para së gjithash, duhet të kihet parasysh se nga momenti i lindjes deri në 7 - 10 vjet, një fëmijë zhvillohet dhe zhvillohet. sisteme shumë komplekse ide të përgjithshme për botën që na rrethon dhe hedh themelet për të menduarit kuptimplotë dhe thelbësor. Për më tepër, bazuar në materialin empirik relativisht të ngushtë, fëmijët dallojnë skemat e përgjithshme orientimet në varësinë hapësinore-kohore dhe shkak-pasojë të gjërave. Këto diagrame shërbejnë si një lloj kornize për atë "sistem koordinativ" brenda të cilit fëmija fillon të zotërojë gjithnjë e më thellë. veti të ndryshme botë të larmishme. Sigurisht, këto modele të përgjithshme janë pak të realizuara dhe në një masë të vogël mund të shprehen nga vetë fëmija në formën e një gjykimi abstrakt. Ata, në mënyrë figurative, janë një formë intuitive e organizimit të sjelljes së fëmijës (edhe pse, natyrisht, ato pasqyrohen gjithnjë e më shumë në gjykime).

NË dekadat e funditÇështjet e formimit të inteligjencës së fëmijëve dhe shfaqja e ideve të tyre të përgjithshme për realitetin, kohën dhe hapësirën u studiuan veçanërisht intensivisht nga psikologu i famshëm zviceran J. Piaget dhe kolegët e tij. Disa nga veprat e tij kanë lidhje direkte për problemet e zhvillimit të të menduarit matematik të një fëmije, dhe për këtë arsye është e rëndësishme që ne t'i konsiderojmë ato në lidhje me çështjet e dizajnit kurrikula.

Në një prej tyre librat e fundit() J. Piaget ofron të dhëna eksperimentale mbi gjenezën dhe formimin e një elementari të tillë strukturat logjike, si klasifikimi dhe serializimi. Klasifikimi përfshin kryerjen e një operacioni përfshirjeje (për shembull, A + A" = B) dhe operacionin e tij të kundërt (B - A" = A). Seriacioni është renditja e objekteve në rreshta sistematike (për shembull, shkopinj me gjatësi të ndryshme mund të vendosen në një rresht, secili anëtar i të cilit është më i madh se të gjithë të mëparshmit dhe më i vogël se të gjithë pasuesit).

Duke analizuar formimin e klasifikimit, J. Piaget tregon se si nga saj formë origjinale, nga krijimi i një "agregati figurativ", bazuar vetëm në afërsinë hapësinore të objekteve, fëmijët kalojnë në një klasifikim të bazuar në marrëdhënien e ngjashmërisë ("agregatet jo-figurative"), dhe më pas në formën më komplekse - në përfshirja e klasave, për shkak të lidhjes midis vëllimit dhe përmbajtjes së konceptit. Autori shqyrton në mënyrë specifike çështjen e formimit të një klasifikimi jo vetëm sipas një, por edhe sipas dy ose tre kritereve, dhe për zhvillimin e aftësisë tek fëmijët për të ndryshuar bazën e klasifikimit kur shtohen elementë të rinj. Autorët gjejnë faza të ngjashme në procesin e formimit të serialit.

Këto studime ndoqën një qëllim shumë specifik - të identifikonin modelet e formimit të strukturave operatore të mendjes dhe, para së gjithash, një veti të tillë përbërëse të tyre si kthyeshmëria, d.m.th. aftësia e mendjes për të ecur përpara dhe prapa. Kthyeshmëria ndodh kur "operacionet dhe veprimet mund të shpalosen në dy drejtime, dhe kuptimi i njërit prej këtyre drejtimeve shkakton ipso facto [për shkak të vetë faktit] kuptimin e tjetrit" (, f. 15).

Kthyeshmëria, sipas J. Piaget, përfaqëson ligjin themelor të përbërjes të qenësishme në mendje. Ai ka dy forma plotësuese dhe të pareduktueshme: kthimi (inversion ose mohim) dhe reciprociteti. Kthimi ndodh, për shembull, në rastin kur lëvizja hapësinore e një objekti nga A në B mund të anulohet duke e transferuar objektin nga B në A, që në fund të fundit është ekuivalente me një transformim zero (produkti i një operacioni dhe anasjellta e tij është një operacion identik, ose një transformim zero).

Reciprociteti (ose kompensimi) përfshin rastin kur, për shembull, kur një objekt zhvendoset nga A në B, objekti mbetet në B, por vetë fëmija lëviz nga A në B dhe riprodhohet. pozicioni fillestar kur objekti ishte kundër trupit të tij. Lëvizja e objektit nuk anulohet këtu, por kompensohet me përzierjen e duhur trupin e vet- dhe kjo është një formë tjetër transformimi sesa konvertimi (, f. 16).

Në veprat e tij, J. Piaget tregoi se këto shndërrime fillimisht shfaqen në formën e qarqeve sensorimotore (nga 10 deri në 12 muaj). Koordinimi gradual i qarqeve ndijore-motorike, simbolika funksionale dhe shfaqja e gjuhësçojnë në faktin se përmes një sërë fazash, qarkullimi dhe reciprociteti bëhen veti të veprimeve (operacioneve) intelektuale dhe sintetizohen në një strukturë të vetme operatori (në periudhën nga 7 në 11 dhe nga 12 në 15 vjet). Tani fëmija mund të koordinojë të gjitha lëvizjet në një sipas dy sistemeve referuese menjëherë - një i lëvizshëm, tjetri i palëvizshëm.

J. Piaget beson se kërkime psikologjike zhvillimi i veprimeve aritmetike dhe gjeometrike në mendjen e fëmijës (sidomos ato operacionet logjike që kryejnë në to parakushtet) ju lejon të lidhni me saktësi strukturat e operatorit të të menduarit me strukturat algjebrike, strukturat e rendit dhe ato topologjike (, f. 13). Kështu, struktura algjebrike ("grupi") korrespondon me mekanizmat e operatorit të mendjes, që i nënshtrohet njërës prej formave të kthyeshmërisë - përmbysjes (negimit). Grupi ka katër vetitë elementare: prodhimi i dy elementeve të grupit jep edhe një element grupi; një veprim i drejtpërdrejtë korrespondon me një dhe vetëm një operacion të kundërt; ka një operacion identiteti; kompozimet e njëpasnjëshme janë asociative. Në gjuhën e veprimeve intelektuale kjo do të thotë:

Koordinimi i dy sistemeve të veprimit është skemë e re, bashkangjitur atyre të mëparshme;

Operacioni mund të zhvillohet në dy drejtime;

Kur kthehemi në pikën e fillimit e gjejmë të pandryshuar;

Mund të vini në të njëjtën pikë në mënyra të ndryshme, dhe vetë pika mbetet e pandryshuar.

Faktet e zhvillimit “të pavarur” të fëmijës (d.m.th. zhvillimi i pavarur nga ndikim të drejtpërdrejtë shkollimi) tregojnë një mospërputhje midis renditjes së fazave të gjeometrisë dhe fazave të formimit konceptet gjeometrike në një fëmijë. Këto të fundit përafrojnë rendin e vazhdimësisë së grupeve kryesore, ku topologjia vjen e para. Një fëmijë, sipas J. Piaget, së pari zhvillon intuitën topologjike, dhe më pas ai orientohet në drejtimin e strukturave projektive dhe metrike. Prandaj, në veçanti, siç vëren J. Piaget, gjatë përpjekjeve të para për të vizatuar, fëmija nuk bën dallimin midis katrorëve, rrathëve, trekëndëshave dhe figurave të tjera metrike, por dallon në mënyrë të përkryer figurat e hapura dhe të mbyllura, pozicionin "jashtë" ose "brenda". ” në lidhje me kufirin, ndarjen dhe afërsinë (për momentin pa dalluar distancat) etj. (, f. 23).

Le të shqyrtojmë dispozitat kryesore të formuluara nga J. Piaget në lidhje me çështjet e ndërtimit të një kurrikule. Para së gjithash, hulumtimi i J. Piaget tregon se gjatë moshës parashkollore dhe fëmijëria shkollore Fëmija zhvillon struktura të tilla operatori të të menduarit që e lejojnë atë të vlerësojë karakteristikat themelore të klasave të objekteve dhe marrëdhëniet e tyre. Për më tepër, tashmë në fazën e operacioneve specifike (nga 7 deri në 8 vjeç), intelekti i fëmijës fiton vetinë e kthyeshmërisë, e cila është jashtëzakonisht e rëndësishme për të kuptuar përmbajtjen teorike të lëndëve arsimore, në veçanti matematikën.

Këto të dhëna tregojnë se psikologji tradicionale dhe pedagogjia nuk ka marrë mjaftueshëm parasysh natyrën komplekse dhe të fuqishme të atyre fazave të zhvillimit mendor të një fëmije që lidhen me periudhën nga 2 në 7 dhe nga 7 në 11 vjet.

Shqyrtimi i rezultateve të marra nga J. Piaget na lejon të nxjerrim një sërë përfundimesh domethënëse në lidhje me hartimin e një kurrikule të matematikës. Para së gjithash, të dhënat faktike mbi formimin e intelektit të një fëmije nga 2 deri në 11 vjeç tregojnë se në këtë kohë jo vetëm që vetitë e objekteve të përshkruara përmes koncepteve matematikore të "marrëdhënie - strukturë" nuk janë "të huaja" për të, por vetë këta të fundit hyjnë organikisht në të menduarit e fëmijës.

Programet tradicionale nuk e marrin parasysh këtë. Prandaj, ata nuk i kuptojnë shumë nga mundësitë e fshehura në proces. zhvillimin intelektual fëmijë.

Materialet e disponueshme në psikologjinë moderne të fëmijëve na lejojnë të vlerësojmë pozitivisht ide e përgjithshme ndërtimi i një lënde arsimore që do të bazohej në konceptet e strukturave fillestare matematikore. Sigurisht, gjatë rrugës ka vështirësi të mëdha, pasi që ende nuk ka përvojë në ndërtimin e një lënde të tillë arsimore. Në veçanti, njëri prej tyre lidhet me përcaktimin e “pragut” të moshës nga i cili është i realizueshëm trajnimi sipas programit të ri. Nëse ndjekim logjikën e J. Piaget, atëherë, me sa duket, këto programe mund të mësohen vetëm kur fëmijët kanë tashmë struktura operatore të formuara plotësisht (nga 14 deri në 15 vjeç). Por nëse supozojmë se të menduarit real matematikor të fëmijës formohet pikërisht brenda procesit që është përcaktuar nga J. Piaget si procesi i palosjes së strukturave të operatorit, atëherë këto programe mund të prezantohen shumë më herët (për shembull, nga 7 deri në 8 vjeç) , kur fëmijët fillojnë të formojnë operacione specifike me nivelin më të lartë të kthyeshmërisë. Në kushte “natyrore”, kur studioni sipas programeve tradicionale, operacionet formale mund të marrin formë vetëm në moshën 13-15 vjeç. Por a është e mundur të "përshpejtohet" formimi i tyre duke futur më parë të tillë material edukativ, asimilimi i të cilave kërkon analizë të drejtpërdrejtë të strukturave matematikore?

Duket se ka mundësi të tilla. Në moshën 7 - 8 vjeç, fëmijët tashmë kanë zhvilluar mjaftueshëm një plan për veprimet mendore dhe duke u trajnuar në një program të përshtatshëm, në të cilin vetitë e strukturave matematikore jepen "në mënyrë eksplicite" dhe fëmijëve u jepen mjetet për t'i analizuar ato. është e mundur që fëmijët të sillen shpejt në nivelin e operacioneve "formale", sesa në harkun kohor në të cilin kjo kryhet gjatë zbulimit "të pavarur" të këtyre pronave.

Është e rëndësishme të merret parasysh rrethanë e mëposhtme. Ka arsye për të besuar se veçoritë e të menduarit në nivel operacionesh specifike, të datuara nga J. Piaget në moshën 7-11 vjeç, janë në vetvete të lidhura pazgjidhshmërisht me format e organizimit të mësimit, karakteristikë e shkollës fillore tradicionale. Ky trajnim (si këtu ashtu edhe jashtë vendit) zhvillohet mbi bazën e një përmbajtjeje jashtëzakonisht empirike, shpeshherë aspak të lidhur me një qëndrim konceptual (teorik) ndaj objektit. Një trajnim i tillë mbështet dhe forcon të menduarit e fëmijëve, i cili bazohet në perceptimin e jashtëm, të drejtpërdrejtë, në shenjat e perceptueshme të gjërave.

Kështu, aktualisht, ekzistojnë të dhëna faktike që tregojnë një lidhje të ngushtë midis strukturave të të menduarit të fëmijëve dhe strukturave të përgjithshme algjebrike, megjithëse “mekanizmi” i kësaj lidhjeje nuk është aspak i qartë dhe pothuajse i pashkelur. Prania e kësaj lidhjeje hap mundësi themelore (tani për tani vetëm mundësi!) për ndërtimin e një lënde arsimore që zhvillohet sipas skemës “nga struktura të thjeshta- tek kombinimet e tyre komplekse." Një nga kushtet për realizimin e këtyre mundësive është studimi i kalimit në të menduarit e ndërmjetësuar dhe standardet e tij moshore. Kjo metodë e ndërtimit të matematikës si lëndë akademike mund të jetë vetë një levë e fuqishme për formimin në fëmijë të një mendimi të tillë, i cili bazohet në një themel konceptual mjaft të fortë.

1.3 Problemi i origjinës së koncepteve algjebrike dhe rëndësia e tij për ndërtimin e një lënde arsimore

Ndarja kursi shkollor matematika për algjebër dhe aritmetikë, natyrisht, me kusht. Kalimi nga njëri në tjetrin ndodh gradualisht. NË praktikë shkollore kuptimi i këtij kalimi maskohet nga fakti se studimi i thyesave në të vërtetë ndodh pa mbështetje të gjerë për matjen e sasive - thyesat jepen si raporte çiftesh numrash (edhe pse rëndësia e matjes së sasive njihet zyrtarisht në manualet metodologjike). Një prezantim i gjerë i numrave thyesorë të bazuar në matjen e sasive çon në mënyrë të pashmangshme në konceptin e një numri real. Por kjo e fundit zakonisht nuk ndodh, pasi studentët vazhdojnë të punojnë me numra racionalë për një kohë të gjatë, dhe në këtë mënyrë kalimi i tyre në "algjebër" vonohet.

Me fjalë të tjera, algjebra shkollore fillon pikërisht kur krijohen kushtet për kalimin nga numrat e plotë në numrat realë, për të shprehur rezultatin e një matjeje si një thyesë (e thjeshtë dhe dhjetore - e fundme, dhe pastaj e pafundme).

Për më tepër, hapi fillestar mund të jetë njohja me operacionin e matjes, marrja e finales dhjetore dhe studimi i veprimeve mbi to. Nëse studentët tashmë e dinë këtë formë të regjistrimit të rezultatit të një matjeje, atëherë kjo shërben si një parakusht për të "braktisur" idenë se një numër mund të shprehet. thyesë e pafundme. Dhe këshillohet që ky parakusht të krijohet tashmë brenda shkollës fillore.

Nëse koncepti i një numri thyesor (racional) hiqet nga kompetenca e aritmetikës shkollore, atëherë kufiri midis tij dhe "algjebrës" do të kalojë përgjatë vijës së ndryshimit midis numrave të plotë dhe atyre realë. Pikërisht kjo e “ndan” lëndën e matematikës në dy pjesë. Ky nuk është një ndryshim i thjeshtë, por një "dualizëm" themelor i burimeve - numërimit dhe matjes.

Duke ndjekur idetë e Lebesgue në lidhje me "konceptin e përgjithshëm të numrit", është e mundur të sigurohet unitet i plotë në mësimdhënien e matematikës, por vetëm nga momenti dhe pasi të njihen fëmijët me numërimin dhe numrat e plotë (natyrorë). Natyrisht, koha e këtij familjarizimi paraprak mund të jetë e ndryshme (në programet tradicionale për shkollën fillore ato janë qartësisht të vonuara); matje praktike(që është rasti në program) - megjithatë, e gjithë kjo nuk heq dallimet në themelet e aritmetikës dhe "algjebrës" si lëndë mësimore. "Dualizmi" i pikave të fillimit gjithashtu pengon seksionet që lidhen me matjen e sasive dhe kalimin në thyesat reale që të "zënë rrënjë" vërtet në një kurs aritmetik. Autorët e programeve dhe metodologët përpiqen të ruajnë stabilitetin dhe "pastërtinë" e aritmetikës si lëndë shkollore. Ky ndryshim në burime është arsyeja kryesore për mësimin e matematikës sipas skemës - së pari aritmetikë (numër i plotë), pastaj "algjebër" (numër real).

Kjo skemë duket krejt e natyrshme dhe e palëkundur, për më tepër, justifikohet nga praktika shumëvjeçare në mësimdhënien e matematikës. Por ka rrethana që logjikisht pikë psikologjike pikëpamjet kërkojnë një analizë më të plotë të ligjshmërisë së kësaj skeme të ngurtë mësimore.

Fakti është se, pavarësisht nga të gjitha ndryshimet midis këtyre llojeve të numrave, ato u referohen në mënyrë specifike numrave, d.m.th. në një formë të veçantë të shfaqjes së marrëdhënieve sasiore. Fakti që numrat e plotë dhe realë i përkasin "numrave" shërben si bazë për supozimin e derivateve gjenetike të vetë dallimeve midis numërimit dhe matjes: ata kanë një burim të veçantë dhe të vetëm që korrespondon me vetë formën e numrit. Njohja e veçorive të kësaj baze të unifikuar të numërimit dhe matjes do të bëjë të mundur që të imagjinohen më qartë kushtet e origjinës së tyre, nga njëra anë, dhe marrëdhëniet, nga ana tjetër.

Ku të drejtoheni për të gjetur rrënjë e përbashkët pemë e degëzuar e numrave? Duket se para së gjithash është e nevojshme të analizohet përmbajtja e konceptit të sasisë. Vërtetë, ky term lidhet menjëherë me një dimension tjetër. Megjithatë, legjitimiteti i një lidhjeje të tillë nuk përjashton njëfarë pavarësie të kuptimit të "madhësive". Shqyrtimi i këtij aspekti na lejon të nxjerrim përfundime që bashkojnë, nga njëra anë, matjen dhe numërimin, dhe nga ana tjetër, manipulimin e numrave me marrëdhënie dhe modele të caktuara të përgjithshme matematikore.

Pra, çfarë është “sasia” dhe çfarë interesi ka për ndërtimin e seksioneve fillestare të matematikës shkollore?

Në përdorim të përgjithshëm, termi "madhësi" shoqërohet me konceptet "e barabartë", "më shumë", "më pak", të cilat përshkruajnë një sërë cilësish (gjatësia dhe dendësia, temperatura dhe bardhësia). V.F. Kagan ngre pyetjen se cilat veçori të përbashkëta kanë këto koncepte. Tregon se ato i përkasin agregateve - grupeve objekte homogjene, krahasimi i elementeve të të cilave na lejon të aplikojmë termat "më shumë", "barabartë", "më pak" (për shembull, në grupe të të gjitha segmenteve të drejtëzave, peshave, shpejtësive, etj.).

Një grup objektesh shndërrohet në madhësi vetëm kur vendosen kritere që bëjnë të mundur të përcaktohet, në lidhje me cilindo prej elementeve të tij A dhe B, nëse A do të jetë e barabartë me B, më e madhe se B ose më e vogël se B. Për më tepër, për çdo dy elementë A dhe B, një dhe vetëm një nga raportet: A=B, A>B, A<В.

Këto fjali përbëjnë një ndarje të plotë (të paktën njëra vlen, por secila përjashton të gjitha të tjerat).

V.F. Kagan identifikon tetë vetitë e mëposhtme themelore të koncepteve "të barabartë", "më shumë", "më pak": (, f. 17-31).

1) Të paktën një nga marrëdhëniet vlen: A=B, A>B, A<В.

2) Nëse relacioni A = B vlen, atëherë relacioni A nuk vlen<В.

3) Nëse relacioni A=B vlen, atëherë relacioni A>B nuk vlen.

4) Nëse A=B dhe B=C, atëherë A=C.

5) Nëse A>B dhe B>C, atëherë A>C.

6) Nëse A<В и В<С, то А<С.

7) Barazia është një lidhje e kthyeshme: nga relacioni A=B rrjedh gjithmonë relacioni B=A.

8) Barazia është një lidhje reciproke: cilido qoftë elementi A i grupit në shqyrtim, A = A.

Tre fjalitë e para karakterizojnë ndarjen e marrëdhënieve themelore "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых трех элементах А, В и С. Следующие предложения 7 - 8 характеризуют только равенство - его обратимость и возвратность (или рефлексивность). Эти восемь основных положений В.Ф.Каган называет поcтулатами сравнения, на базе которых можно вывести ряд других свойств величины.

Këto veti konkluzionale të V.F. Kagan përshkruan në formën e tetë teoremave:

I. Raporti A>B përjashton raportin B>A (A<В исключает В<А).

II. Nëse A>B, atëherë B<А (если А<В, то В>A).

III. Nëse qëndron A>B, atëherë A nuk qëndron.

IV. Nëse A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1, atëherë A1=An.

V. Nëse A1>A2, A2>A3,.., An-1>An, atëherë A1>An.

VI. Nëse A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Nëse A=C dhe B=C, atëherë A=B.

VIII. Nëse ka barazi ose pabarazi A=B, ose A>B, ose A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа:

nëse A=B dhe A=C, atëherë C=B;

nëse A>B dhe A=C, atëherë C>B, etj.).

Krahasoni postulatet dhe teoremat, vë në dukje V.F. Kagan, "janë shterur të gjitha ato veti të koncepteve "të barabartë", "më shumë" dhe "më pak", të cilat në matematikë lidhen me to dhe gjejnë zbatim pavarësisht nga vetitë individuale të grupit për elementët e të cilave ne i zbatojmë ato. raste të ndryshme të veçanta” (, faqe 31).

Vetitë e specifikuara në postulatet dhe teorema mund të karakterizojnë jo vetëm ato tipare të menjëhershme të objekteve që jemi mësuar t'i lidhim me "të barabartë", "më shumë", "më pak", por edhe me shumë veçori të tjera (për shembull, ato mund të karakterizojnë lidhjen "paraardhës - pasardhës"). Kjo na lejon të marrim një këndvështrim të përgjithshëm kur i përshkruajmë dhe të marrim parasysh, për shembull, nga këndvështrimi i këtyre postulateve dhe teoremave çdo tre lloje të marrëdhënieve "alfa", "beta", "gama" (në këtë rast është është e mundur të përcaktohet nëse këto marrëdhënie i plotësojnë postulatet dhe teoremat dhe në çfarë kushtesh).

Nga ky këndvështrim, mund të konsiderohet, për shembull, një veti e tillë e gjërave si ngurtësia (fortësi më e fortë, më e butë, e barabartë), sekuenca e ngjarjeve në kohë (pas, paraardhëse, e njëkohshme) etj. Në të gjitha këto raste, raportet "alfa", "beta", "gama" marrin interpretimin e tyre specifik. Detyra që lidhet me zgjedhjen e një grupi të tillë trupash që do të kishin këto marrëdhënie, si dhe identifikimin e shenjave me të cilat mund të karakterizohen "alfa", "beta", "gama" - kjo është detyra e përcaktimit të kritereve të krahasimit. në një grup të caktuar trupash (në praktikë, në disa raste nuk është e lehtë të zgjidhet). "Duke vendosur kritere krahasimi, ne e transformojmë shumësinë në madhësi," shkroi V.F. Kagan (, f. 41).

Objektet reale mund të shikohen nga këndvështrimi i kritereve të ndryshme. Kështu, një grup njerëzish mund të konsiderohet sipas një kriteri të tillë si sekuenca e momenteve të lindjes së secilit prej anëtarëve të tij. Një kriter tjetër është pozicioni relativ që do të marrin kokat e këtyre njerëzve nëse vendosen krah për krah në të njëjtin rrafsh horizontal. Në çdo rast, grupi do të shndërrohet në një sasi që ka një emër përkatës - mosha, lartësia. Në praktikë, një sasi zakonisht nuk tregon vetë grupin e elementeve, por një koncept të ri të paraqitur për të dalluar kriteret e krahasimit (emri i sasisë). Kështu lindin konceptet “vëllimi”, “pesha”, “tensioni elektrik” etj. "Në të njëjtën kohë, për një matematikan, vlera përcaktohet plotësisht kur tregohen shumë elementë dhe kritere krahasimi," vuri në dukje V.F. Kagan (, f. 47).

Kjo sipas V.F. Kagan, përmbajtja e teorisë së sasisë, e cila luan një rol jetik në themelin e të gjithë matematikës.

Duke punuar me sasi (është e këshillueshme të regjistroni vlerat e tyre individuale me shkronja), mund të kryeni një sistem kompleks transformimesh, duke vendosur varësitë e vetive të tyre, duke kaluar nga barazia në pabarazi, duke kryer mbledhje (dhe zbritje) dhe kur shtoni ju mund të udhëhiqeni nga vetitë komutative dhe asociative. Pra, nëse është dhënë relacioni A = B, atëherë kur "zgjidhni" probleme mund të udhëhiqeni nga relacioni B = A. Në një rast tjetër, nëse ka relacione A>B, B=C, mund të konkludojmë se A>C. Meqenëse për a>b ka një c të tillë që a=b+c, atëherë mund të gjejmë ndryshimin midis a dhe b (a-b=c), etj. Të gjitha këto transformime mund të bëhen në trupat fizikë dhe objekte të tjera, duke vendosur kriteret e krahasimit dhe përputhshmërinë e marrëdhënieve të përzgjedhura me postulatet e krahasimit.

Materialet e mësipërme na lejojnë të arrijmë në përfundimin se si numrat natyrorë ashtu edhe ato realë janë të lidhur ngushtë me sasitë dhe disa nga veçoritë e tyre thelbësore. A është e mundur që këto dhe prona të tjera të bëhen objekt? studim i veçantë fëmijë edhe para se të futet forma numerike e përshkrimit të marrëdhënies së sasive? Ato mund të shërbejnë si parakushte për prezantimin e mëvonshëm të detajuar të numrit dhe llojeve të ndryshme të tij, veçanërisht për propedeutikën e thyesave, konceptet e koordinatave, funksionet dhe konceptet e tjera tashmë në klasat e ulëta.

Cila mund të jetë përmbajtja e kësaj seksioni fillestar? Kjo është një hyrje në objekte fizike, kriteret e krahasimit të tyre, evidentimi i një sasie si lëndë e shqyrtimit matematik, njohja me metodat e krahasimit dhe mjetet simbolike të regjistrimit të rezultateve të saj, me teknikat e analizimit të vetive të përgjithshme të sasive. Kjo përmbajtje duhet të zhvillohet në një program mësimor relativisht të detajuar dhe, më e rëndësishmja, të lidhet me ato veprime të fëmijës përmes të cilave ai mund të zotërojë këtë përmbajtje (sigurisht, në formën e duhur). Në të njëjtën kohë, është e nevojshme të përcaktohet eksperimentalisht nëse fëmijët 7-vjeçarë mund ta zotërojnë këtë program dhe cila është mundësia e prezantimit të tij për mësimin e mëvonshëm të matematikës në klasat fillore në drejtim të afrimit të aritmetikës dhe algjebrës fillore. së bashku.

Deri më tani, arsyetimi ynë ka qenë teorik në natyrë dhe synon të qartësojë parakushtet matematikore për ndërtimin e një seksioni të tillë fillestar të kursit që do t'i prezantonte fëmijët me konceptet bazë algjebrike (deri në hyrje e veçantë numrat).

Karakteristikat kryesore që karakterizojnë sasitë janë përshkruar më sipër. Natyrisht, nuk ka kuptim që fëmijët 7-vjeçar të japin “leksione” në lidhje me këto prona. Ishte e nevojshme të gjendej një formë e tillë pune për fëmijët me material didaktik, nëpërmjet të cilave ata mund të identifikonin nga njëra anë këto veti në gjërat që i rrethojnë, nga ana tjetër do të mësonin t'i rregullonin ato me një simbolikë të caktuar dhe të kryenin elementare. analiza matematikore marrëdhëniet e alokuara.

Në këtë drejtim, programi duhet të përmbajë, së pari, një tregues të atyre vetive të lëndës që duhet të zotërohen, së dyti, një përshkrim të materialeve didaktike, së treti - dhe kjo është gjëja kryesore nga pikëpamja psikologjike - karakteristikat të atyre veprimeve nëpërmjet të cilave fëmija identifikon disa veti të një objekti dhe i zotëron ato. Këta “komponentë” formojnë programin mësimor në kuptimin e duhur të fjalës.

Karakteristikat specifike Ka kuptim të paraqitet ky program hipotetik dhe "përbërësit" e tij kur përshkruhet vetë procesi i të mësuarit dhe rezultatet e tij. Këtu është përmbledhja e këtij programi dhe temat kryesore të tij.

Tema I. Nivelimi dhe plotësimi i objekteve (sipas gjatësisë, vëllimit, peshës, përbërjes së pjesëve dhe parametrave të tjerë).

Probleme praktike për barazimin dhe përvetësimin. Identifikimi i karakteristikave (kritereve) me të cilat mund të barazohen ose plotësohen të njëjtat objekte. Përcaktimi verbal i këtyre karakteristikave ("nga gjatësia", nga pesha, etj.).

Këto detyra zgjidhen në procesin e punës me materialin didaktik (shufra, pesha, etj.) nga:

Zgjedhja e artikullit "të njëjtë",

Riprodhimi (ndërtimi) i të njëjtit objekt sipas një parametri të zgjedhur (të specifikuar).

Tema II. Krahasimi i objekteve dhe fiksimi i rezultateve të tij duke përdorur formulën barazi-pabarazi.

1. Detyra për krahasimin e objekteve dhe përcaktimin simbolik të rezultateve të këtij veprimi.

2. Regjistrimi verbal i rezultateve të krahasimit ( termat “më shumë”, “më pak”, “barabartë”). Shenjat e shkruara ">", "<", "=".

3. Tregimi i rezultatit të krahasimit me një vizatim ("kopjim" dhe më pas "abstrakt" - rreshta).

4. Përcaktimi i objekteve të krahasuara me shkronja. Regjistrimi i rezultatit të krahasimit duke përdorur formulat: A=B; A<Б, А>B.

Një shkronjë si një shenjë që fikson një vlerë të caktuar drejtpërdrejt të një objekti sipas një parametri të zgjedhur (nga pesha, nga vëllimi, etj.).

5. Pamundësia e fiksimit të rezultatit të krahasimit duke përdorur formula të ndryshme. Zgjedhja e një formule specifike për një rezultat të caktuar (ndarje e plotë e marrëdhënieve më e madhe - më pak - e barabartë).

Tema III. Vetitë e barazisë dhe pabarazisë.

1. Kthyeshmëria dhe refleksiviteti i barazisë (nëse A=B, atëherë B=A; A=A).

2. Lidhja ndërmjet marrëdhënieve “më shumë” dhe “më pak” në pabarazitë gjatë “permutacioneve” të palëve të krahasuara (nëse A>B, atëherë B<А и т.п.).

3. Kalueshmëria si veti e barazisë dhe pabarazisë:

nëse A=B, nëse A>B, nëse A<Б,

a B=B, a B>B, a B<В,

pastaj A=B; pastaj A>B; pastaj A<В.

4. Kalimi nga puna me materialin didaktik lëndor në vlerësimin e vetive të barazisë dhe pabarazisë në prani të formulave vetëm fjalëpërfjalë. Zgjidhja e problemave të ndryshme që kërkojnë njohuri për këto veti (p.sh. zgjidhja e problemeve që lidhen me lidhjen e marrëdhënieve të tipit: duke qenë se A>B, dhe B=C; zbuloni marrëdhënien midis A dhe C).

Tema IV. Operacioni i mbledhjes (zbritjes).

1. Vëzhgimet e ndryshimeve në objekte sipas një ose një parametri tjetër (nga vëllimi, nga pesha, nga kohëzgjatja etj.). Ilustrimi i rritjes dhe zvogëlimit me shenjat "+" dhe "-" (plus dhe minus).

2. Shkelja e barazisë së vendosur më parë me një ndryshim përkatës në njërën ose tjetrën anë të saj. Kalimi nga barazia në pabarazi. Shkrimi i formulave si:

nëse A=B, nëse A=B,

pastaj A+K>B; pastaj A-K<Б.

3. Metodat e kalimit në barazi të re (“rivendosja” e tij sipas parimit: shtimi i “barabartë” në “barabartë” jep “të barabartë”).

Puna me formula si:

pastaj A+K>B,

por A+K=B+K.

4. Zgjidhja e problemeve të ndryshme që kërkojnë përdorimin e mbledhjes (zbritjes) gjatë kalimit nga barazia në pabarazi dhe prapa.

Tema V. Kalimi nga mosbarazimi i tipit A<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Detyrat që kërkojnë një tranzicion të tillë. Nevoja për të përcaktuar vlerën e sasisë me të cilën ndryshojnë objektet e krahasuara. Aftësia për të shkruar barazi kur vlera specifike e kësaj sasie është e panjohur. Mënyra e përdorimit të x (x).

Shkrimi i formulave si:

nëse A<Б, если А>B,

atëherë A+x=B; atëherë A-x=B.

2. Përcaktimi i vlerës së x. Zëvendësimi i kësaj vlere në formulë (hyrje në kllapa). Lloji formula

3. Zgjidhja e problemeve (përfshirë "plot-tekstual") që kërkojnë kryerjen e operacioneve të specifikuara.

Tema Vl. Mbledhje-zbritje barazish-pabarazish. Zëvendësimi.

1. Mbledhja-zbritja e barazive-pabarazive:

nëse A=B nëse A>B nëse A>B

dhe M=D, dhe K>E, dhe B=G,

pastaj A+M=B+D; pastaj A+K>B+E; pastaj A+-B>C+-G.

2. Aftësia për të paraqitur vlerën e një sasie si shumë e disa vlerave. Zëvendësimi i llojit:

3. Zgjidhja e problemeve të ndryshme që kërkojnë marrjen parasysh të vetive të marrëdhënieve me të cilat fëmijët u njohën në procesin e punës (shumë detyra kërkojnë shqyrtim të njëkohshëm të disa vetive, inteligjencë në vlerësimin e kuptimit të formulave; përshkrimet e problemeve dhe zgjidhjet janë dhënë më poshtë ).

Ky është një program i projektuar për 3,5 - 4 muaj. gjysmën e parë të vitit. Siç tregon përvoja e mësimdhënies eksperimentale, me planifikimin e duhur të mësimit, përmirësimin e metodave të mësimdhënies dhe zgjedhjen e suksesshme të mjeteve ndihmëse didaktike, i gjithë materiali i paraqitur në program mund të absorbohet plotësisht nga fëmijët në një periudhë më të shkurtër kohore (në 3 muaj). .

Si po ecën përpara programi ynë? Para së gjithash, fëmijët njihen me metodën e marrjes së një numri që shpreh marrëdhënien e një objekti në tërësi (e njëjta sasi e përfaqësuar nga një objekt i vazhdueshëm ose diskret) me pjesën e tij. Vetë ky raport dhe kuptimi i tij specifik përshkruhet me formulën A/K = n, ku n është çdo numër i plotë, më së shpeshti duke shprehur raportin me "njësinë" më të afërt (vetëm me një përzgjedhje të veçantë të materialit ose duke numëruar vetëm "cilësisht" gjëra individuale mund të merret një numër i plotë absolutisht i saktë). Fëmijët që në fillim janë “të detyruar” të kenë parasysh se gjatë matjes ose numërimit mund të rezultojë një mbetje, prania e së cilës duhet të përcaktohet posaçërisht. Ky është hapi i parë për punën e mëvonshme me thyesat.

Me këtë formë të marrjes së një numri, nuk është e vështirë t'i shtysh fëmijët të përshkruajnë një objekt me një formulë si A = 5k (nëse raporti ishte i barabartë me "5"). Së bashku me formulën e parë, ajo hap mundësi për një studim të veçantë të varësive midis objektit, bazës (matjes) dhe rezultatit të numërimit (matjes), e cila shërben edhe si një propedeutik për kalimin në numrat thyesorë (në veçanti , për të kuptuar vetinë themelore të një thyese).

Një linjë tjetër e zhvillimit të programit, e zbatuar tashmë në klasën e parë, është transferimi në numra (numra të plotë) të vetive bazë të sasisë (disjuksioni i barazisë-pabarazi, transitiviteti, kthyeshmëria) dhe funksionimi i mbledhjes (komutativiteti, asociativiteti, monotoniteti, etj. mundësia e zbritjes). Në veçanti, duke punuar në vijën numerike, fëmijët mund të konvertojnë shpejt sekuencat e numrave në madhësi (për shembull, të vlerësojnë qartë kalueshmërinë e tyre duke bërë shënime të tipit 3<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.).

Njohja me disa nga të ashtuquajturat tipare "strukturore" të barazisë i lejon fëmijët t'i qasen ndryshe lidhjes midis mbledhjes dhe zbritjes. Kështu, kur kalohet nga pabarazia në barazi, kryhen shndërrimet e mëposhtme: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; gjeni lidhjen ndërmjet anës së majtë dhe të djathtë të formulës për 8+1-4...6+3-2; në rast pabarazie, sillni këtë shprehje në barazi (së pari ju duhet të vendosni një shenjë "më pak se" dhe më pas të shtoni një "dy" në anën e majtë).

Kështu, trajtimi i një serie numrash si një sasi ju lejon të zhvilloni aftësitë e mbledhjes dhe zbritjes (dhe më pas shumëzimit dhe pjesëtimit) në një mënyrë të re.

Kapitulli II. Rekomandime metodologjike për studimin e materialit algjebrik në shkollën fillore 2.1 Mësimdhënia në shkollën fillore nga pikëpamja e nevojave të shkollës së mesme

Siç e dini, kur studioni matematikën në klasën e 5-të, një pjesë e konsiderueshme e kohës i kushtohet përsëritjes së asaj që fëmijët duhet të kishin mësuar në shkollën fillore. Kjo përsëritje pothuajse në të gjitha tekstet ekzistuese zgjat 1,5 tremujorë akademikë. Kjo situatë nuk ka lindur rastësisht. Arsyeja e saj është pakënaqësia e mësuesve të matematikës në shkollat e mesme me përgatitjen e maturantëve. Cila është arsyeja e kësaj situate? Për këtë qëllim janë analizuar pesë tekstet më të njohura të matematikës së shkollave fillore sot. Këto janë tekstet shkollore të M.I. Moro, I.I. Arginskaya, N.B. Istomina, L.G. Peterson dhe V.V. Davydova (, , , ,).

Një metodë për të zotëruar në mënyrë efektive tabelën e shumëzimit u gjet në vitet '50. Ai konsiston në organizimin e një sistemi të caktuar ushtrimesh, duke i kryer vetë fëmijët ndërtojnë një tabelë shumëzimi. Megjithatë, kjo metodë nuk është zbatuar në asnjë nga tekstet shkollore të rishikuara.

Një tjetër pikë negative që ndikon në edukimin e mëtejshëm është se në shumë raste prezantimi i materialit në tekstet e matematikës së shkollës fillore është i strukturuar në atë mënyrë që në të ardhmen fëmijët do të duhet të rikualifikohen dhe kjo, siç e dimë, është shumë më e vështirë sesa. mësimdhënies. Në lidhje me studimin e materialit algjebrik, një shembull do të ishte zgjidhja e ekuacioneve në shkollën fillore. Në të gjitha tekstet shkollore, zgjidhja e ekuacioneve bazohet në rregullat për gjetjen e përbërësve të panjohur të veprimeve.

Kjo është bërë disi ndryshe vetëm në tekstin shkollor nga L.G. Peterson, ku, për shembull, zgjidhja e ekuacioneve të shumëzimit dhe pjesëtimit bazohet në korrelimin e përbërësve të ekuacionit me brinjët dhe sipërfaqen e një drejtkëndëshi dhe në fund gjithashtu zbret në rregulla, por këto janë rregulla për gjetjen e anës ose sipërfaqes së një drejtkëndësh. Ndërkohë, duke filluar nga klasa e 6-të, fëmijëve u mësohet një parim krejtësisht i ndryshëm për zgjidhjen e ekuacioneve, bazuar në përdorimin e shndërrimeve identike. Kjo nevojë për rimësim çon në faktin se zgjidhja e ekuacioneve është një detyrë mjaft e vështirë për shumicën e fëmijëve.

Duke analizuar tekstet shkollore, kemi hasur edhe në faktin se gjatë paraqitjes së materialit në to shpesh vërehet shtrembërim i koncepteve. Për shembull, formulimi i shumë përkufizimeve jepet në formën e nënkuptimeve, ndërsa nga logjika matematikore dihet se çdo përkufizim është ekuivalencë. Si ilustrim, mund të citojmë përkufizimin e shumëzimit nga libri shkollor i I.I. Arginskaya: "Nëse të gjithë termat në shumë janë të barabartë me njëri-tjetrin, atëherë shtimi mund të zëvendësohet nga një veprim tjetër - shumëzimi." (Të gjithë termat në shumë janë të barabartë me njëri-tjetrin. Prandaj, mbledhja mund të zëvendësohet me shumëzim.) Siç mund ta shihni, ky është një nënkuptim në formën e tij të pastër. Ky formulim nuk është vetëm analfabet nga pikëpamja e matematikës, jo vetëm që krijon gabim te fëmijët një ide se çfarë është përkufizimi, por është edhe shumë i dëmshëm sepse në të ardhmen, për shembull, kur ndërtohet një tabelë shumëzimi, autorët e teksteve përdorin zëvendësimin e produktit me shumën e termave identikë, gjë që formulimi i paraqitur nuk e lejon. Një punë e tillë e gabuar me thënie të shkruara në formën e nënkuptimit formon një stereotip të pasaktë tek fëmijët, i cili do të kapërcehet me shumë vështirësi në mësimet e gjeometrisë, kur fëmijët nuk do të ndjejnë dallimin midis një deklarate të drejtpërdrejtë dhe të kundërt, midis një shenje të figurës dhe pronë e saj. Gabimi i përdorimit të teoremës së anasjelltë gjatë zgjidhjes së problemeve, ndërkohë që është vërtetuar vetëm teorema e drejtpërdrejtë, është shumë i zakonshëm.

Një shembull tjetër i formimit të gabuar të konceptit është puna me relacionin e barazisë fjalë për fjalë. Për shembull, rregullat për shumëzimin e një numri me një dhe një numri me zero në të gjitha tekstet shkollore jepen në formë shkronja: a x 1 = a, a x 0 = 0. Marrëdhënia e barazisë, siç dihet, është simetrike, dhe për këtë arsye, e tillë një shënim parashikon jo vetëm që kur shumëzohet me 1, fitohet i njëjti numër, por gjithashtu që çdo numër mund të përfaqësohet si prodhim i këtij numri dhe një. Megjithatë, formulimi verbal i propozuar në tekstet shkollore pas hyrjes së shkronjave flet vetëm për mundësinë e parë. Ushtrimet për këtë temë synojnë gjithashtu vetëm praktikimin e zëvendësimit të prodhimit të një numri dhe një me këtë numër. E gjithë kjo çon jo vetëm në faktin se një pikë shumë e rëndësishme nuk bëhet objekt i ndërgjegjes së fëmijëve: çdo numër mund të shkruhet në formën e një produkti, i cili në algjebër kur punoni me polinome do të shkaktojë vështirësi përkatëse, por edhe në fakti që fëmijët, në parim, nuk dinë të punojnë drejt me raportin e barazisë. Për shembull, kur punojnë me formulën e ndryshimit të katrorëve, fëmijët, si rregull, përballen me detyrën e faktorizimit të ndryshimit të katrorëve. Megjithatë, ato detyra ku kërkohet veprimi i kundërt shkaktojnë vështirësi në shumë raste. Një tjetër ilustrim i mrekullueshëm i kësaj ideje është puna me ligjin shpërndarës të shumëzimit në lidhje me mbledhjen. Edhe këtu, pavarësisht shkronjave të ligjit, si formulimi verbal i tij ashtu edhe sistemi i ushtrimeve vetëm sa stërvitin aftësinë për të hapur kllapa. Si rezultat, vendosja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave do të shkaktojë vështirësi të konsiderueshme në të ardhmen.

Shumë shpesh në shkollën fillore, edhe kur një përkufizim ose rregull formulohet saktë, të mësuarit stimulohet duke u mbështetur jo tek ata, por në diçka krejtësisht të ndryshme. Për shembull, kur studiojmë tabelën e shumëzimit me 2, të gjitha tekstet e shqyrtuara tregojnë se si të ndërtohet ajo. Në tekstin M.I. Moro e bëri kështu:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Me këtë metodë të punës, fëmijët do të vërejnë shumë shpejt modelin e serisë së numrave që rezulton.

Pas 3-4 barazive, ata do të ndalojnë së shtuari dyshe dhe do të fillojnë të shkruajnë rezultatin bazuar në modelin e vëzhguar. Kështu, metoda e ndërtimit të tabelës së shumëzimit nuk do të bëhet objekt i ndërgjegjes së tyre, gjë që do të rezultojë në asimilimin e saj të brishtë.

Kur studiohet materiali në shkollën fillore, mbështetet në veprime objektive dhe qartësi ilustruese, gjë që çon në formimin e të menduarit empirik. Sigurisht, vështirë se është e mundur të bëhet pa një dukshmëri të tillë në shkollën fillore. Por ai duhet të shërbejë vetëm si një ilustrim i këtij apo atij fakti, dhe jo si bazë për formimin e një koncepti. Përdorimi i qartësisë ilustruese dhe veprimeve thelbësore në tekstet shkollore shpesh çon në "të paqartë" vetë konceptin. Për shembull, në metodat e matematikës për klasat 1-3, M.I. Moreau thotë se fëmijët duhet të bëjnë ndarje duke renditur objektet në pirgje ose duke bërë një vizatim për 30 mësime. Veprime të tilla humbasin thelbin e operacionit të ndarjes si veprimi i kundërt i shumëzimit. Si rezultat, ndarja mësohet me vështirësinë më të madhe dhe është shumë më e keqe se veprimet e tjera aritmetike.

Kur mësohet matematika në shkollën fillore, nuk flitet për të vërtetuar ndonjë pohim. Ndërkohë, duke kujtuar se sa e vështirë do të jetë të mësosh prova në shkollë të mesme, duhet të fillosh të përgatitesh për këtë që në klasat fillore. Për më tepër, kjo mund të bëhet në material që është mjaft i arritshëm për nxënësit e rinj të shkollës. Një material i tillë, për shembull, mund të jenë rregullat për pjesëtimin e një numri me 1, zero me një numër dhe një numër në vetvete. Fëmijët janë mjaft të aftë t'i vërtetojnë ato duke përdorur përkufizimin e pjesëtimit dhe rregullat përkatëse të shumëzimit.

Materiali i shkollës fillore gjithashtu mundëson propedeutikë algjebër - punë me shkronja dhe shprehje shkronjash. Shumica e teksteve shkollore shmangin përdorimin e shkronjave. Si rezultat, fëmijët punojnë pothuajse ekskluzivisht me numra për katër vjet, pas së cilës, natyrisht, është shumë e vështirë t'i mësosh ata të punojnë me shkronja. Sidoqoftë, është e mundur të sigurohet propedeutikë për një punë të tillë, për t'i mësuar fëmijët të zëvendësojnë një numër në vend të një shkronje në një shprehje shkronjash tashmë në shkollën fillore. Kjo është bërë, për shembull, në tekstin shkollor nga L.G. Peterson.

Duke folur për mangësitë e mësimdhënies së matematikës në shkollën fillore, të cilat pengojnë mësimin e mëtutjeshëm, është e nevojshme të theksohet veçanërisht fakti se shpeshherë materiali në tekstet shkollore paraqitet pa parë se si do të funksionojë në të ardhmen. Një shembull shumë i mrekullueshëm i kësaj është organizimi i shumëzimit të të mësuarit me 10, 100, 1000, etj. Në të gjitha tekstet e shqyrtuara, prezantimi i këtij materiali është i strukturuar në atë mënyrë që në mënyrë të pashmangshme çon në formimin në mendjet e fëmijëve të rregullit: “Për të shumëzuar një numër me 10, 100, 1000, etj., duhet për të shtuar aq zero në anën e djathtë sa ka në 10, 100, 1000, etj." Ky rregull është një nga ata që mësohet shumë mirë në shkollën fillore. Dhe kjo çon në një numër të madh gabimesh gjatë shumëzimit të thyesave dhjetore me njësi të plota. Edhe pas kujtimit të rregullit të ri, fëmijët shpesh shtojnë automatikisht një zero në të djathtë të dhjetorit kur shumëzojnë me 10. Përveç kësaj, duhet të theksohet se kur shumëzoni një numër natyror dhe kur shumëzoni një thyesë dhjetore me njësi të plota, në thelb ndodh e njëjta gjë: çdo shifër e numrit zhvendoset djathtas me numrin përkatës të shifrave. Prandaj, nuk ka kuptim t'u mësoni fëmijëve dy rregulla të veçanta dhe plotësisht formale. Është shumë më e dobishme t'u mësosh atyre një mënyrë të përgjithshme të veprimit kur zgjidhin probleme të ngjashme.

2.1 Krahasimi (kontrasti) i koncepteve në orët e matematikës

Programi aktual parashikon studimin në klasën I të vetëm dy veprimeve të nivelit të parë - mbledhje dhe zbritje. Kufizimi i vitit të parë të studimit në vetëm dy operacione është, në thelb, një largim nga ajo që ishte arritur tashmë në tekstet shkollore që u paraprinë atyre aktuale: asnjë mësues i vetëm nuk u ankua kurrë se shumëzimi dhe pjesëtimi, le të themi, brenda 20, ishte përtej aftësitë e nxënësve të klasës së parë. Vlen gjithashtu t'i kushtohet vëmendje faktit që në shkollat e vendeve të tjera, ku arsimi fillon në moshën 6-vjeçare, viti i parë shkollor përfshin njohjen fillestare me të katër veprimet aritmetike. Matematika mbështetet kryesisht në katër veprime dhe sa më shpejt të përfshihen në praktikën e të menduarit të studentit, aq më i qëndrueshëm dhe më i besueshëm do të jetë zhvillimi i mëpasshëm i lëndës së matematikës.

Për të qenë të drejtë, duhet theksuar se në versionet e para të teksteve shkollore të M.I. Sidoqoftë, një aksident e parandaloi çështjen: autorët e programeve të reja u kapën vazhdimisht pas një "risie" - mbulimi në klasën e parë të të gjitha rasteve të mbledhjes dhe zbritjes brenda 100 (37+58 dhe 95-58, etj.). Por, duke qenë se nuk kishte kohë të mjaftueshme për të studiuar një vëllim kaq të zgjeruar informacioni, u vendos që shumëzimi dhe pjesëtimi të zhvendosej plotësisht në vitin e ardhshëm të studimit.

Pra, magjepsja me linearitetin e programit, d.m.th., një zgjerim i pastër sasior i njohurive (veprime të njëjta, por me numër më të madh), mori kohën që i ndahej më parë thellimit cilësor të njohurive (duke studiuar të katër veprimet brenda dy duzina). Studimi i shumëzimit dhe pjesëtimit tashmë në klasën e parë do të thotë një kërcim cilësor në të menduarit, pasi ju lejon të zotëroni proceset e kondensuar të mendimit.

Sipas traditës, studimi i mbledhjes dhe zbritjes brenda 20 ka qenë një temë e veçantë Nevoja për këtë qasje në sistemimin e njohurive është e dukshme edhe nga analiza logjike e pyetjes: fakt është se tabela e plotë për mbledhjen njëshifrore. numrat zhvillohen brenda dy dhjetësheve (0+1= 1, ...,9+9=18). Kështu, numrat brenda 20 formojnë një sistem të plotë marrëdhëniesh në lidhjet e tyre të brendshme; prandaj është e qartë përshtatshmëria e ruajtjes së "Njëzetave" si temë e dytë holistike (tema e parë e tillë janë veprimet brenda dhjetës së parë).

Rasti në diskutim është pikërisht ai ku koncentriciteti (duke ruajtur dhjetëshen e dytë si temë të veçantë) rezulton të jetë më i dobishëm se lineariteti (“shpërbërja” e dhjetës së dytë në temën “Njëqind”).

Në librin shkollor të M.I., studimi i dhjetëshes së parë është i ndarë në dy seksione të izoluara: së pari studiohet përbërja e numrave të dhjetëshes së parë dhe në temën tjetër merren parasysh veprimet brenda 10-shit nga P.M. Erdnieva, ndryshe nga kjo, kreu një studim të përbashkët të numërimit, përbërjes së numrave dhe veprimeve (mbledhje dhe zbritje) brenda 10 menjëherë në një seksion. Me këtë qasje, përdoret një studim monografik i numrave, përkatësisht: brenda numrit në shqyrtim (për shembull, 3), e gjithë "matematika e parave të gatshme" kuptohet menjëherë: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 – 1 = 2; 3 – 2 = 1.

Nëse, sipas programeve aktuale, janë ndarë 70 orë për studimin e dhjetë të parëve, atëherë në rastin e trajnimit eksperimental, i gjithë ky material është studiuar në 50 orë (dhe përveç programit, janë konsideruar disa koncepte shtesë që nuk ishin në tekstin e qëndrueshëm, por strukturisht ishin të lidhura me materialin kryesor).

Çështja e klasifikimit të detyrave dhe emrave të llojeve të tyre kërkon vëmendje të veçantë në metodologjinë e trajnimit fillestar. Breza të tëra metodologësh punuan për të përmirësuar sistemin e detyrave të shkollës, për të krijuar llojet dhe varietetet e tyre efektive, deri në përzgjedhjen e termave të suksesshëm për emrat e detyrave të destinuara për studime në shkollë. Dihet se të paktën gjysma e kohës mësimore në orët e matematikës i kushtohet zgjidhjes së tyre. Detyrat e shkollës sigurisht që kanë nevojë për sistemim dhe klasifikim. Çfarë lloj (lloj) detyrash për të studiuar, kur për të studiuar, çfarë lloj problemesh për të studiuar në lidhje me kalimin e një seksioni të veçantë - ky është një objekt legjitim i studimit të metodologjisë dhe përmbajtjes qendrore të programeve. Rëndësia e kësaj rrethane është e qartë nga historia e metodologjisë së matematikës.

Në mjetet mësimore eksperimentale të autorit, vëmendje e veçantë i kushtohet klasifikimit të detyrave dhe shpërndarjes së llojeve dhe varieteteve të tyre të nevojshme për mësimdhënie në një klasë të caktuar. Aktualisht, emrat klasikë të llojeve të problemave (për të gjetur një shumë, një term të panjohur etj.) janë zhdukur edhe nga përmbajtja e një teksti të qëndrueshëm të klasës së parë. Në tekstin e provës P.M. Erdniev, këta emra "funksionojnë": ato janë të dobishme si piketa didaktike jo vetëm për studentin, por edhe për mësuesin. Le të paraqesim përmbajtjen e temës së parë të tekstit provues të matematikës, e cila karakterizohet nga plotësia logjike e koncepteve.

Dhjetë e para

Krahasimi i koncepteve më të larta - më të ulëta, majtas - djathtas, ndërmjet, më të shkurtër - më të gjatë, më të gjerë - më të ngushtë, më të trashë - më të hollë, më të vjetër - më të ri, më tej - më afër, më i ngadalshëm - më i shpejtë, më i lehtë - më i rëndë, pak - shumë.

Studim monografik i numrave të dhjetëshes së parë: emri, emërtimi, krahasimi, vënia e numrave në numërator dhe përcaktimi i numrave në vijën numerike; shenjat: e barabartë (=), jo e barabartë (¹), më e madhe se (>), më e vogël se (<).

Linja të drejta dhe të lakuara; rrethi dhe ovale.

Pika, drejtëza, segmenti, emërtimi i tyre me shkronja; matja e gjatësisë së një segmenti dhe vendosja e segmenteve të një gjatësi të caktuar; emërtimi, emërtimi, ndërtimi, prerja e trekëndëshave të barabartë, shumëkëndëshave të barabartë. Elementet e një shumëkëndëshi: kulmet, brinjët, diagonalet (të shënuara me shkronja).

Studimi monografik i numrave brenda numrit në fjalë:

përbërjen e numrave, mbledhjen dhe zbritjen.

Emrat e përbërësve të mbledhjes dhe zbritjes.

Katër shembuj për mbledhje dhe zbritje:

3 + 2 = 5, 5 - 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 - 3 = 2.

Shembuj të deformuar (me numra dhe shenja që mungojnë):

X + 5 = 7; 6 – X = 4; 6 = 3A2.

Zgjidhja e problemeve për gjetjen e shumës dhe shtesës, ndryshimit, minuendit dhe nëntrahendës. Përpilimi dhe zgjidhja e problemeve reciproke të anasjellta.

Tre detyra: rritja dhe zvogëlimi i një numri me disa njësi dhe krahasimi i ndryshimit. Krahasimi i segmenteve sipas gjatësisë.

Ligji komutativ i shtimit. Një ndryshim në një shumë në varësi të një ndryshimi në një term. Kushti kur shuma nuk ndryshon. Shprehjet letrare më të thjeshta: a + b = b + a, a + 0 = a, a – a = 0.

Hartimi dhe zgjidhja e problemeve të të shprehurit.

Në prezantimin e mëposhtëm do të shqyrtojmë çështjet kryesore të metodologjisë për paraqitjen e këtij seksioni fillestar të matematikës shkollore, duke pasur parasysh se metodologjia për paraqitjen e pjesëve vijuese duhet të jetë në shumë mënyra e ngjashme me procesin e përvetësimit të materialit të temës së parë. .

Që në mësimet e para, mësuesi duhet t'i vendosë vetes synimin që t'i mësojë studentit të përdorë çifte konceptesh, përmbajtja e të cilave zbulohet në procesin e hartimit të fjalive përkatëse me këto fjalë. (Së pari, ne zotërojmë krahasimin në një nivel cilësor, pa përdorur numra.)

Këtu janë shembuj të çifteve më të zakonshme të koncepteve që duhet të përdoren në mësime jo vetëm në matematikë, por edhe në zhvillimin e të folurit:

Më shumë - më pak, më i gjatë - më i shkurtër, më i lartë - më i ulët, më i rëndë - më i lehtë, më i gjerë - më i ngushtë, më i trashë - më i hollë, djathtas - majtas, më tej - më afër, më i vjetër - më i ri, më i shpejtë - më i ngadalshëm, etj.

Kur punoni në çifte të tilla konceptesh, është e rëndësishme të përdorni jo vetëm ilustrime në tekstin shkollor, por edhe vëzhgimet e fëmijëve; kështu, për shembull, nga dritarja e klasës ata shohin se ka një shtëpi matanë lumit dhe formojnë frazat: "Lumi është më afër shkollës sesa shtëpia, dhe shtëpia është më larg nga shkolla se lumi. .”

Lëreni nxënësin të mbajë një libër dhe një fletore në dorë në mënyrë të alternuar. Mësuesi pyet: çfarë është më e rëndë - një libër apo një fletore? Çfarë është më e lehtë? "Një libër është më i rëndë se një fletore, dhe një fletore është më e lehtë se një libër."

Pasi rreshtuam studentin më të gjatë dhe më të shkurtër në klasë krah për krah para klasës, ne krijojmë menjëherë dy fraza: "Misha është më i gjatë se Kolya dhe Kolya është më i shkurtër se Misha".

Në këto ushtrime, është e rëndësishme të arrihet një zëvendësim i saktë gramatikor i një gjykimi me një gjykim të dyfishtë: "Një shtëpi prej guri është më e lartë se ajo prej druri, që do të thotë një shtëpi prej druri është më e ulët se ajo prej guri".

Kur njiheni me konceptin "më e gjatë - më e shkurtër", mund të tregoni një krahasim të objekteve në gjatësi duke mbivendosur njërën mbi tjetrën (që është më e gjatë: një stilolaps apo një kuti lapsash?).

Në mësimet e aritmetikës dhe zhvillimit të të folurit, është e dobishme të zgjidhen problemet logjike me qëllimin e mësimdhënies së përdorimit të koncepteve të kundërta: "Kush është më i vjetër: babai apo djali? Kush është më i ri: babai apo djali? Cili ka lindur i pari? Kush është më vonë?

“Krahasoni gjerësinë e një libri dhe një çantë. Çfarë është më e gjerë: një libër apo një çantë? Çfarë është tashmë një libër apo një çantë? Çfarë është më e rëndë: një libër apo një çantë?

Mësimi i procesit të krahasimit mund të bëhet më interesant duke futur të ashtuquajturat ushtrime matricore (tabelore). Një tabelë me katër qeliza është ndërtuar në tabelë dhe shpjegohet kuptimi i koncepteve "kolona" dhe "rresht". Ne prezantojmë konceptet e "kolona e majtë" dhe "kolona e djathtë", "rreshti i sipërm" dhe "rreshti i poshtëm".

Së bashku me nxënësit tregojmë (imitojmë) interpretimin semantik të këtyre koncepteve.

Tregoni kolonën (fëmijët lëvizin dorën nga lart poshtë).

Tregoni kolonën e majtë, kolonën e djathtë (fëmijët tundin krahët dy herë nga lart poshtë).

Trego vijën (lëkundje dorën nga e majta në të djathtë).

Trego vijën e sipërme, vijën fundore (dy valë dore që tregojnë vijën e sipërme, vijën fundore).

Është e nevojshme të sigurohet që studentët të tregojnë me saktësi pozicionin e qelizës: "qeliza e sipërme majtas", "qeliza e poshtme djathtas", etj. Problemi i kundërt zgjidhet menjëherë, përkatësisht: mësuesi tregon një qelizë të tabelës (matricë) , nxënësi jep emrin përkatës të kësaj qelize. Pra, nëse drejtohet një qelizë që ndodhet në kryqëzimin e rreshtit të sipërm dhe kolonës së majtë, atëherë studenti duhet të emërojë: "Qeliza e sipërme majtas". Ushtrime të tilla gradualisht i mësojnë fëmijët me orientimin hapësinor dhe janë të rëndësishme kur studiojnë më pas metodën koordinative të matematikës.

Puna në seritë e numrave ka një rëndësi të madhe për mësimet e para të matematikës fillore.

Është e përshtatshme për të ilustruar rritjen e një serie numrash duke shtuar një nga një duke lëvizur djathtas përgjatë vijës numerike.

Nëse shenja (+) shoqërohet me lëvizjen përgjatë një rreshti numerik djathtas me një, atëherë shenja (-) shoqërohet me lëvizjen mbrapa majtas me një, etj. (Prandaj, ne i tregojmë të dyja shenjat në të njëjtën kohë mësim.)

Duke punuar me serinë e numrave, ne prezantojmë konceptet e mëposhtme: fillimi i serisë së numrave (numri zero) përfaqëson skajin e majtë të rrezes; Numri 1 korrespondon me një segment njësi, i cili duhet të përshkruhet veçmas nga seria e numrave.

Lërini studentët të punojnë në një vijë numerike brenda treshit.

Ne zgjedhim çdo dy numra fqinjë, për shembull 2 dhe 3. Duke lëvizur nga numri 2 në numrin 3, fëmijët arsyetojnë kështu: "Numri 2 pasohet nga numri 3". Duke lëvizur nga numri 3 në numrin 2, ata thonë:

"Numri 3 vjen para numrit 2" ose: "Numri 2 vjen para numrit 3".

Kjo metodë ju lejon të përcaktoni vendin e një numri të caktuar në lidhje me numrat e mëparshëm dhe të mëpasshëm; Është e përshtatshme që menjëherë t'i kushtohet vëmendje relativitetit të pozicionit të numrit, për shembull: numri 3 është njëkohësisht edhe pasues (pas numrit 2) dhe i mëparshëm (para numrit 4).

Kalimet e treguara përgjatë serisë së numrave duhet të shoqërohen me veprimet aritmetike përkatëse.

Për shembull, shprehja "Numri 2 pasohet nga numri 3" përshkruhet simbolikisht si më poshtë: 2 + 1 = 3; megjithatë, është psikologjikisht e dobishme të krijohet menjëherë pas saj lidhja e kundërt e mendimeve, domethënë: shprehja "Para se të vijë numri 3, numri 2" mbështetet nga hyrja: 3 – 1 = 2.

Për të kuptuar vendin e një numri në një seri numrash, duhen bërë pyetje në çift:

1. Cilin numër pason numri 3? (Numri 3 vjen pas numrit 2.) Cilin numër del përpara numri 2? (Numri 2 vjen para numrit 3.)

2. Cili numër vjen pas numrit 2? (Numri 2 pasohet nga numri 3.) Cili numër vjen para numrit 3? (Numri 3 paraprihet nga numri 2.)

3. Mes çfarë numrash ndodhet numri 2? (Numri 2 është midis numrit 1 dhe numrit 3.) Cili numër është midis numrave 1 dhe 3? (Ndërmjet numrave 1 dhe 3 është numri 2.)

Në këto ushtrime, informacioni matematikor përmbahet në fjalët funksionale: para, prapa, ndërmjet.

Është i përshtatshëm për të kombinuar punën me një seri numrash me krahasimin e numrave sipas madhësisë, si dhe krahasimin e pozicionit të numrave në një rresht numerik. Lidhjet e gjykimeve të natyrës gjeometrike zhvillohen gradualisht: numri 4 është në vijën numerike në të djathtë të numrit 3; kjo do të thotë 4 është më e madhe se 3. Dhe anasjelltas: numri 3 është në vijën numerike në të majtë të numrit 4; kjo do të thotë se numri 3 është më i vogël se numri 4. Kështu vendoset një lidhje midis çifteve të koncepteve: në të djathtë - më shumë, në të majtë - më pak.

Nga sa më sipër, ne shohim një veçori karakteristike të asimilimit të integruar të njohurive: i gjithë grupi i koncepteve që lidhen me mbledhjen dhe zbritjen ofrohen së bashku, në tranzicionet (rikodimet) e tyre të vazhdueshme në njëra-tjetrën.

Mjetet kryesore të zotërimit të marrëdhënieve numerike në tekstin tonë janë shufrat me ngjyra; Është e përshtatshme t'i krahasoni ato sipas gjatësisë, duke përcaktuar se sa qeliza janë më të mëdha ose më të vogla se ato në shiritin e sipërm ose të poshtëm. Me fjalë të tjera, ne nuk e prezantojmë konceptin e "krahasimit të dallimeve të segmenteve" si një temë të veçantë, por studentët njihen me të që në fillim të studimit të numrave të dhjetëshes së parë. Në mësimet kushtuar studimit të dhjetë të parëve, është e përshtatshme të përdorni shufra me ngjyra, të cilat ju lejojnë të kryeni propedeutikë të llojeve kryesore të detyrave për veprimet e fazës së parë.

Le të shohim një shembull.

Lërini dy shufra me ngjyra, të ndara në qeliza, të mbivendosen mbi njëra-tjetrën:

në atë të poshtme - 3 qeliza, në atë të sipërme - 2 qeliza (shih figurën).

Duke krahasuar numrin e qelizave në shiritat e sipërm dhe të poshtëm, mësuesi harton dy shembuj të veprimeve reciproke të anasjellta (2 + 1 = 3, 3 - 1 = 2), dhe zgjidhjet e këtyre shembujve lexohen në çifte në të gjitha mënyrat e mundshme:

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

a) shtoni 1 në 2 - ju merrni 3; a) zbrisni 1 nga 3 - merrni 2;

b) rritni 2 me 1 - merrni 3; b) zvogëloni 3 me 1 - merrni 2;

c) 3 është më shumë se 2 me 1; c) 2 është më e vogël se 3 me 1;

d) 2 po 1 do të jetë 3; d) 3 pa 1 do të jetë 2;

e) shtoni numrin 2 me numrin 1 - e) zbritni numrin 1 nga numri 3 -

rezulton 3. rezulton 2.

Mësues. Nëse 2 shumëzohet me 1, sa është?

Studenti. Nëse rritni 2 me 1, merrni 3.

Mësues. Tani më thuaj çfarë duhet bërë me numrin 3 për të marrë 2?

Studenti. Zvogëloni 3 me 1 për të marrë 2.

Le të tërheqim vëmendjen këtu për nevojën e këtij dialogu për një zbatim metodikisht kompetent të operacionit të opozitës. ,

Përvetësimi i sigurt i fëmijëve për kuptimin e koncepteve të çiftëzuara (shto - zbrit, rrit - zvogëlohet, më shumë - më pak, po - pa, shto - zbrit) arrihet duke i përdorur ato në një mësim, bazuar në të njëjtin treshe numrash (për shembull, 2 + 1 = =3, 3-1=2), bazuar në një demonstrim - duke krahasuar gjatësitë e dy shufrave.

Ky është ndryshimi themelor midis sistemit metodologjik të konsolidimit të njësive të asimilimit dhe sistemit të studimit të veçantë të këtyre koncepteve themelore, në të cilat konceptet e kundërta të matematikës futen, si rregull, veçmas në praktikën e të folurit të studentëve.

Përvoja mësimore tregon avantazhet e futjes së njëkohshme të çifteve të koncepteve reciprokisht të kundërta, duke filluar që nga mësimet e para të aritmetikës.

Kështu, për shembull, përdorimi i njëkohshëm i tre foljeve: "shtoni" (shtoni 1 në 2), "shtoni" (shtoni numrin 2 me numrin 1), "rris" (2 rriten me 1), të cilat përshkruhen në mënyrë simbolike në mënyrë identike (2+1= 3), i ndihmon fëmijët të mësojnë ngjashmërinë dhe afërsinë e këtyre fjalëve në kuptim (arsyetime të ngjashme mund të kryhen në lidhje me fjalët "zbres", "zbres", "zvogëlo").

Në të njëjtën mënyrë, thelbi i krahasimit të dallimeve mësohet përmes përdorimit të përsëritur të krahasimit të çifteve të numrave që nga fillimi i trajnimit, dhe në secilën pjesë të dialogut në mësim përdoren të gjitha format e mundshme verbale të interpretimit të shembullit të zgjidhur: “Çfarë është më e madhe: 2 apo 3? Sa më shumë është 3 se 2? Sa duhet të shtoni në 2 për të marrë 3? etj. Ndryshimi i formave gramatikore dhe përdorimi i shpeshtë i trajtave pyetëse kanë rëndësi të madhe për përvetësimin e kuptimit të këtyre koncepteve.

Testet afatgjata kanë treguar avantazhet e studimit monografik të dhjetë numrave të parë. Çdo numër i njëpasnjëshëm i nënshtrohet analizës shumëpalëshe, me numërimin e të gjitha opsioneve të mundshme për formimin e tij; brenda këtij numri kryhen të gjitha veprimet e mundshme, përsëritet "e gjithë matematika e disponueshme", përdoren të gjitha format e pranueshme gramatikore të shprehjes së marrëdhënies midis numrave. Sigurisht, me këtë sistem studimi, në lidhje me mbulimin e numrave pasues, shembujt e studiuar më parë përsëriten, domethënë, zgjerimi i serisë së numrave kryhet me përsëritje të vazhdueshme të kombinimeve të konsideruara më parë të numrave dhe llojeve të problemeve të thjeshta. .

2.3 Studim i përbashkët i mbledhjes dhe zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit

Në metodologjinë e matematikës elementare, ushtrimet mbi këto dy veprime zakonisht konsiderohen veçmas. Ndërkohë, duket se është më i preferuar studimi i njëkohshëm i funksionit të dyfishtë “shtim – zbërthim në terma”.

Lërini nxënësit të zgjidhin problemin e mbledhjes: "Shto 1 shkop në tre shkopinj - do të marrë 4 shkopinj." Pas kësaj detyre, menjëherë duhet të bëhet pyetja: "Nga çfarë numrash përbëhet numri 4?" 4 shkopinj përbëhen nga 3 shkopinj (fëmija numëron 3 shkopinj) dhe 1 shkop (ndan edhe 1 shkop).

Ushtrimi fillestar mund të jetë zbërthimi i një numri. Mësuesi pyet: "Nga çfarë numrash përbëhet numri 5?" (Numri 5 përbëhet nga 3 dhe 2.) Dhe menjëherë bëhet një pyetje për të njëjtët numra: "Sa do të merrni nëse shtoni 2 me 3?" (Shtoni 2 në 3 - ju merrni 5.)

Për të njëjtin qëllim, është e dobishme të praktikoni leximin e shembujve në dy drejtime: 5+2=7. Shtoni 2 në 5, merrni 7 (lexoni nga e majta në të djathtë). 7 përbëhet nga termat 2 dhe 5 (lexohen nga e djathta në të majtë).

Është e dobishme të shoqëroni kundërshtimin verbal me ushtrime të tilla në numëratorin e klasës, të cilat ju lejojnë të shihni përmbajtjen specifike të operacioneve përkatëse. Llogaritjet në një numërator janë të domosdoshme si një mjet për të vizualizuar veprimet në numra, dhe madhësia e numrave brenda 10 shoqërohet këtu me gjatësinë e një grupi kockash të vendosura në një tel (kjo gjatësi perceptohet vizualisht nga studenti). Është e pamundur të pajtohesh me një "risi" të tillë kur tekstet dhe programet aktuale kanë braktisur plotësisht përdorimin e numëratorit rus në mësime.

Pra, gjatë zgjidhjes së një shembulli të mbledhjes (5+2=7), nxënësi fillimisht numëroi 5 gurë në numërator, pastaj shtoi 2 atyre dhe më pas shpalli shumën: "Shto 2 në 5 - merr 7" ( emrin e numrit që rezulton 7, studenti vendos duke rillogaritur totalin e ri: "Një - dy - tre - katër - pesë - gjashtë - shtatë").

Studenti. Shtoni 2 në 5 dhe merrni 7.

Mësues. Tani tregoni nga cilat terma përbëhet numri 7.

Nxënësi (në fillim ndan dy kocka në të djathtë, pastaj flet). Numri 7 përbëhet nga 2 dhe 5.

Gjatë kryerjes së këtyre ushtrimeve, këshillohet që që në fillim të përdorni konceptet "termi i parë" (5), "termi i dytë" (2) dhe "shuma".

Ofrohen këto lloje të detyrave: a) shuma e dy termave është 7; gjeni termat; b) nga çfarë përbërësish përbëhet numri 7?; c) zbërtheje shumën 7 në 2 terma (në 3 terma). etj.

Përvetësimi i një koncepti kaq të rëndësishëm algjebrik si ligji komutativ i mbledhjes kërkon një sërë ushtrimesh, të bazuara fillimisht në manipulime praktike me objekte.

Mësues. Merrni 3 shkopinj në dorën tuaj të majtë dhe 2 në dorën tuaj të djathtë Sa shkopinj janë gjithsej?

Studenti. Gjithsej janë 5 shkopinj.

Mësues. Si mund të them më shumë për këtë?

Studenti. Shtoni 2 shkopinj në 3 shkopinj - do të ketë 5 shkopinj.

Mësues. Hartoni këtë shembull nga numrat e prerë. (Nxënësi krijon një shembull: 3+2=5.)

Mësues. Tani ndërroni shkopinjtë: kaloni shkopinjtë në dorën tuaj të majtë në të djathtën tuaj dhe transferoni shkopinjtë nga dora e djathtë në të majtë. Sa shkopinj ka në të dyja duart tani?

Studenti. Gjithsej ishin 5 shkopinj në dy duar, dhe tani janë përsëri 5 shkopinj.

Mësues. Pse ndodhi kjo?

Studenti. Sepse nuk lamë asgjë mënjanë dhe nuk shtuam shkopinj sa kishte, aq shumë mbeti.

Mësues. Hartoni shembuj të zgjidhur nga numrat e prerë.

Nxënësi (lë mënjanë: 3+2=5, 2+3=5). Këtu ishte numri 3, dhe tani numri 2. Dhe këtu ishte numri 2, dhe tani numri 3.

Mësues. Ne këmbyem numrat 2 dhe 3, por rezultati mbeti i njëjtë:

5. (Një shembull është bërë nga numrat e ndarë: 3+2=2+3.)

Ligji komutativ mësohet edhe në ushtrimet për zbërthimin e një numri në terma.

Kur të futet ligji komutativ i mbledhjes?

Qëllimi kryesor i shtesës mësimore - tashmë brenda dhjetëshit të parë - është të theksohet vazhdimisht roli i ligjit komutativ në ushtrime.

Lërini fëmijët fillimisht të numërojnë 6 shkopinj; pastaj u shtojmë tre shkopinj dhe me rillogaritje ("shtatë - tetë - nëntë") vendosim shumën: 6 po 3 - do të jetë 9. Është e nevojshme që menjëherë të ofrojmë një shembull të ri: 3 + 6; shuma e re fillimisht mund të përcaktohet përsëri me rillogaritje (d.m.th., në mënyrën më primitive), por gradualisht dhe me qëllim duhet formuluar një metodë zgjidhjeje në një kod më të lartë, pra logjikisht, pa rillogaritje.

Nëse 6 dhe 3 do të jenë 9 (përgjigja përcaktohet me rillogaritje), atëherë 3 dhe 6 (pa rillogaritje!) do të jenë gjithashtu 9!

Me pak fjalë, vetia komutative e mbledhjes duhet të futet që në fillim të ushtrimeve për shtimin e termave të ndryshëm, në mënyrë që kompozimi (shqiptimi) i zgjidhjeve për katër shembuj të bëhet zakon:

6 + 3 = 9, 9 - 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.

Përpilimi i katër shembujve është një mjet për të zgjeruar njohuritë e arritshme për fëmijët.

Ne shohim se një karakteristikë kaq e rëndësishme e operacionit të mbledhjes si ndërrueshmëria e tij nuk duhet të ndodhë herë pas here, por duhet të bëhet mjeti kryesor logjik për forcimin e lidhjeve të sakta numerike. Vetia kryesore e shtimit - ndërrueshmëria e termave - duhet të konsiderohet vazhdimisht në lidhje me akumulimin e rezultateve të reja tabelare në memorie.

Shohim: marrëdhënia e operacioneve më komplekse llogaritëse ose logjike bazohet në një marrëdhënie të ngjashme çiftore (afërsi) të operacioneve elementare përmes të cilave kryhen një palë operacionesh "komplekse". Me fjalë të tjera, kundërshtimi eksplicit i koncepteve komplekse bazohet në kundërshtimin e nënkuptuar (nënndërgjegjeshëm) të koncepteve më të thjeshta.

Këshillohet që studimi fillestar i shumëzimit dhe pjesëtimit të kryhet në sekuencën vijuese të tre cikleve të problemeve (tre detyra në çdo cikël):

I ciklit: a, b) shumëzimi me shumëzues konstant dhe pjesëtimi sipas përmbajtjes (së bashku); c) ndarja në pjesë të barabarta.

Cikli II: a, b) pakësimi dhe rritja e numrit disa herë (së bashku); c) krahasimi i shumëfishtë.

Cikli III: a, b) gjetja e një pjese të një numri dhe e një numri sipas madhësisë së një prej pjesëve të tij (së bashku); c) zgjidhja e problemit: “Cila pjesë është një numër i tjetrit?”

Sistemi metodologjik për studimin e këtyre problemeve është i ngjashëm me atë të përshkruar më sipër për problemet e thjeshta të fazës së parë (mbledhja dhe zbritja).

Studimi i njëkohshëm i shumëzimit dhe pjesëtimit në përmbajtje. Në dy ose tre mësime (jo më shumë!) kushtuar shumëzimit, sqarohet kuptimi i konceptit të shumëzimit si mbledhja e shembur e termave të barabartë (veprimi i pjesëtimit nuk diskutohet ende në këto mësime). Kjo kohë është e mjaftueshme për të studiuar tabelën e shumëzimit të numrit 2 me numra njëshifrorë.

Në mënyrë tipike, nxënësve u tregohet një procesverbal i zëvendësimit të mbledhjes me shumëzim: 2+2+2+2=8; 2*4=8. Këtu lidhja midis mbledhjes dhe shumëzimit shkon në drejtimin mbledhje-shumëzimi. Është e përshtatshme që menjëherë t'u ofrohet studentëve një ushtrim i krijuar për të prodhuar reagime të formës "shumëzimi-shtim" (terma të barabarta): duke parë këtë hyrje, studenti duhet të kuptojë se numri 2 duhet të përsëritet si term aq herë sa faktori në shembull tregon (2*4= 8).

Kombinimi i të dy llojeve të ushtrimeve është një nga kushtet e rëndësishme që siguron asimilimin e ndërgjegjshëm të konceptit të "shumëzimit", që do të thotë shtim i shembur.

Në orën e tretë (ose të katërt, në varësi të klasës), për secilin nga rastet e njohura të shumëzimit, jepet rasti përkatës i pjesëtimit. Në të ardhmen, është e dobishme të konsideroni shumëzimin dhe ndarjen vetëm së bashku në të njëjtat mësime.

Kur prezantoni konceptin e pjesëtimit, është e nevojshme të kujtoni rastet përkatëse të shumëzimit në mënyrë që, duke u nisur prej tyre, të krijohet koncepti i një veprimi të ri të kundërt me shumëzimin.

Prandaj, koncepti i "shumëzimit" merr një përmbajtje të pasur: ai nuk është vetëm rezultat i shtimit të termave të barabartë ("përgjithësimi i shtimit"), por edhe baza, momenti fillestar i ndarjes, i cili, nga ana tjetër, përfaqëson "zbritja e shembur", duke zëvendësuar "zbritje" vijuese me 2:

Kuptimi i shumëzimit kuptohet jo aq shumë përmes shumëzimit në vetvete, por përmes kalimeve të vazhdueshme midis shumëzimit dhe pjesëtimit, pasi pjesëtimi është një shumëzim i mbuluar, "i modifikuar". Kjo shpjegon pse është e dobishme që më pas të studiohet gjithmonë shumëzimi dhe pjesëtimi në të njëjtën kohë (si tabelare ashtu edhe jashtëtabelore; si me gojë ashtu edhe me shkrim).

Mësimet e para për studimin e njëkohshëm të shumëzimit dhe pjesëtimit duhet t'i kushtohen përpunimit pedant të vetë operacioneve logjike, të mbështetur në çdo mënyrë të mundshme nga aktivitete praktike të gjera në mbledhjen dhe shpërndarjen e objekteve të ndryshme (kube, kërpudha, shkopinj, etj.), por sekuenca e veprimeve të detajuara duhet të mbetet e njëjtë.

Rezultati i kësaj pune do të jetë tabelat e shumëzimit dhe pjesëtimit të shkruara krah për krah:

2*2=4, 4:2=2,

2*3=6, 6: 2=3,

2*4=8, 8: 2=4,

2*5 = 10, 10: 2 = 5, etj.

Kështu, tabela e shumëzimit ndërtohet duke përdorur një shumëzues konstant, dhe tabela e pjesëtimit ndërtohet duke përdorur një pjesëtues konstant.

Është gjithashtu e dobishme t'u ofrohet nxënësve, të çiftëzuar me këtë detyrë, një ushtrim strukturor i kundërt mbi kalimin nga pjesëtimi në zbritje të nënndarjeve të barabarta.

Në ushtrimet e përsëritjes është e dobishme të ofrohen detyra të këtij lloji: 14:2==.

Studimi i ndarjes në pjesë të barabarta. Pasi shumëzimi i numrit 2 dhe pjesëtimi me 2 janë studiuar ose përsëritur së bashku, koncepti i "ndarjes në pjesë të barabarta" (lloji i tretë i problemit të ciklit të parë) futet në njërën nga mësimet.

Konsideroni problemin: “Katër nxënës sollën 2 fletore. Sa fletore ke sjellë?"

Mësuesi shpjegon: merr 2 4 herë - merr 8. (Shfaqet hyrja: 2 * 4 = 8.) Kush do ta shkruajë problemin e anasjelltë?

Dhe një përgjithësim i përvojës së mësuesve gjatë zhvillimit të mësimeve të matematikës për këtë temë. Puna e kursit përbëhet nga një hyrje, dy kapituj, një përfundim dhe një listë referencash. Kapitulli I. Karakteristikat metodologjike të studimit të zonës së figurave gjeometrike dhe njësive të saj matëse në mësimet e matematikës në shkollën fillore 1.1 Karakteristikat e lidhura me moshën e zhvillimit të nxënësve të rinj në fazën e formimit të koncepteve gjeometrike ...

Ende nuk i ndriçon problemet. Meqenëse çështja e metodave të mësimdhënies për transformimin e detyrave është mbuluar në masën më të vogël, ne do të vazhdojmë ta studiojmë atë. Kapitulli II. Metodologjia për transformimin e problemit të mësimdhënies. 2.1. Problemet e transformimit në mësimet e matematikës në shkollën fillore. Duke qenë se ka shumë pak literaturë të specializuar në lidhje me transformimin e detyrave, vendosëm të bëjmë një anketë mes mësuesve...

Kur mësoni një material të ri, rekomandohet të strukturoni një mësim në atë mënyrë që puna të fillojë me një sërë demonstrimesh të kryera nga mësuesi ose studenti. Përdorimi i mjeteve vizuale në mësimet e matematikës gjatë studimit të materialit gjeometrik u lejon fëmijëve të zotërojnë me vendosmëri dhe vetëdije të gjitha çështjet e programit. Gjuha e matematikës është një gjuhë simbolesh, shenjash konvencionale, vizatime, gjeometrike...

9.3.1. Metodologjia për prezantimin e konceptit të "Monomial" dhe zhvillimin e aftësisë për të gjetur vlerën e tij numerike.

Njohuritë bazë përfshijnë konceptet e shprehjes algjebrike, produktit të shprehjeve algjebrike, shumëzuesit (numerik dhe alfabetik); për aftësitë - regjistrimi i një shprehjeje algjebrike sipas elementeve të saj, duke theksuar elementet e një shprehjeje të caktuar algjebrike.

Njohuritë përditësohen përmes ushtrimeve.

1. Nga ky grup zgjidhni shprehjet algjebrike që janë prodhime të disa faktorëve: a) 5 a 2 b; b) (7 ab 2 + nga 2):(5m 2 n); c) 8; d) 5 a 6 bb 4 a; d) ; f) g)

Kushti i specifikuar plotësohet nga shprehjet algjebrike: 5 a 2 b; 8; 5a 6 bb 4 a; ; Me shumë mundësi, nxënësit nuk do të emërtojnë 8 shprehje algjebrike midis shprehjeve algjebrike të kërkuara; ; edhe pse disa mund të marrin me mend se çfarë mund të përfaqësohet si s. Pasi të keni marrë disa shprehje algjebrike, duhet të praktikoni të izoloni faktorin e tyre numerik, faktorët e shkronjave dhe të shkruani shprehje të reja bazuar në këto shprehje algjebrike.

2. Krijo një shprehje të re algjebrike duke përdorur shprehjet 3 a 2 b Dhe A. Përgjigjet e mundshme të nxënësve: 3 a 2 b+ A; 3a 2 b– A; 3a 2 b A; 3a 2 b: A.

3. Cilat nga shprehjet e mëposhtme janë monomë: a) 5 një 3 bсab 4; b) A; c) d) 3 4 e) 7 ab 2:n; e) – 5 a 6 b me 2; e) - a 3; g) h) - mnx. Emërtoni faktorët numerikë dhe alfabetikë të monomëve.

4. Shkruani disa shprehje algjebrike që janë monome.

5. Shkruani disa monomë që ndryshojnë vetëm në koeficientin e tyre numerik.

6. Plotësoni vendet bosh: a) 12 a 3 b 4= 2A… b 2; b) – 24 m 2 b 7 p 6= 24bp …

7. Në vend të formulimit verbal, shkruani shprehjet algjebrike: a) prodhimi i dyfishtë i numrave. A Dhe b; b) trefishoni prodhimin e katrorit të një numri A dhe numrat b.

8. Shpjegoni shprehjet: a) 2 A b; b) A 5b.

Për shembull, shprehja A 5b mund të shpjegohet si: 1) prodhimi i numrave A, 5 dhe b;2) prodhimi i numrave A dhe 5 b;3) zona e një drejtkëndëshi me brinjë A dhe 5 b.

Ushtrimet e llojeve 7 dhe 8 kontribuojnë gjithashtu në zotërimin e metodës së zgjidhjes së problemeve me fjalë duke përdorur ekuacione, pasi përkthimi i formulimeve verbale në gjuhën e numrave dhe shkronjave dhe interpretimi verbal i shprehjeve algjebrike janë përbërës të rëndësishëm të metodës së zgjidhjes së problemeve duke përdorur ekuacione.

9. Gjeni vlerën numerike të monomit: 1) 5 mnx në m= 3, n= ; x=8; 2) (– 0,25)A b në A=12; b=8. Gjatë kryerjes së ushtrimeve të tilla, nxënësve specialë duhet t'u vihet në dukje nevoja e përdorimit të vetive dhe ligjeve të veprimeve aritmetike për të racionalizuar llogaritjet.

Organizimi i ushtrimeve mund të jetë i ndryshëm: zgjidhje në tabelë, zgjidhje e pavarur, zgjidhje e komentuar, ekzekutim i njëkohshëm i ushtrimeve në tabelë me përfshirjen e nxënësve të dobët dhe punë e pavarur e nxënësve të fortë etj.

Për detyrat e shtëpisë, mund të përdorni ushtrime për të shkruar numrat në formë standarde, të cilat do të shërbejnë si motiv për të prezantuar konceptin e formës standarde të një monomi në mësimin e ardhshëm.

9.3.2. Përgjithësimi dhe sistematizimi i njohurive në temën: "Përparimet".

Riprodhimi dhe korrigjimi i njohurive bazë mund të bëhet përmes ushtrimeve për plotësimin e tabelës, të ndjekur nga diskutimi i rezultateve.

Vini re se progresionet aritmetike dhe gjeometrike ofrojnë një shembull të studimit të materialit në situata të ngjashme, prandaj metodat e kontrastit dhe krahasimit duhet të zënë një vend të rëndësishëm në sistematizimin e njohurive për progresionet. Diskutimi i çështjeve kyçe bazohet në identifikimin e arsyeve për dallimet dhe të përbashkëtat në progresionet.

Pyetje për diskutim.

A). Emërtoni strukturat e zakonshme dhe të ndryshme të përkufizimeve të progresioneve aritmetike dhe gjeometrike.

B). Përcaktoni një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie.

IN). Si quhet shuma e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie? Shkruani formulën e saj.

G). Si të vërtetohet se një sekuencë e caktuar është një progresion aritmetik (gjeometrik)?

D). Duke përdorur shigjetat, tregoni lidhjet midis përkufizimeve dhe formulave të specifikuara (Fig. 7):

a	a n = a n -1 + d	A 1 , A 2 , … …	a n = a l +d(n–1)
		një n, d

	a n = (a n -1 + a n +1)	Shenja e progresionit aritmetik	S n = (a 1 + a 2) n

3. Shkruani të gjitha përkufizimet dhe formulat në temën “Progresioni gjeometrik” dhe tregoni varësitë ndërmjet tyre.

Ushtrimet 2 dhe 3 mund të kërkohet të plotësohen nga nxënësit në mënyrë të pavarur, e ndjekur nga diskutimi i rezultateve nga të gjithë nxënësit e klasës. Ju mund ta kryeni ushtrimin 2 kolektivisht dhe ushtrimin 3 ta ofroni si punë të pavarur.

Fazat e mëposhtme të mësimit përgjithësues realizohen nëpërmjet ushtrimeve, zbatimi i të cilave kërkon analizën dhe përdorimin e fakteve bazë, duke çuar në lidhje dhe marrëdhënie të reja midis koncepteve dhe teoremave të studiuara.

4. Fusni një numër pozitiv midis numrave 4 dhe 9 në mënyrë që të merrni tre terma të njëpasnjëshëm të progresionit gjeometrik. Formuloni dhe zgjidhni një problem të ngjashëm në lidhje me një progresion aritmetik.

5. Përcaktoni numrat një 1, një 2, një 3 Dhe a 4, Nëse një 1, një 2, një 3 janë terma të njëpasnjëshëm të një progresion gjeometrik, dhe një 1, një 3 Dhe a 4– progresion aritmetik dhe a 1 + a 4= 14, a 2 + a 3 = 12.

7. A mund të jenë tre numra pozitivë njëkohësisht tre terma të njëpasnjëshëm të një progresion aritmetik dhe gjeometrik?

8. A mund të thuhet se progresionet aritmetike dhe gjeometrike janë funksione? Nëse po, çfarë lloje funksionesh janë ato?

9. Dihet se a n = 2n+1 - progresion aritmetik. Cilat janë ngjashmëritë dhe ndryshimet midis grafikëve të këtij progresioni dhe funksionit linear? f(X) = 2x+1?

10. A është e mundur të tregohen sekuenca që janë
si progresionet aritmetike ashtu edhe gjeometrike?

Format e kryerjes së ushtrimeve mund të jenë të ndryshme: kryerja e ushtrimeve në tabelë, zgjidhjet e komentuara etj. Disa nga ushtrimet e dhëna mund të plotësohen nga nxënësit në mënyrë të pavarur dhe zbatimi i tyre mund të kryhet në varësi të aftësive të nxënësve duke përdorur karta që përmbajnë rreshta që mungojnë ose udhëzime për zbatimin e tyre. Natyrisht, sa më të ulëta të jenë aftësitë e studentit, aq më i gjerë duhet të jetë grupi i rekomandimeve (udhëzimet për zbatim) për të.

9.3.3. Testimi, vlerësimi dhe korrigjimi i njohurive, aftësive dhe aftësive me temë: “Shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave racionalë”.

Testimi i njohurive të studentëve për materialin faktik dhe aftësisë për të shpjeguar thelbin e koncepteve bazë kryhet gjatë një bisede të ndjekur nga ushtrimet.

Pyetje për bisedë

1. Formuloni një rregull për shumëzimin e dy numrave me shenja të njëjta. Jepni shembuj.

2. Formuloni një rregull për shumëzimin e dy numrave me shenja të ndryshme. Jepni shembuj.

3. Sa është prodhimi i disa numrave nëse njëri prej tyre është zero? Në çfarë kushtesh a b = 0?

4. Me çfarë barazohet produkti? A(–1)? Jepni shembuj.

5. Si do të ndryshojë produkti kur ndryshon shenja e njërit prej faktorëve?

6. Formuloni ligjin komutativ të shumëzimit.

7. Si formulohet ligji asociativ i shumëzimit?

8. Shkruani me shkronja ligjet komutative dhe asociative të shumëzimit.

9. Si të gjendet prodhimi i tre dhe katër numrave racionalë?

10. Një nxënës, duke kryer një ushtrim për të gjetur produktin 0,25 15 15 (–4), përdori sekuencën e mëposhtme të veprimeve: (0,25 (–4)) 15 15 = (–1) 15 15 = –15 15. Cilat ligje përdor ai?

11. Cili faktor i shprehjes algjebrike quhet koeficient?

12. Si gjendet koeficienti i një produkti që ka disa faktorë alfabetikë dhe numerikë?

13. Sa është koeficienti i shprehjes: a; – a; ab; - ab?

14. Formuloni ligjin shpërndarës të shumëzimit. Shkruajeni duke përdorur shkronja.

15. Cilët terma të shumës algjebrike quhen të ngjashëm?

16. Shpjegoni se çfarë do të thotë të sjellësh terma të ngjashëm.

17. Shpjegoni me ndihmën e çfarë ligjesh kryhet reduktimi i termave të ngjashëm në shprehjen 5.2. y - 8a – 4,8y - 2A.

18. Cili është rregulli i pjesëtimit të numrave racional me shenja të njëjta?

19. Cili është rregulli i pjesëtimit të numrave racional me shenja të ndryshme?

20. Në cilin rast herësi i dy numrave racional është i barabartë me zero?

21. Me çfarë radhe kryhen veprimet e përbashkëta me numrat racionalë?

Disa pyetje mund të jenë objekt diskutimi kolektiv, të tjera mund të jenë objekt i fletëve të kontrollit të ndërsjellë të studentëve, është e mundur të kryhet një diktim matematikor bazuar në disa pyetje, etj.

Seria pasuese e ushtrimeve synon monitorimin, vlerësimin dhe korrigjimin e aftësive të nxënësve. Janë të mundshme forma të ndryshme të kryerjes së ushtrimeve: vendim i pavarur, i shoqëruar me vetëkontroll të nxënësve, vendim i komentuar, bërja e ushtrimeve në tabelë, pyetje me gojë etj. Kjo seri përfshin dy grupe ushtrimesh. Grupi i parë nuk kërkon një natyrë rindërtuese të aktivitetit mendor për të kryer zbatimin e grupit të dytë përfshin rindërtimin e njohurive dhe aftësive për temën që studiohet.

1. Cilat nga barazitë e mëposhtme janë të vërteta:

1) (–9) (–8) = –72; 2) (–1,4) 0,5 = – 0,7;

3) 12 (–0,2) = –0,24; 4) (–3,2) (–2,1) = 6,72?

Zgjidhni përgjigjen e saktë.

Përgjigje: 1); 2); 3); 4); nuk ka barazi të vërteta.

2. Pa kryer llogaritjet, përcaktoni se cili produkt është pozitiv:

1) 0,26 (–17) (–52) (–34); 2) (–1) (–8) 0,4 (–3,4);

3) (–16) (–0,87) (– ) (–5); 4) 5 (–3,2) 0 (0,7).

Përgjigje: 1); 2); 3); 4).

3. Specifikoni shprehjet që kanë koeficientë të barabartë:

1) 9ac dhe 3 x(4y); 2) (–3) (–8cb) dhe 4 X 6y;

3) abc dhe 2.75 xy; 4) 3,15abc dhe 0.001 abc.

4. Cila nga shprehjet përmban terma të ngjashëm:

1) 7A– 12ab+ 14; 2) – 0,5xy + 2,7kh - 0,5;

3) 3Me – 2,7khus – ;4) 72ab - ab + 241?

Ju lutemi tregoni përgjigjen e saktë.

Përgjigje: 1); 2); 4); Nuk ka shprehje që përmbajnë terma të ngjashëm.

5. Specifikoni barazitë e sakta: : (–18.2

3. Zgjidhni numrin më të madh dhe më të vogël midis numrave
A,A 2 ,A 3 ,A 4 , A 5 , A 6 , A 7 në A = – 5, A = 3.

4. Thjeshtoni shprehjen:

1) – X(y - 4) – 2(xy– 3) – 3X; 2) a(b+ 3) – 3(2 – ab) + a.

Grupi i caktuar i detyrave dhe sekuenca e tyre mbulon të gjitha nivelet e përvetësimit të njohurive. Përfundimi i të gjithë grupit të detyrave korrespondon me përvetësimin me cilësi të lartë të njohurive dhe aftësive dhe mund të vlerësohet "shkëlqyeshëm". Asimilimi i njohurive dhe aftësive në nivelin e zbatimit të tyre në situata që nuk kërkojnë rindërtimin e njohurive dhe aftësive korrespondon me ushtrimet e grupit të parë. Përgjigjet e sakta të pyetjeve karakterizojnë asimilimin e njohurive në nivelin e riprodhimit. Një notë "të kënaqshme" mund t'i jepet një studenti që ka kryer shumicën e ushtrimeve në grupin e parë. Vlerësimi "i mirë" korrespondon me kryerjen e saktë të shumicës së ushtrimeve të grupit të parë dhe të dytë.

Kërkimet

1. Zgjidhni një temë specifike për një kurs algjebër korrigjuese dhe zhvillimore në një shkollë të mesme. Studioni pjesët përkatëse të programit dhe tekstit shkollor. Identifikoni veçoritë metodologjike të studimit të temës. Zhvilloni fragmente të metodave të mësimdhënies për temën. Përgatitni një grup kartash për të korrigjuar njohuritë e nxënësve.

2. Merrni pjesë në disa mësime algjebër në një nga institucionet speciale (korrektuese) të tipit VII në rajonin tuaj. Kryeni një analizë të një mësimi nga pikëpamja e orientimit të tij edukativ, korrektues dhe zhvillimor, edukativ dhe praktik.

3. Një nga qëllimet e mësimdhënies së matematikës është formimi i një kulture matematikore. Kultura llogaritëse është një nga komponentët e kulturës matematikore. Sugjeroni interpretimin tuaj të konceptit të "kulturës llogaritëse". Në cilat faza të mësimdhënies së matematikës për nxënësit e veçantë, kur mësohet çfarë përmbajtjeje, a është e mundur dhe e përshtatshme të vendoset qëllimi "formimi i një kulture kompjuterike"? Jepni një shembull specifik me një sistem detyrash përkatëse. Bëni një listë të literaturës për zhvillimin e konceptit të numrit për lexim jashtëshkollor për nxënës të veçantë. Tregoni në cilat klasa mund të përdoret.

KAPITULLI 10. ÇËSHTJE TË ZGJEDHURA NË METODAT E MËSIMDHËNIES KORREKTUESE DHE ZHVILLIMORE GJEOMETRISË në shkollën fillore.

(8 orë)

Plani:

1. Qëllimet e studimit të materialit algjebrik në klasat fillore.

2. Vetitë e veprimeve aritmetike të studiuara në shkollën fillore.

3. Studimi i shprehjeve numerike dhe rregullave për rendin e veprimeve:

Një porosi pa kllapa;

Rendi i njëjtë me kllapa;

Shprehje pa kllapa, duke përfshirë 4 veprime aritmetike, me kllapa.

4. Analiza e barazive dhe pabarazive numerike të studiuara në klasat fillore (krahasimi i dy numrave, një numri dhe një shprehje numerike, dy shprehje numerike).

5. Prezantimi i simboleve alfabetike me një ndryshore.

6. Metodologjia për studimin e ekuacioneve:

a) jepni përkufizimin e një ekuacioni (nga leksionet për matematikën dhe nga një tekst matematikor për shkollën fillore),

b) të nxjerrë në pah qëllimin dhe përmbajtjen e konceptit,

c) çfarë metode (abstrakt-deduktive apo konkrete-induktive) do ta prezantoni këtë koncept? Përshkruani hapat kryesorë të punës në një ekuacion.

Plotësoni detyrat:

1. Shpjegoni këshillueshmërinë e përdorimit të pabarazive me një ndryshore në klasat fillore.

2. Përgatitni një mesazh për mësimin për mundësinë e zhvillimit të propedeutikës funksionale te nxënësit (nëpërmjet lojës, nëpërmjet studimit të pabarazive).

3. Përzgjidhni detyra që nxënësit të plotësojnë vetitë thelbësore dhe jo thelbësore të konceptit të “ekuacionit”.

1. Abramova O.A., Moro M.I. Zgjidhja e ekuacioneve // Shkolla fillore. – 1983. - Nr.3. – fq 78-79.

2. Ymanbekova P. Mjetet e vizualizimit në formimin e konceptit të "barazisë" dhe "pabarazisë" // Shkolla fillore. – 1978. – Nr.11. – F. 38-40.

3. Shchadrova I.V. Për rendin e veprimeve në një shprehje aritmetike // Shkolla fillore. – 2000. - Nr. 2. – fq 105-107.

4. Shikhaliev Kh.Sh. Një qasje e unifikuar për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive // Shkolla fillore. – 1989. - Nr.8. – fq 83-86.

5. Nazarova I.N. Njohja me varësinë funksionale në mësimdhënien e zgjidhjes së problemeve // Shkolla fillore. – 1989. - Nr.1. – fq 42-46.

6. Kuznetsova V.I. Rreth disa gabimeve tipike të studentëve në lidhje me çështjet e propedeutikës algjebrike // Shkolla fillore. – 1974. - Nr.2. - F. 31.

Karakteristikat e përgjithshme të metodologjisë së studimit

material algjebrik

Futja e materialit algjebrik në kursin fillestar të matematikës ndihmon në përgatitjen e studentëve për të studiuar konceptet bazë të matematikës moderne, për shembull, si "ndryshore", "ekuacion", "pabarazi" etj., dhe kontribuon në zhvillimin e të menduarit funksional. te fëmijët.

Konceptet kryesore të temës janë "shprehje", "barazi", "pabarazi", "ekuacion".

Termi "ekuacion" futet gjatë studimit të temës "Mijë", por puna përgatitore për njohjen e studentëve me ekuacionet fillon në klasën e parë. Termat “shprehje”, “kuptim i shprehjes”, “barazi”, “pabarazi” përfshihen në fjalorin e nxënësve duke filluar nga klasa e dytë. Koncepti i “zgjidhjes së pabarazisë” nuk është futur në shkollën fillore.

Shprehje numerike

Në matematikë, një shprehje kuptohet si një konstante, sipas rregullave të caktuara, sekuencë e simboleve matematikore që tregojnë numra dhe veprime mbi to. Shembuj shprehjesh: 7; 5 + 4; 5 (3 + V); 40: 5 + 6, etj.

Shprehjet e formës 7; 5 + 4; 10: 5 + 6; (5 + 3) 10 quhen shprehje numerike, në ndryshim nga shprehjet e formës 8 - A; (3 + V); 50: te, të quajtura shprehje literale ose të ndryshueshme.

Objektivat e studimit të temës

2. Të njohë studentët me rregullat për rendin e kryerjes së veprimeve me numra dhe, në përputhje me to, të zhvillojë aftësinë për të gjetur vlerat numerike të shprehjeve.

3. Prezantoni nxënësit me transformime identike të shprehjeve bazuar në veprime aritmetike.

Në metodologjinë për njohjen e nxënësve të shkollave fillore me konceptin e një shprehjeje numerike, mund të dallohen tre faza, të cilat përfshijnë njohjen me shprehjet që përmbajnë:

Një veprim aritmetik (faza I);

Dy ose më shumë veprime aritmetike të një faze (faza II);

Dy ose më shumë veprime aritmetike të niveleve të ndryshme (faza III).

Nxënësit njihen me shprehjet më të thjeshta - shumën dhe ndryshimin - në klasën 1 (kur studiojnë mbledhjen dhe zbritjen brenda 10); me prodhimin dhe herësin e dy numrave - në klasën II.

Tashmë gjatë studimit të temës "Dhjetë", emrat e veprimeve aritmetike, termat "shtoj", "shuma", "minuend", "nëntrahend", "ndryshim" futen në fjalorin e studentëve. Përveç terminologjisë, ata duhet të mësojnë edhe disa elemente të simbolikës matematikore, në veçanti shenjat e veprimit (plus, minus); ata duhet të mësojnë të lexojnë dhe shkruajnë shprehje të thjeshta matematikore të formës 5 + 4 (shuma e numrave "pesë" dhe "katër"); 7 - 2 (ndryshimi midis numrave "shtatë" dhe "dy").

Nxënësit fillimisht njihen me termin "shumë" në kuptimin e një numri që rezulton nga veprimi i mbledhjes dhe më pas në kuptimin e një shprehjeje. Teknika e zbritjes së formës 10 – 7, 9 – 6 etj. bazohet në njohuritë për marrëdhëniet midis mbledhjes dhe zbritjes. Prandaj, është e nevojshme t'i mësoni fëmijët të paraqesin një numër (të zvogëluar) si shuma e dy termave (10 është shuma e numrave 7 dhe 3; 9 është shuma e numrave 6 dhe 3).

Fëmijët njihen me shprehjet që përmbajnë dy ose më shumë veprime aritmetike në vitin e parë të arsimit kur zotërojnë teknikat llogaritëse ± 2, ± 3, ± 1. Ata zgjidhin shembuj të formës 3 + 1 + 1, 6 – 1 – 1. , 2 + 2 + 2 etj. Duke llogaritur, për shembull, vlerën e shprehjes së parë, nxënësi shpjegon: “Shto një në tre, merr katër, shto një me katër, merr pesë.” Zgjidhja e shembujve të formës 6 - 1 - 1, etj. shpjegohet në mënyrë të ngjashme. Kështu, nxënësit e klasës së parë po përgatiten gradualisht të nxjerrin rregullin për rendin e kryerjes së veprimeve në shprehjet që përmbajnë veprime të një niveli. përgjithësuar në klasën II.

Në klasën I, fëmijët praktikisht do të zotërojnë një rregull tjetër për rendin e kryerjes së veprimeve, përkatësisht kryerjen e veprimeve në shprehjet e formës 8 - (4 + 2); (6 - 2) + 3, etj.

Përgjithësohen njohuritë e nxënësve për rregullat për rendin e kryerjes së veprimeve dhe futet një rregull tjetër për radhën e veprimeve në shprehjet që nuk kanë kllapa dhe përmbajnë veprime aritmetike të niveleve të ndryshme: mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim.

Kur njiheni me rregullin e ri për rendin e veprimeve, puna mund të organizohet në mënyra të ndryshme. Ju mund t'i ftoni fëmijët të lexojnë rregullin nga libri shkollor dhe ta zbatojnë atë kur llogaritni vlerat e shprehjeve përkatëse. Ju gjithashtu mund t'u kërkoni nxënësve të llogarisin, për shembull, vlerën e shprehjes 40 – 10: 2. Përgjigjet mund të jenë të ndryshme: për disa vlera e shprehjes do të jetë e barabartë me 15, për të tjerët do të jetë 35.

Pas kësaj mësuesi shpjegon: “Për të gjetur vlerën e një shprehjeje që nuk ka kllapa dhe përmban veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit, duhet të kryeni me radhë (nga e majta në të djathtë) fillimisht veprimet e shumëzimit dhe pjesëtimi, dhe më pas (gjithashtu nga e majta në të djathtë) mbledhje dhe zbritje. Në këtë shprehje, së pari duhet të ndani 10 me 2, dhe më pas të zbritni rezultatin që rezulton 5 nga 40. Vlera e shprehjes është 35.

Nxënësit e shkollave fillore në fakt njihen me transformime identike të shprehjeve.

Shndërrim identik i shprehjeve është zëvendësimi i një shprehjeje të dhënë me një tjetër, vlera e së cilës është e barabartë me vlerën e dhënë (termi dhe përkufizimi nuk u jepet nxënësve të shkollave fillore).

Nxënësit ndeshen me shndërrimin e shprehjeve nga klasa e I-rë në lidhje me studimin e vetive të veprimeve aritmetike. Për shembull, kur zgjidhin shembuj të formës 10 + (50 + 3) në një mënyrë të përshtatshme, fëmijët arsyetojnë kështu: "Është më e përshtatshme të shtoni dhjetëra me dhjetëra dhe të shtoni 3 njësi në rezultatin që rezulton 60. Unë do ta shkruaj: 10 (50 + 3) = (10 + 50) + 3 = 63."

Kur kryejnë një detyrë në të cilën duhet të mbarojnë së shkruari: (10 + 7) · 3 = 10 · 3 + 7 · 3 ..., fëmijët shpjegojnë: "Në të majtë, shumohet shuma e numrave 10 dhe 7. me numrin 3, në të djathtë, termi i parë 10 i kësaj shume shumëzohet me numrin 3; Në mënyrë që shenja "e barabartë" të ruhet, termi i dytë 7 duhet gjithashtu të shumëzohet me numrin 3 dhe produktet që rezultojnë të shtohen. Do ta shkruaj kështu: (10 + 7) 3 = 10 3 + 7 3."

Gjatë transformimit të shprehjeve, nxënësit ndonjëherë bëjnë gabime të formës (10 + 4) · 3 = - 10 · 3 + 4. Arsyeja e këtyre llojeve të gabimeve lidhet me përdorimin e gabuar të njohurive të marra më parë (në këtë rast, duke përdorur rregulli i shtimit të një numri në shumën kur zgjidhet një shembull, ku shuma duhet të shumëzohet me një numër). Për të parandaluar gabime të tilla, ju mund t'u ofroni studentëve detyrat e mëposhtme:

a) Krahasoni shprehjet e shkruara në anën e majtë të barazimeve. Si ngjajnë dhe si ndryshojnë? Shpjegoni se si i keni llogaritur vlerat e tyre:

(10 + 4) + 3 = 10 + (4 + 3) = 10 + 7 = 17

(10 + 4) 3 = 10 3 + 4 3 = 30 + 12 = 42

b) Plotësoni vendet bosh dhe gjeni rezultatin:

(20 + 3) + 5 = 20 + (3 + ð); (20 + 3) 5 = 20 ð + 3 ð.

c) Krahasoni shprehjet dhe vendosni një shenjë > midis tyre,< или =:

(30 + 4) + 2 … 30 + (4 + 2); (30 + 4) + 2 … 30 2 + 4 2.

d) Kontrolloni me llogaritje nëse barazitë e mëposhtme janë të vërteta:

8 3 + 7 3 = (8 + 7) 3; 30 + (5 + 7) = 30 + 7.

Shprehje fjalë për fjalë

Në klasat fillore, parashikohet të kryhen - në lidhje të ngushtë me studimin e veprimeve numerike dhe aritmetike - punë përgatitore për të zbuluar kuptimin e një ndryshoreje. Për këtë qëllim, tekstet e matematikës përfshijnë ushtrime në të cilat një ndryshore tregohet me një "dritare". Për shembull, ð< 3, 6 < ð, ð + 2 = 5 и др.

Këtu është e rëndësishme të inkurajoni studentët që të përpiqen të zëvendësojnë jo një, por disa numra me radhë, në "dritare", duke kontrolluar çdo herë nëse hyrja është e saktë.

Pra, në rastin р< 3 в «окошко» можно подставить числа 0, 1, 2,; в случае 6 < ð - числа 7, 8, 9, 10, 20 и др.; в случае ð + 2 = 5 можно подставить только число 3.

Për të thjeshtuar programin e matematikës për klasat fillore dhe për të siguruar aksesueshmërinë e tij, simbolet e shkronjave nuk përdoren si një mjet për përgjithësimin e njohurive aritmetike. Të gjitha emërtimet e shkronjave zëvendësohen me formulime verbale.

Për shembull, në vend të detyrës

Detyra propozohet në këtë formë: “Rritje numrin 3 me 4 herë; 5 herë; 6 herë; ..."

Barazitë dhe pabarazitë

Njohja e nxënësve të shkollave fillore me barazitë dhe pabarazitë përfshin zgjidhjen e problemeve të mëposhtme:

Mësoni se si të vendosni marrëdhënien "më shumë se", "më pak se" ose "e barabartë me" midis shprehjeve dhe shkruani rezultatet e krahasimit duke përdorur një shenjë;

Metodologjia për zhvillimin e ideve për barazitë dhe pabarazitë numerike midis nxënësve të rinj të shkollës përfshin fazat e mëposhtme të punës.

Në fazën I, para së gjithash në javën e shkollës, nxënësit e klasës së parë kryejnë ushtrime për të krahasuar grupe objektesh. Këtu është më e këshillueshme të përdoret teknika e krijimit të një korrespondence një-për-një. Në këtë fazë, rezultatet e krahasimit nuk janë shkruar ende duke përdorur shenjat e duhura të lidhjes.

Në fazën II, nxënësit krahasojnë numrat, duke u mbështetur fillimisht në qartësinë objektive, dhe më pas në vetinë e numrave në serinë natyrore, sipas së cilës, nga dy numra të ndryshëm, numri më i madh quhet më vonë gjatë numërimit dhe numri më i vogël quhet. më herët. Fëmijët regjistrojnë marrëdhëniet e krijuara në këtë mënyrë duke përdorur shenja të përshtatshme. Për shembull, 3 > 2, 2< 3. В дальнейшем при изучении нумерации (в концентрах «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа») для сравнения чисел полезно применять два способа, а именно устанавливать отношения между числами: 1) по месту их расположения в натуральном ряду; 2) на основе сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высших разрядов. Например, 826 < 829, так как сотен и десятков в этих числах поровну, а единиц в первом числе меньше, чем во втором.

Mund të krahasoni edhe vlerat: 4 dm 5 cm > 4 dm 3 cm, pasi ka më shumë decimetra se në të dytin. Për më tepër, vlerat fillimisht mund të shprehen në njësi të një matjeje dhe vetëm më pas të krahasohen: 45 cm > 43 cm.

Ushtrime të ngjashme prezantohen tashmë kur studiojmë mbledhjen dhe zbritjen brenda 10. Është e dobishme t'i kryejmë ato në bazë të qartësisë, për shembull: nxënësit shtrojnë katër rrathë në tavolinat e tyre në të majtë dhe katër trekëndësha në të djathtë. Rezulton se ka një numër të barabartë figurash - katër secila. Shkruani barazinë: 4 = 4. Më pas fëmijët u shtojnë një rreth figurave në të majtë dhe shkruajnë shumën 4 + 1. Në të majtë ka më shumë shifra sesa në të djathtë, që do të thotë 4 + 1 > 4.

Duke përdorur teknikën e ekuacionit, nxënësit kalojnë nga pabarazia në barazi. Për shembull, 3 kërpudha dhe 4 ketra vendosen në një kanavacë radhitjeje. Për të pasur numër të barabartë kërpudhash dhe ketrash, mund të: 1) shtoni një kërpudha (atëherë do të ketë 3 kërpudha dhe 3 ketra).

Në kanavacën e radhitjes janë 5 makina dhe 5 kamionë. Për të pasur më shumë makina se të tjerat, mund: 1) të hiqni një (dy, tre) makina (makinë ose kamion) ose 2) të shtoni një (dy, tre) makina.

Gradualisht, kur krahasojnë shprehjet, fëmijët kalojnë nga mbështetja në vizualizim në krahasimin e kuptimeve të tyre. Kjo metodë është më e rëndësishmja në shkollën fillore. Kur krahasojnë shprehjet, studentët mund të mbështeten edhe në njohuritë për: a) marrëdhënien midis përbërësve dhe rezultatit të një veprimi aritmetik: 20 + 5 * 20 + 6 (shuma e numrave 20 dhe 5 është shkruar në të majtë, shuma e numrave 20 dhe 6 në të djathtë Kushtet e para të këtyre shumave janë të njëjta, termi i dytë i shumës në të majtë është më i vogël se termi i dytë i shumës në të djathtë, që do të thotë shuma në të majtë. është më pak se shuma në të djathtë: 20 + 5< 20 + 6); б) отношение между результатами и компонентами арифметических действий: 15 + 2 * 15 (слева и справа сначала было поровну – по 15. Затем к 15 прибавили 2, стало больше, чем 15); в) смысла действия умножения: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 * 5 · 3 (слева число 5 взяли слагаемым 5 раз, справа число 5 взяли слагаемым 3 раза, значит, сумма слева будет больше, чем справа: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 >5 + 5 + 5); d) vetitë e veprimeve aritmetike: (5 + 2) · 3 * 5 · 3 + 2 · 3 (në të majtë, shuma e numrave 5 dhe 2 shumëzohet me numrin 3, në të djathtë prodhimet e secilit Shtesa me numrin 3 gjenden dhe shtohen Kjo do të thotë se në vend të një ylli, mund të vendosni shenjën e barazimit: (5 + 2) 3 = 5 3 + 2 3.

Në këto raste, llogaritjet e vlerave të shprehjes përdoren për të kontrolluar korrektësinë e shenjës. Për të regjistruar pabarazitë me një ndryshore në klasat fillore, përdoret një "dritare": 2 > ð, ð = 5, ð > 3.

Është e dobishme të kryhen ushtrimet e para të këtij lloji në bazë të një serie numrash, duke u kthyer në të cilën nxënësit vërejnë se numri 2 është më i madh se një dhe zero, prandaj në "dritaren" (2 > ð) mund të zëvendësoni numrat 0. dhe 1 (2 > 0, 2>1 ).

Ushtrime të tjera me një dritare kryhen në mënyrë të ngjashme.

Metoda kryesore kur merren parasysh pabarazitë me një ndryshore është metoda e përzgjedhjes.

Për të thjeshtuar vlerat e një ndryshoreje në pabarazi, propozohet që ato të zgjidhen nga një seri specifike numrash. Për shembull, mund të propozoni të shkruani ato të numrave të dhënë të serisë 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 për të cilët shënimi ð - 7 është i saktë.< 5.

Gjatë kryerjes së kësaj detyre, nxënësi mund të arsyetojë kështu: "Le të zëvendësojmë numrin 7 në "dritare": 7 minus 7 do të jetë 0, 0 është më e vogël se 5, që do të thotë se numri 7 është i përshtatshëm. Le të vendosim numrin 8:8 minus 7 në "dritare" dhe marrim 1, 1 është më pak se 5, që do të thotë se numri 8 është gjithashtu i përshtatshëm... Le të vendosim numrin 12 në "dritare": 12 minus 7 merr 5, 5 është më pak se 5 - e pasaktë, që do të thotë se numri 12 nuk është i përshtatshëm. Për të shkruar ð - 7< 5 была верной, в «окошко» можно подставить любое из чисел 7, 8, 9, 10, 11».

Ekuacionet

Në fund të klasës së tretë, fëmijët njihen me ekuacionet më të thjeshta të formës: X+8 =15; 5+X=12; X–9 =4; 13–X=6; X·7 =42; 4· X=12; X:8 =7; 72:X=12.

Fëmija duhet të jetë në gjendje të zgjidhë ekuacionet në dy mënyra:

1) metoda e përzgjedhjes (në rastet më të thjeshta); 2) në një mënyrë të bazuar në zbatimin e rregullave për gjetjen e komponentëve të panjohur të veprimeve aritmetike. Këtu është një shembull i regjistrimit të një zgjidhjeje për një ekuacion së bashku me verifikimin dhe arsyetimin e fëmijës kur e zgjidh atë:

X – 9 = 4 X = 4 + 9 X = 13

13 – 9 = 4 4 = 4

“Në ekuacion X– 9 = 4 x qëndron në vendin e minuendit. Për të gjetur minuendin e panjohur, ju duhet të shtoni subtrahend në ndryshim ( X=4+9.) Le të kontrollojmë: zbresim 9 nga 13, marrim 4. Barazia e saktë është 4 = 4, që do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë."

Në klasën e 4-të, një fëmijë mund të njihet me zgjidhjen e problemeve të thjeshta duke hartuar një ekuacion.

"Studimi i materialit algjebrik në shkollën fillore"

Kryer nga mësuesja e kategorisë më të lartë Averyakova N.N.

Hyrje.

Kapitulli 1. Aspekte të përgjithshme teorike të studimit të materialit algjebrik në shkollën fillore.

1.1 Përvojë në futjen e elementeve algjebër në shkollën fillore.

1.2. Bazat psikologjike për futjen e koncepteve algjebrike në shkollën fillore.

1.3. Problemi i origjinës së koncepteve algjebrike dhe rëndësia e tij për ndërtimin e një lënde arsimore.

2.1. Mësimdhënia në shkollën fillore nga pikëpamja e nevojave të shkollës së mesme.

2.2. Krahasimi (kontrasti) i koncepteve në mësimet e matematikës.

2.3. Studim i përbashkët i mbledhjes dhe zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit.

Kreu 3. Punë kërkimore për studimin e materialit algjebrik në mësimet e matematikës në klasat fillore të shkollës nr.72.

3.1. Arsyetimi për përdorimin e teknologjive inovative (teknologjia UDE).

3.2. Për përvojën e njohjes me konceptet algjebrike.

3.3.Diagnostifikimi i rezultateve të mësimit të matematikës.

konkluzioni.

Lista bibliografike.

Hyrje

Në çdo sistem modern të arsimit të përgjithshëm, matematika zë një nga vendet qendrore, e cila padyshim flet për veçantinë e kësaj fushe dijeje.

Thuhet shpesh se matematika është gjuha e shkencës moderne. Megjithatë, duket se kjo deklaratë ka një defekt të theksuar. Gjuha e matematikës është kaq e përhapur dhe aq shpesh efektive pikërisht sepse matematika nuk mund të reduktohet në të.

Matematikani i shquar rus A.N. Kolmogorov shkroi: "Matematika nuk është vetëm një nga gjuhët. Matematika është gjuhë plus arsyetim, është si gjuha dhe logjika së bashku. Matematika është një mjet për të menduar. Ai përmban rezultatet e të menduarit të saktë të shumë njerëzve. Me ndihmën e matematikës mund të lidhet një arsyetim me tjetrin...Kompleksitetet e dukshme të natyrës me ligjet dhe rregullat e saj të çuditshme, secila prej të cilave pranon një shpjegim shumë të hollësishëm të veçantë, në fakt janë të lidhura ngushtë. Megjithatë, nëse nuk dëshironi të përdorni matematikën, atëherë në këtë larmi të madhe faktesh nuk do të shihni se logjika ju lejon të kaloni nga njëra në tjetrën (fq. 44 – (12)).

Kështu, matematika na lejon të formojmë forma të caktuara të të menduarit të nevojshme për të studiuar botën përreth nesh.

Sistemi ynë arsimor është krijuar në atë mënyrë që për shumë, shkolla të ofrojë mundësinë e vetme për t'u bashkuar me një kulturë matematikore dhe për të zotëruar vlerat që përmban matematika.

Cili është ndikimi i matematikës në përgjithësi dhe i matematikës shkollore në veçanti në edukimin e një personaliteti krijues? Mësimdhënia e artit të zgjidhjes së problemeve në orët e matematikës na ofron një mundësi jashtëzakonisht të favorshme për zhvillimin e një mendësie të caktuar te nxënësit. Nevoja për aktivitete kërkimore zhvillon interesin për modelet dhe na mëson të shohim bukurinë dhe harmoninë e mendimit njerëzor. E gjithë kjo është një element thelbësor i kulturës së përgjithshme. Lënda e matematikës ka një ndikim të rëndësishëm në formimin e formave të ndryshme të të menduarit: logjik, hapësinor-gjeometrik, algoritmik. Çdo proces krijues fillon me formulimin e një hipoteze. Matematika, me organizimin e duhur të arsimit, duke qenë një shkollë e mirë për ndërtimin dhe testimin e hipotezave, të mëson të krahasosh hipoteza të ndryshme, të gjesh opsionin më të mirë, të shtrosh probleme të reja dhe të kërkosh mënyra për t'i zgjidhur ato. Duke maksimizuar mundësitë e të menduarit njerëzor, matematika është arritja më e lartë.

Lënda e matematikës (pa gjeometri) në fakt ndahet në 3 pjesë kryesore: aritmetikë (klasat 1-5), algjebër (klasat 6), elementet e analizës (klasat 9-11). Secila pjesë ka "teknologjinë" e saj të veçantë. Kështu, në aritmetikë shoqërohet, për shembull, me llogaritjet e kryera në numra shumëshifrorë, në algjebër - me shndërrime identike, logaritmizim, në analizë - me diferencim. Por cilat janë arsyet më të thella që lidhen me përmbajtjen konceptuale të secilës pjesë? Pyetja tjetër ka të bëjë me bazën për dallimin midis aritmetikës shkollore dhe algjebrës. Aritmetika përfshin studimin e numrave natyrorë (numrat e plotë pozitivë) dhe thyesave (të thjeshtë dhe dhjetorë). Megjithatë, një analizë e veçantë tregon se kombinimi i këtyre llojeve të numrave në një lëndë shkollore është i paligjshëm. Fakti është se këta numra kanë funksione të ndryshme: i pari shoqërohet me numërimin e objekteve, i dyti me matjen e sasive. Nga pikëpamja e matjes së sasive, siç vuri në dukje A.N. Kolmogorov, "nuk ka një ndryshim kaq të thellë midis numrave realë racionalë dhe irracionalë. Për arsye pedagogjike, është e nevojshme të ndalemi te numrat racionalë, pasi ato janë të lehta për t'u shkruar në formën e thyesave, por përdorimi që u është dhënë atyre që në fillim duhet të çojë menjëherë në numrat realë në të gjithë përgjithësinë e tyre" (12 -fq.9). Kështu, ekziston një mundësi reale, në bazë të numrave natyrorë (të plotë), për të formuar menjëherë "konceptin më të përgjithshëm të numrit" (në terminologjinë e A. Lebesgue), konceptin e një numri real. Por nga pikëpamja e ndërtimit të programit, kjo nuk do të thotë asgjë më shumë ose më pak se eliminimi i aritmetikës së thyesave në interpretimin e saj shkollor. Kalimi nga numrat e plotë në numrat realë është një kalim nga aritmetika në algjebër, në krijimin e një themeli për analizë. Këto ide, të shprehura më shumë se 30 vjet më parë, janë ende aktuale sot. A mund të ndryshohet struktura e mësimit të matematikës në shkollën fillore në këtë drejtim? Cilat janë avantazhet dhe disavantazhet e algjebrizimit në arsimin fillor të matematikës? Qëllimi i kësaj pune është të përpiqet t'u përgjigjet pyetjeve të parashtruara.

Realizimi i këtij qëllimi kërkon zgjidhjen e detyrave të mëposhtme:

Shqyrtimi i aspekteve të përgjithshme teorike të futjes së koncepteve algjebrike të madhësisë dhe numrit në shkollën fillore;

Studimi i metodave specifike për mësimin e këtyre koncepteve në shkollën fillore;

Të tregojë zbatueshmërinë praktike të dispozitave në shqyrtim në shkollën fillore gjatë orëve të matematikës në shkollën e mesme nr.72 nga mësuesja N.N.Averyakova.

KAPITULLI 1. ASPEKTET E PËRGJITHSHME TEORIKE TË STUDIMIT TË MATERIALIT ALGJEBRIK NË SHKOLLËN FILLORE.

EKSPERIENCA NË PARAQITJE TË ELEMENTEVE ALGJEBRË NË SHKOLLËN FILLORE.

Përmbajtja e një lënde akademike varet nga shumë faktorë - nga kërkesat e jetës për njohuritë e studentëve, nga niveli i shkencave përkatëse, nga aftësitë mendore dhe fizike të fëmijëve të lidhura me moshën. Shqyrtimi i saktë i këtyre faktorëve është një kusht thelbësor për edukimin sa më efektiv të nxënësve të shkollës dhe zgjerimin e aftësive të tyre njohëse. Por ndonjëherë ky kusht nuk plotësohet për një sërë arsyesh. Duket se aktualisht programet mësimore për disa lëndë akademike, përfshirë. matematika, nuk korrespondon me kërkesat e reja të jetës, nivelin e shkencave moderne dhe të dhënat e reja nga psikologjia dhe logjika e zhvillimit. Kjo rrethanë dikton nevojën e testimit teorik dhe eksperimental të projekteve të mundshme për përmbajtje të reja të lëndëve arsimore. Themeli i aftësive matematikore vihet në shkollën fillore. Por, për fat të keq, si vetë matematikanët, ashtu edhe metodologët dhe psikologët i kushtojnë shumë pak vëmendje përmbajtjes së matematikës elementare. Mjafton të thuhet se programi i matematikës në shkollën fillore (1-4) në tiparet e tij kryesore është formuar 50-60 vjet më parë dhe natyrshëm pasqyron sistemin e ideve matematikore, metodologjike dhe psikologjike të asaj kohe.

Le të shqyrtojmë tiparet karakteristike të standardit shtetëror në matematikë. Përmbajtja e tij kryesore është numrat e plotë dhe veprimet mbi to, të studiuara në një sekuencë të caktuar. Së bashku me këtë, programi përfshin studimin e masave metrike dhe masave kohore, zotërimin e aftësisë për t'i përdorur ato për matje, njohjen e disa elementeve të gjeometrisë vizuale - vizatimin e një drejtkëndëshi, katror, matjen e segmenteve, zonave, llogaritjen e vëllimeve. Nxënësit duhet të zbatojnë njohuritë dhe aftësitë e marra në zgjidhjen e problemeve dhe kryerjen e llogaritjeve të thjeshta. Gjatë gjithë kursit, zgjidhja e problemeve kryhet paralelisht me studimin e numrave dhe operacioneve - gjysma e kohës së duhur është ndarë për këtë. Zgjidhja e problemeve i ndihmon studentët të kuptojnë kuptimin specifik të një veprimi, të kuptojnë raste të ndryshme të zbatimit të tyre, të vendosin marrëdhënie midis sasive dhe të fitojnë aftësi themelore të analizës dhe sintezës. Nga klasa 1 deri në 4, fëmijët zgjidhin këto lloje kryesore të problemeve (të thjeshta dhe të përbëra): gjetja e shumës dhe e mbetjes, produktit dhe herësit, rritja dhe zvogëlimi i numrave të dhënë, ndryshimi dhe krahasimi i shumëfishtë, rregulla e thjeshtë treshe, pjesëtimi proporcional, gjetja e një i panjohur nga dy dallime dhe lloje të tjera problemesh. Fëmijët ndeshen me lloje të ndryshme varësish sasiore gjatë zgjidhjes së problemeve. Por në mënyrë tipike, studentët fillojnë problemet pas dhe ndërsa studiojnë numrat; Gjëja kryesore që kërkohet gjatë zgjidhjes është gjetja e një përgjigje numerike. Fëmijët kanë vështirësi të mëdha në identifikimin e vetive të marrëdhënieve sasiore në situata specifike, të veçanta, të cilat zakonisht konsiderohen si probleme aritmetike. Praktika tregon se manipulimi i numrave shpesh zëvendëson analizën aktuale të kushteve të problemit nga pikëpamja e varësive të sasive reale. Për më tepër, problemet e paraqitura në tekstet shkollore nuk paraqesin sisteme në të cilat situata më “komplekse” do të shoqëroheshin me shtresa “më të thella” të marrëdhënieve sasiore. Probleme të së njëjtës vështirësi mund të gjenden si në fillim ashtu edhe në fund të tekstit shkollor. Ato ndryshojnë nga seksioni në seksion dhe nga klasa në klasë për sa i përket kompleksitetit të komplotit (numri i veprimeve rritet), renditja e numrave (nga dhjetë në një miliard), kompleksiteti i varësive fizike (nga problemet e shpërndarjes në lëvizje probleme) dhe parametra të tjerë. Vetëm një parametër - thellimi në vetë sistemin e ligjeve matematikore - manifestohet dobët dhe në mënyrë të paqartë në to. Prandaj, është shumë e vështirë të përcaktohet një kriter për vështirësinë matematikore të një problemi të caktuar. Pse problemet për gjetjen e një të panjohure nga dy dallime dhe gjetjen e mesatares aritmetike janë më të vështira se problemet për dallimin dhe krahasimin e shumëfishtë? Teknika nuk i përgjigjet kësaj pyetjeje.

Kështu, nxënësit e shkollave fillore nuk marrin njohuri adekuate, të plota për varësitë e sasive dhe vetitë e përgjithshme të sasisë as kur studiojnë elementet e teorisë së numrave, sepse në kursin e shkollës ata lidhen kryesisht me teknikat llogaritëse, ose kur zgjidhin probleme, sepse këto të fundit nuk kanë formën e duhur dhe nuk kanë sistemin e kërkuar. Përpjekjet e metodologëve për të përmirësuar metodat e mësimdhënies, megjithëse ato çojnë në suksese të pjesshme, nuk e ndryshojnë gjendjen e përgjithshme të punëve, pasi ato kufizohen paraprakisht nga kuadri i përmbajtjes së pranuar.

Duket se analiza kritike e programit aritmetik të miratuar duhet të bazohet në dispozitat e mëposhtme:

Koncepti i numrit nuk është identik me konceptin e karakteristikave sasiore të objekteve;

Numri nuk është forma origjinale e shprehjes së marrëdhënieve sasiore.

Le të japim arsyetimin për këto dispozita. Dihet mirë se matematika moderne (në veçanti, algjebra) studion aspekte të marrëdhënieve sasiore që nuk kanë një guaskë numerike. Dihet gjithashtu mirë se disa marrëdhënie sasiore janë mjaft të shprehura pa numra dhe para numrave, për shembull, në segmente, vëllime, etj. (lidhja "më shumë", "më pak", "barabartë"). Paraqitja e koncepteve fillestare matematikore në manualet moderne kryhet në një simbolikë të tillë që nuk nënkupton domosdoshmërisht shprehjen e objekteve me numra. Kështu, në librin e E.G. Gonin "Aritmetika teorike", objektet kryesore matematikore janë shënuar që në fillim me shkronja dhe shenja të veçanta. Është karakteristikë që disa lloje numrash dhe varësi numerike jepen vetëm si shembuj, ilustrime të vetive të bashkësive dhe jo si forma e vetme e mundshme dhe e vetme ekzistuese e shprehjes së tyre. Vlen të përmendet se shumë ilustrime të përkufizimeve individuale matematikore jepen në formë grafike, përmes raportit të segmenteve dhe zonave. Të gjitha vetitë themelore të grupeve dhe sasive mund të nxirren dhe justifikohen pa përfshirë sistemet numerike; Për më tepër, vetë këta të fundit justifikohen në bazë të koncepteve të përgjithshme matematikore.

Nga ana tjetër, vëzhgime të shumta nga psikologë dhe mësues tregojnë se idetë sasiore lindin tek fëmijët shumë kohë përpara se të fitojnë njohuri për numrat dhe mënyrën e përdorimit të tyre. Vërtetë, ekziston një tendencë për t'i klasifikuar këto ide si "formacione para-matematikore" (gjë që është krejt e natyrshme për metodat tradicionale që identifikojnë karakteristikat sasiore të një objekti me një numër), por kjo nuk e ndryshon funksionin thelbësor në përgjithësi të fëmijës. orientimi në vetitë e sendeve. Dhe ndonjëherë ndodh që thellësia e këtyre gjoja "formacioneve para-matematikore" është më domethënëse për zhvillimin e të menduarit matematikor të një fëmije sesa ndërlikimet e teknologjisë kompjuterike dhe aftësia për të gjetur varësi thjesht numerike. Vlen të përmendet se Akademiku A.N. Kolmogorov, duke karakterizuar veçoritë e krijimtarisë matematikore, vë në dukje posaçërisht rrethanë e mëposhtme: "Baza e shumicës së zbulimeve matematikore është një ide e thjeshtë: një ndërtim gjeometrik vizual, një pabarazi e re elementare, etj. Thjesht duhet të zbatoni siç duhet këtë ide të thjeshtë për të zgjidhur një problem që në shikim të parë duket i paarritshëm (12-f.17).

Aktualisht, një shumëllojshmëri idesh në lidhje me strukturën dhe mënyrat e ndërtimit të një programi të ri janë të përshtatshme. Është e nevojshme të përfshihen matematikanë, psikologë, logjikë dhe metodologë në punën për ndërtimin e saj. Por në të gjitha opsionet specifike, duket se duhet të plotësojë kërkesat e mëposhtme:

Kapërcimi i hendekut ekzistues në mes të përmbajtjes së matematikës në shkollat fillore dhe të mesme;

Të sigurojë një sistem njohurish për ligjet bazë të marrëdhënieve sasiore të botës objektive; në këtë rast, vetitë e numrave si një formë e veçantë e shprehjes së sasisë duhet të bëhen një pjesë e veçantë, por jo kryesore e programit;

Zhvendosni tek fëmijët metodat e të menduarit matematik, dhe jo vetëm aftësitë e llogaritjes: kjo përfshin ndërtimin e një sistemi problemesh bazuar në zhytjen në sferën e varësive të sasive reale (lidhja e matematikës me fizikën, kiminë, biologjinë dhe shkenca të tjera që studiojnë sasi specifike );

Thjeshtoni me vendosmëri të gjitha teknikat e llogaritjes, duke minimizuar punën që nuk mund të bëhet pa tabela të përshtatshme, libra referimi dhe mjete të tjera ndihmëse.

Kuptimi i këtyre kërkesave është i qartë: në shkollën fillore është e mundur të mësohet matematika si shkencë për ligjet e marrëdhënieve sasiore, për varësitë e sasive; Teknikat e llogaritjes dhe elementet e teorisë së numrave duhet të bëhen pjesë e veçantë dhe private e programit. Eksperienca e ndërtimit të një programi të ri në matematikë dhe testimi eksperimental i tij, i kryer që nga fundi i vitit 1960, na lejon tani të flasim për mundësinë e futjes në shkollë, duke filluar nga klasa e parë, një kurs matematikor sistematik që ofron njohuri për sasinë. marrëdhëniet dhe varësitë e sasive në formë algjebrike.

1.2 BAZA PSIKOLOGJIKE PËR PARAQITJE TË KONCEPTEVE ALGJEBRIKË NË SHKOLLA FILLORE.

Kohët e fundit, gjatë modernizimit të programeve, një rëndësi e veçantë i është kushtuar vendosjes së një themeli teorik grupor për kursin shkollor (kjo prirje manifestohet si këtu ashtu edhe jashtë saj). Zbatimi i kësaj tendence në mësimdhënie (sidomos në klasat fillore, siç vërehet, për shembull, në një shkollë amerikane) do të ngrejë në mënyrë të pashmangshme një sërë pyetjesh të vështira për psikologjinë e fëmijëve dhe edukimit dhe didaktikën, sepse tani nuk ka pothuajse asnjë studim. zbulimi i veçorive të asimilimit të një fëmije të kuptimit të grupit (ndryshe nga zotërimi i numërimit dhe numrave, i cili është studiuar në mënyrë shumë gjithëpërfshirëse).

Kërkimet logjike dhe psikologjike të viteve të fundit (veçanërisht vepra e J. Piaget) kanë zbuluar lidhjen midis disa mekanizmave të të menduarit të fëmijëve dhe koncepteve të përgjithshme matematikore. Më poshtë diskutojmë në mënyrë specifike veçoritë e kësaj lidhjeje dhe rëndësinë e tyre për ndërtimin e matematikës si lëndë edukative (po flasim për anën teorike të çështjes dhe jo për ndonjë version të veçantë të programit).

Numri natyror ka qenë një koncept themelor në matematikë gjatë gjithë historisë së saj; luan një rol shumë domethënës në të gjitha fushat e prodhimit, teknologjisë dhe jetës së përditshme. Kjo i lejon matematikanët teorikë t'i japin asaj një vend të veçantë midis koncepteve të tjera të matematikës. Në forma të ndryshme, bëhen pohime se koncepti i një numri natyror është faza fillestare e abstraksionit matematik, se ai është baza për ndërtimin e shumicës së disiplinave matematikore.

Zgjedhja e elementeve fillestare të matematikës si lëndë akademike zbaton në thelb këto dispozita të përgjithshme. Në këtë rast, supozohet se ndërsa njihet me numrat, fëmija zbulon njëkohësisht për veten e tij tiparet fillestare të marrëdhënieve sasiore. Numërimi dhe numri janë baza për të gjithë mësimin e mëvonshëm të matematikës në shkollë.

Shumë koncepte të përgjithshme matematikore, dhe në veçanti konceptet e marrëdhënieve të ekuivalencës dhe rendit, konsiderohen sistematikisht në matematikë pavarësisht nga forma numerike. Këto koncepte nuk e humbasin karakterin e tyre të pavarur në bazë të tyre, është e mundur të përshkruhet dhe studiohet një temë e caktuar - sisteme të ndryshme numerike, koncepte që në vetvete nuk mbulojnë kuptimin dhe kuptimin e përkufizimeve origjinale. Për më tepër, në historinë e shkencës matematikore, konceptet e përgjithshme u zhvilluan pikërisht në atë masë sa "veprimet algjebrike", një shembull i njohur i të cilave janë katër operacionet e aritmetikës, filluan të zbatohen për elementë të një natyre krejtësisht jo numerike.

Kohët e fundit janë bërë përpjekje për të zgjeruar fazën e njohjes së një fëmije me matematikën në mësimdhënie. Kjo tendencë gjen shprehjen e saj në manualet metodologjike, si dhe në disa tekste eksperimentale. Kështu, në një libër shkollor amerikan, i destinuar për mësimin e fëmijëve 6-7 vjeç, në faqet e para futen detyra dhe ushtrime që i trajnojnë fëmijët në mënyrë specifike në përcaktimin e identitetit të grupeve lëndore. Fëmijëve u tregohet teknika e lidhjes së grupeve dhe prezantohet simbolika përkatëse matematikore. Puna me numrat bazohet në njohuritë bazë për grupet. Përmbajtja e përpjekjeve specifike për të zbatuar këtë prirje mund të vlerësohet ndryshe, por në vetvete është mjaft legjitime dhe premtuese.

Në shikim të parë, konceptet e "qëndrimit", "strukturës", "ligjeve të përbërjes" dhe përkufizimeve të tjera ekzistuese komplekse matematikore nuk mund të lidhen me formimin e koncepteve matematikore tek fëmijët e vegjël. Natyrisht, i gjithë kuptimi i vërtetë dhe abstrakt i këtyre koncepteve dhe vendi i tyre në strukturën aksiomatike të matematikës si shkencë është një objekt asimilimi për një kokë tashmë të zhvilluar dhe "të trajnuar" në matematikë. Sidoqoftë, disa veti të gjërave të fiksuara nga këto koncepte, në një mënyrë ose në një tjetër, i shfaqen fëmijës relativisht herët: ka të dhëna specifike psikologjike për këtë.

Para së gjithash, duhet të kihet parasysh se nga momenti i lindjes deri në moshën 7-10 vjeç, fëmija zhvillon dhe zhvillon sisteme komplekse të ideve të përgjithshme për botën që e rrethon dhe hedh themelet për të menduarit kuptimplotë dhe objektiv. Për më tepër, bazuar në një material relativisht të ngushtë empirik, fëmijët identifikojnë modele të përgjithshme orientimi në varësinë hapësinore-kohore dhe shkak-pasojë të gjërave. Këto diagrame shërbejnë si një lloj kornize për atë "sistem koordinativ", brenda të cilit fëmija fillon të zotërojë gjithnjë e më shumë vetitë e ndryshme të botës së larmishme. Sigurisht, këto skema të përgjithshme janë pak të realizuara dhe në një masë të vogël mund të shprehen nga vetë fëmija në formën e një gjykimi abstrakt. Ata, në mënyrë figurative, janë një formë intuitive e organizimit të sjelljes së fëmijës (edhe pse, natyrisht, ato pasqyrohen gjithnjë e më shumë në gjykime).

Në dekadat e fundit, çështjet e formimit të inteligjencës së fëmijëve dhe shfaqja e ideve të tyre të përgjithshme për realitetin, kohën dhe hapësirën janë studiuar veçanërisht intensivisht nga psikologu i famshëm zviceran J. Piaget dhe kolegët e tij. Disa nga veprat e tij lidhen drejtpërdrejt me problemet e zhvillimit të të menduarit matematikor të një fëmije, dhe për këtë arsye është e rëndësishme që ne t'i konsiderojmë ato në lidhje me çështjet e hartimit të kurrikulës.

Në një nga librat e tij të fundit (17), J. Piaget ofron të dhëna eksperimentale mbi gjenezën dhe formimin tek fëmijët (deri në 12-14 vjeç) të strukturave elementare logjike si klasifikimi dhe serializimi. Klasifikimi përfshin kryerjen e një operacioni përfshirjeje (për shembull, A+A1=B) dhe operacionin e tij të kundërt (B- A1=A). seriacioni është renditja e objekteve në rreshta sistematike (për shembull, shkopinj me gjatësi të ndryshme mund të vendosen në një rresht, secili anëtar i të cilit është më i madh se të gjithë të mëparshmit dhe më i vogël se të gjithë pasuesit).

Duke analizuar formimin e klasifikimit, J. Piaget tregon se si nga forma fillestare, nga krijimi i një "agregati figurativ" bazuar vetëm në afërsinë hapësinore të objekteve, fëmijët kalojnë në një klasifikim të bazuar në marrëdhënien e ngjashmërisë ("jo- agregate figurative”), dhe më pas në formën më komplekse - në përfshirjen e klasave, për shkak të lidhjes midis vëllimit dhe përmbajtjes së konceptit. Autori shqyrton në mënyrë specifike çështjen e formimit të një klasifikimi jo vetëm sipas një, por edhe sipas dy ose tre karakteristikave, dhe për zhvillimin e aftësisë tek fëmijët për të ndryshuar bazën e klasifikimit kur shtohen elementë të rinj.

Këto studime ndoqën një qëllim shumë specifik - të identifikonin modelet e formimit të strukturave operatore të mendjes dhe, para së gjithash, një veti të tillë përbërëse si kthyeshmëria, d.m.th. aftësia e mendjes për të ecur përpara dhe prapa. Kthyeshmëria ndodh kur “operacionet dhe veprimet mund të shpalosen në dy drejtime, dhe të kuptuarit e njërit prej këtyre drejtimeve shkakton ipso facto (në sajë të vetë faktit) kuptimin e tjetrit (17-f. 15).

Kthyeshmëria, sipas J. Piaget, përfaqëson ligjin themelor të përbërjes të qenësishme në mendje. Ajo ka dy forma plotësuese dhe të pareduktueshme:përmbysja (inversioni ose mohimi) dhe reciprociteti. Kthimi ndodh, për shembull, në rastin kur lëvizja hapësinore e një objekti nga A në B mund të anulohet duke e transferuar objektin nga B në A, që në fund të fundit është ekuivalente me një transformim zero (produkti i një operacioni dhe anasjellta e tij është një operacion identik, ose një transformim zero).

Reciprociteti (ose kompensimi) përfshin rastin kur, për shembull, kur një objekt zhvendoset nga A në B, objekti mbetet në B, por vetë fëmija lëviz nga A në B dhe riprodhon pozicionin fillestar kur objekti ishte kundër trupit të tij. . Lëvizja e objektit nuk u anulua këtu, por kompensohej nga lëvizja përkatëse e trupit të tij - dhe kjo tashmë është një formë tjetër transformimi sesa qarkullimi (17-f. 16). J. Piaget beson se studimi psikologjik i zhvillimit të operacioneve aritmetike dhe gjeometrike në mendjen e një fëmije (veçanërisht ato operacione logjike që kryejnë kushte paraprake në to) na lejon të lidhim me saktësi strukturat e operatorit të të menduarit me strukturat algjebrike, të rendit strukturat dhe ato topologjike (17-f. 17) . Kështu, struktura algjebrike ("grupi") korrespondon me mekanizmat e operatorit të mendjes, që i nënshtrohet njërës prej formave të kthyeshmërisë - përmbysjes (negimit). Një grup ka katër veti elementare: prodhimi i dy elementeve të një grupi jep edhe një element të grupit; një veprim i drejtpërdrejtë korrespondon me një dhe vetëm një operacion të kundërt; ka një operacion identiteti; kompozimet e njëpasnjëshme janë asociative. Në gjuhën e veprimeve intelektuale kjo do të thotë:

Koordinimi i dy sistemeve të veprimit përbën një skemë të re që i bashkëngjitet atyre të mëparshme;

Operacioni mund të zhvillohet në dy drejtime;

Kur kthehemi në pikën e fillimit e gjejmë të pandryshuar;

Një dhe e njëjta pikë mund të arrihet në mënyra të ndryshme, dhe vetë pika konsiderohet e pandryshuar.

Le të shqyrtojmë dispozitat kryesore të formuluara nga J. Piaget në lidhje me çështjet e ndërtimit të një kurrikule. Para së gjithash, studimi i J. Piaget tregon se gjatë periudhës së fëmijërisë parashkollore dhe shkollore, një fëmijë zhvillon struktura të tilla operatore të të menduarit që e lejojnë atë të vlerësojë karakteristikat themelore të klasave të objekteve dhe pozicionet e tyre. Për më tepër, tashmë në fazën e operacioneve specifike (nga mosha 7 vjeç), intelekti i fëmijës fiton vetinë e kthyeshmërisë, e cila është jashtëzakonisht e rëndësishme për të kuptuar përmbajtjen teorike të lëndëve arsimore, në veçanti matematikën. Këto të dhëna tregojnë se psikologjia dhe pedagogjia tradicionale nuk e kanë marrë parasysh sa duhet natyrën komplekse dhe të fuqishme të atyre fazave të zhvillimit mendor të një fëmije që lidhen me periudhën nga 2 në 7 dhe nga 7 në 11 vjet. Shqyrtimi i rezultateve të marra nga Piaget na lejon të nxjerrim një sërë përfundimesh domethënëse në lidhje me hartimin e një kurrikule të matematikës. Para së gjithash, të dhënat faktike mbi formimin e intelektit të një fëmije nga 2 deri në 11 vjeç sugjerojnë se në këtë kohë jo vetëm që vetitë e objekteve të përshkruara përmes koncepteve matematikore të "strukturës-marrëdhënies" nuk janë "të huaja" për të, por ata vetë hyjnë organikisht në të menduarit e fëmijës.

Programet tradicionale nuk e marrin parasysh këtë. Prandaj, ata nuk i kuptojnë shumë nga mundësitë e fshehura në procesin e zhvillimit intelektual të fëmijës. Deri në moshën 7 vjeç, fëmijët tashmë kanë zhvilluar mjaftueshëm një plan për veprimet mendore dhe duke mësuar një program të përshtatshëm në të cilin vetitë e strukturave matematikore jepen "në mënyrë eksplicite" dhe fëmijëve u jepen mjetet për t'i analizuar ato, është e mundur që shpejt t'i sjellë fëmijët në nivelin e operacioneve "formale" sesa në harkun kohor në të cilin kjo kryhet gjatë zbulimit "të pavarur" të këtyre pronave. Është e rëndësishme të merret parasysh rrethanë e mëposhtme. Ka arsye për të besuar se veçoritë e të menduarit në nivel operacionesh specifike, të datuara nga J. Piaget tek moshat 7-11 vjeç, janë në vetvete të lidhura pazgjidhshmërisht me format e organizimit arsimor karakteristik të shkollës fillore tradicionale.

Kështu, aktualisht ekzistojnë të dhëna faktike që tregojnë lidhjen e ngushtë midis strukturave të të menduarit të fëmijëve dhe strukturave të përgjithshme algjebrike. Prania e kësaj lidhjeje hap mundësi themelore për ndërtimin e një lënde arsimore që zhvillohet sipas skemës "nga strukturat e thjeshta në kombinime komplekse". Kjo metodë mund të jetë një levë e fuqishme për të zhvilluar tek fëmijët një mendim të tillë që bazohet në një bazë konceptuale mjaft të fortë.

1.3 PROBLEMI I ORIGJINËS SË KONCEPTEVE ALGJEBRIK DHE RËNDËSIA E SAJ PËR NDËRTIMIN E NJË LËNDË ARSIMORE.

Ndarja e lëndës së matematikës shkollore në algjebër dhe aritmetikë është e kushtëzuar. Tranzicioni ndodh gradualisht. Një nga konceptet qendrore të kursit fillestar është koncepti i një numri natyror. Interpretohet si një karakteristikë sasiore e klasës së bashkësive ekuivalente. Koncepti zbulohet mbi një bazë specifike si rezultat i funksionimit të grupit dhe matjes së sasive. Është e nevojshme të analizohet përmbajtja e konceptit "sasi". Vërtetë, një term tjetër shoqërohet me këtë term - "dimension". Në përdorim të përgjithshëm, termi sasi shoqërohet me konceptet "e barabartë", "më shumë", "më pak", të cilat përshkruajnë një shumëllojshmëri të gjerë cilësish. Një grup objektesh shndërrohet në një sasi vetëm kur vendosen kritere që bëjnë të mundur të përcaktohet, në lidhje me cilindo prej elementeve të tij A dhe B, nëse A do të jetë e barabartë me B, më e madhe se B ose më e vogël se B. Për më tepër, për çdo dy element A dhe B, vlen vetëm njëra prej lidhjeve: A=B, A B, A B.

V.F. Kogan identifikon tetë vetitë themelore të koncepteve "të barabartë", "më shumë", "më pak".

1) të paktën një nga relacionet vlen: A=B, A B, A B;

2) nëse vlen relacioni A=B, atëherë relacioni A B nuk vlen;

3) nëse vlen A=B, atëherë relacioni A B nuk vlen;

4) nëse A=B dhe B=C, atëherë A=C;

5) nëse A është B dhe B është C, atëherë A është C;

6) nëse A C dhe B C, atëherë A C;

7) barazia është një marrëdhënie e kthyeshme: A=B B=A;

8) barazia është një lidhje reciproke: cilido qoftë elementi A i grupit në shqyrtim, A = A.

"Duke vendosur kritere krahasimi, ne e transformojmë shumësinë në madhësi," shkroi V.F. Në praktikë, një sasi zakonisht nuk tregon vetë grupin e elementeve, por një koncept të ri të paraqitur për të dalluar kriteret e krahasimit (emri i sasisë. Kështu shprehen konceptet "vëllimi", "pesha", "gjatësia", etj. "Në të njëjtën kohë, për një matematikan vlera është plotësisht e përcaktuar kur tregohen shumë elementë dhe kritere krahasimi," vuri në dukje V.F.

Ky autor e konsideron serinë natyrore të numrave si shembullin më të rëndësishëm të një madhësie matematikore. Nga pikëpamja e një kriteri të tillë krahasimi si pozicioni i zënë nga numrat në një seri (zë një vend, pason ..., paraprin ...), kjo seri plotëson postulatet dhe për rrjedhojë përfaqëson një sasi. Duke punuar me sasi (është e këshillueshme të regjistroni vlera individuale me shkronja), mund të kryeni një sistem kompleks transformimesh, duke vendosur varësinë e vetive të tyre, duke kaluar nga barazia në pabarazi, duke kryer mbledhje dhe zbritje. Numrat natyrorë dhe realë janë po aq të lidhur ngushtë me sasitë dhe disa nga veçoritë e tyre thelbësore. A është e mundur që këto dhe të tjera veti të bëhen objekt studimi të veçantë për fëmijën edhe para se të futet forma numerike e përshkrimit të raportit të sasive? Ato mund të shërbejnë si parakushte për prezantimin e mëvonshëm të detajuar të numrit dhe llojeve të ndryshme të tij, veçanërisht për propedeutikën e thyesave, konceptet e koordinatave, funksionet dhe konceptet e tjera tashmë në klasat e ulëta. Cila mund të jetë përmbajtja e këtij seksioni fillestar? Ky është një njohje me objektet fizike, kriteret e krahasimit të tyre, nxjerrja në pah e një sasie si lëndë e shqyrtimit matematikor, njohja me metodat e krahasimit dhe mjetet simbolike të regjistrimit të rezultateve të saj, me teknikat për analizimin e vetive të përgjithshme të sasive. Nevojitet një seksion fillestar i kursit që do t'i prezantonte fëmijët me konceptet bazë algjebrike (para prezantimit të numrave). Cilat janë temat kryesore kryesore të një programi të tillë?

Tema 1. Nivelimi dhe plotësimi i objekteve (nga gjatësia, vëllimi, pesha, përbërja e pjesëve dhe parametra të tjerë).

Tema 2. Krahasimi i objekteve dhe regjistrimi i rezultateve të tij duke përdorur formulën barazi-pabarazi.

Detyrat për krahasimin e objekteve dhe përcaktimin simbolik të rezultateve të këtij veprimi;

Regjistrimi verbal i rezultateve të krahasimit ( termat "më shumë", "më pak", "barabartë").

Shenjat e shkruara

Ilustrimi i rezultateve të krahasimit me foto;

Përcaktimi i objekteve të krahasuara me shkronja.

Tema 3. Vetitë e barazisë dhe pabarazisë.

Tema 4. Veprimi i mbledhjes (zbritjes).

Tema 5. Kalimi nga mosbarazimi i tipit A B në barazi nëpërmjet veprimit të mbledhjes (zbritjes).

Tema 6. Mbledhja dhe zbritja e barazive – pabarazive.

Me planifikimin e duhur të mësimeve, përmirësimin e metodave të mësimdhënies dhe zgjedhjen e suksesshme të mjeteve mësimore, ky material mund të përvetësohet plotësisht në tre muaj.

Më pas, fëmijët njihen me mënyrat e marrjes së një numri që shpreh marrëdhënien e një objekti në tërësi dhe pjesës së tij. Ekziston një linjë që tashmë është zbatuar në klasën 1 - transferimi i vetive themelore të sasisë dhe funksionimi i mbledhjes së numrave (numrat e plotë). Në veçanti, duke punuar në vijën numerike, fëmijët mund të transformojnë shpejt një sekuencë numrash në një vlerë. Kështu, trajtimi i një serie numrash si një sasi ju lejon të formoni në një mënyrë të re vetë aftësitë e mbledhjes dhe zbritjes, dhe më pas shumëzimit dhe pjesëtimit.

2.1. MËSIMDHËNIA NË SHKOLLËN FILLORE NGA PIKËPAMJA E NEVOJAVE TË SHKOLLËS SË MESËM.

Siç e dini, kur studioni matematikën në klasën e 5-të, një pjesë e konsiderueshme e kohës i kushtohet përsëritjes së asaj që fëmijët duhet të kishin mësuar në shkollën fillore. Kjo përsëritje pothuajse në të gjitha tekstet shkollore zgjat një tremujor e gjysmë akademik. Mësimdhënësit e matematikës të shkollave të mesme janë të pakënaqur me përgatitjen e maturantëve. Cila është arsyeja e kësaj situate? Për këtë qëllim u analizuan tekstet më të njohura të matematikës së shkollës fillore sot: këto janë tekste të autorëve M.I, I.I. Arginskaya, N.B. Istomina, L.G. Davydov, B.P.

Një analizë e këtyre teksteve nxori në pah disa aspekte negative, të pranishme pak a shumë në secilin prej tyre dhe që ndikojnë negativisht në mësimin e mëtejshëm. Para së gjithash, asimilimi i materialit në to bazohet kryesisht në memorizimin. Një shembull i qartë i kësaj është memorizimi i tabelës së shumëzimit. Në shkollën fillore i kushtohet shumë përpjekje dhe kohë për ta mësuar përmendësh. Por gjatë pushimeve verore fëmijët e harrojnë atë. Arsyeja e një harrimi kaq të shpejtë është të mësuarit përmendësh. Hulumtimi nga L.S. Vygotsky tregoi se memorizimi kuptimplotë është shumë më efektiv sesa memorizimi mekanik, dhe eksperimentet e kryera vërtetojnë bindshëm se materiali hyn në kujtesën afatgjatë vetëm nëse mbahet mend si rezultat i punës që korrespondon me këtë material. Kur studiohet materiali në shkollën fillore, mbështetet në veprime objektive dhe qartësi ilustruese, gjë që çon në formimin e të menduarit empirik. Sigurisht, vështirë se është e mundur të bëhet plotësisht pa një vizualizim të tillë në shkollën fillore, por ai duhet të shërbejë vetëm si një ilustrim i këtij apo atij fakti, dhe jo si bazë për formimin e një koncepti. Përdorimi i qartësisë ilustruese dhe veprimeve thelbësore në tekstet shkollore shpesh çon në faktin se vetë koncepti është "i paqartë". Për shembull, në metodën matematikore të M.I Moreau thuhet se fëmijët duhet të kryejnë ndarjen duke renditur objektet në pirgje ose duke bërë një vizatim për 30 orë mësimi. Me veprime të tilla, thelbi i veprimit të pjesëtimit humbet pasi veprimi i anasjelltë i shumëzimit si rezultat i pjesëtimit mësohet me vështirësinë më të madhe dhe shumë më keq se veprimet e tjera aritmetike.

Kur mësohet matematika në shkollën fillore, askund nuk flitet për vërtetimin e ndonjë deklarate. Ndërkohë, duke kujtuar se sa e vështirë do të jetë të mësosh prova në shkollë të mesme, duhet të fillosh të përgatitesh për këtë që në klasat fillore. Për më tepër, kjo mund të bëhet në material që është mjaft i aksesueshëm për nxënësit e shkollave fillore. Një material i tillë, për shembull, mund të jetë rregulli i pjesëtimit të një numri me 1, zero me një numër dhe një numër me vete. Fëmijët janë mjaft të aftë t'i vërtetojnë ato duke përdorur përkufizimin e pjesëtimit dhe rregullat përkatëse të shumëzimit.

Materiali i shkollës fillore gjithashtu lejon propedeutikën e algjebrës - punë me shkronja dhe shprehje shkronjash. Shumica e teksteve shkollore shmangin përdorimin e shkronjave. Si rezultat, fëmijët punojnë pothuajse ekskluzivisht me numra për katër vjet, pas së cilës, natyrisht, është shumë e vështirë të mësohen për të punuar me shkronja. megjithatë, është e mundur të sigurohet propedeutikë për një punë të tillë, për t'i mësuar fëmijët të zëvendësojnë një numër në vend të një shkronje në një shprehje shkronjash tashmë në shkollën fillore. Kjo është bërë mrekullisht, për shembull, në librin shkollor nga L.G. Nga klasa 1, simbolet alfabetike futen së bashku me numrat, dhe në disa raste, përpara tyre. Të gjitha rregullat dhe përfundimet shoqërohen me një shprehje shkronjash. Për shembull, mësimi 16 (klasa 1, pjesa 2) me temën "Zero" i prezanton fëmijët me zbritjen e zeros nga një numër dhe një numër nga vetvetja dhe përfundon me shënimin vijues: a -0 = a a-a = 0

Mësimi 30 me temën “Problemet e krahasimit” Klasa e parë përfshin punë me ushtrime krahasimi të formës: a*a-3 c+4*c+5 c+0* c-0 d-1*d-2.

Këto ushtrime e detyrojnë fëmijën të mendojë dhe të kërkojë prova për zgjidhjen e zgjedhur.

2.2. KRAHASIMI (KONTRASTIMI) I KONCEPTET NË MËSIMET E MATEMATIKËS.

Programi aktual parashikon studimin në klasën e parë të vetëm dy veprimeve të fazës së parë: mbledhje dhe zbritje. Kufizimi i vitit të parë të studimit në vetëm dy veprime është, në thelb, një largim nga ajo që ishte arritur tashmë në tekstet shkollore që i paraprinë atyre aktuale: asnjë mësues i vetëm nuk u ankua atëherë se shumëzimi dhe pjesëtimi, le të themi brenda 20, ishte përtej kufirit. aftësitë e nxënësve të klasës së parë. Vlen gjithashtu t'i kushtohet vëmendje faktit që në shkollat e vendeve të tjera, ku arsimi fillon në moshën 6-vjeçare, viti i parë shkollor përfshin njohjen fillestare me të katër veprimet e matematikës. Matematika mbështetet kryesisht në katër veprime dhe sa më shpejt të përfshihen në praktikën e të menduarit të studentit, aq më i qëndrueshëm dhe më i besueshëm do të jetë zhvillimi i mëpasshëm i lëndës së matematikës.

Në versionet e para të tekstit shkollor nga M.I Moro për klasën 1, u dhanë shumëzim dhe pjesëtim. Sidoqoftë, autorët me këmbëngulje mbajtën një "risi" - mbulimin në klasën e 1-të të të gjitha rasteve të mbledhjes dhe zbritjes brenda 100. Por, meqenëse nuk kishte kohë të mjaftueshme për të studiuar një vëllim kaq të zgjeruar informacioni, u vendos që të zhvendosej shumëzimin dhe pjesëtimin plotësisht për vitin e ardhshëm të studimit. Pra, magjepsja me linearitetin e programit, d.m.th. zgjerimi thjesht sasior i njohurive (veprime të njëjta, por me numër më të madh), mori kohën që ishte ndarë më parë për thellimin cilësor të njohurive (studimi i të katër veprimeve brenda dy duzinave). Studimi i shumëzimit dhe pjesëtimit tashmë në klasën e 1-të do të thotë një kërcim cilësor në të menduarit, pasi ju lejon të zotëroni proceset e kondensuar të mendimit.

Sipas traditës, studimi i mbledhjes dhe zbritjes brenda 20 ka qenë një temë e veçantë Nevoja për këtë qasje në sistemimin e njohurive është e dukshme edhe nga analiza logjike e pyetjes: fakti është se tabela e plotë e mbledhjes së njëshe. numrat shifrorë zgjerohen brenda dy dhjetësheve (0+1= 1… 9+9=18). Kështu, numrat brenda 20 formojnë një sistem të plotë marrëdhëniesh në lidhjet e tyre të brendshme; pra, përshtatshmëria e ruajtjes së "20" në formën e një teme të dytë holistik (tema e parë e tillë janë veprimet brenda dhjetës së parë). Rasti në diskutim është pikërisht ai ku koncentriciteti (ruajtja e dhjetës së dytë si një temë e veçantë) rezulton të jetë më e dobishme sesa lineariteti (shpërbërja e dhjetës së dytë në temën "Njëqind").

Në librin shkollor të M.I. Moro, studimi i dhjetëshes së parë ndahet në dy seksione të izoluara: së pari studiohet përbërja e numrave të dhjetëshes së parë dhe tema tjetër shqyrton veprimet brenda dhjetës. Ka tekste eksperimentale ku studimi i përbashkët i numërimit të përbërjes së numrave dhe veprimeve kryhet brenda 10 menjëherë në një seksion (Erdniev P.M.).

Në mësimet e para, mësuesi duhet të vendosë qëllimin që të mësojë studentin të përdorë çifte konceptesh, përmbajtja e të cilave zbulohet në procesin e hartimit të fjalive përkatëse me këto fjalë: më shumë - më pak, më e gjatë - më e shkurtër, më e lartë - më e ulët, më i rëndë - më i lehtë, më i trashë - më i hollë, djathtas - majtas, më tej - më afër, etj. Kur punoni në çifte konceptesh, është e rëndësishme të përdorni vëzhgimet e fëmijëve. Mësimi i procesit të krahasimit mund të bëhet më interesant duke futur të ashtuquajturat ushtrime tabelore. Këtu shpjegohet kuptimi i koncepteve "kolona" dhe "rresht". Prezantohet koncepti i kolonës së majtë dhe kolonës së djathtë, rreshtit të sipërm dhe rreshtit të poshtëm. Së bashku me fëmijët ne tregojmë interpretimin semantik të këtyre koncepteve. Ushtrime të tilla gradualisht i mësojnë fëmijët me orientimin hapësinor dhe janë të rëndësishme kur studiojnë më pas metodën koordinative të matematikës. Puna në serinë e numrave ka një rëndësi të madhe për mësimet e para. Është e përshtatshme për të ilustruar rritjen e një serie numrash duke shtuar një nga një duke lëvizur djathtas përgjatë vijës numerike. Nëse shenja (+) shoqërohet me lëvizjen përgjatë vijës numerike djathtas me një, atëherë shenja (-) shoqërohet me lëvizjen e kundërt majtas me një. (Kjo është arsyeja pse ne i tregojmë të dyja shenjat në të njëjtën kohë në një mësim). Duke punuar në serinë e numrave, ne prezantojmë konceptet e mëposhtme: fillimi i serisë së numrave (numri zero) përfaqëson skajin e majtë të rrezes; Numri 1 korrespondon me një segment njësi, i cili duhet të përshkruhet veçmas nga seria e numrave. Fëmijët punojnë brenda tre me rrezen e numrave. Theksojmë dy numra ngjitur 2 dhe 3. Duke lëvizur nga numri 2 në numrin 3, fëmijët arsyetojnë kështu: "Numri 2 pasohet nga numri 3". Duke lëvizur nga numri 3 në numrin 2, ata thonë: "Para se numri 3 vjen numri 2" ose "Numri 2 vjen para numrit 3". Kjo metodë ju lejon të përcaktoni vendin e një numri të caktuar në lidhje me numrat e mëparshëm dhe të mëpasshëm; Është e përshtatshme që menjëherë t'i kushtohet vëmendje relativitetit të pozicionit të numrit, për shembull, numri 3 është njëkohësisht edhe pasues (pas numrit 2) dhe i mëparshëm (para numrit 4). Kalimet e treguara përgjatë serisë së numrave duhet të shoqërohen me veprimet aritmetike përkatëse. Për shembull, shprehja "Numri 2 pasohet nga numri 3" është paraqitur simbolikisht si më poshtë: 2+1=3; megjithatë, është psikologjikisht e dobishme të krijohet lidhja e kundërt: “Para numrit 3 është një numër 2” dhe hyrja: 3-1=2. Për të kuptuar vendin e një numri në një seri numrash, duhen bërë pyetje në çift:

1) Cilin numër ndiqet nga numri 3? Cilin numër del përpara numri 2?

2) cili numër vjen pas numrit 2? Cili numër vjen para numrit 3? etj.

Është i përshtatshëm për të kombinuar punën me një seri numrash me krahasimin e numrave sipas madhësisë, si dhe krahasimin e pozicionit të numrave në një rresht numerik. Lidhjet e gjykimeve të natyrës gjeometrike zhvillohen gradualisht: numri 4 është në vijën numerike në të djathtë të numrit 3; do të thotë 4 është më i madh se 3. Dhe anasjelltas: numri 3 është në të majtë të numrit 4, që do të thotë se numri 3 është më i vogël se numri 4. Kjo vendos një lidhje midis çifteve të koncepteve: në të djathtë është më shumë, në të majtë është më pak.

Nga sa më sipër, ne shohim një veçori të asimilimit të integruar të njohurive: i gjithë grupi i koncepteve që lidhen me mbledhjen dhe zbritjen ofrohen së bashku, në kalime të vazhdueshme në njëra-tjetrën. Përvoja e të nxënit tregon përfitimet e futjes së çifteve të koncepteve të kundërta njëkohësisht, duke filluar që në mësimet e para. Kështu, për shembull, përdorimi i njëkohshëm i tre foljeve: "shtoni (shtoni 1 në 2), "shtoni" (shtoni numrin 2 me numrin 1), të cilat përshkruhen në mënyrë simbolike identike (2 + 1 = 3), i ndihmon fëmijët mësoni ngjashmërinë dhe afërsinë e këtyre fjalëve sipas kuptimit (arsyetim i ngjashëm mund të bëhet në lidhje me fjalët "zbris", "zbris", "zvogëlo".

Testet afatgjata kanë treguar avantazhet e studimit monografik të dhjetë numrave të parë. Çdo numër i njëpasnjëshëm i nënshtrohet analizës shumëpalëshe, me numërimin e të gjitha opsioneve të mundshme për formimin e tij; brenda këtij numri kryhen të gjitha veprimet e mundshme, përsëritet "e gjithë matematika", përdoren të gjitha format e pranueshme gramatikore të shprehjes së marrëdhënies midis numrave. Natyrisht, me këtë sistem studimi, në lidhje me mbulimin e numrave të mëpasshëm, përsëriten shembuj të studiuar më parë, d.m.th. Zgjerimi i serisë së numrave kryhet me përsëritje të vazhdueshme të kombinimeve të diskutuara më parë të numrave dhe varieteteve të problemeve të thjeshta.

2.3. STUDIM I PËRBASHKËT I MBLEDHJES DHE ZBRITJES, SHUMËZIMIT DHE PJESIMIT.

Në metodologjinë e matematikës elementare, ushtrimet mbi këto dy veprime zakonisht konsiderohen veçmas. Por studimi i njëkohshëm i operacionit të dyfishtë "shtim-zbërthim në terma" është më i preferueshëm. Një punë e tillë mund të ndërtohet si më poshtë. Lërini fëmijët të zgjidhin problemin e mbledhjes: "Shto 1 shkop te 3 shkopinj dhe do të marrësh 4 shkopinj." Pas kësaj, ne shtrojmë menjëherë pyetjen: "Nga çfarë numrash përbëhet numri 4?" 4 shkopinj përbëhen nga 3 shkopinj (fëmija numëron 3 shkopinj) dhe 1 shkop (ndan 1 shkop tjetër). Ushtrimi fillestar mund të jetë zbërthimi i një numri. Mësuesi/ja shtron pyetjen: “Nga çfarë numrash përbëhet numri 5?” (numri 5 përbëhet nga 3 dhe 2). Dhe menjëherë bëhet një pyetje për të njëjtët numra: "Sa merrni nëse shtoni 2 me 3?" (Shtoni 2 me 3 dhe merrni 5). Për të njëjtin qëllim, është e dobishme të praktikoni leximin e shembujve në dy drejtime: 5+2=7. Shtoni dy në pesë dhe merrni shtatë. (lexohet nga e majta në të djathtë). 7 përbëhet nga termat 2 dhe 5. Është e dobishme të shoqëroni kundërshtimin verbal me ushtrime të tilla në numëratorin e klasës, të cilat ju lejojnë të shihni përmbajtjen specifike të operacioneve përkatëse. Llogaritja në numërator është e domosdoshme si një mjet për të vizualizuar veprimet në numra, dhe vlera e një numri brenda 10 lidhet këtu me gjatësinë e grupit të kockave në një tel (kjo gjatësi perceptohet vizualisht nga studenti. Pra, kur duke zgjidhur shembullin e mbledhjes (5+2=7), nxënësi fillimisht numëroi duke numëruar 5 gurë në numërator, më pas u shtoi 2 dhe më pas shpalli shumën: "Shto 2 në 5 - merr 7" ( emri i numrit 7 që rezulton përcaktohet nga nxënësi duke rillogaritur grupin e ri: 1-2-3-4-5-6- 7).

Nxënësi: Shtoni 2 në 5 dhe merrni 7.

Mësuesja: Më tregoni nga cilat terma përbëhet numri 7?

Nxënësi ndan 2 kocka në të djathtë. Numri 7 është 2 dhe 5. Gjatë kryerjes së këtyre ushtrimeve, këshillohet që që në fillim të përdorni konceptin e "termit të parë" (5), "termit të dytë" (2), "shumës" (7). Ofrohen llojet e mëposhtme të detyrave:

a) shuma e dy termave është 7, gjeni ato;

c) nga çfarë termash përbëhet numri 7?

c) zbërthejë shumën 7 në 2 terma, 3, etj.

Përvetësimi i një koncepti kaq të rëndësishëm algjebrik si ligji komutativ i mbledhjes kërkon një sërë ushtrimesh, të bazuara fillimisht në manipulime praktike me objekte.

Mësuesi: Merrni 3 shkopinj në dorën tuaj të majtë dhe 2 në dorën tuaj të djathtë Sa shkopinj janë gjithsej?

Nxënësi: Janë gjithsej 5 shkopinj.

Mësuesja: Si mund të them më shumë për këtë?

Nxënësi: Shtoni 2 deri në 2 shkopinj - do të ketë 5 shkopinj.

Mësuesi: Krijoni këtë shembull duke përdorur numra të prerë. (nxënësi bën një shembull nga numrat).

Mësuesi: Tani ndërroni shkopinjtë: nga e majta në të djathtë dhe nga e djathta në të majtë. Sa shkopinj ka në të dyja duart tani?

Studenti: Ishin vetëm 5 në dy duar, dhe tani janë përsëri 5.

Mësuesja: Pse ndodhi kjo?

Nxënësi: Sepse nuk kemi lënë mënjanë apo nuk kemi shtuar shkopinj askund. Sa ka pasur, aq ka mbetur.

Ligji komutativ mësohet edhe në ushtrimet për zbërthimin e një numri në terma. Kur të futet ligji i zhvendosjes? Synimi kryesor i mbledhjes mësimore, tashmë brenda dhjetëshes së parë, është të theksohet vazhdimisht roli i ligjit komutativ në ushtrime. Lërini fëmijët të numërojnë 6 shkopinj, pastaj shtojini 3 shkopinj dhe me rillogaritje (shtatë-tetë-nëntë) vendosni shumën: 6 dhe 3 do të jenë 9. Ne ofrojmë menjëherë një shembull të ri: 3+6: një shumë e re mund të jetë themeluar me rillogaritje, por gradualisht dhe me qëllim duhet të formohet një metodë zgjidhjeje në kodin më të lartë, d.m.th. logjikisht, pa rillogaritje. Nëse 6 po 3 është 9 (përgjigja e rillogaritur), atëherë 3 po 6 (pa rillogaritje) është 9.

L.G Peterson e prezanton këtë metodë tashmë në mësimin 13, ku fëmijët zgjidhin katër shprehje me simbole shkronjash (T+K=F K+T=F F-T=K F-K=T), dhe më pas në formë numerike: 2+1=3 1+. 2=3 3-2=1 3-1+2.

Përpilimi i katër shembujve është një mjet për të zgjeruar njohuritë e arritshme për fëmijët. Ne shohim se karakterizimi i veprimit të mbledhjes nuk duhet të ndodhë në mënyrë sporadike, por duhet të bëhet mjeti kryesor logjik për forcimin e lidhjeve të sakta numerike. Vetia kryesore e shtimit - lëvizshmëria e termave - duhet të konsiderohet vazhdimisht në lidhje me akumulimin e rezultateve të reja tabelare në kujtesë. Ne shohim: ndërlidhjen e operacioneve më komplekse llogaritëse ose logjike me të cilat kryhen një palë "operacione komplekse". Kundërshtimi i qartë i koncepteve komplekse bazohet në kundërshtimin e nënkuptuar të koncepteve më të thjeshta.

Këshillohet që studimi fillestar i shumëzimit dhe pjesëtimit të kryhet në sekuencën vijuese të tre cikleve të problemeve (3 detyra në çdo cikël):

1 a), b) shumëzimi me një shumëzues konstant dhe pjesëtimi sipas përmbajtjes (së bashku); c) ndarja në pjesë të barabarta.

2 a), b) pakësimi dhe rritja e numrit disa herë (së bashku), c) krahasimi i shumëfishtë;

3 a), b) gjetja e një pjese të një numri dhe një numri sipas madhësisë së një prej pjesëve të tij (së bashku) c) zgjidhja e problemit "Cila pjesë është një numër i tjetrit?" Studimi i njëkohshëm i shumëzimit dhe pjesëtimit në përmbajtje. Në 2-3 mësime kushtuar shumëzimit, sqarohet kuptimi i konceptit të shumëzimit si një shtesë e përmbledhur e termave të barabartë. Në mënyrë tipike, studentëve u shfaqet një hyrje për zëvendësimin e mbledhjes me shumëzimin: 2+2+2+2=8 2*4=8 Këtu është lidhja midis mbledhjes dhe shumëzimit. Do të ishte e përshtatshme që menjëherë të sugjerohej një ushtrim i krijuar për të shkaktuar reagimin e "shumëzimit-shtimit". Duke parë këtë hyrje, nxënësi duhet të kuptojë se numri 2 duhet të përsëritet si shtesë aq herë sa tregon shumëzuesi në shembullin 2*4=8. Kombinimi i të dy llojeve të ushtrimeve është një nga kushtet e rëndësishme që siguron asimilimin e vetëdijshëm të konceptit të "shumëzimit". Është shumë e rëndësishme që për secilin nga rastet përkatëse të shumëzimit të tregohet rasti përkatës i pjesëtimit. Në të ardhmen, është e dobishme të konsideroni shumëzimin dhe ndarjen së bashku.

Kur prezantoni konceptin e ndarjes, është e nevojshme të kujtoni rastet përkatëse të shumëzimit në mënyrë që të ndërtohet mbi to për të krijuar konceptin e një veprimi të ri të kundërt me shumëzimin. Prandaj, koncepti i "shumëzimit" merr një përmbajtje të pasur, ai nuk është vetëm rezultat i shtimit të termave të barabartë ("përgjithësimi i shtimit"), por edhe baza, momenti fillestar i ndarjes, i cili, nga ana tjetër, përfaqëson "zbritja e shembur", duke zëvendësuar "zbritje" vijuese me 2 " Kuptimi i shumëzimit nuk kuptohet aq shumë përmes shumëzimit, por kalimeve të vazhdueshme midis shumëzimit dhe pjesëtimit, pasi pjesëtimi është një shumëzim i mbuluar, "i ndryshuar". Të gjitha operacionet logjike të mbështetura nga aktivitetet praktike duhet të mendohen mirë. Rezultati i punës do të jetë tabelat e shumëzimit dhe pjesëtimit:

Nga 2*2=4 4:nga 2=2

2*3=6 6: 2=3 secila

2*4=8 8: 2=4 secila, etj.

Tabela e shumëzimit është ndërtuar duke përdorur një faktor konstant prej 1, dhe tabela e pjesëtimit është ndërtuar duke përdorur një pjesëtues konstant. Studimi i pjesëtimit në pjesë të barabarta futet pas studimit të shumëzimit dhe pjesëtimit me 2. Është dhënë detyra: “Katër nxënës sollën 2 fletore. Sa fletore ke sjellë?" Gjatë kryerjes së një veprimtarie praktike mbledhim fletore (merrni 2 fletore 4 herë). Le të krijojmë një problem të anasjelltë: “U shpërndanë 8 fletore, çdo studenti iu shpërndanë 2 fletore”. Rezultati është 4. Hyrja shfaqet për 2t.*4=8t., 8t.: për 2t.=4t. Në fillim, është e dobishme të shkruani emrat në detaje. Tani përpilojmë detyrën e tretë: “8 fletore duhet të shpërndahen në mënyrë të barabartë për 4 nxënës. Sa fletore do të marrë secili person? Në fillim, ndarja në pjesë të barabarta duhet të demonstrohet edhe në objekte. Prandaj, koncepti i "shumëzimit" merr një përmbajtje të pasur: ai nuk është vetëm rezultat i shtimit të termave të barabartë ("përgjithësimi i shtimit"), por edhe baza, momenti fillestar i ndarjes, i cili nga ana e tij përfaqëson një kolaps. zbritja, duke zëvendësuar "zbritje" sekuenciale me 2. Në këtë rast, shpjegimi në tekstet e matematikës nga L.G Peterson dhe N.B. futet një koncept i ri në mësimdhënie duke përdorur metodën e veprimtarisë, d.m.th. vetë fëmijët "zbulojnë" përmbajtjen e tij dhe mësuesi drejton aktivitetet e tyre kërkimore dhe i prezanton me terminologjinë dhe simbolet e pranuara përgjithësisht. Së pari, fëmijët përsërisin kuptimin e shumëzimit dhe hartojnë prodhimin 2*4=8 nga figura. Mësimi i veprimeve të ndarjes motivohet nga aktivitetet praktike të përditshme të fëmijëve. Mësuesi pyet nëse në jetën tuaj ju është dashur të ndani diçka në mënyrë të barabartë dhe ofron një detyrë: “Duhet të ndajmë 36 karamele në mënyrë të barabartë mes katër personave. Sa duhet t'i jap secilit? vështirësia që lind në lidhje me përgjigjen e pyetjes së problemit motivon kërkimin duke përdorur modele lëndore. Secili person ka 36 artikuj (butona, figura, shenja, etj.) të përgatitura në tavolinat e tyre. Ato shtrihen në 4 pirgje me përmasa të barabarta, etj. Mësuesi tregon hyrjen _ - ndani në pjesë të barabarta - kjo nënkupton gjetjen e numrit të objekteve në secilën pjesë. Duke kryer një sërë ushtrimesh, fëmijët arrijnë në përfundimin se operacioni i pjesëtimit është i anasjellta e veprimit të shumëzimit. Kur pjesëtojmë arrat me 4, marrim numrin 2, i cili kur shumëzohet me 4 na jep 8. 8:4=2 2*4=8. Për shenjën, fëmijëve mund t'u thuhet se përdoret në matematikë për të përcaktuar fjali që shprehin të njëjtën gjë (fjali ekuivalente). Gjatë kryerjes së ushtrimeve të konsolidimit, fëmijët bëjnë vizatime dhe vizatojnë diagrame mbështetëse.

Në fund të mësimit, nxirret një përfundim dhe flitet me zë të lartë dhe shtrihet në rastin e përgjithshëm të pjesëtimit - për të pjesëtuar numrin a me numrin b, duhet të zgjidhni një numër c që, kur shumëzohet me b, jep një:

A:B=C C*B=A dhe hartohet një skicë mbështetëse. Është e rëndësishme t'u transmetohet fëmijëve se shprehjet dhe formula matematikore bëjnë të mundur identifikimin e modeleve të përgjithshme dhe vendosjen e një analogjie për fenomene që janë krejtësisht të ndryshme në shikim të parë. Ndërgjegjësimi për këtë fakt do t'i ndihmojë studentët të kuptojnë më tej përshtatshmërinë e përgjithësimeve matematikore, rolin dhe vendin e matematikës në sistemin e shkencave.

KREU 3. PUNË KËRKIMORE PËR STUDIMIN E MATERIALIT ALGJEBRIK NË MËSIMET E MATEMATIKËS NË KLASET FILLORE të Institucionit Arsimor të Mesëm Nr.

3.1. ARSYETIM PËR PËRDORIMIN E TEKNOLOGJIVE INOVATIVE (UDE TECHNOLOGY).

Në punën time, unë përdor me sukses teknologjinë e zgjerimit të njësive didaktike (UDE), e zhvilluar nga P.T. Autori shtroi konceptin shkencor të një "njësie didaktike" më shumë se 30 vjet më parë. Sistemi i tij i konsolidimit të njësive didaktike në shkollën fillore i pajis nxënësit me një algoritëm për zhvillimin krijues të informacionit arsimor. Kjo teknologji është e rëndësishme dhe premtuese, pasi ka fuqinë e veprimit me rreze të gjatë, rrënjos tek fëmija tiparet e inteligjencës dhe kontribuon në formimin e një personaliteti aktiv.

P.M. Erdniev identifikon katër mënyra kryesore për të zgjeruar njësitë didaktike:

1) studim i përbashkët dhe i njëkohshëm i veprimeve dhe operacioneve të ndërlidhura;

2) përdorimi i ushtrimeve të deformuara;

3) përdorimi i gjerë i metodës së problemit invers;

4) rritja e proporcionit të detyrave krijuese.

Secila prej metodave kontribuon në aktualizimin e rezervave të të menduarit. Mënyra e parë është të studiojmë së bashku veprimet e ndërlidhura, veprimet - mbledhje - zbritje, shumëzim - pjesëtim. Në klasën e parë, duke studiuar dhjetëshen e parë, fëmijët njihen me shembuj të formës: 3+4=7 duke përdorur teknologjinë e zmadhimit të njësive didaktike, prezantoj vetinë komutative të mbledhjes: 4+3=7 përgjigja është po kështu rekordi merr formën: 3+4= 7

Unë u ofroj fëmijëve shembuj të zbritjes, dhe shënimi duket si ky: 7 -3=4

4=3. Njohuritë përmblidhen dhe kombinohen dhe të dhënat bashkohen. Në mënyrë të ngjashme, ju mund të ndërtoni punë për shumëzim dhe pjesëtim. Për shembull: 8+8+8+8+8=40 8*5=40 5*8=40 40:5=8 40:8=5

Fëmijët mësojnë të bëjnë dallimin midis koncepteve dhe operacioneve të kundërta, ndërkohë që studiojnë në të njëjtën kohë veprimet e ndërlidhura. "Zakonet nervore", sipas K.D Ushinsky, fiksohen tek një person jo veçmas, por në çifte, rreshta, rreshta, grupe. Ky prezantim i materialit krijon kushte për zhvillimin e pavarësisë dhe iniciativës tek fëmijët.

Mënyra e dytë për të zmadhuar njësitë didaktike është metoda e ushtrimeve të deformuara, në të cilat elementi i kërkuar nuk është një, por disa elementë. Për shembull, në klasën e parë mund të ofroni një detyrë ku duhet të përcaktoni shenjën e veprimit dhe përbërësin e panjohur: 8 = 2. Në shembuj të tillë, nxënësi zgjedh fillimisht shenjën e veprimit në bazë të krahasimit dhe më pas gjen komponentin që mungon. Kur zgjidh një shembull të tillë, fëmija arsyeton si më poshtë: 8 2, që do të thotë se shenja minus 8 përbëhet nga 2 dhe 6, që do të thotë se shembulli është 8-6 = 2. Në këtë mënyrë, vëmendja aktivizohet dhe të menduarit e nxënësve zhvillohet bazuar në zgjidhjen e zinxhirëve logjikë.

Mënyra e tretë për të zmadhuar njësitë didaktike është zgjidhja e një problemi të drejtpërdrejtë dhe shndërrimi i tij në të kundërt dhe të ngjashëm. Zgjidhja e problemeve në shkollën fillore ka një rëndësi qendrore për zhvillimin e të menduarit të nxënësve: gjatë zgjidhjes, fëmijët njihen me varësinë e sasive, me aspekte të ndryshme të jetës, mësojnë të mendojnë, të arsyetojnë dhe të krahasojnë. Kur mësoni zgjidhjen e problemeve, është e nevojshme t'i mësoni fëmijët se si të krijojnë probleme të kundërta. Çdo metodë bazohet në ligjin e madh të informacionit të natyrës së gjallë - ligjin e reagimit. Kur punoni në detyra, është e dobishme të përdoret kur në një seri detyrash tjetra ndryshon nga ajo e mëparshme në vetëm një element. Në këtë rast, kalimi nga një problem në tjetrin është më i lehtë dhe informacioni i marrë nga zgjidhja e problemit të mëparshëm ndihmon në gjetjen e zgjidhjeve për problemet e mëvonshme. Kjo teknikë është veçanërisht e dobishme për fëmijët e dobët dhe të ngadaltë. Për shembull, një problem për të gjetur një shumë, le të krijojmë problemet e tij të anasjellta. “Babai i dha Mashës 11 mollë dhe nëna shtoi 5 mollë të tjera. Sa mollë i dhanë gjithsej prindërit e Mashës?

Bëjmë analiza për pyetjet: “Çfarë dihet në problem? Çfarë duhet të dini? Shkruani shkurtimisht detyrën. Si mund të zbuloni sa mollë i dhanë prindërit e Mashës? (12+5=17)
Hartimi i një problemi të anasjelltë, ku e panjohura është numri i mollëve të dhëna nga babai. “Babai dha disa mollë dhe nëna shtoi edhe 5 mollë të tjera. Në total, Masha tani ka 17 mollë. Sa mollë i dha babai i Mashës?
Ju mund të krijoni një problem tjetër të anasjelltë, ku do të jetë numri i panjohur i mollëve që i janë dhënë Mashës nga nëna e saj. “Babai i dha Mashës 12 mollë dhe nëna shtoi disa mollë të tjera. Në total, Masha tani ka 17 mollë. Sa mollë i dha nëna e Mashës? (17-12=5). Në fletore mbajmë shënime të shkurtra për të 3 detyrat. Detyrat e ndërlidhura bashkohen në një grup detyrash të ndërlidhura si një njësi e madhe asimilimi dhe formojnë tre detyra. Pra, risia kryesore teknologjike e sistemit për zgjerimin e njësive didaktike është prania e detyrave për të cilat studenti praktikon të hartojë në mënyrë të pavarur problema inverse bazuar në një analizë të kushteve të problemit të drejtpërdrejtë, duke identifikuar një zinxhir logjik.

Metoda e katërt e konsolidimit është rritja e pjesës së detyrave krijuese. Për shembull, një detyrë jepet me një "dritare": +7-50=20. Fëmijët kërkojnë përgjigjen duke përdorur metodën e përzgjedhjes, por ju mund ta zgjidhni këtë detyrë duke arsyetuar përgjatë shigjetës, duke përdorur veprimin e anasjelltë: 20+59-7=63. Numri i kërkuar është 63. Detyrat krijuese duhet të jenë të pranishme në çdo mësim. Me ndihmën e ushtrimeve të tilla, fëmija mësohet me vazhdimin e pavarur të mendimit, me ristrukturimin e gjykimit, i cili ka një rëndësi vendimtare në të ardhmen për formimin e një mendjeje aktive, krijuese të një personi, aq të vlefshme në manifestimin e saj. në çdo fushë pune.

3.2 RRETH EKSPERIENCES RRETH KONCEPTEVE ALGJEBRIK.

Tashmë në klasën e parë, unë i mësoj fëmijët të vendosin në mënyrë të pavarur shenja me të cilat ata mund të krahasojnë objekte të caktuara. Mësuesja u tregon fëmijëve 2 pesha me ngjyra të ndryshme. "Me çfarë kriteresh mund të krahasohen?" Fëmijët japin përgjigjen: "Ata mund të krahasohen sipas peshës, lartësisë, fundit". Çfarë mund të themi - ato janë të pabarabarta (në peshë, lartësi). Si ta shprehni këtë më saktë - pesha e zezë është më e rëndë, më e madhe, më e trashë? Çfarë do të thotë më i rëndë - Më i rëndë, më shumë në peshë? Punë e ngjashme me pyetjet kryesore kryhet në lidhje me karakteristikat e tjera. Së bashku me mësuesin konstatojmë se "më e rëndë" do të thotë më shumë në peshë, "më e gjatë" do të thotë më shumë në gjatësi (lartësi, lartësi) etj. Përfundimi i kësaj pune ishte për të zbuluar se nëse mund të gjeni një shenjë me të cilën objektet krahasohen, atëherë ato do të jenë ose të barabarta ose të pabarabarta. Kjo mund të shkruhet me shenja të veçanta "=" dhe "=". L.G Peterson i krahason me shumë sukses këto koncepte, dhe vetëm atëherë qartësohen shenjat - më pak ose më shumë. Fëmijët janë shumë të gatshëm t'i zgjidhin këto pabarazi. Ne gjithashtu kryejmë detyra të kundërta - objekte të ndryshme zgjidhen duke përdorur shenjat "më pak se" ose "më e madhe se". Në këtë rast, menjëherë lind një detyrë unike - përcaktimi i koncepteve "nga e majta në të djathtë" - 5 është më pak se 10. Përveç kësaj, është e mundur të shkruash me sukses jo vetëm me numra, por edhe me figura dhe rreshta të ndryshëm. Gjatë kësaj periudhe, mbi këtë bazë futet formulari letrar i regjistrimit. Kur punoni me lloje të ndryshme detyrash, është e nevojshme t'u jepni fëmijëve të kuptojnë se vetë shkronjat nuk e shkruajnë rezultatin e një krahasimi, ata kanë nevojë për një shenjë që i lidh ato. Dhe vetëm e gjithë formula flet për këtë rezultat - një krahasim i peshës, gjatësisë së 2 objekteve ose më shumë.

Puna në këtë temë është e një rëndësie të madhe për zhvillimin e të gjithë seksionit fillestar të matematikës, pasi në thelb lidhet me ndërtimin në veprimtarinë e fëmijës të një sistemi marrëdhëniesh që identifikon sasitë si bazë për transformimet e mëtejshme. Formulat fjalë për fjalë, duke zëvendësuar një sërë metodash paraprake regjistrimi, për herë të parë i shndërrojnë këto marrëdhënie në një abstraksion, sepse vetë shkronjat tregojnë çdo vlerë specifike të çdo sasie specifike, dhe e gjithë formula është çdo marrëdhënie e mundshme barazie ose pabarazie e këto vlera. Tani, duke u mbështetur në formula, mund të studioni vetitë tuaja të marrëdhënieve të zgjedhura, duke i kthyer ato në një subjekt të veçantë analize.

REZULTATET E TRAJNIMIT TË DIAGNOSTIKËS SË MATEMATIKËS.

Rëndësia e diagnostikimit është e madhe, pasi me ndihmën e saj vërtetohet se arritjet e fëmijës plotësojnë kërkesat e detyrueshme për rezultatet e të nxënit. Duke analizuar rezultatet, mund të nxjerrim përfundime se çfarë ndryshimesh ndodhin me fëmijën gjatë procesit mësimor, pse nuk ishte e mundur të mësohej, çfarë nuk u mor parasysh, si të rregullohej procesi mësimor, çfarë lloj ndihme ka nevojë nxënësi. . Testet mund të shërbejnë si një mjet diagnostikues. Për çdo linjë të përmbajtjes, në përputhje me përmbajtjen minimale të detyrueshme të arsimit fillor, përpilohen detyra testuese dhe teste të tilla prezantohen gjerësisht edhe në botime të gatshme të shtypura. Ato ndihmojnë në identifikimin e mangësive të të mësuarit. Në klasën time, problemet e mëposhtme u identifikuan në studimin e elementeve të algjebrës:

Disa nxënës hasin disa vështirësi gjatë zgjidhjes së shprehjeve me shkronja (gjetja e vlerës numerike të një shprehjeje shkronjash duke pasur parasysh vlerat e dhëna të shkronjave të përfshira në të);

Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, bëhen gabime në përdorimin e rregullave për gjetjen e përbërësve të panjohur (varësia midis përbërësve të mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit);

Kur kontrollojnë rrënjët e një ekuacioni, disa fëmijë nuk llogarisin anën e majtë të ekuacionit, por vendosin automatikisht një shenjë të barabartë;

Me një strukturë më komplekse ekuacionesh të formës X+10=30-7 ose X+(45-17)=40, kur transformojnë dhe thjeshtojnë ekuacionin, disa fëmijë humbasin variablin, duke u rrëmbyer me llogaritjet aritmetike.

Pasi kam marrë të dhënat e testit dhe kam analizuar rezultatet, bëj një plan pune për veten time për të korrigjuar boshllëqet dhe mangësitë.

Një test mostër për të testuar njohuritë e studentëve.

Shtoni në 10 9, 5, 8, 4, 7, 0.
Shkruani numrin në kartelë: 8+5 17-9

8+2+ 17-7-

Mendoni se cili numër duhet të shkruhet në kartë:

3, 6, 9, 12, * A(13), B(15), C(18), G(numër tjetër)

Shkruani një numër në kartë në mënyrë që barazia të jetë e vërtetë:

9=17-* A(6), B(15), C(4), G (një numër tjetër)

. 8+7=19-* A(3), B(15), C(4), G(një numër tjetër).

6 Tregoni barazitë e sakta:

A) 12+1=11 B)14-5=9 C)17+3=20 D)20-1=9 E)18+2=20 F)8-5=13 H)6+9=15

7. Radhiti shprehjet sipas rendit zbritës të vlerave të tyre: A)7-5 B)7+6 C)3+7

8. Cilët numra mund të zëvendësojnë *?

1)12 1* A(0, 1, 2) B(3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) C(0, 1)

9. Ku është rendi i saktë i veprimeve? A) 12-3+7 B) 19-9-5+3

10. Shkruani shprehjet numerike dhe gjeni vlerat: nga numri 12 zbritni shumën e numrave 3 dhe 5

A) (3+5)-12 B) 12-3+5 C) 12-(3+5) D) përgjigje tjetër:

Ky test tregon se cili nga fëmijët nuk e ka zotëruar qartë numërimin e dhjetë numrave të dytë. Bëhet fjalë për fëmijë që kanë marrë më pak se 18 pikë. Me ta duhet të kryhet një punë korrigjuese, e cila përfshin të gjitha rastet e mundshme të përdorimit të njohurive të marra, ku fëmijët lundrojnë mjaft mirë ushtrime të ngjashme. Përvijohet një plan për të punuar me prindërit e këtyre fëmijëve dhe ofrohet konsultim për ata prindër që kanë nevojë. Diagnostifikimi përfundimtar teston njohuritë për të gjithë kursin e klasës së parë. Bëj një punë tjetër me ta për të testuar zotërimin e tyre të mbledhjes dhe zbritjes së numrave brenda 20 dhe më pas 100. Fëmijët duhet të jenë në gjendje të kryejnë veprime duke përdorur teknikat që kanë mësuar: të gjejnë përbërësin e panjohur të mbledhjes dhe zbritjes, të krahasojnë numrat dhe numrat. shprehje, të jetë në gjendje të gjejë veprimin e anasjelltë . Përsa i përket programeve të autorëve të tjerë, mund të vërehet se prezantimi i hershëm i materialit algjebrik është mjaft i pranueshëm për të gjithë fëmijët. Duke punuar me programe të ndryshme dhe duke studiuar metodat e mësimdhënies të autorëve të ndryshëm të matematikës, përdor të gjithë elementët që më nevojiten nga çdo tekst shkollor për ta bërë mësimin më efektiv dhe produktiv. Ushtrime interesante që zhvillojnë të menduarit, logjikën, ju mësojnë të mendoni, shpikni dhe kombinoni përfshihen në çdo mësim matematike. Lënda e preferuar e fëmijëve të mi është matematika. Përdorimi i fletoreve të shtypura dhe testet e shqyrtimit ndihmojnë në identifikimin e boshllëqeve në njohuri.

Gjatë studimit të të gjitha fushave të përmbajtjes së matematikës, rezultatet e të mësuarit monitorohen vazhdimisht dhe kryhet diagnostikimi i mësimdhënies. Fëmijët kryejnë vazhdimisht teste dhe teste të ndërmjetme, kështu që është e lehtë të monitorohet përparimi i nxënësve.

Në shkollën fillore, gjatë shkollimit pa klasa (klasa 1-2), përdor këto nivele dhe kritere për zhvillimin e njohurive të materialit algjebrik: niveli i lartë (20-25 pikë) - në këtë nivel, fëmija zotëron me vetëdije materiali i studiuar, konceptet mbi temën janë zotëruar dhe mund të punojnë në mënyrë të pavarur në temë, kryen detyra pa gabime;

niveli mesatar (14-9 pikë) - tema është zotëruar, mund t'u përgjigjet pyetjeve indirekte, përgjigjet saktë në temë me ndihmën e pyetjeve kryesore, bën 1-2 gabime, i gjen dhe i korrigjon në mënyrë të pavarur;

niveli i ulët (më pak se 14 pikë) - bën gabime në shumicën e detyrave, jo gjithmonë i përgjigjet saktë pyetjes së drejtpërdrejtë të mësuesit, nevojiten ushtrime korrigjuese dhe punë shtesë individuale.

Gjithashtu, gjatë përpunimit të punës diagnostikuese, unë kryej një analizë element pas elementi të rezultateve të testit: gabimet dhe arsyet e shfaqjes së tyre. Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve (në procesin e kërkimit të një numri, zëvendësimi i të cilit e kthen ekuacionin në një barazi të saktë numerike), gabimet e mëposhtme janë të mundshme dhe ndodhin:

Në zgjedhjen e një operacioni aritmetik kur gjeni një komponent të panjohur (arsyeja për një gabim të tillë është pamundësia për të përcaktuar marrëdhënien midis komponentëve ose injoranca e këtij materiali);

Gabime llogaritëse (arsye në përdorimin e algoritmeve të mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit; një analizë e detajuar nuk u krye në një fazë të algoritmit).

Kur zgjidhen shprehjet fjalë për fjalë me vlerat e dhëna të shkronjave të përfshira në të, bëhen gabimet e mëposhtme:

Kur përdorni algoritme (teknika specifike llogaritëse);

Me një zgjedhje specifike të një vlere të caktuar shkronje (pakujdesi, nuk u krye asnjë analizë e korrespondencës së një letre të caktuar me një numër të caktuar).

Kur krahasojnë numrat dhe shprehjet numerike ata bëjnë gabime:

Në formulimin e shenjave gjithnjë e më pak (arsyeja është mosnjohja e koncepteve specifike, nuk është analizuar përbërja bitale dhe klasore e numrave, mosnjohja e numërimit të numrave natyrorë, kuptimi i vendit të numrave);

Në llogaritjet aritmetike.

Gjatë gjetjes së vlerës së një shprehjeje numerike të përbërë, bëhen gabime:

Sipas rendit të veprimit,

Në regjistrimin e gabuar të përbërësve të veprimit (shkaku i gabimeve ishte mospërcaktimi i strukturës së shprehjes origjinale dhe në përputhje me rrethanat zbatimi i rregullit të nevojshëm, nuk njihte algoritmin për kryerjen e veprimeve). Duke analizuar me kujdes rezultatet e monitorimit të njohurive, aftësive, aftësive, mësuesi identifikon boshllëqet dhe gabimet në performancë dhe puna e mëtejshme mund të planifikohet saktë për të eliminuar mangësitë në trajnim.

Më poshtë janë shembuj të testeve dhe diagnostikimeve të seksioneve dhe kontrolleve të kryera.

Numri i testit

Aftësi dhe aftësi të zhvilluara

10-11

Rezultati është brenda 20, 100.

Tabela e mbledhjes dhe zbritjes.

Gjetja e vlerës së një shprehjeje numerike në 2-4 hapa.

Lexoni, shkruani, krahasoni brenda 100.

Emri dhe emërtimi i veprimeve të mbledhjes dhe zbritjes.

Zgjidhja e problemeve në 1-2 hapa.

Aftësia për të krahasuar dhe klasifikuar.

Përfaqësimet hapësinore.

Njohuri për sasitë.

Niveli i formimit të aftësive bazë dhe zhvillimit matematik.

Rezultatet e diagnostikimit përfundimtar për klasën e parë

10-11

niveli

Antonov A.

Batraeva D.

Bashlovkin D.

Belova V.

Bobyleva E.

Gabrielyan G.

Gasnikova M.

Goroshko A.

Guzaeva E.

Dvugrosheva M.

Kondratyev D.

Konstantinov I.

Kopylov V.

Mikhailova V.

Mikhailova I.

Morozova A.

Podgorny I.

Razin N.

Romanov D.

Sinitsyna K.

Sulejmanov R.

Sulyoznov A.

Teplyakova Yu.

Frolov D.

Shirshaeva K.

E shkurtër

Mesatare

Lartë

Mesatare

Lartë

E shkurtër

Lartë

Mesatare

Lartë

E shkurtër

Mesatare

Lartë

Mesatare

mesatare

Kontrollimi i nivelit të zhvillimit të kujtesës

dëgjimore

vizuale

motorike

Vizuo-dëgjimore

Antonov A.

Batraeva D.

Bashlovkin D.

Belova V.

Bobyleva E.

Gabrielyan G.

Gasnikova M.

Goroshko A.

Guzaeva E.

Dvugrosheva M.

Kondratyev D.

Konstantinov I.

Kopylov V.

Mikhailova V.

Mikhailova I.

Morozova A.

Podgorny I.

Razin N.

Romanov D.

Sinitsyna K.

Sulejmanov R.

Sulyoznov A.

Teplyakova Yu.

Frolov D.

Shirshaeva K.

0.4 mesatare

0.2 e ulët

0.6 mesatare

0.8 mesatare

1 lartë

0.7 mesatare

1 lartë

0.5 e ulët

1 lartë

0.9 mesatare

1 lartë

0.4 e ulët

0.7 mesatare

1 lartë

0.7 mesatare

1 lartë

0.7 mesatare

0.6 mesatare

0.4 e ulët

0.3 e ulët

0.8 mesatare

0.9 mesatare

1 lartë

0.6 mesatare

1 lartë

0.4 e ulët

1 lartë

0.4 e ulët

0.9 mesatare

1 lartë

0.8 mesatare

0.9 mesatare

0.8 mesatare

0.4 e ulët

1 lartë

0.9 mesatare

1 lartë

0.8 mesatare

1 lartë

0.5 e ulët

0.8 mesatare

0.7 mesatare

1 lartë

0.9 mesatare

0.8 mesatare

1 lartë

0.8 mesatare

0.5 e ulët

0.7 mesatare

0.4 e ulët

0.9 mesatare

lartë

0.8 mesatare

0.9 mesatare

lartë

lartë

0.5 e ulët

lartë

lartë

lartë

lartë

lartë

lartë

0.4 e ulët

0.9 mesatare

lartë

lartë

0.8 mesatare

0.9 mesatare

0.8 mesatare

0.5 mesatare

С=а:N С – koeficienti i memories, në С=1 – opsioni optimal – niveli i lartë

C=0.7 +/-0.2 - niveli mesatar, C - më pak se 0.5 - niveli i ulët i zhvillimit

PËRFUNDIM

Aktualisht, janë krijuar kushte mjaft të favorshme për një përmirësim rrënjësor në organizimin e arsimit matematikor në shkollën fillore:

shkolla fillore u shndërrua nga trevjeçare në katërvjeçare;
orë ndahen për studimin e matematikës në katër vitet e para, d.m.th. 40% e kohës totale që i kushtohet kësaj lënde përgjatë shkollës së mesme?
Çdo vit, një numër në rritje i personave me arsim të lartë punojnë si mësues të shkollave fillore;
Mundësitë për t'u pajisur më mirë mësuesit dhe nxënësit me mjete edukative dhe pamore janë rritur;

Nuk ka nevojë të provohet roli vendimtar i mësimit fillestar të matematikës për zhvillimin e inteligjencës së një studenti në përgjithësi. Pasuria e shoqatave të ndryshme të fituara nga një nxënës gjatë katër viteve të para të studimit, nëse bëhet në mënyrë korrekte, bëhet kushti kryesor për vetëzgjerimin e njohurive në vitet në vijim. Nëse ky rezervë idesh dhe konceptesh fillestare, stërvitje mendimi, teknikash bazë logjike është i paplotë, jo fleksibël dhe i varfër, atëherë kur të kalojnë në shkollën e mesme, nxënësit e shkollës do të përjetojnë vazhdimisht vështirësi, pavarësisht se kush do t'u mësojë më pas ose çfarë tekstesh do të studiojnë. nga.

Siç e dini, shkollat fillore funksionojnë në ne dhe në vendet e tjera prej shumë shekujsh, prandaj teoria dhe praktika e arsimit fillor janë shumë më të pasura në tradita sesa arsimi në shkollat e mesme.

Zbulime të çmuara metodologjike dhe përgjithësime mbi mësimin e matematikës fillore u bënë nga L.N. Tolstoy, K.D. Rezultate të rëndësishme janë marrë në dekadat e fundit duke përdorur metodat e matematikës elementare në laboratorët e L.V Zankov, A.S.

Me shqyrtimin e arsyeshëm të rezultateve shkencore të disponueshme të marra në 20 vitet e fundit duke përdorur metodat e arsimit fillor nga ekipe të ndryshme krijuese, tani ekziston çdo mundësi për të arritur "të mësuarit me pasion" në shkollën fillore. Në veçanti, ekspozimi i nxënësve me konceptet bazë algjebrike do të ketë padyshim një ndikim pozitiv në përvetësimin e njohurive përkatëse nga nxënësit në shkollën e mesme.

LISTA BIBLIOGRAFIKE

Problemet aktuale në mësimdhënien e matematikës në shkollën fillore./Ed. M.I.Moro, A.M.Pyshkalo. -M.: Pedagogji, 1977.
I.I. Arginskaya, E.A. Matematika: Libër mësuesi për klasat 1,2,3,4 të shkollës fillore katërvjeçare - Samara: Shtëpia botuese. shtëpia "Fedorov", 2000.
M.A. Bantova, G.V. Beltyukova. Metodat e mësimdhënies së matematikës në klasat fillore - M.: Pedagogjika, 1984.
P.M. Erdniev. Dituria e integruar si kusht për të mësuarit e gëzueshëm./ Shkolla fillore - 1999 Nr.11, fq.4-11.
V.V. Davydov. Zhvillimi mendor në moshën e shkollës fillore./ Ed. A.V. Petrovsky - M.: Pedagogjia, 1973.
A.Z.Zak. Zhvillimi i aftësive mendore të nxënësve të rinj të shkollës.
I.M. Doronina. Përdorimi i metodologjisë UDE në mësimet e matematikës. //Shkolla fillore.-2000, Nr.11, f.29-30.
N.B Istomina. Metodat e mësimdhënies së matematikës në shkollën fillore - M.: Qendra Botuese "Akademia", 1998.
M.I. Voloshkina. Aktivizimi i veprimtarisë njohëse të nxënësve të shkollës së mesme në mësimet e matematikës.//Shkolla fillore-1992 Nr. 10.
V.F.Kogan. Mbi vetitë e koncepteve matematikore. -M. : Shkencë, 1984.
G.A.Pentegova. Zhvillimi i të menduarit logjik në mësimet e matematikës. //Shkolla fillore.-2000.-Nr.
A.N. Kolmogorov. Në lidhje me profesionin e matematikës. M.-Pedagogji. 1962.
M.I.Moro, A.M.Pyshkalo. Metodat e mësimdhënies së matematikës në shkollën fillore - M. Pedagogjia, 1980.
L.G. Peterson. Klasat e matematikës 1-4 - Rekomandime metodologjike për mësuesit - M.: “Ballas”, 2005.
Diagnostifikimi i rezultateve të procesit arsimor në një shkollë fillore 4-vjeçare: Manual edukativ dhe metodologjik / Ed. Kalinina N.V. / Ulyanovsk: UIPKPRO, 2002.
Punë e pavarur dhe testuese për shkollën fillore (-4). M. - “Ballas”, 2005.
J. Piaget. Punime të zgjedhura psikologjike. SP-b.: Shtëpia botuese "Peter", 1999.
A.V. Sergeenko. Mësimdhënia e matematikës jashtë vendit - M.: Akademia, 1998.
Stoilova L.P. Matematika. M. - Akademia, 2000.
W.W. Sawyer Prelude to Mathematics, M.-Prosveshchenie.1982.
Testet: Klasat 1, 2, 3: Manual arsimor dhe metodologjik / L.M. Khokhlova, M.N., stereotip.

Jemi të rrethuar nga objekte. Që në ditët e para të një fëmije në shkollë, ne studiojmë botën përreth nesh, përfshirë edhe mësimet e matematikës.

Teksti mësimor i klasës së parë. Pjesa 1. Çfarë shohim? Ne studiojmë objektet. Cili është koncepti i një objekti? (ky është një grup i vetive thelbësore të një objekti)

Në klasat fillore, shumë koncepte matematikore mësohen fillimisht në mënyrë sipërfaqësore dhe të paqartë. Në njohjen e parë, nxënësit e shkollës mësojnë vetëm për disa veti të koncepteve dhe kanë një ide shumë të ngushtë të fushës së tyre. Dhe kjo është e natyrshme. Jo të gjitha konceptet janë të lehta për t'u kuptuar. Por nuk ka dyshim se të kuptuarit dhe përdorimi në kohë nga mësuesi i llojeve të caktuara të përkufizimeve të koncepteve matematikore është një nga kushtet që studentët të zhvillojnë njohuri solide rreth këtyre koncepteve.

Kur përvetësojnë njohuritë shkencore, nxënësit e shkollave fillore ndeshen me lloje të ndryshme konceptesh. Paaftësia e nxënësit për të dalluar konceptet çon në asimilimin e tyre joadekuat.

Koncepti- ky është një grup gjykimesh, mendimesh, në të cilat thuhet diçka për veçoritë dalluese të objektit në studim. Çfarë kuptojmë me shtrirjen e një koncepti? (një grup objektesh të përcaktuara me të njëjtin term)

Kështu, programi i trajnimit "Shkolla e Rusisë" bazohet në faktin se konceptet themelore të kursit fillestar të matematikës janë konceptet e "numrave" dhe "sasive", materiali algjebrik dhe gjeometrik konsiderohet paralelisht, dhe problemet me fjalë janë zgjidhur.

Në shkollën fillore fillojmë të japim përkufizimet e para të koncepteve: segmenti i vijës, katrori, rreze etj. Cili është përkufizimi i një koncepti? (operacion logjik që zbulon përmbajtjen e një koncepti)

Në bazë të shtrirjes së tyre, konceptet matematikore ndahen në individuale dhe të përgjithshme. Nëse qëllimi i një koncepti përfshin vetëm një objekt, ai quhet njëjës.

Shembuj të koncepteve të vetme: "numri më i vogël dyshifror", "numri 5", "një katror me gjatësi anësore 10 cm", "një rreth me rreze 5 cm".

Koncepti i përgjithshëm pasqyron karakteristikat e një grupi të caktuar objektesh. Vëllimi i koncepteve të tilla do të jetë gjithmonë më i madh se vëllimi i një elementi.

Shembuj të koncepteve të përgjithshme: “bashkësi numrash dyshifrorë”, “trekëndësha”, “ekuacione”, “pabarazi”, “numra shumëfisha të 5”, “tekste matematike për shkollën fillore”.

Në mësimdhënien e nxënësve të shkollave fillore më të zakonshmet përkufizime kontekstuale dhe të dukshme të koncepteve.

Çdo pasazh nga teksti, qoftë ai çdo kontekst, në të cilin shfaqet koncepti që na intereson është, në një farë kuptimi, përkufizimi i tij i nënkuptuar. Konteksti e vendos një koncept në lidhje me konceptet e tjera dhe në këtë mënyrë zbulon përmbajtjen e tij.

Për shembull, kur punoni me fëmijë, përdorni shprehje të tilla si "gjeni kuptimin e shprehjes", "krahasoni kuptimin e shprehjeve 5 + a dhe (a - 3) × 2, nëse a = 7", "lexoni shprehjet që janë shuma", "lexoni shprehjet dhe më pas lexoni ekuacionet", zgjerojmë konceptin e "shprehjes matematikore" si një rekord që përbëhet nga numra ose ndryshore dhe shenja veprimi.

Pothuajse të gjitha përkufizimet që hasim në jetën e përditshme janë përkufizime kontekstuale. Duke dëgjuar një fjalë të panjohur, ne përpiqemi të vendosim vetë kuptimin e saj bazuar në gjithçka që është thënë.

Një gjë e ngjashme ndodh në mësimdhënien e studentëve të rinj. Shumë koncepte matematikore në shkollën fillore përcaktohen përmes kontekstit. Këto janë, për shembull, koncepte të tilla si "i madh - i vogël", "çdo", "ndonjë", "një", "shumë", "numër", "operacion aritmetik", "ekuacion", "detyrë", etj. .d.

Përkufizimet kontekstuale mbeten kryesisht të paplota dhe të paplota. Ato përdoren për shkak të papërgatitjes së nxënësve të rinj për të zotëruar përkufizimin e plotë dhe veçanërisht shkencor.

Përkufizimet e mprehta janë përkufizime me demonstrim. Ato ngjajnë me përkufizime të zakonshme kontekstuale, por konteksti këtu nuk është një pasazh i ndonjë teksti, por situata në të cilën gjendet objekti i përcaktuar nga koncepti.

Për shembull, mësuesi tregon një katror (vizatim ose model letre) dhe thotë "Shiko - është një katror". Ky është një përkufizim tipik i mprehtë.

Në shkollën fillore, përkufizimet e mprehta përdoren kur merren parasysh koncepte të tilla si "ngjyra e kuqe (e bardhë, e zezë, etj.), "Majtas - djathtas", "nga e majta në të djathtë", "numri", "numri paraardhës dhe pasues", " shenjat” veprimet aritmetike”, “shenjat krahasuese”, “trekëndëshi”, “katërkëndëshi”, “kubi” etj.

Bazuar në asimilimin e dukshëm të kuptimeve të fjalëve, është e mundur të futet kuptimi verbal i fjalëve dhe frazave të reja në fjalorin e fëmijës. Përkufizimet e mprehta - dhe vetëm ato - lidhin fjalët me gjërat.

Vini re se në klasat fillore, përkufizime të pranueshme si "Ne do të përdorim fjalën "pentagon" për të nënkuptuar një shumëkëndësh me pesë anë". Ky është i ashtuquajturi "përkufizim nominal".

Çfarë strukture ka një koncept? (koncepti i përcaktuar = gjenerik + specifik) Jep një shembull. Si pasojë e kësaj formule strukturohet studimi i materialit matematik në shkollën fillore. Për shembull, merrni parasysh konceptet "katror" dhe "drejtkëndësh". Shtrirja e konceptit "katror" është pjesë e fushëveprimit të konceptit "drejtkëndësh". Prandaj, e para quhet specie, dhe e dyta - gjenerike. Në marrëdhëniet gjini-specie, duhet bërë dallimi midis konceptit të gjinisë më të afërt dhe fazave gjenerike vijuese.

Për shembull, për llojin "katror" gjinia më e afërt do të jetë gjinia "drejtkëndësh", për një drejtkëndësh gjinia më e afërt do të jetë gjinia "paralelogram", për një "paralelogram" - "katërkëndësh", për një "katërkëndësh" - "poligoni", dhe për "poligonin" - "shifër e sheshtë".

Në klasat fillore, për herë të parë, çdo koncept prezantohet vizualisht, përmes vëzhgimit të objekteve specifike ose funksionimit praktik (p.sh., gjatë numërimit të tyre). Mësuesja mbështetet në njohuritë dhe përvojën e fëmijëve që ata kanë marrë në moshën parashkollore. Njohja me konceptet matematikore fiksohet duke përdorur një term ose një term dhe një simbol.

Vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet konceptit të numrit.

Një numër është raporti i asaj që vlerësohet (gjatësia, pesha, vëllimi, etj.) me standardin që përdoret për këtë vlerësim. Natyrisht, numri varet si nga sasia që matet ashtu edhe nga standardi. Sa më e madhe të jetë vlera e matur, aq më i madh do të jetë numri me të njëjtin standard. Përkundrazi, sa më i madh të jetë standardi (masa), aq më i vogël do të jetë numri kur vlerësohet e njëjta vlerë. Për rrjedhojë, nxënësit duhet të kuptojnë që në fillim se krahasimet e numrave sipas madhësisë mund të bëhen vetëm kur kanë të njëjtin standard pas tyre. Në fakt, nëse, për shembull, fitohet pesë kur matni gjatësinë në centimetra, dhe tre fitohet kur matni në metra, atëherë tre tregon një vlerë më të madhe se pesë. Nëse nxënësit nuk e kuptojnë natyrën relative të numrave, ata do të kenë vështirësi serioze në mësimin e sistemit të numrave.

Numri natyror konsiderohet si një veti e përgjithshme e klasës së bashkësive të fundme ekuivalente. Idetë e para për numrin lidhen me karakteristikat sasiore të objekteve.

(Shumë – një koleksion i disa objekteve, ekuivalent = i barabartë në numër)

Karakteristikat sasiore të grupit realizohet nga nxënësit në procesin e vendosjes së korrespondencës një me një ndërmjet elementeve të një bashkësie të fundme jo bosh dhe një segmenti të një serie numrash natyrorë. Kjo korrespodencë një-për-një quhet numërimi i elementeve të një bashkësie të fundme. Në këtë rast, karakteristika sasiore e grupeve të fundme jo boshe shprehet në marrëdhënie të tilla si "më shumë", "më pak", "barabartë", të shënuara me simbolet përkatëse.

Bazuar në përdorimin e vizualizimit të objektit, përcaktohet, për shembull, se numri i rrathëve është më i madh se katrorët dhe se ka më pak katrorë se rrathë.

4, pra 5 b 4, 4 m 5

Numri "zero" në fillim. shkolla konsiderohet si karakteristikë e një grupi bosh bazuar në aktivitete praktike me një sërë objektesh. Për këtë qëllim, vizatime si:

. . .

. .

Ose bazuar në rezultatin e një veprimi aritmetik kur shqyrtojmë shembuj të formës: 3-1=2, 2-1=1, 1-1=0.

Numrat e plotë jo negativë konsiderohen në lëndën e matematikës së shkollës fillore me përqendrim: “Numrat nga 0 në 10”, “Numrat nga 10 në 100”, “Numrat nga 100 në 1000”, “Numrat që janë më të mëdhenj se 1000”.

Konceptet kryesore në çdo përqendrim janë numërimi me gojë dhe me shkrim.

Numërimi verbal- një mënyrë për të emërtuar secilin nga numrat që hasen në praktikën jetësore, duke përdorur fjalë numerike: një, nëntë, njëqind e dy etj.

Numërimi me shkrim– një metodë e shkrimit të secilit prej numrave që hasen në praktikën jetësore duke përdorur numrat: 1, 2, 3...9, 0 bazuar në parimin e vendvlerës së numrave (çdo numër, në varësi të vendit që zë në regjistrimin e numrave , ka kuptimin e vet specifik). Për shembull, në shkrimin e numrit 999, numri 9, i cili është në vendin e parë nga e djathta në të majtë, nënkupton 9 njësi në këtë numër. E njëjta shifër, duke qëndruar në vendin e dytë nga e djathta në të majtë, do të thotë se janë 9 dhjetëshe në numër, etj.

Veprimet aritmetike +, -, x, : konsiderohen në n.s. mbi bazën teorike të grupeve.

Shtim Numrat e plotë jo-negativë shoqërohet me funksionin e kombinimit të grupeve të fundme të shkëputura në çift.

Zbritja numrat natyrorë konsiderohen në bazë vizuale si heqja e një pjese të një bashkësie të fundme, e cila është një nëngrup i këtij grupi.

Shumëzimi Numrat e plotë jo-negativë konsiderohen si numri i elementeve në bashkimin e bashkësive të barabarta të shkëputura në çift.

Divizioni nga pikëpamja e teorisë së grupeve, ajo shoqërohet me ndarjen e një grupi të fundëm në nënbashkësi të barabarta të shkëputura në çift. Me ndihmën e saj zgjidhen dy probleme të ndarjes: gjetja e numrit të elementeve në secilën nëngrup të ndarjes (ndarja në pjesë të barabarta) (p.sh.: 15 mollë ishin në 3 pjata. Sa mollë ka në secilën pjatë?) dhe gjetja e numri i nënbashkësive të tilla (ndarja sipas përmbajtjes) (shembull: 15 mollë ishin në pjata. Kishte 5 mollë në çdo pjatë. Sa pjata kishte në tryezë?).

Formimi i ideve të nxënësve për numrin dhe sistemin e numrave dhjetorë është i lidhur ngushtë me studimin e sasive.

Madhësia- kjo është një veti e caktuar e një grupi sendesh ose dukurish.

Madhësia- kjo është një veti e objekteve ose dukurive që ju lejon të krahasoni dhe identifikoni çifte objektesh që e kanë këtë veti në një masë të barabartë ose të pabarabartë.

Në N.S. merren parasysh sasitë si gjatësia, sipërfaqja, koha, vëllimi, masa.

Gjatësia– një sasi që karakterizon gjatësinë, distancën dhe lëvizjen e trupave ose pjesëve të tyre përgjatë një vije të caktuar. Gjatësia e një segmenti ose vije e drejtë- kjo është distanca midis skajeve të saj, e matur nga një segment i marrë si njësi matëse e gjatësisë.

Sheshi– një sasi që karakterizon figurat gjeometrike në një rrafsh dhe përcaktohet nga numri i katrorëve njësi që mbushin një figurë të sheshtë, d.m.th. katrorë me anë të barabartë me një njësi gjatësie. Matni sipërfaqen e një figure- do të thotë të përcaktosh se sa njësi katrore të gjatësisë (cm katror, dm katror, m katror, etj.) përmban.

Vëllimi, kapacitetiështë një sasi që karakterizon trupat gjeometrikë dhe përcaktohet në rastet më të thjeshta nga numri i kubeve njësi që përshtaten në trup, d.m.th. kube me një buzë të barabartë me një njësi gjatësi. Trupat mund të kenë të njëjtat (d.m.th. trupa me madhësi të barabartë) dhe vëllime të ndryshme.

Peshaështë një sasi fizike që është një nga karakteristikat kryesore të materies, që përcakton vetitë e saj inerciale dhe gravitacionale. Krahasimi i masave trupore, veprimet mbi to reduktohen në krahasim dhe veprimet në vlerat numerike të masave me të njëjtën njësi matëse të masës.

Koha– një sasi që karakterizon ndryshimin e njëpasnjëshëm të dukurive dhe gjendjeve të materies, kohëzgjatjen e ekzistencës. Kalendari- një sistem për numërimin e ditëve, muajve, viteve. Në matematikë, koha konsiderohet si një sasi skalare (një sasi çdo vlerë e së cilës mund të shprehet me një numër real), sepse intervalet kohore kanë veti të ngjashme me vetitë e gjatësisë, sipërfaqes, masës. Intervalet kohore, si sasitë e tjera skalare, mund të krahasohen, shtohen, zbriten, shumëzohen dhe pjesëtohen me një numër real pozitiv. Midis sasive të të njëjtit lloj ka marrëdhënie: "më shumë", "më pak", "barabartë".

Konceptet e fraksioneve dhe sasive prezantohen në bazë vizuale. Shpërndaje konsiderohet si një nga pjesët e barabarta të së tërës. Fraksioni përkufizohet si një çift numrash natyrorë ( a, n), duke karakterizuar bashkësinë A të pjesëve të barabarta të unitetit; i pari A tregon se sa n- thyesa x" përmban A dhe quhet numërues i thyesës, e dyta n - Në sa pjesë të barabarta ndahet njësia quhet emërues i thyesës.

Paralelisht me materialin aritmetik dhe studimin e sasive, materiali teorik konsiderohet: vetia komutative e mbledhjes dhe e shumëzimit (komutativ); vetia kombinuese e shumëzimit dhe e mbledhjes (shoqëruese), vetia shpërndarëse e pjesëtimit në lidhje me shumën dhe ndryshimin; vetia shpërndarëse e pjesëtimit në lidhje me shumën dhe diferencën; Vetia shpërndarëse e shumëzimit në lidhje me mbledhjen dhe zbritjen - konsiderohet si rregulla për shumëzimin e një shume (diferencë) me një numër (a+b) x c = a x c+b x c. Përveç kësaj, merret parasysh varësia midis komponentëve dhe rezultatit të një operacioni aritmetik. Më vonë, bazuar në këtë varësi, merret parasysh zgjidhja e ekuacioneve.

Në praktikën shkollore, shumë mësues i detyrojnë nxënësit të mësojnë përmendësh përkufizimet e koncepteve dhe kërkojnë njohuri për vetitë e tyre themelore të provueshme. Sidoqoftë, rezultatet e një trajnimi të tillë zakonisht janë të parëndësishme. Kjo ndodh sepse shumica e nxënësve, kur zbatojnë konceptet e mësuara në shkollë, mbështeten në shenja të parëndësishme, ndërsa nxënësit janë të vetëdijshëm dhe riprodhojnë shenjat thelbësore të koncepteve vetëm kur u përgjigjen pyetjeve që kërkojnë përcaktimin e konceptit. Shpesh studentët riprodhojnë me saktësi konceptet, domethënë zbulojnë njohuritë e veçorive të saj thelbësore, por nuk mund ta zbatojnë këtë njohuri në praktikë, ata mbështeten në ato tipare të rastësishme të identifikuara përmes përvojës së drejtpërdrejtë. Procesi i zotërimit të koncepteve mund të kontrollohet dhe formohet me cilësi të dhëna.

Le të ndalemi më në detaje në formimin hap pas hapi të koncepteve.

Pasi plotësojnë pesë deri në tetë detyra me objekte ose modele reale, nxënësit, pa asnjë mësim përmendësh, kujtojnë si karakteristikat e konceptit ashtu edhe rregullin e veprimit. Më pas veprimi përkthehet në formën e të folurit të jashtëm, kur detyrat jepen me shkrim, dhe shenjat e koncepteve, rregullave dhe udhëzimeve emërtohen ose shënohen nga studentët nga kujtesa. Në këtë fazë, studentët mund të punojnë në çifte, duke vepruar në mënyrë alternative si interpretues ose kontrollues.

Në rastin kur një veprim kryhet lehtësisht dhe saktë në formën e të folurit të jashtëm, ai mund të transferohet në formën e brendshme. Detyra jepet me shkrim dhe nxënësi riprodhon karakteristikat, i kontrollon dhe krahason rezultatet e marra me rregullin në heshtje. Studenti ende merr udhëzime të tilla si "Emërtoni shenjën e parë për veten tuaj", "Kontrollo nëse ekziston" etj. Së pari, kontrollohet korrektësia e çdo operacioni dhe përgjigja përfundimtare. Gradualisht, kontrolli kryhet vetëm sipas rezultatit përfundimtar dhe kryhet sipas nevojës.

Nëse veprimi kryhet në mënyrë korrekte, atëherë ai transferohet në fazën mendore: vetë nxënësi e kryen dhe kontrollon veprimin. Programi i trajnimit në këtë fazë parashikon kontroll nga ana e mësuesit vetëm mbi produktin përfundimtar të veprimit; nxënësi merr reagime nëse ka vështirësi ose pasiguri për korrektësinë e rezultatit. Procesi i ekzekutimit tani është i fshehur, veprimi është bërë plotësisht mendor, ideal, por përmbajtja e tij është e njohur për mësuesin, pasi ai vetë e ndërtoi dhe vetë e shndërroi atë nga një veprim i jashtëm, material.

Kështu, veprimi gradualisht shndërrohet në formë. Shndërrimi i veprimit në përgjithësi sigurohet nga një përzgjedhje e veçantë e detyrave. Në këtë rast merret parasysh edhe pjesa specifike dhe ajo e përgjithshme logjike e bazës treguese të veprimit.

Për të përgjithësuar pjesën specifike që lidhet me përdorimin e një sistemi karakteristikash të nevojshme dhe të mjaftueshme, jepen për njohje të gjitha llojet tipike të objekteve që lidhen me një koncept të caktuar. Kështu, gjatë formimit të konceptit të një këndi, është e rëndësishme që nxënësit të punojnë me kënde që ndryshojnë në madhësi (nga 0° deri në 360° e më shumë), në pozicion në hapësirë, etj. Përveç kësaj, është e rëndësishme të merren objekte që kanë vetëm disa shenja të një koncepti të caktuar, por që nuk i përkasin atij.

Për të përgjithësuar pjesën logjike të veprimit të njohjes, jepen për analizë të gjitha rastet kryesore të parashikuara nga rregulli logjik i nënshtrimit të konceptit, d.m.th. detyra me përgjigje pozitive, negative dhe të pasigurta. Ju gjithashtu mund të përfshini detyra me kushte të tepërta. Është karakteristikë që në praktikën mësimore, si rregull, jepet vetëm një lloj detyre: me një grup kushtesh të mjaftueshme dhe një përgjigje pozitive. Si rezultat, studentët mësojnë funksionin e njohjes në një formë të pamjaftueshme të përgjithësuar, gjë që kufizon natyrshëm fushën e zbatimit të saj. Problemet me kushte të tepërta, të pasigurta bëjnë të mundur që studentët të mësojnë jo vetëm të zbulojnë shenja të caktuara në objekte, por edhe të përcaktojnë mjaftueshmërinë e tyre për zgjidhjen e detyrës në fjalë. Këto të fundit shfaqen shpesh si një problem i pavarur në praktikën jetësore.

Shndërrimi i një veprimi sipas dy vetive të tjera arrihet duke përsëritur detyra të të njëjtit lloj. Këshillohet ta bëni këtë, siç tregohet, vetëm në fazat e fundit. Në të gjitha fazat e tjera, jepen vetëm një numër i tillë detyrash që siguron asimilimin e veprimit në një formë të caktuar. Është e pamundur të vonohet një veprim në forma kalimtare, pasi kjo do të çojë në automatizimin e tij në këtë formë, gjë që parandalon që veprimi të transferohet në një formë të re, të mëvonshme.

Fragment i një mësimi për prezantimin e një koncepti algjebrik. Metodat për studimin e materialit algjebrik

Hyrje