Karakteristikat e përgjithshme të metodologjisë së studimit të materialit algjebrik. Mësimi i materialit algjebrik në shkollën fillore

hyrje................................................ .......................................................... ............. ....... 2

Kapitulli I. Aspekte të përgjithshme teorike të studimit material algjebrik ne shkollen fillore...................................................... .......................................................... ................................ 7

1.1 Përvoja e futjes së elementeve të algjebrës në shkollën fillore................................... 7

1.2 Bazat psikologjike për futjen e koncepteve algjebrike

ne shkollen fillore...................................................... .......................................... 12

1.3 Problemi i origjinës së koncepteve algjebrike dhe rëndësia e tij

për të ndërtuar lëndë akademike..................................................... 20

2.1 Të mësuarit në shkollën fillore nga këndvështrimi i nevojave

shkolla e mesme................................................ ........ ................................. 33

2.1 Krahasimi (kontrasti) i koncepteve në mësimet e matematikës.... 38

2.3 Studim i përbashkët i mbledhjes dhe zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit 48

Kapitulli III. Praktika e studimit të materialit algjebrik në mësimet e matematikës në klasat fillore të shkollës së mesme nr. 4 në Rylsk.............................. ..................... ...55

3.1 Arsyetimi për përdorim teknologjive inovative(teknologjitë

konsolidimi njësitë didaktike)..................................................... 55

3.2 Për përvojën e njohjes me konceptet algjebrike në klasën e parë.... 61

3.3 Të mësuarit për zgjidhjen e problemeve që lidhen me lëvizjen e trupave................................................ 72

konkluzioni................................................ ................................................ ...... .76

Bibliografia.......................................................................... 79

Hyrje

Në çdo kohë sistem modern arsimi i përgjithshëm matematika është një nga vende qendrore, e cila padyshim tregon për veçantinë e kësaj fushe të dijes.

Çfarë është matematikë moderne? Pse është e nevojshme? Këto dhe pyetje të ngjashme shpesh u bëhen nga fëmijët mësuesve. Dhe çdo herë përgjigja do të jetë e ndryshme në varësi të nivelit të zhvillimit të fëmijës dhe nevojave të tij arsimore.

Thuhet shpesh se matematika është gjuha e shkencës moderne. Megjithatë, duket se ka një të metë të rëndësishme në këtë deklaratë. Gjuha e matematikës është kaq e përhapur dhe aq shpesh efektive pikërisht sepse matematika nuk mund të reduktohet në të.

Matematikani i shquar rus A.N. Kolmogorov shkroi: “Matematika nuk është vetëm një gjuhë plus arsyetimi, ajo është si gjuha dhe logjika së bashku, ajo përqendron rezultatet e të menduarit të saktë të shumë njerëzve lidhni një arsyetim me një tjetër ... Kompleksitetet e dukshme të natyrës me ligjet dhe rregullat e saj të çuditshme, secila prej të cilave lejon një shumë të ndryshme shpjegim i detajuar, në fakt janë të lidhura ngushtë. Megjithatë, nëse nuk doni të përdorni matematikën, atëherë në këtë larmi të madhe faktesh nuk do të shihni se logjika ju lejon të kaloni nga njëri në tjetrin” (f. 44).

Kështu, matematika na lejon të formojmë forma të caktuara të të menduarit të nevojshme për të studiuar botën përreth nesh.

Aktualisht, shpërpjestimi midis shkallës së njohjes sonë për natyrën dhe të kuptuarit tonë për njeriun, psikikën e tij dhe proceset e të menduarit po bëhet gjithnjë e më i dukshëm. W. W. Sawyer në librin "Prelude to Mathematics" (fq. 7) vëren: "Ne mund t'i mësojmë studentët të zgjidhin shumë lloje problemesh, por kënaqësia e vërtetë do të vijë vetëm kur të jemi në gjendje t'u japim studentëve tanë jo vetëm njohuri, por fleksibilitet. mendjes”, gjë që do t'u jepte atyre mundësinë në të ardhmen jo vetëm për të zgjidhur në mënyrë të pavarur, por edhe për të vendosur detyra të reja për veten e tyre.

Sigurisht, këtu ka disa kufij që nuk duhen harruar: shumë përcaktohen nga aftësitë dhe talenti i lindur. Sidoqoftë, mund të vërejmë një grup të tërë faktorësh në varësi të arsimit dhe edukimit. Kjo e bën jashtëzakonisht të rëndësishme vlerësimin e saktë të mundësive të mëdha të pashfrytëzuara të arsimit në përgjithësi dhe arsimi matematikor në veçanti.

Vitet e fundit, ka pasur një tendencë të qëndrueshme të penetrimit metodat matematikore në shkenca të tilla si historia, filologjia, për të mos përmendur gjuhësinë dhe psikologjinë. Prandaj, rrethi i njerëzve që në të ardhmen e tyre aktivitetet profesionale Ndoshta ata do të aplikojnë matematikën, duke u zgjeruar.

Sistemi ynë arsimor është projektuar në atë mënyrë që për shumë, shkolla të ofrojë mundësinë e vetme në jetë për t'u bashkuar me një kulturë matematikore dhe për të zotëruar vlerat që përmban matematika.

Cili është ndikimi i matematikës në përgjithësi dhe matematika shkollore në veçanti për arsimin personalitet krijues? Mësimdhënia e artit të zgjidhjes së problemeve në orët e matematikës na ofron një mundësi jashtëzakonisht të favorshme për zhvillimin e një mendësie të caktuar te nxënësit. Nevoja për aktivitete kërkimore zhvillon interesin për modelet dhe na mëson të shohim bukurinë dhe harmoninë e mendimit njerëzor. E gjithë kjo është sipas mendimit tonë elementi më i rëndësishëm kulturën e përgjithshme. Lënda e matematikës ka një ndikim të rëndësishëm në formim forma të ndryshme të menduarit: logjik, hapësinor-gjeometrik, algoritmik. Çdo procesi krijues fillon me formulimin e një hipoteze. Matematika, me organizimin e duhur të trajnimit, duke qenë një shkollë e mirë për ndërtimin dhe testimin e hipotezave, mëson krahasimin. hipoteza të ndryshme, gjeni opsionin më të mirë, vendosni detyra të reja, kërkoni mënyra për t'i zgjidhur ato. Ndër të tjera, ajo zhvillon edhe zakonin e punës metodike, pa të cilën nuk mund të imagjinohet asnjë proces krijues. Duke maksimizuar mundësitë e të menduarit njerëzor, matematika është e saj arritjen më të lartë. Ndihmon një person të kuptojë veten dhe të formojë karakterin e tij.

Kjo është pak nga listë e madhe arsyet pse njohuritë matematikore duhet të bëhen pjesë përbërëse e kulturës së përgjithshme dhe element i detyrueshëm në rritjen dhe edukimin e një fëmije.

Kursi i matematikës (pa gjeometri) në shkollën tonë 10-vjeçare në fakt është i ndarë në tre pjesë kryesore: aritmetikë (klasat I - V), algjebër (VI - klasat e VIII) dhe elementet e analizës (klasat IX - X). Cila është baza për një ndarje të tillë?

Sigurisht, secila prej këtyre pjesëve ka "teknologjinë" e saj të veçantë. Pra, në aritmetikë shoqërohet, për shembull, me llogaritjet e kryera në numra shumëshifrorë, në algjebër - me shndërrime identike, logaritme, në analizë - me diferencim etj. Por cilat janë arsyet më të thella që lidhen me përmbajtjen konceptuale të secilës pjesë?

Pyetja e radhës ka të bëjë me bazën për dallimin midis aritmetikës shkollore dhe algjebrës (d.m.th. pjesa e parë dhe e dytë e lëndës). Aritmetika përfshin studimin e numrave natyrorë (numrat e plotë pozitivë) dhe thyesave (të thjeshtë dhe dhjetorë). Megjithatë analiza të veçanta tregon se kombinimi i këtyre llojeve të numrave në një lëndë shkollore është i paligjshëm.

Fakti është se këta numra kanë funksione të ndryshme: i pari shoqërohet me numërimin e objekteve, i dyti me matjen e sasive. Kjo rrethanë është shumë e rëndësishme për të kuptuar faktin se numrat thyesorë (racionalë) janë vetëm një rast i veçantë i numrave realë.

Nga pikëpamja e matjes së sasive, siç vërehet nga A.N. Kolmogorov, "nuk ka një ndryshim kaq të thellë midis numrave realë racionalë dhe irracionalë, për arsye pedagogjike, ato qëndrojnë për një kohë të gjatë në numrat racionalë, pasi ato janë të lehta për t'u shkruar në formën e thyesave ato që në fillim duhet të çojnë menjëherë te numrat realë në tërësinë e tyre" (), f. 9).

A.N. Kolmogorov e konsideroi të justifikuar si nga pikëpamja e historisë së zhvillimit të matematikës ashtu edhe në thelb propozimi i A. Lebesgue për të kaluar në mësimdhënien pas numrave natyrorë drejtpërdrejt në origjinën dhe natyrën logjike të numrave realë. Në të njëjtën kohë, siç vuri në dukje A.N. Kolmogorov, "qasja ndaj ndërtimit të numrave racionalë dhe realë nga pikëpamja e matjes së sasive nuk është më pak shkencore sesa, për shembull, futja e numrave racionalë në formën e "çifteve" për shkollën avantazh” (fq. 10).

Pra ka mundësi reale në bazë të numrave natyrorë (numër të plotë), formoni menjëherë "konceptin më të përgjithshëm të numrit" (në terminologjinë e A. Lebesgue), konceptin e një numri real. Por nga pikëpamja e ndërtimit të programit, kjo nuk do të thotë asgjë më shumë ose më pak se eliminimi i aritmetikës së thyesave në interpretimin e saj shkollor. Kalimi nga numrat e plotë në numrat realë është një kalim nga aritmetika në "algjebër", në krijimin e një themeli për analizë.

Këto ide, të shprehura më shumë se 20 vjet më parë, janë ende aktuale sot. A është e mundur të ndryshohet struktura e mësimit të matematikës në shkollën fillore në në këtë drejtim? Cilat janë avantazhet dhe disavantazhet e "algjebrizimit" arsimi fillor matematikë? Qëllimi i kësaj pune është të përpiqet të japë përgjigje për pyetjet e parashtruara.

Realizimi i këtij qëllimi kërkon zgjidhjen e detyrave të mëposhtme:

Shqyrtimi i aspekteve të përgjithshme teorike të prezantimit të koncepteve algjebrike të madhësisë dhe numrit në shkollën fillore. Kjo detyrë shtrohet në kapitullin e parë të veprës;

Studimi i metodave specifike për mësimin e këtyre koncepteve në shkollën fillore. Këtu, në veçanti, synohet të merret në konsideratë e ashtuquajtura teoria e zgjerimit të njësive didaktike (UDE), e cila do të diskutohet më poshtë;

Tregoni zbatueshmërinë praktike të dispozitave në shqyrtim mbi mësimet e shkollës matematika në shkollën fillore (mësimet i ka dhënë autori në shkollën e mesme nr. 4 në Rylsk). Kapitulli i tretë i veprës i kushtohet kësaj.

Në lidhje me bibliografinë kushtuar këtë çështje, mund të vërehet në vijim. Pavarësisht se kohët e fundit sasinë totale botuar literaturë metodologjike në matematikë është jashtëzakonisht i parëndësishëm nuk ka pasur mungesë informacioni gjatë shkrimit të veprës. Në të vërtetë, nga viti 1960 (koha kur u shtrua problemi) deri në vitin 1990. doli në vendin tonë numër i madh literaturë arsimore, shkencore dhe metodologjike, në një shkallë ose në një tjetër, duke prekur problemin e futjes së koncepteve algjebrike në kurset e matematikës për shkollën fillore. Përveç kësaj, këto çështje mbulohen rregullisht në periodikë të specializuar. Kështu, gjatë shkrimit të veprës, u përdorën gjerësisht botimet në revistat “Pedagogjia”, “Mësimi i matematikës në shkollë” dhe “Shkolla fillore”.

Kapitulli I. Aspekte të përgjithshme teorike të studimit të materialit algjebrik në shkollën fillore 1.1 Përvoja në prezantimin e elementeve të algjebrës në shkollën fillore

Përmbajtja e një lënde akademike, siç dihet, varet nga shumë faktorë - nga kërkesat e jetës për njohuritë e studentëve, nga niveli i shkencave përkatëse, nga aftësitë e moshës mendore dhe fizike të fëmijëve, etj. Shqyrtimi i saktë i këtyre faktorëve është një kusht thelbësor për edukimin sa më efektiv të nxënësve të shkollës dhe zgjerimin e aftësive të tyre njohëse. Por ndonjëherë ky kusht nuk plotësohet për një arsye ose një tjetër. Në këtë rast, mësimdhënia nuk jep efektin e dëshiruar në drejtim të zotërimit të rrethit nga fëmijët njohuritë e nevojshme, dhe në lidhje me zhvillimin e inteligjencës së tyre.

Duket se aktualisht programet e mësimdhënies për disa lëndë akademike, në veçanti matematika, nuk i plotësojnë kërkesat e reja të jetës dhe nivelit të zhvillimit. shkencat moderne(për shembull, matematika) dhe të dhëna të reja psikologjia e zhvillimit dhe logjika. Kjo rrethanë dikton nevojën e një testimi gjithëpërfshirës teorik dhe eksperimental të projekteve të mundshme për përmbajtje të reja të lëndëve arsimore.

Fondacioni njohuri matematikore fillon në shkollën fillore. Por, për fat të keq, si vetë matematikanët, ashtu edhe metodologët dhe psikologët i kushtojnë shumë pak vëmendje përmbajtjes së matematikës elementare. Mjafton të thuhet se programi për matematikën në shkollën fillore (klasat I - IV) në tiparet e tij kryesore është formuar 50 - 60 vjet më parë dhe natyrshëm pasqyron sistemin e ideve matematikore, metodologjike dhe psikologjike të asaj kohe.

Le të shohim tiparet karakteristike standard shtetëror në matematikë në shkollën fillore. Përmbajtja e tij kryesore është numrat e plotë dhe veprimet mbi to, të studiuara në një sekuencë të caktuar. Së pari studiohen katër operacione në kufirin 10 dhe 20, pastaj - llogaritjet gojore në kufirin 100, llogaritjet gojore dhe me shkrim në kufirin 1000 dhe së fundi në kufirin e miliona e miliarda. Në klasën IV studiohen disa marrëdhënie midis të dhënave dhe rezultateve. veprimet aritmetike, si dhe thyesat e thjeshta. Së bashku me këtë, programi përfshin studimin masat metrike dhe masat e kohës, zotërimi i aftësisë për t'i përdorur ato për matje, njohja e disa elementeve të gjeometrisë vizuale - vizatimi i një drejtkëndëshi dhe katrori, matja e segmenteve, sipërfaqet e një drejtkëndëshi dhe katrori, llogaritja e vëllimeve.

Nxënësit duhet të zbatojnë njohuritë dhe aftësitë e marra në zgjidhjen e problemeve dhe kryerjen e llogaritjeve të thjeshta. Gjatë gjithë kursit, zgjidhja e problemeve kryhet paralelisht me studimin e numrave dhe operacioneve - gjysma e kohës së duhur është ndarë për këtë. Zgjidhja e problemeve i ndihmon studentët të kuptojnë kuptimin specifik të veprimeve, të kuptojnë raste të ndryshme të zbatimit të tyre, të vendosin marrëdhënie midis sasive dhe të fitojnë aftësi bazë të analizës dhe sintezës. Nga klasa I deri në IV, fëmijët zgjidhin këto lloje kryesore të problemeve (të thjeshta dhe të përbëra): gjetja e shumës dhe e mbetjes, produktit dhe herësit, rritja dhe zvogëlimi i numrave të dhënë, ndryshimi dhe krahasimi i shumëfishtë, i thjeshtë. rregulli i tre, në ndarje proporcionale, gjetja e një të panjohure nga dy dallime, llogaritja e mesatares aritmetike dhe disa lloje të tjera problemash.

ME lloje të ndryshme fëmijët ndeshen me varësi të sasive gjatë zgjidhjes së problemeve. Por është shumë tipike që nxënësit fillojnë problemet pas dhe teksa studiojnë numrat; gjëja kryesore që kërkohet gjatë zgjidhjes është gjetja e një përgjigje numerike. Fëmijët kanë vështirësi të mëdha në identifikimin e vetive të marrëdhënieve sasiore në situata specifike, të veçanta, të cilat përgjithësisht merren parasysh probleme aritmetike. Praktika tregon se manipulimi i numrave shpesh zëvendëson analizën aktuale të kushteve të problemit nga pikëpamja e varësive të sasive reale. Për më tepër, problemet e paraqitura në tekstet shkollore nuk paraqesin një sistem në të cilin situatat më “komplekse” do të shoqëroheshin me shtresa “më të thella” të marrëdhënieve sasiore. Probleme të së njëjtës vështirësi mund të gjenden si në fillim ashtu edhe në fund të tekstit shkollor. Ato ndryshojnë nga seksioni në seksion dhe nga klasa në klasë sipas kompleksitetit të komplotit (numri i veprimeve rritet), sipas renditjes së numrave (nga dhjetë në një miliard), sipas kompleksitetit varësitë fizike(nga problemet e shpërndarjes deri te problemet e lëvizjes) dhe sipas parametrave të tjerë. Vetëm një parametër - thellimi në vetë sistemin e ligjeve matematikore - manifestohet dobët dhe në mënyrë të paqartë në to. Prandaj është shumë e vështirë të vendosësh një kriter vështirësi matematikore një detyrë apo një tjetër. Pse ka probleme për gjetjen e një të panjohure duke përdorur dy dallime dhe gjetjen e mesatares aritmetike (klasa III) detyra më të vështira për dallimin dhe krahasimin e shumëfishtë (Klasa II)? Metodologjia nuk jep një përgjigje bindëse dhe logjike për këtë pyetje.

Kështu, nxënësit e shkollave fillore nuk marrin njohuri adekuate, të plota për varësitë e sasive dhe vetitë e përgjithshme të sasisë as kur studiojnë elementet e teorisë së numrave, sepse në kursin e shkollës ata lidhen kryesisht me teknikat llogaritëse, ose kur zgjidhin probleme, sepse këto të fundit nuk kanë formën e duhur dhe nuk kanë sistemin e kërkuar. Përpjekjet e metodologëve për të përmirësuar metodat e mësimdhënies, megjithëse ato çojnë në suksese të pjesshme, nuk e ndryshojnë gjendjen e përgjithshme të punëve, pasi ato kufizohen paraprakisht nga kuadri i përmbajtjes së pranuar.

Duket se analiza kritike e programit aritmetik të miratuar duhet të bazohet në dispozitat e mëposhtme:

Koncepti i numrit nuk është identik me konceptin e karakteristikave sasiore të objekteve;

Numri nuk është forma origjinale e shprehjes së marrëdhënieve sasiore.

Le të japim arsyetimin për këto dispozita.

Dihet mirë se matematika moderne (në veçanti, algjebra) studion aspekte të marrëdhënieve sasiore që nuk kanë një guaskë numerike. Dihet gjithashtu mirë se disa marrëdhënie sasiore janë mjaft të shprehura pa numra dhe para numrave, për shembull, në segmente, vëllime, etj. (marrëdhënie "më shumë", "më pak", "barabartë"). Paraqitja e koncepteve fillestare të përgjithshme matematikore në udhëzime moderne kryhet në një simbolikë të tillë që nuk nënkupton domosdoshmërisht shprehjen e objekteve me numra. Pra, në librin e E.G. "Aritmetika teorike" e Goninit objektet themelore matematikore shënohen që në fillim me shkronja dhe shenja të veçanta(, fq. 12 – 15). Është karakteristikë se disa lloje të numrave dhe varësitë numerike jepen vetëm si shembuj, ilustrime të vetive të grupeve dhe jo si të vetmet e mundshme dhe unike të tyre formë ekzistuese shprehjet. Më tej, vlen të përmendet se shumë ilustrime të përkufizimeve individuale matematikore janë dhënë në formë grafike, nëpërmjet raportit të segmenteve, zonave (, fq. 14-19). Të gjitha vetitë themelore të grupeve dhe sasive mund të nxirren dhe justifikohen pa përfshirë sistemet numerike; Për më tepër, vetë këta të fundit justifikohen në bazë të koncepteve të përgjithshme matematikore.

Nga ana tjetër, vëzhgime të shumta nga psikologë dhe mësues tregojnë se idetë sasiore lindin tek fëmijët shumë kohë përpara se të fitojnë njohuri për numrat dhe mënyrën e përdorimit të tyre. Vërtetë, ekziston një tendencë për t'i klasifikuar këto ide si "formacione para-matematikore" (që është krejt e natyrshme për metodat tradicionale që identifikojnë karakteristikat sasiore të një objekti me një numër), por kjo nuk e ndryshon funksionin e tyre thelbësor në përgjithësi të fëmijës. orientimi në vetitë e sendeve. Dhe ndonjëherë ndodh që thellësia e këtyre gjoja "formacioneve para-matematikore" është më domethënëse për zhvillimin e të menduarit matematikor të fëmijës sesa njohja e hollësive. teknologji kompjuterike dhe aftësinë për të gjetur varësi thjesht numerike. Vlen të përmendet se akademiku A.N. Kolmogorov, duke karakterizuar tiparet e krijimtarisë matematikore, vë në dukje posaçërisht rrethanat e mëposhtme: "Në bazë të shumicës së zbulimet matematikore qëndron një ide e thjeshtë: vizuale ndërtimi gjeometrik, pabarazi e re elementare etj. Thjesht duhet ta zbatoni këtë siç duhet ide e thjeshtë për të zgjidhur një problem që në pamje të parë duket i paarritshëm” (, f. 17).

Aktualisht, një sërë idesh në lidhje me strukturën dhe mënyrat e ndërtimit të një programi të ri janë të përshtatshme. Është e nevojshme të përfshihen matematikanë, psikologë, logjikë dhe metodologë në punën për ndërtimin e saj. Por në të gjitha variantet e tij specifike, duket se duhet të plotësojë kërkesat themelore të mëposhtme:

Kapërcimi i hendekut ekzistues në mes të përmbajtjes së matematikës në shkollat fillore dhe të mesme;

Të sigurojë një sistem njohurish për ligjet bazë të marrëdhënieve sasiore të botës objektive; në këtë rast, vetitë e numrave, si një formë e veçantë e shprehjes së sasisë, duhet të bëhen pjesë e veçantë, por jo kryesore e programit;

Nxitni tek fëmijët metodat e të menduarit matematik, dhe jo vetëm aftësitë e llogaritjes: kjo përfshin ndërtimin e një sistemi problemesh të bazuar në zhytjen në sferën e varësive të sasive reale (lidhja e matematikës me fizikën, kiminë, biologjinë dhe shkenca të tjera që studiojnë specifike sasitë);

Thjeshtoni me vendosmëri të gjitha teknikat e llogaritjes, duke minimizuar punën që nuk mund të bëhet pa tabela të përshtatshme, libra referimi dhe mjete të tjera ndihmëse (në veçanti, elektronike).

Kuptimi i këtyre kërkesave është i qartë: në shkollën fillore është mjaft e mundur të mësohet matematika si shkencë për ligjet e marrëdhënieve sasiore, për varësitë e sasive; Teknikat e llogaritjes dhe elementet e teorisë së numrave duhet të bëhen pjesë e veçantë dhe private e programit.

Përvoja e ndërtimit të një programi të ri në matematikë dhe testimi eksperimental i tij, i kryer që nga fundi i viteve 1960, tani na lejon të flasim për mundësinë e futjes së një kursi sistematik të matematikës në shkollë duke filluar nga klasa e parë, duke ofruar njohuri për marrëdhëniet sasiore dhe varësitë. të sasive në formë algjebrike .

1.2 Bazat psikologjike për futjen e koncepteve algjebrike në shkollën fillore

Kohët e fundit, me modernizimin e programeve kuptim të veçantë i japin një bazë teorike grupeve kursit shkollor (kjo prirje manifestohet qartë si këtu ashtu edhe jashtë saj). Zbatimi i kësaj tendence në mësimdhënie (veçanërisht në klasat fillore, siç vërehet, për shembull, në një shkollë amerikane) do të sjellë në mënyrë të pashmangshme një numër pyetje të vështira përballë çerdhes dhe psikologji edukative dhe para didaktikës, sepse tani nuk ka pothuajse asnjë studim që zbulon tiparet e asimilimit të një fëmije të kuptimit të konceptit të grupit (në kontrast me asimilimin e numërimit dhe numrit, i cili është studiuar shumë gjithëpërfshirëse).

Hulumtim logjik dhe psikologjik vitet e fundit(sidomos vepra e J. Piaget) zbuloi lidhjen midis disa "mekanizmave" të menduarit e fëmijëve me koncepte të përgjithshme matematikore. Më poshtë diskutojmë në mënyrë specifike veçoritë e kësaj lidhjeje dhe rëndësinë e tyre për ndërtimin e matematikës si lëndë arsimore (do të flasim për anën teorike rast, dhe jo për ndonjë version të veçantë të programit).

Numri natyror ka qenë një koncept themelor në matematikë gjatë gjithë historisë së saj; luan një rol shumë domethënës në të gjitha fushat e prodhimit, teknologjisë, jetën e përditshme. Kjo i lejon matematikanët teorikë ta caktojnë atë vend i veçantë ndër konceptet e tjera të matematikës. NË forma të ndryshme bëhen pohime se koncepti i një numri natyror është faza fillestare abstraksioni matematik, se është baza për ndërtimin e shumicës së disiplinave matematikore.

Zgjedhja e elementeve fillestare të matematikës si lëndë në thelb i zbaton këto dispozitat e përgjithshme. Në këtë rast, supozohet se, duke u njohur me numrin, fëmija zbulon njëkohësisht vetë karakteristika origjinale marrëdhëniet sasiore. Numërimi dhe numri janë baza për të gjithë mësimin e mëvonshëm të matematikës në shkollë.

Megjithatë, ka arsye për të besuar se këto dispozita, duke theksuar me të drejtë kuptimin e veçantë dhe themelor të numrit, në të njëjtën kohë shprehin në mënyrë joadekuate lidhjen e tij me konceptet e tjera matematikore dhe vlerësojnë në mënyrë të pasaktë vendin dhe rolin e numrit në procesin e zotërimit të matematikës. . Për shkak të kësaj rrethane, në veçanti lindin disa mangësi domethënëse të programeve, metodave dhe teksteve të miratuara në matematikë. Është e nevojshme të merret parasysh në mënyrë specifike lidhja aktuale e konceptit të numrit me konceptet e tjera.

Shumë koncepte të përgjithshme matematikore, dhe në veçanti konceptet e marrëdhënieve të ekuivalencës dhe rendit, konsiderohen sistematikisht në matematikë pavarësisht nga forma numerike. Këto koncepte nuk e humbasin karakterin e tyre të pavarur në bazë të tyre, mund të përshkruhet dhe studiohet një temë e veçantë - e ndryshme sistemet e numrave, konceptet e të cilave në vetvete nuk mbulojnë kuptimin dhe kuptimin e përkufizimeve origjinale. Dhe në histori shkenca matematikore konceptet e përgjithshme u zhvilluan pikërisht në atë masë sa "operacionet algjebrike" shembull i famshëm që sigurojnë katër veprimet e aritmetikës, filluan të zbatohen në elementë të një natyre krejtësisht jo numerike.

Kohët e fundit janë bërë përpjekje për të zhvilluar fazën e njohjes së një fëmije me matematikën në mësimdhënie. Kjo prirje gjen shprehje në manualet metodologjike, si dhe në disa tekste eksperimentale. Kështu, në një libër shkollor amerikan të destinuar për mësimin e fëmijëve 6-7 vjeç (), në faqet e para janë futur detyra dhe ushtrime që i trajnojnë në mënyrë specifike fëmijët në përcaktimin e identitetit të grupeve lëndore. Fëmijëve u tregohet teknika e lidhjes së grupeve dhe ato përkatëse simbolika matematikore. Puna me numra bazohet në informacion bazë rreth kompleteve.

Përmbajtja e përpjekjeve specifike për të zbatuar këtë prirje mund të vlerësohet ndryshe, por ajo vetë, sipas mendimit tonë, është mjaft legjitime dhe premtuese.

Në pamje të parë, konceptet e "qëndrimit", "strukturës", "ligjeve të përbërjes", etj., të cilat kanë përkufizime komplekse matematikore, nuk mund të lidhen me formimin. paraqitjet matematikore te fëmijët e vegjël. Natyrisht, i gjithë kuptimi i vërtetë dhe abstrakt i këtyre koncepteve dhe vendi i tyre ndërtim aksiomatik Matematika si shkencë është një objekt i asimilimit të një koke tashmë të zhvilluar dhe të "stërvitur" në matematikë. Sidoqoftë, disa veti të gjërave të fiksuara nga këto koncepte, në një mënyrë ose në një tjetër, i shfaqen fëmijës relativisht herët: ka prova specifike psikologjike për këtë.

Para së gjithash, duhet të kihet parasysh se nga momenti i lindjes deri në 7 - 10 vjet, një fëmijë zhvillohet dhe zhvillohet. sisteme shumë komplekse ide të përgjithshme për botën përreth nesh dhe hedh themelet për të menduarit kuptimplotë dhe objektiv. Për më tepër, bazuar në materialin empirik relativisht të ngushtë, fëmijët dallojnë skemat e përgjithshme orientimet në varësinë hapësinore-kohore dhe shkak-pasojë të gjërave. Këto diagrame shërbejnë si një lloj kornize për "sistemin e koordinatave" brenda të cilit fëmija fillon të zotërojë gjithnjë e më shumë vetitë e ndryshme të botës së ndryshme. Sigurisht, këto modele të përgjithshme janë pak të realizuara dhe në një masë të vogël mund të shprehen nga vetë fëmija në formën e një gjykimi abstrakt. Ata, në mënyrë figurative, janë një formë intuitive e organizimit të sjelljes së fëmijës (edhe pse, natyrisht, ato pasqyrohen gjithnjë e më shumë në gjykime).

Në dekadat e fundit, çështjet e formimit të inteligjencës së fëmijëve dhe shfaqja e ideve të tyre të përgjithshme për realitetin, kohën dhe hapësirën janë studiuar veçanërisht intensivisht nga psikologu i famshëm zviceran J. Piaget dhe kolegët e tij. Disa nga veprat e tij kanë lidhje direkte për problemet e zhvillimit të të menduarit matematik të një fëmije, dhe për këtë arsye është e rëndësishme që ne t'i konsiderojmë ato në lidhje me çështjet e projektimit kurrikula.

Në një prej tyre librat e fundit() J. Piaget ofron të dhëna eksperimentale mbi gjenezën dhe formimin e një elementari të tillë strukturat logjike, si klasifikimi dhe serializimi. Klasifikimi përfshin kryerjen e një operacioni përfshirjeje (për shembull, A + A" = B) dhe operacionin e tij të kundërt (B - A" = A). Seriacioni është renditja e objekteve në rreshta sistematike (për shembull, shkopinj me gjatësi të ndryshme mund të vendosen në një rresht, secili anëtar i të cilit është më i madh se të gjithë të mëparshmit dhe më i vogël se të gjithë pasuesit).

Duke analizuar formimin e klasifikimit, J. Piaget tregon se si nga forma e tij fillestare, nga krijimi i një "agregati figurativ" bazuar vetëm në afërsinë hapësinore të objekteve, fëmijët kalojnë në një klasifikim të bazuar në marrëdhënien e ngjashmërisë ("jo- agregate figurative”), dhe më pas në vetë klasifikimin. formë komplekse- për përfshirjen e klasave, të përcaktuara nga lidhja midis vëllimit dhe përmbajtjes së konceptit. Autori shqyrton në mënyrë specifike çështjen e formimit të një klasifikimi jo vetëm sipas një, por edhe sipas dy ose tre kritereve, dhe për zhvillimin e aftësisë tek fëmijët për të ndryshuar bazën e klasifikimit kur shtohen elementë të rinj. Autorët gjejnë faza të ngjashme në procesin e formimit të serialit.

Këto studime ndoqën një qëllim shumë specifik - të identifikonin modelet e formimit të strukturave operatore të mendjes dhe, para së gjithash, një veti të tillë përbërëse të tyre si kthyeshmëria, d.m.th. aftësia e mendjes për të ecur përpara dhe prapa. Kthyeshmëria ndodh kur "operacionet dhe veprimet mund të shpalosen në dy drejtime, dhe kuptimi i njërit prej këtyre drejtimeve shkakton ipso facto [për shkak të vetë faktit] kuptimin e tjetrit" (, f. 15).

Kthyeshmëria, sipas J. Piaget, përfaqëson ligjin themelor të përbërjes të qenësishme në mendje. Ai ka dy forma plotësuese dhe të pareduktueshme: kthimi (inversion ose mohim) dhe reciprociteti. Kthimi ndodh, për shembull, në rastin kur lëvizja hapësinore e një objekti nga A në B mund të anulohet duke e transferuar objektin nga B në A, që në fund të fundit është ekuivalente me një transformim zero (produkti i një operacioni dhe anasjellta e tij është një operacion identik, ose një transformim zero).

Reciprociteti (ose kompensimi) përfshin rastin kur, për shembull, kur një objekt zhvendoset nga A në B, objekti mbetet në B, por vetë fëmija lëviz nga A në B dhe riprodhon pozicionin fillestar kur objekti ishte kundër trupit të tij. . Lëvizja e objektit nuk anulohet këtu, por kompensohet me përzierjen e duhur trupin e vet- dhe kjo është një formë tjetër transformimi sesa konvertimi (, f. 16).

Në veprat e tij, J. Piaget tregoi se këto shndërrime fillimisht shfaqen në formën e qarqeve sensorimotore (nga 10 deri në 12 muaj). Koordinimi gradual i qarqeve ndijore-motorike, simbolika funksionale dhe shfaqja e gjuhësçojnë në faktin se përmes një sërë fazash, qarkullimi dhe reciprociteti bëhen veti të veprimeve (operacioneve) intelektuale dhe sintetizohen në një strukturë të vetme operatori (në periudhën nga 7 në 11 dhe nga 12 në 15 vjet). Tani fëmija mund të koordinojë të gjitha lëvizjet në një sipas dy sistemeve referuese menjëherë - një i lëvizshëm, tjetri i palëvizshëm.

J. Piaget beson se kërkime psikologjike zhvillimi i veprimeve aritmetike dhe gjeometrike në mendjen e fëmijës (veçanërisht ato operacione logjike që kryhen në to parakushtet) ju lejon të lidhni me saktësi strukturat e operatorit të të menduarit me strukturat algjebrike, strukturat e rendit dhe ato topologjike (, f. 13). Kështu, struktura algjebrike ("grupi") korrespondon me mekanizmat e operatorit të mendjes, që i nënshtrohet njërës prej formave të kthyeshmërisë - përmbysjes (negimit). Grupi ka katër vetitë elementare: prodhimi i dy elementeve të grupit jep edhe një element grupi; një veprim i drejtpërdrejtë korrespondon me një dhe vetëm një operacion të kundërt; ka një operacion identiteti; kompozimet e njëpasnjëshme janë asociative. Në gjuhën e veprimeve intelektuale kjo do të thotë:

Koordinimi i dy sistemeve të veprimit përbën një skemë të re që i bashkëngjitet atyre të mëparshme;

Operacioni mund të zhvillohet në dy drejtime;

Kur kthehemi në pikën e fillimit e gjejmë të pandryshuar;

Mund të vini në të njëjtën pikë në mënyra të ndryshme, dhe vetë pika mbetet e pandryshuar.

Faktet e zhvillimit “të pavarur” të fëmijës (d.m.th. zhvillimi i pavarur nga ndikim të drejtpërdrejtë shkollimi) tregojnë një mospërputhje midis renditjes së fazave të gjeometrisë dhe fazave të formimit konceptet gjeometrike në një fëmijë. Këto të fundit përafrojnë rendin e vazhdimësisë së grupeve kryesore, ku topologjia vjen e para. Një fëmijë, sipas J. Piaget, së pari zhvillon intuitën topologjike, dhe më pas ai orientohet në drejtimin e strukturave projektive dhe metrike. Prandaj, në veçanti, siç vëren J. Piaget, gjatë përpjekjeve të para për të vizatuar, fëmija nuk bën dallimin midis katrorëve, rrathëve, trekëndëshave dhe figurave të tjera metrike, por dallon në mënyrë të përkryer figurat e hapura dhe të mbyllura, pozicionin "jashtë" ose "brenda". ” në lidhje me kufirin, ndarjen dhe afërsinë (për momentin pa dalluar distancat) etj. (, f. 23).

Le të shqyrtojmë dispozitat kryesore të formuluara nga J. Piaget në lidhje me çështjet e ndërtimit të një kurrikule. Para së gjithash, hulumtimi i J. Piaget tregon se gjatë moshës parashkollore dhe fëmijëria shkollore Fëmija zhvillon struktura të tilla operatori të të menduarit që e lejojnë atë të vlerësojë karakteristikat themelore të klasave të objekteve dhe marrëdhëniet e tyre. Për më tepër, tashmë në fazën e operacioneve specifike (nga 7 deri në 8 vjeç), intelekti i fëmijës fiton vetinë e kthyeshmërisë, e cila është jashtëzakonisht e rëndësishme për të kuptuar përmbajtjen teorike të lëndëve arsimore, në veçanti matematikën.

Këto të dhëna tregojnë se psikologji tradicionale dhe pedagogjia nuk ka marrë mjaftueshëm parasysh natyrën komplekse dhe të fuqishme të atyre fazave të zhvillimit mendor të një fëmije që lidhen me periudhën nga 2 në 7 dhe nga 7 në 11 vjet.

Shqyrtimi i rezultateve të marra nga J. Piaget na lejon të nxjerrim një sërë përfundimesh domethënëse në lidhje me hartimin e një kurrikule të matematikës. Para së gjithash, të dhënat faktike mbi formimin e intelektit të një fëmije nga 2 deri në 11 vjeç tregojnë se në këtë kohë jo vetëm që vetitë e objekteve të përshkruara përmes koncepteve matematikore të "marrëdhënie - strukturë" nuk janë "të huaja" për të, por vetë këta të fundit hyjnë organikisht në të menduarit e fëmijës.

Programet tradicionale nuk e marrin parasysh këtë. Prandaj, ata nuk i kuptojnë shumë nga mundësitë e fshehura në procesin e zhvillimit intelektual të fëmijës.

Materialet e disponueshme në psikologjinë moderne të fëmijëve na lejojnë të vlerësojmë pozitivisht idenë e përgjithshme të ndërtimit të një lënde arsimore që do të bazohej në konceptet e strukturave fillestare matematikore. Sigurisht, gjatë rrugës ka vështirësi të mëdha, pasi që ende nuk ka përvojë në ndërtimin e një lënde të tillë arsimore. Në veçanti, njëra prej tyre lidhet me përcaktimin e "pragut" të moshës nga i cili fillon trajnimi program i ri. Nëse ndjekim logjikën e J. Piaget, atëherë, me sa duket, këto programe mund të mësohen vetëm kur fëmijët kanë tashmë struktura operatore të formuara plotësisht (nga 14 deri në 15 vjeç). Por nëse supozojmë se e vërteta të menduarit matematik fëmija formohet pikërisht brenda procesit që është përcaktuar nga J. Piaget si procesi i palosjes së strukturave të operatorit, atëherë këto programe mund të futen shumë më herët (për shembull, nga 7 deri në 8 vjeç), kur fëmijët fillojnë të formojnë operacione specifike me niveli më i lartë kthyeshmëria. Në kushte "natyrore", kur studioni sipas programeve tradicionale, operacionet formale mund të marrin formë vetëm në moshën 13-15 vjeç. Por a është e mundur të "përshpejtohet" formimi i tyre duke futur më parë të tillë material edukativ, asimilimi i të cilave kërkon analizë të drejtpërdrejtë të strukturave matematikore?

Duket se ka mundësi të tilla. Në moshën 7 - 8 vjeç, fëmijët tashmë kanë zhvilluar mjaftueshëm një plan për veprimet mendore dhe duke u trajnuar në një program të përshtatshëm, në të cilin vetitë e strukturave matematikore jepen "në mënyrë eksplicite" dhe fëmijëve u jepen mjetet për t'i analizuar ato. është e mundur që fëmijët të sillen shpejt në nivelin e operacioneve "formale", sesa në harkun kohor në të cilin kjo kryhet gjatë zbulimit "të pavarur" të këtyre pronave.

Është e rëndësishme të merret parasysh rrethanë e mëposhtme. Ka arsye për të besuar se veçoritë e të menduarit në nivel operacionesh specifike, të datuara nga J. Piaget në moshën 7-11 vjeç, janë në vetvete të lidhura pazgjidhshmërisht me format e organizimit të mësimit, karakteristikë e shkollës fillore tradicionale. Ky trajnim (si këtu ashtu edhe jashtë vendit) zhvillohet mbi bazën e një përmbajtjeje jashtëzakonisht empirike, shpeshherë aspak të lidhur me një qëndrim konceptual (teorik) ndaj objektit. Një trajnim i tillë mbështet dhe forcon të menduarit e fëmijëve, i cili bazohet në perceptimin e jashtëm, të drejtpërdrejtë, në shenjat e perceptueshme të gjërave.

Kështu, tani ka prova që tregojnë lidhje e ngushtë strukturat e të menduarit të fëmijëve dhe strukturat e përgjithshme algjebrike, megjithëse “mekanizmi” i kësaj lidhjeje nuk është aspak i qartë dhe pothuajse i pashkelur. Prania e kësaj lidhjeje hap mundësi themelore (për momentin vetëm mundësi!) për ndërtimin e një lënde arsimore që zhvillohet sipas skemës “nga struktura të thjeshta- tek kombinimet e tyre komplekse." Një nga kushtet për realizimin e këtyre mundësive është studimi i kalimit në të menduarit e ndërmjetësuar dhe standardet e tij moshore. Kjo metodë e ndërtimit të matematikës si lëndë akademike mund të jetë vetë një levë e fuqishme për formimin në fëmijë të një mendimi të tillë, i cili bazohet në një themel konceptual mjaft të fortë.

1.3 Problemi i origjinës së koncepteve algjebrike dhe rëndësia e tij për ndërtimin e një lënde arsimore

Ndarja kursi shkollor matematika për algjebër dhe aritmetikë, natyrisht, me kusht. Kalimi nga njëri në tjetrin ndodh gradualisht. NË praktikë shkollore kuptimi i këtij kalimi maskohet nga fakti se studimi i thyesave në të vërtetë ndodh pa mbështetje të gjerë për matjen e sasive - thyesat jepen si raporte çiftesh numrash (edhe pse rëndësia e matjes së sasive njihet zyrtarisht në manualet metodologjike). Një prezantim i gjerë i numrave thyesorë të bazuar në matjen e sasive çon në mënyrë të pashmangshme në konceptin e një numri real. Por kjo e fundit zakonisht nuk ndodh, pasi studentët vazhdojnë të punojnë me numra racionalë për një kohë të gjatë, dhe në këtë mënyrë kalimi i tyre në "algjebër" vonohet.

Për më tepër, hapi fillestar mund të jetë njohja me operacionin e matjes, marrja e finales dhjetore dhe studimi i veprimeve mbi to. Nëse studentët tashmë e dinë këtë formë të regjistrimit të rezultatit të një matjeje, atëherë kjo shërben si një parakusht për të "braktisur" idenë se një numër mund të shprehet. thyesë e pafundme. Dhe këshillohet që ky parakusht të krijohet tashmë brenda shkollës fillore.

Nëse koncepti i një numri thyesor (racional) hiqet nga fusha e aritmetikës shkollore, atëherë kufiri midis tij dhe "algjebrës" do të kalojë përgjatë vijës së ndryshimit midis numrave të plotë dhe atyre realë. Pikërisht kjo e “ndan” lëndën e matematikës në dy pjesë. Ky nuk është një ndryshim i thjeshtë, por një "dualizëm" themelor i burimeve - numërimi dhe matja.

Duke ndjekur idetë e Lebesgue në lidhje me "konceptin e përgjithshëm të numrit", është e mundur të sigurohet unitet i plotë në mësimdhënien e matematikës, por vetëm nga momenti dhe pasi të njihen fëmijët me numërimin dhe numrat e plotë (natyrorë). Natyrisht, koha e këtij njohjeje paraprake mund të jetë e ndryshme (në programet tradicionale për shkollat fillore ato janë qartësisht të vonuara); matje praktike(që është rasti në program) - megjithatë, e gjithë kjo nuk heq dallimet në themelet e aritmetikës dhe "algjebrës" si lëndë mësimore. "Dualizmi" i pikave të fillimit gjithashtu pengon seksionet që lidhen me matjen e sasive dhe kalimin në thyesat reale që të "zënë rrënjë" vërtet në një kurs aritmetik. Autorët e programeve dhe metodologët përpiqen të ruajnë stabilitetin dhe "pastërtinë" e aritmetikës si lëndë shkollore. Ky ndryshim në burime është arsyeja kryesore për mësimin e matematikës sipas skemës - së pari aritmetikë (numër i plotë), pastaj "algjebër" (numër real).

Kjo skemë duket krejt e natyrshme dhe e palëkundur, për më tepër, justifikohet nga praktika shumëvjeçare në mësimdhënien e matematikës. Por ka rrethana që nga pikëpamja logjiko-psikologjike kërkojnë më shumë analizë e plotë legjitimitetin e kësaj skeme të ngurtë mësimore.

Fakti është se, pavarësisht nga të gjitha ndryshimet midis këtyre llojeve të numrave, ato u referohen në mënyrë specifike numrave, d.m.th. në një formë të veçantë të shfaqjes së marrëdhënieve sasiore. Fakti që numrat e plotë dhe realë i përkasin "numrave" shërben si bazë për supozimin e derivateve gjenetike të vetë dallimeve midis numërimit dhe matjes: ata kanë një burim të veçantë dhe të vetëm që korrespondon me vetë formën e numrit. Njohja e veçorive të kësaj baze të unifikuar të numërimit dhe matjes do të bëjë të mundur që të imagjinohen më qartë kushtet e origjinës së tyre, nga njëra anë, dhe marrëdhëniet, nga ana tjetër.

Ku të drejtoheni për të gjetur rrënjë e përbashkët pema e degëzuar e numrave? Duket se para së gjithash është e nevojshme të analizohet përmbajtja e konceptit të sasisë. Vërtetë, ky term lidhet menjëherë me një dimension tjetër. Megjithatë, legjitimiteti i një lidhjeje të tillë nuk përjashton njëfarë pavarësie të kuptimit të "madhësive". Shqyrtimi i këtij aspekti na lejon të nxjerrim përfundime që bashkojnë, nga njëra anë, matjen dhe numërimin, dhe nga ana tjetër, manipulimin e numrave me marrëdhënie dhe modele të caktuara të përgjithshme matematikore.

Pra, çfarë është “sasia” dhe çfarë interesi ka ajo për ndërtimin e seksioneve fillestare të matematikës shkollore?

NË përdorim të përgjithshëm termi "madhësi" lidhet me konceptet "e barabartë", "më shumë", "më pak", të cilat përshkruajnë një sërë cilësish (gjatësia dhe dendësia, temperatura dhe bardhësia). V.F. Kagan ngre pyetjen se cilat veçori të përbashkëta kanë këto koncepte. Tregon se ato i përkasin agregateve - grupeve objekte homogjene, krahasimi i elementeve të të cilave na lejon të aplikojmë termat "më shumë", "barabartë", "më pak" (për shembull, në grupe të të gjitha segmenteve të drejtëzave, peshave, shpejtësive, etj.).

Këto fjali përbëjnë një ndarje të plotë (të paktën njëra vlen, por secila përjashton të gjitha të tjerat).

V.F. Kagan identifikon tetë vetitë e mëposhtme themelore të koncepteve "të barabartë", "më shumë", "më pak": (, fq. 17-31).

1) Të paktën një nga marrëdhëniet vlen: A=B, A>B, A<В.

2) Nëse relacioni A = B vlen, atëherë relacioni A nuk vlen<В.

3) Nëse relacioni A=B vlen, atëherë relacioni A>B nuk vlen.

4) Nëse A=B dhe B=C, atëherë A=C.

5) Nëse A>B dhe B>C, atëherë A>C.

6) Nëse A<В и В<С, то А<С.

7) Barazia është një lidhje e kthyeshme: nga relacioni A=B rrjedh gjithmonë relacioni B=A.

8) Barazia është një lidhje reciproke: cilido qoftë elementi A i grupit në shqyrtim, A = A.

Tre fjalitë e para karakterizojnë ndarjen e marrëdhënieve themelore "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых трех элементах А, В и С. Следующие предложения 7 - 8 характеризуют только равенство - его обратимость и возвратность (или рефлексивность). Эти восемь основных положений В.Ф.Каган называет поcтулатами сравнения, на базе которых можно вывести ряд других свойств величины.

Këto veti konkluzionale të V.F. Kagan përshkruan në formën e tetë teoremave:

I. Raporti A>B përjashton raportin B>A (A<В исключает В<А).

II. Nëse A>B, atëherë B<А (если А<В, то В>A).

III. Nëse qëndron A>B, atëherë A nuk qëndron.

IV. Nëse A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1, atëherë A1=An.

V. Nëse A1>A2, A2>A3,.., An-1>An, atëherë A1>An.

VI. Nëse A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Nëse A=C dhe B=C, atëherë A=B.

VIII. Nëse ka barazi ose pabarazi A=B, ose A>B, ose A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа:

nëse A=B dhe A=C, atëherë C=B;

nëse A>B dhe A=C, atëherë C>B, etj.).

Krahasoni postulatet dhe teoremat, vë në dukje V.F. Kagan, "janë shterur të gjitha ato veti të koncepteve "të barabartë", "më shumë" dhe "më pak", të cilat në matematikë lidhen me to dhe gjejnë zbatim pavarësisht nga vetitë individuale të grupit për elementët e të cilave ne i zbatojmë ato. raste të ndryshme të veçanta” (, faqe 31).

Vetitë e specifikuara në postulatet dhe teorema mund të karakterizojnë jo vetëm ato tipare të menjëhershme të objekteve që jemi mësuar t'i lidhim me "të barabartë", "më shumë", "më pak", por edhe me shumë veçori të tjera (për shembull, ato mund të karakterizojnë lidhjen "paraardhës - pasardhës"). Kjo na lejon të marrim një këndvështrim të përgjithshëm kur i përshkruajmë dhe të marrim parasysh, për shembull, nga këndvështrimi i këtyre postulateve dhe teoremave çdo tre lloje të marrëdhënieve "alfa", "beta", "gama" (në këtë rast është është e mundur të përcaktohet nëse këto marrëdhënie i plotësojnë postulatet dhe teoremat dhe në çfarë kushtesh).

Objektet reale mund të shikohen nga këndvështrimi i kritereve të ndryshme. Kështu, një grup njerëzish mund të konsiderohet sipas një kriteri të tillë si sekuenca e momenteve të lindjes së secilit prej anëtarëve të tij. Një kriter tjetër është pozicioni relativ që do të marrin kokat e këtyre njerëzve nëse vendosen krah për krah në të njëjtin rrafsh horizontal. Në çdo rast, grupi do të shndërrohet në një sasi që ka një emër përkatës - mosha, lartësia. Në praktikë, një sasi zakonisht nuk tregon vetë grupin e elementeve, por një koncept të ri të paraqitur për të dalluar kriteret e krahasimit (emri i sasisë). Kështu lindin konceptet “vëllim”, “peshë”, “tension elektrik” etj. "Në të njëjtën kohë, për një matematikan, vlera përcaktohet plotësisht kur tregohen shumë elementë dhe kritere krahasimi," vuri në dukje V.F. Kagan (, f. 47).

Ky autor e konsideron serinë natyrore të numrave si shembullin më të rëndësishëm të një madhësie matematikore. Nga pikëpamja e një kriteri të tillë krahasimi si pozicioni i zënë nga numrat në një seri (ata zënë të njëjtin vend, vijon ..., paraprin), kjo seri plotëson postulatet dhe për rrjedhojë përfaqëson një sasi. Sipas kritereve përkatëse të krahasimit, një grup fraksionesh gjithashtu shndërrohet në një sasi.

Kjo sipas V.F. Kagan, përmbajtja e teorisë së sasisë, e cila luan një rol jetik në themelin e të gjithë matematikës.

Duke punuar me sasi (është e këshillueshme të regjistroni vlerat e tyre individuale me shkronja), mund të kryeni një sistem kompleks transformimesh, duke vendosur varësitë e vetive të tyre, duke kaluar nga barazia në pabarazi, duke kryer mbledhje (dhe zbritje) dhe kur shtoni ju mund të udhëhiqeni nga vetitë komutative dhe asociative. Pra, nëse është dhënë relacioni A=B, atëherë gjatë “zgjidhjes” së problemeve mund të udhëhiqeni nga relacioni B=A. Në një rast tjetër, nëse ka relacione A>B, B=C, mund të konkludojmë se A>C. Meqenëse për a>b ka një c të tillë që a=b+c, atëherë mund të gjejmë ndryshimin midis a dhe b (a-b=c), etj. Të gjitha këto transformime mund të bëhen në trupat fizikë dhe objekte të tjera, duke vendosur kriteret e krahasimit dhe përputhshmërinë e marrëdhënieve të përzgjedhura me postulatet e krahasimit.

Materialet e mësipërme na lejojnë të arrijmë në përfundimin se si numrat natyrorë ashtu edhe ato realë janë të lidhur ngushtë me sasitë dhe disa nga veçoritë e tyre thelbësore. A është e mundur që këto dhe prona të tjera të bëhen objekt? studim i veçantë fëmijë edhe para se të futet forma numerike e përshkrimit të marrëdhënies së sasive? Ato mund të shërbejnë si parakushte për prezantimin e mëvonshëm të detajuar të numrit dhe të tij lloje të ndryshme, në veçanti për propedeutikën e thyesave, koncepteve të koordinatave, funksioneve dhe koncepteve të tjera tashmë në klasat e vogla.

Cila mund të jetë përmbajtja e kësaj seksioni fillestar? Kjo është një hyrje në objekte fizike, kriteret e krahasimit të tyre, evidentimi i një sasie si lëndë e shqyrtimit matematik, njohja me metodat e krahasimit dhe mjetet simbolike të regjistrimit të rezultateve të saj, me teknikat e analizimit të vetive të përgjithshme të sasive. Kjo përmbajtje duhet të zhvillohet në një program mësimor relativisht të detajuar dhe, më e rëndësishmja, të lidhet me ato veprime të fëmijës përmes të cilave ai mund të zotërojë këtë përmbajtje (sigurisht, në formën e duhur). Në të njëjtën kohë, është e nevojshme të përcaktohet eksperimentalisht nëse fëmijët 7-vjeçarë mund ta zotërojnë këtë program dhe cila është mundësia e prezantimit të tij për mësimin e mëvonshëm të matematikës në klasat fillore në drejtim të afrimit të aritmetikës dhe algjebrës fillore. së bashku.

Deri më tani, arsyetimi ynë ka qenë teorik në natyrë dhe synon të qartësojë parakushtet matematikore për ndërtimin e një seksioni të tillë fillestar të kursit që do t'i prezantonte fëmijët me konceptet bazë algjebrike (deri në hyrje e veçantë numrat).

Vetitë kryesore që karakterizojnë sasitë janë përshkruar më sipër. Natyrisht, nuk ka kuptim që fëmijët 7-vjeçar të japin “leksione” në lidhje me këto prona. Ishte e nevojshme të gjendej një formë e tillë pune për fëmijët me material didaktik, nëpërmjet të cilave ata mund të identifikonin nga njëra anë këto veti në gjërat që i rrethojnë, nga ana tjetër do të mësonin t'i rregullonin ato me një simbolikë të caktuar dhe të kryenin elementare. analiza matematikore marrëdhëniet e alokuara.

Në këtë drejtim, programi duhet të përmbajë, së pari, një tregues të atyre vetive të lëndës që duhet të zotërohen, së dyti, një përshkrim të materialeve didaktike, së treti - dhe kjo është gjëja kryesore nga pikëpamja psikologjike - karakteristikat të atyre veprimeve nëpërmjet të cilave fëmija identifikon disa veti të një objekti dhe i zotëron ato. Këta “komponentë” formojnë programin mësimor në kuptimin e duhur të fjalës.

Karakteristikat specifike Ka kuptim të paraqitet ky program hipotetik dhe "përbërësit" e tij kur përshkruhet vetë procesi i të mësuarit dhe rezultatet e tij. Këtu është përmbledhja e këtij programi dhe temat kryesore të tij.

Tema I. Nivelimi dhe plotësimi i objekteve (sipas gjatësisë, vëllimit, peshës, përbërjes së pjesëve dhe parametrave të tjerë).

Detyra praktike për nivelim dhe përvetësim. Identifikimi i karakteristikave (kritereve) me të cilat mund të barazohen ose plotësohen të njëjtat objekte. Përcaktimi verbal i këtyre karakteristikave ("nga gjatësia", nga pesha, etj.).

Këto detyra zgjidhen në procesin e punës me materialin didaktik (shufra, pesha, etj.) nga:

Zgjedhja e artikullit "të njëjtë",

Riprodhimi (ndërtimi) i të njëjtit objekt sipas një parametri të zgjedhur (të specifikuar).

Tema II. Krahasimi i objekteve dhe fiksimi i rezultateve të tij duke përdorur formulën barazi-pabarazi.

1. Detyra për krahasimin e objekteve dhe përcaktimin simbolik të rezultateve të këtij veprimi.

2. Regjistrimi verbal i rezultateve të krahasimit ( termat “më shumë”, “më pak”, “barabartë”). Shenjat e shkruara ">", "<", "=".

3. Tregimi i rezultatit të krahasimit me një vizatim ("kopjim" dhe më pas "abstrakt" - rreshta).

4. Përcaktimi i objekteve të krahasuara me shkronja. Regjistrimi i rezultatit të krahasimit duke përdorur formulat: A=B; A<Б, А>B.

Një shkronjë si një shenjë që fikson një vlerë të caktuar drejtpërdrejt të një objekti sipas një parametri të zgjedhur (nga pesha, nga vëllimi, etj.).

5. Pamundësia e fiksimit të rezultatit të krahasimit duke përdorur formula të ndryshme. Zgjedhja e një formule specifike për një rezultat të caktuar (ndarje e plotë e marrëdhënieve më e madhe - më pak - e barabartë).

Tema III. Vetitë e barazisë dhe pabarazisë.

1. Kthyeshmëria dhe refleksiviteti i barazisë (nëse A=B, atëherë B=A; A=A).

2. Lidhja ndërmjet marrëdhënieve “më shumë” dhe “më pak” në pabarazitë gjatë “permutacioneve” të palëve të krahasuara (nëse A>B, atëherë B<А и т.п.).

3. Kalueshmëria si veti e barazisë dhe pabarazisë:

nëse A=B, nëse A>B, nëse A<Б,

a B=B, a B>B, a B<В,

pastaj A=B; pastaj A>B; pastaj A<В.

4. Kalimi nga puna me materialin didaktik lëndor në vlerësimin e vetive të barazisë dhe pabarazisë në prani të formulave vetëm fjalë për fjalë. Zgjidhja e problemave të ndryshme që kërkojnë njohuri për këto veti (p.sh. zgjidhja e problemeve që lidhen me lidhjen e marrëdhënieve të tipit: duke qenë se A>B, dhe B=C; zbuloni marrëdhënien midis A dhe C).

Tema IV. Operacioni i mbledhjes (zbritjes).

1. Vëzhgimet e ndryshimeve në objekte sipas një ose një parametri tjetër (nga vëllimi, nga pesha, nga kohëzgjatja etj.). Ilustrimi i rritjes dhe zvogëlimit me shenjat "+" dhe "-" (plus dhe minus).

2. Shkelja e barazisë së vendosur më parë me një ndryshim përkatës në njërën ose tjetrën anë të saj. Kalimi nga barazia në pabarazi. Shkrimi i formulave si:

nëse A=B, nëse A=B,

pastaj A+K>B; pastaj A-K<Б.

3. Metodat e kalimit në barazi të re (“rivendosja” e tij sipas parimit: shtimi i “barabartë” në “barabartë” jep “të barabartë”).

Puna me formula si:

pastaj A+K>B,

por A+K=B+K.

4. Zgjidhja e problemave të ndryshme që kërkojnë përdorimin e mbledhjes (zbritjes) kur kalohet nga barazia në pabarazi dhe mbrapa.

Tema V. Kalimi nga mosbarazimi i tipit A<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Detyrat që kërkojnë një tranzicion të tillë. Nevoja për të përcaktuar vlerën e sasisë me të cilën ndryshojnë objektet e krahasuara. Aftësia për të shkruar barazi kur vlera specifike e kësaj sasie është e panjohur. Metoda e përdorimit të x (x).

Shkrimi i formulave si:

nëse A<Б, если А>B,

atëherë A+x=B; atëherë A-x=B.

2. Përcaktimi i vlerës së x. Zëvendësimi i kësaj vlere në formulë (hyrje në kllapa). Lloji formula

3. Zgjidhja e problemeve (përfshirë "plot-tekstual") që kërkojnë kryerjen e operacioneve të specifikuara.

Tema Vl. Mbledhje-zbritje barazish-pabarazish. Zëvendësimi.

1. Mbledhja-zbritja e barazive-pabarazimeve:

nëse A=B nëse A>B nëse A>B

dhe M=D, dhe K>E, dhe B=G,

pastaj A+M=B+D; pastaj A+K>B+E; pastaj A+-B>C+-G.

2. Aftësia për të paraqitur vlerën e një sasie si shumë e disa vlerave. Zëvendësimi i llojit:

3. Zgjidhja e problemeve të ndryshme që kërkojnë marrjen parasysh të vetive të marrëdhënieve me të cilat fëmijët u njohën në procesin e punës (shumë detyra kërkojnë shqyrtim të njëkohshëm të disa vetive, inteligjencë në vlerësimin e kuptimit të formulave; përshkrimet e problemeve dhe zgjidhjet jepen më poshtë ).

Ky është një program i projektuar për 3.5 - 4 muaj. gjysmën e parë të vitit. Siç tregon përvoja e të nxënit eksperimental, me planifikimin e duhur të mësimeve, përmirësimin e metodave të mësimdhënies dhe zgjedhje e mire mjete mësimore i gjithë materiali i paraqitur në program mund të asimilohet plotësisht nga fëmijët në më shumë se afatshkurtër(për 3 muaj).

Si po ecën përpara programi ynë? Para së gjithash, fëmijët njihen me metodën e marrjes së një numri që shpreh marrëdhënien e një objekti në tërësi (e njëjta sasi e përfaqësuar nga një objekt i vazhdueshëm ose diskret) me pjesën e tij. Pikërisht ky qëndrim dhe i tij kuptim specifik përfaqësohet me formulën A/K = n, ku n është çdo numër i plotë, më së shpeshti duke shprehur raportin e saktë me "një" (vetëm me një përzgjedhje të veçantë të materialit ose duke numëruar vetëm "cilësisht" gjëra individuale mund të merret një absolutisht i saktë numër i plotë). Fëmijët që në fillim janë “të detyruar” të kenë parasysh se gjatë matjes ose numërimit mund të rezultojë një mbetje, prania e së cilës duhet të përcaktohet posaçërisht. Ky është hapi i parë për punën e mëvonshme me thyesat.

Me këtë formë të marrjes së një numri, nuk është e vështirë t'i shtysh fëmijët të përshkruajnë një objekt me një formulë si A = 5k (nëse raporti ishte i barabartë me "5"). Së bashku me formulën e parë, ajo hap mundësi për një studim të veçantë të varësive midis një objekti, një baze (matëse) dhe rezultatit të llogaritjes (matjes), i cili shërben edhe si një propedeutik për kalimin në numrat thyesorë(në veçanti, për të kuptuar vetitë themelore të thyesave).

Një linjë tjetër e zhvillimit të programit, e zbatuar tashmë në klasën e parë, është transferimi në numra (numra të plotë) të vetive bazë të sasisë (disjuksioni i barazisë-pabarazi, transitiviteti, kthyeshmëria) dhe funksionimi i mbledhjes (komutativiteti, asociativiteti, monotoniteti, etj. mundësia e zbritjes). Në veçanti, duke punuar për rreshti numerik, fëmijët mund të konvertojnë shpejt një sekuencë numrash në një vlerë (për shembull, të vlerësojnë qartë kalueshmërinë e tyre duke kryer shënime të tipit 3<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.).

Njohja me disa nga të ashtuquajturat tipare "strukturore" të barazisë i lejon fëmijët t'i qasen ndryshe lidhjes midis mbledhjes dhe zbritjes. Kështu, kur kalohet nga pabarazia në barazi, kryhen shndërrimet e mëposhtme: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; gjeni lidhjen ndërmjet anës së majtë dhe të djathtë të formulës për 8+1-4...6+3-2; në rast pabarazie, sillni këtë shprehje në barazi (së pari ju duhet të vendosni një shenjë "më pak se" dhe më pas të shtoni një "dy" në anën e majtë).

Kështu, trajtimi i një serie numrash si një sasi ju lejon të zhvilloni aftësitë e mbledhjes dhe zbritjes (dhe më pas shumëzimit dhe pjesëtimit) në një mënyrë të re.

Kapitulli II. Rekomandime metodologjike për studimin e materialit algjebrik në shkollën fillore 2.1 Mësimdhënia në shkollën fillore nga pikëpamja e nevojave të shkollës së mesme

Siç e dini, kur studioni matematikën në klasën e 5-të, një pjesë e konsiderueshme e kohës i kushtohet përsëritjes së asaj që fëmijët duhet të kishin mësuar në shkollën fillore. Kjo përsëritje pothuajse në të gjitha tekstet ekzistuese zgjat 1,5 tremujorë akademikë. Kjo situatë nuk ka lindur rastësisht. Arsyeja e saj është pakënaqësia e mësuesve të matematikës në shkollat e mesme me përgatitjen e maturantëve. Cila është arsyeja e kësaj situate? Për këtë qëllim janë analizuar pesë tekstet më të njohura të matematikës së shkollave fillore sot. Këto janë tekstet shkollore të M.I. Moro, I.I. Arginskaya, N.B. Istomina, L.G. Peterson dhe V.V. Davydova (, , , ,).

Një analizë e këtyre teksteve nxori në pah disa aspekte negative, të pranishme pak a shumë në secilin prej tyre dhe që ndikojnë negativisht në mësimin e mëtejshëm. Para së gjithash, asimilimi i materialit në to bazohet kryesisht në memorizimin. Një shembull i qartë i kësaj është memorizimi i tabelës së shumëzimit. Në shkollën fillore i kushtohet shumë përpjekje dhe kohë për ta mësuar përmendësh. Por gjatë pushimeve verore fëmijët e harrojnë atë. Arsyeja e një harrimi kaq të shpejtë është të mësuarit përmendësh. Hulumtimi nga L.S. Vygotsky tregoi se memorizimi kuptimplotë është shumë më efektiv sesa memorizimi mekanik, dhe eksperimentet e mëvonshme vërtetojnë bindshëm se materiali hyn në kujtesën afatgjatë vetëm nëse mbahet mend si rezultat i punës që korrespondon me këtë material.

Një metodë për të zotëruar në mënyrë efektive tabelën e shumëzimit u gjet në vitet '50. Ai konsiston në organizimin e një sistemi të caktuar ushtrimesh, duke kryer të cilat vetë fëmijët ndërtojnë një tabelë shumëzimi. Megjithatë, kjo metodë nuk zbatohet në asnjë nga tekstet shkollore të rishikuara.

Një tjetër pikë negative që ndikon në edukimin e mëtejshëm është se në shumë raste prezantimi i materialit në tekstet e matematikës së shkollës fillore është i strukturuar në atë mënyrë që në të ardhmen fëmijët do të duhet të rikualifikohen dhe kjo, siç e dimë, është shumë më e vështirë sesa. mësimdhënies. Në lidhje me studimin e materialit algjebrik, një shembull do të ishte zgjidhja e ekuacioneve në shkollën fillore. Në të gjitha tekstet shkollore, zgjidhja e ekuacioneve bazohet në rregullat për gjetjen e përbërësve të panjohur të veprimeve.

Kjo është bërë disi ndryshe vetëm në tekstin shkollor nga L.G. Peterson, ku, për shembull, zgjidhja e ekuacioneve të shumëzimit dhe pjesëtimit bazohet në korrelimin e përbërësve të ekuacionit me brinjët dhe sipërfaqen e një drejtkëndëshi dhe në fund gjithashtu zbret në rregulla, por këto janë rregulla për gjetjen e anës ose sipërfaqes së një drejtkëndësh. Ndërkohë, duke filluar nga klasa e 6-të, fëmijëve u mësohet një parim krejtësisht i ndryshëm për zgjidhjen e ekuacioneve, bazuar në përdorimin e shndërrimeve identike. Kjo nevojë për rimësim çon në faktin se zgjidhja e ekuacioneve është një detyrë mjaft e vështirë për shumicën e fëmijëve.

Duke analizuar tekstet shkollore, kemi hasur edhe në faktin se gjatë paraqitjes së materialit në to shpesh vërehet shtrembërim i koncepteve. Për shembull, formulimi i shumë përkufizimeve jepet në formën e nënkuptimeve, ndërsa nga logjika matematikore dihet se çdo përkufizim është ekuivalencë. Si ilustrim, mund të citojmë përkufizimin e shumëzimit nga libri shkollor i I.I. Arginskaya: "Nëse të gjithë termat në shumë janë të barabartë me njëri-tjetrin, atëherë shtimi mund të zëvendësohet nga një veprim tjetër - shumëzimi." (Të gjithë termat në shumë janë të barabartë me njëri-tjetrin. Prandaj, mbledhja mund të zëvendësohet me shumëzim.) Siç mund ta shihni, ky është një nënkuptim në formën e tij të pastër. Ky formulim nuk është vetëm analfabet nga pikëpamja e matematikës, jo vetëm që krijon gabimisht tek fëmijët idenë se çfarë është përkufizimi, por është edhe shumë i dëmshëm sepse në të ardhmen, për shembull, kur ndërtohet një tabelë shumëzimi, autorët e teksteve përdorin zëvendësimin e produktit me shumën e termave identikë, gjë që formulimi i paraqitur nuk e lejon. Një punë e tillë e gabuar me thënie të shkruara në formën e nënkuptimit formon një stereotip të pasaktë tek fëmijët, i cili do të kapërcehet me shumë vështirësi në mësimet e gjeometrisë, kur fëmijët nuk do të ndjejnë dallimin midis një deklarate të drejtpërdrejtë dhe të kundërt, midis një shenje të figurës dhe pronë e saj. Gabimi i përdorimit të teoremës së anasjelltë gjatë zgjidhjes së problemeve, ndërkohë që është vërtetuar vetëm teorema e drejtpërdrejtë, është shumë i zakonshëm.

Një shembull tjetër i formimit të gabuar të konceptit është puna me relacionin e barazisë fjalë për fjalë. Për shembull, rregullat për shumëzimin e një numri me një dhe një numri me zero në të gjitha tekstet shkollore jepen në formë shkronja: a x 1 = a, a x 0 = 0. Marrëdhënia e barazisë, siç dihet, është simetrike, dhe për këtë arsye, e tillë një shënim parashikon jo vetëm që kur shumëzohet me 1, fitohet i njëjti numër, por gjithashtu që çdo numër mund të përfaqësohet si prodhim i këtij numri dhe një. Megjithatë, formulimi verbal i propozuar në tekstet shkollore pas hyrjes së shkronjave flet vetëm për mundësinë e parë. Ushtrimet për këtë temë synojnë gjithashtu vetëm praktikimin e zëvendësimit të prodhimit të një numri dhe një me këtë numër. E gjithë kjo çon jo vetëm në faktin se një pikë shumë e rëndësishme nuk bëhet objekt i ndërgjegjes së fëmijëve: çdo numër mund të shkruhet në formën e një produkti, i cili në algjebër do të shkaktojë vështirësi përkatëse kur punoni me polinome, por edhe në fakti që fëmijët, në parim, nuk dinë të punojnë drejt me raportin e barazisë. Për shembull, kur punojnë me formulën e ndryshimit të katrorëve, fëmijët, si rregull, përballen me detyrën e faktorizimit të ndryshimit të katrorëve. Megjithatë, ato detyra ku kërkohet veprimi i kundërt shkaktojnë vështirësi në shumë raste. Një tjetër ilustrim i mrekullueshëm i kësaj ideje është puna me ligjin shpërndarës të shumëzimit në lidhje me mbledhjen. Edhe këtu, pavarësisht shkronjave të ligjit, si formulimi verbal i tij ashtu edhe sistemi i ushtrimeve vetëm sa stërvitin aftësinë për të hapur kllapa. Si rezultat, vendosja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave do të shkaktojë vështirësi të konsiderueshme në të ardhmen.

Shumë shpesh në shkollën fillore, edhe kur një përkufizim ose rregull formulohet saktë, të mësuarit stimulohet duke u mbështetur jo tek ata, por në diçka krejtësisht të ndryshme. Për shembull, kur studiojmë tabelën e shumëzimit me 2, të gjitha tekstet e shqyrtuara tregojnë se si të ndërtohet ajo. Në tekstin shkollor M.I. Moro e bëri kështu:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Me këtë metodë të punës, fëmijët do të vërejnë shumë shpejt modelin e serisë së numrave që rezulton.

Pas 3-4 barazive, ata do të ndalojnë së shtuari dyshe dhe do të fillojnë të shkruajnë rezultatin bazuar në modelin që vunë re. Kështu, metoda e ndërtimit të tabelës së shumëzimit nuk do të bëhet objekt i ndërgjegjes së tyre, gjë që do të rezultojë në asimilimin e saj të brishtë.

Kur studiohet materiali në shkollën fillore, mbështetet në veprime objektive dhe qartësi ilustruese, gjë që çon në formimin e të menduarit empirik. Sigurisht, vështirë se është e mundur të bëhet pa një dukshmëri të tillë në shkollën fillore. Por ai duhet të shërbejë vetëm si një ilustrim i këtij apo atij fakti, dhe jo si bazë për formimin e një koncepti. Përdorimi i qartësisë ilustruese dhe veprimeve thelbësore në tekstet shkollore shpesh çon në vetë konceptin "të paqartë". Për shembull, në metodat e matematikës për klasat 1-3, M.I. Moreau thotë se fëmijët duhet të bëjnë ndarje duke renditur objektet në pirgje ose duke bërë një vizatim për 30 mësime. Veprime të tilla humbasin thelbin e operacionit të ndarjes si veprimi i kundërt i shumëzimit. Si rezultat, ndarja mësohet me vështirësinë më të madhe dhe është shumë më e keqe se veprimet e tjera aritmetike.

Kur mësohet matematika në shkollën fillore, nuk flitet për të provuar ndonjë pohim. Ndërkohë, duke kujtuar se sa e vështirë do të jetë të mësosh prova në shkollë të mesme, duhet të fillosh të përgatitesh për këtë që në klasat fillore. Për më tepër, kjo mund të bëhet në material që është mjaft i arritshëm për nxënësit e rinj të shkollës. Një material i tillë, për shembull, mund të jenë rregullat për pjesëtimin e një numri me 1, zero me një numër dhe një numër në vetvete. Fëmijët janë mjaft të aftë t'i vërtetojnë ato duke përdorur përkufizimin e pjesëtimit dhe rregullat përkatëse të shumëzimit.

Materiali i shkollës fillore gjithashtu lejon propedeutikën algjebër - punë me shkronja dhe shprehje shkronjash. Shumica e teksteve shkollore shmangin përdorimin e shkronjave. Si rezultat, fëmijët punojnë pothuajse ekskluzivisht me numra për katër vjet, pas së cilës, natyrisht, është shumë e vështirë t'i mësosh ata të punojnë me shkronja. Sidoqoftë, është e mundur të sigurohet propedeutikë për një punë të tillë, për t'i mësuar fëmijët të zëvendësojnë një numër në vend të një shkronje në një shprehje shkronjash tashmë në shkollën fillore. Kjo është bërë, për shembull, në tekstin shkollor nga L.G. Peterson.

Duke folur për mangësitë e mësimdhënies së matematikës në shkollën fillore, të cilat pengojnë mësimin e mëtutjeshëm, është e nevojshme të theksohet veçanërisht fakti se shpeshherë materiali në tekstet shkollore paraqitet pa parë se si do të funksionojë në të ardhmen. Një shembull shumë i mrekullueshëm i kësaj është organizimi i shumëzimit të të mësuarit me 10, 100, 1000, etj. Në të gjitha tekstet e shqyrtuara, prezantimi i këtij materiali është i strukturuar në atë mënyrë që në mënyrë të pashmangshme çon në formimin në mendjet e fëmijëve të rregullit: “Për të shumëzuar një numër me 10, 100, 1000, etj., duhet për të shtuar aq zero në anën e djathtë sa ka në 10, 100, 1000, etj." Ky rregull është një nga ata që mësohet shumë mirë në shkollën fillore. Dhe kjo çon në një numër të madh gabimesh gjatë shumëzimit të thyesave dhjetore me njësi të plota. Edhe pas kujtimit të rregullit të ri, fëmijët shpesh shtojnë automatikisht një zero në të djathtë të dhjetorit kur shumëzojnë me 10. Përveç kësaj, duhet të theksohet se kur shumëzoni një numër natyror dhe kur shumëzoni një thyesë dhjetore me njësi të plota, në thelb ndodh e njëjta gjë: çdo shifër e numrit zhvendoset djathtas me numrin përkatës të shifrave. Prandaj, nuk ka kuptim t'u mësoni fëmijëve dy rregulla të veçanta dhe plotësisht formale. Është shumë më e dobishme t'u mësoni atyre një mënyrë të përgjithshme për të vepruar kur zgjidhin probleme të ngjashme.

2.1 Krahasimi (kontrasti) i koncepteve në orët e matematikës

Programi aktual parashikon studimin në klasën I të vetëm dy operacioneve të nivelit të parë - mbledhjes dhe zbritjes. Kufizimi i vitit të parë të studimit në vetëm dy operacione është, në thelb, një largim nga ajo që ishte arritur tashmë në tekstet shkollore që u paraprinë atyre aktuale: asnjë mësues i vetëm nuk u ankua kurrë se shumëzimi dhe pjesëtimi, le të themi, brenda 20, ishte përtej aftësitë e nxënësve të klasës së parë. Vlen gjithashtu t'i kushtohet vëmendje faktit që në shkollat e vendeve të tjera, ku arsimi fillon në moshën 6-vjeçare, viti i parë shkollor përfshin njohjen fillestare me të katër veprimet aritmetike. Matematika mbështetet kryesisht në katër veprime dhe sa më shpejt të përfshihen në praktikën e të menduarit të studentit, aq më i qëndrueshëm dhe më i besueshëm do të jetë zhvillimi i mëpasshëm i lëndës së matematikës.

Për të qenë të drejtë, duhet theksuar se në versionet e para të teksteve shkollore të M.I. Sidoqoftë, një aksident e parandaloi çështjen: autorët e programeve të reja u kapën vazhdimisht pas një "risie" - mbulimi në klasën e parë të të gjitha rasteve të mbledhjes dhe zbritjes brenda 100 (37+58 dhe 95-58, etj.). Por, duke qenë se nuk kishte kohë të mjaftueshme për të studiuar një vëllim kaq të zgjeruar informacioni, u vendos që shumëzimi dhe pjesëtimi të zhvendosej plotësisht në vitin e ardhshëm të studimit.

Pra, magjepsja me linearitetin e programit, d.m.th., një zgjerim i pastër sasior i njohurive (veprime të njëjta, por me numër më të madh), mori kohën që i ndahej më parë thellimit cilësor të njohurive (duke studiuar të katër veprimet brenda dy duzina). Studimi i shumëzimit dhe pjesëtimit tashmë në klasën e parë do të thotë një kërcim cilësor në të menduarit, pasi ju lejon të zotëroni proceset e kondensuar të mendimit.

Sipas traditës, studimi i mbledhjes dhe zbritjes brenda 20 ka qenë një temë e veçantë Nevoja për këtë qasje në sistemimin e njohurive është e dukshme edhe nga analiza logjike e pyetjes: fakt është se tabela e plotë për mbledhjen njëshifrore. numrat zhvillohen brenda dy dhjetësheve (0+1= 1, ...,9+9=18). Kështu, numrat brenda 20 formojnë një sistem të plotë marrëdhëniesh në lidhjet e tyre të brendshme; prandaj është e qartë përshtatshmëria e ruajtjes së "Njëzetave" si temë e dytë holistike (tema e parë e tillë janë veprimet brenda dhjetës së parë).

Rasti në diskutim është pikërisht ai ku koncentriciteti (ruajtja e dhjetës së dytë si një temë e veçantë) rezulton të jetë më e dobishme sesa lineariteti (“shpërbërja” e dhjetës së dytë në temën “Njëqind”).

Në librin shkollor të M.I., studimi i dhjetëshes së parë është i ndarë në dy seksione të izoluara: së pari studiohet përbërja e numrave të dhjetëshes së parë dhe në temën tjetër merren parasysh veprimet brenda 10-shit nga P.M. Erdnieva, ndryshe nga kjo, kreu një studim të përbashkët të numërimit, përbërjes së numrave dhe veprimeve (mbledhje dhe zbritje) brenda 10 menjëherë në një seksion. Me këtë qasje, përdoret një studim monografik i numrave, përkatësisht: brenda numrit në shqyrtim (për shembull, 3), e gjithë "matematika e parave të gatshme" kuptohet menjëherë: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 – 1 = 2; 3 – 2 = 1.

Nëse, sipas programeve aktuale, janë ndarë 70 orë për studimin e dhjetë të parëve, atëherë në rastin e trajnimit eksperimental, i gjithë ky material është studiuar në 50 orë (dhe përveç programit, janë konsideruar disa koncepte shtesë që nuk ishin në tekstin e qëndrueshëm, por strukturisht ishin të lidhura me materialin kryesor).

Çështja e klasifikimit të detyrave dhe emrave të llojeve të tyre kërkon vëmendje të veçantë në metodologjinë e trajnimit fillestar. Breza të tëra metodologësh punuan për të përmirësuar sistemin e detyrave të shkollës, për të krijuar llojet dhe varietetet e tyre efektive, deri në përzgjedhjen e termave të suksesshëm për emrat e detyrave të destinuara për studime në shkollë. Dihet se të paktën gjysma e kohës mësimore në orët e matematikës i kushtohet zgjidhjes së tyre. Detyrat e shkollës sigurisht që kanë nevojë për sistemim dhe klasifikim. Çfarë lloj (lloj) detyrash për të studiuar, kur për të studiuar, çfarë lloj problemesh për të studiuar në lidhje me kalimin e një seksioni të veçantë - ky është një objekt legjitim i studimit të metodologjisë dhe përmbajtjes qendrore të programeve. Rëndësia e kësaj rrethane është e qartë nga historia e metodologjisë së matematikës.

Në mjetet mësimore eksperimentale të autorit, vëmendje e veçantë i kushtohet klasifikimit të detyrave dhe shpërndarjes së llojeve dhe varieteteve të tyre të nevojshme për mësimdhënie në një klasë të caktuar. Aktualisht, emrat klasikë të llojeve të problemave (për të gjetur një shumë, një term të panjohur etj.) janë zhdukur edhe nga përmbajtja e një teksti të qëndrueshëm të klasës së parë. Në tekstin e provës P.M. Erdniev, këta emra "funksionojnë": ato janë të dobishme si piketa didaktike jo vetëm për studentin, por edhe për mësuesin. Le të paraqesim përmbajtjen e temës së parë të tekstit provues të matematikës, e cila karakterizohet nga plotësia logjike e koncepteve.

Dhjetë e para

Krahasimi i koncepteve më të larta - më të ulëta, majtas - djathtas, ndërmjet, më të shkurtër - më të gjatë, më të gjerë - më të ngushtë, më të trashë - më të hollë, më të vjetër - më të ri, më tej - më afër, më i ngadalshëm - më i shpejtë, më i lehtë - më i rëndë, pak - shumë.

Studim monografik i numrave të dhjetëshes së parë: emri, emërtimi, krahasimi, vënia e numrave në numërator dhe përcaktimi i numrave në vijën numerike; shenjat: e barabartë (=), jo e barabartë (¹), më e madhe se (>), më e vogël se (<).

Linja të drejta dhe të lakuara; rrethi dhe ovale.

Pika, drejtëza, segmenti, emërtimi i tyre me shkronja; matja e gjatësisë së një segmenti dhe vendosja e segmenteve të një gjatësi të caktuar; emërtimi, emërtimi, ndërtimi, prerja e trekëndëshave të barabartë, shumëkëndëshave të barabartë. Elementet e një shumëkëndëshi: kulmet, brinjët, diagonalet (të shënuara me shkronja).

Studimi monografik i numrave brenda numrit në fjalë:

përbërjen e numrave, mbledhjen dhe zbritjen.

Emrat e përbërësve të mbledhjes dhe zbritjes.

Katër shembuj për mbledhje dhe zbritje:

3 + 2 = 5, 5 - 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 - 3 = 2.

Shembuj të deformuar (me numra dhe shenja që mungojnë):

X + 5 = 7; 6 – X = 4; 6 = 3A2.

Zgjidhja e problemeve për gjetjen e shumës dhe shtesës, ndryshimit, minuendit dhe nëntrahendës. Përpilimi dhe zgjidhja e problemeve reciproke të anasjellta.

Tre detyra: rritja dhe zvogëlimi i një numri me disa njësi dhe krahasimi i ndryshimit. Krahasimi i segmenteve sipas gjatësisë.

Ligji komutativ i shtimit. Një ndryshim në një shumë në varësi të një ndryshimi në një term. Kushti kur shuma nuk ndryshon. Shprehjet më të thjeshta të shkronjave: a + b = b + a, a + 0 = a, a – a = 0.

Hartimi dhe zgjidhja e problemeve të të shprehurit.

Në prezantimin e mëposhtëm do të shqyrtojmë çështjet kryesore të metodologjisë për paraqitjen e këtij seksioni fillestar të matematikës shkollore, duke pasur parasysh se metodologjia për paraqitjen e pjesëve vijuese duhet të jetë në shumë mënyra e ngjashme me procesin e përvetësimit të materialit të temës së parë. .

Që në mësimet e para, mësuesi duhet t'i vendosë vetes synimin që t'i mësojë studentit të përdorë çifte konceptesh, përmbajtja e të cilave zbulohet në procesin e hartimit të fjalive përkatëse me këto fjalë. (Së pari, ne zotërojmë krahasimin në një nivel cilësor, pa përdorur numra.)

Këtu janë shembuj të çifteve më të zakonshme të koncepteve që duhet të përdoren në mësime jo vetëm në matematikë, por edhe në zhvillimin e të folurit:

Më shumë - më pak, më i gjatë - më i shkurtër, më i lartë - më i ulët, më i rëndë - më i lehtë, më i gjerë - më i ngushtë, më i trashë - më i hollë, djathtas - majtas, më tej - më afër, më i vjetër - më i ri, më i shpejtë - më i ngadalshëm, etj.

Kur punoni në çifte të tilla konceptesh, është e rëndësishme të përdorni jo vetëm ilustrime në tekstin shkollor, por edhe vëzhgimet e fëmijëve; kështu, për shembull, nga dritarja e klasës ata shohin se ka një shtëpi matanë lumit dhe formojnë frazat: "Lumi është më afër shkollës sesa shtëpia, dhe shtëpia është më larg nga shkolla se lumi. .”

Lëreni nxënësin të mbajë një libër dhe një fletore në dorë në mënyrë të alternuar. Mësuesi pyet: çfarë është më e rëndë - një libër apo një fletore? Çfarë është më e lehtë? "Një libër është më i rëndë se një fletore dhe një fletore është më e lehtë se një libër."

Pasi rreshtuam studentin më të gjatë dhe më të shkurtër në klasë krah për krah para klasës, ne krijojmë menjëherë dy fraza: "Misha është më i gjatë se Kolya dhe Kolya është më i shkurtër se Misha".

Në këto ushtrime, është e rëndësishme të arrihet një zëvendësim i saktë gramatikor i një gjykimi me një gjykim të dyfishtë: "Një shtëpi prej guri është më e lartë se ajo prej druri, që do të thotë një shtëpi prej druri është më e ulët se ajo prej guri".

Kur njiheni me konceptin "më e gjatë - më e shkurtër", mund të tregoni një krahasim të objekteve në gjatësi duke mbivendosur njërën mbi tjetrën (që është më e gjatë: një stilolaps apo një kuti lapsash?).

Në mësimet e aritmetikës dhe zhvillimit të të folurit, është e dobishme të zgjidhen problemet logjike me qëllimin e mësimdhënies së përdorimit të koncepteve të kundërta: "Kush është më i vjetër: babai apo djali? Kush është më i ri: babai apo djali? Cili ka lindur i pari? Kush është më vonë?

“Krahasoni gjerësinë e një libri dhe një çantë. Çfarë është më e gjerë: një libër apo një çantë? Çfarë është tashmë një libër apo një çantë? Çfarë është më e rëndë: një libër apo një çantë?

Mësimi i procesit të krahasimit mund të bëhet më interesant duke futur të ashtuquajturat ushtrime matricore (tabelore). Një tabelë me katër qeliza është ndërtuar në tabelë dhe shpjegohet kuptimi i koncepteve "kolona" dhe "rresht". Ne prezantojmë konceptet e "kolona e majtë" dhe "kolona e djathtë", "rreshti i sipërm" dhe "rreshti i poshtëm".

Së bashku me nxënësit tregojmë (imitojmë) interpretimin semantik të këtyre koncepteve.

Tregoni kolonën (fëmijët lëvizin dorën nga lart poshtë).

Tregoni kolonën e majtë, kolonën e djathtë (fëmijët tundin krahët dy herë nga lart poshtë).

Trego vijën (lëkundje dorën nga e majta në të djathtë).

Trego vijën e sipërme, vijën fundore (dy valë dore që tregojnë vijën e sipërme, vijën fundore).

Është e nevojshme të sigurohet që studentët të tregojnë me saktësi pozicionin e qelizës: "qeliza e sipërme majtas", "qeliza e poshtme djathtas", etj. Problemi i kundërt zgjidhet menjëherë, përkatësisht: mësuesi tregon një qelizë të tabelës (matricë) , nxënësi jep emrin përkatës të kësaj qelize. Pra, nëse drejtohet një qelizë që ndodhet në kryqëzimin e rreshtit të sipërm dhe kolonës së majtë, atëherë studenti duhet të emërojë: "Qeliza e sipërme majtas". Ushtrime të tilla gradualisht i mësojnë fëmijët me orientimin hapësinor dhe janë të rëndësishme kur studiojnë më pas metodën koordinative të matematikës.

Puna në seritë e numrave ka një rëndësi të madhe për mësimet e para të matematikës fillore.

Është e përshtatshme për të ilustruar rritjen e një serie numrash duke shtuar një nga një duke lëvizur djathtas përgjatë vijës numerike.

Nëse shenja (+) shoqërohet me lëvizjen përgjatë një rreshti numerik djathtas me një, atëherë shenja (-) shoqërohet me lëvizjen mbrapa majtas me një, etj. (Prandaj, ne i tregojmë të dyja shenjat në të njëjtën kohë mësim.)

Duke punuar me serinë e numrave, ne prezantojmë konceptet e mëposhtme: fillimi i serisë së numrave (numri zero) përfaqëson skajin e majtë të rrezes; Numri 1 korrespondon me një segment njësi, i cili duhet të përshkruhet veçmas nga seria e numrave.

Lërini studentët të punojnë në një vijë numerike brenda treshit.

Ne zgjedhim çdo dy numra fqinjë, për shembull 2 dhe 3. Duke lëvizur nga numri 2 në numrin 3, fëmijët arsyetojnë kështu: "Numri 2 pasohet nga numri 3". Duke lëvizur nga numri 3 në numrin 2, ata thonë:

"Numri 3 vjen para numrit 2" ose: "Numri 2 vjen para numrit 3".

Kjo metodë ju lejon të përcaktoni vendin e një numri të caktuar në lidhje me numrat e mëparshëm dhe të mëpasshëm; Është e përshtatshme që menjëherë t'i kushtohet vëmendje relativitetit të pozicionit të numrit, për shembull: numri 3 është njëkohësisht edhe pasues (pas numrit 2) dhe i mëparshëm (para numrit 4).

Kalimet e treguara përgjatë serisë së numrave duhet të shoqërohen me veprimet aritmetike përkatëse.

Për shembull, shprehja "Numri 2 pasohet nga numri 3" përshkruhet simbolikisht si më poshtë: 2 + 1 = 3; megjithatë, është psikologjikisht e dobishme të krijohet menjëherë pas saj lidhja e kundërt e mendimeve, domethënë: shprehja "Para se të vijë numri 3, numri 2" mbështetet nga hyrja: 3 – 1 = 2.

Për të kuptuar vendin e një numri në një seri numrash, duhen bërë pyetje në çift:

1. Cilin numër pason numri 3? (Numri 3 vjen pas numrit 2.) Cilin numër del përpara numri 2? (Numri 2 vjen para numrit 3.)

2. Cili numër vjen pas numrit 2? (Numri 2 pasohet nga numri 3.) Cili numër vjen para numrit 3? (Numri 3 paraprihet nga numri 2.)

3. Mes çfarë numrash ndodhet numri 2? (Numri 2 është midis numrit 1 dhe numrit 3.) Cili numër është midis numrave 1 dhe 3? (Ndërmjet numrave 1 dhe 3 është numri 2.)

Në këto ushtrime, informacioni matematikor përmbahet në fjalët funksionale: para, prapa, ndërmjet.

Është i përshtatshëm për të kombinuar punën me një seri numrash me krahasimin e numrave sipas madhësisë, si dhe krahasimin e pozicionit të numrave në rreshtin numerik. Lidhjet e gjykimeve të natyrës gjeometrike zhvillohen gradualisht: numri 4 është në vijën numerike në të djathtë të numrit 3; kjo do të thotë 4 është më e madhe se 3. Dhe anasjelltas: numri 3 është në vijën numerike në të majtë të numrit 4; kjo do të thotë se numri 3 është më i vogël se numri 4. Kështu vendoset një lidhje midis çifteve të koncepteve: në të djathtë - më shumë, në të majtë - më pak.

Nga sa më sipër, ne shohim një veçori karakteristike të asimilimit të integruar të njohurive: i gjithë grupi i koncepteve që lidhen me mbledhjen dhe zbritjen ofrohen së bashku, në tranzicionet (rikodimet) e tyre të vazhdueshme në njëra-tjetrën.

Mjetet kryesore të zotërimit të marrëdhënieve numerike në tekstin tonë janë shufrat me ngjyra; Është e përshtatshme t'i krahasoni ato sipas gjatësisë, duke përcaktuar se sa qeliza janë më të mëdha ose më të vogla se ato në shiritin e sipërm ose të poshtëm. Me fjalë të tjera, ne nuk e prezantojmë konceptin e "krahasimit të dallimeve të segmenteve" si një temë të veçantë, por studentët njihen me të që në fillim të studimit të numrave të dhjetëshes së parë. Në mësimet kushtuar studimit të dhjetë të parëve, është e përshtatshme të përdorni shufra me ngjyra, të cilat ju lejojnë të kryeni propedeutikë të llojeve kryesore të detyrave për veprimet e fazës së parë.

Le të shohim një shembull.

Lërini dy shufra me ngjyra, të ndara në qeliza, të mbivendosen mbi njëra-tjetrën:

në atë të poshtme - 3 qeliza, në atë të sipërme - 2 qeliza (shih figurën).

Duke krahasuar numrin e qelizave në shiritat e sipërm dhe të poshtëm, mësuesi harton dy shembuj të veprimeve reciproke të anasjellta (2 + 1 = 3, 3 - 1 = 2), dhe zgjidhjet e këtyre shembujve lexohen në çifte në të gjitha mënyrat e mundshme:

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

a) shtoni 1 në 2 - ju merrni 3; a) zbrisni 1 nga 3 - merrni 2;

b) rritni 2 me 1 - merrni 3; b) zvogëloni 3 me 1 - merrni 2;

c) 3 është më shumë se 2 me 1; c) 2 është më e vogël se 3 me 1;

d) 2 po 1 do të jetë 3; d) 3 pa 1 do të jetë 2;

e) shtoni numrin 2 me numrin 1 - e) zbritni numrin 1 nga numri 3 -

rezulton 3. rezulton 2.

Mësues. Nëse 2 shumëzohet me 1, sa do të jetë?

Studenti. Nëse rritni 2 me 1, merrni 3.

Mësues. Tani më thuaj çfarë duhet bërë me numrin 3 për të marrë 2?

Studenti. Zvogëloni 3 me 1 për të marrë 2.

Le të tërheqim vëmendjen këtu për nevojën e këtij dialogu për një zbatim metodikisht kompetent të operacionit të opozitës. ,

Përvetësimi i sigurt i fëmijëve për kuptimin e koncepteve të çiftëzuara (shto - zbrit, rrit - zvogëlohet, më shumë - më pak, po - pa, shto - zbrit) arrihet duke i përdorur ato në një mësim, bazuar në të njëjtin treshe numrash (për shembull, 2+1= =3, 3-1=2), bazuar në një demonstrim - duke krahasuar gjatësitë e dy shufrave.

Ky është ndryshimi themelor midis sistemit metodologjik të konsolidimit të njësive të asimilimit dhe sistemit të studimit të veçantë të këtyre koncepteve themelore, në të cilat konceptet e kundërta të matematikës futen, si rregull, veçmas në praktikën e të folurit të studentëve.

Përvoja mësimore tregon avantazhet e futjes së njëkohshme të çifteve të koncepteve reciprokisht të kundërta, duke filluar që nga mësimet e para të aritmetikës.

Kështu, për shembull, përdorimi i njëkohshëm i tre foljeve: "shtoni" (shtoni 1 në 2), "shtoni" (shtoni numrin 2 me numrin 1), "rris" (2 rriten me 1), të cilat përshkruhen në mënyrë simbolike në mënyrë identike (2+1= 3), i ndihmon fëmijët të mësojnë ngjashmërinë dhe afërsinë e këtyre fjalëve në kuptim (arsyetime të ngjashme mund të kryhen në lidhje me fjalët "zbres", "zbres", "zvogëlo").

Në të njëjtën mënyrë, thelbi i krahasimit të dallimeve mësohet përmes përdorimit të përsëritur të krahasimit të çifteve të numrave që nga fillimi i trajnimit, dhe në secilën pjesë të dialogut në mësim përdoren të gjitha format e mundshme verbale të interpretimit të shembullit të zgjidhur: “Çfarë është më e madhe: 2 apo 3? Sa më shumë është 3 se 2? Sa duhet të shtoni në 2 për të marrë 3? etj. Ndryshimi i formave gramatikore dhe përdorimi i shpeshtë i trajtave pyetëse kanë rëndësi të madhe për përvetësimin e kuptimit të këtyre koncepteve.

Testet afatgjata kanë treguar avantazhet e studimit monografik të dhjetë numrave të parë. Çdo numër i njëpasnjëshëm i nënshtrohet analizës shumëpalëshe, me numërimin e të gjitha opsioneve të mundshme për formimin e tij; brenda këtij numri kryhen të gjitha veprimet e mundshme, përsëritet "e gjithë matematika e disponueshme", përdoren të gjitha format e pranueshme gramatikore të shprehjes së marrëdhënies midis numrave. Sigurisht, me këtë sistem studimi, në lidhje me mbulimin e numrave pasues, shembujt e studiuar më parë përsëriten, domethënë, zgjerimi i serisë së numrave kryhet me përsëritje të vazhdueshme të kombinimeve të konsideruara më parë të numrave dhe llojeve të problemeve të thjeshta. .

2.3 Studim i përbashkët i mbledhjes dhe zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit

Në metodologjinë e matematikës elementare, ushtrimet mbi këto dy veprime zakonisht konsiderohen veçmas. Ndërkohë, duket se është më i preferuar studimi i njëkohshëm i funksionit të dyfishtë “shtim – zbërthim në terma”.

Lërini nxënësit të zgjidhin problemin e mbledhjes: "Shto 1 shkop në tre shkopinj - do të marrë 4 shkopinj." Pas kësaj detyre, menjëherë duhet të bëhet pyetja: "Nga çfarë numrash përbëhet numri 4?" 4 shkopinj përbëhen nga 3 shkopinj (fëmija numëron 3 shkopinj) dhe 1 shkop (ndan edhe 1 shkop).

Ushtrimi fillestar mund të jetë zbërthimi i një numri. Mësuesi pyet: "Nga çfarë numrash përbëhet numri 5?" (Numri 5 përbëhet nga 3 dhe 2.) Dhe menjëherë bëhet një pyetje për të njëjtët numra: "Sa do të merrni nëse shtoni 2 me 3?" (Shtoni 2 në 3 - ju merrni 5.)

Për të njëjtin qëllim, është e dobishme të praktikoni leximin e shembujve në dy drejtime: 5+2=7. Shtoni 2 në 5, merrni 7 (lexoni nga e majta në të djathtë). 7 përbëhet nga termat 2 dhe 5 (lexohen nga e djathta në të majtë).

Është e dobishme të shoqëroni kundërshtimin verbal me ushtrime të tilla në numëratorin e klasës, të cilat ju lejojnë të shihni përmbajtjen specifike të operacioneve përkatëse. Llogaritjet në një numërator janë të domosdoshme si një mjet për të vizualizuar veprimet në numra, dhe madhësia e numrave brenda 10 shoqërohet këtu me gjatësinë e një grupi kockash të vendosura në një tel (kjo gjatësi perceptohet vizualisht nga studenti). Është e pamundur të pajtohesh me një "risi" të tillë kur tekstet dhe programet aktuale kanë braktisur plotësisht përdorimin e numëratorit rus në mësime.

Pra, gjatë zgjidhjes së një shembulli të mbledhjes (5+2=7), studenti fillimisht numëroi 5 pllaka në numërator, pastaj shtoi 2 në to dhe më pas shpalli shumën: "Shto 2 në 5 - merr 7" ( emrin e numrit që rezulton 7, studenti vendos duke rillogaritur totalin e ri: "Një - dy - tre - katër - pesë - gjashtë - shtatë").

Studenti. Shtoni 2 në 5 dhe merrni 7.

Mësues. Tani tregoni nga cilat terma përbëhet numri 7.

Nxënësi (në fillim ndan dy kocka në të djathtë, pastaj flet). Numri 7 përbëhet nga 2 dhe 5.

Gjatë kryerjes së këtyre ushtrimeve, këshillohet që që në fillim të përdorni konceptet "termi i parë" (5), "termi i dytë" (2) dhe "shuma".

Ofrohen këto lloje të detyrave: a) shuma e dy termave është 7; gjeni termat; b) nga çfarë përbërësish përbëhet numri 7?; c) zbërtheje shumën 7 në 2 terma (në 3 terma). etj.

Përvetësimi i një koncepti kaq të rëndësishëm algjebrik si ligji komutativ i mbledhjes kërkon një sërë ushtrimesh, të bazuara fillimisht në manipulime praktike me objekte.

Mësues. Merrni 3 shkopinj në dorën tuaj të majtë dhe 2 në dorën tuaj të djathtë Sa shkopinj janë gjithsej?

Studenti. Gjithsej janë 5 shkopinj.

Mësues. Si mund të them më shumë për këtë?

Studenti. Shtoni 2 shkopinj në 3 shkopinj - do të ketë 5 shkopinj.

Mësues. Hartoni këtë shembull nga numrat e prerë. (Nxënësi bën një shembull: 3+2=5.)

Mësues. Tani ndërroni shkopinjtë: kaloni shkopinjtë në dorën tuaj të majtë në të djathtën tuaj dhe transferoni shkopinjtë nga dora e djathtë në të majtë. Sa shkopinj ka në të dyja duart tani?

Studenti. Gjithsej ishin 5 shkopinj në dy duar, dhe tani janë përsëri 5 shkopinj.

Mësues. Pse ndodhi kjo?

Studenti. Sepse ne nuk lamë asgjë mënjanë dhe nuk shtuam shkopinj sa kishte, aq shumë mbetën.

Mësues. Hartoni shembuj të zgjidhur nga numrat e prerë.

Nxënësi (lë mënjanë: 3+2=5, 2+3=5). Këtu ishte numri 3, dhe tani numri 2. Dhe këtu ishte numri 2, dhe tani numri 3.

Mësues. Ne këmbyem numrat 2 dhe 3, por rezultati mbeti i njëjtë:

5. (Një shembull është bërë nga numrat e ndarë: 3+2=2+3.)

Ligji komutativ mësohet edhe në ushtrimet për zbërthimin e një numri në terma.

Kur të futet ligji komutativ i mbledhjes?

Qëllimi kryesor i shtesës mësimore - tashmë brenda dhjetëshit të parë - është të theksohet vazhdimisht roli i ligjit komutativ në ushtrime.

Lërini fëmijët fillimisht të numërojnë 6 shkopinj; pastaj u shtojmë tre shkopinj dhe me rillogaritje ("shtatë - tetë - nëntë") vendosim shumën: 6 po 3 - do të jetë 9. Është e nevojshme që menjëherë të ofrojmë një shembull të ri: 3 + 6; shuma e re fillimisht mund të përcaktohet përsëri me rillogaritje (d.m.th., në mënyrën më primitive), por gradualisht dhe me qëllim duhet formuluar një metodë zgjidhjeje në një kod më të lartë, pra logjikisht, pa rillogaritje.

Nëse 6 dhe 3 do të jenë 9 (përgjigja përcaktohet me rillogaritje), atëherë 3 dhe 6 (pa rillogaritje!) do të jenë gjithashtu 9!

Me pak fjalë, vetia komutative e mbledhjes duhet të futet që në fillim të ushtrimeve për shtimin e termave të ndryshëm, në mënyrë që kompozimi (shqiptimi) i zgjidhjeve për katër shembuj të bëhet zakon:

6 + 3 = 9, 9 - 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.

Përpilimi i katër shembujve është një mjet për të zgjeruar njohuritë e arritshme për fëmijët.

Ne shohim se një karakteristikë kaq e rëndësishme e operacionit të mbledhjes si ndërrueshmëria e tij nuk duhet të ndodhë herë pas here, por duhet të bëhet mjeti kryesor logjik për forcimin e lidhjeve të sakta numerike. Vetia kryesore e shtimit - ndërrueshmëria e termave - duhet të konsiderohet vazhdimisht në lidhje me akumulimin e rezultateve të reja tabelare në memorie.

Shohim: marrëdhënia e operacioneve më komplekse llogaritëse ose logjike bazohet në një marrëdhënie të ngjashme çiftore (afërsi) të operacioneve elementare përmes të cilave kryhen një palë operacionesh "komplekse". Me fjalë të tjera, kundërshtimi eksplicit i koncepteve komplekse bazohet në kundërshtimin e nënkuptuar (nënndërgjegjeshëm) të koncepteve më të thjeshta.

Këshillohet që studimi fillestar i shumëzimit dhe pjesëtimit të kryhet në sekuencën vijuese të tre cikleve të problemeve (tre detyra në çdo cikël):

I ciklit: a, b) shumëzimi me shumëzues konstant dhe pjesëtimi sipas përmbajtjes (së bashku); c) ndarja në pjesë të barabarta.

Cikli II: a, b) pakësimi dhe rritja e numrit disa herë (së bashku); c) krahasimi i shumëfishtë.

Cikli III: a, b) gjetja e një pjese të një numri dhe e një numri sipas madhësisë së një prej pjesëve të tij (së bashku); c) zgjidhja e problemit: “Cila pjesë është një numër i tjetrit?”

Sistemi metodologjik për studimin e këtyre problemeve është i ngjashëm me atë të përshkruar më sipër për problemet e thjeshta të fazës së parë (mbledhja dhe zbritja).

Studimi i njëkohshëm i shumëzimit dhe pjesëtimit në përmbajtje. Në dy ose tre mësime (jo më shumë!) kushtuar shumëzimit, sqarohet kuptimi i konceptit të shumëzimit si mbledhja e shembur e termave të barabartë (veprimi i pjesëtimit nuk diskutohet ende në këto mësime). Kjo kohë është e mjaftueshme për të studiuar tabelën e shumëzimit të numrit 2 me numra njëshifrorë.

Në mënyrë tipike, nxënësve u tregohet një procesverbal i zëvendësimit të mbledhjes me shumëzim: 2+2+2+2=8; 2*4=8. Këtu lidhja midis mbledhjes dhe shumëzimit shkon në drejtimin mbledhje-shumëzimi. Është e përshtatshme që menjëherë t'u ofrohet studentëve një ushtrim i krijuar për të prodhuar reagime të formës "shumëzimi-shtim" (terma të barabarta): duke parë këtë hyrje, studenti duhet të kuptojë se numri 2 duhet të përsëritet si term aq herë sa faktori në shembull tregon (2*4= 8).

Kombinimi i të dy llojeve të ushtrimeve është një nga kushtet e rëndësishme që siguron asimilimin e ndërgjegjshëm të konceptit të "shumëzimit", që do të thotë shtim i shembur.

Në orën e tretë (ose të katërt, në varësi të klasës), për secilin nga rastet e njohura të shumëzimit, jepet rasti përkatës i pjesëtimit. Në të ardhmen, është e dobishme të konsideroni shumëzimin dhe ndarjen vetëm së bashku në të njëjtat mësime.

Kur prezantoni konceptin e pjesëtimit, është e nevojshme të kujtojmë rastet përkatëse të shumëzimit në mënyrë që, duke u nisur prej tyre, të krijohet koncepti i një veprimi të ri të kundërt me shumëzimin.

Prandaj, koncepti i "shumëzimit" merr një përmbajtje të pasur: ai nuk është vetëm rezultat i shtimit të termave të barabartë ("përgjithësimi i shtimit"), por edhe baza, momenti fillestar i ndarjes, i cili, nga ana tjetër, përfaqëson "zbritja e shembur", duke zëvendësuar "zbritje" vijuese me 2:

Kuptimi i shumëzimit nuk kuptohet aq shumë përmes shumëzimit, por kalimeve të vazhdueshme midis shumëzimit dhe pjesëtimit, pasi pjesëtimi është një shumëzim i mbuluar, "i ndryshuar". Kjo shpjegon pse është e dobishme që më pas të studiohet gjithmonë shumëzimi dhe pjesëtimi në të njëjtën kohë (tabelore dhe jashtëtabelore; si me gojë ashtu edhe me shkrim).

Mësimet e para për studimin e njëkohshëm të shumëzimit dhe pjesëtimit duhet t'i kushtohen përpunimit pedant të vetë operacioneve logjike, të mbështetur në çdo mënyrë të mundshme nga aktivitete praktike të gjera në mbledhjen dhe shpërndarjen e objekteve të ndryshme (kube, kërpudha, shkopinj, etj.), por sekuenca e veprimeve të detajuara duhet të mbetet e njëjtë.

Rezultati i kësaj pune do të jetë tabelat e shumëzimit dhe pjesëtimit të shkruara krah për krah:

2*2=4, 4:2=2,

2*3=6, 6: 2=3,

2*4=8, 8: 2=4,

2*5 = 10, 10: 2 = 5, etj.

Kështu, tabela e shumëzimit ndërtohet duke përdorur një shumëzues konstant, dhe tabela e pjesëtimit ndërtohet duke përdorur një pjesëtues konstant.

Është gjithashtu e dobishme t'u ofrohet nxënësve, të çiftëzuar me këtë detyrë, një ushtrim strukturor i kundërt mbi kalimin nga pjesëtimi në zbritje të nënndarjeve të barabarta.

Në ushtrimet e përsëritjes është e dobishme të ofrohen detyra të këtij lloji: 14:2==.

Studimi i ndarjes në pjesë të barabarta. Pasi shumëzimi i numrit 2 dhe pjesëtimi me 2 janë studiuar ose përsëritur së bashku, koncepti i "ndarjes në pjesë të barabarta" (lloji i tretë i problemit të ciklit të parë) futet në njërën nga mësimet.

Konsideroni problemin: “Katër nxënës sollën 2 fletore. Sa fletore ke sjellë?"

Mësuesi shpjegon: merr 2 4 herë - merr 8. (Shfaqet hyrja: 2 * 4 = 8.) Kush do ta shkruajë problemin e anasjelltë?

Dhe një përgjithësim i përvojës së mësuesve gjatë zhvillimit të mësimeve të matematikës për këtë temë. Puna e kursit përbëhet nga një hyrje, dy kapituj, një përfundim dhe një listë referencash. Kapitulli I. Karakteristikat metodologjike të studimit të zonës së figurave gjeometrike dhe njësive të saj matëse në mësimet e matematikës në shkollën fillore 1.1 Karakteristikat e lidhura me moshën e zhvillimit të nxënësve të rinj në fazën e formimit të koncepteve gjeometrike ...

Ende nuk i ndriçon problemet. Meqenëse çështja e metodave të mësimdhënies për transformimin e detyrave është mbuluar në masën më të vogël, ne do të vazhdojmë ta studiojmë atë. Kapitulli II. Metodologjia për transformimin e problemit të mësimdhënies. 2.1. Problemet e transformimit në mësimet e matematikës në shkollën fillore. Duke qenë se ka shumë pak literaturë të specializuar në lidhje me transformimin e detyrave, vendosëm të bëjmë një anketë mes mësuesve...

Kur mësoni një material të ri, rekomandohet të strukturoni një mësim në atë mënyrë që puna të fillojë me një sërë demonstrimesh të kryera nga mësuesi ose studenti. Përdorimi i mjeteve vizuale në mësimet e matematikës gjatë studimit të materialit gjeometrik u lejon fëmijëve të zotërojnë me vendosmëri dhe vetëdije të gjitha çështjet e programit. Gjuha e matematikës është një gjuhë simbolesh, shenjash konvencionale, vizatime, gjeometrike...

Leksioni 8. Metodat e studimit të materialit algjebrik.

Leksioni 7. Koncepti i perimetrit të një shumëkëndëshi

1. Metodologjia e shqyrtimit të elementeve të algjebrës.

2. Barazitë dhe pabarazitë numerike.

3. Përgatitja për t'u njohur me variablin. Elementet e simboleve të shkronjave.

4. Pabarazitë me një ndryshore.

5. Ekuacioni

1. Futja e elementeve të algjebrës në kursin fillestar të matematikës lejon që nga fillimi i trajnimit të kryhet një punë sistematike që synon të zhvillojë tek fëmijët koncepte të tilla të rëndësishme matematikore si: shprehja, barazia, pabarazia, ekuacioni. Njohja me përdorimin e një shkronje si simbol që tregon ndonjë numër nga fusha e numrave të njohur për fëmijët krijon kushte për përgjithësimin e shumë pyetjeve të teorisë aritmetike në kursin fillestar dhe është një përgatitje e mirë për t'i njohur fëmijët në të ardhmen me konceptet në variabël funksionesh. Njohja e hershme me përdorimin e metodës algjebrike të zgjidhjes së problemeve bën të mundur që të bëhen përmirësime serioze në të gjithë sistemin e mësimit të fëmijëve për të zgjidhur një sërë problemesh fjalësh.

Detyrat: 1. Zhvilloni aftësinë e nxënësve për të lexuar, shkruar dhe krahasuar shprehjet numerike.2. Njoftoni nxënësit me rregullat për kryerjen e renditjes së veprimeve në shprehjet numerike dhe zhvilloni aftësinë për të llogaritur vlerat e shprehjeve në përputhje me këto rregulla.3. Të zhvillojë te nxënësit aftësinë për të lexuar, për të shkruar shprehje shkronjash dhe për të llogaritur kuptimet e tyre duke pasur parasysh kuptimet e shkronjave.4. Të njohë studentët me ekuacionet e shkallës 1, që përmbajnë veprimet e fazës së parë dhe të dytë, të zhvillojë aftësinë për t'i zgjidhur ato duke përdorur metodën e përzgjedhjes, si dhe në bazë të njohurive për marrëdhëniet midis komponentëve m/y dhe rezultat i veprimeve aritmetike.

Programi i shkollës fillore parashikon njohjen e nxënësve me përdorimin e simboleve të shkronjave, zgjidhjen e ekuacioneve elementare të shkallës së parë me një të panjohur dhe zbatimin e tyre në probleme në një veprim. Këto pyetje studiohen në lidhje të ngushtë me materialin aritmetik, i cili kontribuon në formimin e numrave dhe veprimeve aritmetike.

Që në ditët e para të trajnimit fillon puna për zhvillimin e koncepteve të barazisë mes studentëve. Fillimisht, fëmijët mësojnë të krahasojnë shumë objekte, të barazojnë grupet e pabarabarta dhe të shndërrojnë grupet e barabarta në të pabarabarta. Tashmë kur studioni një duzinë numrash, futen ushtrime krahasimi. Së pari, ato kryhen me mbështetje në objekte.

Koncepti i shprehjes formohet tek nxënësit e rinj të shkollës në lidhje të ngushtë me konceptet e operacioneve aritmetike. Metodologjia për të punuar në shprehje përfshin dy faza. Në 1, formohet koncepti i shprehjeve më të thjeshta (shuma, ndryshimi, prodhimi, herësi i dy numrave) dhe në 2, për shprehjet komplekse (shuma e një produkti dhe një numri, ndryshimi i dy herësve, etj.) . Prezantohen termat “shprehje matematikore” dhe “vlera e një shprehjeje matematikore” (pa përkufizime). Pasi regjistron disa shembuj në një veprimtari, mësuesi/ja informon se këta shembuj quhen ndryshe shprehje metamatematikore. Gjatë studimit të veprimeve aritmetike, përfshihen ushtrime për krahasimin e shprehjeve, ato ndahen në 3 grupe. Studimi i rregullores. Qëllimi në këtë fazë është, bazuar në aftësitë praktike të nxënësve, të tërheqë vëmendjen e tyre në radhën e kryerjes së veprimeve në shprehje të tilla dhe të formulojë një rregull të përshtatshëm. Nxënësit zgjidhin në mënyrë të pavarur shembuj të përzgjedhur nga mësuesi dhe shpjegojnë rendin me të cilin kanë kryer veprimet në secilin shembull. Më pas, ata e formulojnë vetë përfundimin ose e lexojnë atë nga një libër shkollor. Një transformim identik i një shprehjeje është zëvendësimi i një shprehjeje të caktuar me një tjetër, vlera e së cilës është e barabartë me vlerën e shprehjes së dhënë. Nxënësit kryejnë shndërrime të tilla shprehjesh, duke u mbështetur në vetitë e veprimeve aritmetike dhe pasojat që rrjedhin prej tyre (si t'i shtojmë një shumë një numri, si të zbresim një numër nga një shumë, si të shumëzojmë një numër me një produkt, etj. ). Kur studiojnë çdo veti, nxënësit binden se në shprehjet e një lloji të caktuar veprimet mund të kryhen në mënyra të ndryshme, por kuptimi i shprehjes nuk ndryshon.

2. Shprehjet numerike konsiderohen qysh në fillim në lidhje të pazgjidhshme me të barabarta dhe të pabarabarta numerike. Barazitë dhe pabarazitë numerike ndahen në "të vërteta" dhe "të pasakta". Detyrat: krahasoni numrat, krahasoni shprehjet aritmetike, zgjidhni inekuacione të thjeshta me një të panjohur, lëvizni nga pabarazia në barazi dhe nga barazia në pabarazi.

1. Një ushtrim që synon të qartësojë njohuritë e nxënësve për veprimet aritmetike dhe zbatimin e tyre. Kur i njohim nxënësit me veprimet aritmetike, krahasohen shprehjet e formës 5+3 dhe 5-3; 8*2 dhe 8/2. Shprehjet krahasohen fillimisht duke gjetur vlerat e secilës dhe duke krahasuar numrat që rezultojnë. Në të ardhmen, detyra kryhet bazuar në faktin se shuma e dy numrave është më e madhe se diferenca e tyre, dhe prodhimi është më i madh se herësi i tyre; llogaritja përdoret vetëm për të kontrolluar rezultatin. Krahasimi i shprehjeve të formës 7+7+7 dhe 7*3 kryhet për të konsoliduar njohuritë e nxënësve për lidhjen midis mbledhjes dhe shumëzimit.

Gjatë procesit të krahasimit nxënësit njihen me radhën e kryerjes së veprimeve aritmetike. Së pari, marrim parasysh shprehjet që përmbajnë kllapa të formës 16 - (1+6).

2. Pas kësaj merret parasysh radha e veprimeve në shprehjet pa kllapa që përmbajnë veprime një dhe dy shkallë. Nxënësit i mësojnë këto kuptime ndërsa plotësojnë shembujt. Së pari, merret parasysh rendi i veprimeve në shprehjet që përmbajnë veprime të një niveli, për shembull: 23 + 7 - 4, 70: 7 * 3. Në të njëjtën kohë, fëmijët duhet të mësojnë se nëse shprehjet përmbajnë vetëm mbledhje dhe zbritje ose vetëm shumëzim dhe pjesëtimi, pastaj ato ekzekutohen sipas radhës në të cilën janë shkruar. Më pas, prezantohen shprehjet që përmbajnë veprime të të dy fazave. Njoftohen nxënësit se në shprehje të tilla fillimisht duhet të kryejnë veprimet e shumëzimit dhe pjesëtimit sipas renditjes, e më pas mbledhjes dhe zbritjes, p.sh.: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. Për të bindur studentët për rëndësinë ekstreme të ndjekjes së renditjes së veprimeve, është e dobishme t'i kryeni ato në të njëjtën shprehje në një sekuencë të ndryshme dhe të krahasoni rezultatet.

3. Ushtrime në të cilat nxënësit mësojnë dhe konsolidojnë njohuritë për marrëdhëniet ndërmjet komponentëve dhe rezultateve të veprimeve aritmetike. Οʜᴎ përfshihen tashmë kur studiohen numrat dhjetë.

Në këtë grup ushtrimesh, nxënësit njihen me rastet e ndryshimeve në rezultatet e veprimeve bazuar në një ndryshim në një nga komponentët. Krahasohen shprehjet në të cilat njëri prej termave është ndryshuar (6+3 dhe 6+4) ose zvogëlohet 8-2 dhe 9-2 etj. Detyra të ngjashme përfshihen edhe gjatë studimit të shumëzimit dhe pjesëtimit të tabelave dhe kryhen duke përdorur llogaritjet (5*3 dhe 6*3, 16:2 dhe 18:2), etj. Në të ardhmen, ju mund t'i krahasoni këto shprehje pa u mbështetur në llogaritjet.

Ushtrimet e marra në shqyrtim janë të lidhura ngushtë me materialin e programit dhe kontribuojnë në asimilimin e tij. Së bashku me këtë, në procesin e krahasimit të numrave dhe shprehjeve, studentët marrin idetë e tyre të para për barazinë dhe pabarazinë.

Pra, në klasën e parë, ku termat "barazi" dhe "pabarazi" nuk përdoren ende, mësuesi mund, kur kontrollon korrektësinë e llogaritjeve të kryera nga fëmijët, të bëjë pyetje në formën e mëposhtme: "Kolya shtoi tetë në gjashtë dhe mori 15. A është kjo zgjidhje e saktë apo e gabuar?”, ose sugjeroni për fëmijët, ushtrime në të cilat duhet të kontrolloni zgjidhjen e shembujve të dhënë, të gjeni shënimet e sakta etj. Në mënyrë të ngjashme, kur merren parasysh pabarazitë numerike të formës 5<6,8>4 dhe më komplekse, mësuesi mund të bëjë një pyetje në formën e mëposhtme: "A janë të sakta këto shënime?" dhe pasi të paraqesë një pabarazi - "A janë të vërteta këto pabarazi?"

Duke filluar nga klasa e parë, fëmijët njihen me shndërrimet e shprehjeve numerike, të cilat kryhen në bazë të zbatimit të elementeve të studiuara të teorisë aritmetike (numërimi, kuptimi i veprimeve etj.). Për shembull, bazuar në njohuritë për numërimin dhe vendvlerën e numrave, studentët mund të paraqesin çdo numër si shumën e pjesëve vendore të tij. Kjo aftësi përdoret kur merren parasysh transformimet e shprehjes në lidhje me shprehjen e shumë teknikave llogaritëse.

Në lidhje me transformime të tilla, tashmë në klasën e parë, fëmijët ndeshen me një “zinxhir” barazish.

Leksioni 8. Metodat e studimit të materialit algjebrik. - koncepti dhe llojet. Klasifikimi dhe veçoritë e kategorisë “Ligjërata 8. Metodat e studimit të materialit algjebrik”. 2017, 2018.

(8 orë)

Plani:

1. Qëllimet e studimit të materialit algjebrik në klasat fillore.

2. Vetitë e veprimeve aritmetike të studiuara në shkollën fillore.

3. Studimi i shprehjeve numerike dhe rregullave për rendin e veprimeve:

Një porosi pa kllapa;

Rendi i njëjtë me kllapa;

Shprehje pa kllapa, duke përfshirë 4 veprime aritmetike, me kllapa.

4. Analiza e barazive dhe pabarazive numerike të studiuara në klasat fillore (krahasimi i dy numrave, një numri dhe një shprehje numerike, dy shprehje numerike).

5. Prezantimi i simboleve alfabetike me një ndryshore.

6. Metodologjia për studimin e ekuacioneve:

a) jepni përkufizimin e një ekuacioni (nga leksionet për matematikën dhe nga një tekst matematikor për shkollën fillore),

b) të nxjerrë në pah qëllimin dhe përmbajtjen e konceptit,

c) çfarë metode (abstrakt-deduktive apo konkrete-induktive) do ta prezantoni këtë koncept? Përshkruani hapat kryesorë të punës në një ekuacion.

Plotësoni detyrat:

1. Shpjegoni këshillueshmërinë e përdorimit të pabarazive me një ndryshore në klasat fillore.

2. Përgatitni një mesazh për mësimin për mundësinë e zhvillimit të propedeutikës funksionale te nxënësit (nëpërmjet lojës, nëpërmjet studimit të pabarazive).

3. Përzgjidhni detyra që nxënësit të plotësojnë vetitë thelbësore dhe jo thelbësore të konceptit të "ekuacionit".

1. Abramova O.A., Moro M.I. Zgjidhja e ekuacioneve // Shkolla fillore. – 1983. - Nr.3. – fq 78-79.

2. Ymanbekova P. Mjetet e vizualizimit në formimin e konceptit të "barazisë" dhe "pabarazisë" // Shkolla fillore. – 1978. – Nr.11. – F. 38-40.

3. Shchadrova I.V. Për rendin e veprimeve në një shprehje aritmetike // Shkolla fillore. – 2000. - Nr.2. – fq 105-107.

4. Shikhaliev Kh.Sh. Një qasje e unifikuar për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive // Shkolla fillore. – 1989. - Nr.8. – fq 83-86.

5. Nazarova I.N. Njohja me varësinë funksionale në mësimdhënien e zgjidhjes së problemeve // Shkolla fillore. – 1989. - Nr.1. – fq 42-46.

6. Kuznetsova V.I. Rreth disa gabimeve tipike të studentëve në lidhje me çështjet e propedeutikës algjebrike // Shkolla fillore. – 1974. - Nr.2. - F. 31.

Karakteristikat e përgjithshme të metodologjisë së studimit

material algjebrik

Futja e materialit algjebrik në kursin fillestar të matematikës ndihmon në përgatitjen e studentëve për të studiuar konceptet bazë të matematikës moderne, për shembull, si "ndryshore", "ekuacion", "pabarazi" etj., dhe kontribuon në zhvillimin e të menduarit funksional. te fëmijët.

Konceptet kryesore të temës janë "shprehje", "barazi", "pabarazi", "ekuacion".

Termi "ekuacion" futet gjatë studimit të temës "Mijë", por puna përgatitore për njohjen e studentëve me ekuacionet fillon në klasën e parë. Termat “shprehje”, “kuptim i shprehjes”, “barazi”, “pabarazi” përfshihen në fjalorin e nxënësve duke filluar nga klasa e dytë. Koncepti i “zgjidhjes së pabarazisë” nuk është futur në shkollën fillore.

Shprehje numerike

Në matematikë, një shprehje kuptohet si një konstante, sipas rregullave të caktuara, sekuencë e simboleve matematikore që tregojnë numra dhe veprime mbi to. Shembuj shprehjesh: 7; 5 + 4; 5 (3 + V); 40: 5 + 6, etj.

Shprehje si 7; 5 + 4; 10: 5 + 6; (5 + 3) 10 quhen shprehje numerike, në ndryshim nga shprehjet e formës 8 - A; (3 + V); 50: për të, të quajtura shprehje literale ose të ndryshueshme.

Objektivat e studimit të temës

2. Të njohë studentët me rregullat për rendin e kryerjes së veprimeve me numra dhe, në përputhje me to, të zhvillojë aftësinë për të gjetur vlerat numerike të shprehjeve.

3. Prezantoni nxënësit me transformime identike të shprehjeve bazuar në veprime aritmetike.

Në metodologjinë për njohjen e nxënësve të shkollave fillore me konceptin e një shprehjeje numerike, mund të dallohen tre faza, të cilat përfshijnë njohjen me shprehjet që përmbajnë:

Një veprim aritmetik (faza I);

Dy ose më shumë veprime aritmetike të një faze (faza II);

Dy ose më shumë veprime aritmetike të niveleve të ndryshme (faza III).

Nxënësit njihen me shprehjet më të thjeshta - shumën dhe ndryshimin - në klasën 1 (kur studiojnë mbledhjen dhe zbritjen brenda 10); me prodhimin dhe herësin e dy numrave - në klasën II.

Tashmë gjatë studimit të temës "Dhjetë", emrat e veprimeve aritmetike, termat "shtoj", "shuma", "minuend", "nëntrahend", "ndryshim" futen në fjalorin e studentëve. Përveç terminologjisë, ata duhet të mësojnë edhe disa elemente të simbolikës matematikore, në veçanti shenjat e veprimit (plus, minus); ata duhet të mësojnë të lexojnë dhe shkruajnë shprehje të thjeshta matematikore të formës 5 + 4 (shuma e numrave "pesë" dhe "katër"); 7 - 2 (ndryshimi midis numrave "shtatë" dhe "dy").

Nxënësit fillimisht njihen me termin "shumë" në kuptimin e një numri që rezulton nga veprimi i mbledhjes dhe më pas në kuptimin e një shprehjeje. Teknika e zbritjes së formës 10 – 7, 9 – 6 etj. bazohet në njohuritë për marrëdhëniet midis mbledhjes dhe zbritjes. Prandaj, është e nevojshme t'i mësoni fëmijët të paraqesin një numër (të zvogëluar) si shuma e dy termave (10 është shuma e numrave 7 dhe 3; 9 është shuma e numrave 6 dhe 3).

Fëmijët njihen me shprehjet që përmbajnë dy ose më shumë veprime aritmetike në vitin e parë të arsimit kur zotërojnë teknikat llogaritëse ± 2, ± 3, ± 1. Ata zgjidhin shembuj të formës 3 + 1 + 1, 6 – 1 – 1. , 2 + 2 + 2 etj. Duke llogaritur, për shembull, vlerën e shprehjes së parë, nxënësi shpjegon: “Shto një në tre, merr katër, shto një me katër, merr pesë.” Zgjidhja e shembujve të formës 6 - 1 - 1, etj. shpjegohet në mënyrë të ngjashme. Kështu, nxënësit e klasës së parë po përgatiten gradualisht të nxjerrin rregullin për rendin e kryerjes së veprimeve në shprehjet që përmbajnë veprime të një niveli. përgjithësuar në klasën II.

Në klasën I, fëmijët praktikisht do të zotërojnë një rregull tjetër për rendin e kryerjes së veprimeve, përkatësisht kryerjen e veprimeve në shprehjet e formës 8 - (4 + 2); (6 - 2) + 3, etj.

Përgjithësohen njohuritë e nxënësve për rregullat për rendin e kryerjes së veprimeve dhe futet një rregull tjetër për radhën e veprimeve në shprehjet që nuk kanë kllapa dhe përmbajnë veprime aritmetike të niveleve të ndryshme: mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim.

Kur njiheni me rregullin e ri për rendin e veprimeve, puna mund të organizohet në mënyra të ndryshme. Ju mund t'i ftoni fëmijët të lexojnë rregullin nga libri shkollor dhe ta zbatojnë atë kur llogaritni vlerat e shprehjeve përkatëse. Ju gjithashtu mund t'u kërkoni nxënësve të llogarisin, për shembull, vlerën e shprehjes 40 – 10: 2. Përgjigjet mund të jenë të ndryshme: për disa vlera e shprehjes do të jetë e barabartë me 15, për të tjerët do të jetë 35.

Pas kësaj mësuesi shpjegon: “Për të gjetur vlerën e një shprehjeje që nuk ka kllapa dhe përmban veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit, duhet të kryeni me radhë (nga e majta në të djathtë) fillimisht veprimet e shumëzimit dhe pjesëtimi, dhe më pas (gjithashtu nga e majta në të djathtë) mbledhje dhe zbritje. Në këtë shprehje, së pari duhet të ndani 10 me 2, dhe më pas të zbritni rezultatin që rezulton 5 nga 40. Vlera e shprehjes është 35.

Nxënësit e shkollave fillore në fakt njihen me transformime identike të shprehjeve.

Shndërrim identik i shprehjeve është zëvendësimi i një shprehjeje të dhënë me një tjetër, vlera e së cilës është e barabartë me vlerën e dhënë (termi dhe përkufizimi nuk u jepet nxënësve të shkollave fillore).

Nxënësit ndeshen me shndërrimin e shprehjeve nga klasa e I-rë në lidhje me studimin e vetive të veprimeve aritmetike. Për shembull, kur zgjidhin shembuj të formës 10 + (50 + 3) në një mënyrë të përshtatshme, fëmijët arsyetojnë kështu: "Është më e përshtatshme të shtoni dhjetëra me dhjetëra dhe të shtoni 3 njësi në rezultatin që rezulton 60. Unë do ta shkruaj: 10 (50 + 3) = (10 + 50) + 3 = 63."

Kur kryejnë një detyrë në të cilën duhet të mbarojnë së shkruari: (10 + 7) · 3 = 10 · 3 + 7 · 3 ..., fëmijët shpjegojnë: "Në të majtë, shumohet shuma e numrave 10 dhe 7. me numrin 3, në të djathtë, termi i parë 10 i kësaj shume shumëzohet me numrin 3; Në mënyrë që shenja "e barabartë" të ruhet, termi i dytë 7 duhet gjithashtu të shumëzohet me numrin 3 dhe produktet që rezultojnë të shtohen. Do ta shkruaj kështu: (10 + 7) 3 = 10 3 + 7 3."

Gjatë transformimit të shprehjeve, nxënësit ndonjëherë bëjnë gabime të formës (10 + 4) · 3 = - 10 · 3 + 4. Arsyeja e këtyre llojeve të gabimeve lidhet me përdorimin e gabuar të njohurive të marra më parë (në këtë rast, duke përdorur rregulli i shtimit të një numri në shumën kur zgjidhet një shembull, ku shuma duhet të shumëzohet me një numër). Për të parandaluar gabime të tilla, ju mund t'u ofroni studentëve detyrat e mëposhtme:

a) Krahasoni shprehjet e shkruara në anën e majtë të barazimeve. Si ngjajnë dhe si ndryshojnë? Shpjegoni se si i keni llogaritur vlerat e tyre:

(10 + 4) + 3 = 10 + (4 + 3) = 10 + 7 = 17

(10 + 4) 3 = 10 3 + 4 3 = 30 + 12 = 42

b) Plotësoni vendet bosh dhe gjeni rezultatin:

(20 + 3) + 5 = 20 + (3 + ð); (20 + 3) 5 = 20 ð + 3 ð.

c) Krahasoni shprehjet dhe vendosni një shenjë > ndërmjet tyre,< или =:

(30 + 4) + 2 … 30 + (4 + 2); (30 + 4) + 2 … 30 2 + 4 2.

d) Kontrolloni me llogaritje nëse barazitë e mëposhtme janë të vërteta:

8 3 + 7 3 = (8 + 7) 3; 30 + (5 + 7) = 30 + 7.

Shprehje fjalë për fjalë

Në klasat fillore, parashikohet të kryhen - në lidhje të ngushtë me studimin e veprimeve numerike dhe aritmetike - punë përgatitore për të zbuluar kuptimin e një ndryshoreje. Për këtë qëllim, tekstet e matematikës përfshijnë ushtrime në të cilat një ndryshore tregohet me një "dritare". Për shembull, ð< 3, 6 < ð, ð + 2 = 5 и др.

Këtu është e rëndësishme të inkurajoni studentët që të përpiqen të zëvendësojnë jo një, por disa numra me radhë, në "dritare", duke kontrolluar çdo herë nëse hyrja është e saktë.

Pra, në rastin р< 3 в «окошко» можно подставить числа 0, 1, 2,; в случае 6 < ð - числа 7, 8, 9, 10, 20 и др.; в случае ð + 2 = 5 можно подставить только число 3.

Për të thjeshtuar programin e matematikës për klasat fillore dhe për të siguruar aksesueshmërinë e tij, simbolet e shkronjave nuk përdoren si një mjet për përgjithësimin e njohurive aritmetike. Të gjitha emërtimet e shkronjave zëvendësohen me formulime verbale.

Për shembull, në vend të detyrës

Detyra propozohet në formën e mëposhtme: “Rritje numrin 3 me 4 herë; 5 herë; 6 herë; ..."

Barazitë dhe pabarazitë

Njohja e nxënësve të shkollave fillore me barazitë dhe pabarazitë përfshin zgjidhjen e problemeve të mëposhtme:

Mësoni të vendosni marrëdhënien "më shumë se", "më pak se" ose "e barabartë me" midis shprehjeve dhe shkruani rezultatet e krahasimit duke përdorur një shenjë;

Metodologjia për zhvillimin e ideve për barazitë dhe pabarazitë numerike midis nxënësve të rinj të shkollës përfshin fazat e mëposhtme të punës.

Në fazën I, para së gjithash në javën e shkollës, nxënësit e klasës së parë kryejnë ushtrime për të krahasuar grupe objektesh. Këtu është më e këshillueshme të përdoret teknika e krijimit të një korrespondence një-për-një. Në këtë fazë, rezultatet e krahasimit nuk janë shkruar ende duke përdorur shenjat e duhura të lidhjes.

Në fazën II, nxënësit krahasojnë numrat, duke u mbështetur fillimisht në qartësinë objektive, dhe më pas në vetinë e numrave në serinë natyrore, sipas së cilës, nga dy numra të ndryshëm, numri më i madh quhet më vonë gjatë numërimit dhe numri më i vogël quhet. më herët. Fëmijët regjistrojnë marrëdhëniet e krijuara në këtë mënyrë duke përdorur shenja të përshtatshme. Për shembull, 3 > 2, 2< 3. В дальнейшем при изучении нумерации (в концентрах «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа») для сравнения чисел полезно применять два способа, а именно устанавливать отношения между числами: 1) по месту их расположения в натуральном ряду; 2) на основе сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высших разрядов. Например, 826 < 829, так как сотен и десятков в этих числах поровну, а единиц в первом числе меньше, чем во втором.

Mund të krahasoni edhe vlerat: 4 dm 5 cm > 4 dm 3 cm, pasi ka më shumë decimetra se në të dytin. Për më tepër, vlerat fillimisht mund të shprehen në njësi të një matjeje dhe vetëm më pas të krahasohen: 45 cm > 43 cm.

Ushtrime të ngjashme prezantohen tashmë kur studiojmë mbledhjen dhe zbritjen brenda 10. Është e dobishme t'i kryejmë ato në bazë të qartësisë, për shembull: nxënësit shtrojnë katër rrathë në tavolinat e tyre në të majtë dhe katër trekëndësha në të djathtë. Rezulton se ka një numër të barabartë figurash - katër secila. Shkruani barazinë: 4 = 4. Më pas fëmijët u shtojnë një rreth figurave në të majtë dhe shkruajnë shumën 4 + 1. Në të majtë ka më shumë shifra sesa në të djathtë, që do të thotë 4 + 1 > 4.

Duke përdorur teknikën e ekuacionit, nxënësit kalojnë nga pabarazia në barazi. Për shembull, 3 kërpudha dhe 4 ketra vendosen në një kanavacë radhitjeje. Për të pasur një numër të barabartë kërpudhash dhe ketrash, mund të: 1) shtoni një kërpudha (atëherë do të jenë 3 kërpudha dhe 3 ketra).

Në kanavacën e radhitjes janë 5 makina dhe 5 kamionë. Për të pasur më shumë makina se të tjerat, mund: 1) të hiqni një (dy, tre) makina (makinë ose kamion) ose 2) të shtoni një (dy, tre) makina.

Gradualisht, kur krahasojnë shprehjet, fëmijët kalojnë nga mbështetja në vizualizim në krahasimin e kuptimeve të tyre. Kjo metodë është më e rëndësishmja në shkollën fillore. Kur krahasojnë shprehjet, studentët mund të mbështeten edhe në njohuritë për: a) marrëdhënien midis përbërësve dhe rezultatit të një veprimi aritmetik: 20 + 5 * 20 + 6 (shuma e numrave 20 dhe 5 është shkruar në të majtë, shuma e numrave 20 dhe 6 në të djathtë Kushtet e para të këtyre shumave janë të njëjta, termi i dytë i shumës në të majtë është më i vogël se termi i dytë i shumës në të djathtë, që do të thotë shuma në të majtë. është më pak se shuma në të djathtë: 20 + 5< 20 + 6); б) отношение между результатами и компонентами арифметических действий: 15 + 2 * 15 (слева и справа сначала было поровну – по 15. Затем к 15 прибавили 2, стало больше, чем 15); в) смысла действия умножения: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 * 5 · 3 (слева число 5 взяли слагаемым 5 раз, справа число 5 взяли слагаемым 3 раза, значит, сумма слева будет больше, чем справа: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 >5 + 5 + 5); d) vetitë e veprimeve aritmetike: (5 + 2) · 3 * 5 · 3 + 2 · 3 (në të majtë, shuma e numrave 5 dhe 2 shumëzohet me numrin 3, në të djathtë prodhimet e secilit Shtesa me numrin 3 gjenden dhe shtohen Kjo do të thotë se në vend të një ylli, mund të vendosni shenjën e barazimit: (5 + 2) 3 = 5 3 + 2 3.

Në këto raste, llogaritjet e vlerave të shprehjes përdoren për të kontrolluar korrektësinë e shenjës. Për të regjistruar pabarazitë me një ndryshore në klasat fillore, përdoret një "dritare": 2 > ð, ð = 5, ð > 3.

Është e dobishme të kryhen ushtrimet e para të këtij lloji në bazë të një serie numrash, duke u kthyer në të cilën nxënësit vërejnë se numri 2 është më i madh se një dhe zero, prandaj në "dritaren" (2 > ð) mund të zëvendësoni numrat 0. dhe 1 (2 > 0, 2>1 ).

Ushtrime të tjera me një dritare kryhen në mënyrë të ngjashme.

Metoda kryesore kur merren parasysh pabarazitë me një variabël është metoda e përzgjedhjes.

Për të thjeshtuar vlerat e një ndryshoreje në pabarazi, propozohet që ato të zgjidhen nga një seri specifike numrash. Për shembull, mund të propozoni të shkruani ato të numrave të dhënë të serisë 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 për të cilët shënimi ð - 7 është i saktë.< 5.

Gjatë kryerjes së kësaj detyre, nxënësi mund të arsyetojë kështu: "Le të zëvendësojmë numrin 7 në "dritare": 7 minus 7 do të jetë 0, 0 është më e vogël se 5, që do të thotë se numri 7 është i përshtatshëm. Le të vendosim numrin 8:8 minus 7 në "dritare" dhe marrim 1, 1 është më pak se 5, që do të thotë se numri 8 është gjithashtu i përshtatshëm... Le të vendosim numrin 12 në "dritare": 12 minus 7 merr 5, 5 është më pak se 5 - e pasaktë, që do të thotë se numri 12 nuk është i përshtatshëm. Për të shkruar ð - 7< 5 была верной, в «окошко» можно подставить любое из чисел 7, 8, 9, 10, 11».

Ekuacionet

Në fund të klasës së tretë, fëmijët njihen me ekuacionet më të thjeshta të formës: X+8 =15; 5+X=12; X–9 =4; 13–X=6; X·7 =42; 4· X=12; X:8 =7; 72:X=12.

Fëmija duhet të jetë në gjendje të zgjidhë ekuacionet në dy mënyra:

1) metoda e përzgjedhjes (në rastet më të thjeshta); 2) në një mënyrë të bazuar në zbatimin e rregullave për gjetjen e komponentëve të panjohur të veprimeve aritmetike. Këtu është një shembull i regjistrimit të një zgjidhjeje për një ekuacion së bashku me verifikimin dhe arsyetimin e fëmijës kur e zgjidh atë:

X – 9 = 4 X = 4 + 9 X = 13

13 – 9 = 4 4 = 4

“Në ekuacion X– 9 = 4 x qëndron në vendin e minuendit. Për të gjetur minuendin e panjohur, ju duhet të shtoni subtrahend në ndryshim ( X=4+9.) Le të kontrollojmë: zbresim 9 nga 13, marrim 4. Barazia e saktë është 4 = 4, që do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë."

Në klasën e 4-të, një fëmijë mund të njihet me zgjidhjen e problemeve të thjeshta duke hartuar një ekuacion.

Hyrje...2

Kapitulli I. Aspekte të përgjithshme teorike të studimit të materialit algjebrik në shkollën fillore... 7

1.1 Përvojë në futjen e elementeve algjebër në shkollën fillore... 7

1.2 Bazat psikologjike për futjen e koncepteve algjebrike

në shkollën fillore... 12

1.3 Problemi i origjinës së koncepteve algjebrike dhe rëndësia e tij

për ndërtimin e një lënde arsimore... 20

2.1 Të mësuarit në shkollën fillore nga këndvështrimi i nevojave

shkolla e mesme... 33

2.1 Krahasimi (kontrasti) i koncepteve në orët e matematikës... 38

2.3 Studim i përbashkët i mbledhjes dhe zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit 48

Kapitulli III. Praktika e studimit të materialit algjebrik në mësimet e matematikës në klasat fillore të shkollës së mesme nr.4 në Rylsk... 55

3.1 Arsyetimi për përdorimin e teknologjive inovative (teknologji

konsolidimi i njësive didaktike)… 55

3.2 Për përvojën e njohjes me konceptet algjebrike në klasën e parë... 61

3.3 Trajnim për zgjidhjen e problemeve që lidhen me lëvizjen e trupave... 72

Përfundim... 76

Bibliografi… 79

Në çdo sistem modern të arsimit të përgjithshëm, matematika zë një nga vendet qendrore, e cila padyshim flet për veçantinë e kësaj fushe dijeje.

Çfarë është matematika moderne? Pse është e nevojshme? Këto dhe pyetje të ngjashme shpesh u bëhen nga fëmijët mësuesve. Dhe çdo herë përgjigja do të jetë e ndryshme në varësi të nivelit të zhvillimit të fëmijës dhe nevojave të tij arsimore.

Matematikani i shquar rus A.N. Kolmogorov shkroi: "Matematika nuk është vetëm një nga gjuhët. Matematika është gjuhë plus arsyetim, është si gjuha dhe logjika së bashku. Matematika është një mjet për të menduar. Ai përmban rezultatet e të menduarit të saktë të shumë njerëzve. Duke përdorur matematikën, ju mund të lidhni një arsyetim me një tjetër. ... Kompleksitetet e dukshme të natyrës me ligjet dhe rregullat e saj të çuditshme, secila prej të cilave pranon një shpjegim të veçantë shumë të detajuar, në fakt janë të lidhura ngushtë. Megjithatë, nëse nuk dëshironi të përdorni matematikën, atëherë në këtë larmi të madhe faktesh nuk do të shihni se logjika ju lejon të kaloni nga njëri në tjetrin” (f. 44).

Kështu, matematika na lejon të formojmë forma të caktuara të të menduarit të nevojshme për të studiuar botën përreth nesh.

Aktualisht, shpërpjestimi midis shkallës së njohjes sonë për natyrën dhe të kuptuarit tonë për njeriun, psikikën e tij dhe proceset e të menduarit po bëhet gjithnjë e më i dukshëm. W. W. Sawyer në librin "Prelude to Mathematics" (fq. 7) vëren: "Ne mund t'i mësojmë studentët të zgjidhin shumë lloje problemesh, por kënaqësia e vërtetë do të vijë vetëm kur të jemi në gjendje t'u japim studentëve tanë jo vetëm njohuri, por fleksibilitet. e mendjes”, gjë që do t'u jepte atyre mundësinë në të ardhmen jo vetëm për të zgjidhur në mënyrë të pavarur, por edhe për të vendosur detyra të reja për veten e tyre.

Sigurisht, këtu ka disa kufij që nuk duhen harruar: shumë përcaktohen nga aftësitë dhe talenti i lindur. Sidoqoftë, mund të vërejmë një grup të tërë faktorësh në varësi të arsimit dhe edukimit. Kjo e bën jashtëzakonisht të rëndësishme vlerësimin e saktë të potencialit të madh të pashfrytëzuar të arsimit në përgjithësi dhe të matematikës në veçanti.

Vitet e fundit, ka pasur një tendencë të qëndrueshme që metodat matematikore të depërtojnë në shkenca të tilla si historia, filologjia, për të mos përmendur gjuhësinë dhe psikologjinë. Prandaj, rrethi i njerëzve që mund të përdorin matematikën në aktivitetet e tyre të ardhshme profesionale po zgjerohet.

Cili është ndikimi i matematikës në përgjithësi dhe i matematikës shkollore në veçanti në edukimin e një personaliteti krijues? Mësimdhënia e artit të zgjidhjes së problemeve në orët e matematikës na ofron një mundësi jashtëzakonisht të favorshme për zhvillimin e një mendësie të caktuar te nxënësit. Nevoja për aktivitete kërkimore zhvillon interesin për modelet dhe na mëson të shohim bukurinë dhe harmoninë e mendimit njerëzor. E gjithë kjo është, për mendimin tonë, elementi më i rëndësishëm i kulturës së përgjithshme. Lënda e matematikës ka një ndikim të rëndësishëm në formimin e formave të ndryshme të të menduarit: logjik, hapësinor-gjeometrik, algoritmik. Çdo proces krijues fillon me formulimin e një hipoteze. Matematika, me organizimin e duhur të arsimit, duke qenë një shkollë e mirë për ndërtimin dhe testimin e hipotezave, të mëson të krahasosh hipoteza të ndryshme, të gjesh opsionin më të mirë, të shtrosh probleme të reja dhe të kërkosh mënyra për t'i zgjidhur ato. Ndër të tjera, ajo zhvillon edhe zakonin e punës metodike, pa të cilën nuk mund të imagjinohet asnjë proces krijues. Duke maksimizuar mundësitë e të menduarit njerëzor, matematika është arritja e saj më e lartë. Ndihmon një person të kuptojë veten dhe të formojë karakterin e tij.

Kjo është një listë e vogël e arsyeve pse njohuritë matematikore duhet të bëhen pjesë përbërëse e kulturës së përgjithshme dhe një element i detyrueshëm në edukimin dhe edukimin e një fëmije.

Lënda e matematikës (pa gjeometri) në shkollën tonë 10-vjeçare në fakt ndahet në tre pjesë kryesore: aritmetikë (klasat I - V), algjebër (klasat VI - VIII) dhe elementet e analizës (klasat IX - X). Cila është baza për një ndarje të tillë?

Sigurisht, secila prej këtyre pjesëve ka "teknologjinë" e saj të veçantë. Kështu, në aritmetikë shoqërohet, për shembull, me llogaritjet e kryera në numra shumëshifrorë, në algjebër - me shndërrime identike, logaritmizim, në analizë - me diferencim, etj. Por cilat janë arsyet më të thella që lidhen me përmbajtjen konceptuale të secilës pjesë?

Pyetja tjetër ka të bëjë me bazën për dallimin midis aritmetikës shkollore dhe algjebrës (p.sh. pjesa e parë dhe e dytë e kursit). Aritmetika përfshin studimin e numrave natyrorë (numrat e plotë pozitivë) dhe thyesave (të thjeshtë dhe dhjetorë). Megjithatë, një analizë e veçantë tregon se kombinimi i këtyre llojeve të numrave në një lëndë shkollore është i paligjshëm.

Fakti është se këta numra kanë funksione të ndryshme: të parët shoqërohen me llogari objekte, e dyta - me matjen e sasive. Kjo rrethanë është shumë e rëndësishme për të kuptuar faktin se numrat thyesorë (racionalë) janë vetëm një rast i veçantë i numrave realë.

Nga pikëpamja e matjes së sasive, siç vërehet nga A.N. Kolmogorov, "nuk ka një ndryshim kaq të thellë midis numrave realë racionalë dhe iracionalë. Për arsye pedagogjike, ato qëndrojnë për një kohë të gjatë në numrat racionalë, pasi ato janë të lehta për t'u shkruar në formën e thyesave; megjithatë, përdorimi që u është dhënë atyre që në fillim duhet të çojë menjëherë te numrat realë në të gjithë përgjithësinë e tyre” (), fq.

Kështu, ekziston një mundësi reale, në bazë të numrave natyrorë (të plotë), të formohet menjëherë “koncepti më i përgjithshëm i numrit” (në terminologjinë e A. Lebesgue), koncepti i një numri real. Por nga pikëpamja e ndërtimit të programit, kjo nuk do të thotë asgjë më shumë ose më pak se eliminimi i aritmetikës së thyesave në interpretimin e saj shkollor. Kalimi nga numrat e plotë në numrat realë është një kalim nga aritmetika në "algjebër", në krijimin e një themeli për analizë.

Këto ide, të shprehura më shumë se 20 vjet më parë, janë ende aktuale sot. A mund të ndryshohet struktura e mësimit të matematikës në shkollën fillore në këtë drejtim? Cilat janë avantazhet dhe disavantazhet e “algjebrizimit” të mësimdhënies fillore të matematikës? Qëllimi i kësaj pune është të përpiqet të japë përgjigje për pyetjet e parashtruara.

Realizimi i këtij qëllimi kërkon zgjidhjen e detyrave të mëposhtme:

Shqyrtimi i aspekteve të përgjithshme teorike të prezantimit të koncepteve algjebrike të madhësisë dhe numrit në shkollën fillore. Kjo detyrë shtrohet në kapitullin e parë të veprës;

Tregoni zbatueshmërinë praktike të dispozitave në shqyrtim në mësimet e matematikës shkollore në shkollën fillore (mësimet janë dhënë nga autori në shkollën e mesme nr. 4 në Rylsk). Kapitulli i tretë i veprës i kushtohet kësaj.

Për sa i përket bibliografisë kushtuar kësaj çështjeje, mund të vërehet sa vijon. Përkundër faktit se kohët e fundit sasia totale e literaturës metodologjike të botuar në matematikë është jashtëzakonisht e vogël, nuk kishte mungesë informacioni gjatë shkrimit të punës. Në të vërtetë, nga viti 1960 (koha kur u shtrua problemi) deri në vitin 1990. Në vendin tonë është botuar një sasi e madhe literaturë arsimore, shkencore dhe metodologjike, e cila në një shkallë apo në një tjetër prek problemin e futjes së koncepteve algjebrike në lëndët e matematikës për shkollat fillore. Përveç kësaj, këto çështje mbulohen rregullisht në periodikë të specializuar. Kështu, gjatë shkrimit të veprës, u përdorën gjerësisht botimet në revistat “Pedagogjia”, “Mësimi i matematikës në shkollë” dhe “Shkolla fillore”.

Vetitë kryesore që karakterizojnë sasitë janë përshkruar më sipër. Natyrisht, nuk ka kuptim që fëmijët 7-vjeçar të japin “leksione” në lidhje me këto prona. Ishte e nevojshme të gjendej një formë e punës së fëmijëve me material didaktik, përmes së cilës ata, nga njëra anë, të identifikonin këto veti në gjërat që i rrethonin, dhe nga ana tjetër, të mësonin t'i rregullonin ato me simbole të caktuara dhe të kryenin një matematikë elementare. analiza e marrëdhënieve të identifikuara.

Ka kuptim të paraqesim veçoritë specifike të këtij programi hipotetik dhe "përbërësit" e tij kur përshkruhet vetë procesi mësimor dhe rezultatet e tij. Këtu është përmbledhja e këtij programi dhe temat kryesore të tij.

Tema I. Nivelimi dhe plotësimi i objekteve (sipas gjatësisë, vëllimit, peshës, përbërjes së pjesëve dhe parametrave të tjerë).

Këto detyra zgjidhen në procesin e punës me materialin didaktik (shufra, pesha, etj.) nga:

- zgjedhje"i njëjti" artikull

- riprodhimi(ndërtimi) i të njëjtit objekt sipas parametrit të zgjedhur (të specifikuar).

Tema II. Krahasimi i objekteve dhe fiksimi i rezultateve të tij duke përdorur formulën barazi-pabarazi.

1. Detyra për krahasimin e objekteve dhe përcaktimin simbolik të rezultateve të këtij veprimi.

2. Regjistrimi verbal i rezultateve të krahasimit ( termat “më shumë”, “më pak”, “barabartë”). Karakteret e shkruara ">", "<", "=".

3. Përcaktimi i rezultatit të krahasimit me një vizatim ("kopjimi" dhe më pas "abstrakt" - linjat).

4. Përcaktimi i objekteve të krahasuara letra. Regjistrimi i rezultatit të krahasimit duke përdorur formulat: A=B; A<Б, А>B.

Letër si shenjë, i cili regjistron drejtpërdrejt vlerën e dhënë, të veçantë të një objekti sipas një parametri të zgjedhur (nga pesha, nga vëllimi, etj.).

Tema III. Vetitë e barazisë dhe pabarazisë.

1. Kthyeshmëria dhe refleksiviteti barazia (nëse A=B, atëherë B=A; A=A).

2. Lidhja e marrëdhënieve"Më shumë" dhe "më pak" në pabarazitë kur "permutacionet" e anëve të krahasuara (nëse A>B, atëherë B<А и т.п.).

3. Transitiviteti si veti e barazisë dhe pabarazisë:

nëse A=B, nëse A>B, nëse A<Б,

a B=B, a B>B, a B<В,

pastaj A=B; pastaj A>B; pastaj A<В.

4. Kalimi nga puna me materialin didaktik lëndor në vlerësimin e vetive barazi-pabarazi në prani vetëm të formulat e shkronjave. Zgjidhja e problemeve të ndryshme që kërkojnë njohuri për këto veti (për shembull, zgjidhja e problemeve që lidhen me lidhjen e marrëdhënieve si: duke pasur parasysh se A>B dhe B=C; zbuloni marrëdhënien ndërmjet A dhe C).

Tema IV. Operacioni i mbledhjes (zbritjes).

1. Vëzhgimet ndryshimet objektet sipas një ose një parametri tjetër (nga vëllimi, nga pesha, nga kohëzgjatja, etj.). Ilustrimi i rritjes dhe zvogëlimit me shenjat "+" dhe "-" ( plus dhe minus).

2. Shkelja e barazisë së vendosur më parë me një ndryshim përkatës në njërën ose tjetrën anë të saj. Kalimi nga barazia në pabarazi. Shkrimi i formulave si:

nëse A=B, nëse A=B,

pastaj A+K>B; pastaj A-K<Б.

3. Metodat e kalimit në barazi të re (“rivendosja” e tij sipas parimit: shtimi i “barabartë” në “barabartë” jep “të barabartë”).

Puna me formula si:

Nëse A=B,

Se A+K>B,

Por A+K=B+K.

4. Zgjidhja e problemave të ndryshme që kërkojnë përdorimin e mbledhjes (zbritjes) kur kalohet nga barazia në pabarazi dhe mbrapa.

Tema V. Kalimi nga mosbarazimi i tipit A<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

Shkrimi i formulave si:

Nëse A<Б, Nëse A>B,

Se A+x=B; Se A-x=B.

2. Përcaktimi i vlerës së x. Zëvendësimi i kësaj vlere në formulë (hyrje në kllapa). Lloji formula

3. Zgjidhja e problemeve (përfshirë "plot-tekstual") që kërkojnë kryerjen e operacioneve të specifikuara.

Tema Vl. Mbledhje-zbritje barazish-pabarazish. Zëvendësimi.

1. Mbledhja-zbritja e barazive-pabarazimeve:

nëse A=B nëse A>B nëse A>B

dhe M=D, dhe K>E, dhe B=G,

pastaj A+M=B+D; pastaj A+K>B+E; pastaj A+-B>C+-G.

2. Mundësia e përfaqësimit të vlerës së një sasie shuma disa kuptime. Zëvendësimi i llojit:

Si po ecën përpara programi ynë? Para së gjithash, fëmijët njihen me metodën e marrjes numrat, që shpreh marrëdhënien e një objekti në tërësi (e njëjta sasi e përfaqësuar nga një objekt i vazhdueshëm ose diskret) me pjesën e tij. Vetë ky raport dhe vlera e tij specifike përshkruhen me formulën A/K = n, ku n është çdo numër i plotë, më së shpeshti duke shprehur raportin me "njësinë" më të afërt (vetëm me një përzgjedhje të veçantë të materialit ose duke numëruar vetëm "cilësisht" gjëra individuale mund të merret një numër i plotë absolutisht i saktë). Fëmijët që në fillim janë “të detyruar” të kenë parasysh se gjatë matjes ose numërimit mund të rezultojë një mbetje, prania e së cilës duhet të përcaktohet posaçërisht. Ky është hapi i parë për të punuar me të thyesore numri.

Me këtë formë të marrjes së një numri, nuk është e vështirë t'i shtysh fëmijët të përshkruajnë një objekt me një formulë si A = 5k (nëse raporti ishte "5"). Së bashku me formulën e parë, ajo hap mundësi për studime të veçanta varësitë ndërmjet objektit, bazës (matjes) dhe rezultatit të numërimit (matjes), i cili shërben edhe si propedeutik për kalimin në numrat thyesorë (në veçanti, për të kuptuar vetinë bazë të një thyese).

Një linjë tjetër e zhvillimit të programit, e zbatuar tashmë në klasën e parë, është transferimi në numra (numra të plotë) të vetive bazë të sasisë (disjuksioni i barazisë-pabarazi, transitiviteti, kthyeshmëria) dhe funksionimi i mbledhjes (komutativiteti, asociativiteti, monotoniteti, etj. mundësia e zbritjes). Në veçanti, duke punuar për rreshti numerik, fëmijët mund të transformojnë shpejt një sekuencë numrash në madhësia(për shembull, vlerësoni qartë kalueshmërinë e tyre duke kryer hyrjet e tipit 3<5<8, одновременно связывая отношения «меньше-больше»: 5<8, но 5<3, и т.д.).

Njohja me disa nga të ashtuquajturat tipare "strukturore" të barazisë i lejon fëmijët t'i qasen ndryshe lidhjes midis mbledhjes dhe zbritjes. Kështu, kur kalohet nga pabarazia në barazi, kryhen shndërrimet e mëposhtme: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, dhënë 8+1=6+3 dhe 4>2; gjeni marrëdhënia ndërmjet anës së majtë dhe të djathtë të formulës në 8+1-4...6+3-2; në rast pabarazie, zvogëlojeni këtë shprehje në barazisë(Së pari ju duhet të vendosni një shenjë "më pak se" dhe më pas shtoni një "dy" në anën e majtë).

Kështu, trajtimi i një serie numrash si një sasi ju lejon të zhvilloni aftësitë e mbledhjes dhe zbritjes (dhe më pas shumëzimit dhe pjesëtimit) në një mënyrë të re.

Kapitulli II. Rekomandime metodologjike për studimin e materialit algjebrik në shkollën fillore

2.1 Mësimdhënia në shkollën fillore në raport me nevojat e shkollës së mesme

Një shembull tjetër i formimit të gabuar të konceptit është puna me relacionin e barazisë fjalë për fjalë. Për shembull, rregullat për shumëzimin e një numri me një dhe një numri me zero në të gjitha tekstet shkollore janë dhënë në formën e shkronjave: A x 1 = A, A x 0 = 0. Marrëdhënia e barazisë, siç dihet, është simetrike, dhe për këtë arsye, një shënim i tillë siguron jo vetëm që kur shumëzohet me 1 fitohet i njëjti numër, por edhe që çdo numër mund të përfaqësohet si prodhim i këtij numri. dhe një. Megjithatë, formulimi verbal i propozuar në tekstet shkollore pas hyrjes së shkronjave flet vetëm për mundësinë e parë. Ushtrimet për këtë temë synojnë gjithashtu vetëm praktikimin e zëvendësimit të prodhimit të një numri dhe një me këtë numër. E gjithë kjo çon jo vetëm në faktin se një pikë shumë e rëndësishme nuk bëhet objekt i ndërgjegjes së fëmijëve: çdo numër mund të shkruhet në formën e një produkti, i cili në algjebër do të shkaktojë vështirësi përkatëse kur punoni me polinome, por edhe në fakti që fëmijët, në parim, nuk dinë të punojnë drejt me raportin e barazisë. Për shembull, kur punojnë me formulën e ndryshimit të katrorëve, fëmijët, si rregull, përballen me detyrën e faktorizimit të ndryshimit të katrorëve. Megjithatë, ato detyra ku kërkohet veprimi i kundërt shkaktojnë vështirësi në shumë raste. Një tjetër ilustrim i mrekullueshëm i kësaj ideje është puna me ligjin shpërndarës të shumëzimit në lidhje me mbledhjen. Edhe këtu, pavarësisht shkronjave të ligjit, si formulimi verbal i tij ashtu edhe sistemi i ushtrimeve vetëm sa stërvitin aftësinë për të hapur kllapa. Si rezultat, vendosja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave do të shkaktojë vështirësi të konsiderueshme në të ardhmen.

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Me këtë metodë të punës, fëmijët do të vërejnë shumë shpejt modelin e serisë së numrave që rezulton.

Duke folur për mangësitë e mësimdhënies së matematikës në shkollën fillore, të cilat pengojnë mësimin e mëtutjeshëm, është e nevojshme të theksohet veçanërisht fakti se shpeshherë materiali në tekstet shkollore paraqitet pa parë se si do të funksionojë në të ardhmen. Një shembull shumë i mrekullueshëm i kësaj është organizimi i shumëzimit të të mësuarit me 10, 100, 1000, etj. Në të gjitha tekstet e shqyrtuara, prezantimi i këtij materiali është i strukturuar në atë mënyrë që në mënyrë të pashmangshme çon në formimin në mendjet e fëmijëve të rregullit: “Për të shumëzuar një numër me 10, 100, 1000, etj., duhet për të shtuar aq zero në anën e djathtë sa ka në 10, 100, 1000, etj. Ky rregull është një nga ata që mësohet shumë mirë në shkollën fillore. Dhe kjo çon në një numër të madh gabimesh gjatë shumëzimit të thyesave dhjetore me njësi të plota. Edhe pas kujtimit të rregullit të ri, fëmijët shpesh shtojnë automatikisht një zero në të djathtë të dhjetorit kur shumëzojnë me 10. Përveç kësaj, duhet të theksohet se kur shumëzoni një numër natyror dhe kur shumëzoni një thyesë dhjetore me njësi të plota, në thelb ndodh e njëjta gjë: çdo shifër e numrit zhvendoset djathtas me numrin përkatës të shifrave. Prandaj, nuk ka kuptim t'u mësoni fëmijëve dy rregulla të veçanta dhe plotësisht formale. Është shumë më e dobishme t'u mësoni atyre një mënyrë të përgjithshme për të vepruar kur zgjidhin probleme të ngjashme.

2.1 Krahasimi (kontrasti) i koncepteve në orët e matematikës

Rasti në diskutim është pikërisht ai kur koncentricitet(duke mbajtur dhjetëshen e dytë si temë të veçantë) rezulton të jetë më e dobishme se lineariteti(“shpërbërja” e dhjetëshes së dytë në temën “Njëqind”).

Dhjetë e para

Linja të drejta dhe të lakuara; rrethi dhe ovale.

Studimi monografik i numrave brenda numrit në fjalë:

përbërjen e numrave, mbledhjen dhe zbritjen.

Emrat e përbërësve të mbledhjes dhe zbritjes.

Katër shembuj për mbledhje dhe zbritje:

3 + 2 = 5, 5 - 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 - 3 = 2.

Shembuj të deformuar (me numra dhe shenja që mungojnë):

X + 5 = 7; 6 – X = 4;6 = 3A2.

Zgjidhja e problemeve për gjetjen e shumës dhe shtesës, ndryshimit, minuendit dhe nëntrahendës. Përpilimi dhe zgjidhja e problemeve reciproke të anasjellta.

Tre detyra: rritja dhe zvogëlimi i një numri me disa njësi dhe krahasimi i ndryshimit. Krahasimi i segmenteve sipas gjatësisë.

Hartimi dhe zgjidhja e problemeve të të shprehurit.

Këtu janë shembuj të çifteve më të zakonshme të koncepteve që duhet të përdoren në mësime jo vetëm në matematikë, por edhe në zhvillimin e të folurit:

Lëreni nxënësin të mbajë një libër dhe një fletore në dorë në mënyrë të alternuar. Mësuesi pyet: çfarë është më e rëndë - një libër apo një fletore? Çfarë është më e lehtë? "Libër më i rëndë fletore, dhe fletore më e lehtë libra."

Së bashku me nxënësit tregojmë (imitojmë) interpretimin semantik të këtyre koncepteve.

Tregoni kolonën (fëmijët lëvizin dorën nga lart poshtë).

Tregoni kolonën e majtë, kolonën e djathtë (fëmijët tundin krahët dy herë nga lart poshtë).

Trego vijën (lëkundje dorën nga e majta në të djathtë).

Trego vijën e sipërme, vijën fundore (dy valë dore që tregojnë vijën e sipërme, vijën fundore).

Puna në seritë e numrave ka një rëndësi të madhe për mësimet e para të matematikës fillore.

Është e përshtatshme për të ilustruar rritjen e një serie numrash duke shtuar një nga një duke lëvizur djathtas përgjatë vijës numerike.

Lërini studentët të punojnë në një vijë numerike brenda treshit.

"Numri 3 vjen para numrit 2" ose: "Numri 2 vjen para numrit 3".

Kalimet e treguara përgjatë serisë së numrave duhet të shoqërohen me veprimet aritmetike përkatëse.

Për të kuptuar vendin e një numri në një seri numrash, duhen bërë pyetje në çift:

1. Cilin numër pason numri 3? (Numri 3 pason numrin 2.) Përpara Në cilin numër ndodhet numri 2? (Numri 2 vjen para numrit 3.)

2. Cili numër vijon për numri 2? (Numri 2 pasohet nga numri 3.) Cili numër vjen përpara numri 3? (Numri 3 paraprihet nga numri 2.)

3. ndërmjet Cilët numra janë numri 2? (Numri 2 është midis numrit 1 dhe numrit 3.) Cili numër është midis numrave 1 dhe 3? (Ndërmjet numrave 1 dhe 3 është numri 2.)

Në këto ushtrime, informacioni matematikor përmbahet në fjalët funksionale: para, prapa, ndërmjet.

Le të shohim një shembull.

Lërini dy shufra me ngjyra, të ndara në qeliza, të mbivendosen mbi njëra-tjetrën:

në atë të poshtme - 3 qeliza, në atë të sipërme - 2 qeliza (shih figurën).

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

a) shtoni 1 në 2 - ju merrni 3; a) zbrisni 1 nga 3 - merrni 2;

b) rritni 2 me 1 - merrni 3; b) zvogëloni 3 me 1 - merrni 2;

c) 3 është më shumë se 2 me 1; c) 2 është më e vogël se 3 me 1;

d) 2 po 1 do të jetë 3; d) 3 pa 1 do të jetë 2;

e) shtoni numrin 2 me numrin 1 - e) zbritni numrin 1 nga numri 3 -

rezulton 3. rezulton 2.

Mësues. Nëse 2 shumëzohet me 1, sa do të jetë?

Studenti. Nëse rritni 2 me 1, merrni 3.

Mësues. Tani më thuaj çfarë duhet bërë me numrin 3 për të marrë 2?

Studenti. Zvogëloni 3 me 1 për të marrë 2.

Le të tërheqim vëmendjen këtu për nevojën e këtij dialogu për një zbatim metodikisht kompetent të operacionit të opozitës. ,

Përvoja mësimore tregon avantazhet e futjes së njëkohshme të çifteve të koncepteve reciprokisht të kundërta, duke filluar që nga mësimet e para të aritmetikës.

Shumë vite testime kanë treguar përfitime studim monografik numrat e dhjetëshes së parë. Çdo numër i njëpasnjëshëm i nënshtrohet analizës shumëpalëshe, me numërimin e të gjitha opsioneve të mundshme për formimin e tij; brenda këtij numri kryhen të gjitha veprimet e mundshme, përsëritet "e gjithë matematika e disponueshme", përdoren të gjitha format e pranueshme gramatikore të shprehjes së marrëdhënies midis numrave. Sigurisht, me këtë sistem studimi, në lidhje me mbulimin e numrave pasues, shembujt e studiuar më parë përsëriten, domethënë, zgjerimi i serisë së numrave kryhet me përsëritje të vazhdueshme të kombinimeve të konsideruara më parë të numrave dhe llojeve të problemeve të thjeshta. .

2.3 Studim i përbashkët i mbledhjes dhe zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit

Lërini nxënësit të zgjidhin problemin e mbledhjes: "Shto 1 shkop në tre shkopinj - do të marrë 4 shkopinj." Pas kësaj detyre, menjëherë duhet bërë pyetja: “Nga çfarë numrash përbëhet nga numri 4? 4 shkopinj përbëhen nga 3 shkopinj (fëmija numëron 3 shkopinj) dhe 1 shkop (ndan edhe 1 shkop).

Studenti. Shtoni 2 në 5 dhe merrni 7.

Mësues. Tani tregoni nga cilat terma përbëhet numri 7.

Studenti(së pari ndan dy kocka në të djathtë, pastaj flet). Numri 7 përbëhet nga 2 dhe 5.

Gjatë kryerjes së këtyre ushtrimeve, këshillohet që që në fillim të përdorni konceptet "termi i parë" (5), "termi i dytë" (2) dhe "shuma".

Ofrohen këto lloje të detyrave: a) shuma e dy termave është 7; gjeni termat; b) nga çfarë përbërësish përbëhet numri 7?; c) zbërtheje shumën 7 në 2 terma (në 3 terma). etj.

Përvetësimi i një koncepti kaq të rëndësishëm algjebrik si ligji komutativ i mbledhjes kërkon një sërë ushtrimesh, të bazuara fillimisht në manipulime praktike me objekte.

Mësues. Merrni 3 shkopinj në dorën tuaj të majtë dhe 2 në dorën tuaj të djathtë Sa shkopinj janë gjithsej?

Studenti. Gjithsej janë 5 shkopinj.

Mësues. Si mund të them më shumë për këtë?

Studenti. Shtoni 2 shkopinj në 3 shkopinj - do të ketë 5 shkopinj.

Mësues. Hartoni këtë shembull nga numrat e prerë. (Nxënësi bën një shembull: 3+2=5.)

Mësues. Tani ndërroni shkopinjtë: kaloni shkopinjtë në dorën tuaj të majtë në të djathtën tuaj dhe transferoni shkopinjtë nga dora e djathtë në të majtë. Sa shkopinj ka në të dyja duart tani?

Studenti. Gjithsej ishin 5 shkopinj në dy duar, dhe tani janë përsëri 5 shkopinj.

Mësues. Pse ndodhi kjo?

Studenti. Sepse ne nuk lamë asgjë mënjanë dhe nuk shtuam shkopinj sa kishte, aq shumë mbetën.

Mësues. Hartoni shembuj të zgjidhur nga numrat e prerë.

Studenti(vë mënjanë: 3+2=5, 2+3=5). Këtu ishte numri 3, dhe tani numri 2. Dhe këtu ishte numri 2, dhe tani numri 3.

Mësues. Ne këmbyem numrat 2 dhe 3, por rezultati mbeti i njëjtë:

5. (Një shembull është bërë nga numrat e ndarë: 3+2=2+3.)

Ligji komutativ mësohet edhe në ushtrimet për zbërthimin e një numri në terma.

Kur të futet ligji komutativ i mbledhjes?

Qëllimi kryesor i shtesës mësimore - tashmë brenda dhjetëshit të parë - është të theksohet vazhdimisht roli i ligjit komutativ në ushtrime.

Nëse 6 dhe 3 do të jenë 9 (përgjigja përcaktohet me rillogaritje), atëherë 3 dhe 6 (pa rillogaritje!) do të jenë gjithashtu 9!

6 + 3 = 9, 9 - 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.

Përpilimi i katër shembujve është një mjet për të zgjeruar njohuritë e arritshme për fëmijët.

Këshillohet që studimi fillestar i shumëzimit dhe pjesëtimit të kryhet në sekuencën vijuese të tre cikleve të problemeve (tre detyra në çdo cikël):

I ciklit: a, b) shumëzimi me shumëzues konstant dhe pjesëtimi sipas përmbajtjes (së bashku); c) ndarja në pjesë të barabarta.

Cikli II: a, b) pakësimi dhe rritja e numrit disa herë (së bashku); c) krahasimi i shumëfishtë.

Cikli III: a, b) gjetja e një pjese të një numri dhe një numri në bazë të madhësisë së një prej pjesëve të tij (së bashku); c) zgjidhja e problemit: “Cila pjesë është një numër i tjetrit?”

Sistemi metodologjik për studimin e këtyre problemeve është i ngjashëm me atë të përshkruar më sipër për problemet e thjeshta të fazës së parë (mbledhja dhe zbritja).

Studimi i njëkohshëm i shumëzimit dhe pjesëtimit në përmbajtje. Në dy ose tre mësime (jo më shumë!) kushtuar shumëzimit, sqarohet kuptimi i konceptit të shumëzimit si mbledhja e shembur e termave të barabartë (veprimi i pjesëtimit nuk diskutohet ende në këto mësime). Kjo kohë është e mjaftueshme për të studiuar tabelën e shumëzimit të numrit 2 me numra njëshifrorë.

Kombinimi i të dy llojeve të ushtrimeve është një nga kushtet e rëndësishme që siguron asimilimin e ndërgjegjshëm të konceptit të "shumëzimit", që do të thotë shtim i shembur.

Rezultati i kësaj pune do të jetë tabelat e shumëzimit dhe pjesëtimit të shkruara krah për krah:

2*2=4, 4: 2=2,

2*3=6, 6: 2=3,

2*4=8, 8: 2=4,

2*5 = 10, 10: 2 = 5, etj.

Kështu, tabela e shumëzimit ndërtohet duke përdorur një shumëzues konstant, dhe tabela e pjesëtimit ndërtohet duke përdorur një pjesëtues konstant.

Është gjithashtu e dobishme t'u ofrohet nxënësve, të çiftëzuar me këtë detyrë, një ushtrim strukturor i kundërt mbi kalimin nga pjesëtimi në zbritje të nënndarjeve të barabarta.

Në ushtrimet e përsëritjes është e dobishme të ofrohen detyra të këtij lloji: 14:2==.

Studimi i ndarjes në pjesë të barabarta. Pasi shumëzimi i numrit 2 dhe pjesëtimi me 2 janë studiuar ose përsëritur së bashku, koncepti i "ndarjes në pjesë të barabarta" (lloji i tretë i problemit të ciklit të parë) futet në njërën nga mësimet.

Konsideroni problemin: “Katër nxënës sollën 2 fletore. Sa fletore ke sjellë?"

Mësuesi shpjegon: merr 2 4 herë - merr 8. (Shfaqet hyrja: 2 * 4 = 8.) Kush do ta shkruajë problemin e anasjelltë?

Gjatë shumëzimit, ne mblodhëm fletore. Çfarë bëjmë kur pjesëtojmë me dy?

8 fletore shpërndanë nga 2 fletore për secilin student - kaq janë 4 (kishte fletore të mjaftueshme për 4 studentë).

Shfaqet një hyrje:

2t secila *4 = 8 t.; 8t.: 2t = 4 (nxënës).

Në fillim, duhet të përdorni një shënim të detajuar të numrave me emra (në divident, pjesëtues dhe koeficient).

Tani le të krijojmë problemin e tretë: “8 fletore duhet të shpërndahen në mënyrë të barabartë për katër nxënës. Sa fletore do të marrë secili person?

Fillimisht, ndarja në pjesë të barabarta duhet të demonstrohet edhe nëpërmjet manipulimit aktual të objekteve.

Prandaj, koncepti i "shumëzimit" merr një përmbajtje të pasur: ai nuk është vetëm rezultat i shtimit të termave të barabartë ("përgjithësimi i shtimit"), por edhe baza, momenti fillestar i ndarjes, i cili, nga ana tjetër, përfaqëson një zbritje e shembur, duke zëvendësuar "zbritjen me 2" sekuenciale.

Aktualisht, janë krijuar kushte mjaft të favorshme për një përmirësim rrënjësor në organizimin e arsimit matematikor në shkollën fillore:

1) shkolla fillore është shndërruar nga trevjeçare në katërvjeçare;

2) 700 orë janë ndarë për studimin e matematikës në katër vitet e para, d.m.th., gati 40% e kohës totale të caktuar për këtë lëndë për të gjithë shkollën e mesme;

3) çdo vit një numër në rritje i personave me arsim të lartë punojnë si mësues të shkollave fillore;

4) është rritur mundësia për t'u pajisur më mirë mësuesit dhe nxënësit e shkollave me mjete edukative dhe pamore, shumë prej tyre janë prodhuar me ngjyra.

Nuk ka nevojë të provohet roli vendimtar i mësimit fillestar të matematikës për zhvillimin e inteligjencës së një studenti në përgjithësi. Pasuria e shoqatave bazë të fituara nga një nxënës gjatë katër viteve të para të studimit, nëse bëhet në mënyrë korrekte, bëhet kushti kryesor për vetëzgjerimin e njohurive në vitet në vijim. Nëse ky rezervë idesh dhe konceptesh fillestare, stërvitje mendimi, teknikash bazë logjike është i paplotë, jo fleksibël dhe i varfër, atëherë kur të kalojnë në shkollën e mesme, nxënësit e shkollës do të përjetojnë vazhdimisht vështirësi, pavarësisht se kush do t'u mësojë më pas ose çfarë tekstesh do të studiojnë. nga.

Siç e dini, shkollat fillore funksionojnë në ne dhe vende të tjera prej shumë shekujsh, ndërsa arsimi i mesëm universal zbatohet vetëm prej disa dekadash. Nga kjo është e qartë se teoria dhe praktika e arsimit fillor janë shumë më të pasura në traditat e tyre të mira sesa arsimi në shkollat e mesme.

Zbulime të çmuara metodologjike dhe përgjithësime në mësimdhënien e matematikës fillore u bënë nga L.N. Tolstoy, K.D. Ushinsky, S.I. Rezultate të rëndësishme janë marrë në dekadat e fundit duke përdorur metodat e matematikës elementare në laboratorët e L. V. Zankov, A. S. Pchelko, si dhe në kërkimet për zgjerimin e njësive didaktike.

Ndërkohë, gjendja aktuale e mësimdhënies në shkollat fillore është e tillë që mënyrat efektive për përmirësimin e tij, të përvetësuara nga mësuesit vitet e fundit, janë anashkaluar papritur nga botimet e fundit të programeve dhe teksteve shkollore. Një pengesë serioze e programeve aktuale është mungesa e vazhdimësisë me programet për shtresat e mesme.

Për shembull, në programet e shkollës fillore nuk është zgjidhur problemi i propedeutikës së një sërë konceptesh të rëndësishme, i cili më parë ishte arritur me sukses në shkollën fillore. Një propedeutikë e tillë nuk funksionoi për shkak të shtrirjes së detyruar të programeve të materialit tradicional, i cili më parë zotërohej shumë më shpejt dhe më produktivisht. Programi aktual katërvjeçar i shkollës është bërë më pak informativ se programi trevjeçar i shkollës që i parapriu.

Me shqyrtimin e arsyeshëm të rezultateve shkencore të disponueshme të marra në 20 vitet e fundit duke përdorur metodat e arsimit fillor nga ekipe të ndryshme krijuese, tani ekziston çdo mundësi për të arritur "të mësuarit me pasion" në shkollën fillore.

Në veçanti, ekspozimi i studentëve ndaj koncepteve bazë algjebrike do të ketë padyshim një ndikim pozitiv në zotërimin e njohurive të lidhura nga nxënësit në shkollën e mesme.

Duket se privimi i një nxënësi të shkollës fillore nga njohuritë e aksesueshme dhe të nevojshme do të rezultojë në dëme që nuk do të jenë kurrë të riparueshme më vonë.

Për praktikën e mësimit elementar të matematikës, teknika e kombinimit të problemave reciproke të anasjellta në një orë mësimi (në hapësirën e një faqeje të një teksti) ka rëndësi të madhe. Prandaj, duket absolutisht e nevojshme të përdoren emrat tradicionalë të llojeve kryesore të detyrave në krahasim me njëri-tjetrin: nëse përsëritja e termave të barabartë vepron si shumëzim, atëherë problemet e tyre të kundërta (ndarja në pjesë të barabarta dhe ndarja sipas përmbajtjes) duhet të përdoren në tekstet shkollore, gjatë planifikimit dhe zhvillimit të mësimeve. Në programet ekzistuese nuk gjejmë konceptet e zakonshme: problemet e gjetjes së një shume, gjetja e numrave nga dy shuma, zvogëlimi në një, pjesëtimi proporcional, etj. Kjo situatë nuk është aspak një avantazh i programeve.

Psikologu J. Piaget vendosi ligjin themelor të kthyeshmërisë së operacioneve, me të cilin lidhet koncepti metodologjik i "problemit invers". Në veçanti, çdo informacion i perceptuar nga një person vazhdon të qarkullojë në nënndërgjegjeshëm (në një formë të pavetëdijshme) për 20-30 minuta. Dhe kështu, nëse kur shumëzojmë 172 me 43 kemi marrë një produkt të ndërmjetëm prej 688, atëherë i njëjti numër manifestohet (përditësohet) më lehtë kur zgjidhim problemin e kundërt të pjesëtimit me "këndin" (7396:172). Lidhja e mendimeve "shumëzimi - ndarje" duket se po lëviz këtu dy herë.

Ky është shpjegimi psikofiziologjik i avantazheve të futjes më të hershme të elementeve algjebrike në shkollën fillore, i marrë në praktikë. Ky përfundim konfirmohet edhe nga përvoja personale e autorit në mësimdhënie në mësimet e matematikës në klasat fillore të shkollës së mesme Rylsk Nr. 4.

1. Problemet aktuale në mësimdhënien e matematikës në shkollën fillore. / Ed. M.I. Moreau, A.M. E fryrë. – M.: Pedagogji, 1977. – 262 f.

2. Arginskaya I.I., Ivanovskaya E.A. Matematika: Libër mësuesi për klasën e tretë të shkollës fillore katërvjeçare. – Samara: ed. Shtëpia “Fedorov”, 2000. – 192 f.

3. Bantova M.A., Beltyukova G.V. Metodat e mësimdhënies së matematikës në shkollën fillore. – M.: Pedagogji, 1984. – 301 f.

4. Gonin E.G. Aritmetikë teorike. – M.: Uchpedgiz, 1961. – 171 f.

5. Davydov V.V. Matematika, klasa e III-të: Libër mësuesi për shkollën fillore 4-vjeçare. – M.: Qendra Botuese “Akademia”, 1998. – 212 f.

6. Davydov V.V. Zhvillimi mendor në moshën e shkollës fillore. / Ed. A.V. Petrovsky. – M.: Pedagogji, 1973. – 167 f.

7. Zak A.Z. Zhvillimi i aftësive mendore të nxënësve të rinj të shkollës. - M.: Vagrius, 1994.

8. Istomina N.B. Metodat e mësimdhënies së matematikës në shkollën fillore. – M.: Qendra Botuese “Akademia”, 1998. – 288 f.

9. Istomina N.B., Nefedova I.B. Matematika, klasa e III-të: Libër mësuesi për shkollën fillore 4-vjeçare. – Smolensk: Shtëpia Botuese “Shoqata Shekulli XXI”, 2001. – 196 f.

10. Kagan V.F. Mbi vetitë e koncepteve matematikore. – M.: Nauka, 1984. – 144 f.

11. Kogalovsky S. R., Shmeleva E. A., Gerasimova O. V. Rruga drejt konceptit. Ivanovo, 1998. - 208 f.

12. Kolmogorov A.N. Në lidhje me profesionin e matematikës. M.: Shtëpia Botuese e Universitetit Shtetëror të Moskës, 1959. – 134 f.

13. Moysenko A. V. Koncepti i edukimit matematikor shkollor. Në libër. Shkolla e vetëvendosjes. Hapi dy. M.: SHA "Politext". 1994. faqe 392-422.

14. Moro M.I. dhe të tjera Matematika: Libër mësuesi për klasën e tretë të shkollës fillore trevjeçare dhe klasën e katërt të shkollës fillore katërvjeçare. / Ed. Kalyagina Yu.M. – M.: Arsimi, 1997. – 240 f.

15. Moro M.I., Pyshkalo A.M. Metodat e mësimdhënies së matematikës në klasat 1-3. – M.: Pedagogji, 1978. – 312 f.

16. Peterson L.G. Matematikë, klasa e tretë. Pjesa 1, 2. Libër mësuesi për shkollën fillore 4-vjeçare. – M.: “Balass”, 2001.

17. Piaget J. Punime të zgjedhura psikologjike. – SP-b: Shtëpia botuese “Peter”, 1999.

18. Polya D. Zbulim matematik. M.: Nauka, 1976. - 448 f.

19. Sergeenko A.V. Mësimdhënia e matematikës jashtë vendit. – M.: ed. Qendra “Akademia”, 1995. - 197 f.

20. Sawyer W. W. Prelud i matematikës. M.: Arsimi, 1972. - 192 f.

21. Testov V. A. Strategjia për mësimdhënien e matematikës. M.: GShB, 1999. - 304 f.

22. Chuprikova N.I. Zhvillimi mendor dhe të mësuarit. Bazat psikologjike të edukimit zhvillimor. – M.: Almateya, 1995. – 244 f.

23. Erdniev P.M., Erdniev B.P. Matematika: Tekst mësimor provues për klasën e tretë të shkollës fillore katërvjeçare. – M.: Pedagogji, 1999. – 232 f.

24. Erdniev P.M., Erdniev B.P. Teoria dhe metodat e mësimdhënies së matematikës në shkollën fillore. – M.: Pedagogji, 1988. – 208 f.

25. Erdniev P.M., Erdniev B.P. Konsolidimi i njësive didaktike në mësimdhënien e matematikës – M.: Pedagogjika, 1986. – 197 f.

26. Arkhangelsky A.V. Mbi thelbin e matematikës dhe strukturave themelore matematikore // Historia dhe metodologjia e shkencave natyrore (Moskë) - 1986. - Nr. 32. - Fq.14-29.

27. Breitngam E.K. Mësimdhënia e matematikës në një model edukimi me në qendër nxënësin. // Pedagogji. – 2000. - Nr 10. – F. 45-48.

28. Voloshkina M.I. Aktivizimi i veprimtarisë njohëse të nxënësve të shkollave të vogla në mësimet e matematikës. // Shkolla fillore. – 1992. - Nr.9/10. – fq 15-18.

29. Galperin P.Ya., Georgiev L.S. Për çështjen e formimit të koncepteve fillestare matematikore. Raportet I - V. // Raporte të Akademisë së Shkencave Pedagogjike të RSFSR, 1960, Nr. 1, 3, 4-6.

30. Doronina I.M. Përdorimi i metodologjisë UDE në mësimet e matematikës në klasën e tretë. // Shkolla fillore. – 1999. - Nr 11. – F. 29-30.

31. Koncepti i edukimit matematikor (në shkollën 12-vjeçare) // Matematika në shkollë. - 2000- Nr 2. - F.13-18.

32. Martynova O.A. Nga përvoja e mësimdhënies së matematikës duke përdorur sistemin UDE. // Shkolla fillore. – 1993. - ; 4. – fq 29-31.

33. Pentegova G.A. Zhvillimi i të menduarit logjik në mësimet e matematikës. // Shkolla fillore. – 2000. - Nr 11. – F. 74-77.

34. Ukurchieva T.A. Përditësimi i rezervave të operacioneve mendore gjatë mësimdhënies së matematikës. // Shkolla fillore. – 1999. – Nr 11. – F. 17-18.

35. Shatunovsky Ya. Matematika si art i bukur dhe roli i saj në arsimin e përgjithshëm. // Matematika në shkollë. – 2001. - Nr. 3. – F. 6-11.

36. Shikova R.N. Zgjidhja e problemeve që përfshijnë lëvizjen në një drejtim. // Shkolla fillore. – 2000. - Nr 12. – F. 48-52.

37. Elkonin D.B. Hulumtimi psikologjik në shkollën fillore. // Pedagogjia sovjetike. – 1961. - Nr.9. – F. 22-31.

38. Erdniev P.M. Njohuritë e integruara si kusht për mësim të gëzueshëm. // Shkolla fillore. – 1999. - Nr 11. – F. 4-11.

Paraqitja e punës suaj të mirë në bazën e njohurive është e lehtë. Përdorni formularin e mëposhtëm

Studentët, studentët e diplomuar, shkencëtarët e rinj që përdorin bazën e njohurive në studimet dhe punën e tyre do t'ju jenë shumë mirënjohës.

Postuar në http://www.allbest.ru/

HYRJE

PËRFUNDIM

REFERENCAT

Hyrje

Në çdo sistem modern të arsimit të përgjithshëm, matematika zë një nga vendet qendrore, e cila padyshim flet për veçantinë e kësaj fushe dijeje.

Matematikani i shquar rus A.N. Kolmogorov shkroi: “Matematika nuk është vetëm një gjuhë plus arsyetimi, ajo është si gjuha dhe logjika së bashku, ajo përqendron rezultatet e të menduarit të saktë të shumë njerëzve Lidhni një arsyetim me një tjetër Kompleksitetet e dukshme të natyrës me ligjet dhe rregullat e saj të çuditshme, secila prej të cilave lejon një shpjegim të veçantë shumë të detajuar, në fakt janë të lidhura ngushtë. Megjithatë, nëse nuk doni të përdorni matematikën, atëherë në këtë larmi të madhe e fakteve ju nuk do të shihni se logjika ju lejon të lëvizni nga njëri në tjetrin.

Kështu, matematika na lejon të formojmë forma të caktuara të të menduarit të nevojshme për të studiuar botën përreth nesh.

Kështu, në aritmetikë shoqërohet, për shembull, me llogaritjet e kryera në numra shumëshifrorë, në algjebër - me shndërrime identike, logaritmizim, në analizë - me diferencim, etj. Por cilat janë arsyet më të thella që lidhen me përmbajtjen konceptuale të secilës pjesë? Pyetja tjetër ka të bëjë me bazën për dallimin midis aritmetikës shkollore dhe algjebrës (p.sh. pjesa e parë dhe e dytë e kursit). Aritmetika përfshin studimin e numrave natyrorë (numrat e plotë pozitivë) dhe thyesave (të thjeshtë dhe dhjetorë). Megjithatë, një analizë e veçantë tregon se kombinimi i këtyre llojeve të numrave në një lëndë shkollore është i paligjshëm.

1. Aspekte të përgjithshme teorike të studimit të materialit algjebrik në shkollën fillore

matematika e krahasimit të shkollës algjebrike

1.1 Përvoja e futjes së elementeve algjebër në shkollën fillore

Përmbajtja e një lënde akademike, siç dihet, varet nga shumë faktorë - nga kërkesat e jetës për njohuritë e studentëve, nga niveli i shkencave përkatëse, nga aftësitë e moshës mendore dhe fizike të fëmijëve, etj. Shqyrtimi i saktë i këtyre faktorëve është një kusht thelbësor për edukimin sa më efektiv të nxënësve të shkollës dhe zgjerimin e aftësive të tyre njohëse. Por ndonjëherë ky kusht nuk plotësohet për një arsye ose një tjetër. Në këtë rast, mësimdhënia nuk jep efektin e dëshiruar si në drejtim të përvetësimit nga fëmijët të gamës së njohurive të nevojshme, ashtu edhe në drejtim të zhvillimit të inteligjencës së tyre.

Duket se aktualisht programet e mësimdhënies për disa lëndë akademike, në veçanti matematika, nuk korrespondojnë me kërkesat e reja të jetës, me nivelin e zhvillimit të shkencave moderne (për shembull, matematikën) dhe të dhëna të reja nga psikologjia dhe logjika e zhvillimit. Kjo rrethanë dikton nevojën e një testimi gjithëpërfshirës teorik dhe eksperimental të projekteve të mundshme për përmbajtje të reja të lëndëve arsimore.

Baza e njohurive matematikore hidhet në shkollën fillore. Por, për fat të keq, si vetë matematikanët, ashtu edhe metodologët dhe psikologët i kushtojnë shumë pak vëmendje përmbajtjes së matematikës elementare. Mjafton të thuhet se kurrikula e matematikës në shkollën fillore (klasat I - IV) në tiparet e saj kryesore është formuar 50 - 60 vjet më parë dhe pasqyron natyrshëm sistemin e ideve matematikore, metodologjike dhe psikologjike të asaj kohe.

Le të shqyrtojmë tiparet karakteristike të standardit shtetëror për matematikën në shkollën fillore. Përmbajtja e tij kryesore është numrat e plotë dhe veprimet mbi to, të studiuara në një sekuencë të caktuar. Së pari studiohen katër operacione në kufirin 10 dhe 20, pastaj - llogaritjet gojore në kufirin 100, llogaritjet gojore dhe me shkrim në kufirin 1000 dhe së fundi në kufirin e miliona e miliarda. Në klasën IV studiohen disa marrëdhënie midis të dhënave dhe rezultateve të veprimeve aritmetike, si dhe thyesave të thjeshta. Së bashku me këtë, programi përfshin studimin e masave metrike dhe masave kohore, zotërimin e aftësisë për t'i përdorur ato për matje, njohuri për disa elementë të gjeometrisë vizuale - vizatimin e një drejtkëndëshi dhe katrori, matjen e segmenteve, sipërfaqet e një drejtkëndëshi dhe katrori, llogaritja vëllime.

Nga klasa I deri në IV, fëmijët zgjidhin këto lloje kryesore të problemeve (të thjeshta dhe të përbëra): gjetja e shumës dhe e mbetjes, produktit dhe herësit, rritja dhe zvogëlimi i numrave të dhënë, ndryshimi dhe krahasimi i shumëfishtë, rregulla e thjeshtë treshe, pjesëtimi proporcional, gjetja e një i panjohur nga dy dallime, duke llogaritur mesataren aritmetike dhe disa lloje të tjera problemash.

Fëmijët ndeshen me lloje të ndryshme varësish sasiore gjatë zgjidhjes së problemeve. Por është shumë tipike që nxënësit fillojnë problemet pas dhe teksa studiojnë numrat; gjëja kryesore që kërkohet gjatë zgjidhjes është gjetja e një përgjigje numerike. Fëmijët kanë vështirësi të mëdha në identifikimin e vetive të marrëdhënieve sasiore në situata specifike, të veçanta, të cilat zakonisht konsiderohen si probleme aritmetike. Praktika tregon se manipulimi i numrave shpesh zëvendëson analizën aktuale të kushteve të problemit nga pikëpamja e varësive të sasive reale. Për më tepër, problemet e paraqitura në tekstet shkollore nuk paraqesin një sistem në të cilin situatat më “komplekse” do të shoqëroheshin me shtresa “më të thella” të marrëdhënieve sasiore. Probleme të së njëjtës vështirësi mund të gjenden si në fillim ashtu edhe në fund të tekstit shkollor. Ato ndryshojnë nga seksioni në seksion dhe nga klasa në klasë për sa i përket kompleksitetit të komplotit (numri i veprimeve rritet), renditja e numrave (nga dhjetë në një miliard), kompleksiteti i varësive fizike (nga problemet e shpërndarjes në lëvizje probleme) dhe parametra të tjerë. Vetëm një parametër - thellimi në vetë sistemin e ligjeve matematikore - manifestohet dobët dhe në mënyrë të paqartë në to. Prandaj, është shumë e vështirë të përcaktohet një kriter për vështirësinë matematikore të një problemi të caktuar. Pse problemet për gjetjen e një të panjohure nga dy dallime dhe gjetjen e mesatares aritmetike (klasa III) janë më të vështira se problemet për dallimin dhe krahasimin e shumëfishtë (klasa II)? Metodologjia nuk jep një përgjigje bindëse dhe logjike për këtë pyetje.

Duket se analiza kritike e programit aritmetik të miratuar duhet të bazohet në dispozitat e mëposhtme:

Koncepti i numrit nuk është identik me konceptin e karakteristikave sasiore të objekteve;

Numri nuk është forma origjinale e marrëdhënieve sasiore.

Le të japim arsyetimin për këto dispozita. Dihet mirë se matematika moderne (në veçanti, algjebra) studion aspekte të marrëdhënieve sasiore që nuk kanë një guaskë numerike. Dihet gjithashtu mirë se disa marrëdhënie sasiore janë mjaft të shprehura pa numra dhe para numrave, për shembull, në segmente, vëllime, etj. (marrëdhënie "më shumë", "më pak", "barabartë"). Paraqitja e koncepteve origjinale të përgjithshme matematikore në manualet moderne kryhet në një simbolikë të tillë që nuk nënkupton domosdoshmërisht shprehjen e objekteve me numra. Pra, në librin e E.G. "Aritmetika teorike" e Goninit objektet themelore matematikore shënohen që në fillim me shkronja dhe shenja të veçanta.

Është karakteristikë që disa lloje numrash dhe varësi numerike jepen vetëm si shembuj, ilustrime të vetive të bashkësive dhe jo si forma e vetme e mundshme dhe e vetme ekzistuese e shprehjes së tyre. Më tej, vlen të përmendet se shumë ilustrime të përkufizimeve individuale matematikore jepen në formë grafike, përmes raportit të segmenteve, zonave. Të gjitha vetitë themelore të grupeve dhe sasive mund të nxirren dhe justifikohen pa përfshirë sistemet numerike; Për më tepër, vetë këta të fundit justifikohen në bazë të koncepteve të përgjithshme matematikore.

Nga ana tjetër, vëzhgime të shumta nga psikologë dhe mësues tregojnë se idetë sasiore lindin tek fëmijët shumë kohë përpara se të fitojnë njohuri për numrat dhe mënyrën e përdorimit të tyre. Vërtetë, ekziston një tendencë për t'i klasifikuar këto ide si "formacione para-matematikore" (që është krejt e natyrshme për metodat tradicionale që identifikojnë karakteristikat sasiore të një objekti me një numër), megjithatë, kjo nuk ndryshon funksionin e tyre thelbësor në funksionin e fëmijës. orientimi i përgjithshëm në vetitë e sendeve. Dhe ndonjëherë ndodh që thellësia e këtyre gjoja "formacioneve para-matematikore" është më domethënëse për zhvillimin e të menduarit matematikor të një fëmije sesa njohja e ndërlikimeve të teknologjisë kompjuterike dhe aftësia për të gjetur varësi thjesht numerike. Vlen të përmendet se akademiku A.N. Kolmogorov, duke karakterizuar tiparet e krijimtarisë matematikore, vë në dukje posaçërisht këtë rrethanë: “Baza e shumicës së zbulimeve matematikore është një ide e thjeshtë: një ndërtim gjeometrik vizual, një pabarazi e re elementare, etj. Është e nevojshme vetëm të zbatohet siç duhet kjo ide e thjeshtë në zgjidhja e problemit që në pamje të parë duket i paarritshëm”.

Kapërcimi i hendekut ekzistues në mes të përmbajtjes së matematikës në shkollat fillore dhe të mesme;

1.2 Problemi i origjinës së koncepteve algjebrike dhe rëndësia e tij për ndërtimin e një lënde arsimore

Ndarja e lëndës së matematikës shkollore në algjebër dhe aritmetikë është, natyrisht, e kushtëzuar. Kalimi nga njëri në tjetrin ndodh gradualisht. Në praktikën shkollore, kuptimi i këtij tranzicioni maskohet nga fakti se studimi i thyesave në të vërtetë ndodh pa mbështetje të gjerë për matjen e sasive - thyesat jepen si raporte të çifteve të numrave (edhe pse formalisht rëndësia e matjes së sasive njihet në manualet metodologjike ). Një prezantim i gjerë i numrave thyesorë të bazuar në matjen e sasive çon në mënyrë të pashmangshme në konceptin e një numri real. Por kjo e fundit zakonisht nuk ndodh, pasi studentët vazhdojnë të punojnë me numra racionalë për një kohë të gjatë, dhe në këtë mënyrë kalimi i tyre në "algjebër" vonohet.

Me fjalë të tjera, algjebra shkollore fillon pikërisht kur krijohen kushtet për kalimin nga numrat e plotë në numrat realë, për të shprehur rezultatin e një matjeje si një thyesë (e thjeshtë dhe dhjetore - e fundme, dhe pastaj e pafundme). Për më tepër, pikënisja mund të jetë njohja me operacionin e matjes, marrja e thyesave dhjetore të fundme dhe të mësuarit se si të operohen me to. Nëse nxënësit e dinë tashmë këtë formë të shkrimit të rezultatit të një matjeje, atëherë kjo shërben si parakusht për të “braktisur” idenë se një numër mund të shprehet edhe si një thyesë e pafundme. Dhe këshillohet që ky parakusht të krijohet tashmë brenda shkollës fillore.

Duke ndjekur idetë e Lebesgue në lidhje me "konceptin e përgjithshëm të numrit", është e mundur të sigurohet unitet i plotë në mësimdhënien e matematikës, por vetëm nga momenti dhe pasi të njihen fëmijët me numërimin dhe numrat e plotë (natyrorë). Sigurisht, koha e këtij njohjeje paraprake mund të jetë e ndryshme (në programet tradicionale për shkollat fillore ato janë të vonuara qartësisht elementët e matjeve praktike madje mund të futen në kursin e aritmetikës elementare (që zhvillohet në program) - megjithatë, e gjithë kjo nuk eliminon dallimet në themelet e aritmetikës dhe "algjebrës" si lëndë mësimore. "Dualizmi" i pikave të fillimit gjithashtu pengon seksionet që lidhen me matjen e sasive dhe kalimin në thyesat reale që të "zënë rrënjë" vërtet në një kurs aritmetik. Autorët e programeve dhe metodologët përpiqen të ruajnë stabilitetin dhe "pastërtinë" e aritmetikës si lëndë shkollore. Ky ndryshim në burime është arsyeja kryesore për mësimin e matematikës sipas skemës - së pari aritmetikë (numër i plotë), pastaj "algjebër" (numër real).

Kjo skemë duket krejt e natyrshme dhe e palëkundur, për më tepër, justifikohet nga praktika shumëvjeçare në mësimdhënien e matematikës. Por ka rrethana që nga pikëpamja logjike dhe psikologjike kërkojnë një analizë më të plotë të ligjshmërisë së kësaj skeme të ngurtë mësimore.

Njohja e veçorive të kësaj baze të unifikuar të numërimit dhe matjes do të bëjë të mundur që të imagjinohen më qartë kushtet e origjinës së tyre, nga njëra anë, dhe marrëdhëniet, nga ana tjetër.

Kujt duhet t'i drejtohemi për të gjetur rrënjën e përbashkët të pemës degëzuese të numrave? Duket se, para së gjithash, është e nevojshme të analizohet përmbajtja e konceptit të sasisë. Vërtetë, ky term lidhet menjëherë me një dimension tjetër. Megjithatë, legjitimiteti i një lidhjeje të tillë nuk përjashton njëfarë pavarësie të kuptimit të "madhësive". Shqyrtimi i këtij aspekti na lejon të nxjerrim përfundime që bashkojnë, nga njëra anë, matjen dhe numërimin, dhe nga ana tjetër, funksionimin e numrave me marrëdhënie dhe modele të caktuara të përgjithshme matematikore.

Pra, çfarë është “sasia” dhe çfarë interesi ka ajo për ndërtimin e seksioneve fillestare të matematikës shkollore? Në përdorim të përgjithshëm, termi "madhësi" shoqërohet me konceptet "e barabartë", "më shumë", "më pak", të cilat përshkruajnë një sërë cilësish (gjatësia dhe dendësia, temperatura dhe bardhësia). V.F. Kagan ngre pyetjen se cilat veçori të përbashkëta kanë këto koncepte. Tregon se ato lidhen me agregatet - grupe objektesh homogjene, krahasimi i elementeve të të cilave na lejon të zbatojmë termat "më shumë", "barabartë", "më pak" (për shembull, për agregatet e të gjitha segmenteve të drejtëza, pesha, shpejtësitë, etj.).

Një grup objektesh shndërrohet në madhësi vetëm kur vendosen kritere që bëjnë të mundur të përcaktohet, në lidhje me cilindo prej elementeve të tij A dhe B, nëse A do të jetë e barabartë me B, më e madhe se B ose më e vogël se B. Për më tepër, për çdo dy element A dhe B, një dhe vetëm një nga raportet: A=B, A>B, A<В. Эти предложения составляют полную дизъюнкцию (по крайней мере, одно имеет место, но каждое исключает все остальные).

V.F. Kagan identifikon tetë vetitë e mëposhtme themelore të koncepteve "të barabartë", "më i madh", "më pak": .

1) Të paktën një nga marrëdhëniet vlen: A=B, A>B, A<В.

2) Nëse relacioni A = B vlen, atëherë relacioni A nuk vlen<В.

3) Nëse relacioni A=B vlen, atëherë relacioni A>B nuk vlen.

4) Nëse A=B dhe B=C, atëherë A=C.

5) Nëse A>B dhe B>C, atëherë A>C.

6) Nëse A<В и В<С, то А<С.

7) Barazia është një lidhje e kthyeshme: nga relacioni A=B rrjedh gjithmonë relacioni B=A.

8) Barazia është një lidhje reciproke: cilido qoftë elementi A i grupit në shqyrtim, A = A.

Tre fjalitë e para karakterizojnë ndarjen e marrëdhënieve themelore "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых

tre elemente A, B dhe C. Fjalitë e mëposhtme 7 - 8 karakterizojnë vetëm barazinë - kthyeshmërinë dhe përsëritjen (ose refleksivitetin) e saj. V.F. Kagan i quan këto tetë dispozita bazë postulate krahasimi, mbi bazën e të cilave mund të nxirren një sërë veçorish të tjera të sasisë.

Këto veti konkluzionale të V.F. Kagan përshkruan në formën e tetë teoremave:

I. Raporti A>B përjashton raportin B>A (A<В исключает В<А).

II. Nëse A>B, atëherë B<А (если А<В, то В>A).

III. Nëse qëndron A>B, atëherë A nuk qëndron.

IV. Nëse A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1, atëherë A1=An.

V. Nëse A1>A2, A2>A3,.., An-1>An, atëherë A1>An.

VI. Nëse A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Nëse A=C dhe B=C, atëherë A=B.

VIII. Nëse ka barazi ose pabarazi A=B, ose A>B, ose A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа: если А=В и А=С, то С=В; если А>B dhe A=C, pastaj C>B, etj.).

Nga ky këndvështrim, mund të konsiderohet, për shembull, një veti e tillë e gjërave si ngurtësia (fortësi më e fortë, më e butë, e barabartë), sekuenca e ngjarjeve në kohë (pas, paraardhëse, e njëkohshme) etj. Në të gjitha këto raste, raportet "alfa", "beta", "gama" marrin interpretimin e tyre specifik. Detyra që lidhet me zgjedhjen e një grupi të tillë trupash që do të kishin këto marrëdhënie, si dhe identifikimin e shenjave me të cilat mund të karakterizohen "alfa", "beta", "gama" - kjo është detyra e përcaktimit të kritereve të krahasimit. në një grup të caktuar trupash (në praktikë, në disa raste nuk është e lehtë të zgjidhet). "Duke vendosur kritere krahasimi, ne e transformojmë shumësinë në madhësi," shkroi V.F. Kagan. Objektet reale mund të shikohen nga këndvështrimi i kritereve të ndryshme. Kështu, një grup njerëzish mund të konsiderohet sipas një kriteri të tillë si sekuenca e momenteve të lindjes së secilit prej anëtarëve të tij. Një kriter tjetër është pozicioni relativ që do të marrin kokat e këtyre njerëzve nëse vendosen krah për krah në të njëjtin rrafsh horizontal. Në çdo rast, grupi do të shndërrohet në një sasi që ka një emër përkatës - mosha, lartësia. Në praktikë, një sasi zakonisht nuk tregon vetë grupin e elementeve, por një koncept të ri të paraqitur për të dalluar kriteret e krahasimit (emri i sasisë). Kështu lindin konceptet “vëllim”, “peshë”, “tension elektrik” etj. "Në të njëjtën kohë, për një matematikan, vlera përcaktohet plotësisht kur tregohen shumë elementë dhe kritere krahasimi," vuri në dukje V.F. Kagan.

Të gjitha këto transformime mund të kryhen në trupa fizikë dhe objekte të tjera duke vendosur kritere krahasimi dhe korrespondencë të marrëdhënieve të zgjedhura me postulatet e krahasimit.

Materialet e mësipërme na lejojnë të arrijmë në përfundimin se si numrat natyrorë ashtu edhe ato realë janë të lidhur ngushtë me sasitë dhe disa nga veçoritë e tyre thelbësore. A është e mundur që këto dhe të tjera veti të bëhen objekt studimi të veçantë për fëmijën edhe para se të futet forma numerike e përshkrimit të raportit të sasive? Ato mund të shërbejnë si parakushte për prezantimin e mëvonshëm të detajuar të numrit dhe llojeve të ndryshme të tij, veçanërisht për propedeutikën e thyesave, konceptet e koordinatave, funksionet dhe konceptet e tjera tashmë në klasat e vogla.

Cila mund të jetë përmbajtja e këtij seksioni fillestar? Ky është një njohje me objektet fizike, kriteret e krahasimit të tyre, nxjerrja në pah e një sasie si lëndë e shqyrtimit matematikor, njohja me metodat e krahasimit dhe mjetet simbolike të regjistrimit të rezultateve të saj, me teknikat për analizimin e vetive të përgjithshme të sasive. Kjo përmbajtje duhet të zhvillohet në një program mësimor relativisht të detajuar dhe, më e rëndësishmja, të lidhet me ato veprime të fëmijës përmes të cilave ai mund të zotërojë këtë përmbajtje (sigurisht, në formën e duhur). Në të njëjtën kohë, është e nevojshme të përcaktohet eksperimentalisht nëse fëmijët 7-vjeçarë mund ta zotërojnë këtë program dhe cila është mundësia e prezantimit të tij për mësimin e mëvonshëm të matematikës në klasat fillore në drejtim të afrimit të aritmetikës dhe algjebrës fillore. së bashku.

Deri më tani, arsyetimi ynë ka qenë teorik i natyrës dhe synon të qartësojë parakushtet matematikore për ndërtimin e një seksioni të tillë fillestar të lëndës që do t'i njihte fëmijët me konceptet bazë algjebrike (para prezantimit të veçantë të numrave). Vetitë kryesore që karakterizojnë sasitë janë përshkruar më sipër. Natyrisht, nuk ka kuptim që fëmijët 7-vjeçar të japin “leksione” në lidhje me këto prona.

Ishte e nevojshme të gjendej një formë e punës së fëmijëve me material didaktik, përmes së cilës ata, nga njëra anë, të identifikonin këto veti në gjërat që i rrethonin, dhe nga ana tjetër, të mësonin t'i rregullonin ato me simbole të caktuara dhe të kryenin një matematikë elementare. analiza e marrëdhënieve të identifikuara.

Këtu është përmbledhja e këtij programi dhe temat kryesore të tij.

Tema I. Nivelimi dhe plotësimi i objekteve (sipas gjatësisë, vëllimit, peshës, përbërjes së pjesëve dhe parametrave të tjerë).

Këto detyra zgjidhen në procesin e punës me materialin didaktik (shufra, pesha, etj.) nga:

Zgjedhja e artikullit "të njëjtë",

Riprodhimi (ndërtimi) i të njëjtit objekt sipas një parametri të zgjedhur (të specifikuar).

Tema II. Krahasimi i objekteve dhe fiksimi i rezultateve të tij duke përdorur formulën barazi-pabarazi.

1. Detyra për krahasimin e objekteve dhe përcaktimin simbolik të rezultateve të këtij veprimi.

2. Regjistrimi verbal i rezultateve të krahasimit ( termat “më shumë”, “më pak”, “barabartë”). Karakteret e shkruara ">", "<", "=".

3. Tregimi i rezultatit të krahasimit me një vizatim ("kopjim" dhe më pas "abstrakt" - rreshta).

4. Përcaktimi i objekteve të krahasuara me shkronja. Regjistrimi i rezultatit të krahasimit duke përdorur formulat: A=B; A<Б, А>B. Një shkronjë si shenjë që fikson një vlerë të caktuar drejtpërdrejt të një objekti sipas një parametri të zgjedhur (nga pesha, nga vëllimi, etj.).

Tema III. Vetitë e barazisë dhe pabarazisë.

1. Kthyeshmëria dhe refleksiviteti i barazisë (nëse A=B, atëherë B=A; A=A).

2. Lidhja ndërmjet marrëdhënieve “më shumë” dhe “më pak” në pabarazitë gjatë “permutacioneve” të palëve të krahasuara (nëse A>B, atëherë B<А и т.п.).

3. Kalueshmëria si veti e barazisë dhe pabarazisë:

nëse A=B, nëse A>B, nëse A<Б,

a B=B, a B>B, a B<В,

pastaj A=B; pastaj A>B; pastaj A<В.

Tema IV. Operacioni i mbledhjes (zbritjes).

2. Shkelja e barazisë së vendosur më parë me një ndryshim përkatës në njërën ose tjetrën anë të saj. Kalimi nga barazia në pabarazi. Shkrimi i formulave si:

nëse A=B, nëse A=B,

pastaj A+K>B; pastaj A-K<Б.

3. Metodat e kalimit në barazi të re ("rivendosja" e tij sipas parimit:

duke shtuar "e barabartë" në "e barabartë" jep "barabartë").

Puna me formula si:

pastaj A+K>B, por A+K=B+K.

4. Zgjidhja e problemave të ndryshme që kërkojnë përdorimin e mbledhjes (zbritjes) kur kalohet nga barazia në pabarazi dhe mbrapa.

Tema V. Kalimi nga mosbarazimi i tipit A<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

Shkrimi i formulave si:

nëse A<Б, если А>B,

atëherë A+x=B; atëherë A-x=B.

2. Përcaktimi i vlerës së x. Zëvendësimi i kësaj vlere në formulë (hyrje në kllapa). Lloji formula

3. Zgjidhja e problemeve (përfshirë "plot-tekstual") që kërkojnë kryerjen e operacioneve të specifikuara.

Tema Vl. Mbledhje-zbritje barazish-pabarazish. Zëvendësimi.

1. Mbledhja-zbritja e barazive-pabarazimeve:

nëse A=B nëse A>B nëse A>B

dhe M=D, dhe K>E, dhe B=G, pastaj A+M=B+D; pastaj A+K>B+E; pastaj A+-B>C+-G.

2. Aftësia për të paraqitur vlerën e një sasie si shumë e disa vlerave. Zëvendësimi i llojit:

Ky është një program i projektuar për 3.5 - 4 muaj. gjysmën e parë të vitit. Siç tregon përvoja e mësimdhënies eksperimentale, me planifikimin e duhur të mësimit, përmirësimin e metodave të mësimdhënies dhe zgjedhjen e suksesshme të mjeteve ndihmëse didaktike, i gjithë materiali i paraqitur në program mund të absorbohet plotësisht nga fëmijët në një periudhë më të shkurtër kohore (në 3 muaj). . Si po ecën përpara programi ynë? Para së gjithash, fëmijët njihen me metodën e marrjes së një numri që shpreh marrëdhënien e një objekti në tërësi (e njëjta sasi e përfaqësuar nga një objekt i vazhdueshëm ose diskret) me pjesën e tij. Vetë ky raport dhe kuptimi i tij specifik përshkruhet me formulën A/K = n, ku n është çdo numër i plotë, më së shpeshti duke shprehur raportin me "njësinë" më të afërt (vetëm me një përzgjedhje të veçantë të materialit ose duke numëruar vetëm "cilësisht" gjëra individuale mund të merret një numër i plotë absolutisht i saktë). Fëmijët që në fillim janë “të detyruar” të kenë parasysh se gjatë matjes ose numërimit mund të rezultojë një mbetje, prania e së cilës duhet të përcaktohet posaçërisht. Ky është hapi i parë për punën e mëvonshme me thyesat. Me këtë formë të marrjes së një numri, nuk është e vështirë t'i shtysh fëmijët të përshkruajnë një objekt me një formulë si A = 5k (nëse raporti ishte i barabartë me "5"). Së bashku me formulën e parë, ajo hap mundësi për një studim të veçantë të varësive midis objektit, bazës (matjes) dhe rezultatit të numërimit (matjes), e cila shërben edhe si një propedeutik për kalimin në numrat thyesorë (në veçanti , për të kuptuar vetinë themelore të një thyese). Një linjë tjetër e zhvillimit të programit, e zbatuar tashmë në klasën e parë, është transferimi në numra (numra të plotë) të vetive bazë të sasisë (disjuksioni i barazisë-pabarazi, transitiviteti, kthyeshmëria) dhe funksionimi i mbledhjes (komutativiteti, asociativiteti, monotoniteti, etj. mundësia e zbritjes). Në veçanti, duke punuar në vijën numerike, fëmijët mund të konvertojnë shpejt sekuencat e numrave në madhësi (për shembull, të vlerësojnë qartë kalueshmërinë e tyre duke bërë shënime të tipit 3<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.) .

Kështu, trajtimi i një serie numrash si një sasi ju lejon të zhvilloni aftësitë e mbledhjes dhe zbritjes (dhe më pas shumëzimit dhe pjesëtimit) në një mënyrë të re.

2.1 Mësimdhënia në shkollën fillore në raport me nevojat e shkollës së mesme

Ushtrimet për këtë temë synojnë gjithashtu vetëm praktikimin e zëvendësimit të prodhimit të një numri dhe një me këtë numër. E gjithë kjo çon jo vetëm në faktin se një pikë shumë e rëndësishme nuk bëhet objekt i ndërgjegjes së fëmijëve: çdo numër mund të shkruhet në formën e një produkti, i cili në algjebër do të shkaktojë vështirësi përkatëse kur punoni me polinome, por edhe në fakti që fëmijët, në parim, nuk dinë të punojnë drejt me raportin e barazisë. Për shembull, kur punojnë me formulën e ndryshimit të katrorëve, fëmijët, si rregull, përballen me detyrën e faktorizimit të ndryshimit të katrorëve. Megjithatë, ato detyra ku kërkohet veprimi i kundërt shkaktojnë vështirësi në shumë raste. Një tjetër ilustrim i mrekullueshëm i kësaj ideje është puna me ligjin shpërndarës të shumëzimit në lidhje me mbledhjen. Edhe këtu, pavarësisht shkronjave të ligjit, si formulimi verbal i tij ashtu edhe sistemi i ushtrimeve vetëm sa stërvitin aftësinë për të hapur kllapa. Si rezultat, vendosja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave do të shkaktojë vështirësi të konsiderueshme në të ardhmen.

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Me këtë metodë të punës, fëmijët do të vërejnë shumë shpejt modelin e serisë së numrave që rezulton.

Pas 3-4 barazive, ata do të ndalojnë së shtuari dyshe dhe do të fillojnë të shkruajnë rezultatin bazuar në modelin e vëzhguar. Kështu, metoda e ndërtimit të tabelës së shumëzimit nuk do të bëhet objekt i ndërgjegjes së tyre, gjë që do të rezultojë në asimilimin e saj të brishtë.

Përdorimi i qartësisë ilustruese dhe veprimeve thelbësore në tekstet shkollore shpesh çon në vetë konceptin "të paqartë". Për shembull, në metodat e matematikës për klasat 1-3 M.I. Moreau thotë se fëmijët duhet të bëjnë ndarje duke renditur objektet në pirgje ose duke bërë një vizatim për 30 mësime. Veprime të tilla humbasin thelbin e operacionit të ndarjes si veprimi i kundërt i shumëzimit. Si rezultat, ndarja mësohet me vështirësinë më të madhe dhe është shumë më e keqe se veprimet e tjera aritmetike.

Sidoqoftë, është e mundur të sigurohet propedeutikë për një punë të tillë, për t'i mësuar fëmijët të zëvendësojnë një numër në vend të një shkronje në një shprehje shkronjash tashmë në shkollën fillore. Kjo është bërë, për shembull, në tekstin shkollor nga L.G. Peterson.

Përveç kësaj, duhet të theksohet se kur shumëzoni një numër natyror dhe kur shumëzoni një thyesë dhjetore me njësi të plota, në thelb ndodh e njëjta gjë: çdo shifër e numrit zhvendoset djathtas me numrin përkatës të shifrave. Prandaj, nuk ka kuptim t'u mësoni fëmijëve dy rregulla të veçanta dhe plotësisht formale. Është shumë më e dobishme t'u mësoni atyre një mënyrë të përgjithshme për të vepruar kur zgjidhin probleme të ngjashme.

2.2 Krahasimi (kontrasti) i koncepteve në orët e matematikës

Programi aktual parashikon studimin në klasën e parë të vetëm dy veprimeve të nivelit të parë - mbledhje dhe zbritje. Kufizimi i vitit të parë të studimit në vetëm dy operacione është, në thelb, një largim nga ajo që ishte arritur tashmë në tekstet shkollore që u paraprinë atyre aktuale: asnjë mësues i vetëm nuk u ankua kurrë se shumëzimi dhe pjesëtimi, le të themi, brenda 20, ishte përtej aftësitë e nxënësve të klasës së parë. Vlen gjithashtu t'i kushtohet vëmendje faktit që në shkollat e vendeve të tjera, ku arsimi fillon në moshën 6-vjeçare, viti i parë shkollor përfshin njohjen fillestare me të katër veprimet aritmetike.

Matematika mbështetet, para së gjithash, në katër veprime dhe sa më shpejt të përfshihen në praktikën e të menduarit të studentit, aq më i qëndrueshëm dhe më i besueshëm do të jetë zhvillimi i mëpasshëm i lëndës së matematikës.

Për të qenë të drejtë, duhet theksuar se në variantet e para të teksteve të M.I.Moro-s për klasën I, parashikohej shumëzim dhe pjesëtim. Sidoqoftë, një aksident u pengua: autorët e programeve të reja u kapën vazhdimisht pas një "gjëje të re" - mbulimi në klasën e parë të të gjitha rasteve të mbledhjes dhe zbritjes brenda 100 (37+58 dhe 95-58, etj.) . Por, duke qenë se nuk kishte kohë të mjaftueshme për të studiuar një vëllim kaq të zgjeruar informacioni, u vendos që shumëzimi dhe pjesëtimi të zhvendosej plotësisht në vitin e ardhshëm të studimit.

Sipas traditës, studimi i mbledhjes dhe zbritjes brenda 20 ka qenë një temë e veçantë Nevoja për këtë qasje në sistemimin e njohurive është e dukshme edhe nga analiza logjike e pyetjes: fakt është se tabela e plotë për mbledhjen njëshifrore. numrat zhvillohen brenda dy dhjetësheve (0+1= 1, ...,9+9=18). Kështu, numrat brenda 20 formojnë një sistem të plotë marrëdhëniesh në lidhjet e tyre të brendshme; prandaj është e qartë përshtatshmëria e ruajtjes së “Njëzetave” si temë e dytë integrale (tema e parë e tillë janë veprimet brenda dhjetëshes së parë).

Rasti në diskutim është pikërisht ai ku koncentriciteti (ruajtja e dhjetës së dytë si një temë e veçantë) rezulton të jetë më e dobishme sesa lineariteti ("shpërbërja" e dhjetës së dytë në temën "Njëqind").

Në librin shkollor të M.I. Moro, studimi i dhjetëshes së parë është i ndarë në dy seksione të izoluara: së pari, studiohet përbërja e numrave të dhjetës së parë dhe në temën tjetër merren parasysh veprimet brenda 10. Në tekstin eksperimental nga P.M. Erdnieva, ndryshe nga kjo, kreu një studim të përbashkët të numërimit, përbërjes së numrave dhe veprimeve (mbledhje dhe zbritje) brenda 10 menjëherë në një seksion. Me këtë qasje, përdoret një studim monografik i numrave, përkatësisht: brenda numrit në shqyrtim (për shembull, 3), e gjithë "matematika e parave të gatshme" kuptohet menjëherë: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 - 1 = 2; 3 - 2 = 1.

Çështja e klasifikimit të detyrave dhe emrave të llojeve të tyre kërkon vëmendje të veçantë në metodologjinë e trajnimit fillestar. Breza të tëra metodologësh punuan për të përmirësuar sistemin e detyrave të shkollës, për të krijuar llojet dhe varietetet e tyre efektive, deri në përzgjedhjen e termave të suksesshëm për emrat e detyrave të destinuara për studime në shkollë. Dihet se të paktën gjysma e kohës mësimore në orët e matematikës i kushtohet zgjidhjes së tyre. Detyrat e shkollës sigurisht që kanë nevojë për sistemim dhe klasifikim. Çfarë lloj (lloji) detyrash për të studiuar, kur për të studiuar, çfarë lloj problemesh për të studiuar në lidhje me kalimin e një seksioni të caktuar është një objekt legjitim i studimit të metodologjisë dhe përmbajtjes qendrore të programeve. Rëndësia e kësaj rrethane është e qartë nga historia e metodologjisë së matematikës.

konkluzioni

Aktualisht, janë krijuar kushte mjaft të favorshme për një përmirësim rrënjësor në organizimin e arsimit matematikor në shkollën fillore:

1) shkolla fillore është shndërruar nga trevjeçare në katërvjeçare;

Dokumente të ngjashme

Karakteristikat e formimit të përfaqësimeve të përkohshme në mësimet e matematikës në shkollën fillore. Karakteristikat e sasive të studiuara në shkollën fillore. Njohja me metodologjinë për formimin e përfaqësive të përkohshme në kursin fillestar të matematikës të kompleksit arsimor "Shkolla e Rusisë".

tezë, shtuar 16.12.2011

Integrimi i shkencave kompjuterike dhe matematikës si drejtimi kryesor në rritjen e efektivitetit të të nxënit. Metodologjia për aplikimin e softuerit në mësimet interaktive. Përzgjedhja e materialit edukativ për mësimin elektronik të matematikës dhe shkencave kompjuterike në shkollën e mesme.

tezë, shtuar 04/08/2013

Një ide e metodave aktive të të mësuarit, veçoritë e zbatimit të tyre në shkollën fillore. Klasifikimi i metodave aktive të mësimdhënies së matematikës në shkollën fillore në baza të ndryshme. Metodat interaktive të mësimdhënies së matematikës dhe avantazhet e tyre.

puna e kursit, shtuar 02/12/2015

Metodologjia e studimit të vijës probabilistiko-statistikore (stokastike) në lëndën e matematikës në shkollën bazë. Analiza e perceptimit të nxënësve për materialin: shkalla e interesit; niveli i aksesueshmërisë; vështirësi në studimin e këtij materiali; cilësia e asimilimit.

tezë, shtuar 28.05.2008

Thelbi dhe objektivat e të nxënit ndërveprues në shkollën fillore. Zbatimi i një sërë metodash dhe teknikash për mësimdhënien ndërvepruese të nxënësve më të vegjël në orët e matematikës. Identifikimi i dinamikës së nivelit të formimit të veprimeve arsimore universale të nxënësve të shkollës.

tezë, shtuar 17.02.2015

Procesi i punës në një detyrë. Llojet e problemeve, aftësitë dhe nivelet e aftësisë për t'i zgjidhur ato. Metodologjia e mësimdhënies për transformimin e problemit. Koncepti i transformimit të detyrës. Metodat e mësimdhënies dhe transformimit të problemeve në mësimet e matematikës në shkollën fillore.

tezë, shtuar 06/11/2008

Metodat e përdorimit të detyrave kërkimore në mësimet e matematikës si një mjet për zhvillimin e aktivitetit mendor të nxënësve të rinj të shkollës; sistematizimi dhe testimi i ushtrimeve zhvillimore, rekomandime për përdorimin e tyre në shkollën fillore.

puna e kursit, shtuar 15.02.2013

Karakteristikat e studimit të matematikës në shkollën fillore sipas Standardit Federal të Arsimit Shtetëror për Arsimin Fillor të Përgjithshëm. Përmbajtja e kursit. Analiza e koncepteve themelore matematikore. Thelbi i një qasjeje individuale në didaktikë.

puna e kursit, shtuar 29.09.2016

Matematika është një nga shkencat më abstrakte të studiuara në shkollën fillore. Njohja me veçoritë e përdorimit të materialit historik në mësimet e matematikës në klasën e 4-të. Analiza e problemeve kryesore në zhvillimin e veprimtarisë njohëse të nxënësve të shkollës.

tezë, shtuar 07/10/2015

Shqyrtimi i bazave psikologjike dhe pedagogjike të studimit të problemeve logjike në shkollën fillore. Karakteristikat e zhvillimit të të menduarit logjik në mësimet e matematikës në shkollën fillore nga këndvështrimi i kërkesave të Standardit Federal të Arsimit të Shtetit.