E dhënë material metodologjikështë vetëm për referencë dhe i referohet në një rreth të gjerë temave Artikulli ofron një përmbledhje të grafikëve të funksioneve themelore elementare dhe diskuton pyetja më e rëndësishme – si të ndërtohet një grafik saktë dhe SHPEJT. Gjatë studimit matematikë e lartë Pa i ditur grafikët e funksioneve elementare bazë, do të jetë e vështirë, prandaj është shumë e rëndësishme të mbani mend se si duken grafikët e parabolës, hiperbolës, sinusit, kosinusit etj. dhe të mbani mend disa nga vlerat e funksionit. Do të flasim gjithashtu për disa veti të funksioneve kryesore.

Unë nuk pretendoj plotësinë dhe tërësinë shkencore të materialeve theksi do të vihet, para së gjithash, në praktikë - ato gjëra me të cilat ndeshet fjalë për fjalë në çdo hap, në çdo temë të matematikës së lartë. Listat për dummies? Mund të thuash edhe këtë.

Për shkak të kërkesave të shumta të lexuesve tabela e përmbajtjes e klikueshme:

Përveç kësaj, ekziston një përmbledhje ultra e shkurtër mbi temën
– zotëroni 16 lloje tabelash duke studiuar GJASHTË faqe!

Seriozisht, gjashtë, edhe unë u habita. Kjo përmbledhje përmban grafikë të përmirësuar dhe është në dispozicion për një tarifë nominale, ju mund të shikoni versionin demo. Është i përshtatshëm për të printuar skedarin në mënyrë që grafikët të jenë gjithmonë pranë. Faleminderit për mbështetjen e projektit!

Dhe le të fillojmë menjëherë:

Si të ndërtojmë saktë boshtet e koordinatave?

Në praktikë, pothuajse gjithmonë testet plotësohen nga nxënësit në fletore të veçanta, të rreshtuara në katror. Pse keni nevojë për shenja me kuadrate? Në fund të fundit, puna, në parim, mund të bëhet në fletë A4. Dhe kafazi është i nevojshëm vetëm për dizajn me cilësi të lartë dhe të saktë të vizatimeve.

Çdo vizatim i një grafik funksioni fillon me boshtet koordinative.

Vizatimet mund të jenë dy-dimensionale ose tre-dimensionale.

Le të shqyrtojmë së pari rastin dydimensional karteziane sistem drejtkëndor koordinatat:

1) Vizatoni boshtet koordinative. Boshti quhet boshti x , dhe boshti është boshti y . Ne gjithmonë përpiqemi t'i vizatojmë ato i zoti dhe jo i shtrembër. Shigjetat gjithashtu nuk duhet t'i ngjajnë mjekrës së Papa Carlo.

2) Etiketoni sëpatat me shkronja të mëdha"X" dhe "Y". Mos harroni të etiketoni sëpatat.

3) Vendosni shkallën përgjatë boshteve: vizatoni një zero dhe dy njëshe. Kur bëni një vizatim, shkalla më e përshtatshme dhe e përdorur shpesh është: 1 njësi = 2 qeliza (vizatimi në të majtë) - nëse është e mundur, ngjituni në të. Sidoqoftë, herë pas here ndodh që vizatimi të mos përshtatet në fletën e fletores - atëherë zvogëlojmë shkallën: 1 njësi = 1 qelizë (vizatimi në të djathtë). Është e rrallë, por ndodh që shkalla e vizatimit duhet të zvogëlohet (ose të rritet) edhe më shumë

NUK KA NEVOJË për "mitraloz" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Për plan koordinativ nuk është një monument i Dekartit dhe studenti nuk është një pëllumb. Ne kemi vënë zero Dhe dy njësi përgjatë akseve. Ndonjëherë në vend të njësitë, është e përshtatshme të "shënoni" vlera të tjera, për shembull, "dy" në boshtin e abshisës dhe "tre" në boshtin e ordinatave - dhe ky sistem (0, 2 dhe 3) gjithashtu do të përcaktojë në mënyrë unike rrjetin e koordinatave.

Është më mirë të vlerësohen dimensionet e vlerësuara të vizatimit PARA se të ndërtohet vizatimi. Kështu, për shembull, nëse detyra kërkon vizatimin e një trekëndëshi me kulme , , , atëherë është plotësisht e qartë se shkalla popullore prej 1 njësi = 2 qeliza nuk do të funksionojë. Pse? Le të shohim pikën - këtu do të duhet të matni pesëmbëdhjetë centimetra poshtë, dhe, padyshim, vizatimi nuk do të përshtatet (ose mezi përshtatet) në një fletë fletoreje. Prandaj, ne zgjedhim menjëherë një shkallë më të vogël: 1 njësi = 1 qelizë.

Nga rruga, rreth centimetra dhe qeliza fletore. A është e vërtetë që 30 qeliza fletoresh përmbajnë 15 centimetra? Për argëtim, matni 15 centimetra në fletoren tuaj me një vizore. Në BRSS, kjo mund të ketë qenë e vërtetë... Është interesante të theksohet se nëse matni të njëjtat centimetra horizontalisht dhe vertikalisht, rezultatet (në qeliza) do të jenë të ndryshme! Në mënyrë të rreptë, fletoret moderne nuk janë me kuadrate, por drejtkëndëshe. Kjo mund të duket e pakuptimtë, por vizatimi, për shembull, një rreth me busull në situata të tilla është shumë i papërshtatshëm. Për të qenë i sinqertë, në momente të tilla filloni të mendoni për korrektësinë e shokut Stalin, i cili u dërgua në kampe për punë haker në prodhim, për të mos përmendur industrinë vendase të automobilave, rënien e avionëve ose shpërthimin e termocentraleve.

Duke folur për cilësinë, ose rekomandim i shkurtër për artikuj shkrimi. Sot, pjesa më e madhe e fletoreve në shitje janë, për të mos thënë më pak, mut. Për arsye se lagen, dhe jo vetëm nga stilolapsat xhel, por edhe nga stilolapsat! Ata kursejnë para në letër. Për regjistrim testet Unë rekomandoj përdorimin e fletoreve nga mulliri i pulpës dhe letrës së Arkhangelsk (18 fletë, katror) ose "Pyaterochka", megjithëse është më i shtrenjtë. Është e këshillueshme që të zgjidhni një stilolaps xhel, madje edhe rimbushja më e lirë me xhel kinez është shumë më e mirë se një stilolaps, i cili ose njolloset ose gris letrën. E vetmja stilolaps "konkurruese" që mund të kujtoj është Erich Krause. Ajo shkruan qartë, bukur dhe vazhdimisht – qoftë me një bërthamë të plotë apo me një bërthamë pothuajse bosh.

Për më tepër: Shikimi i një sistemi koordinativ drejtkëndor me sy gjeometria analitike të mbuluara në artikull Varësia lineare (jo) e vektorëve. Baza e vektorëve, informacion të detajuar rreth tremujorëve të koordinatave mund të gjenden në paragrafin e dytë të mësimit Pabarazitë lineare.

kasë 3D

Është pothuajse e njëjta gjë këtu.

1) Vizatoni boshtet e koordinatave. Standard: aks aplikojnë - i drejtuar lart, boshti - i drejtuar djathtas, boshti - i drejtuar poshtë në të majtë në mënyrë rigoroze në një kënd prej 45 gradë.

2) Etiketoni sëpatat.

3) Vendosni shkallën përgjatë boshteve. Shkalla përgjatë boshtit është dy herë më e vogël se shkalla përgjatë boshteve të tjera. Vini re gjithashtu se në vizatimin e duhur kam përdorur një "notch" jo standarde përgjatë boshtit (kjo mundësi është përmendur tashmë më lart). Nga këndvështrimi im, kjo është më e saktë, më e shpejtë dhe më e këndshme nga ana estetike - nuk ka nevojë të kërkoni mesin e qelizës nën një mikroskop dhe të "skalitni" një njësi afër origjinës së koordinatave.

Kur bëni një vizatim 3D, përsëri, jepni përparësi shkallës
1 njësi = 2 qeliza (vizatimi në të majtë).

Për çfarë janë të gjitha këto rregulla? Rregullat janë bërë për t'u thyer. Kjo është ajo që do të bëj tani. Fakti është se vizatimet e mëvonshme të artikullit do të bëhen nga unë në Excel, dhe boshtet e koordinatave do të duken të pasakta nga pikëpamja dizajn i saktë. Mund t'i vizatoja të gjithë grafikët me dorë, por është në të vërtetë e frikshme t'i vizatosh pasi Excel ngurron t'i vizatojë shumë më saktë.

Grafikët dhe vetitë themelore të funksioneve elementare

Funksioni linear jepet nga ekuacioni. Grafiku i funksioneve lineare është e drejtpërdrejtë. Për të ndërtuar një vijë të drejtë, mjafton të njihni dy pika.

Shembulli 1

Ndërtoni një grafik të funksionit. Le të gjejmë dy pika. Është e dobishme të zgjidhni zero si një nga pikat.

Nëse, atëherë

Le të marrim një pikë tjetër, për shembull, 1.

Nëse, atëherë

Kur plotësoni detyrat, koordinatat e pikave zakonisht përmblidhen në një tabelë:

Dhe vetë vlerat llogariten me gojë ose në një draft, një kalkulator.

Janë gjetur dy pika, le të bëjmë vizatimin:

Kur përgatitim një vizatim, ne gjithmonë nënshkruajmë grafikën.

Do të ishte e dobishme të kujtoheshin raste të veçanta të një funksioni linear:

Vini re se si i vendosa nënshkrimet, nënshkrimet nuk duhet të lejojnë mospërputhje gjatë studimit të vizatimit. NË në këtë rast Ishte jashtëzakonisht e padëshirueshme të vendosej një nënshkrim pranë pikës së kryqëzimit të vijave, ose në fund të djathtë midis grafikëve.

1) Një funksion linear i formës () quhet proporcionalitet i drejtpërdrejtë. Për shembull,. Një grafik proporcionaliteti i drejtpërdrejtë kalon gjithmonë përmes origjinës. Kështu, ndërtimi i një vije të drejtë është thjeshtuar - mjafton të gjesh vetëm një pikë.

2) Një ekuacion i formës specifikon një vijë të drejtë paralele me boshtin, në veçanti, vetë boshti jepet nga ekuacioni. Grafiku i funksionit vizatohet menjëherë, pa gjetur asnjë pikë. Kjo do të thotë, hyrja duhet të kuptohet si më poshtë: "y është gjithmonë i barabartë me -4, për çdo vlerë të x".

3) Një ekuacion i formës specifikon një vijë të drejtë paralele me boshtin, në veçanti, vetë boshti jepet nga ekuacioni. Grafiku i funksionit gjithashtu vizatohet menjëherë. Hyrja duhet të kuptohet si më poshtë: "x është gjithmonë, për çdo vlerë të y, e barabartë me 1."

Disa do të pyesin, pse e mbani mend klasën e 6-të?! Kështu është, ndoshta është kështu, por gjatë viteve të praktikës kam takuar një duzinë të mirë studentësh që ishin të hutuar nga detyra për të ndërtuar një grafik si ose.

Ndërtimi i një vije të drejtë është veprimi më i zakonshëm kur bëni vizatime.

Vija e drejtë diskutohet në detaje në kursin e gjeometrisë analitike dhe të interesuarit mund t'i referohen artikullit Ekuacioni i një vije të drejtë në një plan.

Grafiku i një funksioni kuadratik, kub, grafiku i një polinomi

Parabola. Orari funksion kuadratik () përfaqëson një parabolë. Le të shqyrtojmë ngjarje e famshme:

Le të kujtojmë disa veti të funksionit.

Pra, zgjidhja e ekuacionit tonë: – pikërisht në këtë pikë ndodhet kulmi i parabolës. Pse është kështu mund të gjendet në artikullin teorik mbi derivatin dhe mësimin mbi ekstremet e funksionit. Ndërkohë, le të llogarisim vlerën përkatëse "Y":

Kështu, kulmi është në pikën

Tani gjejmë pika të tjera, ndërsa përdorim paturpësisht simetrinë e parabolës. Duhet theksuar se funksioni – nuk është madje, por, megjithatë, askush nuk e anuloi simetrinë e parabolës.

Në çfarë rendi për të gjetur pikat e mbetura, mendoj se do të jetë e qartë nga tabela përfundimtare:

Ky algoritëm ndërtimet mund të quhen figurativisht një "shuttle" ose një parim "mbrapa dhe mbrapa" me Anfisa Chekhova.

Le të bëjmë vizatimin:

Nga grafikët e ekzaminuar, një tjetër veçori e dobishme vjen në mendje:

Për një funksion kuadratik () sa vijon është e vërtetë:

Nëse , atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart.

Nëse , atëherë degët e parabolës janë të drejtuara poshtë.

Njohuri të thella për kurbën mund të merren në mësimin Hiperbola dhe parabola.

Një parabolë kubike jepet nga funksioni. Këtu është një vizatim i njohur nga shkolla:

Le të rendisim vetitë kryesore të funksionit

Grafiku i një funksioni

Ai përfaqëson një nga degët e një parabole. Le të bëjmë vizatimin:

Karakteristikat kryesore të funksionit:

Në këtë rast, boshti është asimptotë vertikale për grafikun e një hiperbole në .

Do të ishte një gabim i rëndë nëse, kur hartoni një vizatim, lejoni pa kujdes grafikun të kryqëzohet me një asimptotë.

Gjithashtu kufijtë e njëanshëm na tregojnë se hiperbola nuk kufizohet nga lart Dhe nuk kufizohet nga poshtë.

Le të shqyrtojmë funksionin në pafundësi: , domethënë, nëse fillojmë të lëvizim përgjatë boshtit majtas (ose djathtas) deri në pafundësi, atëherë "lojërat" do të jenë në një hap të rregullt pafundësisht afër afrohen zero, dhe, në përputhje me rrethanat, degët e hiperbolës pafundësisht afër afrohen boshtit.

Pra, boshti është asimptotë horizontale për grafikun e një funksioni, nëse "x" tenton në pafundësi plus ose minus.

Funksioni është i çuditshëm, dhe, për rrjedhojë, hiperbola është simetrike në lidhje me origjinën. Ky fakt e dukshme nga vizatimi, përveç kësaj, verifikohet lehtësisht në mënyrë analitike: .

Grafiku i një funksioni të formës () paraqet dy degë të hiperbolës.

Nëse , atëherë hiperbola ndodhet në tremujorin e parë dhe të tretë të koordinatave(shih foton më lart).

Nëse , atëherë hiperbola ndodhet në tremujorin e dytë dhe të katërt të koordinatave.

Modeli i treguar i qëndrimit të hiperbolës është i lehtë për t'u analizuar nga pikëpamja e transformimeve gjeometrike të grafikëve.

Shembulli 3

Ndërtoni degën e djathtë të hiperbolës

Ne përdorim metodën e ndërtimit me pikë dhe është e dobishme të zgjedhim vlerat në mënyrë që ato të ndahen me një të tërë:

Le të bëjmë vizatimin:

Nuk do të jetë e vështirë të ndërtohet dega e majtë e hiperbolës, çuditshmëria e funksionit do të ndihmojë këtu. Përafërsisht, në tabelë ndërtim pikë për pikë shtoni mendërisht një minus për çdo numër, vendosni pikat përkatëse dhe vizatoni degën e dytë.

I detajuar informacion gjeometrik rreth linjës së konsideruar mund të gjendet në artikullin Hiperbola dhe parabola.

Grafiku i një funksioni eksponencial

Në këtë pjesë, unë do të shqyrtoj menjëherë funksionin eksponencial, pasi në problemet e matematikës së lartë në 95% të rasteve është eksponenciali ai që shfaqet.

Më lejoni t'ju kujtoj se ky është një numër irracional: , kjo do të kërkohet kur ndërtoj një grafik, të cilin, në fakt, do ta ndërtoj pa ceremoni. Tre pikë, ndoshta mjafton:

Le ta lëmë grafikun e funksionit vetëm tani për tani, më shumë për të më vonë.

Karakteristikat kryesore të funksionit:

Grafikët e funksioneve, etj., duken në thelb të njëjtë.

Duhet të them që rasti i dytë ndodh më rrallë në praktikë, por ndodh, ndaj e pashë të nevojshme ta përfshija në këtë artikull.

Grafiku i një funksioni logaritmik

Konsideroni një funksion me një logaritëm natyror.
Le të bëjmë një vizatim pikë për pikë:

Nëse keni harruar se çfarë është logaritmi, ju lutemi referojuni teksteve shkollore.

Karakteristikat kryesore të funksionit:

Domeni i përkufizimit:

Gama e vlerave: .

Funksioni nuk është i kufizuar nga lart: , megjithëse ngadalë, por dega e logaritmit shkon deri në pafundësi.
Le të shqyrtojmë sjelljen e funksionit afër zeros në të djathtë: . Pra, boshti është asimptotë vertikale sepse grafiku i një funksioni si “x” priret në zero nga e djathta.

Është e domosdoshme të dihet dhe të mbahet mend vlera tipike e logaritmit: .

Grafiku i logaritmit në bazë duket në thelb i njëjtë: , , ( logaritmi dhjetor në bazën 10), etj. Në të njëjtën kohë, se bazë më e madhe, aq më i sheshtë do të jetë grafiku.

Ne nuk do ta shqyrtojmë rastin, nuk mbaj mend kur herën e fundit Unë ndërtova një grafik mbi këtë bazë. Dhe logaritmi duket të jetë një mysafir shumë i rrallë në problemet e matematikës së lartë.

Në fund të këtij paragrafi do të them edhe një fakt: Funksioni eksponencial dhe funksioni logaritmik– këto janë dy funksione reciprokisht të anasjellta. Nëse shikoni nga afër grafikun e logaritmit, mund të shihni se ky është i njëjti eksponent, thjesht ndodhet pak më ndryshe.

Grafikët e funksioneve trigonometrike

Ku fillon mundimi trigonometrik në shkollë? E drejta. Nga sinusi

Le të vizatojmë funksionin

Kjo linjë thirrur sinusoid.

Më lejoni t'ju kujtoj se "pi" është një numër irracional: , dhe në trigonometri ju bën sytë të verbojnë.

Karakteristikat kryesore të funksionit:

Ky funksionështë periodike me periudhë. Çfarë do të thotë? Le të shohim segmentin. Në të majtë dhe në të djathtë të tij, saktësisht e njëjta pjesë e grafikut përsëritet pafundësisht.

Domeni i përkufizimit: , domethënë, për çdo vlerë të "x" ka një vlerë sinus.

Gama e vlerave: . Funksioni është kufizuar: , domethënë, të gjitha "lojërat" qëndrojnë rreptësisht në segmentin .
Kjo nuk ndodh: ose, më saktë, ndodh, por këto ekuacione nuk kanë zgjidhje.

1) Domeni i funksionit dhe diapazoni i funksionit.

Domeni i një funksioni është bashkësia e të gjitha të vlefshme vlerat reale argument x(ndryshueshme x), për të cilin funksioni y = f(x) përcaktuar. Gama e një funksioni është bashkësia e të gjitha vlerave reale y, të cilin funksioni e pranon.

NË matematikë elementare funksionet studiohen vetëm në bashkësinë e numrave realë.

2) Funksioni zero.

Funksioni zero është vlera e argumentit, në të cilën vlera e funksionit është e barabartë me zero.

3) Intervalet e shenjës konstante të një funksioni.

Intervalet e shenjës konstante të një funksioni janë grupe vlerash argumentesh mbi të cilat vlerat e funksionit janë vetëm pozitive ose vetëm negative.

4) Monotonia e funksionit.

Një funksion rritës (në një interval të caktuar) është një funksion për të cilin vlerë më të lartë argumenti nga ky interval korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit.

Një funksion në rënie (në një interval të caktuar) është një funksion për të cilin vlera më e madhe e argumentit nga ky interval korrespondon vlerë më të ulët funksionet.

5) Funksioni çift (tek)..

Një funksion çift është një funksion, domeni i përkufizimit të të cilit është simetrik në lidhje me origjinën dhe për cilindo X nga fusha e përkufizimit barazia f(-x) = f(x). Orari madje funksion

simetrike rreth boshtit të ordinatave. X Një funksion tek është një funksion, domeni i përkufizimit të të cilit është simetrik në lidhje me origjinën dhe për cilindo nga fusha e përkufizimit barazia është e vërtetë f(-x) = - f(x ). Orari

funksion tek.

simetrike për origjinën. 6) Funksione të kufizuara dhe të pakufizuara Një funksion quhet i kufizuar nëse ka një të tillë

numër pozitiv.

M e tillë që |f(x)| ≤ M për të gjitha vlerat e x. Nëse një numër i tillë nuk ekziston, atëherë funksioni është i pakufizuar.

7) Periodiciteti i funksionit Një funksion f(x) është periodik nëse ka një numër T jo-zero i tillë që për çdo x nga fusha e përcaktimit të funksionit vlen: f(x+T) = f(x). Ky numër më i vogël quhet periudha e funksionit. Të gjitha funksionet trigonometrike janë periodike. (Formulat trigonometrike). 19. Themelore

funksionet elementare

, vetitë dhe grafikët e tyre. Zbatimi i funksioneve në ekonomi.

Funksionet themelore elementare. Vetitë dhe grafikët e tyre 1. Funksioni linear.

Funksioni linear quhet funksion i formës , ku x është një ndryshore, a dhe b janë numra realë. Numri A thirrur shpat drejt, ai

e barabartë me tangjenten

këndi i prirjes së kësaj drejtëze drejt drejtimit pozitiv të boshtit x. Grafiku i një funksioni linear është një vijë e drejtë. Përcaktohet nga dy pika.

Vetitë e një funksioni linear

1. Fusha e përkufizimit - bashkësia e të gjithë numrave realë: D(y)=R

2. Bashkësia e vlerave është bashkësia e të gjithë numrave realë: E(y)=R

3. Funksioni merr një vlerë zero kur ose.

4. Funksioni rritet (zvogëlohet) në të gjithë domenin e përkufizimit.

Një funksion i formës, ku x është një ndryshore, koeficientët a, b, c janë numra realë, quhet kuadratike.

Mësim dhe prezantim me temën: "Funksionet e fuqisë. Vetitë. Grafikët"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Ndihma edukative dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 11
Manual interaktiv për klasat 9-11 "Trigonometri"
Manual interaktiv për klasat 10-11 "Logaritmet"

Funksionet e fuqisë, fusha e përkufizimit.

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Zgjidhje. Grafiku i funksionit $y=x^(\frac(4)(3))$ rritet dhe grafiku i funksionit $y=24-x$ zvogëlohet. Djema, ju dhe unë e dimë: nëse një funksion rritet dhe tjetri zvogëlohet, atëherë ato kryqëzohen vetëm në një pikë, domethënë kemi vetëm një zgjidhje.
Shënim:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Domethënë, me $x=8$ kemi marrë barazinë e saktë $16=16$, kjo është zgjidhja e ekuacionit tonë.
Përgjigje: $x=8$.

Shembull.
Grafikoni funksionin: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Zgjidhje.
Grafiku i funksionit tonë merret nga grafiku i funksionit $y=x^(\frac(3)(4))$, duke e zhvendosur 3 njësi djathtas dhe 2 njësi lart.

Shembull. Shkruani një ekuacion për tangjenten me drejtëzën $y=x^(-\frac(4)(5))$ në pikën $x=1$.
Zgjidhje. Ekuacioni tangjent përcaktohet nga formula që ne njohim:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Në rastin tonë $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Le të gjejmë derivatin:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Le të llogarisim:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Le të gjejmë ekuacionin tangjent:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Përgjigje: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

Ofron të dhëna referencë për funksionin eksponencial - vetitë bazë, grafikët dhe formulat. Konsiderohet pyetjet e mëposhtme: fusha e përkufizimit, grupi i vlerave, monotonia, funksioni i anasjelltë, derivat, integral, zgjerim në seri fuqie dhe paraqitje duke përdorur numra kompleks.

Përkufizimi

Funksioni eksponencial është një përgjithësim i prodhimit të n numrave të barabartë me a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
në bashkësinë e numrave realë x:
y (x) = sëpatë.
Këtu a është fiksuar numër real që quhet baza e funksionit eksponencial.
Një funksion eksponencial me bazë a quhet gjithashtu eksponent ndaj bazës a.

Përgjithësimi kryhet si më poshtë.
Për x natyral = 1, 2, 3,... , funksioni eksponencial është produkt i x faktorëve:
.
Për më tepër, ai ka veti (1.5-8) (), të cilat rrjedhin nga rregullat për shumëzimin e numrave. Në zero dhe vlerat negative numra të plotë, funksioni eksponencial përcaktohet duke përdorur formulat (1.9-10). Në vlerat thyesore x = m/n numrat racionalë, , përcaktohet me formulën (1.11). Për realet, funksioni eksponencial përcaktohet si kufiri i sekuencës:
,
ku është një sekuencë arbitrare e numrave racionalë që konvergojnë në x: .
Me këtë përkufizim, funksioni eksponencial përcaktohet për të gjitha , dhe plotëson vetitë (1.5-8), si për x-in natyror.

E rreptë formulimi matematikor Përkufizimet e një funksioni eksponencial dhe vërtetimi i vetive të tij jepen në faqen “Përkufizimi dhe vërtetimi i vetive të një funksioni eksponencial”.

Vetitë e funksionit eksponencial

Funksioni eksponencial y = a x ka vetitë e mëposhtme në grupin e numrave realë ():
(1.1) të përcaktuara dhe të vazhdueshme, për , për të gjithë;
(1.2) për një ≠ 1 ka shumë kuptime;
(1.3) rritet rreptësisht në, zvogëlohet rreptësisht në,
është konstante në ;
(1.4) në ;
në ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Formula të tjera të dobishme.
.
Formula për konvertimin në një funksion eksponencial me një bazë të ndryshme eksponenciale:

Kur b = e, marrim shprehjen e funksionit eksponencial përmes eksponencialit:

Vlerat private

, , , , .

Figura tregon grafikët e funksionit eksponencial
y (x) = sëpatë
për katër vlera bazat e shkallës: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 dhe a = 1/8 . 1 Mund të shihet se për një > 0 < a < 1 funksioni eksponencial rritet në mënyrë monotonike. Sa më e madhe të jetë baza e shkallës a, aq më e fortë është rritja. Në funksioni eksponencial zvogëlohet në mënyrë monotonike. Si më pak tregues

shkalla a, aq më e fortë është rënia.

Duke u ngjitur, duke zbritur

y =

Funksioni i anasjelltë

Anasjellta e një funksioni eksponencial me bazë a është logaritmi me bazën a.
.
Nëse, atëherë
.

Nëse, atëherë

Diferencimi i një funksioni eksponencial Për të diferencuar një funksion eksponencial, baza e tij duhet të reduktohet në numrin e, të aplikoni tabelën e derivateve dhe rregullin e diferencimit.

funksion kompleks
Për ta bërë këtë ju duhet të përdorni vetinë e logaritmeve
.

dhe formula nga tabela e derivateve:
.
Le të jepet një funksion eksponencial:

E sjellim në bazën e:

Të zbatojmë rregullin e diferencimit të funksioneve komplekse. Për ta bërë këtë, prezantoni variablin

Pastaj
.
Nga tabela e derivateve kemi (zëvendësojmë variablin x me z):
.
Meqenëse është një konstante, derivati ​​i z në lidhje me x është i barabartë me
.

Sipas rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks:

.
Derivat i një funksioni eksponencial
.
Derivat i rendit të n-të:

Nxjerrja e formulave > > >

Një shembull i diferencimit të një funksioni eksponencial
Pikat e prerjes me boshtin e ordinatave, x = Gjeni derivatin e një funksioni

3 5 x

Zgjidhje
Le të shprehim bazën e funksionit eksponencial përmes numrit e.
Të zbatojmë rregullin e diferencimit të funksioneve komplekse. Për ta bërë këtë, prezantoni variablin
.
3 = e ln 3
.
Të zbatojmë rregullin e diferencimit të funksioneve komplekse. Për ta bërë këtë, prezantoni variablin

Futni një ndryshore
.
Nga tabela e derivateve gjejmë: Sepse 5ln 3
.
është një konstante, atëherë derivati ​​i z në lidhje me x është i barabartë me:
.

Sipas rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks, kemi:

Përgjigju

Integrale

Shprehje duke përdorur numra kompleks Merrni parasysh funksionin numër kompleks:
z f
(z) = a z 2 = - 1 .
ku z = x + iy;
i
Të zbatojmë rregullin e diferencimit të funksioneve komplekse. Për ta bërë këtë, prezantoni variablin


.
Argumenti φ nuk është i përcaktuar në mënyrë unike. NË pamje e përgjithshme
φ = φ 0 + 2 πn,
ku n është një numër i plotë. Prandaj funksioni f (z) gjithashtu nuk është e qartë. Rëndësia e tij kryesore shpesh konsiderohet
.

Zgjerimi i serisë

.

Literatura e përdorur:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.