Si të nxjerrim rrënjën e një numri të pandashëm. Si të gjeni me dorë rrënjën katrore të një numri

Përshkrimi bibliografik: Pryastanov S. M., Lysogorova L. V. Metodat e nxjerrjes rrenja katrore// Shkencëtar i ri. 2017. Nr 2.2. P. 76-77..02.2019).



Fjalë kyçe : rrënja katrore, nxjerrja e rrënjës katrore.

Në mësimet e matematikës u njoha me konceptin e rrënjës katrore dhe me veprimin e nxjerrjes së rrënjës katrore. U interesova nëse nxjerrja e rrënjës katrore është e mundur vetëm duke përdorur një tabelë katrorësh, duke përdorur një kalkulator, apo ka ndonjë mënyrë për ta nxjerrë atë me dorë. Kam gjetur disa mënyra: formulë Babilonia e lashtë, përmes zgjidhjes së ekuacioneve, metodës së hedhjes katror i plotë, metoda e Njutonit, metodë gjeometrike, metodë grafike(, ), metoda e zgjedhjes me hamendje, metoda e zbritjes së një numri tek.

Konsideroni metodat e mëposhtme:

Le të zbërthehemi në faktorët kryesorë, duke përdorur kriteret e pjesëtueshmërisë 27225=5*5*3*3*11*11. Kështu

1. TE Metoda kanadeze. Kjo metodë e shpejtë u zbulua nga shkencëtarët e rinj në një nga universitetet kryesore të Kanadasë në shekullin e 20-të. Saktësia e tij nuk është më shumë se dy deri në tre shifra dhjetore.

ku x është numri nga i cili duhet të nxirret rrënja, c është numri i katrorit më të afërt), për shembull:

=5,92

1. Në një kolonë. Kjo metodë ju lejon të gjeni vlerën e përafërt të rrënjës së cilësdo numër real me ndonjë saktësi të paracaktuar. Disavantazhet e kësaj metode përfshijnë kompleksitetin në rritje të llogaritjes me rritjen e numrit të shifrave të gjetura. Për të nxjerrë me dorë rrënjën, përdoret një shënim i ngjashëm me ndarjen e gjatë

Algoritmi me rrënjë katrore

1. Pjesën thyesore dhe pjesën e plotë e ndajmë veçmas nga presja në prag të dy shifrave në çdo fytyrë ( puthje pjesë - nga e djathta në të majtë; thyesore- nga e majta në të djathtë). Është e mundur që pjesa e plotë të përmbajë një shifër, dhe pjesa e pjesshme mund të përmbajë zero.

2. Nxjerrja fillon nga e majta në të djathtë dhe zgjedhim një numër katrori i të cilit nuk e kalon numrin në faqen e parë. E vendosim në katror këtë numër dhe e shkruajmë nën numrin në anën e parë.

3. Gjeni ndryshimin midis numrit në faqen e parë dhe katrorit të numrit të parë të zgjedhur.

4. Ne shtojmë skajin tjetër në ndryshimin që rezulton, numri që rezulton do të jetë i ndashëm. Le të edukojmë ndarës. Ne dyfishojmë shifrën e parë të zgjedhur të përgjigjes (shumëzuar me 2), marrim numrin e dhjetëra të pjesëtuesit dhe numri i njësive duhet të jetë i tillë që produkti i tij nga i gjithë pjesëtuesi të mos e kalojë dividentin. Ne shkruajmë numrin e zgjedhur si përgjigje.

5. Ne marrim skajin tjetër në ndryshimin që rezulton dhe kryejmë veprimet sipas algoritmit. Nëse kjo fytyrë rezulton të jetë një fytyrë e një pjese thyesore, atëherë vendosim një presje në përgjigje. (Fig. 1.)

Duke përdorur këtë metodë, ju mund të nxirrni numra me saktësi të ndryshme, për shembull, deri në të mijëtat. (Fig. 2)

Duke marrë parasysh mënyra të ndryshme duke nxjerrë rrënjën katrore, mund të konkludojmë: në secilin rast specifik, duhet të vendosni për zgjedhjen e asaj më efektive në mënyrë që të shpenzoni më pak kohë për të zgjidhur

Literatura:

1. Kiselev A. Elemente të algjebrës dhe analizës. Pjesa e parë.-M.-1928

Fjalë kyçe: rrënjë katrore, rrënjë katrore.

Shënim: Artikulli përshkruan metodat për nxjerrjen e rrënjëve katrore dhe jep shembuj të nxjerrjes së rrënjëve.

Në matematikë, çështja se si të nxirret një rrënjë konsiderohet relativisht e thjeshtë. Nëse i vendosim në katror numrat nga seria natyrore: 1, 2, 3, 4, 5...n, atëherë marrim seritë e mëposhtme të katrorëve: 1, 4, 9, 16...n 2. Rreshti i katrorëve është i pafund, dhe nëse e shikoni nga afër, do të shihni se nuk ka shumë numra të plotë në të. Pse është kështu do të shpjegohet pak më vonë.

Rrënja e një numri: rregullat e llogaritjes dhe shembuj

Pra, e vendosëm në katror numrin 2, domethënë e shumëzuam me vete dhe morëm 4. Si të nxjerrim rrënjën e numrit 4? Le të themi menjëherë se rrënjët mund të jenë katrore, kubike dhe çdo shkallë deri në pafundësi.

Shkalla e rrënjës - gjithmonë numri natyror, domethënë, është e pamundur të zgjidhet një ekuacion i tillë: një rrënjë në fuqinë 3.6 të n.

Rrenja katrore

Le t'i kthehemi pyetjes se si të nxjerrim rrënjën katrore të 4. Meqenëse e kemi vendosur në katror numrin 2, do të nxjerrim edhe rrënjën katrore. Për të nxjerrë në mënyrë korrekte rrënjën e 4, ju vetëm duhet të zgjidhni numrin e duhur që, kur të vihet në katror, ​​do të jepte numrin 4. Dhe kjo, natyrisht, është 2. Shikoni shembullin:

• 2 2 =4
• Rrënja e 4 = 2

Ky shembull është mjaft i thjeshtë. Le të përpiqemi të nxjerrim rrënjën katrore të 64. Cili numër, kur shumëzohet me vetveten, jep 64? Është e qartë se është 8.

• 8 2 =64
• Rrënja e 64=8

Rrënja e kubit

Siç u tha më lart, rrënjët nuk janë vetëm katrore duke përdorur një shembull, ne do të përpiqemi të shpjegojmë më qartë se si të nxjerrim rrënjë kubike ose rrënja e tretë. Parimi i nxjerrjes së një rrënjë kubike është i njëjtë me atë të një rrënjë katrore, i vetmi ndryshim është se numri i kërkuar fillimisht u shumëzua në vetvete jo një herë, por dy herë. Kjo do të thotë, le të themi se morëm shembullin e mëposhtëm:

• 3x3x3=27
• Natyrisht, rrënja e kubit e 27 është tre:
• Rrënja 3 nga 27 = 3

Le të themi se duhet të gjesh rrënjën kubike të 64. Për të zgjidhur këtë ekuacion, mjafton të gjesh një numër që, kur të ngrihet në fuqinë e tretë, do të jepte 64.

• 4 3 =64
• Rrënja 3 nga 64 = 4

Nxjerr rrënjën e një numri në një makinë llogaritëse

Natyrisht, është më mirë të mësoni të nxirrni rrënjë katrore, kubike dhe të tjera përmes praktikës, duke zgjidhur shumë shembuj dhe duke mësuar përmendësh tabela katrorësh dhe kubesh me numra të vegjël. Në të ardhmen, kjo do të lehtësojë dhe reduktojë shumë kohën e nevojshme për zgjidhjen e ekuacioneve. Megjithëse, duhet të theksohet se ndonjëherë është e nevojshme të nxirret rrënja e një numri kaq të madh që është e pamundur të gjendet numri i saktë, në katror, ​​do të kushtojë shumë Pune e shkelqyer, nëse është e mundur. Një kalkulator i rregullt do të vijë në shpëtim në nxjerrjen e rrënjës katrore. Si të nxjerrim rrënjën në një kalkulator? Shumë thjesht shkruani numrin nga i cili dëshironi të gjeni rezultatin. Tani hidhini një vështrim nga afër butonat e kalkulatorit. Edhe më e thjeshta prej tyre ka një çelës me një ikonë rrënjë. Duke klikuar mbi të, menjëherë do të merrni rezultatin e përfunduar.

Jo çdo numër mund të nxirret rrënjë e tërë, merrni parasysh shembullin e mëposhtëm:

Rrënja e 1859 = 43.116122…

Mund të përpiqeni njëkohësisht ta zgjidhni këtë shembull në një kalkulator. Siç mund ta shihni, numri që rezulton nuk është një numër i plotë, për më tepër, grupi i shifrave pas pikës dhjetore nuk është i fundëm. Një rezultat më i saktë mund të jepet nga speciale llogaritëse inxhinierike, por rezultati i plotë thjesht nuk përshtatet në një ekran të rregullt. Dhe nëse vazhdoni serinë e katrorëve që keni filluar më herët, nuk do të gjeni numrin 1859 në të pikërisht sepse numri që u vu në katror për ta marrë nuk është një numër i plotë.

Nëse keni nevojë të nxirrni rrënjën e tretë në një kalkulator të thjeshtë, atëherë duhet të klikoni dy herë në butonin me shenjën rrënjë. Për shembull, merrni numrin 1859 të përdorur më sipër dhe merrni rrënjën e kubit prej tij:

Rrënja 3 e 1859 = 6,5662867…

Kjo do të thotë, nëse numri 6.5662867... ngrihet në fuqinë e tretë, atëherë marrim afërsisht 1859. Kështu, nxjerrja e rrënjëve nga numrat nuk është e vështirë, thjesht duhet të mbani mend algoritmet e mësipërme.

Kur vendoset detyra të ndryshme Në lëndët e matematikës dhe fizikës, nxënësit dhe studentët shpesh përballen me nevojën për të nxjerrë rrënjë të shkallës së dytë, të tretë ose të ntë. Sigurisht, në shek teknologjitë e informacionit Nuk do të jetë e vështirë për ta zgjidhur këtë problem duke përdorur një kalkulator. Sidoqoftë, lindin situata kur është e pamundur të përdoret asistenti elektronik.

Për shembull, shumë provime nuk ju lejojnë të sillni elektronikë. Përveç kësaj, mund të mos keni në dorë një kalkulator. Në raste të tilla, është e dobishme të njihni të paktën disa metoda për llogaritjen manuale të radikalëve.

Një nga mënyrat më të thjeshta për të llogaritur rrënjët është duke përdorur një tabelë të veçantë. Çfarë është dhe si ta përdorim atë në mënyrë korrekte?

Duke përdorur tabelën, mund të gjeni katrorin e çdo numri nga 10 në 99. Rreshtat e tabelës përmbajnë vlerat e dhjetëra, dhe kolonat përmbajnë vlerat e njësive. Qeliza në kryqëzimin e një rreshti dhe një kolone përmban një katror numër dyshifror. Për të llogaritur katrorin 63, duhet të gjeni një rresht me vlerë 6 dhe një kolonë me vlerë 3. Në kryqëzim do të gjejmë një qelizë me numrin 3969.

Meqenëse nxjerrja e rrënjës është operacioni i kundërt i katrorit, për të kryer këtë veprim duhet të bëni të kundërtën: së pari gjeni qelizën me numrin radikalin e të cilit dëshironi të llogaritni, më pas përdorni vlerat e kolonës dhe rreshtit për të përcaktuar përgjigjen. . Si shembull, merrni parasysh llogaritjen e rrënjës katrore të 169.

Në tabelë gjejmë një qelizë me këtë numër, horizontalisht përcaktojmë dhjetëra - 1, vertikalisht gjejmë njësi - 3. Përgjigje: √169 = 13.

Në mënyrë të ngjashme, ju mund të llogaritni rrënjët e kubit dhe të n-të duke përdorur tabelat e duhura.

Avantazhi i metodës është thjeshtësia e saj dhe mungesa e llogaritjeve shtesë. Disavantazhet janë të dukshme: metoda mund të përdoret vetëm për një gamë të kufizuar numrash (numri për të cilin gjendet rrënja duhet të jetë në intervalin nga 100 në 9801). Për më tepër, nuk do të funksionojë nëse numri i dhënë jo në tabelë.

Faktorizimi kryesor

Nëse tabela e katrorëve nuk është afër ose doli të jetë e pamundur të gjesh rrënjën me ndihmën e saj, mund të provosh faktorizoni numrin nën rrënjë në faktorë të thjeshtë. Faktorët kryesorë janë ata që mund të jenë plotësisht (pa mbetje) të pjesëtueshëm vetëm me veten ose me një. Shembujt mund të jenë 2, 3, 5, 7, 11, 13, etj.

Le të shqyrtojmë llogaritjen e rrënjës duke përdorur shembullin e √576. Le ta zbërthejmë në faktorët kryesorë. Marrim rezultatin e mëposhtëm: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Duke përdorur vetinë bazë të rrënjëve √a² = a, do të heqim qafe rrënjët dhe katrorët dhe më pas do të llogarisim përgjigjen: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Çfarë duhet bërë nëse ndonjë nga shumëzuesit nuk ka çiftin e vet? Për shembull, merrni parasysh llogaritjen e √54. Pas faktorizimit, marrim rezultatin në formën e mëposhtme: √54 = √(2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Pjesa jo e lëvizshme mund të lihet nën rrënjë. Për shumicën e problemeve të gjeometrisë dhe algjebrës, kjo përgjigje do të llogaritet si përgjigje përfundimtare. Por nëse ka nevojë për të llogaritur vlerat e përafërta, mund të përdorni metoda që do të diskutohen më poshtë.

Metoda e Heronit

Çfarë duhet të bëni kur duhet të paktën të dini përafërsisht se me çfarë është rrënja e nxjerrë (nëse është e pamundur të merret një vlerë e plotë)? Një rezultat i shpejtë dhe mjaft i saktë merret duke përdorur metodën e Heron. Thelbi i saj është të përdorni një formulë të përafërt:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

ku R është numri, rrënja e të cilit duhet të llogaritet, a është numri më i afërt, vlera e rrënjës së të cilit dihet.

Le të shohim se si funksionon metoda në praktikë dhe të vlerësojmë se sa e saktë është. Le të llogarisim se me çfarë është e barabartë √111. Numri më i afërt me 111, rrënja e të cilit dihet, është 121. Kështu, R = 111, a = 121. Zëvendësoni vlerat në formulën:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Tani le të kontrollojmë saktësinë e metodës:

10,55² = 111,3025.

Gabimi i metodës ishte afërsisht 0.3. Nëse saktësia e metodës duhet të përmirësohet, mund të përsërisni hapat e përshkruar më parë:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Le të kontrollojmë saktësinë e llogaritjes:

10.536² = 111.0073.

Pas ri-aplikimit të formulës, gabimi u bë krejtësisht i parëndësishëm.

Llogaritja e rrënjës me pjesëtim të gjatë

Kjo metodë për të gjetur vlerën e rrënjës katrore është pak më e ndërlikuar se ato të mëparshme. Sidoqoftë, është më e sakta midis metodave të tjera të llogaritjes pa kalkulator.

Le të themi se ju duhet të gjeni rrënjën katrore të saktë në 4 shifra dhjetore. Le të shohim algoritmin e llogaritjes duke përdorur një shembull çdo numër 1308,1912.

1. Ndani fletën e letrës në 2 pjesë me një vijë vertikale dhe më pas vizatoni një vijë tjetër nga ajo në të djathtë, pak poshtë skajit të sipërm. Le të shkruajmë numrin në anën e majtë, duke e ndarë atë në grupe me 2 shifra, duke lëvizur djathtas dhe ana e majte nga presja. Shifra e parë në të majtë mund të jetë pa një çift. Nëse shenja mungon në anën e djathtë të numrit, atëherë duhet të shtoni 0. Në rastin tonë, rezultati do të jetë 13 08.19 12.
2. Le të zgjedhim më të mirën numër i madh, katrori i të cilit do të jetë më i vogël ose i barabartë me grupin e parë të shifrave. Në rastin tonë është 3. Le ta shkruajmë lart djathtas; 3 është shifra e parë e rezultatit. Në fund të djathtë ne tregojmë 3×3 = 9; kjo do të jetë e nevojshme për llogaritjet e mëvonshme. Nga 13 në kolonë zbresim 9, marrim një mbetje prej 4.
3. Le t'ia caktojmë çiftin tjetër të numrave mbetjes 4; marrim 408.
4. Shumëzojeni numrin lart djathtas me 2 dhe shkruajeni poshtë djathtas, duke shtuar _ x _ = në të. Marrim 6_ x _ =.
5. Në vend të vizave, duhet të zëvendësoni të njëjtin numër, më pak ose i barabartë me 408. Marrim 66 × 6 = 396. Shkruajmë 6 nga lart djathtas, pasi kjo është shifra e dytë e rezultatit. Zbrisni 396 nga 408, marrim 12.
6. Le të përsërisim hapat 3-6. Meqenëse shifrat e zhvendosura poshtë janë në pjesën thyesore të numrit, është e nevojshme të vendosni pikë dhjetore lart djathtas pas 6. Le të shkruajmë rezultatin e dyfishtë me viza: 72_ x _ =. Një numër i përshtatshëm do të ishte 1: 721×1 = 721. Le ta shkruajmë si përgjigje. Le të zbresim 1219 - 721 = 498.
7. Le të kryejmë sekuencën e veprimeve të dhëna në paragrafin e mëparshëm edhe tre herë për të marrë shumën e kërkuar vende dhjetore. Nëse nuk ka karaktere të mjaftueshme për llogaritjet e mëtejshme, duhet të shtoni dy zero në numrin aktual në të majtë.

Si rezultat, marrim përgjigjen: √1308.1912 ≈ 36.1689. Nëse kontrolloni veprimin duke përdorur një kalkulator, mund të siguroheni që të gjitha shenjat janë identifikuar saktë.

Llogaritja e rrënjës katrore në bit

Metoda është shumë e saktë. Për më tepër, është mjaft e kuptueshme dhe nuk kërkon memorizimin e formulave ose algoritmi kompleks veprime, pasi thelbi i metodës është zgjedhja e rezultatit të duhur.

Le të nxjerrim rrënjën e numrit 781. Le të shohim me detaje sekuencën e veprimeve.

1. Le të zbulojmë se cila shifër e vlerës së rrënjës katrore do të jetë më e rëndësishmja. Për ta bërë këtë, le të vendosim në katror 0, 10, 100, 1000, etj. dhe të zbulojmë se cila prej tyre është midis numër radikal. Ne marrim atë 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Le të zgjedhim vlerën e dhjetësheve. Për ta bërë këtë, ne do të ngrihemi me radhë në fuqinë 10, 20, ..., 90 derisa të marrim një numër më të madh se 781. Për rastin tonë, marrim 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. vlera e rezultatit n do të jetë brenda 20< n <30.
3. Ngjashëm me hapin e mëparshëm, zgjidhet vlera e shifrës së njësive. Le të vendosim në katror 21,22, ..., 29 një nga një: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 24. Marrim = 78²< n < 28.
4. Çdo shifër pasuese (të dhjetat, të qindtat, etj.) llogaritet në të njëjtën mënyrë siç tregohet më sipër. Llogaritjet kryhen derisa të arrihet saktësia e kërkuar.

Shumë shpesh, kur zgjidhim probleme, përballemi me numra të mëdhenj nga të cilët duhet të nxjerrim Rrenja katrore. Shumë studentë vendosin se ky është një gabim dhe fillojnë të rizgjidhin të gjithë shembullin. Në asnjë rrethanë nuk duhet ta bëni këtë! Ka dy arsye për këtë:

1. Rrënjët e një numri të madh shfaqen në probleme. Sidomos në ato tekst;
2. Ekziston një algoritëm me të cilin këto rrënjë llogariten pothuajse gojarisht.

Ne do ta shqyrtojmë këtë algoritëm sot. Ndoshta disa gjëra do t'ju duken të pakuptueshme. Por nëse i kushtoni vëmendje këtij mësimi, do të merrni një armë të fuqishme kundër rrënjë katrore.

Pra, algoritmi:

1. Kufizoni rrënjën e kërkuar sipër dhe poshtë në numra që janë shumëfish të 10. Kështu, ne do ta reduktojmë diapazonin e kërkimit në 10 numra;
2. Nga këta 10 numra, hiqni ato që definitivisht nuk mund të jenë rrënjë. Si rezultat, 1-2 numra do të mbeten;
3. Sheshi i këtyre 1-2 numrave. Ai katrori i të cilit është i barabartë me numrin origjinal do të jetë rrënja.

Përpara se ta vëmë në praktikë këtë algoritëm, le të shohim secilin hap individual.

Kufizimi i rrënjës

Para së gjithash, ne duhet të zbulojmë se midis cilit numra ndodhet rrënja jonë. Është shumë e dëshirueshme që numrat të jenë shumëfish të dhjetë:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Ne marrim një seri numrash:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Çfarë na thonë këto shifra? Është e thjeshtë: ne kemi kufij. Merrni, për shembull, numrin 1296. Ai shtrihet midis 900 dhe 1600. Prandaj, rrënja e tij nuk mund të jetë më e vogël se 30 dhe më e madhe se 40:

[Diçitura për foton]

E njëjta gjë vlen edhe për çdo numër tjetër nga i cili mund të gjeni rrënjën katrore. Për shembull, 3364:

Kështu, në vend të një numri të pakuptueshëm, marrim një gamë shumë specifike në të cilën qëndron rrënja origjinale. Për të ngushtuar më tej zonën e kërkimit, kaloni në hapin e dytë.

Eliminimi i numrave dukshëm të panevojshëm

Pra, kemi 10 numra - kandidatë për rrënjë. I morëm shumë shpejt, pa menduar komplekse dhe shumëzim në një kolonë. Është koha për të ecur përpara.

Besoni apo jo, ne tani do ta zvogëlojmë numrin e numrave të kandidatëve në dy - përsëri pa ndonjë llogaritje të komplikuar! Mjafton të njohësh rregullin e veçantë. Ja ku eshte:

Shifra e fundit e katrorit varet vetëm nga shifra e fundit numri origjinal.

Me fjalë të tjera, thjesht shikoni shifrën e fundit të katrorit dhe menjëherë do të kuptojmë se ku përfundon numri origjinal.

Ka vetëm 10 shifra që mund të vijnë në vendin e fundit. Le të përpiqemi të zbulojmë se në çfarë shndërrohen në katror. Hidhini një sy tabelës:

Kjo tabelë është një hap tjetër drejt llogaritjes së rrënjës. Siç mund ta shihni, numrat në rreshtin e dytë doli të ishin simetrik në lidhje me pesë. Për shembull:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Siç mund ta shihni, shifra e fundit është e njëjtë në të dyja rastet. Kjo do të thotë që, për shembull, rrënja e 3364 duhet të përfundojë në 2 ose 8. Nga ana tjetër, ne kujtojmë kufizimin nga paragrafi i mëparshëm. Ne marrim:

Sheshat e kuq tregojnë se ne ende nuk e dimë këtë shifër. Por rrënja qëndron në rangun nga 50 në 60, në të cilin ka vetëm dy numra që përfundojnë me 2 dhe 8:

Kjo eshte e gjitha! Nga të gjitha rrënjët e mundshme, ne lamë vetëm dy opsione! Dhe kjo është në rastin më të vështirë, sepse shifra e fundit mund të jetë 5 ose 0. Dhe atëherë do të ketë vetëm një kandidat për rrënjët!

Llogaritjet përfundimtare

Pra, na kanë mbetur 2 numra kandidatësh. Si e dini se cila është rrënja? Përgjigja është e qartë: katrore të dy numrat. Ai që në katror jep numrin origjinal do të jetë rrënja.

Për shembull, për numrin 3364 kemi gjetur dy numra kandidatë: 52 dhe 58. Le t'i vendosim në katror:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Kjo eshte e gjitha! Doli që rrënja është 58! Në të njëjtën kohë, për të thjeshtuar llogaritjet, përdora formulën për katrorët e shumës dhe diferencës. Falë kësaj, as që më duhej të shumëzoja numrat në një kolonë! Ky është një nivel tjetër i optimizimit të llogaritjeve, por, natyrisht, është plotësisht opsional :)

Shembuj të llogaritjes së rrënjëve

Teoria është, natyrisht, e mirë. Por le ta kontrollojmë në praktikë.

[Diçitura për foton]

Së pari, le të zbulojmë se në cilat numra qëndron numri 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Tani le të shohim numrin e fundit. Është e barabartë me 6. Kur ndodh kjo? Vetëm nëse rrënja përfundon me 4 ose 6. Marrim dy numra:

Gjithçka që mbetet është të vendosni në katror çdo numër dhe ta krahasoni atë me origjinalin:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

E shkëlqyeshme! Sheshi i parë doli të ishte i barabartë me numrin origjinal. Pra, kjo është rrënja.

Detyrë. Llogaritni rrënjën katrore:

[Diçitura për foton]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Le të shohim shifrën e fundit:

1369 → 9;
33; 37.

Sheshoni atë:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Këtu është përgjigja: 37.

Detyrë. Llogaritni rrënjën katrore:

[Diçitura për foton]

Ne kufizojmë numrin:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Le të shohim shifrën e fundit:

2704 → 4;
52; 58.

Sheshoni atë:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Morëm përgjigjen: 52. Numri i dytë nuk do të ketë më nevojë të vendoset në katror.

Detyrë. Llogaritni rrënjën katrore:

[Diçitura për foton]

Ne kufizojmë numrin:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Le të shohim shifrën e fundit:

4225 → 5;
65.

Siç mund ta shihni, pas hapit të dytë ka mbetur vetëm një opsion: 65. Kjo është rrënja e dëshiruar. Por le ta rrafshojmë dhe të kontrollojmë:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Gjithçka është e saktë. Ne e shkruajmë përgjigjen.

konkluzioni

Mjerisht, jo më mirë. Le të shohim arsyet. Janë dy prej tyre:

• Në çdo provim normal të matematikës, qoftë Provimi i Shtetit apo Provimi i Unifikuar i Shtetit, përdorimi i makinave llogaritëse është i ndaluar. Dhe nëse sillni një makinë llogaritëse në klasë, lehtë mund të përjashtoheni nga provimi.
• Mos u bëni si amerikanët budallenj. Që nuk janë si rrënjët - nuk mund të shtojnë dy numra të thjeshtë. Dhe kur shohin fraksione, në përgjithësi bëhen histerikë.

Si të nxjerrim rrënjën nga numri. Në këtë artikull do të mësojmë se si të marrim rrënjën katrore të numrave katër dhe pesë shifrorë.

Le të marrim si shembull rrënjën katrore të vitit 1936.

Prandaj, .

Shifra e fundit në numrin 1936 është numri 6. Katrori i numrit 4 dhe numrit 6 përfundon me 6. Prandaj, 1936 mund të jetë katrori i numrit 44 ose numri 46. Mbetet të kontrollohet duke përdorur shumëzimin.

Do të thotë,

Le të marrim rrënjën katrore të numrit 15129.

Prandaj, .

Shifra e fundit në numrin 15129 është numri 9. Katrori i numrit 3 dhe numrit 7 përfundon me 9. Prandaj, 15129 mund të jetë katrori i numrit 123 ose numri 127. Le të kontrollojmë duke përdorur shumëzimin.

Do të thotë,

Si të nxjerrim rrënjën - video

Dhe tani ju sugjeroj të shikoni videon e Anna Denisova - "Si të nxjerrim rrënjën ", autori i faqes" Fizika e thjeshtë", në të cilën ajo shpjegon se si të gjeni rrënjë katrore dhe kubike pa një makinë llogaritëse.

Videoja diskuton disa mënyra për të nxjerrë rrënjët:

1. Mënyra më e lehtë për të nxjerrë rrënjën katrore.

2. Me përzgjedhje duke përdorur katrorin e shumës.

3. Metoda babilonase.

4. Metoda e nxjerrjes së rrënjës katrore të një kolone.

5. Një mënyrë e shpejtë për të nxjerrë rrënjën e kubit.

6. Metoda e nxjerrjes së rrënjës së kubit në një kolonë.