Për të gjetur integralin e caktuar me metodën trapezoidale, sipërfaqen trapezoid i lakuar ndahet edhe në n trapezoide drejtkëndëshe me lartësi h dhe baza y 1, y 2, y 3,..y n, ku n është numri i trapezit drejtkëndor. Integrali do të jetë numerik e barabartë me shumën zonat e trapezoideve drejtkëndëshe (Figura 4).
Oriz. 4
n - numri i ndarjeve
Gabimi i formulës trapezoidale vlerësohet me numrin
Gabimi i formulës së trapezit zvogëlohet më shpejt me rritjen sesa gabimi i formulës së drejtkëndëshit. Prandaj, formula trapezoidale lejon saktësi më të madhe sesa metoda drejtkëndëshe.
Formula e Simpsonit
Nëse për çdo çift segmentesh ndërtojmë një polinom të shkallës së dytë, pastaj e integrojmë në segment dhe përdorim vetinë e aditivitetit të integralit, marrim formulën e Simpsonit.
Në metodën e Simpsonit, për të llogaritur një integral të caktuar, i gjithë intervali i integrimit ndahet në nënintervale gjatësi të barabartë h=(b-a)/n. Numri i segmenteve të ndarjes është një numër çift. Më pas, në çdo çift nënintervalesh ngjitur, funksioni i integrandit f(x) zëvendësohet me një polinom të Lagranzhit të shkallës së dytë (Figura 5).
Oriz. 5 Funksioni y=f(x) në segment zëvendësohet me një polinom të rendit të dytë
Le të shqyrtojmë integranin në një segment. Le ta zëvendësojmë këtë integrand me një polinom të interpolimit të Lagranzhit të shkallës së dytë, që përkon me y= në pikat:
Le të integrohemi në segmentin:
Le të prezantojmë një ndryshim të variablave:
Duke marrë parasysh formulat e zëvendësimit,
Pas kryerjes së integrimit, marrim formulën e Simpson:
Vlera e marrë për integralin përkon me zonën e një trapezi lakor të kufizuar nga një bosht, vija të drejta dhe një parabolë që kalon nëpër pika, formula e Simpsonit do të duket si:
Në formulën e parabolës, vlera e funksionit f(x) në pikat tek të ndarjes x 1, x 3, ..., x 2n-1 ka një koeficient 4, në pikat çift x 2, x 4, . .., x 2n-2 - koeficienti 2 dhe në dy pika kufitare x 0 =a, x n =b - koeficienti 1.
Kuptimi gjeometrik i formulës së Simpson: zona e një trapezi lakor nën grafikun e funksionit f(x) në një segment zëvendësohet afërsisht nga shuma e zonave të figurave që shtrihen nën parabolat.
Nëse funksioni f(x) ka një derivat të vazhdueshëm rendit i katërt, Kjo vlere absolute gabimet e formulës Simpson nuk janë më shumë se
ku M - vlera më e lartë në segment. Meqenëse n 4 rritet më shpejt se n 2, gabimi i formulës Simpson zvogëlohet me rritjen n shumë më shpejt se gabimi i formulës trapezoidale.
Le të llogarisim integralin
Ky integral është i lehtë për t'u llogaritur:
Le të marrim n të barabartë me 10, h=0.1, të llogarisim vlerat e integrandit në pikat e ndarjes, si dhe pikat gjysmë të plotë.
Duke përdorur formulën e drejtkëndëshave mesatarë, marrim I drejt = 0,785606 (gabimi është 0,027%), duke përdorur formulën trapezoide I kurth = 0,784981 (gabim rreth 0,054. Kur përdorni metodën e drejtkëndëshave djathtas dhe majtas, gabimi është më shumë se 3% .
Për të krahasuar saktësinë e formulave të përafërta, le të llogarisim përsëri integralin
por tani sipas formulës së Simpsonit me n=4. Le ta ndajmë segmentin në katër pjesë të barabarta me pika x 0 =0, x 1 =1/4, x 2 =1/2, x 3 =3/4, x 4 =1 dhe llogaritim afërsisht vlerat e funksionit f(x)=1/( 1+x) në këto pika: 0 =1,0000, 1 =0,8000, 2 =0,6667, 3 =0,5714, 4 =0,5000.
Duke përdorur formulën e Simpson-it marrim
Le të vlerësojmë gabimin e rezultatit të marrë. Për funksionin integrand f(x)=1/(1+x) kemi: f (4) (x)=24/(1+x) 5, që do të thotë se në segmentin . Prandaj, mund të marrim M=24, dhe gabimi i rezultatit nuk kalon 24/(2880 4 4)=0.0004. Duke krahasuar vlerën e përafërt me atë të saktë, konkludojmë se gabimi absolut i rezultatit të marrë duke përdorur formulën Simpson është më i vogël se 0.00011. Kjo është në përputhje me vlerësimin e gabimit të dhënë më sipër dhe, përveç kësaj, tregon se formula Simpson është shumë më e saktë se formula trapezoidale. Prandaj, formula e Simpson-it përdoret më shpesh për llogaritjen e përafërt të integraleve të përcaktuara sesa formula trapezoidale.
Ngrihet një problem në lidhje me llogaritjen numerike të një integrali të caktuar, i cili mund të zgjidhet duke përdorur formulat e quajtura kuadraturë.
Le të kujtojmë formulat më të thjeshta integrimi numerik.
Le të llogarisim vlerën e përafërt numerike. Intervalin e integrimit [a, b] e ndajmë në n pjesë të barabarta duke ndarë pikat 
, të quajtura nyje të formulës së kuadraturës. Le të dihen vlerat në nyje 
:
Madhësia 
i quajtur intervali ose hapi i integrimit. Vini re se në praktikë - llogaritjet, numri i zgjidhet të jetë i vogël, zakonisht nuk është më shumë se 10-20 
integrandi zëvendësohet me një polinom interpolimi
që përafërsisht paraqet funksionin f (x) në intervalin në shqyrtim.
a) Le të mbajmë vetëm një term të parë në polinomin e interpolimit
Formula kuadratike që rezulton
quhet formula e drejtkëndëshit.
b) Le t'i mbajmë dy termat e parë në polinomin e interpolimit, atëherë
(2)
Formula (2) quhet formula trapezoidale.
c) Intervali i integrimit 
le ta zbërthejmë në numër çift 2n pjesë të barabarta, dhe hapi i integrimit h do të jetë i barabartë me 
. Në intervalin 
me gjatësi 2h, ne e zëvendësojmë integrandin me një polinom interpolimi të shkallës së dytë, d.m.th., mbajmë tre termat e parë në polinom:
Formula e kuadraturës që rezulton quhet formula e Simpsonit
(3)
Formulat (1), (2) dhe (3) kanë një të thjeshtë kuptimi gjeometrik. Në formulën e drejtkëndëshave, funksioni i integrandit f(x) në interval 
zëvendësohet nga një segment i drejtë y = yk, paralel me boshtin e abshisës, dhe në formulën trapezoidale - nga një segment i drejtë. 
dhe llogaritet përkatësisht sipërfaqja e drejtkëndëshit dhe e trapezit drejtvizor, të cilat më pas përmblidhen. Në formulën e Simpsonit, funksioni f(x) në interval 
gjatësia 2h zëvendësohet nga një trinom katror - një parabolë 
Llogaritet sipërfaqja e një trapezi parabolik lakor, pastaj përmblidhen zonat.
PËRFUNDIM
Në fund të punës, do të doja të shënoja një numër karakteristikash të aplikimit të metodave të diskutuara më sipër. Çdo metodë e zgjidhjes së përafërt të një integrali të caktuar ka avantazhet dhe disavantazhet e veta, në varësi të detyrës në fjalë, duhet të përdoren metoda specifike.
Metoda e zëvendësimit të variablaveështë një nga metodat kryesore për llogaritjen e integraleve të pacaktuara. Edhe në rastet kur ne integrohemi me ndonjë metodë tjetër, shpesh duhet t'i drejtohemi ndryshimit të variablave në llogaritjet e ndërmjetme. Suksesi i integrimit varet në një masë të madhe nga fakti nëse jemi në gjendje të zgjedhim një ndryshim kaq të suksesshëm të variablave që do të thjeshtonte integralin e dhënë.
Në thelb, studimi i metodave të integrimit zbret në zbulimin e llojit të zëvendësimit të variablave që duhet bërë për këtë apo atë lloj integrand.
Kështu, integrimi i çdo thyese racionale reduktohet në integrimin e një polinomi dhe disa thyesave të thjeshta.
Integrali i çdo funksioni racional mund të shprehet përmes funksioneve elementare në formën përfundimtare, përkatësisht:
përmes logaritmeve - në rastet e thyesave të thjeshta të tipit 1;
përmes funksioneve racionale - në rastin e thyesave të thjeshta të tipit 2
përmes logaritmeve dhe arktangjentëve - në rastin e fraksioneve të thjeshta të tipit 3
përmes funksioneve racionale dhe arktangjentëve - në rastin e fraksioneve të thjeshta të tipit 4. Universale zëvendësimi trigonometrik gjithmonë e racionalizon integrandin, por shpesh çon në shumë të rëndë thyesat racionale, për të cilat, në veçanti, është pothuajse e pamundur të gjesh rrënjët e emëruesit. Prandaj, sa herë që është e mundur, përdoren zëvendësime të pjesshme, të cilat gjithashtu racionalizojnë integrandin dhe çojnë në fraksione më pak komplekse.
Formula Njuton-Leibniz përfaqëson qasje e përgjithshme për gjetjen e integraleve të caktuar.
Sa i përket teknikave për llogaritjen e integraleve të përcaktuara, ato praktikisht nuk ndryshojnë nga të gjitha ato teknika dhe metoda.
Aplikoni saktësisht në të njëjtën mënyrë metodat e zëvendësimit(ndryshimi i ndryshores), metoda e integrimit sipas pjesëve, të njëjtat teknika për gjetjen e antiderivativëve për funksionet trigonometrike, irracionale dhe transcendentale. E vetmja veçori është se gjatë përdorimit të këtyre teknikave është e nevojshme të shtrihet transformimi jo vetëm në funksionin integrand, por edhe në kufijtë e integrimit. Kur zëvendësoni variablin e integrimit, mos harroni të ndryshoni kufijtë e integrimit në përputhje me rrethanat.
Si duhet nga teorema, kushti për vazhdimësinë e funksionitështë një kusht i mjaftueshëm për integrueshmërinë e një funksioni. Por kjo nuk do të thotë integral i caktuar ekziston vetëm për funksione të vazhdueshme. Klasa e funksioneve të integrueshme është shumë më e gjerë. Për shembull, ekziston një integral i caktuar i funksioneve që kanë numri përfundimtar pikat e pushimit.
Llogaritja e integralit të caktuar të një funksioni të vazhdueshëm duke përdorur formulën Newton-Leibniz zbret në gjetjen e antiderivativit, i cili ekziston gjithmonë, por jo gjithmonë funksioni elementar ose një funksion për të cilin janë përpiluar tabela që bëjnë të mundur marrjen e vlerës së integralit. Në shumë aplikacione, funksioni i integrueshëm është specifikuar në një tabelë dhe formula e Newton-Leibniz nuk është drejtpërdrejt e zbatueshme.
Nëse keni nevojë të merrni rezultatin më të saktë, ai është ideal Metoda Simpson.
Nga ajo që kemi mësuar më sipër mund të bëjmë prodhimi tjetër se integrali përdoret në shkenca të tilla si fizika, gjeometria, matematika dhe shkenca të tjera. Duke përdorur integralin, llogaritet puna e forcës, gjenden koordinatat e qendrës së masës dhe shtegu i përshkuar nga pika materiale. Në gjeometri përdoret për të llogaritur vëllimin e një trupi, për të gjetur gjatësinë e harkut të një lakore etj.
Llogaritja e integraleve duke përdorur formulat e drejtkëndëshave, trapezoideve dhe formulës së Simpsonit. Vlerësimi i gabimit.
Udhëzimet në temën 4.1:
Llogaritja e integraleve duke përdorur formulat drejtkëndësh. Vlerësimi i gabimit:
Zgjidhja e shumë problemeve teknike zbret në llogaritjen e integraleve të caktuara, shprehja e saktë e të cilave është komplekse, kërkon llogaritje të gjata dhe jo gjithmonë justifikohet në praktikë. Këtu vlera e tyre e përafërt është mjaft e mjaftueshme. Për shembull, ju duhet të llogarisni zonën i kufizuar nga një vijë, ekuacioni i të cilit është i panjohur, boshti X dhe dy ordinata. Në këtë rast, ju mund të zëvendësoni këtë linjë më e thjeshtë, për të cilën dihet ekuacioni. Sipërfaqja e trapezit lakor të marrë në këtë mënyrë merret si një vlerë e përafërt e integralit të dëshiruar. Gjeometrikisht, ideja e metodës së llogaritjes së integralit të caktuar duke përdorur formulën drejtkëndëshe është që zona e një trapezi lakor A 1 ABC 1 zëvendësohet me sipërfaqen e një drejtkëndëshi të barabartë A 1 A 2 B 1 B 2, e cila nga teorema e vlerës mesatare është e barabartë me
Ku f(c) --- lartësia drejtkëndësh A 1 A 2 B 1 B 2, që përfaqëson vlerën e integrandit në një pikë të ndërmjetme c(a< c
Është pothuajse e vështirë të gjesh një vlerë të tillë Me, në të cilën (b-a) f (c) do të ishte saktësisht e barabartë me . Për të marrë një vlerë më të saktë, zona e një trapezi lakor ndahet në n drejtkëndëshat lartësitë e të cilëve janë të barabarta y 0 , y 1 , y 2 , …, y n -1 dhe bazat.
Nëse përmbledhim zonat e drejtkëndëshave që mbulojnë zonën e një trapezi lakor me një disavantazh, funksioni nuk është në rënie, atëherë në vend të formulës përdorim formulën
Nëse është e tepërt, atëherë
Vlerat gjenden nga barazitë. Këto formula quhen formulat drejtkëndësh dhe jep një rezultat të përafërt. Me rritje n rezultati bëhet më i saktë.
Shembulli 1 . Llogaritni duke përdorur formulën drejtkëndëshe
Le ta ndajmë intervalin e integrimit në 5 pjesë. Pastaj . Duke përdorur një kalkulator ose tabelë, do të gjejmë vlerat e integrandit (të sakta deri në 4 shifra dhjetore):
Sipas formulës së drejtkëndëshave (me disavantazh)
Nga ana tjetër, sipas formulës Njuton-Leibniz
Le të gjejmë gabimin relativ të llogaritjes duke përdorur formulën drejtkëndësh:
Llogaritja e integraleve duke përdorur formulat trapezoidale. Vlerësimi i gabimit:
Kuptimi gjeometrik i metodës së mëposhtme të llogaritjes së përafërt të integraleve është gjetja e sipërfaqes së një trapezi "drejtvizor" afërsisht të barabartë.
Le të jetë e nevojshme të llogaritet sipërfaqja Një 1 AmBB 1 trapezoid lakor, i shprehur me formulë.
Le të zëvendësojmë harkun AmB akord AB dhe në vend të zonës së një trapezi lakor Një 1 AmBB 1 llogaritni sipërfaqen e trapezit A 1 ABB 1: 
, Ku AA 1 Dhe BB 1 - bazat e trapezit, dhe A 1 B 1 - lartësia e saj.
Le të shënojmë f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B. lartësia e trapezit A 1 B 1 =b-a, katrore 
. Prandaj, 
ose
Ky është i ashtuquajturi formula e vogël trapez.
Kur njehsojmë një integral të caktuar, jo gjithmonë marrim një zgjidhje të saktë. Përfaqësimi në formën e një funksioni elementar nuk është gjithmonë i mundur. Formula e Njuton-Leibnizit nuk është e përshtatshme për llogaritje, prandaj duhet të përdoren metodat e integrimit numerik. Kjo metodë ju lejon të merrni të dhëna me saktësi të lartë. Metoda e Simpsonit është pikërisht kjo.
Për ta bërë këtë, është e nevojshme të jepet një paraqitje grafike e derivimit të formulës. Më poshtë është një rekord i vlerësimit absolut të gabimit duke përdorur metodën Simpson. Si përfundim, ne do të krahasojmë tre metoda: Simpson, drejtkëndëshat, trapezoidët.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Metoda e parabolës – esenca, formula, vlerësimi, gabimet, ilustrimet
Është dhënë një funksion i formës y = f (x), i cili ka vazhdimësi në intervalin [ a ; b ] , është e nevojshme të llogaritet integrali i caktuar ∫ a b f (x) d x
Është e nevojshme të ndahet segmenti [a; b ] në n segmente të formës x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n me gjatësi 2 h = b - a n dhe pika a = x 0< x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .
Çdo interval x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n e integrandit përafrohet duke përdorur një parabolë të përcaktuar nga y = a i x 2 + b i x + c i duke kaluar nëpër pika me koordinata x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2), x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) . Kjo është arsyeja pse metoda ka këtë emër.
Këto veprime kryhen me qëllim që të merret si vlerë e përafërt integrali ∫ x 2 i - 2 x 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x. Mund të llogarisim duke përdorur formulën Newton-Leibniz. Ky është thelbi i metodës së parabolës.
Ilustrim grafik i metodës së parabolës (Simpson)
Duke përdorur vijën e kuqe, përshkruhet grafiku i funksionit y = f (x), dhe vija blu është një përafrim i grafikut y = f (x) duke përdorur parabola kuadratike.
Bazuar në vetinë e pestë të integralit të caktuar fitojmë ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x
Për të marrë formulën duke përdorur metodën e parabolës, është e nevojshme të llogaritet:
∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x
Le të x 2 i - 2 = 0 . Konsideroni figurën më poshtë.
Le ta përshkruajmë atë përmes pikave me koordinata x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2), x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) mund të kalojë nëpër një parabolë kuadratike të formës y = a i x 2 + b i x + c i. Me fjalë të tjera, është e nevojshme të vërtetohet se koeficientët mund të përcaktohen vetëm në një mënyrë të vetme.
Kemi atë x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2), x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) janë pikat e parabolës, atëherë secili nga ekuacionet e paraqitura është i vlefshëm. Ne e kuptojmë atë
a i (x 2 i - 2) 2 + b i x 2 i - 2 + c i = f (x 2 i - 2) a i (x 2 i - 1) 2 + b i x 2 i - 1 + c i = f ( x 2 i - 1) a i (x 2 i) 2 + b i x 2 i + c i = f (x 2 i)
Sistemi që rezulton zgjidhet në lidhje me a i, b i, c i, ku është e nevojshme të kërkohet përcaktori i matricës sipas Vandermonde. Ne e kuptojmë atë
(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 , dhe konsiderohet jo zero dhe nuk përkon me pikat x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . Kjo është një shenjë se ekuacioni ka vetëm një zgjidhje, pastaj koeficientët e zgjedhur a i; b i; c i mund të përcaktohet vetëm në një mënyrë unike, pastaj përmes pikave x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2), x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) vetëm një parabolë mund të kalojë.
Mund të vazhdojmë me gjetjen e integralit ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x.
Është e qartë se
f (x 2 i - 2) = f (0) = a i 0 2 + b i 0 + c i = c i f (x 2 i - 1) = f (h) = a i h 2 + b i h + c i f ( x 2 i) = f (0) = 4 a i h 2 + 2 b i h + c i
Për të kryer tranzicionin e fundit, është e nevojshme të përdoret një pabarazi e formës
∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x = ∫ 0 2 h (a i x 2 + b i x + c i) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + f x 2 i
Pra, marrim formulën duke përdorur metodën e parabolës:
∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)
Përkufizimi 1
Formula për metodën e Simpsonit është ∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .
Formula për vlerësimin e gabimit absolut ka formën δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 .
Shembuj të llogaritjes së përafërt të integraleve të caktuar duke përdorur metodën e parabolës
Metoda e Simpson-it përfshin llogaritjen e përafërt të integraleve të caktuar. Më shpesh, ekzistojnë dy lloje problemesh për të cilat kjo metodë është e zbatueshme:
- në llogaritjen e përafërt të një integrali të caktuar;
- kur gjendet një vlerë e përafërt me saktësi δ n.
Saktësia e llogaritjes ndikohet nga vlera e n, sa më e lartë n, aq më të sakta janë vlerat e ndërmjetme.
Shembulli 1
Njehsoni integralin e caktuar ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 duke përdorur metodën e Simpson-it, duke e ndarë segmentin e integrimit në 5 pjesë.
Zgjidhje
Me kusht dihet që a = 0; b = 5; n = 5, f(x) = x x 4 + 4.
Më pas shkruajmë formulën e Simpsonit në formë
∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)
Për ta zbatuar plotësisht, është e nevojshme të llogaritni hapin duke përdorur formulën h = b - a 2 n, të përcaktoni pikat x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n dhe gjeni vlerat e funksionit të integrandit f (x i) , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .
Llogaritjet e ndërmjetme duhet të rrumbullakosen në 5 shifra. Le të zëvendësojmë vlerat dhe të marrim
h = b - a 2 n = 5 - 0 2 · 5 = 0 . 5
Le të gjejmë vlerën e funksionit në pika
i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0. 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . 50 . 5 4 + 4 ≈ 0. 12308. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0. 00795
Qartësia dhe komoditeti janë paraqitur në tabelën e mëposhtme
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| x i | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 . 5 | 2 | 2 . 5 |
| f x i | 0 | 0 . 12308 | 0 . 2 | 0 . 16552 | 0 . 1 | 0 . 05806 |
| i | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x i | 3 | 3 . 5 | 4 | 4 . 5 | 5 |
| f x i | 0 . 03529 | 0 . 02272 | 0 . 01538 | 0 . 01087 | 0 . 00795 |
Është e nevojshme të zëvendësohen rezultatet në formulën e metodës së parabolës:
∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n ) = = 0. 5 3 0 + 4 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0. 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171
Për llogaritjen, ne zgjodhëm një integral të caktuar, i cili mund të llogaritet duke përdorur Newton-Leibniz. Ne marrim:
∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274
Përgjigje: Rezultatet përputhen deri në të qindtat.
Shembulli 2
Njehsoni integralin e pacaktuar ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x duke përdorur metodën e Simpsonit me saktësi 0,001.
Zgjidhje
Me kusht, kemi që a = 0, b = π, f (x) = sin 3 x 2 + 1 2, δ n ≤ 0. 001. Vlera e n duhet të përcaktohet. Për ta bërë këtë, përdorni një formulë për vlerësimin e gabimit absolut të metodës Simpson të formës δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001
Kur gjejmë vlerën e n, atëherë pabarazia m a x [a; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 do të ekzekutohet. Pastaj, duke përdorur metodën e parabolës, gabimi në llogaritjen nuk do të kalojë 0. 001. Pabarazia e fundit merr formën
n 4 ≥ m a x [a; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88
Tani duhet të zbulojmë se cila është vlera më e madhe që mund të marrë moduli i derivatit të katërt.
f " (x) = mëkat 3 x 2 + 1 2 " = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 mëkat 3 x 2 ⇒ f " " " ( x) = - 9 4 mëkat 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 mëkat 3 x 2
Fusha e përkufizimit f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 i përket intervalit - 81 16 ; 81 16, dhe vetë segmenti i integrimit [0; π) ka një pikë ekstreme, rrjedh se m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .
Ne bëjmë zëvendësimin:
n 4 ≥ m a x [a; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159
Ne zbuluam se n - numri natyror, atëherë vlera e tij mund të jetë e barabartë me n = 5, 6, 7 ... së pari ju duhet të merrni vlerën n = 5.
Kryeni veprime të ngjashme me shembullin e mëparshëm. Ju duhet të llogaritni hapin. Për këtë
h = b - a 2 n = π - 0 2 5 = π 10
Le të gjejmë nyjet x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n , atëherë vlera e integrandit do të ketë formën
i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = mëkat 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = mëkat 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0. 953990. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≈ - 0. 5 7 π 10
Mbetet të zëvendësojmë vlerat në formulën e zgjidhjes duke përdorur metodën e parabolës dhe marrim
∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f ( x 2 n) = = π 30 · 0, 5 + 4 · 0. 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 + + 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2 . 237650
Metoda e Simpsonit na lejon të marrim një vlerë të përafërt të integralit të caktuar ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2. 237 me saktësi 0.001.
Kur llogaritim duke përdorur formulën Newton-Leibniz, marrim si rezultat
∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2. 237463
Përgjigje:∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237
Koment
Në shumicën e rasteve, gjetja e m a x [a; b ] f (4) (x) është problematike. Prandaj, përdoret një alternativë - metoda e parabolës. Parimi i tij shpjegohet në detaje në seksionin mbi metodën trapezoidale. Metoda e parabolës konsiderohet metoda e preferuar për zgjidhjen e integralit. Gabimi llogaritës ndikon në rezultatin n. Sa më e vogël të jetë vlera e tij, aq më i saktë është numri i përafërt i kërkuar.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Le të ndajmë segmentin e integrimit [ A, b] në një numër çift n pjesë të barabarta në rritje h. Në çdo segment [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [x i-1, x i+1],..., [ x n-2, x n] funksion integrand f(X) zëvendësojmë me një polinom interpolimi të shkallës së dytë:
Koeficientët e këtyre trinomet katrore mund të gjendet nga kushtet e barazisë së polinomit në pikat që i përgjigjen të dhënave tabelare. Mund të marrim si një polinom interpolimi të Lagranzhit të shkallës së dytë që kalon nëpër pika 
:
Shuma e zonave elementare dhe (Fig. 3.3) mund të llogaritet duke përdorur një integral të caktuar. Duke marrë parasysh barazitë që marrim
- 
Oriz. 3.3. Ilustrim për metodën e Simpson
Pasi kemi kryer llogaritjet e tilla për secilin segment elementar, ne përmbledhim shprehjet që rezultojnë:
Kjo shprehje Për S merret si vlera e integralit të caktuar:
(3.35)
Marrëdhënia që rezulton quhet Formula e Simpsonit ose formula e parabolës.
Kjo formulë mund të merret në mënyra të tjera, për shembull, duke përdorur metodën trapezoidale dy herë kur ndahet segmenti [ A, b] në pjesë me hapa h dhe 2 h ose duke kombinuar formulat e drejtkëndëshave dhe trapezoideve (shih seksionin 3.2.6).
Ndonjëherë formula e Simpson shkruhet duke përdorur indekse gjysmë të plotë. Në këtë rast, numri i segmenteve të ndarjes P arbitrare (jo domosdoshmërisht edhe), dhe formula e Simpson-it ka formën
(3.36)
Është e lehtë të shihet se formula (3.36) përkon me (3.35) nëse formula (3.35) zbatohet për numrin e segmenteve të ndarjes 2 n dhe hap h/2.
Shembull. Llogaritni integralin duke përdorur metodën e Simpsonit
Vlerat e funksionit në n = 10, h = 0.1 janë dhënë në tabelë. 3.3. Duke aplikuar formulën (3.35), gjejmë
Rezultati i integrimit numerik duke përdorur metodën Simpson doli të përkojë me vlerën e saktë(gjashtë shifra të rëndësishme).
Një nga algoritmet e mundshme për llogaritjen e një integrali të caktuar duke përdorur metodën e Simpson është paraqitur në Fig. 3.4. Kufijtë e segmentit të integrimit [ A, b], gabim ε, si dhe një formulë për llogaritjen e vlerave të integrandit y =f(x) .
Oriz. 3.4. Algoritmi i metodës Simpson
Fillimisht, segmenti ndahet në dy pjesë me një hap h =(b- a)/2. Llogaritet vlera e integralit I 1. Pastaj numri i hapave dyfishohet, vlera llogaritet I 2 në rritje h/2. Kushti për përfundimin e llogarisë merret në formularin . Nëse ky kusht nuk plotësohet, një hap i ri ndahet në gjysmë, etj.
Vini re se tregohet në Fig. 3.4 algoritmi nuk është optimal: kur llogaritet çdo përafrim I 2 vlera funksioni nuk përdoren f(x), gjetur tashmë në fazën e mëparshme. Më shumë algoritme ekonomike do të diskutohen në seksion. 3.2.7.
