Metodat për zgjidhjen e mosbarazimeve logaritmike me shembuj. Gjithçka rreth pabarazive logaritmike

Arsyetimi i kryer është i thjeshtë, por thjeshton ndjeshëm zgjidhjen e pabarazive logaritmike.

Shembulli 4.

log x (x 2 -3)<0

Zgjidhja:

Shembulli 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Zgjidhja:

Përgjigju. (0; 0.5) U.

Shembulli 6.

Për të zgjidhur këtë pabarazi, në vend të emëruesit, shkruajmë (x-1-1)(x-1) dhe në vend të numëruesit shkruajmë prodhimin (x-1)(x-3-9 + x).

Përgjigju : (3;6)

Shembulli 7.

Shembulli 8.

2.3. Zëvendësimi jo standard.

Shembulli 1.

Shembulli 2.

Shembulli 3.

Shembulli 4.

Shembulli 5.

Shembulli 6.

Shembulli 7.

log 4 (3 x -1) log 0,25

Le të bëjmë zëvendësimin y=3 x -1; atëherë kjo pabarazi do të marrë formën

Regjistri 4 log 0.25
.

Sepse log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , pastaj e rishkruajmë pabarazinë e fundit si 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Le të bëjmë zëvendësimin t =log 4 y dhe të marrim pabarazinë t 2 -2t +≥0, zgjidhja e së cilës janë intervalet - .

Kështu, për të gjetur vlerat e y kemi një grup prej dy pabarazish të thjeshta
Zgjidhja për këtë grup janë intervalet 0<у≤2 и 8≤у<+.

Prandaj, pabarazia fillestare është ekuivalente me grupin e dy pabarazive eksponenciale,
pra agregate

Zgjidhja e pabarazisë së parë të këtij grupi është intervali 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Kështu, pabarazia origjinale plotësohet për të gjitha vlerat e x nga intervalet 0<х≤1 и 2≤х<+.

Shembulli 8.

Zgjidhja:

Pabarazia është e barabartë me sistemin

Zgjidhja e pabarazisë së dytë që përcakton ODZ do të jetë grupi i tyre x,

për të cilat x > 0.

Për të zgjidhur pabarazinë e parë bëjmë zëvendësimin

Pastaj marrim pabarazinë

ose

Bashkësia e zgjidhjeve të pabarazisë së fundit gjendet me metodën

intervalet: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, marrim

ose

Shumë prej tyre x, të cilat plotësojnë pabarazinë e fundit

i përket ODZ ( x> 0), pra, është një zgjidhje për sistemin,

dhe rrjedhimisht pabarazia origjinale.

Përgjigje:

2.4. Detyrat me kurthe.

Shembulli 1.

.

Zgjidhje. ODZ e pabarazisë është e gjitha x që plotëson kushtin 0 . Prandaj, të gjitha x janë nga intervali 0

Shembulli 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Fakti është se numri i dytë është padyshim më i madh se

konkluzioni

Nuk ishte e lehtë të gjesh metoda specifike për zgjidhjen e problemeve C3 nga një bollëk i madh burimesh të ndryshme arsimore. Gjatë punës së bërë, unë kam qenë në gjendje të studioj metoda jo standarde për zgjidhjen e pabarazive logaritmike komplekse. Këto janë: kalimet ekuivalente dhe metoda e përgjithësuar e intervaleve, metoda e racionalizimit , zëvendësim jo standard , detyra me kurthe në ODZ. Këto metoda nuk janë të përfshira në kurrikulën shkollore.

Duke përdorur metoda të ndryshme, zgjidha 27 pabarazi të propozuara në Provimin e Unifikuar të Shtetit në pjesën C, përkatësisht C3. Këto pabarazi me zgjidhje sipas metodave formuan bazën e koleksionit “C3 Inebarazimet logaritmike me zgjidhje”, i cili u bë produkt projekti i aktivitetit tim. Hipoteza që parashtrova në fillim të projektit u konfirmua: problemet C3 mund të zgjidhen në mënyrë efektive nëse i njihni këto metoda.

Përveç kësaj, zbulova fakte interesante për logaritmet. Ishte interesante për mua ta bëja këtë. Produktet e projektit tim do të jenë të dobishme si për studentët ashtu edhe për mësuesit.

Konkluzione:

Kështu, qëllimi i projektit është arritur dhe problemi është zgjidhur. Dhe kam marrë përvojën më të plotë dhe të larmishme të aktiviteteve të projektit në të gjitha fazat e punës. Gjatë punës në projekt, ndikimi im kryesor zhvillimor ishte në kompetencën mendore, aktivitetet që lidhen me operacionet mendore logjike, zhvillimin e kompetencës krijuese, iniciativën personale, përgjegjësinë, këmbënguljen dhe aktivitetin.

Një garanci suksesi kur krijoni një projekt kërkimor për Kam fituar: përvojë të rëndësishme shkollore, aftësi për të marrë informacion nga burime të ndryshme, për të kontrolluar besueshmërinë e tij dhe për ta renditur atë sipas rëndësisë.

Krahas njohurive të drejtpërdrejta lëndore në matematikë, zgjerova aftësitë e mia praktike në fushën e informatikës, fitova njohuri dhe përvojë të re në fushën e psikologjisë, vendosa kontakte me shokët e klasës dhe mësova të bashkëpunoj me të rriturit. Gjatë aktiviteteve të projektit u zhvilluan aftësitë edukative të përgjithshme organizative, intelektuale dhe komunikuese.

Letërsia

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistemet e pabarazive me një ndryshore (detyrat standarde C3).

2. Malkova A. G. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit në Matematikë.

3. Samarova S. S. Zgjidhja e pabarazive logaritmike.

4. Matematikë. Koleksioni i punimeve të trajnimit redaktuar nga A.L. Semenov dhe I.V. Yashçenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 f.-

Ndër të gjithë shumëllojshmërinë e pabarazive logaritmike, pabarazitë me një bazë të ndryshueshme studiohen veçmas. Ato zgjidhen duke përdorur një formulë të veçantë, e cila për disa arsye mësohet rrallë në shkollë. Prezantimi paraqet zgjidhje për detyrat C3 të Provimit të Unifikuar të Shtetit - 2014 në matematikë.

Shkarko:

Pamja paraprake:

Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari Google dhe identifikohuni në të: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjes:

Zgjidhja e pabarazive logaritmike që përmbajnë një ndryshore në bazën e logaritmit: metoda, teknika, tranzicione ekuivalente, mësues matematike, Shkolla e mesme nr. 143 Knyazkina T. V.

Ndër të gjithë shumëllojshmërinë e pabarazive logaritmike, pabarazitë me një bazë të ndryshueshme studiohen veçmas. Ato zgjidhen duke përdorur një formulë të veçantë, e cila për disa arsye mësohet rrallë në shkollë: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Në vend të kutisë “∨”, mund të vendosni çdo shenjë pabarazie: pak a shumë. Gjëja kryesore është se në të dyja pabarazitë shenjat janë të njëjta. Në këtë mënyrë shpëtojmë nga logaritmet dhe e reduktojmë problemin në një pabarazi racionale. Kjo e fundit është shumë më e lehtë për t'u zgjidhur, por kur hidhni logaritmet, mund të shfaqen rrënjë shtesë. Për t'i prerë ato, mjafton të gjesh gamën e vlerave të pranueshme. Mos harroni ODZ-në e logaritmit! Çdo gjë që lidhet me gamën e vlerave të pranueshme duhet të shkruhet dhe zgjidhet veçmas: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Këto katër pabarazi përbëjnë një sistem dhe duhet të plotësohen njëkohësisht. Kur të gjendet diapazoni i vlerave të pranueshme, mbetet vetëm ta kryqëzojmë atë me zgjidhjen e pabarazisë racionale - dhe përgjigja është gati.

Zgjidhja e pabarazisë: Zgjidhja Së pari, le të shkruajmë OD-në e logaritmit Dy pabarazitë e para plotësohen automatikisht, por e fundit do të duhet të shkruhet. Meqenëse katrori i një numri është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse vetë numri është i barabartë me zero, kemi: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0. Rezulton se ODZ e një logaritmi është të gjithë numrat përveç zeros: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Tani zgjidhim pabarazinë kryesore: Bëjmë kalimin nga pabarazia logaritmike në atë racionale. Pabarazia origjinale ka një shenjë "më pak se", që do të thotë se pabarazia që rezulton duhet të ketë gjithashtu një shenjë "më pak se".

Kemi: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)

Transformimi i pabarazive logaritmike Shpesh pabarazia origjinale është e ndryshme nga ajo e mësipërme. Kjo mund të korrigjohet lehtësisht duke përdorur rregullat standarde për punën me logaritme. Domethënë: Çdo numër mund të paraqitet si logaritëm me bazë të caktuar; Shuma dhe diferenca e logaritmeve me baza të njëjta mund të zëvendësohen me një logaritëm. Më vete, do të doja t'ju kujtoja për gamën e vlerave të pranueshme. Meqenëse mund të ketë disa logaritme në pabarazinë origjinale, kërkohet të gjendet VA e secilit prej tyre. Kështu, skema e përgjithshme për zgjidhjen e inekuacioneve logaritmike është si më poshtë: Gjeni VA-në e çdo logaritmi të përfshirë në inekuacion; Zvogëloni pabarazinë në një standard duke përdorur formulat për mbledhjen dhe zbritjen e logaritmeve; Zgjidheni pabarazinë që rezulton sipas skemës së dhënë më sipër.

Të zgjidhet pabarazia: Zgjidhje Të gjejmë domenin e përkufizimit (DO) të logaritmit të parë: Të zgjidhet me metodën e intervaleve. Gjeni zerot e numëruesit: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Atëherë - zerot e emëruesit: x − 1 = 0; x = 1. Shënoni zero dhe shenja në vijën e koordinatave:

Marrim x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Logaritmi i dytë do të ketë të njëjtën VA. Nëse nuk më besoni, mund ta kontrolloni. Tani le ta transformojmë logaritmin e dytë në mënyrë që të ketë një dy në bazë: Siç mund ta shihni, treshe në bazë dhe përpara logaritmit janë anuluar. Ne morëm dy logaritme me të njëjtën bazë. Mblidhni ato: log 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

Ne jemi të interesuar për kryqëzimin e grupeve, kështu që zgjedhim intervalet që janë të hijezuara në të dy shigjetat. Marrim: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - të gjitha pikat janë shpuar. Përgjigje: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

Zgjidhja e detyrave USE-2014 të tipit C3

Zgjidhja e sistemit të pabarazive. ODZ:  1) 2)

Zgjidheni sistemin e mosbarazimeve 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (vazhdim)

Zgjidh sistemin e mosbarazimeve 4) Zgjidhje e përgjithshme: dhe -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (vazhdim)

Zgjidh inekuacionin (vazhdim) -3 3 -1 + − + − x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Zgjidhja e pabarazisë Zgjidhje. ODZ: 

Zgjidhja e pabarazisë (vazhdim)

Zgjidhja e pabarazisë Zgjidhje. ODZ:  -2 1 -1 + − + − x + 2 -2 1 -1 x 2

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Një mësim mbi një pabarazi zhvillon aftësi kërkimore, zgjon mendimet e studentëve, zhvillon inteligjencën dhe rrit interesin e studentëve për punën. Është më mirë të kryhet kur studentët kanë zotëruar konceptet e nevojshme dhe kanë analizuar një sërë teknikash të veçanta për zgjidhjen e pabarazive logaritmike. Në këtë orë, nxënësit janë pjesëmarrës aktivë në gjetjen e një zgjidhjeje.

• arsimore
: të zhvillojë aftësi dhe aftësi për të zgjidhur pabarazitë logaritmike të llojit të specifikuar në mënyra të ndryshme; të mësojë se si të fitojë në mënyrë të pavarur njohuritë (aktivitetet e vetë studentëve në studimin dhe zotërimin e përmbajtjes së materialit arsimor);
• duke u zhvilluar
: punë për zhvillimin e të folurit;
• të mësojë të analizojë, të nxjerrë në pah gjënë kryesore, të provojë dhe hedh poshtë përfundimet logjike;
arsimore

1. Momenti organizativ.

2. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë.

3. Raportoni temën e mësimit, qëllimet dhe objektivat e saj.

Duke analizuar opsionet e provimeve pranuese në matematikë, vërehet se nga teoria e logaritmeve në provime shpesh hasen pabarazi logaritmike që përmbajnë një ndryshore nën logaritëm dhe në bazën e logaritmit. Mësimi ynë është, mësimi i një pabarazie që përmban një ndryshore nën logaritëm dhe në bazën e logaritmit,

4. Zbatimi kreativ dhe përvetësimi i njohurive, përvetësimi i metodave të veprimtarisë duke zgjidhur probleme problematike të ndërtuara mbi bazën e njohurive dhe aftësive të marra më parë në zgjidhjen e regjistrit të pabarazisë x (x 2 – 2x – 3)

Këtu është zgjidhja e kësaj pabarazie, marrë nga një fletë provimi. Shikojeni me kujdes dhe përpiquni të analizoni zgjidhjen. (Zgjidhja e pabarazisë shënohet paraprakisht në tabelë)< log x 1;

log x (x 2 - 2x - 3) a)< 1;

x 2 – 2x – 3 > 0; b) x 2 – 2x – 3< 0;

x 2 – 2x – 3 = 0; x 2 – 2x – 4

x 1 = - 1, x 2 = 3; x 2 – 2x – 4 = 0;

c) zgjidhjen e sistemit

Ky nuk është një ekuacion, por një pabarazi, prandaj, kur kalojmë nga një pabarazi logaritmike në një racionale, shenja e pabarazisë do të varet nga baza e logaritmit dhe monotonia e funksionit logaritmik.

Me një vendim të tillë është e mundur të përftohen zgjidhje të jashtme, ose të humbasin zgjidhje dhe është e mundur që me një vendim të pasaktë të merret përgjigja e saktë.

Pra, si ishte e nevojshme të zgjidhej kjo pabarazi, në të cilën ndryshorja është nën shenjën e logaritmit dhe në bazën e logaritmit?!

Kjo pabarazi është e barabartë me një kombinim të dy sistemeve të pabarazive.

Sistemi i parë i pabarazive nuk ka zgjidhje.

Zgjidhja e sistemit të pabarazive do të jetë

Në zgjidhjen e propozuar të pabarazisë nga fleta e provimit, përgjigja ishte e saktë. Pse?

Përgjigjet e mundshme të studentëve:

Meqenëse domeni i përkufizimit të funksionit në anën e majtë të pabarazisë përbëhet nga numra më të mëdhenj se 3, prandaj, funksioni y = log x t është në rritje. Prandaj, përgjigja doli të jetë e saktë.

Si ishte e mundur të shënohej një zgjidhje e saktë matematikisht në një fletë provimi?

Le të gjejmë domenin e përkufizimit të funksionit në anën e majtë të pabarazisë dhe më pas, duke marrë parasysh domenin e përkufizimit, shqyrtojmë vetëm një rast

Si mund të zgjidhet ndryshe kjo pabarazi? Cilat formula mund të përdoren?

Formula për kalimin në një bazë të re a > 0, a 1

A është e mundur të zbatohet për vetë pabarazinë fakti që logaritmi është më i vogël se zero?

po. Shprehja nën logaritëm dhe baza e logaritmit janë në anët e kundërta të njërës, por janë pozitive!

Kjo do të thotë, ne përsëri marrim të njëjtin grup të dy sistemeve të pabarazive:

Të gjitha metodat e konsideruara çojnë në një kombinim të dy sistemeve të pabarazive. Në të gjitha rastet merret e njëjta përgjigje. Të gjitha metodat janë teorikisht të justifikuara.

Pyetje për nxënësit: Pse mendoni se në detyrat e shtëpisë është bërë një pyetje që nuk lidhej me materialin e studiuar në klasën e 11-të?

Njohja e vetive të logaritmit që log a b< 0 , Nëse a Dhe b në anët e kundërta të 1,

log a b > 0 nëse a Dhe b në njërën anë të 1, mund të gjeni një mënyrë shumë interesante dhe të papritur për të zgjidhur pabarazinë. Për këtë metodë është shkruar në artikullin "Disa marrëdhënie logaritmike të dobishme" në revistën "Quantum" nr. 10 për vitin 1990.

log g(x) f(x) > 0 nëse

log g(x) f(x)< 0, если

(Pse kusht g(x) 1 nuk është e nevojshme për të shkruar?)

Zgjidhja e pabarazisë log x (x 2 - 2x - 3)< 0 duket si kjo:

log x (x 2 - 2x - 3) x 2 – 2x – 3 > 0; b) (x – 1) (x 2 – 2x – 4)< 0;

c) zgjidhjen e sistemit të pabarazisë

Metoda e intervalit. (“Zgjidhja e pabarazive logaritmike duke përdorur metodën e intervalit” është tema e mësimit vijues).

1. Në çfarë mënyrash u zgjidh pabarazia? Sa mënyra për ta zgjidhur këtë

A kemi gjetur ndonjë pabarazi?

2. Cili është më racional? E bukur?

3. Ku bazohej zgjidhja e pabarazisë në secilin rast?

4. Pse është interesante kjo pabarazi?

Karakteristikat cilësore të punës së mësuesit në klasë.

A është e mundur të konsiderohet kjo pabarazi si një rast i veçantë i një problemi më të përgjithshëm?

Pabarazia e formës log g(x) f(x)<(>) log g(x) h(x) mund të reduktohet në pabarazi log g(x) p(x)<(>) 0 duke përdorur vetitë e logaritmeve dhe vetitë e pabarazive.

Zgjidhja e pabarazisë

log x (x 2 + 3x – 3) > 1

me ndonjë nga metodat e shqyrtuara.

1. Zgjidh pabarazitë (nga opsionet për provimet pranuese në matematikë):

2. Në mësimin tjetër do të shqyrtojmë pabarazitë logaritmike që zgjidhen me metodën e intervalit. Përsëritni algoritmin për zgjidhjen e pabarazive duke përdorur metodën e intervalit.

3. Rregulloni numrat në rend rritës (shpjegoni pse kjo renditje):

log 0,3 5; ; ; log 0.5 3 (përsëriteni për mësimin tjetër).