Zgjidhja e mosbarazimeve logaritmike me baza të ndryshme. Pabarazitë logaritmike

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur paraqisni një kërkesë në faqe, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj email etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Mbledhur nga ne informacion personal na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme si auditimi, analiza e të dhënave dhe studime të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ne ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Mes gjithë diversitetit pabarazitë logaritmike studiojnë veçmas pabarazitë me bazë e ndryshueshme. Ato zgjidhen duke përdorur një formulë të veçantë, e cila për disa arsye mësohet rrallë në shkollë:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Në vend të kutisë së kontrollit "∨", mund të vendosni çdo shenjë pabarazie: pak a shumë. Gjëja kryesore është se në të dyja pabarazitë shenjat janë të njëjta.

Në këtë mënyrë shpëtojmë nga logaritmet dhe e reduktojmë problemin në një pabarazi racionale. Kjo e fundit është shumë më e lehtë për t'u zgjidhur, por kur hidhni logaritmet, mund të shfaqen rrënjë shtesë. Për t'i prerë, mjafton të gjesh zonën vlerat e pranueshme. Nëse e keni harruar ODZ-në e një logaritmi, unë rekomandoj fuqimisht ta përsërisni atë - shihni "Çfarë është një logaritëm".

Çdo gjë që lidhet me gamën e vlerave të pranueshme duhet të shkruhet dhe zgjidhet veçmas:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Këto katër pabarazi përbëjnë një sistem dhe duhet të plotësohen njëkohësisht. Kur gjendet diapazoni i vlerave të pranueshme, mbetet vetëm ta kryqëzoni atë me zgjidhjen pabarazia racionale- dhe përgjigja është gati.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

Së pari, le të shkruajmë ODZ-në e logaritmit:

Dy pabarazitë e para plotësohen automatikisht, por e fundit do të duhet të fshihet. Që nga katrori i numrit e barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse vetë numri është zero, kemi:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Rezulton se ODZ e logaritmit janë të gjithë numrat përveç zeros: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Tani zgjidhim pabarazinë kryesore:

Ne bëjmë kalimin nga pabarazia logaritmike në atë racionale. Pabarazia origjinale ka një shenjë "më pak se", që do të thotë se pabarazia që rezulton duhet të ketë gjithashtu një shenjë "më pak se". Ne kemi:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Zerot e kësaj shprehjeje janë: x = 3; x = −3; x = 0. Për më tepër, x = 0 është një rrënjë e shumëzimit të dytë, që do të thotë se kur kalon nëpër të, shenja e funksionit nuk ndryshon. Ne kemi:

Marrim x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ky grup përfshihet plotësisht në ODZ të logaritmit, që do të thotë se kjo është përgjigja.

Shndërrimi i pabarazive logaritmike

Shpesh pabarazia origjinale është e ndryshme nga ajo e mësipërme. Kjo mund të korrigjohet lehtësisht duke përdorur rregullat standarde për të punuar me logaritme - shih "Vetitë themelore të logaritmeve". Gjegjësisht:

1. Çdo numër mund të paraqitet si një logaritëm me një bazë të caktuar;
2. Shuma dhe diferenca e logaritmeve me baza të njëjta mund të zëvendësohet me një logaritëm.

Më vete, do të doja t'ju kujtoja për gamën e vlerave të pranueshme. Meqenëse mund të ketë disa logaritme në pabarazinë origjinale, kërkohet të gjendet VA e secilit prej tyre. Kështu, skema e përgjithshme Zgjidhjet e pabarazive logaritmike janë si më poshtë:

1. Gjeni VA të çdo logaritmi të përfshirë në pabarazi;
2. Zvogëloni pabarazinë në një standard duke përdorur formulat për mbledhjen dhe zbritjen e logaritmeve;
3. Zgjidheni pabarazinë që rezulton duke përdorur skemën e dhënë më sipër.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

Le të gjejmë domenin e përkufizimit (DO) të logaritmit të parë:

Ne zgjidhim duke përdorur metodën e intervalit. Gjetja e zerave të numëruesit:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Pastaj - zerot e emëruesit:

x − 1 = 0;
x = 1.

Ne shënojmë zero dhe shenja në shigjetën e koordinatave:

Marrim x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Logaritmi i dytë do të ketë të njëjtën VA. Nëse nuk e besoni, mund ta kontrolloni. Tani e transformojmë logaritmin e dytë në mënyrë që baza të jetë dy:

Siç mund ta shihni, treshe në bazë dhe përpara logaritmit janë zvogëluar. Ne morëm dy logaritme me të njëjtën bazë. Le t'i mbledhim ato:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Ne morëm pabarazinë logaritmike standarde. Ne heqim qafe logaritmet duke përdorur formulën. Meqenëse pabarazia origjinale përmban një shenjë "më pak se", rezulton shprehje racionale duhet të jetë gjithashtu më pak se zero. Ne kemi:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Ne morëm dy grupe:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Përgjigjja e kandidatit: x ∈ (−1; 3).

Mbetet të kryqëzojmë këto grupe - marrim përgjigjen e vërtetë:

Ne jemi të interesuar për kryqëzimin e grupeve, kështu që ne zgjedhim intervale që janë të hijezuara në të dy shigjetat. Marrim x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - të gjitha pikat janë shpuar.

Ndër të gjithë shumëllojshmërinë e pabarazive logaritmike, pabarazitë me një bazë të ndryshueshme studiohen veçmas. Ato zgjidhen duke përdorur një formulë të veçantë, e cila për disa arsye mësohet rrallë në shkollë. Prezantimi paraqet zgjidhje për detyrat C3 të Provimit të Unifikuar të Shtetit - 2014 në matematikë.

Shkarko:

Pamja paraprake:

Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari Google dhe identifikohuni në të: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjes:

Zgjidhja e pabarazive logaritmike që përmbajnë një ndryshore në bazën e logaritmit: metoda, teknika, tranzicione ekuivalente, mësues matematike, Shkolla e mesme nr. 143 Knyazkina T. V.

Ndër të gjithë shumëllojshmërinë e pabarazive logaritmike, pabarazitë me një bazë të ndryshueshme studiohen veçmas. Ato zgjidhen duke përdorur një formulë të veçantë, e cila për disa arsye mësohet rrallë në shkollë: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Në vend të kutisë “∨”, mund të vendosni çdo shenjë pabarazie: pak a shumë. Gjëja kryesore është se në të dyja pabarazitë shenjat janë të njëjta. Në këtë mënyrë shpëtojmë nga logaritmet dhe e reduktojmë problemin në një pabarazi racionale. Kjo e fundit është shumë më e lehtë për t'u zgjidhur, por kur hidhni logaritmet, mund të shfaqen rrënjë shtesë. Për t'i prerë ato, mjafton të gjesh gamën e vlerave të pranueshme. Mos harroni ODZ-në e logaritmit! Çdo gjë që lidhet me gamën e vlerave të pranueshme duhet të shkruhet dhe zgjidhet veçmas: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Këto katër pabarazi përbëjnë një sistem dhe duhet të plotësohen njëkohësisht. Kur të gjendet diapazoni i vlerave të pranueshme, mbetet vetëm ta kryqëzojmë atë me zgjidhjen e pabarazisë racionale - dhe përgjigja është gati.

Zgjidhja e pabarazisë: Zgjidhja Së pari, le të shkruajmë OD-në e logaritmit Dy pabarazitë e para plotësohen automatikisht, por e fundit do të duhet të shkruhet. Meqenëse katrori i një numri është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse vetë numri është i barabartë me zero, kemi: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0. Rezulton se ODZ e një logaritmi është të gjithë numrat përveç zeros: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Tani zgjidhim pabarazinë kryesore: Bëjmë kalimin nga pabarazia logaritmike në atë racionale. Pabarazia origjinale ka një shenjë "më pak se", që do të thotë se pabarazia që rezulton duhet të ketë gjithashtu një shenjë "më pak se".

Kemi: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)

Transformimi i pabarazive logaritmike Shpesh pabarazia origjinale është e ndryshme nga ajo e mësipërme. Kjo mund të korrigjohet lehtësisht duke përdorur rregullat standarde për punën me logaritme. Domethënë: Çdo numër mund të paraqitet si logaritëm me bazë të caktuar; Shuma dhe diferenca e logaritmeve me baza të njëjta mund të zëvendësohet me një logaritëm. Më vete, do të doja t'ju kujtoja për gamën e vlerave të pranueshme. Meqenëse mund të ketë disa logaritme në pabarazinë origjinale, kërkohet të gjendet VA e secilit prej tyre. Kështu, skema e përgjithshme për zgjidhjen e inekuacioneve logaritmike është si më poshtë: Gjeni VA-në e secilit logaritëm të përfshirë në inekuacion; Zvogëloni pabarazinë në një standard duke përdorur formulat për mbledhjen dhe zbritjen e logaritmeve; Zgjidheni pabarazinë që rezulton duke përdorur skemën e dhënë më sipër.

Të zgjidhet pabarazia: Zgjidhje Të gjejmë domenin e përkufizimit (DO) të logaritmit të parë: Të zgjidhet me metodën e intervaleve. Gjeni zerot e numëruesit: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Atëherë - zerot e emëruesit: x − 1 = 0; x = 1. Shënoni zero dhe shenja në vijën koordinative:

Marrim x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Logaritmi i dytë do të ketë të njëjtën VA. Nëse nuk e besoni, mund ta kontrolloni. Tani le ta transformojmë logaritmin e dytë në mënyrë që të ketë një dy në bazë: Siç mund ta shihni, treshe në bazë dhe përpara logaritmit janë anuluar. Kemi marrë dy logaritme me të njëjtën bazë. Mblidhni ato: log 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

Ne jemi të interesuar për kryqëzimin e grupeve, kështu që ne zgjedhim intervale që janë të hijezuara në të dy shigjetat. Marrim: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - të gjitha pikat janë shpuar. Përgjigje: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

Zgjidhja e detyrave USE-2014 të tipit C3

Zgjidhja e sistemit të pabarazive. ODZ:  1) 2)

Zgjidheni sistemin e mosbarazimeve 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (vazhdim)

Zgjidheni sistemin e pabarazive 4) Zgjidhje e përgjithshme: dhe -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (vazhdim)

Zgjidh inekuacionin (vazhdim) -3 3 -1 + − + − x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Zgjidhja e pabarazisë Zgjidhje. ODZ: 

Zgjidhja e pabarazisë (vazhdim)

Zgjidhja e pabarazisë Zgjidhje. ODZ:  -2 1 -1 + − + − x + 2 -2 1 -1 x 2

PABARAZITË LOGARITMIKE NË PËRDORIM

Sechin Mikhail Alexandrovich

Akademia e vogël shkenca për studentët e Republikës së Kazakistanit "Iskatel"

MBOU "Shkolla e Mesme Sovetskaya Nr. 1", klasa e 11-të, qytet. sovjetike Rrethi Sovetsky

Gunko Lyudmila Dmitrievna, mësuese e Institucionit Arsimor Buxhetor Komunal "Shkolla e Mesme Sovetskaya Nr. 1"

Rrethi Sovetsky

Qëllimi i punës: studimi i mekanizmit për zgjidhjen e pabarazive logaritmike C3 duke përdorur metoda jo standarde, duke identifikuar fakte interesante logaritmi

Lënda e hulumtimit:

3) Mësoni të zgjidhni pabarazitë logaritmike specifike C3 duke përdorur metoda jo standarde.

Rezultatet:

përmbajtja

Hyrje……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….4

Kapitulli 1. Historia e çështjes…………………………………………………………………………

Kapitulli 2. Mbledhja e pabarazive logaritmike ………………………………… 7

2.1. Tranzicione ekuivalente dhe të përgjithësuara metoda e intervalit…………… 7

2.2. Metoda e racionalizimit……………………………………………………………………… 15

2.3. Zëvendësimi jo standard…………………………………………………………. ............. ..... 22

2.4. Detyrat me kurthe……………………………………………………………………………………………………

Përfundim………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Letërsia…………………………………………………………………… 31

Hyrje

Jam në klasën e 11-të dhe planifikoj të hyj në një universitet ku lëndë e specializuarështë matematika. Prandaj punoj shumë me problemat e pjesës C. Në detyrën C3 duhet të zgjidhni pabarazia jo standarde ose një sistem pabarazish, zakonisht i lidhur me logaritme. Gjatë përgatitjes për provimin, u përballa me problemin e mungesës së metodave dhe teknikave për zgjidhjen e pabarazive logaritmike të provimit të ofruara në C3. Metodat që studiohen në kurrikula shkollore për këtë temë, mos jepni një bazë për zgjidhjen e detyrave C3. Mësuesja e matematikës sugjeroi që të punoja në detyrat C3 në mënyrë të pavarur nën drejtimin e saj. Përveç kësaj, më interesonte pyetja: a hasim logaritme në jetën tonë?

Me këtë në mendje u zgjodh tema:

“Pabarazitë logaritmike në Provimin e Unifikuar të Shtetit”

Qëllimi i punës: studimi i mekanizmit të zgjidhjes së problemeve C3 duke përdorur metoda jo standarde, duke identifikuar fakte interesante rreth logaritmit.

Lënda e hulumtimit:

1) Gjeni informacionin e nevojshëm O metoda jo standarde zgjidhjet e pabarazive logaritmike.

2) Gjeni informacion shtesë në lidhje me logaritmet.

3) Mësoni të vendosni detyra specifike C3 duke përdorur metoda jo standarde.

Rezultatet:

Rëndësia praktike qëndron në zgjerimin e aparatit për zgjidhjen e problemeve C3. Ky material mund të përdoret në disa mësime, për klube, aktivitetet jashtëshkollore në matematikë.

Produkti i projektit do të jetë koleksioni "Pabarazitë logaritmike C3 me zgjidhje".

Kapitulli 1. Sfondi

Gjatë gjithë shekullit të 16-të, numri i llogaritjeve të përafërta u rrit me shpejtësi, kryesisht në astronomi. Përmirësimi i instrumenteve, studimi i lëvizjeve planetare dhe punë të tjera kërkonin llogaritje kolosale, ndonjëherë shumëvjeçare. Astronomia ishte në rrezik real të mbytjes në llogaritjet e paplotësuara. Vështirësitë u shfaqën në fusha të tjera, për shembull, në biznesin e sigurimeve, nevojiteshin tabela interesi i përbërë Për kuptime të ndryshme për qind. Vështirësia kryesore ishte shumëzimi, pjesëtimi numra shumëshifrorë, veçanërisht madhësitë trigonometrike.

Zbulimi i logaritmeve u bazua në vetitë e progresioneve që njiheshin mirë nga fundi i shekullit të 16-të. Për lidhjen ndërmjet anëtarëve progresion gjeometrik q, q2, q3, ... dhe progresion aritmetik treguesit e tyre janë 1, 2, 3,... Arkimedi foli në “Psalmitin” e tij. Një tjetër parakusht ishte shtrirja e konceptit të shkallës në negative dhe tregues të pjesshëm. Shumë autorë kanë vënë në dukje se shumëzimi, pjesëtimi, fuqizimi dhe nxjerrja e rrënjës në progresion gjeometrik korrespondojnë në aritmetikë - në të njëjtin rend - mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim.

Këtu ishte ideja e logaritmit si një eksponent.

Në historinë e zhvillimit të doktrinës së logaritmeve, kanë kaluar disa faza.

Faza 1

Logaritmet u shpikën jo më vonë se 1594 në mënyrë të pavarur nga Baroni skocez Napier (1550-1617) dhe dhjetë vjet më vonë nga mekaniku zviceran Bürgi (1552-1632). Të dy donin të jepnin një mjet të ri të përshtatshëm llogaritjet aritmetike, ndonëse kësaj detyre ata iu qasen ndryshe. Napier shprehu në mënyrë kinematike funksionin logaritmik dhe në këtë mënyrë hyri në zonë e re teoria e funksionit. Bürgi mbeti në bazë të shqyrtimit të përparimeve diskrete. Sidoqoftë, përkufizimi i logaritmit për të dy nuk është i ngjashëm me atë modern. Termi "logarithmus" (logarithmus) i përket Napier. Ajo lindi nga një kombinim fjalë greke: logos - "relacion" dhe ariqmo - "numër", që do të thoshte "numri i marrëdhënieve". Fillimisht Napier përdori një term tjetër: numeri artificiales- " numra artificialë", për dallim nga natyralet numerike - "numrat natyrorë".

Në vitin 1615, në një bisedë me Henry Briggs (1561-1631), profesor i matematikës në Kolegjin Gresh në Londër, Napier propozoi marrjen e zeros si logaritëm të njës, dhe 100 si logaritëm të dhjetë, ose çfarë përbën të njëjtën gjë. , thjesht 1. Kështu u shfaqën logaritme dhjetore dhe u shtypën tabelat e para logaritmike. Më vonë, tabelat e Briggs-it u plotësuan nga librashitësi holandez dhe entuziast i matematikës Adrian Flaccus (1600-1667). Napier dhe Briggs, megjithëse erdhën në logaritme më herët se të gjithë të tjerët, botuan tabelat e tyre më vonë se të tjerët - në 1620. Shenjat log dhe Log u prezantuan në 1624 nga I. Kepler. Termi "logaritëm natyror" u prezantua nga Mengoli në 1659 dhe u pasua nga N. Mercator në 1668, dhe mësuesi londinez John Speidel botoi tabela të logaritmeve natyrore të numrave nga 1 deri në 1000 me emrin "Logaritme të reja".

Tabelat e para logaritmike u botuan në Rusisht në 1703. Por në të gjitha tabelat logaritmike janë bërë gabime në llogaritje. Tabelat e para pa gabime u botuan në vitin 1857 në Berlin, të përpunuara nga matematikani gjerman K. Bremiker (1804-1877).

Faza 2

Zhvillimi i mëtejshëm i teorisë së logaritmeve shoqërohet me aplikim më të gjerë gjeometria analitike dhe llogaritja infinitimale. Deri në atë kohë, lidhja midis katrorit të një hiperbole barabrinjës dhe logaritmi natyror. Teoria e logaritmeve të kësaj periudhe lidhet me emrat e një numri matematikanësh.

Matematikani, astronomi dhe inxhinieri gjerman Nikolaus Mercator në një ese

"Logaritmoteknika" (1668) jep një seri që jep zgjerimin e ln(x+1) në

fuqitë e x:

Kjo shprehje përkon saktësisht me trenin e tij të mendimit, megjithëse, natyrisht, ai nuk përdori shenjat d, ..., por simbolikën më të rëndë. Me zbulimin e serisë logaritmike, teknika për llogaritjen e logaritmeve ndryshoi: ato filluan të përcaktohen duke përdorur seri të pafundme. Në ligjëratat e tij" Matematika elementare Me pika më e lartë vizion”, lexuar në 1907-1908, F. Klein propozoi përdorimin e formulës si pikënisje për ndërtimin e teorisë së logaritmeve.

Faza 3

Përkufizimi funksioni logaritmik si një funksion invers

eksponencial, logaritmi si eksponent i një baze të caktuar

nuk u formulua menjëherë. Ese nga Leonhard Euler (1707-1783)

"A Introduction to the Analysis of Infinitesimals" (1748) shërbeu për më tej

zhvillimi i teorisë së funksioneve logaritmike. Kështu,

Kanë kaluar 134 vjet që kur logaritmet u prezantuan për herë të parë

(duke llogaritur nga viti 1614), përpara se matematikanët të vinin në përkufizimin

koncepti i logaritmit, i cili tani është baza e kursit shkollor.

Kapitulli 2. Mbledhja e mosbarazimeve logaritmike

2.1. Tranzicionet ekuivalente dhe metoda e përgjithësuar e intervaleve.

Tranzicione ekuivalente

, nëse a > 1

, nëse 0 < а < 1

Metoda e intervalit të përgjithësuar

Kjo metodë më universale për zgjidhjen e pabarazive të pothuajse çdo lloji. Diagrami i zgjidhjes duket si ky:

1. Sillni pabarazinë në një formë ku është funksioni në anën e majtë
, dhe në të djathtë 0.

2. Gjeni domenin e funksionit
.

3. Gjeni zerot e funksionit
, pra zgjidh ekuacionin
(dhe zgjidhja e një ekuacioni është zakonisht më e lehtë se zgjidhja e një pabarazie).

4. Vizatoni domenin e përkufizimit dhe zerot e funksionit në vijën numerike.

5. Përcaktoni shenjat e funksionit
në intervalet e fituara.

6. Zgjidhni intervalet ku funksioni merr vlerat e kërkuara, dhe shkruani përgjigjen.

Shembulli 1.

Zgjidhja:

Le të zbatojmë metodën e intervalit

ku

Për këto vlera, të gjitha shprehjet nën shenjat logaritmike janë pozitive.

Përgjigje:

Shembulli 2.

Zgjidhja:

1 mënyrë . ADL përcaktohet nga pabarazia x> 3. Marrja e logaritmeve për të tilla x në bazën 10, marrim

Pabarazia e fundit mund të zgjidhej duke zbatuar rregullat e zgjerimit, d.m.th. duke krahasuar faktorët me zero. Megjithatë, në në këtë rast lehtë për t'u përcaktuar intervalet e shenjës konstante të një funksioni

prandaj mund të aplikohet metoda e intervalit.

Funksioni f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ është e vazhdueshme në x> 3 dhe zhduket në pika x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Kështu, ne përcaktojmë intervalet e shenjës konstante të funksionit f(x):

Përgjigje:

Metoda e 2-të . Le të zbatojmë drejtpërdrejt idetë e metodës së intervalit në pabarazinë origjinale.

Për ta bërë këtë, kujtoni se shprehjet a b- a c dhe ( a - 1)(b- 1) kanë një shenjë. Pastaj pabarazia jonë në x> 3 është ekuivalente me pabarazinë

ose

Pabarazia e fundit zgjidhet duke përdorur metodën e intervalit

Përgjigje:

Shembulli 3.

Zgjidhja:

Le të zbatojmë metodën e intervalit

Përgjigje:

Shembulli 4.

Zgjidhja:

Që nga 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 për të gjitha realet x, Kjo

Për të zgjidhur pabarazinë e dytë përdorim metodën e intervalit

Në pabarazinë e parë bëjmë zëvendësimin

atëherë vijmë te pabarazia 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, të cilat plotësojnë pabarazinë -0.5< y < 1.

Nga ku, sepse

marrim pabarazinë

e cila kryhet kur x, për të cilën 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Tani, duke marrë parasysh zgjidhjen e pabarazisë së dytë të sistemit, më në fund marrim

Përgjigje:

Shembulli 5.

Zgjidhja:

Pabarazia është e barabartë me një koleksion sistemesh

ose

Le të përdorim metodën e intervalit ose

Përgjigju:

Shembulli 6.

Zgjidhja:

Pabarazia është e barabartë me sistemin

Le

Pastaj y > 0,

dhe pabarazia e parë

sistemi merr formën

ose, duke u shpalosur

trinomi kuadratik nga faktorët,

Zbatimi i metodës së intervalit në pabarazinë e fundit,

shohim se zgjidhjet e tij plotësojnë kushtin y> 0 do të jenë të gjitha y > 4.

Kështu, pabarazia origjinale është ekuivalente me sistemin:

Pra, zgjidhjet e pabarazisë janë të gjitha

2.2. Metoda e racionalizimit.

Më parë, pabarazia nuk ishte zgjidhur duke përdorur metodën e racionalizimit; Kjo është "moderna e re" metodë efektive zgjidhje për pabarazitë eksponenciale dhe logaritmike" (citim nga libri i S.I. Kolesnikova)
Dhe edhe nëse mësuesi e njihte, kishte një frikë - a e njihte? Eksperti i Provimit të Unifikuar të Shtetit, pse nuk e japin ne shkolle? Kishte situata kur mësuesi i tha studentit: "Ku e gjete Uluni - 2".
Tani metoda po promovohet kudo. Dhe për ekspertët ka udhëzime lidhur me këtë metodë dhe në "Botimet më të plota opsionet tipike..." Zgjidhja C3 përdor këtë metodë.
METODA E MREKULLUESHME!

"Tavolina magjike"

Në burime të tjera

Nëse a >1 dhe b >1, pastaj log a b >0 dhe (a -1)(b -1)>0;

Nëse a > 1 dhe 0

nëse 0<a<1 и b >1, pastaj log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;