Sistemi i telefonimit homogjen. Sisteme homogjene ekuacionesh

Sistemet homogjene lineare ekuacionet algjebrike

Si pjesë e mësimeve Metoda Gaussian Dhe Sisteme/sisteme të papajtueshme me një zgjidhje të përbashkët kemi konsideruar sisteme heterogjene ekuacionet lineare , Ku anëtar i lirë(që zakonisht është në të djathtë) të paktën një nga ekuacionet ishte ndryshe nga zero.
Dhe tani, pas një ngrohjeje të mirë me renditja e matricës, ne do të vazhdojmë të lustrojmë teknikën transformimet elementare në sistemi homogjen i ekuacioneve lineare.
Bazuar në paragrafët e parë, materiali mund të duket i mërzitshëm dhe mediokër, por kjo përshtypje është mashtruese. Përveç zhvillimit të mëtejshëm të teknikave teknike, do të ketë shumë informacione të reja, ndaj ju lutemi përpiquni të mos lini pas dore shembujt në këtë artikull.

Çfarë është një sistem homogjen ekuacionesh lineare?

Përgjigja sugjeron vetë. Një sistem ekuacionesh lineare është homogjen nëse termi i lirë të gjithë ekuacionet e sistemit e barabartë me zero. Për shembull:

Është absolutisht e qartë se një sistem homogjen është gjithmonë konsistent dmth ka gjithmone nje zgjidhje. Dhe, para së gjithash, ajo që ju bie në sy është e ashtuquajtura i parëndësishëm zgjidhje . Trivial, për ata që nuk e kuptojnë fare kuptimin e mbiemrit, do të thotë pa shfaqje. Jo akademikisht, sigurisht, por në mënyrë të kuptueshme =) ...Pse të rrahim rreth shkurret, le të zbulojmë nëse ky sistem ka ndonjë zgjidhje tjetër:

Shembulli 1

Zgjidhje: për të zgjidhur një sistem homogjen është e nevojshme të shkruhet matrica e sistemit dhe me ndihmën e shndërrimeve elementare sjellin atë në pamje me shkallë. Ju lutemi vini re se këtu nuk ka nevojë të shkruani shiritin vertikal dhe kolonën zero të termave të lirë - në fund të fundit, pavarësisht se çfarë bëni me zero, ato do të mbeten zero:

(1) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i parë, shumëzuar me –2. Rreshti i parë iu shtua rreshtit të tretë, shumëzuar me –3.

(2) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me –1.

Pjesëtimi i vijës së tretë me 3 nuk ka shumë kuptim.

Si rezultat i transformimeve elementare, fitohet një sistem homogjen ekuivalent , dhe, duke përdorur inversin e metodës Gaussian, është e lehtë të verifikohet se zgjidhja është unike.

Përgjigju:

Le të formulojmë një kriter të qartë: një sistem homogjen ekuacionesh lineare ka vetëm një zgjidhje e parëndësishme, Nëse renditja e matricës së sistemit(V në këtë rast 3) e barabartë me numrin e variablave (në këtë rast - 3 copë).

Le të ngrohemi dhe të akordojmë radion tonë me valën e transformimeve elementare:

Shembulli 2

Zgjidh një sistem homogjen ekuacionesh lineare

Nga artikulli Si të gjeni gradën e një matrice? mbaj mend teknikë racionale reduktimi paralel i numrave të matricës. Përndryshe, do t'ju duhet të prisni peshq të mëdhenj dhe shpesh kafshues. Mostra e përafërt plotësimi i detyrës në fund të orës së mësimit.

Zerot janë të mira dhe të përshtatshme, por në praktikë rasti është shumë më i zakonshëm kur rreshtat e matricës së sistemit varur në mënyrë lineare. Dhe pastaj pamja e pashmangshme zgjidhje e përgjithshme:

Shembulli 3

Zgjidh një sistem homogjen ekuacionesh lineare

Zgjidhje: le të shkruajmë matricën e sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi. Veprimi i parë synon jo vetëm marrjen e një vlere të vetme, por edhe zvogëlimin e numrave në kolonën e parë:

(1) Rreshtit të parë iu shtua një rresht i tretë, shumëzuar me –1. Rreshti i tretë iu shtua rreshtit të dytë, shumëzuar me –2. Në krye të majtë mora një njësi me një "minus", i cili shpesh është shumë më i përshtatshëm për transformime të mëtejshme.

(2) Dy rreshtat e parë janë të njëjtë, njëri prej tyre u fshi. Sinqerisht, Unë nuk e personalizova zgjidhjen - kështu doli. Nëse kryeni transformime në një mënyrë shabllon, atëherë varësia lineare rreshtat do të ishin zbuluar pak më vonë.

(3) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me 3.

(4) Shenja e rreshtit të parë u ndryshua.

Si rezultat i transformimeve elementare, u mor një sistem ekuivalent:

Algoritmi funksionon saktësisht njësoj si për sistemet heterogjene. Variablat "ulur në shkallë" janë ato kryesore, ndryshorja që nuk ka marrë "hap" është falas.

Le të shprehim variablat bazë përmes një ndryshoreje të lirë:

Përgjigju: zgjidhje e përgjithshme:

Zgjidhja e parëndësishme është përfshirë në formulë e përgjithshme, dhe është e panevojshme ta shkruajmë veçmas.

Kontrolli kryhet gjithashtu sipas skemës së zakonshme: zgjidhja e përgjithshme që rezulton duhet të zëvendësohet në anën e majtëçdo ekuacion të sistemit dhe merrni një zero ligjore për të gjitha zëvendësimet.

Do të ishte e mundur ta përfundonim këtë në heshtje dhe paqësi, por zgjidhja për një sistem homogjen ekuacionesh shpesh duhet të përfaqësohet V forma vektoriale duke përdorur sistemi themelor i zgjidhjeve. Ju lutemi harroni atë për momentin gjeometria analitike, pasi tani do të flasim për vektorët në kuptimin e përgjithshëm algjebrik, të cilin e hapa pak në artikullin rreth renditja e matricës. Nuk ka nevojë të fshihet terminologjia, gjithçka është mjaft e thjeshtë.

Metoda Gaussian ka një sërë disavantazhesh: është e pamundur të dihet nëse sistemi është konsistent apo jo derisa të jenë kryer të gjitha transformimet e nevojshme në metodën Gaussian; Metoda e Gausit nuk është e përshtatshme për sistemet me koeficientë shkronjash.

Le të shqyrtojmë metoda të tjera për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Këto metoda përdorin konceptin e renditjes së matricës dhe e reduktojnë zgjidhjen në ndonjë sistemi i përbashkët për zgjidhjen e një sistemi për të cilin zbatohet rregulli i Cramer-it.

Shembulli 1. Gjeni një zgjidhje të përgjithshme sistemin e ardhshëm ekuacionet lineare duke përdorur një sistem themelor zgjidhjesh për sistemin homogjen të reduktuar dhe një zgjidhje të veçantë për sistemin johomogjen.

1. Bërja e një matrice A dhe matrica e zgjeruar e sistemit (1)

2. Eksploroni sistemin (1) për bashkim. Për ta bërë këtë, gjejmë radhët e matricave A dhe https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Nëse rezulton se , atëherë sistemi (1) të papajtueshme. Nëse e marrim atë , atëherë ky sistem është konsistent dhe ne do ta zgjidhim atë. (Studimi i përputhshmërisë bazohet në teoremën Kronecker-Capelli).

a. ne gjejmë rA.

Për të gjetur rA, do të shqyrtojmë në mënyrë sekuenciale minoret jozero të renditjes së parë, të dytë etj. të matricës A dhe të miturit që i rrethojnë.

M1=1≠0 (merrni 1 nga e majta këndi i sipërm matricat A).

Ne kufizohemi M1 rreshtin e dytë dhe kolonën e dytë të kësaj matrice. . Vazhdojmë në kufi M1 rreshti i dytë dhe kolona e tretë..gif" width="37" height="20 src=">. Tani kufizojmë minorin jozero M2' rendit të dytë.

Ne kemi: (pasi dy kolonat e para janë të njëjta)

(meqenëse rreshtat e dytë dhe të tretë janë proporcionalë).

Ne e shohim atë rA=2, a është minori bazë i matricës A.

b. ne gjejmë.

Minore mjaft bazë M2' matricat A kufiri me një kolonë termash të lirë dhe të gjitha rreshtat (kemi vetëm rreshtin e fundit).

. Nga kjo rrjedh se M3′′ mbetet minorja bazë e matricës https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Sepse M2'- bazë minor i matricës A sistemeve (2) , atëherë ky sistem është ekuivalent me sistemin (3) , i përbërë nga dy ekuacionet e para të sistemit (2) (për M2'është në dy rreshtat e parë të matricës A).

(3)

Që nga minorja bazë https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Në këtë sistem ka dy të panjohura të lira ( x2 Dhe x4 ). Kjo është arsyeja pse FSR sistemeve (4) përbëhet nga dy zgjidhje. Për t'i gjetur ato, ne caktojmë të panjohura falas në (4) vlerat së pari x2=1 , x4=0 , dhe pastaj - x2=0 , x4=1 .

Në x2=1 , x4=0 marrim:

.

Ky sistem tashmë ka e vetmja gjë zgjidhje (mund të gjendet duke përdorur rregullin e Cramer-it ose ndonjë metodë tjetër). Duke zbritur të parën nga ekuacioni i dytë, marrim:

Zgjidhja e saj do të jetë x1= -1 , x3=0 . Duke pasur parasysh vlerat x2 Dhe x4 , që dhamë, marrim të parën zgjidhje themelore sistemeve (2) : .

Tani ne besojmë në (4) x2=0 , x4=1 . Ne marrim:

.

Ne e zgjidhim këtë sistem duke përdorur teoremën e Cramer-it:

.

Marrim zgjidhjen e dytë themelore të sistemit (2) : .

Zgjidhjet β1 , β2 dhe make up FSR sistemeve (2) . Atëherë do të jetë zgjidhja e përgjithshme e saj

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Këtu C1 , C2 – konstante arbitrare.

4. Le të gjejmë një private zgjidhje sistem heterogjen(1) . Si në paragrafin 3 , në vend të sistemit (1) Le të shqyrtojmë një sistem ekuivalent (5) , i përbërë nga dy ekuacionet e para të sistemit (1) .

(5)

Le t'i zhvendosim të panjohurat e lira në anët e djathta x2 Dhe x4.

(6)

Le të japim të panjohura falas x2 Dhe x4 vlera arbitrare, për shembull, x2=2 , x4=1 dhe vendosini ato (6) . Le të marrim sistemin

Ky sistem ka një zgjidhje unike (që nga përcaktuesi i tij M2′0). Duke e zgjidhur atë (duke përdorur teoremën e Cramer-it ose metodën e Gausit), marrim x1=3 , x3=3 . Duke pasur parasysh vlerat e të panjohurave të lira x2 Dhe x4 , marrim zgjidhje e veçantë e një sistemi johomogjen(1)α1=(3,2,3,1).

5. Tani mbetet vetëm ta shkruajmë atë Zgjidhja e përgjithshme α e një sistemi johomogjen(1) : është e barabartë me shumën zgjidhje private ky sistem dhe zgjidhje e përgjithshme e sistemit të tij homogjen të reduktuar (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Kjo do të thotë: (7)

6. Ekzaminimi. Për të kontrolluar nëse e keni zgjidhur saktë sistemin (1) , na duhet një zgjidhje e përgjithshme (7) zëvendësoj në (1) . Nëse çdo ekuacion kthehet në identitet ( C1 Dhe C2 duhet të shkatërrohet), atëherë zgjidhja gjendet saktë.

Ne do të zëvendësojmë (7) për shembull, vetëm ekuacioni i fundit i sistemit (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Ne marrim: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Ku –1=–1. Ne kemi një identitet. Këtë e bëjmë me të gjitha ekuacionet e tjera të sistemit (1) .

Koment. Kontrolli është zakonisht mjaft i rëndë. Mund të rekomandohet “kontrolli i pjesshëm” i mëposhtëm: në zgjidhjen e përgjithshme të sistemit (1) caktoni disa vlera në konstante arbitrare dhe zëvendësoni zgjidhjen e pjesshme që rezulton vetëm në ekuacionet e hedhura (d.m.th., në ato ekuacione nga (1) , të cilat nuk ishin përfshirë në (5) ). Nëse merrni identitete, atëherë më shumë gjasa, zgjidhje sistemi (1) gjetur saktë (por një kontroll i tillë nuk siguron një garanci të plotë të korrektësisë!). Për shembull, nëse në (7) vënë C2=- 1 , C1=1, atëherë marrim: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Duke zëvendësuar në ekuacionin e fundit të sistemit (1), kemi: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , pra –1=–1. Ne kemi një identitet.

Shembulli 2. Gjeni një zgjidhje të përgjithshme për një sistem ekuacionesh lineare (1) , duke shprehur të panjohurat themelore në terma të atyre të lira.

Zgjidhje. Si në shembulli 1, kompozoni matrica A dhe https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> të këtyre matricave. Tani lëmë vetëm ato ekuacione të sistemit (1) , koeficientët e të cilëve përfshihen në këtë minor bazë (d.m.th., kemi dy ekuacionet e para) dhe shqyrtojmë sistemin që përbëhet prej tyre, sistem ekuivalent (1).

Le të transferojmë të panjohurat e lira në anën e djathtë të këtyre ekuacioneve.

sistemi (9) Ne zgjidhim me metodën Gaussian, duke i konsideruar anët e djathta si terma të lirë.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Opsioni 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opsioni 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opsioni 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opsioni 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Sistemi homogjen i ekuacioneve lineare mbi një fushë

PËRKUFIZIM. Sistemi themelor i zgjidhjeve të sistemit të ekuacioneve (1) quhet linear jo bosh sistem i pavarur zgjidhjet e tij, hapësira lineare e së cilës përkon me bashkësinë e të gjitha zgjidhjeve të sistemit (1).

Vini re se një sistem homogjen ekuacionesh lineare që ka vetëm një zgjidhje zero nuk ka një sistem themelor zgjidhjesh.

PROPOZIM 3.11. Çdo dy sisteme themelore të zgjidhjeve të një sistemi homogjen të ekuacioneve lineare përbëhet nga të njëjtin numër vendimet.

Dëshmi. Në fakt, çdo dy sisteme themelore të zgjidhjeve për sistemin homogjen të ekuacioneve (1) janë ekuivalente dhe linearisht të pavarura. Prandaj, sipas propozimit 1.12, gradat e tyre janë të barabarta. Rrjedhimisht, numri i zgjidhjeve të përfshira në një sistem themelor është i barabartë me numrin e zgjidhjeve të përfshira në çdo sistem tjetër themelor të zgjidhjeve.

Nëse matrica kryesore A e sistemit homogjen të ekuacioneve (1) është zero, atëherë çdo vektor nga është zgjidhje për sistemin (1); në këtë rast, çdo koleksion është linear vektorë të pavarur e është një sistem themelor zgjidhjesh. Nëse rangu i kolonës së matricës A është i barabartë me , atëherë sistemi (1) ka vetëm një zgjidhje - zero; prandaj, në këtë rast, sistemi i ekuacioneve (1) nuk ka një sistem themelor zgjidhjesh.

TEOREMA 3.12. Nëse rangu i matricës kryesore të një sistemi homogjen të ekuacioneve lineare (1) më pak numër variablat , atëherë sistemi (1) ka një sistem zgjidhjeje themelore të përbërë nga zgjidhje.

Dëshmi. Nëse rangu i matricës kryesore A të sistemit homogjen (1) është i barabartë me zero ose , atëherë u tregua më lart se teorema është e vërtetë. Prandaj, më poshtë supozohet se Duke supozuar , do të supozojmë se kolonat e para të matricës A janë linearisht të pavarura. Në këtë rast, matrica A është ekuivalente në radhë me matricën e reduktuar hap pas hapi dhe sistemi (1) është ekuivalent me sistemin e mëposhtëm të reduktuar hap pas hapi të ekuacioneve:

Është e lehtë të kontrollosh se çdo sistem me vlera të lira variablat e sistemit(2) korrespondon me një dhe vetëm një zgjidhje për sistemin (2) dhe, për rrjedhojë, për sistemin (1). Në veçanti, vetëm zgjidhja zero e sistemit (2) dhe sistemit (1) korrespondon me një sistem me vlera zero.

Në sistemin (2) do të caktojmë një nga ato të lira vlera e variablave, e barabartë me 1, dhe variablat e mbetur kanë vlera zero. Si rezultat, marrim zgjidhje për sistemin e ekuacioneve (2), të cilat i shkruajmë në formën e rreshtave të matricës së mëposhtme C:

Sistemi i rreshtave të kësaj matrice është linearisht i pavarur. Në të vërtetë, për çdo shkallë nga barazia

vijon barazia

dhe, për rrjedhojë, barazia

Le të vërtetojmë se hapësira lineare e sistemit të rreshtave të matricës C përkon me bashkësinë e të gjitha zgjidhjeve të sistemit (1).

Zgjidhja arbitrare e sistemit (1). Pastaj vektori

është gjithashtu një zgjidhje për sistemin (1), dhe

Zgjidhje gjeni duke përdorur një kalkulator. Algoritmi i zgjidhjes është i njëjtë si për sistemet jo lineare ekuacionet homogjene.
Duke vepruar vetëm me rreshta, gjejmë rangun e matricës, bazë minor; Ne deklarojmë të panjohura të varura dhe të lira dhe gjejmë një zgjidhje të përgjithshme.

Shembulli 2. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme dhe sistemin themelor të zgjidhjeve të sistemit
Zgjidhje.



,
rrjedh se rangu i matricës është 3 dhe e barabartë me numrin i panjohur. Kjo do të thotë që sistemi nuk ka të panjohura të lira, dhe për këtë arsye ka një zgjidhje unike - një të parëndësishme.

Ushtrimi . Eksploroni dhe zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare.
Shembulli 4

Ushtrimi . Gjeni zgjidhjet e përgjithshme dhe të veçanta të secilit sistem.
Zgjidhje. Le të shkruajmë matricën kryesore të sistemit:

Detyrë . Gjeni grup themelor zgjidhjet e një sistemi homogjen ekuacionesh lineare.

Ekuacioni linear quhet homogjene, nëse termi i lirë i tij është i barabartë me zero, dhe johomogjen ndryshe. Një sistem i përbërë nga ekuacione homogjene quhet homogjen dhe ka pamje e përgjithshme:

Është e qartë se çdo sistem homogjen është konsistent dhe ka një zgjidhje zero (të parëndësishme). Prandaj, në lidhje me sistemet homogjene të ekuacioneve lineare, shpesh duhet të kërkohet një përgjigje për pyetjen e ekzistencës së zgjidhjeve jo zero. Përgjigja për këtë pyetje mund të formulohet si teorema e mëposhtme.

Teorema . Një sistem homogjen ekuacionesh lineare ka një zgjidhje jozero nëse dhe vetëm nëse rangu i tij është më i vogël se numri i të panjohurave .

Dëshmi: Le të supozojmë se një sistem rangu i të cilit është i barabartë ka një zgjidhje jo zero. Është e qartë se nuk e kalon. Në rast se sistemi ka një zgjidhje unike. Meqenëse një sistem ekuacionesh lineare homogjene ka gjithmonë një zgjidhje zero, atëherë zgjidhja zero do të jetë pikërisht ajo e vetmja zgjidhje. Kështu, zgjidhjet jo zero janë të mundshme vetëm për .

Përfundimi 1 : Një sistem homogjen ekuacionesh, në të cilin numri i ekuacioneve është më i vogël se numri i të panjohurave, ka gjithmonë një zgjidhje jo zero.

Dëshmi: Nëse një sistem ekuacionesh ka , atëherë rangu i sistemit nuk e kalon numrin e ekuacioneve, d.m.th. . Kështu, kushti është i kënaqur dhe, për rrjedhojë, sistemi ka një zgjidhje jo zero.

Përfundimi 2 : Një sistem homogjen ekuacionesh me të panjohura ka një zgjidhje jozero nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e tij është zero.

Dëshmi: Le të supozojmë se një sistem ekuacionesh homogjene lineare, matrica e të cilit me përcaktorin , ka një zgjidhje jo zero. Pastaj, sipas teoremës së provuar, dhe kjo do të thotë se matrica është njëjës, d.m.th. .

Sistemi homogjen i ekuacioneve algjebrike lineare.

Një sistem m ekuacionesh lineare me n ndryshore quhet sistem ekuacionesh lineare homogjene nëse të gjitha anëtarë të lirë janë të barabartë me 0. Sistemi i ekuacioneve homogjene lineare është gjithmonë konsistent, sepse gjithmonë ka të paktën një zgjidhje zero. Një sistem ekuacionesh homogjene lineare ka një zgjidhje jo zero nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës së tij të koeficientëve për ndryshoret është më i vogël se numri i ndryshoreve, d.m.th. për gradën A (n. Çdo kombinim linear

Zgjidhjet e sistemit Lin. homogjene. ur-ii është gjithashtu një zgjidhje për këtë sistem.

Një sistem zgjidhjesh të pavarura lineare e1, e2,...,еk quhet themelor nëse secila zgjidhje e sistemit është një kombinim linear i zgjidhjeve. Teorema: nëse rangu r i matricës së koeficientëve për ndryshoret e një sistemi ekuacionesh homogjene lineare është më i vogël se numri i ndryshoreve n, atëherë çdo sistem themelor i zgjidhjeve të sistemit përbëhet nga zgjidhjet n-r. Prandaj, zgjidhja e përgjithshme e sistemit linear. njëditore ur-th ka formën: c1e1+c2e2+...+skek, ku e1, e2,..., ek – çdo sistem themelor zgjidhjesh, c1, c2,..., ck – numra arbitrar dhe k=n-r. Zgjidhja e përgjithshme e një sistemi m ekuacionesh lineare me n ndryshore është e barabartë me shumën

e zgjidhjes së përgjithshme të sistemit që i përgjigjet është homogjene. ekuacionet lineare dhe një zgjidhje e veçantë arbitrare e këtij sistemi.

7. Hapësirat lineare. Nënhapësirat. Baza, dimensioni. Predha lineare. Hapësira lineare quhet n-dimensionale, nëse përmban një sistem vektorësh të pavarur linearisht, dhe çdo sistem të më shumë vektorët janë të varur në mënyrë lineare. Numri thirret dimensioni (numri i dimensioneve) hapësirë ​​lineare dhe është caktuar. Me fjalë të tjera, dimensioni i hapësirës është numri maksimal vektorë linearisht të pavarur të kësaj hapësire. Nëse ekziston një numër i tillë, atëherë hapësira quhet dimensionale e fundme. Nëse për dikë numri natyror n në hapësirë ​​ekziston një sistem i përbërë nga vektorë linearisht të pavarur, atëherë një hapësirë ​​e tillë quhet infinite-dimensionale (e shkruar: ). Në vijim, përveç rasteve kur përcaktohet ndryshe, do të merren parasysh hapësirat me dimensione të fundme.

Baza e një hapësire lineare n-dimensionale është një koleksion i renditur i vektorëve linearisht të pavarur ( vektorët bazë).

Teorema 8.1 mbi zgjerimin e një vektori në terma të një baze. Nëse është baza e një hapësire lineare n-dimensionale, atëherë çdo vektor mund të përfaqësohet si një kombinim linear i vektorëve bazë:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
dhe, për më tepër, në të vetmen mënyrë, d.m.th. koeficientët përcaktohen në mënyrë unike. Me fjalë të tjera, çdo vektor i hapësirës mund të zgjerohet në një bazë dhe, për më tepër, në një mënyrë unike.

Në të vërtetë, dimensioni i hapësirës është . Sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur (kjo është një bazë). Pas shtimit të ndonjë vektori në bazë, marrim në mënyrë lineare sistemi i varur(pasi ky sistem përbëhet nga vektorë hapësirë ​​n-dimensionale). Duke përdorur vetinë e 7 vektorëve të varur linearisht dhe të pavarur linearisht, marrim përfundimin e teoremës.