Funksionet e një ndryshoreje komplekse.
Diferencimi i funksioneve të një ndryshoreje komplekse.

Ky artikull fillon një seri mësimesh në të cilat unë do të shikoj detyra tipike, lidhur me teorinë e funksioneve të një ndryshoreje komplekse. Për të zotëruar me sukses shembujt, duhet të keni njohuri baze rreth numrave kompleks. Për të konsoliduar dhe përsëritur materialin, thjesht vizitoni faqen. Ju gjithashtu do të keni nevojë për aftësi për të gjetur derivatet e pjesshme të rendit të dytë. Ja ku jane keto derivate te pjesshme... edhe tani u habita pak sa shpesh ndodhin...

Tema që po fillojmë të shqyrtojmë nuk paraqet ndonjë vështirësi të veçantë, dhe në funksionet e një ndryshoreje komplekse, në parim, gjithçka është e qartë dhe e arritshme. Gjëja kryesore është t'i përmbahemi rregullit bazë, të cilin e nxora eksperimentalisht. Lexo!

Koncepti i një funksioni të një ndryshoreje komplekse

Së pari, le të rifreskojmë njohuritë tona rreth funksioni i shkollës një variabël:

Funksioni me një ndryshore të vetmeështë një rregull sipas të cilit çdo vlerë e ndryshores së pavarur (nga fusha e përkufizimit) i përgjigjet një dhe vetëm një vlere të funksionit. Natyrisht, "x" dhe "y" janë numra realë.

Në rastin kompleks, varësia funksionale specifikohet në mënyrë të ngjashme:

Funksioni me një vlerë të një ndryshoreje komplekse- ky është rregulli sipas të cilit të gjithë gjithëpërfshirëse vlera e ndryshores së pavarur (nga fusha e përkufizimit) i përgjigjet një dhe vetëm një gjithëpërfshirëse vlera e funksionit. Teoria konsideron gjithashtu funksione me shumë vlera dhe disa lloje të tjera, por për thjeshtësi do të përqendrohem në një përkufizim.

Cili është ndryshimi midis një funksioni të ndryshueshëm kompleks?

Dallimi kryesor: numrat kompleks. Nuk po ironizoj. Pyetje të tilla shpesh i lënë njerëzit në hutim në fund të artikullit do t'ju tregoj një histori qesharake. Në mësim Numrat kompleksë për dummies kemi konsideruar një numër kompleks në formën . Që tani shkronja "z" është bërë e ndryshueshme, atëherë do ta shënojmë si më poshtë: , ndërsa “x” dhe “y” mund të marrin të ndryshme e vlefshme kuptimet. Përafërsisht, funksioni i një ndryshoreje komplekse varet nga variablat dhe , të cilat marrin vlera "të zakonshme". Nga ky fakt Pika e mëposhtme vijon logjikisht:

Funksioni i një ndryshoreje komplekse mund të shkruhet si:
, ku dhe janë dy funksione të dy e vlefshme variablat.

Funksioni thirret pjesë reale funksione
Funksioni thirret pjesë imagjinare funksione

Domethënë, funksioni i një ndryshoreje komplekse varet nga dy funksione reale dhe . Për të sqaruar më në fund gjithçka, le të shohim shembuj praktik:

Shembulli 1

Zgjidhja: Ndryshorja e pavarur "zet", siç e mbani mend, shkruhet në formën, pra:

(1) Ne zëvendësuam .

(2) Për termin e parë, u përdor formula e shkurtuar e shumëzimit. Në terma janë hapur kllapat.

(3) Me kujdes katror, ​​duke mos harruar këtë

(4) Rirregullimi i termave: fillimisht i rishkruajmë termat , në të cilën nuk ka njësi imagjinare(grupi i parë), pastaj termat ku ka (grupi i dytë). Duhet të theksohet se përzierja e termave nuk është e nevojshme dhe ky hap mund të anashkalohet (duke e bërë në fakt me gojë).

(5) Për grupin e dytë e nxjerrim nga kllapa.

Si rezultat, funksioni ynë doli të përfaqësohej në formë

Përgjigje:
– pjesë reale e funksionit.
– pjesë imagjinare e funksionit.

Çfarë lloj funksionesh dolën të ishin këto? Funksionet më të zakonshme të dy variablave nga të cilat mund të gjeni të tilla të njohura derivatet e pjesshme. Pa mëshirë do ta gjejmë. Por pak më vonë.

Shkurtimisht, algoritmi për problemin e zgjidhur mund të shkruhet si më poshtë: ne zëvendësojmë , në funksionin origjinal, kryejmë thjeshtime dhe ndajmë të gjithë termat në dy grupe - pa një njësi imagjinare (pjesa reale) dhe me një njësi imagjinare (pjesa imagjinare) .

Shembulli 2

Gjeni pjesën reale dhe imagjinare të funksionit

Ky është një shembull për vendim i pavarur. Përpara se të nxitoni në betejë me shpata të zhveshur, plan kompleks, më lejoni t'ju jap më shumë këshilla të rëndësishme në këtë temë:

BEJ KUJDES! Duhet të jeni të kujdesshëm, natyrisht, kudo, por në numra komplekse duhet të jeni më të kujdesshëm se kurrë! Mos harroni se, hapni me kujdes kllapat, mos humbisni asgjë. Sipas vëzhgimeve të mia, gabimi më i zakonshëm është humbja e një shenje. Mos u ngut!

Zgjidhje e plotë dhe përgjigja në fund të orës së mësimit.

Tani kubi. Duke përdorur formulën e shkurtuar të shumëzimit, ne nxjerrim:
.

Formulat janë shumë të përshtatshme për t'u përdorur në praktikë, pasi ato shpejtojnë ndjeshëm procesin e zgjidhjes.

Diferencimi i funksioneve të një ndryshoreje komplekse.

Kam dy lajme: të mira dhe të këqija. Do të filloj me atë të mirën. Për një funksion të një ndryshoreje komplekse vlejnë rregullat e diferencimit dhe tabela e derivateve funksionet elementare. Kështu, derivati ​​merret në të njëjtën mënyrë si në rastin e një funksioni të një ndryshoreje reale.

Lajmi i keq është se për shumë funksione të ndryshueshme komplekse nuk ka fare derivat, dhe ju duhet ta kuptoni a është i diferencueshëm një funksion apo një tjetër. Dhe "të kuptuarit" se si ndihet zemra juaj shoqërohet me probleme shtesë.

Le të shqyrtojmë funksionin e një ndryshoreje komplekse. Në mënyrë që këtë funksion ishte i diferencueshëm i nevojshëm dhe i mjaftueshëm:

1) Kështu që ekzistojnë derivatet e pjesshme të rendit të parë. Harrojini këto shënime menjëherë, pasi në teorinë e funksioneve të një ndryshoreje komplekse përdoret tradicionalisht një shënim i ndryshëm: .

2) Për të kryer të ashtuquajturat Kushtet e Cauchy-Riemann:

Vetëm në këtë rast derivati ​​do të ekzistojë!

Shembulli 3

Zgjidhje ndahet në tre faza të njëpasnjëshme:

1) Le të gjejmë pjesët reale dhe imagjinare të funksionit. Kjo detyrë u diskutua në shembujt e mëparshëm, kështu që unë do ta shkruaj pa koment:

Që atëherë:

Kështu:

– pjesë imagjinare e funksionit.

Më lejoni të prek edhe një pikë teknike: në çfarë rendi shkruani termat në pjesët reale dhe imagjinare? Po, në parim, nuk ka rëndësi. Për shembull, pjesa reale mund të shkruhet kështu: , dhe ajo imagjinare – si kjo: .

2) Le të kontrollojmë përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann. Janë dy prej tyre.

Le të fillojmë duke kontrolluar gjendjen. Ne gjejme derivatet e pjesshme:

Kështu, kushti është i plotësuar.

Sigurisht, lajmi i mirë është se derivatet e pjesshme janë pothuajse gjithmonë shumë të thjeshta.

Ne kontrollojmë përmbushjen e kushtit të dytë:

Doli e njëjta gjë, por me shenja të kundërta dmth plotësohet edhe kushti.

Kushtet Cauchy-Riemann plotësohen, prandaj funksioni është i diferencueshëm.

3) Le të gjejmë derivatin e funksionit. Derivati ​​është gjithashtu shumë i thjeshtë dhe gjendet nga rregulla normale:

Njësi imagjinare kur diferencohet, konsiderohet konstante.

Përgjigje: - pjesa reale, – pjesa imagjinare.
Kushtet Cauchy-Riemann janë të kënaqur,.

Ka dy mënyra të tjera për të gjetur derivatin, ato, natyrisht, përdoren më rrallë, por informacioni do të jetë i dobishëm për të kuptuar mësimin e dytë - Si të gjeni një funksion të një ndryshoreje komplekse?

Derivati ​​mund të gjendet duke përdorur formulën:

NË në këtë rast:

Kështu

Për t'u vendosur problem i anasjelltë– në shprehjen që rezulton duhet të izoloni . Për ta bërë këtë, është e nevojshme në terma dhe jashtë kllapave:

Veprimi i kundërt, siç e kanë vënë re shumë, është disi më i vështirë për t'u kontrolluar, është gjithmonë më mirë të marrësh shprehjen në një draft ose të hapësh gojarisht kllapat, duke u siguruar që rezultati të jetë saktësisht;

Formula e pasqyrës për gjetjen e derivatit:

Në këtë rast: , Kjo është arsyeja pse:

Shembulli 4

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të një funksioni . Kontrolloni përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann. Nëse plotësohen kushtet Cauchy-Riemann, gjeni derivatin e funksionit.

Zgjidhje e Shpejtë Dhe mostër e përafërt duke përfunduar në fund të mësimit.

A përmbushen gjithmonë kushtet Cauchy-Riemann? Teorikisht, ato nuk plotësohen më shpesh sesa përmbushen. Por në shembuj praktikë nuk mbaj mend një rast kur ato nuk u përmbushën =) Kështu, nëse derivatet tuaja të pjesshme "nuk konvergjojnë", atëherë shumë probabilitet të lartë mund të thuash se ke bërë një gabim diku.

Le të komplikojmë funksionet tona:

Shembulli 5

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të një funksioni . Kontrolloni përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann. Llogaritni

Zgjidhja: Algoritmi i zgjidhjes ruhet plotësisht, por në fund do të shtohet një pikë e re: gjetja e derivatit në një pikë. Për kub formula e kërkuar tashmë ka dalë:

Le të përcaktojmë pjesët reale dhe imagjinare të këtij funksioni:

Përsëri vëmendje dhe vëmendje!

Që atëherë:


Kështu:
– pjesa reale e funksionit;
– pjesë imagjinare e funksionit.

Kontrollimi i kushtit të dytë:

Rezultati është i njëjtë, por me shenja të kundërta, pra plotësohet edhe kushti.

Kushtet Cauchy-Riemann plotësohen, prandaj funksioni është i diferencueshëm:

Le të llogarisim vlerën e derivatit në pikën e kërkuar:

Përgjigje:, , kushtet Cauchy-Riemann janë të kënaqur,

Funksionet me kube janë të zakonshme, kështu që këtu është një shembull për t'u përforcuar:

Shembulli 6

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të një funksioni . Kontrolloni përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann. Llogaritni.

Zgjidhja dhe shembulli i përfundimit në fund të orës së mësimit.

Në teori analizë gjithëpërfshirëse Përcaktohen edhe funksione të tjera të një argumenti kompleks: eksponent, sinus, kosinus etj. Këto funksione kanë veti të pazakonta dhe madje të çuditshme - dhe kjo është vërtet interesante! Unë me të vërtetë dua t'ju them, por këtu, siç ndodh, nuk është një libër referimi ose tekst shkollor, por një libër zgjidhjesh, kështu që do të shqyrtoj të njëjtin problem me disa funksione të zakonshme.

Së pari për të ashtuquajturin formulat e Euler-it:

Për këdo e vlefshme shifrat janë të drejta formulat e mëposhtme:

Ju gjithashtu mund ta kopjoni atë në fletoren tuaj si material referimi.

Në mënyrë të rreptë, ekziston vetëm një formulë, por për lehtësi ata zakonisht shkruajnë rast i veçantë me një minus në tregues. Parametri nuk duhet të jetë një shkronjë e vetme; shprehje komplekse, funksionin, është e rëndësishme vetëm që ata të pranojnë vetëm e vlefshme kuptimet. Në fakt, ne do ta shohim këtë tani:

Shembulli 7

Gjeni derivatin.

Zgjidhja: Linja e përgjithshme partia mbetet e palëkundur - është e nevojshme të dallohen pjesët reale dhe imagjinare të funksionit. Unë do t'ju sjell zgjidhje e detajuar, dhe më poshtë do të komentoj për çdo hap:

Që atëherë:

(1) Zëvendësoni "z" në vend.

(2) Pas zëvendësimit, duhet të zgjidhni pjesët reale dhe imagjinare e para në tregues ekspozuesit. Për ta bërë këtë, hapni kllapat.

(3) Ne grupojmë pjesën imagjinare të treguesit, duke e vendosur njësinë imagjinare jashtë kllapave.

(4) Ne përdorim veprimin e shkollës me gradë.

(5) Për shumëzuesin përdorim formulën e Euler-it, dhe .

(6) Hapni kllapat, duke rezultuar në:

– pjesa reale e funksionit;
– pjesë imagjinare e funksionit.

Veprime të mëtejshme janë standarde, le të kontrollojmë përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann:

Shembulli 9

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të një funksioni . Kontrolloni përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann. Kështu qoftë, ne nuk do ta gjejmë derivatin.

Zgjidhja: Algoritmi i zgjidhjes është shumë i ngjashëm me dy shembujt e mëparshëm, por ka shumë pika të rëndësishme, Kjo është arsyeja pse Faza e parë Unë do të komentoj përsëri hap pas hapi:

Që atëherë:

1) Zëvendësoni "z" në vend.

(2) Së pari, ne zgjedhim pjesët reale dhe imagjinare brenda sinusit. Për këto qëllime, ne hapim kllapat.

(3) Ne përdorim formulën, dhe .

(4) Përdorimi barazi kosinus hiperbolik : Dhe i çuditshëm sinus hiperbolik : . Hiperbolikët, edhe pse jashtë kësaj bote, në shumë mënyra të kujtojnë funksione të ngjashme trigonometrike.

Përfundimisht:
– pjesa reale e funksionit;
– pjesë imagjinare e funksionit.

Kujdes! Shenja minus i referohet pjesës imagjinare dhe në asnjë rrethanë nuk duhet ta humbim atë! Për një ilustrim të qartë, rezultati i marrë më sipër mund të rishkruhet si më poshtë:

Le të kontrollojmë përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann:

Kushtet Cauchy-Riemann janë të kënaqura.

Përgjigje:, , kushtet Cauchy-Riemann janë të kënaqur.

Zonja dhe zotërinj, le ta kuptojmë vetë:

Shembulli 10

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të funksionit. Kontrolloni përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann.

Zgjodha qëllimisht shembuj më të vështirë, sepse të gjithë duket se janë në gjendje të përballojnë diçka, si kikirikët me lëvozhgë. Në të njëjtën kohë, ju do të stërvitni vëmendjen tuaj! Thyerja e arrave në fund të mësimit.

Epo, në përfundim, do të shqyrtoj një tjetër shembull interesant, Kur argument kompleksështë në emërues. Ka ndodhur disa herë në praktikë, le të shohim diçka të thjeshtë. Eh, po plakem...

Shembulli 11

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të funksionit. Kontrolloni përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann.

Zgjidhja: Përsëri është e nevojshme të dallohen pjesët reale dhe imagjinare të funksionit.
Nese atehere

Shtrohet pyetja, çfarë të bëjmë kur "Z" është në emërues?

Gjithçka është e thjeshtë - standardi do të ndihmojë Metoda e shumëzimit të numëruesit dhe emëruesit me shprehjen e konjuguar, tashmë është përdorur në shembujt e mësimit Numrat kompleksë për dummies. Le të kujtojmë formula e shkollës. Tashmë kemi në emërues, që do të thotë se shprehja e konjuguar do të jetë . Kështu, ju duhet të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me:

Koncepti i një funksioni të një ndryshoreje komplekse

Së pari, le të rifreskojmë njohuritë tona për funksionin shkollor të një ndryshoreje:

Një funksion i një ndryshoreje është një rregull sipas të cilit çdo vlerë e ndryshores së pavarur (nga fusha e përkufizimit) i korrespondon një dhe vetëm një vlere të funksionit. Natyrisht, "x" dhe "y" janë numra realë.

Në rastin kompleks, varësia funksionale specifikohet në mënyrë të ngjashme:

Një funksion me një vlerë të vetme të një ndryshoreje komplekse është një rregull sipas të cilit çdo vlerë komplekse e ndryshores së pavarur (nga fusha e përkufizimit) korrespondon me një dhe vetëm një vlerë komplekse të funksionit. Teoria konsideron gjithashtu funksione me shumë vlera dhe disa lloje të tjera, por për thjeshtësi do të përqendrohem në një përkufizim.

Cili është ndryshimi midis një funksioni të ndryshueshëm kompleks?

Dallimi kryesor: numrat kompleks. Nuk po ironizoj. Pyetje të tilla shpesh i lënë njerëzit në hutim në fund të artikullit do t'ju tregoj një histori qesharake. Në mësim Numrat kompleksë për dummies kemi konsideruar një numër kompleks në formën . Meqenëse tani shkronja “z” është bërë ndryshore, do ta shënojmë si më poshtë: , ndërsa “x” dhe “y” mund të marrin vlera reale të ndryshme. Përafërsisht, funksioni i një ndryshoreje komplekse varet nga variablat dhe , të cilat marrin vlera "të zakonshme". Pika e mëposhtme rrjedh logjikisht nga ky fakt:

Pjesë reale dhe imagjinare e një funksioni të një ndryshoreje komplekse

Funksioni i një ndryshoreje komplekse mund të shkruhet si:
, ku dhe janë dy funksione të dy ndryshoreve reale.

Funksioni quhet pjesa reale e funksionit.
Funksioni quhet pjesa imagjinare e funksionit.

Domethënë, funksioni i një ndryshoreje komplekse varet nga dy funksione reale dhe . Për të sqaruar përfundimisht gjithçka, le të shohim shembuj praktikë:

Zgjidhja: Ndryshorja e pavarur "zet", siç e mbani mend, shkruhet në formën , pra:

(1) Ne zëvendësuam .

(2) Për termin e parë, u përdor formula e shkurtuar e shumëzimit. Në terma janë hapur kllapat.

(3) Me kujdes katror, ​​duke mos harruar këtë

(4) Rigrupimi i termave: fillimisht rishkruajmë termat në të cilët nuk ka njësi imagjinare (grupi i parë), pastaj termat ku ka (grupi i dytë). Duhet të theksohet se përzierja e termave nuk është e nevojshme dhe ky hap mund të anashkalohet (duke e bërë në fakt me gojë).

(5) Për grupin e dytë e nxjerrim nga kllapa.

Si rezultat, funksioni ynë doli të përfaqësohej në formë

Përgjigje:
– pjesë reale e funksionit.
– pjesë imagjinare e funksionit.

Çfarë lloj funksionesh dolën të ishin këto? Funksionet më të zakonshme të dy variablave nga të cilat mund të gjeni të tilla të njohura derivatet e pjesshme. Pa mëshirë do ta gjejmë. Por pak më vonë.

Shkurtimisht, algoritmi për problemin e zgjidhur mund të shkruhet si më poshtë: ne zëvendësojmë , në funksionin origjinal, kryejmë thjeshtime dhe ndajmë të gjithë termat në dy grupe - pa një njësi imagjinare (pjesa reale) dhe me një njësi imagjinare (pjesa imagjinare) .

Gjeni pjesën reale dhe imagjinare të funksionit

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Përpara se të nxitoni në betejë në aeroplanin kompleks me damë të tërhequr, më lejoni t'ju jap këshillat më të rëndësishme për këtë temë:

BEJ KUJDES! Duhet të jeni të kujdesshëm, natyrisht, kudo, por në numra komplekse duhet të jeni më të kujdesshëm se kurrë! Mos harroni se, hapni me kujdes kllapat, mos humbisni asgjë. Sipas vëzhgimeve të mia, gabimi më i zakonshëm është humbja e një shenje. Mos u ngut!

Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Tani kubi. Duke përdorur formulën e shkurtuar të shumëzimit, ne nxjerrim:
.

Formulat janë shumë të përshtatshme për t'u përdorur në praktikë, pasi ato shpejtojnë ndjeshëm procesin e zgjidhjes.

Diferencimi i funksioneve të një ndryshoreje komplekse.
Kushtet e Cauchy-Riemann

Kam dy lajme: të mira dhe të këqija. Do të filloj me atë të mirën. Për një funksion të një ndryshoreje komplekse vlejnë rregullat e diferencimit dhe tabela e derivateve të funksioneve elementare. Kështu, derivati ​​merret në të njëjtën mënyrë si në rastin e një funksioni të një ndryshoreje reale.

Lajmi i keq është se për shumë funksione të një ndryshoreje komplekse nuk ka fare derivat, dhe ju duhet të kuptoni nëse një funksion i veçantë është i diferencueshëm. Dhe "të kuptuarit" se si ndihet zemra juaj shoqërohet me probleme shtesë.

Le të shqyrtojmë funksionin e një ndryshoreje komplekse. Në mënyrë që ky funksion të jetë i diferencueshëm, është e nevojshme dhe e mjaftueshme:

1) Kështu që ekzistojnë derivatet e pjesshme të rendit të parë. Harrojini këto shënime menjëherë, pasi në teorinë e funksioneve të një ndryshoreje komplekse përdoret tradicionalisht një shënim i ndryshëm: .

2) Kështu që të ashtuquajturat kushte Cauchy-Riemann janë të kënaqur:

Vetëm në këtë rast derivati ​​do të ekzistojë!

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të një funksioni . Kontrolloni përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann. Nëse plotësohen kushtet Cauchy-Riemann, gjeni derivatin e funksionit.

Zgjidhja ndahet në tre faza të njëpasnjëshme:

1) Le të gjejmë pjesët reale dhe imagjinare të funksionit. Kjo detyrë u diskutua në shembujt e mëparshëm, kështu që unë do ta shkruaj pa koment:

Që atëherë:

Kështu:
– pjesa reale e funksionit;
– pjesë imagjinare e funksionit.

Më lejoni të ndalem edhe në një pikë teknike: në çfarë rendi duhet t'i shkruajmë termat në pjesët reale dhe imagjinare? Po, në parim, nuk ka rëndësi. Për shembull, pjesa reale mund të shkruhet kështu: , dhe ajo imagjinare – si kjo: .

3) Le të kontrollojmë përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann. Janë dy prej tyre.

Le të fillojmë duke kontrolluar gjendjen. Ne gjejme derivatet e pjesshme:

Kështu, kushti është i plotësuar.

Sigurisht, lajmi i mirë është se derivatet e pjesshme janë pothuajse gjithmonë shumë të thjeshta.

Ne kontrollojmë përmbushjen e kushtit të dytë:

Rezultati është i njëjtë, por me shenja të kundërta, pra plotësohet edhe kushti.

Kushtet Cauchy-Riemann plotësohen, prandaj funksioni është i diferencueshëm.

3) Le të gjejmë derivatin e funksionit. Derivati ​​është gjithashtu shumë i thjeshtë dhe gjendet sipas rregullave të zakonshme:

Njësia imagjinare konsiderohet konstante gjatë diferencimit.

Përgjigje: - pjesa reale, – pjesa imagjinare.
Kushtet Cauchy-Riemann janë të kënaqur,.

integrale FKP. Teorema e Cauchy-t.

Formula ( 52 ) quhet formula integrale Cauchy ose integral Cauchy. Nëse si një kontur në ( 52 ) zgjidhni një rreth, më pas, duke e zëvendësuar dhe duke pasur parasysh se është diferenciali i gjatësisë së harkut, integrali Cauchy mund të përfaqësohet si një formulë e vlerës mesatare.

Le të funksionojë = u(x, y)+iv(x, y) përcaktohet në afërsi të pikës z = x+iy. Nëse ndryshorja z rritje  z= x+i y, pastaj funksioni
do të marrë një rritje


= (z+ z)–
=u(x+ x, y+ y)+

+ iv(x+ x, y+ y) - u(x, y) - iv(x, y) = [u(x+ x, y+ y) –

– u(x, y)] + i[v(x+ x, y+ y) - v(x, y)] =

= u(x, y) + i v(x, y).

Përkufizimi. Nëse ka një kufi

=

,

atëherë ky kufi quhet derivat i funksionit
në pikën z dhe shënohet me f(z) ose
. Kështu, sipas përkufizimit,

=

=

. (1.37)

Nëse funksioni
ka një derivat në pikë z, atëherë thonë se funksioni
i diferencueshëm në pikë z. Natyrisht, që funksioni të jetë i diferencueshëm
është e nevojshme që funksionet u(x, y) Dhe v(x, y) ishin të diferencueshme. Megjithatë, kjo nuk është e mjaftueshme për ekzistencën e derivatit f(z). Për shembull, për funksionin w== x–iy funksione u(x, y)=x

Dhe v(x, y)=–y i diferencueshëm në të gjitha pikat M( x, y), por kufiri i raportit
në  x0,  y0 nuk ekziston, sepse nëse  y= 0,  x 0, atëherë  w/ z= 1,

nëse  x = 0,  y 0, atëherë  w/z = -1.

Nuk ka asnjë kufi të vetëm. Kjo do të thotë se funksioni

w= nuk ka derivat në asnjë moment z. Për ekzistencën e një derivati ​​të një funksioni të një ndryshoreje komplekse, kërkohen kushte shtesë. cilat saktësisht? Përgjigja për këtë pyetje jepet nga teorema e mëposhtme.

Teorema. Lërini funksionet u(x, y) Dhe v(x, y) janë të diferencueshme në pikën M( x, y). Pastaj në mënyrë për funksionin

= u(x, y) + iv(x, y)

kishte një derivat në pikë z = x+iy, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që barazitë të mbahen

Barazimet (1.38) quhen kushte Cauchy-Riemann.

Dëshmi. 1) Domosdoshmëri. Lëreni funksionin
ka një derivat në pikën z, domethënë ka një kufi

=

=
.(1.39)

Kufiri në anën e djathtë të barazisë (1.39) nuk varet nga rruga që merr pika  z =  x+i y përpiqet

në 0. Në veçanti, nëse y = 0, x  0 (Fig. 1.10), atëherë

Nëse x = 0, y  0 (Fig. 1.11), atëherë

(1.41)

Fig.1.10 Fig. 1.11

Anët e majta në barazitë (1.40) dhe (1.41) janë të barabarta. Kjo do të thotë se anët e djathta janë gjithashtu të barabarta

Nga kjo rrjedh se

Kështu, nga supozimi i ekzistimit të derivatit f(z) vijon barazia (1.38), domethënë kushtet Cauchy-Riemann janë të nevojshme për ekzistencën e derivatit f(z).

1) Mjaftueshmëria. Le të supozojmë tani se barazitë (1.38) janë përmbushur:

dhe provoni se në këtë rast funksioni
ka një derivat në pikë z= x+iy, pra kufiri (1.39)

=

ekziston.

Që nga funksionet u(x, y) Dhe v(x, y) janë të diferencueshëm në pikën M( x, y), atëherë rritja totale e këtyre funksioneve në pikën M( x, y) mund të paraqitet në formë

,

ku  1 0,  2 0,  1 0,  2 0 në  x0, y0.

Meqenëse, në bazë të (1.38),

Prandaj,

=
,

 1 =  1 +i 1 0,  2 =  2 +i 2 0 në z =  x+iy0.

Kështu,

Që nga  z 2 =  x 2 + y 2 , atëherë  x/ z1,  y/z1. Kjo është arsyeja pse

në  z  0.

Nga kjo rrjedh se pjesa e djathtë barazia (1.42) ka një kufi në  z 0, pra, dhe ana e majte ka një kufi në  z 0, dhe ky kufi nuk varet nga cila shteg  z tenton në 0. Kështu është vërtetuar se nëse në pikën M(x,y) plotësohen kushtet (1.38), pastaj funksioni
ka një derivat në pikë z = x+iy, dhe

.

Teorema është vërtetuar plotësisht.

Në procesin e vërtetimit të teoremës, janë marrë dy formula (1.40) dhe (1.42) për derivatin e një funksioni të një ndryshoreje komplekse.

,

.

Duke përdorur formulat (1.38) mund të marrim edhe dy formula të tjera

, (1.43)

. (1.44)

Nëse funksioni f(z) ka një derivat në të gjitha pikat e rajonit D, atëherë themi se funksioni
është i diferencueshëm në domenin D. Për këtë është e nevojshme dhe e mjaftueshme që kushtet Cauchy-Riemann të plotësohen në të gjitha pikat e domenit D.

Shembull. Kontrolloni kushtet Cauchy-Riemann për

funksione e z .

Sepse e z = e x+iy = e x(cos y + i mëkat y),

Se u(x, y) = Re e z = e x cos y, v(x, y) = Im e z = e x mëkat y,

,
,

,
,

prandaj,

Kushtet Cauchy-Riemann për një funksion e z plotësuar në të gjitha pikat z. Pra funksioni e zështë i diferencueshëm në të gjithë rrafshin e ndryshores komplekse, dhe

Diferencimi vërtetohet saktësisht në të njëjtën mënyrë

funksione z n , cos z, mëkat z, ch z, sh z, Ln z, dhe vlefshmërinë e formulave

(z n) = n z n-1, (ko z) = -mëkat z, (mëkat z) = koz z,

(kap z) = sh z, (sh z) = ch z, (Ln z) = 1/z.

Për funksionet e një ndryshoreje komplekse, të gjitha rregullat për diferencimin e funksioneve të një ndryshoreje reale mbeten në fuqi. Vërtetimi i këtyre rregullave rrjedh nga përkufizimi i derivatit në të njëjtën mënyrë si për funksionet e një ndryshoreje reale.

Le w=f (z) është një funksion me një vlerë të vetme i përcaktuar në domen.

Përkufizimi 1.Derivat nga funksioni f(z) në pikë
quhet kufiri i raportit të rritjes së një funksioni me rritjen e argumentit kur ky i fundit tenton në zero:

Një funksion që ka një derivat në një pikë z, thirri e diferencueshme në këtë pikë.

Është e qartë se të gjitha vetitë aritmetike të derivateve janë të kënaqura.

Shembull.

Duke përdorur formulën binomiale të Njutonit, konkludohet në mënyrë të ngjashme se

Seritë për eksponencialin, sinusin dhe kosinusin plotësojnë të gjitha kushtet për diferencimin term pas termi. Me verifikim të drejtpërdrejtë është e lehtë të shihet se:

Koment. Megjithëse përkufizimi i derivatit të FKP formalisht përkon plotësisht me përkufizimin për FKP, ai është në thelb më kompleks (shih vërejtjen në §5).

Përkufizimi 2. Funksioni f (z) , i diferencueshëm vazhdimisht në të gjitha pikat e rajonit G, thirri analitike ose e rregullt në këtë zonë.

Teorema 1. Nëse funksioni f(z) është i diferencueshëm në të gjitha pikat e rajonit G, atëherë është analitike në këtë fushë. (b/d)

Koment. Në fakt, kjo teoremë përcakton ekuivalencën e rregullsisë dhe diferencimit të FKP-së në një fushë.

Teorema 2. Një funksion që është i diferencueshëm në disa fusha ka pafundësisht shumë derivate në atë fushë. (n/d. Më poshtë (në §13) kjo deklaratë do të vërtetohet sipas disa supozimeve shtesë)

Le të paraqesim funksionin si një shumë e pjesëve reale dhe imagjinare: Teorema 3. (kushtet Cauchy – Riemann). Lëreni funksionin f(z) është i diferencueshëm në një moment
. Pastaj funksionet u (x,y) Dhe v (x,y) kanë derivate të pjesshëm në këtë pikë, dhe

Dhe
, thirri Kushtet Cauchy-Riemann.

(Meqenëse vlera e derivatit nuk varet nga mënyra se si priret sasia
në zero, zgjidhni rrugën e mëposhtme: Marrim:

Po kështu, kur
ne kemi:
, e cila vërteton teoremën.)

E kundërta është gjithashtu e vërtetë:

Teorema 4. Nëse funksionet u(x,y) Dhe v (x,y) kanë derivate të pjesshme të vazhdueshme në një moment që plotësojnë kushtet Cauchy-Riemann, pastaj vetë funksionin f (z) – e diferencueshme në këtë pikë (b/d)

Teoremat 1 – 4 tregojnë ndryshimin themelor midis PKP dhe FDP.

Teorema 3 ju lejon të llogaritni derivatin e një funksioni duke përdorur ndonjë nga formulat e mëposhtme:

Në këtë rast mund të konsiderohet X Dhe në numra komplekse arbitrare dhe llogaritni derivatin duke përdorur formulat:

Shembuj. Kontrolloni funksionin për rregullsinë. Nëse funksioni është i rregullt, llogaritni derivatin e tij.

funksioni është i rregullt;

2. funksioni nuk është i diferencueshëm.

Koment. Nuk është e vështirë të shihet se ndonjë funksion real argument kompleks - jo i diferencueshëm.

§9.Funksionet harmonike.

Le të kujtojmë përkufizimin e funksioneve harmonike të dhëna në lëndën “Teoria e Fushës”:

Përkufizimi. Funksioni u(x,y) quhet harmonike, nëse plotëson ekuacionin e Laplace:

Lëreni në zonë G jepet një funksion analitik Ky funksion plotëson kushtet Cauchy-Riemann.
,
(§8). Meqenëse funksioni analitik është pafundësisht i diferencueshëm, atëherë funksionet u Dhe v janë gjithashtu pafundësisht të diferencueshëm. Le të dallojmë kushtin e parë në lidhje me x, i dyti në y dhe shtoni barazitë që rezultojnë:

ato. pjesa reale e funksionit analitik është harmonike. Nëse kushtet janë të diferencuara nga në, Nga X dhe të zbresësh, është e lehtë të verifikohet se pjesa imagjinare është harmonike. Kështu vërtetohet

Teorema. Pjesët reale dhe imagjinare të funksionit analitik janë harmonike:

Është e qartë se dy funksione harmonike arbitrare, në përgjithësi, nuk do të jenë pjesë reale dhe imagjinare e ndonjë funksioni analitik. Për ta bërë këtë, ata gjithashtu duhet të plotësojnë kushtet Cauchy-Riemann. Megjithatë, nga çdo funksion harmonik është e mundur të përcaktohet pjesa e dytë e funksionit analitik (d.m.th., vetë funksioni analitik) deri në një konstante.

Shembull. Provoni se çfarë mund të jetë pjesë reale e një funksioni analitik dhe përcaktoni këtë funksion.

Nga kushti i dytë K – R:

EKUACIONET CAUCHY - RIEMANN

- diferencial ur-nia, Krimea kënaq substancat. dhe pjesë imagjinare funksioni analitik. Funksioni f(z) = u(x, y)+i(x, y), z=x+iy, vazhdimisht të dallueshme në rajon D plan kompleks , është analitike në D nëse dhe vetëm nëse ekuacionet K.-R janë të vlefshme:

K. - R. u. u prezantua për herë të parë nga J. L. D'Alembert në 1752 dhe L. Euler në 1777 dhe u përdor nga O. Cauchy dhe B. Riemann. Formalisht, K.-R u. mund të shkruhet edhe në formë

Si pasojë e K.-R u. është fakti që u(x, y) Dhe ( x, y) - funksionet harmonike V D. Dy harmonike funksionet e quajtura konjugohen reciprokisht nëse plotësojnë K.-R. Për çdo funksion që është harmonik në një fushë të lidhur thjesht, ekziston një harmonik i konjuguar. funksioni i përcaktuar i saktë për të postuar. afati. Në rastin e domeneve jo thjesht të lidhura, deklarata e fundit, në përgjithësi, nuk është e vërtetë.

• - një sipërfaqe që është kufiri i rajonit të parashikueshmërisë kauzale të fizike. dukuritë në të ardhmen në fillim. të dhëna të dhëna në një sipërfaqe të caktuar tredimensionale të ngjashme me hapësirën...

  Enciklopedi fizike

• - problemi i gjetjes së një zgjidhjeje për diferencialet. nivel që kënaq fillimin. kushtet. Konsideruar në 1823-24 nga O. Cauchy...

  Enciklopedi fizike

• - është gjithashtu gjeometria eliptike, gjeometria dydimensionale e një sfere në hapësirën Euklidiane tredimensionale me pika të identifikuara diametralisht të kundërta...

  Fillimet Shkenca moderne e Natyrës

• - ...

  Termat etnografikë

• - Augustin Louis, Baron, Matematikan francez, krijues i analizave komplekse. Duke zhvilluar idetë e EULER-it, ai zyrtarizoi shumë koncepte të Llogaritjes matematikore...

  Fjalor enciklopedik shkencor dhe teknik

• - D'Alembert - Euler kushtet, kushtet tek realja u=u.dhe imagjinare v= v.pjesë të funksionit të një ndryshoreje komplekse duke siguruar monogjenitetin dhe analiticitetin e f në funksion të një ndryshoreje komplekse...

  Enciklopedia Matematikore

• - Matematikan i famshëm francez. Mësuesi dhe edukatori i tij i parë ishte babai i tij, një latinist i pasionuar dhe katolik i zellshëm. Në moshën 13-vjeçare, Augustin K. u caktua në shkollën qendrore...

  fjalor enciklopedik Brockhaus dhe Euphron

• - Augustin Louis, matematikan francez, anëtar i Akademisë së Shkencave të Parisit. U diplomua në Ecole Polytechnique dhe në Shkollën e Urave dhe Rrugëve në Paris. Në vitet 1810-13 punoi si inxhinier në Cherbourg...
• - në teorinë e funksioneve analitike, ekuacionet diferenciale me derivate të pjesshëm të rendit të parë, duke lidhur pjesët reale dhe imagjinare të funksionit analitik ϖ = u + iυ të një ndryshoreje komplekse z= x +...

  I madh Enciklopedia Sovjetike

• - gjeometria eliptike, një nga gjeometritë jo-Euklidiane, d.m.th. teoria gjeometrike, bazuar në aksioma kërkesat e të cilave janë të ndryshme nga kërkesat e aksiomave të gjeometrisë Euklidiane...

  Enciklopedia e Madhe Sovjetike

• - shiko funksionin Zeta...

  Enciklopedia e Madhe Sovjetike

• - e zakonshme integral i caktuar. Vetë përkufizimi i R. dhe. në thelb u dha nga O. Cauchy, i cili, megjithatë, e zbatoi atë në funksionet e vazhdueshme ...

  Enciklopedia e Madhe Sovjetike

• - një nga të mundshmet imazhe gjeometrike tërësia numra komplekse, prezantuar nga B. Riemann...

  Enciklopedia e Madhe Sovjetike

• - Augustin Louis, matematikan francez. Një nga themeluesit e teorisë së funksionit. Punon në teorinë e ekuacioneve diferenciale, fizikës matematikore, teoria e numrave, gjeometria...

  Enciklopedi moderne

• - EKUACIONET RIEMANN - ekuacione diferenciale me derivate të pjesshëm të rendit të parë, që lidhin pjesët reale dhe imagjinare të funksionit analitik të një ndryshoreje komplekse...

  Fjalor i madh enciklopedik

• - emri, numri i sinonimeve: 1 këpucë...

  Fjalor sinonimik

"EKUACIONET CAUCHY - RIEMANN" në libra

37. Koshas dhe chakras