Ekuilibri sistemi mekanik ata e quajnë gjendjen e tij në të cilën të gjitha pikat e sistemit në shqyrtim janë në qetësi në lidhje me sistemin e zgjedhur të referencës.

Momenti i një force rreth çdo boshti është prodhimi i madhësisë së kësaj force F nga krahu d.

Mënyra më e lehtë për të gjetur kushtet e ekuilibrit është të përdorni shembullin e sistemit më të thjeshtë mekanik - pika materiale. Sipas ligjit të parë të dinamikës (shih Mekanikë), gjendja e prehjes (ose uniforme lëvizje drejtvizore) pikë materiale në sistemi inercial koordinatat është barazia me zero e shumës vektoriale të të gjitha forcave të aplikuara në të.

Kur kaloni në sisteme mekanike më komplekse, vetëm kjo gjendje nuk mjafton për ekuilibrin e tyre. Përveç lëvizje përpara, e cila shkaktohet nga forcat e jashtme të pakompensuara, një sistem mekanik kompleks mund të rrotullohet ose të deformohet. Le të gjejmë kushtet e ekuilibrit absolut të ngurta- një sistem mekanik i përbërë nga një koleksion grimcash, distanca të ndërsjella ndërmjet të cilave nuk ndryshojnë.

Mundësia e lëvizjes përkthimore (me nxitim) të një sistemi mekanik mund të eliminohet në të njëjtën mënyrë si në rastin e një pike materiale, duke kërkuar që shuma e forcave të aplikuara në të gjitha pikat e sistemit të jetë e barabartë me zero. Ky është kushti i parë për ekuilibrin e një sistemi mekanik.

Në rastin tonë, trupi i ngurtë nuk mund të deformohet, pasi kemi rënë dakord që distancat e ndërsjella midis pikave të tij të mos ndryshojnë. Por ndryshe nga një pikë materiale, një palë forcash të barabarta dhe të drejtuara në mënyrë të kundërt mund të zbatohen në një trup absolutisht të ngurtë në pika të ndryshme. Për më tepër, duke qenë se shuma e këtyre dy forcave është zero, sistemi mekanik në shqyrtim nuk do të kryejë lëvizje përkthimore. Sidoqoftë, është e qartë se nën ndikimin e një çifti të tillë forcash trupi do të fillojë të rrotullohet në lidhje me një bosht të caktuar me një shpejtësi këndore gjithnjë në rritje.

Ndodhi në sistemin në shqyrtim lëvizje rrotulluese për shkak të pranisë së momenteve të pakompensuara të forcës. Momenti i një force rreth çdo boshti është prodhimi i madhësisë së kësaj force $F$ nga krahu $d,$ d.m.th me gjatësinë e pingulit të ulur nga pika $O$ (shih figurën) nëpër të cilën kalon boshti , nga drejtimi i forcës . Vini re se momenti i forcës me këtë përkufizim është një sasi algjebrike: konsiderohet pozitive nëse forca çon në rrotullim në drejtim të kundërt të akrepave të orës, dhe negativ në të kundërt. Kështu, kushti i dytë për ekuilibrin e një trupi të ngurtë është kërkesa që shuma e momenteve të të gjitha forcave në lidhje me çdo bosht rrotullimi të jetë e barabartë me zero.

Në rastin kur plotësohen të dyja kushtet e gjetura të ekuilibrit, trupi i ngurtë do të jetë në qetësi nëse në momentin që forcat filluan të veprojnë, shpejtësitë e të gjitha pikave të tij ishin të barabarta me zero. Përndryshe do të angazhohet lëvizje uniforme nga inercia.

Përkufizimi i konsideruar i ekuilibrit të një sistemi mekanik nuk thotë asgjë se çfarë do të ndodhë nëse sistemi largohet pak nga pozicioni i tij ekuilibër. Në këtë rast, ekzistojnë tre mundësi: sistemi do të kthehet në gjendjen e mëparshme të ekuilibrit; sistemi, pavarësisht devijimit, nuk do të ndryshojë gjendjen e tij të ekuilibrit; sistemi do të dalë nga ekuilibri. Rasti i parë quhet një gjendje e qëndrueshme ekuilibri, e dyta - indiferente, e treta - e paqëndrueshme. Natyra e pozicionit të ekuilibrit përcaktohet nga varësia energji potenciale sistemet nga koordinatat. Figura tregon të tre llojet e ekuilibrit duke përdorur shembullin e një topi të rëndë të vendosur në një depresion ( ekuilibër të qëndrueshëm), në një tavolinë të lëmuar horizontale (indiferente), në majë të një tuberkulozi (i paqëndrueshëm).

Qasja e mësipërme ndaj problemit të ekuilibrit të një sistemi mekanik u konsiderua nga shkencëtarët përsëri bota e lashtë. Kështu, ligji i ekuilibrit të levës (d.m.th., i një trupi të ngurtë me një bosht rrotullimi fiks) u gjet nga Arkimedi në shekullin III. para Krishtit e.

Në 1717, Johann Bernoulli zhvilloi një qasje krejtësisht të ndryshme për gjetjen e kushteve të ekuilibrit të një sistemi mekanik - metodën e zhvendosjeve virtuale. Ai bazohet në vetinë e forcave të reaksionit të lidhjes që rrjedhin nga ligji i ruajtjes së energjisë: me një devijim të vogël të sistemit nga pozicioni i ekuilibrit, puna totale e forcave të reaksionit të lidhjes është zero.

Kur zgjidhen problemet e statikës (shiko Mekanikë) bazuar në kushtet e ekuilibrit të përshkruara më sipër, lidhjet ekzistuese në sistem (mbështetjet, fijet, shufrat) karakterizohen nga forcat e reagimit që lindin në to. Nevoja për të marrë parasysh këto forca gjatë përcaktimit të kushteve të ekuilibrit në rastin e sistemeve që përbëhen nga disa trupa çon në llogaritje të rënda. Megjithatë, për shkak të faktit se puna e forcave të reaksionit të lidhjes është e barabartë me zero për devijime të vogla nga pozicioni i ekuilibrit, është e mundur të shmanget marrja në konsideratë e këtyre forcave.

Përveç forcave të reaksionit, forcat e jashtme veprojnë edhe në pikat e një sistemi mekanik. Cila është puna e tyre për një devijim të vogël nga pozicioni i ekuilibrit? Meqenëse sistemi fillimisht është në qetësi, për çdo lëvizje është e nevojshme të kryhet një punë pozitive. Në parim, kjo punë mund të kryhet si nga forcat e jashtme ashtu edhe nga forcat e reagimit të lidhjes. Por, siç e dimë tashmë, puna totale e bërë nga forcat e reagimit është zero. Prandaj, në mënyrë që sistemi të largohet nga ekuilibri, puna totale forcat e jashtme për çdo lëvizje të mundshme duhet të jetë pozitive. Për rrjedhojë, kushti i pamundësisë së lëvizjes, d.m.th., kushti i ekuilibrit, mund të formulohet si kërkesë e jopozitivitetit. punë e plotë forcat e jashtme për çdo zhvendosje të mundshme: $ΔA≤0.$

Le të supozojmë se kur lëvizni pikat e sistemit $Δ\overrightarrow(γ)_1…\ Δ\overrightarrow(γ)_n$ shuma e punës së forcave të jashtme doli të jetë e barabartë me $ΔA1.$ Dhe çfarë ndodh nëse sistemi bën lëvizje $−Δ\overrightarrow(γ)_1,−Δ\overrightarrow(γ)_2,\ …,−Δ\overrightarrow(γ)_n?$ Këto lëvizje janë të mundshme në të njëjtën mënyrë si të parat; megjithatë, puna e forcave të jashtme tani do të ndryshojë shenjën: $ΔA2 =−ΔA1.$ Duke arsyetuar ngjashëm me rastin e mëparshëm, do të arrijmë në përfundimin se tani gjendja e ekuilibrit të sistemit ka formën: $ΔA1≥0,$ dmth puna e forcave të jashtme duhet të jetë jo negative. Mënyra e vetme për të "pajtuar" këto dy kushte pothuajse kontradiktore është të kërkohet barazia e saktë me zero e punës totale të forcave të jashtme për çdo zhvendosje të mundshme (virtuale) të sistemit nga pozicioni i ekuilibrit: $ΔA=0.$ Sipas mundshme zhvendosje (virtuale) këtu nënkuptojmë një pafundësi të vogël lëvizje mendore sistem, i cili nuk bie ndesh me lidhjet që i imponohen.

Pra, gjendja e ekuilibrit të një sistemi mekanik në formën e parimit të zhvendosjeve virtuale formulohet si më poshtë:

“Për ekuilibrin e çdo sistemi mekanik me lidhje ideale, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shuma punë bazë forcat që vepronin në sistem për çdo lëvizje të mundshme ishin të barabarta me zero.

Duke përdorur parimin e zhvendosjeve virtuale, zgjidhen problemet jo vetëm të statikës, por edhe hidrostatikës dhe elektrostatikës.

LLOJET E EKUILIBRIMEVE

Në statikën e një trupi absolutisht të ngurtë, dallohen tre lloje të ekuilibrit.

1. Konsideroni një top që është në një sipërfaqe konkave. Në pozicionin e treguar në Fig. 88, topi është në ekuilibër: forca e reagimit të mbështetjes balancon forcën e gravitetit .

Nëse topi devijohet nga pozicioni i ekuilibrit, atëherë shuma vektoriale e forcave të gravitetit dhe reagimi i mbështetjes nuk është më i barabartë me zero: lind një forcë , i cili tenton ta kthejë topin në pozicionin e tij origjinal të ekuilibrit (në pikën RRETH).

Ky është një shembull i ekuilibrit të qëndrueshëm.

S u t i a t i o n Ky lloj ekuilibri quhet, me daljen e të cilit lindin forca ose momente forcash që tentojnë ta kthejnë trupin në një pozicion ekuilibri.

Energjia potenciale e topit në çdo pikë të sipërfaqes konkave është më e madhe se energjia potenciale në pozicionin e ekuilibrit (në pikën RRETH). Për shembull, në pikën A(Fig. 88) energjia potenciale është më e madhe se energjia potenciale në një pikë RRETH nga shuma E p( A) - E n(0) = mgh.

Në një pozicion ekuilibri të qëndrueshëm, energjia potenciale e trupit ka një vlerë minimale në krahasim me pozicionet fqinje.

2. Një top në një sipërfaqe konveks është në një pozicion ekuilibri në pikën e sipërme (Fig. 89), ku forca e gravitetit balancohet nga forca e reagimit mbështetës. Nëse e devijoni topin nga pika RRETH, atëherë shfaqet një forcë e drejtuar larg pozicionit të ekuilibrit.

Nën ndikimin e forcës, topi do të largohet nga pika RRETH. Ky është një shembull i një ekuilibri të paqëndrueshëm.

E paqëndrueshme Ky lloj ekuilibri quhet, me daljen e të cilit lindin forca ose momente forcash që tentojnë ta çojnë trupin edhe më larg nga pozicioni i ekuilibrit.

Energjia potenciale e një topi në një sipërfaqe konveks është vlera më e lartë(maksimumi) në pikë RRETH. Në çdo pikë tjetër energjia potenciale e topit është më e vogël. Për shembull, në pikën A(Fig. 89) energjia potenciale është më e vogël se në një pikë RRETH, nga shuma E p( 0 ) - E p ( A) = mgh.

Në një pozicion ekuilibri të paqëndrueshëm, energjia potenciale e trupit ka një vlerë maksimale në krahasim me pozicionet fqinje.

3. Në sipërfaqe horizontale forcat që veprojnë mbi topin balancohen në çdo pikë: (Fig. 90). Nëse, për shembull, e lëvizni topin nga pika RRETH deri në pikën A, pastaj forca rezultante
graviteti dhe reagimi i tokës janë ende zero, d.m.th. në pikën A topi është gjithashtu në një pozicion ekuilibri.

Ky është një shembull i ekuilibrit indiferent.

Indiferent Ky lloj ekuilibri quhet, pas daljes nga i cili trupi mbetet në një pozicion të ri në ekuilibër.

Energjia potenciale e topit në të gjitha pikat e sipërfaqes horizontale (Fig. 90) është e njëjtë.

Në pozicionet e ekuilibrit indiferent, energjia potenciale është e njëjtë.

Ndonjëherë në praktikë është e nevojshme të përcaktohet lloji i ekuilibrit të trupave forma të ndryshme në fushën e gravitetit. Për ta bërë këtë ju duhet të mbani mend duke ndjekur rregullat:

1. Trupi mund të jetë në pozicion të ekuilibrit të qëndrueshëm nëse pika e zbatimit të forcës së reagimit të tokës është mbi qendrën e gravitetit të trupit. Për më tepër, këto pika shtrihen në të njëjtën vertikale (Fig. 91).

Në Fig. 91, b Roli i forcës së reagimit mbështetës luhet nga forca e tensionit të fillit.

2. Kur pika e aplikimit të forcës së reagimit të tokës është nën qendrën e gravitetit, janë të mundshme dy raste:

Nëse mbështetja është e ngjashme me pikën (sipërfaqja e suportit është e vogël), atëherë ekuilibri është i paqëndrueshëm (Fig. 92). Me një devijim të vogël nga pozicioni i ekuilibrit, momenti i forcës tenton të rrisë devijimin nga pozicioni fillestar;

Nëse mbështetja është pa pikë (sipërfaqja e suportit është e madhe), atëherë pozicioni i ekuilibrit është i qëndrueshëm në rastin kur linja e veprimit të gravitetit AA" kryqëzon sipërfaqen e mbështetjes së trupit
(Fig. 93). Në këtë rast, me një devijim të lehtë të trupit nga pozicioni i ekuilibrit, ndodh një moment i forcës dhe i cili e kthen trupin në pozicionin e tij origjinal.

??? PËRGJIGJENI PYETJEVE:

1. Si ndryshon pozicioni i qendrës së gravitetit të një trupi nëse trupi largohet nga pozicioni i: a) ekuilibrit të qëndrueshëm? b) ekuilibër i paqëndrueshëm?

2. Si ndryshon energjia potenciale e një trupi nëse pozicioni i tij ndryshohet në ekuilibër indiferent?

Për të gjykuar sjelljen e trupit në kushte reale, nuk mjafton të dimë se është në ekuilibër. Ne ende duhet të vlerësojmë këtë bilanc. Ka të qëndrueshme, të paqëndrueshme dhe ekuilibër indiferent.

Ekuilibri i trupit quhet të qëndrueshme, nëse gjatë devijimit prej tij lindin forca që e kthejnë trupin në pozicionin e ekuilibrit (Fig. 1 pozicioni 2). Në ekuilibër të qëndrueshëm, qendra e gravitetit të trupit zë pozicionin më të ulët nga të gjitha pozicionet e afërta. Pozicioni i ekuilibrit të qëndrueshëm shoqërohet me një minimum energjie potenciale në raport me të gjitha pozicionet fqinje të trupit.

Ekuilibri i trupit quhet e paqëndrueshme, nëse, me devijimin më të vogël prej tij, rezultanta e forcave që veprojnë në trup shkakton një devijim të mëtejshëm të trupit nga pozicioni i ekuilibrit (Fig. 1, pozicioni 1). Në një pozicion ekuilibri të paqëndrueshëm, lartësia e qendrës së gravitetit është maksimale dhe energjia potenciale është maksimale në raport me pozicionet e tjera të afërta të trupit.

Ekuilibri, në të cilin zhvendosja e një trupi në asnjë drejtim nuk shkakton ndryshim në forcat që veprojnë mbi të dhe ruhet ekuilibri i trupit, quhet. indiferent(Fig. 1 pozicioni 3).

Ekuilibri indiferent shoqërohet me energji potenciale konstante të të gjitha gjendjeve të afërta, dhe lartësia e qendrës së gravitetit është e njëjtë në të gjitha pozicionet mjaft të afërta.

Një trup me një bosht rrotullimi (për shembull, një vizore uniforme që mund të rrotullohet rreth një boshti që kalon përmes pikës O, treguar në figurën 2) është në ekuilibër nëse një vijë e drejtë vertikale që kalon përmes qendrës së gravitetit të trupit kalon nëpër boshti i rrotullimit. Për më tepër, nëse qendra e gravitetit C është më e lartë se boshti i rrotullimit (Fig. 2.1), atëherë për çdo devijim nga pozicioni i ekuilibrit, energjia potenciale zvogëlohet dhe momenti i gravitetit në lidhje me boshtin O e devijon trupin më tej nga pozicioni i ekuilibrit. Ky është një pozicion ekuilibri i paqëndrueshëm. Nëse qendra e gravitetit është nën boshtin e rrotullimit (Fig. 2.2), atëherë ekuilibri është i qëndrueshëm. Nëse qendra e gravitetit dhe boshti i rrotullimit përkojnë (Fig. 2,3), atëherë pozicioni i ekuilibrit është indiferent.

Një trup që ka një zonë mbështetëse është në ekuilibër nëse vija vertikale që kalon nëpër qendrën e gravitetit të trupit nuk shkon përtej zonës mbështetëse të këtij trupi, d.m.th. përtej konturit të formuar nga pikat e kontaktit të trupit me mbështetësin, në këtë rast, ekuilibri varet jo vetëm nga distanca midis qendrës së gravitetit dhe mbështetjes (d.m.th., nga energjia e tij potenciale në fushën gravitacionale të Tokës). por edhe në vendndodhjen dhe madhësinë e zonës mbështetëse të këtij trupi.

Figura 2 tregon një trup në formë të cilindrit. Nëse është e anuar në një kënd të vogël, ai do të kthehet në pozicionin e tij origjinal 1 ose 2. Nëse është i anuar në një kënd (pozicioni 3), trupi do të përmbyset. Për një masë të caktuar dhe zonë mbështetëse, qëndrueshmëria e një trupi është më e lartë, sa më e ulët të jetë qendra e tij e gravitetit, d.m.th. aq më i vogël është këndi ndërmjet vijës së drejtë që lidh qendrën e rëndesës së trupit dhe pikë ekstreme kontakti i zonës mbështetëse me rrafshin horizontal.

Dega e mekanikës në të cilën studiohen kushtet e ekuilibrit të trupave quhet statikë. Mënyra më e lehtë është të merren parasysh kushtet e ekuilibrit të një trupi absolutisht të ngurtë, domethënë një trupi dimensionet dhe forma e të cilit mund të konsiderohen të pandryshuara. Koncepti i një trupi absolutisht të ngurtë është një abstraksion, pasi gjithçka trupat e vërtetë nën ndikimin e forcave të aplikuara ndaj tyre, ato deformohen në një shkallë ose në një tjetër, domethënë ndryshojnë formën dhe madhësinë e tyre. Madhësia e deformimeve varet si nga forcat e aplikuara në trup ashtu edhe nga vetitë e vetë trupit - forma e tij dhe vetitë e materialit nga i cili është bërë. Në shumë raste praktikisht të rëndësishme, deformimet janë të vogla dhe përdorimi i koncepteve të një trupi absolutisht të ngurtë është i justifikuar.

Modeli i një trupi absolutisht të ngurtë. Megjithatë, vogëlsia e deformimeve nuk është gjithmonë gjendje e mjaftueshme kështu që trupi mund të konsiderohet absolutisht i fortë. Për ta sqaruar këtë, merrni parasysh shembulli tjetër. Një dërrasë e shtrirë mbi dy mbështetëse (Fig. 140a) mund të konsiderohet si një trup absolutisht i ngurtë, pavarësisht se përkulet pak nën ndikimin e gravitetit. Në të vërtetë, në këtë rast kushtet ekuilibër mekanik bëjnë të mundur përcaktimin e forcave të reagimit të mbështetësve pa marrë parasysh deformimin e tabelës.

Por nëse e njëjta tabelë mbështetet në të njëjtat mbështetëse (Fig. 1406), atëherë ideja e një trupi absolutisht të ngurtë është e pazbatueshme. Në fakt, lërini që mbështetësit e jashtëm të jenë në të njëjtën vijë horizontale, dhe ai i mesëm pak më i ulët. Nëse dërrasa është absolutisht e fortë, domethënë nuk përkulet fare, atëherë nuk ushtron presion fare në suportin e mesëm, atëherë ajo ushtron presion në suportin e mesëm, dhe sa më i madh të jetë deformimi. aq më i fortë është. Kushtet

Ekuilibri i një trupi absolutisht të ngurtë në këtë rast nuk na lejon të përcaktojmë forcat e reagimit të mbështetësve, pasi ato çojnë në dy ekuacione për tre sasi të panjohura.

Oriz. 140. Forcat e reagimit që veprojnë në një dërrasë të shtrirë në dy (a) dhe tre (b) mbështetëse

Sisteme të tilla quhen statikisht të papërcaktuara. Për t'i llogaritur ato, është e nevojshme të merren parasysh vetitë elastike tel.

Shembulli i mësipërm tregon se zbatueshmëria e modelit të një trupi absolutisht të ngurtë në statikë përcaktohet jo aq shumë nga vetitë e trupit, por nga kushtet në të cilat ndodhet. Pra, në shembullin e konsideruar, edhe një kashtë e hollë mund të konsiderohet një trup absolutisht i fortë nëse shtrihet në dy mbështetëse. Por edhe një tra shumë i ngurtë nuk mund të konsiderohet një trup absolutisht i ngurtë nëse mbështetet në tre mbështetëse.

Kushtet e ekuilibrit. Kushtet e ekuilibrit për një trup absolutisht të ngurtë janë rast i veçantë ekuacionet dinamike kur nuk ka nxitim, megjithëse historikisht statika lindi nga nevojat e pajisjeve të ndërtimit pothuajse dy mijëvjeçarë para dinamikës. Në një kornizë referimi inerciale, një trup i ngurtë është në ekuilibër nëse shuma vektoriale e të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në trup dhe shuma vektoriale e momenteve të këtyre forcave është e barabartë me zero. Kur plotësohet kushti i parë, nxitimi i qendrës së masës së trupit është zero. Nëse plotësohet kushti i dytë, nuk ka nxitimi këndor rrotullimi. Prandaj, nëse në momenti i fillimit Nëse trupi është në qetësi, ai do të qëndrojë në qetësi edhe më tej.

Në vijim do të kufizohemi në studimin krahasues sisteme të thjeshta, në të cilën gjithçka forcat aktive shtrihuni në të njëjtin plan. Në këtë rast, kushti i vektorit

zvogëlohet në dy shkallë:

nëse pozicionojmë boshtet e rrafshit të veprimit të forcave. Disa nga forcat e jashtme që veprojnë në trup të përfshira në kushtet e ekuilibrit (1) mund të specifikohen, domethënë dihen modulet dhe drejtimet e tyre. Sa i përket forcave të reagimit të lidhjeve ose mbështetësve që kufizojnë lëvizjen e mundshme të trupit, ato, si rregull, nuk janë të paracaktuara dhe janë vetë subjekt i përcaktimit. Në mungesë të fërkimit, forcat e reagimit janë pingul me sipërfaqen e kontaktit të trupave.

Oriz. 141. Të përcaktojë drejtimin e forcave të reaksionit

Forcat e reagimit. Ndonjëherë lindin dyshime në përcaktimin e drejtimit të forcës së reagimit të lidhjes, si, për shembull, në Fig. 141, e cila tregon një shufër që mbështetet në pikën A në sipërfaqen e lëmuar konkave të një kupe dhe në pikën B në skajin e mprehtë të kupës.

Për të përcaktuar drejtimin e forcave të reagimit në këtë rast, ju mund ta lëvizni mendërisht shufrën pak pa e shqetësuar kontaktin e saj me kupën. Forca e reagimit do të drejtohet pingul me sipërfaqen përgjatë së cilës rrëshqet pika e kontaktit. Pra, në pikën A forca e reagimit që vepron në shufër është pingul me sipërfaqen e kupës, dhe në pikën B është pingul me shufrën.

Momenti i fuqisë. Momenti M i forcës në lidhje me një pikë

O quhet produkt vektorial vektori i rrezes i tërhequr nga O në pikën e aplikimit të forcës, në vektorin e forcës

Vektori M i momentit të forcës është pingul me rrafshin në të cilin shtrihen vektorët

Ekuacioni i momenteve. Nëse në një trup veprojnë disa forca, atëherë kushti i dytë i ekuilibrit i lidhur me momentet e forcave shkruhet në formën

Në këtë rast, pika O nga e cila janë tërhequr vektorët e rrezes duhet të zgjidhet të jetë e përbashkët për të gjitha forcat vepruese.

Për një sistem të rrafshët të forcave, vektorët e momentit të të gjitha forcave drejtohen pingul me rrafshin në të cilin shtrihen forcat, nëse momentet konsiderohen në lidhje me një pikë që shtrihet në të njëjtin rrafsh. Prandaj, kushti i vektorit (4) për momente reduktohet në një skalar: në pozicionin e ekuilibrit shuma algjebrike momentet e të gjitha forcave të jashtme që veprojnë është zero. Moduli i momentit të forcës në lidhje me pikën O e barabartë me produktin modul

forcat në një distancë nga pika O në vijën përgjatë së cilës vepron forca Në këtë rast, momentet që tentojnë të rrotullojnë trupin në drejtim të akrepave të orës merren me të njëjtën shenjë, në drejtim të kundërt - me shenjën e kundërt. Zgjedhja e pikës për të cilën merren parasysh momentet e forcave bëhet vetëm për arsye komoditeti: ekuacioni i momenteve do të jetë më i thjeshtë, më shumë forcë do të ketë e barabartë me zero momente.

Një shembull i ekuilibrit. Për të ilustruar zbatimin e kushteve të ekuilibrit të një trupi absolutisht të ngurtë, merrni parasysh shembullin e mëposhtëm. Një shkallë e lehtë përbëhet nga dy pjesë identike, të varura në krye dhe të lidhura me një litar në bazë (Fig. 142). Le të përcaktojmë se cila është forca e tensionit të litarit, me cilat forca bashkëveprojnë gjysmat e shkallës në menteshë dhe me çfarë forcash shtypin në dysheme, nëse një person me peshë R qëndron në mes të njërës prej tyre.

Sistemi në shqyrtim përbëhet nga dy trupa të ngurtë - gjysma e shkallës, dhe kushtet e ekuilibrit mund të zbatohen si për sistemin në tërësi ashtu edhe për pjesët e tij. Duke zbatuar kushtet e ekuilibrit në të gjithë sistemin në tërësi, mund të gjenden forcat e reagimit të dyshemesë dhe (Fig. 142). Në mungesë të fërkimit, këto forca drejtohen vertikalisht lart dhe kushti që shuma vektoriale e forcave të jashtme të jetë e barabartë me zero (1) merr formën

Kushti i ekuilibrit për momentet e forcave të jashtme në lidhje me pikën A shkruhet si më poshtë:

ku është gjatësia e shkallëve, këndi i formuar nga shkallët me dyshemenë. Duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve (5) dhe (6), gjejmë

Oriz. 142. Shuma vektoriale e forcave të jashtme dhe shuma e momenteve të forcave të jashtme në ekuilibër janë të barabarta me zero.

Natyrisht, në vend të ekuacionit të momenteve (6) rreth pikës A, mund të shkruhet ekuacioni i momenteve për pikën B (ose ndonjë pikë tjetër). Kjo do të rezultonte në një sistem ekuacionesh ekuivalent me sistemin e përdorur (5) dhe (6).

Forca e tensionit të litarit dhe forca e ndërveprimit në menteshën për të marrë në konsideratë sistemi fizik janë të brendshme dhe për këtë arsye nuk mund të përcaktohen nga kushtet e ekuilibrit të të gjithë sistemit në tërësi. Për të përcaktuar këto forca, është e nevojshme të merren parasysh kushtet e ekuilibrit pjesë individuale sistemeve. Në të njëjtën kohë

duke zgjedhur me sukses pikën për të cilën është hartuar ekuacioni i momenteve të forcave, mund të arrihet thjeshtëzim sistemi algjebrik ekuacionet. Kështu, për shembull, në këtë sistem mund të marrim parasysh gjendjen e ekuilibrit të momenteve të forcave që veprojnë në gjysmën e majtë të shkallës në lidhje me pikën C, ku ndodhet menteshja.

Me këtë zgjedhje të pikës C, forcat që veprojnë në mentesh nuk do të përfshihen në këtë gjendje dhe menjëherë gjejmë forcën e tensionit të litarit T:

ku, duke pasur parasysh se marrim

Kushti (7) do të thotë që forca rezultante T kalon nëpër pikën C, d.m.th., ajo drejtohet përgjatë shkallëve. Prandaj, ekuilibri i kësaj gjysme të shkallës është i mundur vetëm nëse forca që vepron mbi të në varen drejtohet gjithashtu përgjatë shkallës (Fig. 143) dhe moduli i saj e barabartë me modulin forcat rezultante T dhe

Oriz. 143. Vijat e veprimit të të tre forcave që veprojnë në gjysmën e majtë të shkallës kalojnë nëpër një pikë.

Vlera absolute e forcës që vepron në menteshën në gjysmën tjetër të shkallës, bazuar në ligjin e tretë të Njutonit, është e barabartë dhe drejtimi i saj është i kundërt me drejtimin e vektorit. Drejtimi i forcës mund të përcaktohet drejtpërdrejt nga Fig. 143, duke marrë parasysh se kur një trup është në ekuilibër nën veprimin e tre forcave, vijat përgjatë të cilave veprojnë këto forca kryqëzohen në një pikë. Në të vërtetë, le të shqyrtojmë pikën e kryqëzimit të vijave të veprimit të dy prej këtyre tre forcave dhe të ndërtojmë një ekuacion momentesh rreth kësaj pike. Momentet e dy forcave të para rreth kësaj pike janë të barabarta me zero; Kjo do të thotë se momenti i forcës së tretë duhet të jetë gjithashtu i barabartë me zero, gjë që, në përputhje me (3), është e mundur vetëm nëse vija e veprimit të saj kalon edhe në këtë pikë.

Rregulli i artë i mekanikës. Ndonjëherë problemi i statikës mund të zgjidhet pa marrë parasysh fare kushtet e ekuilibrit, por duke përdorur ligjin e ruajtjes së energjisë në lidhje me mekanizmat pa fërkim: asnjë mekanizëm nuk jep fitim në punë. Ky ligj

quhet rregulli i artë i mekanikës. Për të ilustruar këtë qasje, merrni parasysh shembullin e mëposhtëm: një ngarkesë e rëndë me peshë P është e varur në një menteshë pa peshë me tre lidhje (Fig. 144). Çfarë force tensioni duhet të përballojë filli që lidh pikat A dhe B?

Oriz. 144. Për të përcaktuar forcën e tensionit të një filli në një menteshë me tre lidhje që mbështet një ngarkesë me peshë P

Le të përpiqemi të përdorim këtë mekanizëm për të ngritur ngarkesën P. Pasi të keni zgjidhur fillin në pikën A, tërhiqeni atë në mënyrë që pika B të rritet ngadalë në një distancë kjo distancë kufizohet nga fakti se forca e tensionit të fillit T duhet të mbetet e pandryshuar gjatë lëvizjes. NË në këtë rast, siç do të jetë e qartë nga përgjigja, forca T nuk varet fare nga sa është e ngjeshur ose e shtrirë mentesha. Puna e kryer. Si rezultat, ngarkesa P ngrihet në një lartësi e cila, siç është e qartë nga konsideratat gjeometrike, është e barabartë me Meqenëse në mungesë të fërkimit nuk ndodhin humbje energjie, mund të argumentohet se ndryshimi në energjinë potenciale të ngarkesës përcaktohet. nga puna e bërë gjatë ngritjes. Kjo është arsyeja pse

Natyrisht, për një menteshë që përmban numër arbitrar lidhje identike,

Nuk është e vështirë të gjesh forcën e tensionit të fillit, dhe në rastin kur është e nevojshme të merret parasysh pesha e vetë menteshës, puna e bërë gjatë ngritjes duhet të barazohet me shumën e ndryshimeve në energjitë e mundshme të ngarkesa dhe mentesha. Për një varëse lidhjesh identike, qendra e saj e masës ngrihet nga Prandaj

Parimi i formuluar (" rregull i artë mekanika") është gjithashtu i zbatueshëm kur gjatë procesit të lëvizjes nuk ka ndryshim në energjinë potenciale dhe mekanizmi përdoret për të kthyer forcën. Kutitë e ingranazheve, transmisionet, portat, sistemet e levave dhe blloqeve - në të gjitha sistemet e tilla, forca e konvertuar mund të përcaktohet duke barazuar punën e forcave të konvertuara dhe të aplikuara. Me fjalë të tjera, në mungesë të fërkimit, raporti i këtyre forcave përcaktohet vetëm nga gjeometria e pajisjes.

Le të shqyrtojmë nga ky këndvështrim shembullin me një shkallë të diskutuar më sipër. Sigurisht, përdorimi i një shkalle si një mekanizëm ngritës, domethënë ngritja e një personi duke afruar gjysmat e shkallëve, nuk është e këshillueshme. Megjithatë, kjo nuk mund të na pengojë të aplikojmë metodën e përshkruar për të gjetur forcën e tensionit të litarit. Barazimi i punës së bërë kur pjesët e shkallës bashkohen me ndryshimin e energjisë potenciale të personit në shkallë dhe lidh, nga konsideratat gjeometrike, lëvizjen e skajit të poshtëm të shkallës me një ndryshim në lartësinë e ngarkesës (Fig. 145), ne marrim, siç do të pritej, rezultatin e dhënë më parë:

Siç është vërejtur tashmë, lëvizja duhet të zgjidhet e tillë që gjatë procesit forca vepruese të mund të konsiderohet konstante. Është e lehtë të shihet se në shembullin me një varëse kjo gjendje nuk vendos kufizime në lëvizje, pasi forca e tensionit të fillit nuk varet nga këndi (Fig. 144). Përkundrazi, në problemin e shkallëve zhvendosja duhet zgjedhur të jetë e vogël, sepse forca e tensionit të litarit varet nga këndi a.

Stabiliteti i ekuilibrit. Ekuilibri mund të jetë i qëndrueshëm, i paqëndrueshëm dhe indiferent. Ekuilibri është i qëndrueshëm (Fig. 146a) nëse, me lëvizje të vogla të trupit nga pozicioni i ekuilibrit, forcat vepruese priren ta kthejnë atë mbrapsht dhe i paqëndrueshëm (Fig. 1466) nëse forcat e largojnë atë nga pozicioni i ekuilibrit.

Oriz. 145. Lëvizjet e skajeve të poshtme të shkallës dhe lëvizja e ngarkesës kur gjysmat e shkallës bashkohen

Oriz. 146. Ekuilibri i qëndrueshëm (a), i paqëndrueshëm (b) dhe indiferent (c)

Nëse, në zhvendosje të vogla, forcat që veprojnë në trup dhe momentet e tyre janë ende të balancuara, atëherë ekuilibri është indiferent (Fig. 146c). Në ekuilibër indiferent, pozicionet fqinje të trupit janë gjithashtu ekuilibër.

Le të shqyrtojmë shembuj të studimit të qëndrueshmërisë së ekuilibrit.

1. Ekuilibri i qëndrueshëm korrespondon me energjinë minimale potenciale të trupit në raport me vlerat e tij në pozicionet fqinje të trupit. Kjo veti është shpesh e përshtatshme për t'u përdorur kur gjendet pozicioni i ekuilibrit dhe kur studiohet natyra e ekuilibrit.

Oriz. 147. Stabiliteti i ekuilibrit të trupit dhe pozicioni i qendrës së masës

Një kolonë vertikale e lirë është në ekuilibër të qëndrueshëm, pasi në prirje të vogla qendra e saj e masës ngrihet. Kjo ndodh derisa projeksioni vertikal i qendrës së masës të shkojë përtej zonës mbështetëse, d.m.th. këndi i devijimit nga vertikalja nuk kalon njëfarë vlera maksimale. Me fjalë të tjera, rajoni i stabilitetit shtrihet nga energjia potenciale minimale (në një pozicion vertikal) në maksimumin më të afërt me të (Fig. 147). Kur qendra e masës ndodhet saktësisht mbi kufirin e zonës mbështetëse, kolona është gjithashtu në ekuilibër, por e paqëndrueshme. Një kolonë e shtrirë horizontalisht korrespondon me një gamë shumë më të gjerë të stabilitetit.

2. Janë dy lapsa të rrumbullakëta me rreze dhe njëri prej tyre ndodhet horizontalisht, tjetri është i balancuar mbi të në pozicion horizontal në mënyrë që boshtet e lapsave të jenë reciprokisht pingul (Fig. 148a). Në çfarë raporti ndërmjet rrezeve është i qëndrueshëm ekuilibri? Në cilin kënd maksimal mund të anohet lapsi i sipërm nga horizontali? Koeficienti i fërkimit të lapsave me njëri-tjetrin është i barabartë me

Në pamje të parë, mund të duket se ekuilibri i lapsit të sipërm është përgjithësisht i paqëndrueshëm, pasi qendra e masës së lapsit të sipërm shtrihet mbi boshtin rreth të cilit mund të rrotullohet. Megjithatë, këtu pozicioni i boshtit të rrotullimit nuk mbetet i pandryshuar, kështu që ky rast kërkon kërkime të veçanta. Meqenëse lapsi i sipërm është i balancuar në një pozicion horizontal, qendrat e masës së lapsave shtrihen në këtë vertikale (Fig.). kalon majtas pikë e re mbështesin C, atëherë graviteti tenton ta kthejë lapsin e sipërm në pozicionin e tij të ekuilibrit.

Le ta shprehim këtë gjendje matematikisht. Duke tërhequr një vijë vertikale në pikën B, shohim se kushti duhet të plotësohet

Meqenëse nga kushti (8) marrim

Meqenëse graviteti do të tentojë ta kthejë lapsin e sipërm në pozicionin e tij të ekuilibrit vetëm kur. Prandaj, ekuilibri i qëndrueshëm i lapsit të sipërm në atë të poshtëm është i mundur vetëm kur rrezja e tij më pak se rreze laps në fund.

Roli i fërkimit. Për t'iu përgjigjur pyetjes së dytë, duhet të zbuloni se cilat arsye kufizojnë këndin e lejuar të devijimit. Së pari, kur kënde të mëdha devijimi, vertikali i tërhequr përmes qendrës së masës së lapsit të sipërm mund të kalojë në të djathtë të pikës kryesore C. Nga kushti (9) është e qartë se për një raport të caktuar të rrezeve të lapsave këndi maksimal i devijimit

A janë kushtet e ekuilibrit të një trupi të ngurtë gjithmonë të mjaftueshme për të përcaktuar forcat e reaksionit?

Si mund të përcaktohet praktikisht drejtimi i forcave të reagimit në mungesë të fërkimit?

Si mund të përdorni rregullin e artë të mekanikës kur analizoni kushtet e ekuilibrit?

Nëse në menteshën e treguar në Fig. 144, lidhni jo pikat A dhe B me një fije, por pikat A dhe C, atëherë cila do të jetë forca e tensionit të saj?

Si lidhet qëndrueshmëria e ekuilibrit të një sistemi me energjinë e tij potenciale?

Cilat kushte përcaktojnë këndin maksimal të devijimit të një trupi që qëndron në një plan në tre pika, në mënyrë që të mos humbasë qëndrueshmëria e tij?

Një trup është në qetësi (ose lëviz në mënyrë të njëtrajtshme dhe drejtvizore) nëse shuma vektoriale e të gjitha forcave që veprojnë mbi të është e barabartë me zero. Ata thonë se forcat balancojnë njëra-tjetrën. Kur kemi të bëjmë me një trup të caktuar formë gjeometrike, gjatë llogaritjes së forcës rezultante, të gjitha forcat mund të aplikohen në qendrën e masës së trupit.

Kushti për ekuilibrin e trupave

Që një trup që nuk rrotullohet të jetë në ekuilibër, është e nevojshme që rezultanta e të gjitha forcave që veprojnë mbi të të jetë e barabartë me zero.

F → = F 1 → + F 2 → + . . + F n → = 0 .

Figura e mësipërme tregon ekuilibrin e një trupi të ngurtë. Blloku është në gjendje ekuilibri nën ndikimin e tre forcave që veprojnë mbi të. Vijat e veprimit të forcave F 1 → dhe F 2 → kryqëzohen në pikën O. Pika e aplikimit të gravitetit është qendra e masës së trupit C. Këto pika shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë, dhe kur llogaritet forca rezultante F 1 →, F 2 → dhe m g → sillen në pikën C.

Kushti që rezultanta e të gjitha forcave të jetë e barabartë me zero nuk është e mjaftueshme nëse trupi mund të rrotullohet rreth një boshti të caktuar.

Krahu i forcës d është gjatësia e pingules së tërhequr nga vija e veprimit të forcës deri në pikën e zbatimit të saj. Momenti i forcës M është prodhimi i krahut të forcës dhe modulit të tij.

Momenti i forcës tenton të rrotullojë trupin rreth boshtit të tij. Ato momente që e kthejnë trupin në drejtim të kundërt të akrepave të orës konsiderohen pozitive. Njësia matëse e momentit të forcës në sistemit ndërkombëtar SI - 1 Njuton metër.

Përkufizimi. Rregulli i momenteve

Nëse shuma algjebrike e të gjitha momenteve të aplikuara në një trup në lidhje me një bosht fiks rrotullimi është e barabartë me zero, atëherë trupi është në një gjendje ekuilibri.

M 1 + M 2 + . . +Mn=0

E rëndësishme!

NË rast i përgjithshëm Që trupat të jenë në ekuilibër, duhet të plotësohen dy kushte: forca rezultante duhet të jetë e barabartë me zero dhe duhet respektuar rregulli i momenteve.

Në mekanikë ka lloje të ndryshme ekuilibër. Kështu, bëhet një dallim midis ekuilibrit të qëndrueshëm dhe të paqëndrueshëm, si dhe ekuilibrit indiferent.

Një shembull tipik i ekuilibrit indiferent është një rrotë rrotulluese (ose top), e cila, nëse ndalet në ndonjë pikë, do të jetë në një gjendje ekuilibri.

Ekuilibri i qëndrueshëm është një ekuilibër i tillë i një trupi kur, me devijimet e tij të vogla, lindin forca ose momente forcash që tentojnë ta kthejnë trupin në një gjendje ekuilibri.

Ekuilibri i paqëndrueshëm është një gjendje ekuilibri, me një devijim të vogël nga i cili forcat dhe momentet e forcave tentojnë ta nxjerrin trupin jashtë ekuilibrit edhe më shumë.

Në figurën e mësipërme, pozicioni i topit është (1) - ekuilibër indiferent, (2) - ekuilibër i paqëndrueshëm, (3) - ekuilibër i qëndrueshëm.

Trupi me aks fiks rrotullimi mund të jetë në cilindo nga pozicionet e ekuilibrit të përshkruar. Nëse boshti i rrotullimit kalon përmes qendrës së masës, ndodh ekuilibri i indiferencës. Me të qëndrueshme dhe ekuilibër i paqëndrueshëm qendra e masës ndodhet në një vijë të drejtë vertikale që kalon nëpër boshtin e rrotullimit. Kur qendra e masës është nën boshtin e rrotullimit, ekuilibri është i qëndrueshëm. Përndryshe, është e kundërta.

Një rast i veçantë i ekuilibrit është ekuilibri i një trupi mbi një mbështetje. Në të njëjtën kohë forcë elastike shpërndahet në të gjithë bazën e trupit, në vend që të kalojë nëpër një pikë. Një trup është në qetësi në ekuilibër kur vijë vertikale, e tërhequr përmes qendrës së masës, kryqëzon zonën e mbështetjes. Përndryshe, nëse vija nga qendra e masës nuk bie në kontur, të formuara nga vija duke lidhur pikat mbështetëse, trupi përkulet.

Një shembull i ekuilibrit të trupit në një mbështetëse është Kulla e famshme e Anuar e Pizës. Sipas legjendës, Galileo Galilei hodhi topa prej saj kur kreu eksperimentet e tij mbi studimin. rënia e lirë tel.

Një vijë e tërhequr nga qendra e masës së kullës kryqëzon bazën afërsisht 2.3 m nga qendra e saj.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter