Merrni parasysh figurën e mëposhtme:

Ai përshkruan një funksion të caktuar y = f(x), i cili është i diferencueshëm në pikën a. Pika M me koordinata (a; f(a)) është shënuar. Një MR sekante vizatohet përmes një pike arbitrare P(a + ∆x; f(a + ∆x)) të grafikut.

Nëse tani pika P zhvendoset përgjatë grafikut në pikën M, atëherë drejtëza MR do të rrotullohet rreth pikës M. Në këtë rast, ∆x do të priret në zero. Nga këtu mund të formulojmë përkufizimin e një tangjente në grafikun e një funksioni.

Tangjente me grafikun e një funksioni

Tangjentja e grafikut të një funksioni është pozicioni kufizues i sekantit pasi rritja e argumentit tenton në zero. Duhet kuptuar se ekzistenca e derivatit të funksionit f në pikën x0 do të thotë se në këtë pikë të grafikut ekziston tangjente ndaj tij.

Në të njëjtën kohë shpat tangjentja do të jetë e barabartë me derivatin e këtij funksioni në këtë pikë f’(x0). Kjo është kuptimi gjeometrik derivat. Tangjentja me grafikun e një funksioni f të diferencueshëm në pikën x0 është një drejtëz e caktuar që kalon nëpër pikën (x0;f(x0)) dhe ka një koeficient këndor f'(x0).

Ekuacioni tangjent

Le të përpiqemi të marrim ekuacionin e tangjentes me grafikun e një funksioni f në pikën A(x0; f(x0)). Ekuacioni i një drejtëze me pjerrësi k ka formën e mëposhtme:

Meqenëse koeficienti ynë i pjerrësisë është i barabartë me derivatin f'(x0), atëherë ekuacioni do të marrë formën e mëposhtme: y = f'(x0)*x + b.

Tani le të llogarisim vlerën e b. Për ta bërë këtë, ne përdorim faktin që funksioni kalon nëpër pikën A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, prej këtu shprehim b dhe marrim b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Ne e zëvendësojmë vlerën që rezulton në ekuacionin tangjent:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Le të shqyrtojmë shembulli tjetër: gjeni ekuacionin e tangjentes në grafikun e funksionit f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 në pikën x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Zëvendësojmë vlerat e marra në formulën tangjente, marrim: y = 1 + 4*(x - 2). Hapja e kllapave dhe sjellja terma të ngjashëm marrim: y = 4*x - 7.

Përgjigje: y = 4*x - 7.

Skema e përgjithshme për kompozimin e ekuacionit tangjente në grafikun e funksionit y = f(x):

1. Përcaktoni x0.

2. Njehsoni f(x0).

3. Llogaritni f'(x)

Ekuacioni i një aeroplani. Si të shkruhet një ekuacion i një rrafshi?
Pozicioni i ndërsjellë aeroplanët. Detyrat

Gjeometria hapësinore nuk është shumë më e ndërlikuar se gjeometria "e sheshtë", dhe fluturimet tona në hapësirë ​​fillojnë me këtë artikull. Për të zotëruar temën, duhet të keni një kuptim të mirë të vektorët, përveç kësaj, këshillohet të njiheni me gjeometrinë e aeroplanit - do të ketë shumë ngjashmëri, shumë analogji, kështu që informacioni do të tretet shumë më mirë. Në një seri mësimesh të mia, bota 2D hapet me një artikull Ekuacioni i një vije të drejtë në një plan. Por tani Batman ka lënë ekranin e sheshtë të televizorit dhe po niset nga Kozmodromi Baikonur.

Le të fillojmë me vizatimet dhe simbolet. Skematikisht, rrafshi mund të vizatohet në formën e një paralelogrami, i cili krijon përshtypjen e hapësirës:

Aeroplani është i pafund, por ne kemi mundësinë të përshkruajmë vetëm një pjesë të tij. Në praktikë, përveç paralelogramit, vizatohet edhe një ovale apo edhe një re. Nuk më intereson arsye teknikeështë më e përshtatshme të përshkruhet avioni pikërisht në këtë mënyrë dhe pikërisht në këtë pozicion. Avionë të vërtetë në të cilët do të shqyrtojmë shembuj praktik, mund të pozicionohet në çdo mënyrë - merrni me mend vizatimin në duar dhe rrotullojeni në hapësirë, duke i dhënë aeroplanit çdo prirje, çdo kënd.

Emërtimet: avionët zakonisht shënohen me shkronja të vogla greke, me sa duket për të mos i ngatërruar me vijë e drejtë në një aeroplan ose me vijë e drejtë në hapësirë. Jam mësuar të përdor shkronjën. Në vizatim është shkronja "sigma", dhe aspak një vrimë. Megjithëse, avioni i vrimës është sigurisht mjaft qesharak.

Në disa raste, është e përshtatshme të përdoren të njëjtat simbole për të përcaktuar aeroplanët. shkronjat greke me nënshkrime, për shembull, .

Është e qartë se avioni përcaktohet në mënyrë unike nga tre pika të ndryshme që nuk shtrihen në të njëjtën linjë. Prandaj, përcaktimet me tre shkronja të avionëve janë mjaft të njohura - nga pikat që u përkasin, për shembull, etj. Shpesh shkronjat janë të mbyllura kllapa: , për të mos ngatërruar rrafshin me një figurë tjetër gjeometrike.

Për lexuesit me përvojë do të jap menyja e aksesit të shpejtë:

• Si të krijoni një ekuacion të një rrafshi duke përdorur një pikë dhe dy vektorë?
• Si të krijoni një ekuacion të një rrafshi duke përdorur një pikë dhe një vektor normal?

dhe ne nuk do të lëngojmë pritjet e gjata:

Ekuacioni i planit të përgjithshëm

Ekuacioni i përgjithshëm i rrafshit ka formën , ku koeficientët nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë.

Një numër llogaritjesh teorike dhe probleme praktike të vlefshme si për bazën e zakonshme ortonormale ashtu edhe për baza afine hapësirë ​​(nëse vaji është vaj, kthehuni në mësim Varësia lineare (jo) e vektorëve. Baza e vektorëve). Për thjeshtësi, ne do të supozojmë se të gjitha ngjarjet ndodhin në një bazë ortonormale dhe një karteziane sistem drejtkëndor koordinatat

Tani le të praktikojmë pak imagjinatën tonë hapësinore. Është në rregull nëse e juaja është e keqe, tani do ta zhvillojmë pak. Edhe të luash me nerva kërkon stërvitje.

Në shumë rast i përgjithshëm, kur numrat nuk janë zero, rrafshi kryqëzon të tre boshtet koordinative. Për shembull, si kjo:

E përsëris edhe një herë se avioni vazhdon pafundësisht në të gjitha drejtimet dhe ne kemi mundësinë të përshkruajmë vetëm një pjesë të tij.

Le të shqyrtojmë ekuacionet më të thjeshta të aeroplanëve:

Si të kuptojmë ekuacioni i dhënë? Mendoni për këtë: "Z" është GJITHMONË e barabartë me zero, për çdo vlerë të "X" dhe "Y". Ky ekuacion është "vendas" plan koordinativ. Në të vërtetë, zyrtarisht ekuacioni mund të rishkruhet si më poshtë: , nga ku mund të shihni qartë se nuk na intereson çfarë vlerash marrin "x" dhe "y", është e rëndësishme që "z" të jetë e barabartë me zero.

Po kështu:
– ekuacioni i rrafshit koordinativ;
– ekuacioni i rrafshit koordinativ.

Le ta ndërlikojmë pak problemin, të shqyrtojmë një aeroplan (këtu dhe më tej në paragrafin supozojmë se shanset numerike nuk janë të barabarta me zero). E rishkruajmë barazimin në formën: . Si ta kuptojmë? "X" është GJITHMONË, për çdo vlerë të "y" dhe "z", e barabartë me një numër të caktuar. Ky plan është paralel me rrafshin koordinativ. Për shembull, një aeroplan është paralel me një plan dhe kalon nëpër një pikë.

Po kështu:
– ekuacioni i një rrafshi që është paralel me rrafshin koordinativ;
– ekuacioni i një rrafshi që është paralel me rrafshin koordinativ.

Le të shtojmë anëtarë: . Ekuacioni mund të rishkruhet si më poshtë: , domethënë, "zet" mund të jetë çdo gjë. Çfarë do të thotë? "X" dhe "Y" lidhen me relacionin, i cili vizaton një vijë të caktuar të drejtë në aeroplan (do ta zbuloni ekuacioni i një drejtëze në një rrafsh?). Meqenëse "z" mund të jetë çdo gjë, kjo vijë e drejtë "përsëritet" në çdo lartësi. Kështu, ekuacioni përcakton një plan paralel me boshtin koordinativ

Po kështu:
– ekuacioni i një rrafshi që është paralel me boshtin koordinativ;
– ekuacioni i një rrafshi që është paralel me boshtin koordinativ.

Nëse anëtarë të lirë zero, atëherë aeroplanët do të kalojnë drejtpërdrejt nëpër boshtet përkatëse. Për shembull, "proporcionaliteti i drejtpërdrejtë" klasik: . Vizatoni një vijë të drejtë në aeroplan dhe shumëzojeni mendërisht lart e poshtë (pasi "Z" është çdo). Përfundim: aeroplan, dhënë nga ekuacioni, kalon nëpër boshtin koordinativ.

Përfundojmë rishikimin: ekuacionin e aeroplanit kalon përmes origjinës. Epo, këtu është mjaft e qartë se pika e plotëson këtë ekuacion.

Dhe së fundi, rasti i treguar në vizatim: - avioni është mik me të gjithë boshtet koordinative, ndërsa gjithmonë “pret” trekëndëshin, i cili mund të gjendet në cilindo nga tetë oktantët.

Pabarazitë lineare në hapësirë

Për të kuptuar informacionin duhet të studioni mirë pabarazitë lineare në rrafsh, sepse shumë gjëra do të jenë të ngjashme. Paragrafi do të jetë i një natyre përmbledhëse të shkurtër me disa shembuj, pasi materiali është mjaft i rrallë në praktikë.

Nëse ekuacioni përcakton një plan, atëherë pabarazitë
pyesni gjysmë hapësirash. Nëse pabarazia nuk është strikte (dy të fundit në listë), atëherë zgjidhja e mosbarazimit, përveç gjysmëhapësirës, ​​përfshin edhe vetë rrafshin.

Shembulli 5

Gjeni vektorin normal njësi të rrafshit .

Zgjidhje: Një vektor njësi është një vektor gjatësia e të cilit është një. Le të shënojmë vektor i dhënë përmes . Është absolutisht e qartë se vektorët janë kolinear:

Së pari, heqim vektorin normal nga ekuacioni i rrafshit: .

Si të gjeni vektor njësi? Për të gjetur vektorin e njësisë, ju duhet çdo pjesëtoni koordinatat e vektorit me gjatësinë e vektorit.

Le të rishkruajmë vektorin normal në formë dhe të gjejmë gjatësinë e tij:

Sipas sa më sipër:

Përgjigju:

Verifikimi: çfarë kërkohej të verifikohej.

Lexuesit që studiuan me kujdes paragrafin e fundit të mësimit ndoshta e vunë re këtë koordinatat e vektorit njësi janë pikërisht kosinuset e drejtimit të vektorit:

Le të bëjmë një pushim nga problemi në fjalë: kur ju jepet një vektor arbitrar jo zero, dhe sipas kushtit kërkohet të gjenden kosinuset e drejtimit të tij (shih. detyrat e fundit mësim Prodhimi me pika i vektorëve), atëherë ju, në fakt, gjeni një vektor njësi kolinear me këtë. Në fakt dy detyra në një shishe.

Nevoja për të gjetur vektorin normal të njësisë lind në disa probleme të analizës matematikore.

Ne kemi kuptuar se si të nxjerrim një vektor normal, tani le t'i përgjigjemi pyetjes së kundërt:

Si të krijoni një ekuacion të një rrafshi duke përdorur një pikë dhe një vektor normal?

Ky ndërtim i ngurtë i një vektori normal dhe i një pike është i njohur mirë për tabelën e shigjetës. Ju lutemi shtrini dorën përpara dhe zgjidhni mendërisht një pikë arbitrare në hapësirë, për shembull, një mace të vogël në bufe. Natyrisht, përmes këtë pikë ju mund të vizatoni një plan të vetëm pingul me dorën tuaj.

Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër një pikë pingul me vektorin shprehet me formulën:

Ju mund të vendosni në mënyra të ndryshme(një pikë dhe një vektor, dy pika dhe një vektor, tre pika, etj.). Me këtë në mendje mund të ketë ekuacioni i aeroplanit lloje të ndryshme. Gjithashtu, në varësi të kushteve të caktuara, rrafshet mund të jenë paralele, pingule, prerëse etj. Ne do të flasim për këtë në këtë artikull. Ne do të mësojmë se si të krijojmë një ekuacion të planit të përgjithshëm dhe më shumë.

Forma normale e ekuacionit

Le të themi se ekziston një hapësirë ​​​​R 3 që ka një sistem koordinativ drejtkëndor XYZ. Le të përcaktojmë vektorin α, i cili do të lirohet nga pikënisje O. Nëpër skajin e vektorit α vizatojmë një plan P, i cili do të jetë pingul me të.

Le të shënojmë një pikë arbitrare në P si Q = (x, y, z). Le të nënshkruajmë vektorin e rrezes së pikës Q me shkronjën p. Në këtë rast, gjatësia e vektorit α është e barabartë me р=IαI dhe Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ky është një vektor njësi që drejtohet anash, si vektori α. α, β dhe γ janë këndet që formohen ndërmjet vektorit Ʋ dhe drejtimeve pozitive të boshteve hapësinore përkatësisht x, y, z. Projeksioni i çdo pike QϵП në vektorin Ʋ është vlerë konstante, e cila është e barabartë me p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Ekuacioni i mësipërm ka kuptim kur p=0. E vetmja gjë është se rrafshi P në këtë rast do të presë pikën O (α = 0), e cila është origjina e koordinatave, dhe vektori njësi Ʋ i lëshuar nga pika O do të jetë pingul me P, pavarësisht drejtimit të tij, i cili do të thotë se vektori Ʋ përcaktohet me saktësi ndaj shenjës. Ekuacioni i mëparshëm është ekuacioni i planit tonë P, i shprehur në formë vektoriale. Por në koordinata do të duket kështu:

P këtu është më i madh ose i barabartë me 0. Ne kemi gjetur ekuacionin e rrafshit në hapësirë ​​në formë normale.

Ekuacioni i përgjithshëm

Nëse e shumëzojmë ekuacionin në koordinata me ndonjë numër që nuk është i barabartë me zero, marrim një ekuacion të barabartë me këtë, duke përcaktuar pikërisht atë plan. Do të duket kështu:

Këtu A, B, C janë numra që janë njëkohësisht të ndryshëm nga zero. Ky ekuacion quhet ekuacion i planit të përgjithshëm.

Ekuacionet e aeroplanëve. Raste të veçanta

Ekuacioni në pamje e përgjithshme mund të modifikohet nëse ka kushte shtesë. Le të shohim disa prej tyre.

Le të supozojmë se koeficienti A është 0. Kjo do të thotë se aeroplan i dhënë paralel me boshtin e dhënë Ox. Në këtë rast, forma e ekuacionit do të ndryshojë: Ву+Cz+D=0.

Në mënyrë të ngjashme, forma e ekuacionit do të ndryshojë në kushtet e mëposhtme:

• Së pari, nëse B = 0, atëherë ekuacioni do të ndryshojë në Ax + Cz + D = 0, që do të tregojë paralelizëm me boshtin Oy.
• Së dyti, nëse C=0, atëherë ekuacioni do të shndërrohet në Ax+By+D=0, i cili do të tregojë paralelizëm me boshtin e dhënë Oz.
• Së treti, nëse D=0, ekuacioni do të duket si Ax+By+Cz=0, që do të thotë se rrafshi kryqëzon O (origjina).
• Së katërti, nëse A=B=0, atëherë ekuacioni do të ndryshojë në Cz+D=0, i cili do të jetë paralel me Oxy.
• Së pesti, nëse B=C=0, atëherë ekuacioni bëhet Ax+D=0, që do të thotë se rrafshi me Oyz është paralel.
• Së gjashti, nëse A=C=0, atëherë ekuacioni do të marrë formën Ву+D=0, domethënë do të raportojë paralelizëm tek Oxz.

Lloji i ekuacionit në segmente

Në rastin kur numrat A, B, C, D janë të ndryshëm nga zero, forma e ekuacionit (0) mund të jetë si më poshtë:

x/a + y/b + z/c = 1,

në të cilat a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Ne marrim si rezultat Vlen të përmendet se ky aeroplan do të kryqëzojë boshtin Ox në një pikë me koordinata (a,0,0), Oy - (0,b,0) dhe Oz - (0,0,c. ).

Duke marrë parasysh ekuacionin x/a + y/b + z/c = 1, nuk është e vështirë të imagjinohet vizualisht vendosja e rrafshit në lidhje me një sistem të caktuar koordinativ.

Koordinatat normale vektoriale

Vektori normal n në planin P ka koordinata që janë koeficientë ekuacioni i përgjithshëm të një rrafshi të caktuar, pra n (A, B, C).

Për të përcaktuar koordinatat e normales n, mjafton të dihet ekuacioni i përgjithshëm i një rrafshi të caktuar.

Kur përdorni një ekuacion në segmente, i cili ka formën x/a + y/b + z/c = 1, si kur përdorni një ekuacion të përgjithshëm, mund të shkruani koordinatat e çdo vektori normal të një rrafshi të caktuar: (1/a + 1/b + 1/ Me).

Vlen të përmendet se vektori normal ndihmon në zgjidhjen e një sërë problemesh. Më të zakonshmet përfshijnë probleme që përfshijnë vërtetimin e pingulitetit ose paralelizmit të rrafsheve, problemet e gjetjes së këndeve midis planeve ose këndeve midis rrafsheve dhe drejtëzave.

Lloji i ekuacionit të planit sipas koordinatave të pikës dhe vektorit normal

Një vektor jozero n pingul me një plan të caktuar quhet normal për një plan të caktuar.

Le të supozojmë se në hapësirën koordinative (drejtkëndore sistemi i koordinatave) Oxyz i dhënë:

• pika Mₒ me koordinata (xₒ,yₒ,zₒ);
• vektori zero n=A*i+B*j+C*k.

Është e nevojshme të krijohet një ekuacion për një plan që do të kalojë nëpër pikën Mₒ pingul me normalen n.

Ne zgjedhim çdo pikë arbitrare në hapësirë ​​dhe e shënojmë atë M (x y, z). Le të jetë vektori i rrezes së çdo pike M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k, dhe vektori i rrezes së pikës Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Pika M do t'i përkasë një rrafshi të caktuar nëse vektori MₒM është pingul me vektorin n. Le të shkruajmë kushtin e ortogonalitetit duke përdorur produktin skalar:

[MₒM, n] = 0.

Meqenëse MₒM = r-rₒ, ekuacioni vektorial i rrafshit do të duket kështu:

Ky ekuacion mund të ketë një formë tjetër. Për ta bërë këtë, përdoren vetitë e produktit skalar, dhe transformimi është anën e majtë ekuacionet = - . Nëse e shënojmë si c, marrim ekuacioni i mëposhtëm

: - c = 0 ose = c, që shpreh qëndrueshmërinë e projeksioneve në vektorin normal të vektorëve të rrezes së pikave të dhëna që i përkasin rrafshit. Tani mund të merrni pamjen koordinative të rekordit ekuacioni vektorial

plani ynë = 0. Meqenëse r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, dhe n = A*i+B*j+C*k, ne ne kemi:

Rezulton se kemi një ekuacion për një plan që kalon nëpër një pikë pingul me normalen n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Lloji i ekuacionit të planit sipas koordinatave të dy pikave dhe një vektori kolinear me rrafshin

Le të përcaktojmë dy pika arbitrare M′ (x′,y′,z′) dhe M″ (x″,y″,z″), si dhe një vektor a (a′,a″,a‴). Tani mund të krijojmë një ekuacion për një plan të caktuar, i cili do të kalojë nëpër pikat ekzistuese M′ dhe M″, si dhe çdo pikë M me koordinata (x, y, z) paralelisht. vektor i dhënë

A.

Në këtë rast, vektorët M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) dhe M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) duhet të jenë të njëtrajtshëm me vektorin a=(a′,a″,a‴), që do të thotë se (M′M, M″M, a)=0.

Pra, ekuacioni ynë i planit në hapësirë ​​do të duket kështu:

Lloji i ekuacionit të një rrafshi që kryqëzon tre pika

Le të themi se kemi tri pika: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), të cilat nuk i përkasin të njëjtës drejtëz. Është e nevojshme të shkruhet ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tre pika të dhëna. Teoria e gjeometrisë pretendon se ky lloj rrafshi me të vërtetë ekziston, por është i vetmi dhe unik. Meqenëse ky plan pret pikën (x′,y′,z′), forma e ekuacionit të tij do të jetë si më poshtë:

Këtu A, B, C janë të ndryshme nga zero në të njëjtën kohë. Gjithashtu, rrafshi i dhënë pret edhe dy pika të tjera: (x″,y″,z″) dhe (x‴,y‴,z‴). Në këtë drejtim, duhet të plotësohen kushtet e mëposhtme: Tani mund të kompozojmë sistem homogjen

me të panjohura u, v, w: Në tonë rasti x,y ose z del jashtë pikë arbitrare

Ekuacioni (1) që kemi marrë është ekuacioni i rrafshit. Ai kalon në 3 pika saktësisht, dhe kjo është e lehtë për t'u kontrolluar. Për ta bërë këtë, ne duhet të zgjerojmë përcaktuesin tonë në elementët në rreshtin e parë. Nga vetitë ekzistuese të përcaktorit rrjedh se rrafshi ynë kryqëzon njëkohësisht tre pika të dhëna fillimisht (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Domethënë, ne e kemi zgjidhur detyrën që na është caktuar.

Këndi dihedral ndërmjet planeve

Një kënd dihedral përfaqëson një hapësinor figura gjeometrike, i formuar nga dy gjysmërrafshe që dalin nga një vijë e drejtë. Me fjalë të tjera, kjo është pjesa e hapësirës që kufizohet nga këto gjysmëplane.

Le të themi se kemi dy plane me ekuacionet e mëposhtme:

Ne e dimë se vektorët N=(A,B,C) dhe N1=(A1,B1,C1) janë pingul sipas aeroplanë të dhënë. Në këtë drejtim, këndi φ ndërmjet vektorëve N dhe N1 është i barabartë me këndin (dyhedral) që ndodhet midis këtyre rrafsheve. Produkt me pika ka formën:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

pikërisht sepse

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Mjafton të merret parasysh se 0≤φ≤π.

Në fakt, dy plane që kryqëzohen formojnë dy kënde (dyhedral): φ 1 dhe φ 2. Shuma e tyre është e barabartë me π (φ 1 + φ 2 = π). Sa i përket kosinuseve të tyre, vlerat e tyre absolute janë të barabarta, por ato ndryshojnë në shenjë, domethënë cos φ 1 = -cos φ 2. Nëse në ekuacionin (0) zëvendësojmë A, B dhe C me numrat përkatësisht -A, -B dhe -C, atëherë ekuacioni që marrim do të përcaktojë të njëjtin rrafsh, të vetmin, kënd φ në ekuacioni cosφ=NN 1 /|N||N 1 | do të zëvendësohet me π-φ.

Ekuacioni i një rrafshi pingul

Planet ndërmjet të cilave këndi është 90 gradë quhen pingul. Duke përdorur materialin e paraqitur më sipër, mund të gjejmë ekuacionin e një rrafshi pingul me një tjetër. Le të themi se kemi dy plane: Ax+By+Cz+D=0 dhe A¹x+B1y+C¹z+D=0. Mund të themi se do të jenë pingul nëse cosφ=0. Kjo do të thotë se NN1=AA¹+BB1+CC1=0.

Ekuacioni i rrafshit paralel

Dy plane që nuk përmbajnë pika të përbashkëta quhen paralele.

Kushti (ekuacionet e tyre janë të njëjta si në paragrafin e mëparshëm) është që vektorët N dhe N1, të cilët janë pingul me ta, të jenë kolinearë. Dhe kjo do të thotë se ato janë përmbushur kushtet e mëposhtme proporcionaliteti:

A/A1=B/B1=C/C1.

Nëse zgjaten kushtet e proporcionalitetit - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

kjo tregon se këto aeroplanë përkojnë. Kjo do të thotë se ekuacionet Ax+By+Cz+D=0 dhe A¹x+B1y+C1z+D1=0 përshkruajnë një rrafsh.

Distanca në aeroplan nga pika

Le të themi se kemi një plan P, i cili jepet me ekuacionin (0). Është e nevojshme të gjendet largësia deri në të nga një pikë me koordinata (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Për ta bërë këtë, duhet të sillni ekuacionin e planit P në formë normale:

(ρ,v)=р (р≥0).

NË në këtë rastρ (x,y,z) është vektori i rrezes së pikës sonë Q që ndodhet në P, p është gjatësia e pingulit P që u lirua nga pikë zero, v është vektori njësi, i cili ndodhet në drejtimin a.

Vektori i rrezes së ndryshimit ρ-ρº i një pike Q = (x, y, z) që i përket P, si dhe vektori i rrezes së një pike të caktuar Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) është një vektor i tillë, vlerë absolute projeksioni i të cilit mbi v është i barabartë me distancën d, e cila duhet të gjendet nga Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) në P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, por

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =ρ-(ρ 0 ,v).

Kështu rezulton

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Kështu do të gjejmë vlerë absolute shprehja që rezulton, domethënë d-ja e dëshiruar.

Duke përdorur gjuhën e parametrave, ne marrim qartë:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Nëse pikë e caktuar Q 0 është në anën tjetër të rrafshit P, si origjina e koordinatave, atëherë midis vektorit ρ-ρ 0 dhe v ndodhet pra:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Në rastin kur pika Q 0, së bashku me origjinën e koordinatave, ndodhet në të njëjtën anë të P, atëherë këndi i krijuar është akut, domethënë:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Si rezultat, rezulton se në rastin e parë (ρ 0 ,v)>р, në të dytin (ρ 0 ,v)<р.

Plani tangjent dhe ekuacioni i tij

Plani tangjent me sipërfaqen në pikën e kontaktit Mº është një rrafsh që përmban të gjitha tangjentet e mundshme me kthesat e tërhequra përmes kësaj pike në sipërfaqe.

Me këtë lloj ekuacioni sipërfaqësor F(x,y,z)=0, ekuacioni i planit tangjent në pikën tangjente Mº(xº,yº,zº) do të duket kështu:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Nëse e specifikoni sipërfaqen në formë të qartë z=f (x,y), atëherë plani tangjent do të përshkruhet nga ekuacioni:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Kryqëzimi i dy planeve

Në sistemin koordinativ (drejtkëndor) ndodhet Oxyz, jepen dy rrafshe П′ dhe П″, të cilët kryqëzohen dhe nuk përkojnë. Meqenëse çdo rrafsh i vendosur në një sistem koordinativ drejtkëndor përcaktohet nga një ekuacion i përgjithshëm, do të supozojmë se P′ dhe P″ jepen nga ekuacionet A′x+B′y+C′z+D′=0 dhe A″x +B″y+ С″z+D″=0. Në këtë rast, kemi n' (A',B',C') normale të planit P' dhe n' normale (A″,B″,C″) të planit P″. Meqenëse planet tona nuk janë paralele dhe nuk përkojnë, këta vektorë nuk janë kolinearë. Duke përdorur gjuhën e matematikës, mund ta shkruajmë këtë kusht si më poshtë: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Vija e drejtë që shtrihet në kryqëzimin e P′ dhe P″ le të shënohet me shkronjën a, në këtë rast a = P′ ∩ P″.

a është një vijë e drejtë që përbëhet nga bashkësia e të gjitha pikave të planeve (të përbashkëta) P′ dhe P″. Kjo do të thotë që koordinatat e çdo pike që i përket drejtëzës a duhet të plotësojnë njëkohësisht ekuacionet A′x+B′y+C′z+D′=0 dhe A″x+B″y+C″z+D″=0 . Kjo do të thotë që koordinatat e pikës do të jenë një zgjidhje e pjesshme e sistemit të mëposhtëm të ekuacioneve:

Si rezultat, rezulton se zgjidhja (e përgjithshme) e këtij sistemi ekuacionesh do të përcaktojë koordinatat e secilës prej pikave të drejtëzës, e cila do të veprojë si pika e kryqëzimit të P′ dhe P″ dhe do të përcaktojë vijën e drejtë. a në sistemin koordinativ Oxyz (drejtkëndor) në hapësirë.

Në këtë mësim do të shikojmë se si të përdorim përcaktorin për të krijuar ekuacioni i rrafshët. Nëse nuk e dini se çfarë është një përcaktues, shkoni te pjesa e parë e mësimit - "Matricat dhe përcaktuesit". Përndryshe, rrezikoni të mos kuptoni asgjë në materialin e sotëm.

Ekuacioni i një rrafshi që përdor tre pika

Pse na duhet fare një ekuacion i rrafshët? Është e thjeshtë: duke e ditur atë, ne mund të llogarisim lehtësisht këndet, distancat dhe gërmadhat e tjera në problemin C2. Në përgjithësi, nuk mund të bëni pa këtë ekuacion. Prandaj, ne formulojmë problemin:

Detyrë. Tre pika janë dhënë në hapësirë ​​që nuk shtrihen në të njëjtën linjë. Koordinatat e tyre:

M = (x1, y1, z1);
N = (x2, y2, z2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Duhet të krijoni një ekuacion për aeroplanin që kalon nëpër këto tre pika. Për më tepër, ekuacioni duhet të duket si ky:

Ax + By + Cz + D = 0

ku numrat A, B, C dhe D janë koeficientët që, në fakt, duhet të gjenden.

Epo, si të merret ekuacioni i një rrafshi nëse dihen vetëm koordinatat e pikave? Mënyra më e lehtë është të zëvendësoni koordinatat në ekuacionin Ax + By + Cz + D = 0. Ju merrni një sistem prej tre ekuacionesh që mund të zgjidhen lehtësisht.

Shumë studentë e shohin këtë zgjidhje jashtëzakonisht të lodhshme dhe jo të besueshme. Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë të vitit të kaluar tregoi se gjasat për të bërë një gabim llogaritës janë vërtet të larta.

Prandaj, mësuesit më të avancuar filluan të kërkonin zgjidhje më të thjeshta dhe më elegante. Dhe ata e gjetën atë! Vërtetë, teknika e marrë më tepër lidhet me matematikën më të lartë. Personalisht, më është dashur të gërmoj nëpër të gjithë Listën Federale të Teksteve për t'u siguruar që ne kemi të drejtën ta përdorim këtë teknikë pa asnjë justifikim apo provë.

Ekuacioni i një rrafshi përmes një përcaktori

Mjaft me tekstet e këngës, le t'i drejtohemi punës. Për të filluar, një teoremë rreth asaj se si përcaktuesi i një matrice dhe ekuacioni i planit janë të lidhura.

Teorema. Le të jepen koordinatat e tri pikave nëpër të cilat duhet të vizatohet rrafshi: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x2, y2, z2); K = (x 3, y 3, z 3). Atëherë ekuacioni i këtij rrafshi mund të shkruhet përmes përcaktorit:

Si shembull, le të përpiqemi të gjejmë një palë planesh që ndodhin në të vërtetë në problemet C2. Shikoni sa shpejt llogaritet gjithçka:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Ne hartojmë një përcaktor dhe e barazojmë me zero:

Zgjerojmë përcaktorin:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Siç mund ta shihni, gjatë llogaritjes së numrit d, e "krehja" pak ekuacionin në mënyrë që variablat x, y dhe z të ishin në sekuencën e duhur. Kjo është ajo! Ekuacioni i aeroplanit është gati!

Detyrë. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër pika:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Ne zëvendësojmë menjëherë koordinatat e pikave në përcaktorin:

Ne e zgjerojmë përsëri përcaktorin:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Pra, ekuacioni i aeroplanit fitohet përsëri! Përsëri, në hapin e fundit na u desh të ndryshonim shenjat në të për të marrë një formulë më "të bukur". Nuk është aspak e nevojshme ta bëni këtë në këtë zgjidhje, por megjithatë rekomandohet - të thjeshtoni zgjidhjen e mëtejshme të problemit.

Siç mund ta shihni, kompozimi i ekuacionit të një aeroplani tani është shumë më i lehtë. Ne i zëvendësojmë pikat në matricë, llogarisim përcaktorin - dhe kjo është ajo, ekuacioni është gati.

Kjo mund të përfundojë mësimin. Megjithatë, shumë studentë harrojnë vazhdimisht atë që është brenda përcaktorit. Për shembull, cila rresht përmban x 2 ose x 3, dhe cila rresht përmban vetëm x. Për ta hequr këtë nga rruga, le të shohim se nga vjen secili numër.

Nga vjen formula me përcaktorin?

Pra, le të kuptojmë se nga vjen një ekuacion kaq i ashpër me një përcaktues. Kjo do t'ju ndihmojë ta mbani mend atë dhe ta zbatoni me sukses.

Të gjithë rrafshet që paraqiten në problemin C2 përcaktohen nga tre pika. Këto pika shënohen gjithmonë në vizatim, ose madje tregohen drejtpërdrejt në tekstin e problemit. Në çdo rast, për të krijuar një ekuacion do të duhet të shkruajmë koordinatat e tyre:

M = (x1, y1, z1);
N = (x2, y2, z2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Le të shqyrtojmë një pikë tjetër në aeroplanin tonë me koordinata arbitrare:

T = (x, y, z)

Merrni çdo pikë nga tre të parat (për shembull, pika M) dhe vizatoni vektorë prej saj në secilën nga tre pikat e mbetura. Ne marrim tre vektorë:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1, y − y 1, z − z 1 ).

Tani le të përpilojmë një matricë katrore nga këta vektorë dhe të barazojmë përcaktuesin e saj me zero. Koordinatat e vektorëve do të bëhen rreshta të matricës - dhe do të marrim vetë përcaktuesin që tregohet në teoremë:

Kjo formulë do të thotë që vëllimi i një paralelipipedi të ndërtuar mbi vektorët MN, MK dhe MT është i barabartë me zero. Prandaj, të tre vektorët shtrihen në të njëjtin plan. Në veçanti, një pikë arbitrare T = (x, y, z) është pikërisht ajo që ne po kërkonim.

Zëvendësimi i pikave dhe vijave të një përcaktori

Përcaktuesit kanë disa veti të shkëlqyera që e bëjnë edhe më të lehtë zgjidhja e problemit C2. Për shembull, për ne nuk ka rëndësi se nga cila pikë i tërheqim vektorët. Prandaj, përcaktuesit e mëposhtëm japin të njëjtin ekuacion të rrafshët si ai i mësipërm:

Ju gjithashtu mund të ndërroni rreshtat e përcaktorit. Ekuacioni do të mbetet i pandryshuar. Për shembull, shumë njerëzve u pëlqen të shkruajnë një rresht me koordinatat e pikës T = (x; y; z) në krye. Ju lutemi, nëse është e përshtatshme për ju:

Disa njerëz janë të hutuar se në një nga rreshtat ka variabla x, y dhe z, të cilat nuk zhduken kur zëvendësojnë pikat. Por ato nuk duhet të zhduken! Duke zëvendësuar numrat në përcaktor, duhet të merrni këtë ndërtim:

Pastaj përcaktori zgjerohet sipas diagramit të dhënë në fillim të mësimit dhe fitohet ekuacioni standard i rrafshit:

Ax + By + Cz + D = 0

Hidhini një sy një shembulli. Është i fundit në mësimin e sotëm. Do të ndërroj qëllimisht linjat për t'u siguruar që përgjigja do të japë të njëjtin ekuacion të aeroplanit.

Detyrë. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër pika:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Pra, ne konsiderojmë 4 pika:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Së pari, le të krijojmë një përcaktues standard dhe ta barazojmë me zero:

Zgjerojmë përcaktorin:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Kjo është ajo, ne morëm përgjigjen: x + y + z − 2 = 0.

Tani le të riorganizojmë disa rreshta në përcaktor dhe të shohim se çfarë ndodh. Për shembull, le të shkruajmë një rresht me variablat x, y, z jo në fund, por në krye:

Ne zgjerojmë përsëri përcaktuesin që rezulton:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Ne morëm saktësisht të njëjtin ekuacion të planit: x + y + z − 2 = 0. Kjo do të thotë se në të vërtetë nuk varet nga rendi i rreshtave. Mbetet vetëm të shkruajmë përgjigjen.

Pra, jemi të bindur se ekuacioni i rrafshit nuk varet nga sekuenca e vijave. Mund të bëjmë llogaritje të ngjashme dhe të vërtetojmë se ekuacioni i rrafshit nuk varet nga pika, koordinatat e së cilës i zbresim nga pikat e tjera.

Në problemin e konsideruar më sipër, ne përdorëm pikën B 1 = (1, 0, 1), por ishte mjaft e mundur të merrej C = (1, 1, 0) ose D 1 = (0, 1, 1). Në përgjithësi, çdo pikë me koordinata të njohura që shtrihet në planin e dëshiruar.

13.Këndi ndërmjet planeve, distanca nga një pikë në një plan.

Le të priten rrafshet α dhe β përgjatë një drejtëze c.
Këndi ndërmjet rrafsheve është këndi ndërmjet pinguleve me vijën e kryqëzimit të tyre të tërhequr në këto rrafshe.

Me fjalë të tjera, në rrafshin α ne vizatuam një drejtëz pingul me c. Në rrafshin β - drejtëza b, gjithashtu pingul me c. Këndi ndërmjet rrafsheve α dhe β është i barabartë me këndin ndërmjet drejtëzave a dhe b.

Vini re se kur dy plane kryqëzohen, në të vërtetë formohen katër kënde. I shihni në foto? Si kënd midis planeve që marrim pikante qoshe.

Nëse këndi ndërmjet avionëve është 90 gradë, atëherë aeroplanët pingul,

Ky është përkufizimi i pingulitetit të planeve. Gjatë zgjidhjes së problemeve në stereometri, ne gjithashtu përdorim shenja e pingulitetit të planeve:

Nëse rrafshi α kalon nëpër pingul me planin β, atëherë rrafshit α dhe β janë pingul..

distanca nga pika në aeroplan

Konsideroni pikën T, të përcaktuar nga koordinatat e saj:

T = (x 0 , y 0 , z 0)

Konsideroni gjithashtu rrafshin α, të dhënë nga ekuacioni:

Ax + By + Cz + D = 0

Pastaj distanca L nga pika T në rrafshin α mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Me fjalë të tjera, ne i zëvendësojmë koordinatat e pikës në ekuacionin e rrafshit, dhe më pas e ndajmë këtë ekuacion me gjatësinë e vektorit normal n në plan:

Numri që rezulton është distanca. Le të shohim se si funksionon kjo teoremë në praktikë.

Ne kemi nxjerrë tashmë ekuacionet parametrike të një drejtëze në një rrafsh, le të marrim ekuacionet parametrike të një vije të drejtë, e cila përcaktohet në një sistem koordinativ drejtkëndor në hapësirën tredimensionale.

Le të fiksohet një sistem koordinativ drejtkëndor në hapësirën tredimensionale Oxyz. Le të përcaktojmë një vijë të drejtë në të a(shih seksionin mbi metodat për përcaktimin e një linje në hapësirë), duke treguar vektorin e drejtimit të vijës dhe koordinatat e një pike në vijë . Nga këto të dhëna do të nisemi gjatë hartimit të ekuacioneve parametrike të një vije të drejtë në hapësirë.

Le të jetë një pikë arbitrare në hapësirën tre-dimensionale. Nëse zbresim nga koordinatat e pikës M koordinatat e pikave përkatëse M 1, atëherë do të marrim koordinatat e vektorit (shiko artikullin për gjetjen e koordinatave të një vektori nga koordinatat e pikave të fundit dhe fillimit të tij), d.m.th. .

Natyrisht, grupi i pikave përcakton një vijë A nëse dhe vetëm nëse vektorët dhe janë kolinear.

Le të shkruajmë kushtin e nevojshëm dhe të mjaftueshëm për kolinearitetin e vektorëve Dhe : , ku është një numër real. Ekuacioni që rezulton quhet ekuacioni vektor-parametrik i drejtëzës në një sistem koordinativ drejtkëndor Oxyz në hapësirën tredimensionale. Ekuacioni vektor-parametrik i drejtëzës në formë koordinative ka formën dhe përfaqëson ekuacionet parametrike të drejtëzës a. Emri "parametrik" nuk është i rastësishëm, pasi koordinatat e të gjitha pikave në linjë specifikohen duke përdorur parametrin.

Le të japim një shembull të ekuacioneve parametrike të një vije të drejtë në një sistem koordinativ drejtkëndor Oxyz në hapësirë: . Këtu

15.Këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit. Pika e prerjes së drejtëzës me rrafshin.

Çdo ekuacion i shkallës së parë në lidhje me koordinatat x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

përcakton një rrafsh, dhe anasjelltas: çdo rrafsh mund të përfaqësohet me ekuacionin (3.1), i cili quhet ekuacioni i rrafshët.

Vektor n(A, B, C) ortogonal me rrafshin quhet vektor normal aeroplan. Në ekuacionin (3.1), koeficientët A, B, C nuk janë të barabartë me 0 në të njëjtën kohë.

Raste të veçanta të ekuacionit (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - rrafshi kalon nga origjina.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - rrafshi është paralel me boshtin Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - aeroplani kalon nëpër boshtin Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - rrafshi është paralel me rrafshin Oyz.

Ekuacionet e planeve koordinative: x = 0, y = 0, z = 0.

Një vijë e drejtë në hapësirë ​​mund të specifikohet:

1) si vijë kryqëzimi i dy rrafsheve, d.m.th. sistemi i ekuacioneve:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) me dy pikat e tij M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe M 2 (x 2, y 2, z 2), atëherë vija e drejtë që kalon nëpër to jepet nga ekuacionet:

3) pika M 1 (x 1, y 1, z 1) që i përket asaj dhe vektori a(m, n, p), kolinear me të. Pastaj vija e drejtë përcaktohet nga ekuacionet:

. (3.4)

Quhen ekuacionet (3.4). ekuacionet kanonike të drejtëzës.

Vektor a thirrur vektori i drejtimit drejt.

Ne marrim ekuacionet parametrike të një drejtëze duke barazuar secilën nga relacionet (3.4) me parametrin t:

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

Zgjidhja e sistemit (3.2) si sistem ekuacionesh lineare për të panjohurat x Dhe y, arrijmë te ekuacionet e drejtëzës në projeksionet ose te ekuacionet e dhëna të drejtëzës:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Nga ekuacionet (3.6) mund të kalojmë në ekuacionet kanonike, duke gjetur z nga çdo ekuacion dhe duke barazuar vlerat që rezultojnë:

.

Nga ekuacionet e përgjithshme (3.2) mund të shkoni te ato kanonike në një mënyrë tjetër, nëse gjeni ndonjë pikë në këtë vijë dhe vektorin e drejtimit të saj n= [n 1 , n 2], ku n 1 (A 1, B 1, C 1) dhe n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - vektorë normalë të planeve të dhëna. Nëse një nga emëruesit m, n ose r në barazimet (3.4) rezulton të jetë i barabartë me zero, atëherë numëruesi i thyesës përkatëse duhet të vendoset i barabartë me zero, d.m.th. sistemi

është e barabartë me sistemin ; një drejtëz e tillë është pingul me boshtin Ox.

Sistemi është ekuivalente me sistemin x = x 1, y = y 1; vija e drejtë është paralele me boshtin Oz.

Shembulli 1.15. Hartoni një ekuacion për rrafshin, duke ditur se pika A(1,-1,3) shërben si bazë e një pingule të tërhequr nga origjina në këtë rrafsh.

Zgjidhje. Sipas kushteve problemore, vektori OA(1,-1,3) është një vektor normal i rrafshit, atëherë ekuacioni i tij mund të shkruhet si
x-y+3z+D=0. Duke zëvendësuar koordinatat e pikës A(1,-1,3) që i përkasin rrafshit, gjejmë D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Pra x-y+3z-11=0.

Shembulli 1.16. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër boshtin Oz dhe që formon një kënd 60° me rrafshin 2x+y-z-7=0.

Zgjidhje. Plani që kalon nëpër boshtin Oz jepet me ekuacionin Ax+By=0, ku A dhe B nuk zhduken njëkohësisht. Le të mos B
barazohet me 0, A/Bx+y=0. Përdorimi i formulës së kosinusit për këndin ndërmjet dy rrafsheve

.

Duke zgjidhur ekuacionin kuadratik 3m 2 + 8m - 3 = 0, gjejme rrenjet e tij
m 1 = 1/3, m 2 = -3, nga ku marrim dy plane 1/3x+y = 0 dhe -3x+y = 0.

Shembulli 1.17. Hartoni ekuacionet kanonike të drejtëzës:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Zgjidhje. Ekuacionet kanonike të drejtëzës kanë formën:

Ku m, n, fq- koordinatat e vektorit drejtues të drejtëzës, x 1, y 1, z 1- koordinatat e çdo pike që i përket një drejtëze. Një vijë e drejtë përcaktohet si vija e kryqëzimit të dy rrafsheve. Për të gjetur një pikë që i përket një drejtëze, njëra nga koordinatat fiksohet (mënyra më e lehtë është të vendosësh, për shembull, x=0) dhe sistemi që rezulton zgjidhet si një sistem ekuacionesh lineare me dy të panjohura. Pra, le të jetë x=0, atëherë y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, pra y=-1, z=1. Gjetëm koordinatat e pikës M(x 1, y 1, z 1) që i përkasin kësaj drejtëze: M (0,-1,1). Vektori i drejtimit të një vije të drejtë është i lehtë për t'u gjetur, duke ditur vektorët normalë të planeve origjinale n 1 (5,1,1) dhe n 2 (2,3,-2). Pastaj

Ekuacionet kanonike të drejtëzës kanë formën: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Shembulli 1.18. Në rrezen e përcaktuar nga rrafshet 2x-y+5z-3=0 dhe x+y+2z+1=0 gjeni dy rrafshe pingul, njëri prej të cilëve kalon në pikën M(1,0,1).

Zgjidhje. Ekuacioni i rrezes i përcaktuar nga këto plane ka formën u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, ku u dhe v nuk zhduken njëkohësisht. Le të rishkruajmë ekuacionin e rrezes si më poshtë:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

Për të zgjedhur një plan nga rreze që kalon në pikën M, ne i zëvendësojmë koordinatat e pikës M në ekuacionin e rrezes. Ne marrim:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, ose v = - u.

Pastaj gjejmë ekuacionin e rrafshit që përmban M duke zëvendësuar v = - u në ekuacionin e rrezes:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Sepse u¹0 (përndryshe v=0, dhe kjo bie ndesh me përkufizimin e një rreze), atëherë kemi ekuacionin e rrafshit x-2y+3z-4=0. Rrafshi i dytë që i përket rrezes duhet të jetë pingul me të. Le të shkruajmë kushtin për ortogonalitetin e planeve:

(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, ose v = - 19/5u.

Kjo do të thotë se ekuacioni i planit të dytë ka formën:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 ose 9x +24y + 13z + 34 = 0