Një funksion racional është një pjesë e formës , numëruesi dhe emëruesi i së cilës janë polinome ose produkte të polinomeve.

Shembulli 1. Hapi 2.

.

Ne i shumëzojmë koeficientët e pacaktuar me polinome që nuk janë në këtë fraksion individual, por që janë në thyesat e tjera që rezultojnë:

Hapim kllapat dhe barazojmë numëruesin e integrandit origjinal me shprehjen që rezulton:

Në të dy anët e barazisë, ne kërkojmë terma me të njëjtat fuqi të x dhe krijojmë një sistem ekuacionesh prej tyre:

.

Ne anulojmë të gjitha X-të dhe marrim sistem ekuivalent ekuacionet:

.

Kështu, zgjerimi përfundimtar i integrandit në shumë thyesat e thjeshta:

.

Shembulli 2. Hapi 2. Në hapin 1, kemi marrë zbërthimin e mëposhtëm të fraksionit origjinal në shumën e thyesave të thjeshta me koeficientë të pacaktuar në numërues:

.

Tani fillojmë të kërkojmë koeficientë të pasigurt. Për ta bërë këtë, ne e barazojmë numëruesin e fraksionit origjinal në shprehjen e funksionit me numëruesin e shprehjes së marrë pas reduktimit të shumës së thyesave në një emërues të përbashkët:

Tani ju duhet të krijoni dhe zgjidhni një sistem ekuacionesh. Për ta bërë këtë, ne barazojmë koeficientët e ndryshores në shkallën përkatëse në numëruesin e shprehjes origjinale të funksionit dhe koeficientët e ngjashëm në shprehjen e marrë në hapin e mëparshëm:

Ne zgjidhim sistemin që rezulton:

Pra, nga këtu

.

Shembulli 3. Hapi 2. Në hapin 1, kemi marrë zbërthimin e mëposhtëm të fraksionit origjinal në shumën e thyesave të thjeshta me koeficientë të pacaktuar në numërues:

Fillojmë të kërkojmë koeficientë të pasigurt. Për ta bërë këtë, ne e barazojmë numëruesin e fraksionit origjinal në shprehjen e funksionit me numëruesin e shprehjes së marrë pas reduktimit të shumës së thyesave në një emërues të përbashkët:

Si në shembujt e mëparshëm, ne përpilojmë një sistem ekuacionesh:

Ne zvogëlojmë x-të dhe marrim një sistem ekuivalent ekuacionesh:

Zgjidhjen e sistemit, ne marrim vlerat e mëposhtme koeficientët e pasigurt:

Ne marrim zbërthimin përfundimtar të integrandit në shumën e thyesave të thjeshta:

.

Shembulli 4. Hapi 2. Në hapin 1, kemi marrë zbërthimin e mëposhtëm të fraksionit origjinal në shumën e thyesave të thjeshta me koeficientë të pacaktuar në numërues:

.

Ne tashmë e dimë nga shembujt e mëparshëm se si të barazojmë numëruesin e thyesës origjinale me shprehjen në numëruesin e marrë pas zbërthimit të thyesës në shumën e thyesave të thjeshta dhe sjelljes së kësaj shume në një emërues të përbashkët. Prandaj, vetëm për qëllime kontrolli, ne paraqesim sistemin rezultues të ekuacioneve:

Duke zgjidhur sistemin, marrim vlerat e mëposhtme të koeficientëve të pasigurt:

Ne marrim zbërthimin përfundimtar të integrandit në shumën e thyesave të thjeshta:

Shembulli 5. Hapi 2. Në hapin 1, kemi marrë zbërthimin e mëposhtëm të fraksionit origjinal në shumën e thyesave të thjeshta me koeficientë të pacaktuar në numërues:

.

Ne e reduktojmë në mënyrë të pavarur këtë shumë në një emërues të përbashkët, duke e barazuar numëruesin e kësaj shprehjeje me numëruesin e thyesës origjinale. Rezultati duhet të jetë sistemin e ardhshëm ekuacionet:

Duke zgjidhur sistemin, marrim vlerat e mëposhtme të koeficientëve të pasigurt:

.

Ne marrim zbërthimin përfundimtar të integrandit në shumën e thyesave të thjeshta:

.

Shembulli 6. Hapi 2. Në hapin 1, kemi marrë zbërthimin e mëposhtëm të fraksionit origjinal në shumën e thyesave të thjeshta me koeficientë të pacaktuar në numërues:

Ne kryejmë të njëjtat veprime me këtë shumë si në shembujt e mëparshëm. Rezultati duhet të jetë sistemi i mëposhtëm i ekuacioneve:

Duke zgjidhur sistemin, marrim vlerat e mëposhtme të koeficientëve të pasigurt:

.

Ne marrim zbërthimin përfundimtar të integrandit në shumën e thyesave të thjeshta:

.

Shembulli 7. Hapi 2. Në hapin 1, kemi marrë zbërthimin e mëposhtëm të fraksionit origjinal në shumën e thyesave të thjeshta me koeficientë të pacaktuar në numërues:

.

Pas veprimeve të caktuara me shumën që rezulton, duhet të merret sistemi i mëposhtëm i ekuacioneve:

Duke zgjidhur sistemin, marrim vlerat e mëposhtme të koeficientëve të pasigurt:

Ne marrim zbërthimin përfundimtar të integrandit në shumën e thyesave të thjeshta:

.

Shembulli 8. Hapi 2. Në hapin 1, kemi marrë zbërthimin e mëposhtëm të fraksionit origjinal në shumën e thyesave të thjeshta me koeficientë të pacaktuar në numërues:

.

Le të bëjmë disa ndryshime në veprimet që tashmë janë sjellë në automatik për të marrë një sistem ekuacionesh. Ekziston një teknikë artificiale që në disa raste ndihmon për të shmangur llogaritjet e panevojshme. Duke sjellë shumën e thyesave në një emërues të përbashkët, marrim dhe duke barazuar numëruesin e kësaj shprehje me numëruesin e thyesës origjinale, marrim.

MINISTRIA E SHKENCËS DHE ARSIMIT E REPUBLIKËS SË BASHKORTOS STAN

SAOU SPO Bashkir Kolegji i Arkitekturës dhe Inxhinierisë Civile

Khaliullin Askhat Adelzyanovich,

mësues matematike në Bashkirsky

Kolegji i Arkitekturës dhe Inxhinierisë së Ndërtimit

UFA

2014

Hyrje _________________________________________________3

Kapitulli I. Aspekte teorike duke përdorur metodën koeficientët e pasigurt ______________________________________________4

Kapitulli II. Kërkon zgjidhje të problemeve me polinome duke përdorur metodën e koeficientëve të pacaktuar_________________________________7

2.1. Faktorizimi i një polinomi_____________________ 7

2.2. Probleme me parametrat________________________________ 10

2.3. Zgjidhja e ekuacioneve________________________________________________14

2.4. Ekuacionet funksionale________________________________19

Përfundim________________________________________________23

Lista e literaturës së përdorur________________________________________________24

Aplikacion ________________________________________________25

Prezantimi.

kjo pune i kushtohet aspekteve teorike dhe praktike të futjes së metodës së koeficientëve të pacaktuar në lëndën e matematikës shkollore. Rëndësia e kësaj teme përcaktohet nga rrethanat e mëposhtme.

Askush nuk do të argumentojë me faktin se matematika si shkencë nuk qëndron në një vend, ajo po evoluon vazhdimisht, shfaqen probleme të reja kompleksiteti i shtuar, e cila shpesh shkakton disa vështirësi pasi këto detyra zakonisht lidhen me kërkimin. Detyra të tilla në vitet e fundit ofroheshin në shkollë, rreth dhe republikane olimpiadat e matematikës, ato janë gjithashtu të disponueshme në Opsionet e Provimit të Unifikuar të Shtetit. Prandaj ishte e nevojshme metodë e veçantë, gjë që do të lejonte të paktën disa prej tyre të zgjidheshin më shpejt, me efikasitet dhe me kosto të përballueshme. Kjo vepër paraqet qartë përmbajtjen e metodës së koeficientëve të pacaktuar, e cila përdoret gjerësisht në një larmi fushash të matematikës, duke filluar nga pyetjet e përfshira në kursin e arsimit të përgjithshëm e deri te pjesët më të avancuara të saj. Veçanërisht, aplikimet e metodës së koeficientëve të pacaktuar në zgjidhjen e problemeve me parametra, ekuacione fraksionale racionale dhe funksionale janë veçanërisht interesante dhe efektive; ata mund të interesojnë lehtësisht këdo që është i interesuar në matematikë. objektivi kryesor i punës së propozuar dhe përzgjedhja e problemeve është të ofrojë mundësi të mjaftueshme për të përmirësuar dhe zhvilluar aftësinë për të gjetur zgjidhje të shkurtra dhe novatore.

Kjo vepër përbëhet nga dy kapituj. E para diskuton aspektet teorike të përdorimit

metoda e koeficientëve të pasigurt, dhe së dyti, aspektet praktike dhe metodologjike të përdorimit të tillë.

Shtojca e veprës përmban kushtet detyra specifike Për vendim i pavarur.

Kapitulli I . Aspektet teorike të përdorimit metoda e koeficientëve të pasigurt

“Njeriu ka lindur për të qenë mjeshtër,

sundimtar, mbret i natyrës, por mençuri,

me të cilën duhet të sundojë nuk i jepet

që nga lindja: fitohet duke mësuar"

N.I.Lobachevsky

ekzistojnë mënyra të ndryshme dhe metodat për zgjidhjen e problemeve, por një nga më të përshtatshmet, më efektive, origjinale, elegante dhe në të njëjtën kohë shumë e thjeshtë dhe e kuptueshme për të gjithë është metoda e koeficientëve të pacaktuar. Metoda e koeficientëve të papërcaktuar është një metodë që përdoret në matematikë për të gjetur koeficientët e shprehjeve, forma e të cilave dihet paraprakisht.

Para se të shqyrtojmë aplikimin e metodës së koeficientëve të pacaktuar për zgjidhjen e llojeve të ndryshme të problemeve, ne paraqesim një sërë informacionesh teorike.

Le të jepen

A n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ··· + a n-1 x + a n

B m (x ) = b 0 x m + b 1 x m -1 + b 2 x m -2 + ··· + b m-1 x + b m ,

polinomet relative X me ndonjë gjasë.

Teorema. Dy polinome në varësi të një dhe i njëjti argument janë identikisht të barabartë nëse dhe vetëm nësen = m dhe koeficientët e tyre përkatës janë të barabartëa 0 = b 0 , a 1 = b 1 , a 2 = b 2 ,··· , a n -1 = b m -1 , a n = b m Dhe T. d.

Natyrisht, polinomet e barabarta marrin për të gjitha vlerat X të njëjtat vlera. Në të kundërt, nëse vlerat e dy polinomeve janë të barabarta për të gjitha vlerat X, pastaj polinomet janë të barabartë, pra koeficientët e tyre në shkallë të barabarta X përputhen.

Prandaj, ideja e aplikimit të metodës së koeficientëve të pacaktuar për zgjidhjen e problemeve është si më poshtë.

Të dimë se si rezultat i disa shndërrimeve fitohet shprehja lloj i caktuar dhe vetëm koeficientët në këtë shprehje janë të panjohur. Pastaj këta koeficientë caktohen me shkronja dhe konsiderohen si të panjohur. Më pas ndërtohet një sistem ekuacionesh për të përcaktuar këto të panjohura.

Për shembull, në rastin e polinomeve, këto ekuacione bëhen nga kushti që koeficientët të jenë të barabartë për të njëjtat fuqi. X për dy polinome të barabarta.

Ne do të tregojmë atë që u tha më lart në vijim shembuj specifikë, dhe le të fillojmë me më të thjeshtat.

Kështu, për shembull, bazuar në konsideratat teorike, thyesa

mund të paraqitet si një shumë

, Ku a , b Dhe c - koeficientët që do të përcaktohen. Për t'i gjetur ato, ne barazojmë shprehjen e dytë me të parën:

=

dhe duke u çliruar nga emëruesi dhe duke mbledhur terma me të njëjtat fuqi në të majtë X, marrim:

(a + b + c )X 2 + ( b - c )x - a = 2X 2 – 5 X– 1

Meqenëse barazia e fundit duhet të jetë e vërtetë për të gjitha vlerat X, pastaj koeficientët në të njëjtat gradëX djathtas dhe majtas duhet të jenë të njëjta. Kështu, përftohen tre ekuacione për të përcaktuar tre koeficientët e panjohur:

a+b+c = 2

b - c = - 5

A= 1, prej nga a = 1 , b = - 2 , c = 3

Prandaj,

=
,

vlefshmëria e kësaj barazie është e lehtë të verifikohet drejtpërdrejt.

Supozoni se ju duhet gjithashtu të përfaqësoni një thyesë

si a + b
+ c
+ d
, Ku a , b , c Dhe d- e panjohur koeficientët racionalë. Ne e barazojmë shprehjen e dytë me të parën:

a + b
+ c
+ d
=
ose, duke hequr qafe emëruesin, duke hequr, ku është e mundur, faktorë racionalë nga nën shenjat e rrënjëve dhe duke sjellë anëtarë të ngjashëm në anën e majtë marrim:

(a- 2 b + 3 c ) + (- a+b +3 d )
+ (a+c - 2 d )
+

+ (b - c + d )
= 1 +
-
.

Por një barazi e tillë është e mundur vetëm në rastin kur termat racionalë të të dy pjesëve dhe koeficientët e të njëjtëve radikalë janë të barabartë. Kështu, fitohen katër ekuacione për gjetjen e koeficientëve të panjohur a , b , c Dhe d :

a- 2b+ 3c = 1

- a+b +3 d = 1

a+c - 2 d = - 1

b - c + d= 0, prej nga a = 0 ; b = - ; c = 0 ; d= , domethënë
= -
+
.

Kapitulli II. Kërkon zgjidhje të problemeve me polinome metoda e koeficientëve të pacaktuar.

“Asgjë nuk kontribuon në zotërimin e një lënde më mirë se

lloji i veprimit me të në situata të ndryshme »

Akademiku B.V. Gnedenko

2. 1. Faktorizimi i një polinomi.

Metodat për faktorizimin e polinomeve:

1) vendosja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave; 2) mënyra e grupimit; 3) aplikimi formulat bazë shumëzimi; 4) futja e termave ndihmës 5) transformimi paraprak i një polinomi të caktuar duke përdorur formula të caktuara; 6) zgjerimi duke gjetur rrënjët e një polinomi të caktuar; 7) mënyra e futjes së parametrit; 8)metoda e koeficientëve të papërcaktuar.

Problemi 1. Faktoroni polinomin në faktorë realë X 4 + X 2 + 1 .

Zgjidhje. Nuk ka rrënjë midis pjesëtuesve të termit të lirë të këtij polinomi. Nuk mund t'i gjejmë rrënjët e polinomit me mjete të tjera elementare. Prandaj, nuk është e mundur të kryhet zgjerimi i kërkuar duke gjetur fillimisht rrënjët e këtij polinomi. Mbetet të kërkohet një zgjidhje për problemin ose duke futur terma ndihmës ose me metodën e koeficientëve të papërcaktuar. Është e qartë se X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Trinomet kuadratike që rezultojnë nuk kanë rrënjë dhe për këtë arsye janë të pazbërthyeshëm në faktorë linearë realë.

Metoda e përshkruar është teknikisht e thjeshtë, por e vështirë për shkak të artificialitetit të saj. Në të vërtetë, është shumë e vështirë për të dalë me kushtet e kërkuara ndihmëse. Vetëm një hamendje na ndihmoi të gjenim këtë dekompozim. Por

ka më shumë metoda të besueshme zgjidhje për probleme të tilla.

Dikush mund të vazhdojë kështu: supozojmë se polinomi i dhënë zbërthehet në produkt

(X 2 + A X + b )(X 2 + c X + d )

dy trinome katrore me koeficientë të plotë.

Kështu, ne do ta kemi atë

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + A X + b )(X 2 + c X + d )

Mbetet për të përcaktuar koeficientëta , b , c Dhe d .

Duke shumëzuar polinomet në anën e djathtë të barazisë së fundit, marrim:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (a + c ) X 3 + (b + A c + d ) X 2 + (ad + p.e.s ) x + bd .

Por meqenëse kemi nevojë pjesa e djathtë kjo barazi është kthyer në të njëjtin polinom, i cili është në anën e majtë, ne kërkojmë përmbushjen kushtet e mëposhtme:

a + c = 0

b + A c + d = 1

ad + p.e.s = 0

bd = 1 .

Rezultati është një sistem prej katër ekuacionesh me katër të panjohuraa , b , c Dhe d . Është e lehtë të gjesh koeficientët nga ky sistema = 1 , b = 1 , c = -1 Dhe d = 1.

Tani problemi është zgjidhur plotësisht. Ne kemi:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Problemi 2. Faktoroni polinomin në faktorë realë X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

Zgjidhje. Le ta paraqesim këtë polinom në formë

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + A )(X 2 + bx + c), Ku a , b Dhe Me - koeficientët ende të pa përcaktuar. Meqenëse dy polinome janë identikisht të barabartë nëse dhe vetëm nëse koeficientët e fuqive të njëjtaX janë të barabarta, pra, duke barazuar koeficientët përkatësisht përX 2 , X dhe kushte falas, ne marrim sistemin tre ekuacione me tre të panjohura:

a+b= - 6

ab + c = 14

ac = - 15 .

Zgjidhja e këtij sistemi do të thjeshtohet shumë nëse marrim parasysh se numri 3 (pjesëtuesi i termit të lirë) është rrënja. ekuacioni i dhënë, dhe për këtë arsyea = - 3 ,

b = - 3 Dhe Me = 5 .

Pastaj X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 x + 5).

Metoda e aplikuar e koeficientëve të pacaktuar, në krahasim me metodën e mësipërme të futjes së termave ndihmës, nuk përmban asgjë artificiale, por kërkon përdorimin e shumë dispozitat teorike dhe shoqërohet me llogaritje mjaft të mëdha. Për polinomet më shumë shkallë të lartë Kjo metodë e koeficientëve të papërcaktuar çon në sisteme të rënda ekuacionesh.

2.2.Detyrat dhe me parametra.

Vitet e fundit, versionet e Provimit të Unifikuar të Shtetit kanë ofruar detyra me parametra. Zgjidhja e tyre shpesh shkakton vështirësi të caktuara. Kur zgjidhni probleme me parametra, së bashku me metodat e tjera, mund të përdorni në mënyrë mjaft efektive metodën e koeficientëve të pacaktuar. Pikërisht këtë metodë ju lejon të thjeshtoni shumë zgjidhjen e tyre dhe të merrni shpejt një përgjigje.

Detyra 3. Përcaktoni në cilat vlera të parametrit A ekuacioni 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 0 ka saktësisht dy rrënjë.

Zgjidhje. 1 mënyrë. Përdorimi i derivatit.

Le ta paraqesim këtë ekuacion në formën e dy funksioneve

2 x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – A .

f (x) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X– 3 dhe φ( X ) = – A .

Le të shqyrtojmë funksioninf (x) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 duke përdorur derivatin dhe të ndërtoni skematikisht grafikun e tij (Fig. 1.).

f( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). Funksioni nuk është as çift dhe as tek.

3. Le të gjejmë pikat kritike funksioni, intervalet e tij të rritjes dhe zvogëlimit, ekstreme. f / (x ) = 6 x 2 – 6 X – 36. D (f / ) = R , prandaj do të gjejmë të gjitha pikat kritike të funksionit duke zgjidhur ekuacionin f / (x ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = - 2 sipas teoremës, anasjellta e teoremës Vieta.

f / (x ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ maksimumi - min +

2 3 x

f / (x) > 0 për të gjithë X< – 2 dhe X > 3 dhe funksioni është i vazhdueshëm në pikax =– 2 dhe X = 3, pra, rritet në secilin nga intervalet (- ; - 2] dhe [3; ).

f / (x ) < 0 me - 2 < X< 3, pra, zvogëlohet në intervalin [- 2; 3 ].

X = - Pika e dytë maksimale, sepse në këtë pikë shenja e derivatit ndryshon nga"+" në "-".

f (– 2) = 2· (– 8) – 3·4 – 36·(– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 pikë minimale, pasi në këtë pikë ndryshon shenja e derivatit"-" në "+".

f (3) = 2·27 – 3·9 – 36·3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84.

Grafiku i funksionit φ(X ) = – A është një drejtëz paralele me boshtin x dhe që kalon nëpër pikën me koordinata (0; – A ). Grafikët kanë dy pikat e përbashkëta në -A= 41, d.m.th. a =- 41 dhe - A= – 84, d.m.th. A = 84 .

në

41φ( X)

2 3 X

3 f ( x ) = 2 x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3

Metoda 2. Metoda e koeficientëve të papërcaktuar.

Meqenëse, sipas kushteve të problemit, ky ekuacion duhet të ketë vetëm dy rrënjë, barazia është e qartë:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = (x + b ) 2 (2 x + c ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 p.e.s ) x + b 2 c ,

Tani duke barazuar koeficientët në të njëjtat gradë X, marrim një sistem ekuacionesh

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc = - 36

b 2 c = a – 3 .

Nga dy ekuacionet e para të sistemit gjejmëb 2 + b – 6 = 0, prej nga b 1 = - 3 ose b 2 = 2. Vlerat përkatëseMe 1 dhe Me 2 lehtë për t'u gjetur nga ekuacioni i parë i sistemit:Me 1 = 9 ose Me 2 = - 11 . Së fundi, vlera e dëshiruar e parametrit mund të përcaktohet nga ekuacioni i fundit i sistemit:

A = b 2 c + 3 , a 1 = - 41 ose a 2 = 84.

Përgjigje: ky ekuacion ka saktësisht dy të ndryshme

rrënjë në A= - 41 dhe A= 84 .

Problemi 4.Gjeni vlera më e lartë parametriA , për të cilën ekuacioniX 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0

me koeficientë të plotë ka tre rrënjë të ndryshme, njëra prej të cilave është e barabartë me – 2.

Zgjidhje. 1 mënyrë. Zëvendësimi X= - 2 V ana e majte ekuacionet, marrim

8 + 20 – 2 A + b= 0, që do të thotë b = 2 a – 12 .

Meqenëse numri - 2 është një rrënjë, ne mund ta nxjerrim shumëzues i përbashkët X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) – 6 x + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) + (a – 6)(x +2) - 2(a – 6)+ (2 a – 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 x + (a – 6) ) .

Sipas kushtit, ka edhe dy rrënjë të ekuacionit. Kjo do të thotë se diskriminuesi i faktorit të dytë është pozitiv.

D =3 2 - 4 (a – 6) = 33 – 4 a > 0, domethënë A < 8,25 .

Duket se përgjigja do të ishte a = 8 . Por kur zëvendësohet numri 8 në ekuacioni origjinal marrim:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 x + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

domethënë, ekuacioni ka vetëm dy rrënjë të ndryshme. Por kur a = 7 në fakt prodhon tre rrënjë të ndryshme.

Metoda 2. Metoda e koeficientëve të papërcaktuar.

Nëse ekuacioni X 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0 ka një rrënjë X = - 2, atëherë ju gjithmonë mund të merrni numratc Dhe d në mënyrë që para të gjithëveX barazia ishte e vërtetë

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = (X + 2)(X 2 + Me x + d ).

Për të gjetur numrac Dhe d Le të hapim kllapat në anën e djathtë, të shtojmë terma të ngjashëm dhe të marrim

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + (2 + Me ) X 2 +(2 s + d ) X + 2 d

Barazimi i koeficientëve në fuqitë përkatëse X ne kemi një sistem

2 + Me = 5

2 Me + d = a

2 d = b , ku c = 3 .

Prandaj, X 2 + 3 x + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 ose

d < 2.25, pra d (- ; 2 ].

Kushtet e problemit plotësohen nga vlera d = 1 . Vlera përfundimtare e dëshiruar e parametritA = 7.

PËRGJIGJE: kur a = 7 ky ekuacion ka tre rrënjë të ndryshme.

2.3. Zgjidhja e ekuacioneve.

“Mos harroni se duke zgjidhur probleme të vogla ju

përgatituni për të përballuar të mëdha dhe të vështira

detyra të reja.”

Akademik S.L. Sobolev

Kur zgjidhni disa ekuacione, mund dhe duhet të tregoni shkathtësi dhe zgjuarsi dhe të përdorni teknika të veçanta. Zotërimi i një sërë teknikash transformimi dhe aftësia për të kryer arsyetimin logjik ka një rëndësi të madhe në matematikë. Një nga këto truke është të shtoni dhe të zbrisni një shprehje ose numër të zgjedhur mirë. Vetë fakti i deklaruar, natyrisht, është i njohur për të gjithë - vështirësia kryesore është të shohësh në një konfigurim specifik ato transformime të ekuacioneve për të cilat është i përshtatshëm dhe i përshtatshëm për ta zbatuar atë.

Le ta ilustrojmë njërën duke përdorur një ekuacion të thjeshtë algjebrik teknikë jo standarde zgjidhjen e ekuacioneve.

Problemi 5. Zgjidhe ekuacionin

=
.

Zgjidhje. Le të shumëzojmë të dyja anët e këtij ekuacioni me 5 dhe ta rishkruajmë atë si më poshtë

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 ose
= 0

Le të zgjidhim ekuacionet që rezultojnë me metodën e koeficientëve të pacaktuar

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + ah + b )(x 2 + cx + d ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (a + c ) X 3 + (b + A c + d ) X 2 + (ad + p.e.s ) x+ + bd

Barazimi i koeficientëve në X 3 , X 2 , X dhe kushte falas, ne marrim sistemin

a + c = -1

b + A c + d = 0

ad + p.e.s = -7

bd = -3, nga ku gjejmë:A = -2 ; b = - 1 ;

Me = 1 ; d = 3 .

Kështu që X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X– 1 = 0 ose X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
pa rrënjë.

Në mënyrë të ngjashme kemi

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

ku X 2 + 2 X + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Përgjigje: X 1,2 =

Problemi 6. Zgjidheni ekuacionin

= 10.

Zgjidhje. Për të zgjidhur këtë ekuacion ju duhet të zgjidhni numratA Dhe b në mënyrë që numëruesit e të dy thyesave të jenë të njëjtë. Prandaj, ne kemi sistemin:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

Pra, detyra është të përputhen numratA Dhe b , për të cilat vlen barazia

(një + 6) X 2 + ah - 5 = X 2 + (5 + 2 b ) x + b

Tani, sipas teoremës për barazinë e polinomeve, është e nevojshme që ana e djathtë e kësaj barazie të kthehet në të njëjtin polinom që është në anën e majtë.

Me fjalë të tjera, marrëdhëniet duhet të jenë të kënaqura

një + 6 = 1

A = 5 + 2 b

– 5 = b , nga ku gjejmë vleratA = - 5 ;

b = - 5 .

Në këto vleraA Dhe b barazisë A + b = - 10 është gjithashtu e drejtë.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X– 5 = 0 ose X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

Përgjigje: X 1,2 =
, X 3,4 =

Problemi 7. Zgjidhe ekuacionin

= 4

Zgjidhje. Ky ekuacion është më kompleks se ai i mëparshmi dhe për këtë arsye do ta grupojmë në këtë mënyrë: X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

Nga kushti i barazisë së dy polinomeve

Oh 2 + (një + 6) X + 12 = X 2 + (b + 11) x – 3 b ,

marrim dhe zgjidhim një sistem ekuacionesh për koeficientë të panjohurA Dhe b :

A = 1

një + 6 = b + 11

12 = – 3 b , ku a = 1 , b = - 4 .

Polinome - 3 – 6X + cx 2 + 8 cx Dhe X 2 + 21 + 12 d – dx janë të barabartë me njëri-tjetrin në mënyrë identike vetëm kur

Me = 1

8 Me - 6 = - d

3 = 21 + 12 d , Me = 1 , d = - 2 .

Me vleraa = 1 , b = - 4 , Me = 1 , d = - 2

barazisë
= - 4 është e saktë.

Si rezultat, ky ekuacion merr formën e mëposhtme:

= 0 ose
= 0 ose
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Nga shembujt e shqyrtuar, është e qartë se si përdorimi i shkathët i metodës së koeficientëve të pacaktuar,

ndihmon për të thjeshtuar zgjidhjen e një ekuacioni mjaft kompleks, të pazakontë.

2.4. Ekuacionet funksionale.

« Takimi më i lartë matematika... përbëhet

është të gjesh rendin e fshehur në

kaosi që na rrethon"

N. Viner

Ekuacionet funksionale janë shumë klasë e përgjithshme ekuacionet në të cilat funksioni i kërkuar është një funksion i caktuar. Sipas ekuacionit funksional në në kuptimin e ngushtë fjalët kuptojnë ekuacionet në të cilat lidhen funksionet e kërkuara funksionet e njohura një ose më shumë ndryshore duke përdorur funksionin e formimit të një funksioni kompleks. Një ekuacion funksional mund të konsiderohet gjithashtu si një shprehje e një vetie që karakterizon një klasë të caktuar funksionesh

[për shembull, ekuacioni funksional f ( x ) = f (- x ) karakterizon klasën e funksioneve çift, ekuacionin funksionalf (x + 1) = f (x ) – klasa e funksioneve që kanë periudhën 1, etj.].

Një nga ekuacionet më të thjeshta funksionale është ekuacionif (x + y ) = f (x ) + f (y ). Zgjidhjet e vazhdueshme të këtij ekuacioni funksional kanë formën

f (x ) = Cx . Megjithatë, në klasë funksionet e ndërprera ky ekuacion funksional ka zgjidhje të tjera. Të lidhura me ekuacionin funksional të konsideruar janë

f (x + y ) = f (x ) · f (y ), f (x y ) = f (x ) + f (y ), f (x y ) = f (x )· f (y ),

zgjidhjet e vazhdueshme, të cilat përkatësisht kanë formën

e cx , MElnx , x α (x > 0).

Pra këto ekuacionet funksionale mund të përdoret për të përcaktuar funksionet eksponenciale, logaritmike dhe të fuqisë.

Më e përhapura përftohen ekuacione në funksione komplekse nga të cilat janë funksionet e jashtme të kërkuara. Teorike dhe aplikime praktike

ishin pikërisht këto ekuacione që nxitën matematikanë të shquar për studimin e tyre.

Për shembull, në radhitje

f 2 (x) = f (x - y)· f (x + y)

N.I.Lobachevskypërdoret gjatë përcaktimit të këndit të paralelizmit në gjeometrinë time.

Vitet e fundit, problemet që lidhen me zgjidhjen e ekuacioneve funksionale ofrohen mjaft shpesh në olimpiadat matematikore. Zgjidhja e tyre nuk kërkon njohuri përtej qëllimit të programit të matematikës Shkolla të mesme. Megjithatë, zgjidhja e ekuacioneve funksionale shpesh shkakton vështirësi të caktuara.

Një nga mënyrat për të gjetur zgjidhje për ekuacionet funksionale është metoda e koeficientëve të pacaktuar. Mund të përdoret kur pamjen mund të përcaktohen ekuacionet formë e përgjithshme funksionin e dëshiruar. Kjo vlen, para së gjithash, për ato raste kur zgjidhjet e ekuacioneve duhet të kërkohen midis numrave të plotë ose thyesave. funksionet racionale.

Le të përshkruajmë thelbin e kësaj teknike duke zgjidhur problemet e mëposhtme.

Detyra 8. Funksionif (x ) është përcaktuar për të gjithë x reale dhe kënaq për të gjithëX R gjendje

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

Gjejf (x ).

Zgjidhje. Meqenëse në anën e majtë të këtij ekuacioni mbi ndryshoren e pavarur x dhe vlerat e funksionitf ekzekutohen vetëm operacionet lineare, dhe ana e djathtë e ekuacionit është funksion kuadratik, atëherë është e natyrshme të supozohet se funksioni i dëshiruar është gjithashtu kuadratik:

f (X) = sëpatë 2 + bx + c , Kua, b, c – koeficientët që do të përcaktohen, pra koeficientët e pasigurt.

Duke zëvendësuar funksionin në ekuacion, arrijmë në identitetin:

3(sëpatë 2 + bx+c) – 2(a(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

sëpatë 2 + (5 b + 4 a) x + (c – 2 a – 2 b) = x 2 .

Dy polinome do të jenë identikisht të barabartë nëse janë të barabartë

koeficientët për të njëjtat fuqi të ndryshores:

a = 1

5b + 4a = 0

c– 2 a – 2 b = 0.

Nga ky sistem gjejmë koeficientët

a = 1 , b = - , c = , Gjithashtukënaqbarazisë

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 në një grup nga të gjitha numra realë. Në të njëjtën kohë, ka të tillax 0 Detyra 9. Funksioniy =f(x) për të gjitha x është i përcaktuar, i vazhdueshëm dhe plotëson kushtinf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . Gjeni dy funksione të tilla.

Zgjidhje. Në funksionin e dëshiruar kryhen dy veprime - operacioni i kompozimit të një funksioni kompleks dhe

zbritje. Duke marrë parasysh që ana e djathtë e ekuacionit është një funksion linear, është e natyrshme të supozohet se funksioni i dëshiruar është gjithashtu linear:f(x) = ah +b , KuA Dheb – koeficientët e pasigurt. Zëvendësimi i këtij funksioni nëf (f ( (x ) = - X - 1 ;

f 2 (x ) = 2 X+ , të cilat janë zgjidhje të ekuacionit funksionalf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

konkluzioni.

Si përfundim, duhet theksuar se kjo punë sigurisht që do të kontribuojë në studimin e mëtejshëm të origjinalit dhe metodë efektive zgjidhje për të ndryshme problemet matematikore, të cilat janë detyra vështirësi në rritje dhe kërkon një njohuri të thellë të lëndës shkollore në matematikë dhe një kulturë të lartë logjike Kushdo që dëshiron të thellojë në mënyrë të pavarur njohuritë e tij në matematikë do të gjejë në këtë punë edhe material për reflektim dhe. detyra interesante, zgjidhja e të cilave do të sjellë përfitim dhe kënaqësi.

Në punë brenda ekzistueses kurrikula shkollore dhe në një formë të aksesueshme për perceptim efektiv, paraqitet metoda e koeficientëve të pacaktuar, e cila ndihmon në thellimin e lëndës shkollore në matematikë.

Natyrisht, të gjitha mundësitë e metodës së koeficientëve të pacaktuar nuk mund të demonstrohen në një punë. Në fakt, metoda ende kërkon studim dhe hulumtim të mëtejshëm.

Lista e literaturës së përdorur.

Glazer G.I..Historia e matematikës në shkollë.-M.: Arsimi, 1983.

Gomonov S.A. Ekuacionet funksionale në kursi shkollor matematikë // Matematika në shkollë. – 2000. -№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.H.. Një manual për matematikën - M.: Nauka, 1972.

Kurosh A.G. Ekuacionet algjebrike të shkallëve arbitrare - M.: Nauka, 1983.

Likhtarnikov L.M.. Hyrje elementare në ekuacionet funksionale. - Shën Petersburg. : Lan, 1997.

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G.. Fjalor shpjegues i termave matematikore.-M.: Edukimi, 1971

Modenov V.P.. Një manual për matematikën. Pjesa 1.-M.: Universiteti Shtetëror i Moskës, 1977.

Modenov V.P.. Probleme me parametrat - M.: Provim, 2006.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I.. Algjebra dhe analiza e funksioneve elementare - M.: Nauka, 1980.

Khaliullin A.A.. Mund ta zgjidhni më lehtë // Matematikë në shkollë. – 2003 . - №8 .

Khaliullin.

4. Zgjero polinomin 2X 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 për shumëzuesit me koeficientë të plotë.

5. Me çfarë vlere A X 3 + 6X 2 + Oh+ 12 për X+ 4 ?

6. Në cilën vlerë të parametritA ekuacioninX 3 +5 X 2 + + Oh + b = 0 me koeficientë të plotë ka dy rrënjë të ndryshme, njëra prej të cilave është 1 ?

7. Ndër rrënjët e polinomit X 4 + X 3 – 18X 2 + Oh + b me koeficientë të plotë ka tre numra të plotë të barabartë. Gjeni vlerën b .

8. Gjeni vlerën e plotë më të madhe të parametrit A, në të cilin ekuacioni X 3 – 8X 2 + ah +b = 0 me koeficientë të plotë ka tre rrënjë të ndryshme, njëra prej të cilave është e barabartë me 2.

9. Në çfarë vlerash A Dhe b ndarja kryhet pa mbetje X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Oh + b në X 2 – 3X + 2 ?

10. Polinomet e faktorëve:

A)X 4 + 2 X 2 – X + 2 V)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 d)X 4 + 12X – 5

b)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 G)X 4 – 3X –2 e)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Zgjidh ekuacionet:

A)
= 2 = 2 f (1 – X ) = X 2 .

Gjej f (X) .

13. Funksioni në= f (X) para të gjithëve X të përcaktuara, të vazhdueshme dhe plotëson kushtin f ( f (X)) = f (X) + X. Gjeni dy funksione të tilla.

Metoda është e zbatueshme për minimizimin e funksioneve të algjebrës logjike të çdo numri variablash.

Le të shqyrtojmë rastin e tre variablave. Një funksion Boolean në DNF mund të përfaqësohet në formën e të gjitha llojeve të termave lidhës që mund të përfshihen në DNF:

ku kО(0,1) janë koeficientët. Metoda konsiston në zgjedhjen e koeficientëve në atë mënyrë që DNF që rezulton të jetë minimale.

Nëse tani vendosim të gjitha vlerat e mundshme të variablave nga 000 në 111, marrim 2 n (2 3 = 8) ekuacione për përcaktimin e koeficientëve k:

Duke marrë parasysh bashkësitë për të cilat funksioni merr vlerë zero, përcaktoni koeficientët që janë të barabartë me 0 dhe kryqëzojini ato nga ekuacionet, ana e djathtë e të cilave përmban 1. Nga koeficientët e mbetur në secilin ekuacion, një koeficient barazohet me një, i cili përcakton lidhja e rangut më të ulët. Koeficientët e mbetur janë të barabartë me 0. Pra, koeficientët njësi k përcaktoni formën e duhur minimale.

Shembull. Minimizo një funksion të caktuar

nëse dihen vlerat:
;
;
;
;
;
;
;
.

Zgjidhje.

Pasi kalojmë koeficientët zero, marrim:

=1;

=1;

=1;

=1.

Le të barazojmë koeficientin me unitetin , që korrespondon me lidhëzën e renditjes më të ulët dhe duke i kthyer katër ekuacionet e fundit në 1, dhe në ekuacionin e parë këshillohet të barazohet koeficienti me 1 . Koeficientët e mbetur vendosen në 0.

Përgjigju: lloji i funksionit të minimizuar.

Duhet theksuar se metoda e koeficientëve të pacaktuar është efektive kur numri i variablave është i vogël dhe nuk i kalon 5-6.

Kub shumëdimensional

Le të shqyrtojmë një paraqitje grafike të një funksioni në formën e një kubi shumëdimensional. Çdo majë n-kubi dimensional mund të vihet në përputhje me përbërësin e njësisë.

Nëngrupi i kulmeve të shënuara është një hartë në n-kubi dimensional i një funksioni Boolean nga n variablat në SDNF.

Për të shfaqur funksionin nga n variablat e paraqitur në çdo DNF, është e nevojshme të krijohet një korrespondencë midis minitermave dhe elementeve të tij n-kub dimensional.

Miniterm i rangut (n-1)-të
mund të konsiderohet si rezultat i ngjitjes së dy minitermave n- rangu i th, d.m.th.

=

Aktiv n-kubi dimensional që korrespondon me zëvendësimin e dy kulmeve që ndryshojnë vetëm në vlerat e koordinatave X i, duke i lidhur këto kulme me një skaj (një skaj thuhet se mbulon kulmet që bien me të).

Kështu, minitermat ( n Rendi -1) i korrespondon skajeve të një kubi n-dimensionale.

Në mënyrë të ngjashme, korrespondenca e minitermave ( n-2) fytyrat e rendit n-kub dimensional, secila prej të cilave mbulon katër kulme (dhe katër skaj).

Elementet n-kubi dimensional, i karakterizuar nga S quhen matje S- kube.

Pra, kulmet janë 0-kube, skajet janë 1-kube, faqet janë 2-kube, etj.

Për ta përmbledhur, mund të themi se termi minimal ( n-S) renditet në DNF për funksionin n variablat e shfaqura S-kubike, secili S-kubi mbulon të gjithë ata kube me dimension më të ulët që janë të lidhur vetëm me kulmet e tij.

Shembull. Në Fig. duke pasur parasysh hartografimin

Këtu janë minitermat
Dhe
korrespondojnë me 1 kube ( S=3-2=1), dhe miniterm X 3 shfaqet në 2 kube ( S=3-1=2).

Pra, çdo DNF është hartuar n-kubi dimensional në tërësi S-kube që mbulojnë të gjitha kulmet që u korrespondojnë njësive përbërëse (0-kub).

Përbërësit. Për variablat X 1 ,X 2 ,…X n shprehje
quhet përbërës i njësisë, dhe
- përbërësi i zeros ( do të thotë ose , ose ).

Ky përbërës i një (zero) kthehet në një (zero) vetëm me një grup përkatës vlerash të variablave, i cili fitohet nëse të gjitha ndryshoret merren të barabarta me një (zero), dhe mohimet e tyre të barabarta me zero (një).

Për shembull: njësia përbërëse
korrespondon me grupin (1011), dhe përbërësi është zero
- grup (1001).

Meqenëse SD(K)NF është një disjunksion (lidhëz) i përbërësve të një (zeros), mund të argumentohet se funksioni Boolean që ai përfaqëson f(x 1 , x 2 ,…, x n) kthehet në një (zero) vetëm për grupe vlerash të ndryshueshme x 1 , x 2 ,…, x n, që korrespondon me këto zëvendësues. Në grupe të tjera ky funksion kthehet në 0 (një).

Është e vërtetë edhe pohimi i kundërt, mbi të cilin bazohet mënyra e paraqitjes së çdo formule në formën e një formule Funksioni Boolean i specifikuar nga tabela.

Për ta bërë këtë, është e nevojshme të shkruani ndarje (lidhëza) të përbërësve të një (zero), që korrespondojnë me grupe vlerash të ndryshoreve në të cilat funksioni merr një vlerë të barabartë me një (zero).

Për shembull, një funksion i dhënë nga një tabelë

korrespondojnë

Shprehjet që rezultojnë mund të shndërrohen në një formë tjetër bazuar në vetitë e algjebrës së logjikës.

Deklarata e kundërt është gjithashtu e vërtetë: nëse ndonjë koleksion S-cubes mbulon grupin e të gjitha kulmeve që korrespondojnë me vlerat njësi të funksionit, pastaj ndarjen që korrespondon me këto S-kubet e minitermave është shprehja e këtij funksioni në DNF.

Ata thonë se një koleksion i tillë S-kubet (ose minitermat përkatëse të tyre) formon një mbulesë të funksionit. Dëshira për një formë minimale kuptohet intuitivisht si kërkimi i një mbulese të tillë, numri S-nga të cilat do të kishte më pak kube, dhe dimensionet e tyre S- më shumë. Mbulimi që korrespondon me formën minimale quhet mbulim minimal.

Për shembull, për funksionin në=
veshja korrespondon me një formë jo minimale:

orizi a) në=,

një shtresë mbi oriz b) në=
, oriz c) në=
minimale.

Oriz. Mbulimi i funksionit në=:

a) jo minimale; b), c) minimale.

Shfaqja e një funksioni aktiv n-matur qartë dhe thjesht me n3. Një kub katërdimensional mund të përshkruhet siç tregohet në Fig., i cili tregon funksionin e katër variablave dhe mbulimin minimal të tij që korrespondon me shprehjen në=

Përdorimi i kësaj metode kur n>4 kërkon formacione të tilla komplekse saqë humbet të gjitha avantazhet e saj.

Integrimi funksion racional thyesor.
Metoda e koeficientit të pasigurt

Ne vazhdojmë të punojmë për integrimin e thyesave. Ne kemi parë tashmë integrale të disa llojeve të thyesave në mësim, dhe ky mësim, në një farë kuptimi, mund të konsiderohet një vazhdim. Për të kuptuar me sukses materialin, kërkohen aftësi themelore të integrimit, kështu që nëse sapo keni filluar të studioni integrale, domethënë jeni fillestar, atëherë duhet të filloni me artikullin Integrali i pacaktuar. Shembuj zgjidhjesh.

Mjaft e çuditshme, tani do të angazhohemi jo aq shumë në gjetjen e integraleve, por... në zgjidhjen e sistemeve ekuacionet lineare. Ne kete aspekt urgjentisht Unë rekomandoj të ndiqni mësimin Domethënë, duhet të jeni të aftë për metodat e zëvendësimit (metoda "shkollë" dhe metodën e mbledhjes (zbritjes) term pas termi të ekuacioneve të sistemit).

Çfarë është një funksion racional thyesor? Me fjalë të thjeshta, një funksion thyesor-racional është një thyesë, numëruesi dhe emëruesi i së cilës përmbajnë polinome ose produkte të polinomeve. Për më tepër, fraksionet janë më të sofistikuara se ato të diskutuara në artikull Integrimi i disa thyesave.

Integrimi i një funksioni të duhur thyesor-racional

Menjëherë një shembull dhe algoritmi standard zgjidhjet e integralit të një funksioni racional thyesor.

Shembulli 1

Hapi 1. Gjëja e parë që bëjmë GJITHMONË kur zgjidhim integralin e një funksioni racional thyesor është të zbulojmë pyetja e radhës: a është thyesa e duhur? Ky hap bëhet me gojë, dhe tani do të shpjegoj se si:

Fillimisht shikojmë numëruesin dhe zbulojmë diplomë e lartë polinom:

Fuqia drejtuese e numëruesit është dy.

Tani shikojmë emëruesin dhe zbulojmë diplomë e lartë emërues. Mënyra e qartë është hapja e kllapave dhe sjellja terma të ngjashëm, por ju mund ta bëni më lehtë, në secili gjeni shkallën më të lartë në kllapa

dhe shumëzojini mendërisht: - pra, shkalla më e lartë e emëruesit është e barabartë me tre. Është mjaft e qartë se nëse hapim kllapat, nuk do të marrim një shkallë më të madhe se tre.

konkluzioni: Shkalla kryesore e numëruesit RISHTështë më e vogël se fuqia më e lartë e emëruesit, që do të thotë se thyesa është e duhur.

Nëse në në këtë shembull numëruesi përmbante polinomin 3, 4, 5, etj. gradë, atëherë thyesa do të ishte gabim.

Tani do të shqyrtojmë vetëm funksionet e sakta racionale të pjesshme. Rasti kur shkalla e numëruesit është më e madhe ose e barabartë me shkallën e emëruesit do të diskutohet në fund të orës së mësimit.

Hapi 2. Le të faktorizojmë emëruesin. Le të shohim emëruesin tonë:

Në përgjithësi, ky është tashmë një produkt faktorësh, por, megjithatë, pyesim veten: a është e mundur të zgjerohet diçka tjetër? Objekti i torturës do të jetë padyshim trinomi katror. Le të vendosim ekuacioni kuadratik:

Diskriminues Mbi zero, që do të thotë se trinomi vërtet mund të faktorizohet:

Rregulli i përgjithshëm: GJITHÇKA që MUND të faktorizohet në emërues - ne e faktorizojmë atë

Le të fillojmë të formulojmë një zgjidhje:

Hapi 3. Duke përdorur metodën e koeficientëve të pacaktuar, ne e zgjerojmë integranin në një shumë të thyesave të thjeshta (elementare). Tani do të jetë më e qartë.

Le të shohim funksionin tonë integrues:

Dhe, ju e dini, në një farë mënyre shfaqet një mendim intuitiv se do të ishte mirë të kishim tonën fraksion i madh shndërrohen në disa të vogla. Për shembull, si kjo:

Shtrohet pyetja, a është e mundur të bëhet kjo? Le të marrim një psherëtimë lehtësimi, teorema përkatëse analiza matematikore pohon - ËSHTË E MUNDSHME. Një dekompozim i tillë ekziston dhe është unik.

Ka vetëm një kapje, shanset janë Mirupafshim Ne nuk e dimë, prandaj emri - metoda e koeficientëve të pacaktuar.

Siç e keni marrë me mend, lëvizjet e mëvonshme të trupit janë të tilla, mos kafshoni! do të synohet vetëm NJOHJA e tyre - për të gjetur se me çfarë janë të barabartë.

Kujdes, do ta shpjegoj me detaje vetëm një herë!

Pra, le të fillojmë të kërcejmë nga:

Në anën e majtë e zvogëlojmë shprehjen në një emërues të përbashkët:

Tani mund të shpëtojmë me siguri nga emëruesit (pasi ata janë të njëjtë):

Në anën e majtë hapim kllapat, por për momentin mos prekni koeficientët e panjohur:

Në të njëjtën kohë, ne përsërisim rregullin shkollor të shumëzimit të polinomeve. Kur isha mësues, mësova ta shqiptoj këtë rregull me fytyrë të drejtë: Për të shumëzuar një polinom me një polinom, duhet të shumëzoni çdo term të një polinomi me secilin term të polinomit tjetër..

Nga pikëpamja shpjegim i qartëËshtë më mirë të vendosni koeficientët në kllapa (megjithëse unë personalisht nuk e bëj kurrë këtë për të kursyer kohë):

Ne hartojmë një sistem ekuacionesh lineare.
Së pari ne kërkojmë diploma të larta:

Dhe ne shkruajmë koeficientët përkatës në ekuacionin e parë të sistemit:

Mbani mend mirë pikën e mëposhtme. Çfarë do të ndodhte nëse nuk do të kishte fare në anën e djathtë? Le të themi, a do të shfaqej thjesht pa asnjë katror? Në këtë rast, në ekuacionin e sistemit do të ishte e nevojshme të vendosni një zero në të djathtë: . Pse zero? Por sepse në anën e djathtë gjithmonë mund ta caktoni të njëjtin katror me zero: Nëse nuk ka variabla në anën e djathtë dhe/ose anëtar i lirë, pastaj vendosim zero në anën e djathtë të ekuacioneve përkatëse të sistemit.

Ne shkruajmë koeficientët përkatës në ekuacionin e dytë të sistemit:

Dhe së fundi, ujë mineral, ne zgjedhim anëtarë falas.

Eh...kam bërë shaka. Mënjanë shakatë - matematika është një shkencë serioze. Në grupin tonë të institutit, askush nuk qeshi kur profesori asistent tha se ajo do t'i shpërndante termat përgjatë vijës së numrave dhe do të zgjidhte më të mëdhenjtë. Le të merremi seriozisht. Edhe pse... kushdo që jeton për të parë fundin e këtij mësimi do të buzëqeshë në heshtje.

Sistemi është gati:

Ne zgjidhim sistemin:

(1) Nga ekuacioni i parë e shprehim dhe e zëvendësojmë me ekuacionin e dytë dhe të tretë të sistemit. Në fakt, ishte e mundur të shprehej (ose një shkronjë tjetër) nga një ekuacion tjetër, por në në këtë rastështë e dobishme të shprehemi pikërisht nga ekuacioni i 1-rë, pasi aty shanset më të vogla.

(2) Ne paraqesim terma të ngjashëm në ekuacionet 2 dhe 3.

(3) Shtojmë ekuacionet e 2-të dhe të 3-të term pas termi, duke marrë barazinë, nga e cila rezulton se

(4) Zëvendësojmë në ekuacionin e dytë (ose të tretë), nga ku gjejmë atë

(5) Zëvendësoni dhe në ekuacionin e parë, duke marrë .

Nëse keni ndonjë vështirësi me metodat e zgjidhjes së sistemit, praktikojini ato në klasë. Si të zgjidhim një sistem ekuacionesh lineare?

Pas zgjidhjes së sistemit, është gjithmonë e dobishme të kontrolloni - zëvendësoni vlerat e gjetura çdo ekuacioni i sistemit, si rezultat gjithçka duhet të "konvergojë".

Pothuajse atje. U gjetën koeficientët dhe:

Puna e përfunduar duhet të duket diçka si kjo:

Siç mund ta shihni, vështirësia kryesore e detyrës ishte të kompozonte (saktë!) dhe të zgjidhte (saktë!) një sistem ekuacionesh lineare. Dhe në fazën përfundimtare gjithçka nuk është aq e vështirë: ne përdorim vetitë e linearitetit integral i pacaktuar dhe të integrohen. Ju lutemi vini re se nën secilin nga tre integralet kemi "falas" funksion kompleks, fola për veçoritë e integrimit të tij në klasë Metoda e ndryshimit të ndryshores në integral të pacaktuar.

Kontrollo: Diferenco përgjigjen:

Është marrë funksioni integrand origjinal, që do të thotë se integrali është gjetur saktë.
Gjatë verifikimit na është dashur ta reduktojmë shprehjen në një emërues të përbashkët dhe kjo nuk është e rastësishme. Metoda e koeficientëve të pacaktuar dhe reduktimi i një shprehjeje në një emërues të përbashkët janë veprime reciproke të anasjellta.

Shembulli 2

Gjeni integralin e pacaktuar.

Le të kthehemi te thyesa nga shembulli i parë: . Është e lehtë të vërehet se në emërues të gjithë faktorët janë të ndryshëm. Shtrohet pyetja, çfarë duhet bërë nëse, për shembull, jepet thyesa e mëposhtme: ? Këtu kemi gradë në emërues, ose, matematikisht, shumëfisha. Përveç kësaj, ekziston një trinom kuadratik që nuk mund të faktorizohet (është e lehtë të verifikohet se diskriminuesi i ekuacionit është negative, kështu që trinomi nuk mund të faktorizohet). Çfarë duhet bërë? Zgjerimi në një shumë të thyesave elementare do të duket diçka si me koeficientë të panjohur në krye apo diçka tjetër?

Shembulli 3

Prezantoni një funksion

Hapi 1. Duke kontrolluar nëse kemi një thyesë të duhur
Numëruesi kryesor: 2
Shkalla më e lartë e emëruesit: 8
, që do të thotë se thyesa është e saktë.

Hapi 2. A është e mundur të faktorizohet diçka në emërues? Natyrisht që jo, gjithçka është parashtruar tashmë. Trinomi katror nuk zbërthehet në vepër për arsyet e përmendura më sipër. Kapuç. Më pak punë.

Hapi 3. Le të imagjinojmë një funksion thyesor-racional si një shumë e thyesave elementare.
Në këtë rast, zgjerimi ka formën e mëposhtme:

Le të shohim emëruesin tonë:
Kur zbërthehet një funksion thyesor-racional në një shumë të fraksioneve elementare, mund të dallohen tre pika themelore:

1) Nëse emëruesi përmban një faktor "të vetmuar" në fuqinë e parë (në rastin tonë), atëherë vendosim një koeficient të pacaktuar në krye (në rastin tonë). Shembujt nr. 1, 2 përbëheshin vetëm nga faktorë të tillë "të vetmuar".

2) Nëse emëruesi ka të shumëfishta shumëzues, atëherë duhet ta zbërtheni si kjo:
- domethënë, kaloni në mënyrë sekuenciale të gjitha shkallët e "X" nga shkalla e parë në të n-të. Në shembullin tonë ka dy faktorë të shumtë: dhe , hidhini një sy tjetër zgjerimit që dhashë dhe sigurohuni që ato të zgjerohen saktësisht sipas këtij rregulli.

3) Nëse emëruesi përmban një polinom të pazbërthyeshëm të shkallës së dytë (në rastin tonë), atëherë kur zbërtheheni në numërues duhet të shkruani funksion linear me koeficientë të pasigurt (në rastin tonë me koeficientë të pasigurt dhe ).

Në fakt, është një rast tjetër i 4-të, por do të hesht, pasi në praktikë është jashtëzakonisht i rrallë.

Shembulli 4

Prezantoni një funksion si një shumë e thyesave elementare me koeficientë të panjohur.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigja në fund të orës së mësimit.
Ndiqni rreptësisht algoritmin!

Nëse i kuptoni parimet me të cilat duhet të zgjeroni një funksion thyesor-racional në një shumë, mund të përtypni pothuajse çdo integral të llojit në shqyrtim.

Shembulli 5

Gjeni integralin e pacaktuar.

Hapi 1.Është e qartë se thyesa është e saktë:

Hapi 2. A është e mundur të faktorizohet diçka në emërues? Mund. Këtu është shuma e kubeve . Faktoroni emëruesin duke përdorur formulën e shkurtuar të shumëzimit

Hapi 3. Duke përdorur metodën e koeficientëve të pacaktuar, ne zgjerojmë integrandin në një shumë të thyesave elementare:

Ju lutemi vini re se polinomi nuk mund të faktorizohet (kontrolloni që diskriminuesi të jetë negativ), kështu që në krye vendosim një funksion linear me koeficientë të panjohur, dhe jo vetëm një shkronjë.

Ne e sjellim thyesën në një emërues të përbashkët:

Le të hartojmë dhe zgjidhim sistemin:

(1) Ne shprehemi nga ekuacioni i parë dhe e zëvendësojmë atë në ekuacionin e dytë të sistemit (kjo është mënyra më racionale).

(2) Ne paraqesim terma të ngjashëm në ekuacionin e dytë.

(3) Shtojmë ekuacionin e dytë dhe të tretë të sistemit term pas termi.

Të gjitha llogaritjet e mëtejshme janë, në parim, gojore, pasi sistemi është i thjeshtë.

(1) Ne shkruajmë shumën e thyesave në përputhje me koeficientët e gjetur.

(2) Ne përdorim vetitë e linearitetit të integralit të pacaktuar. Çfarë ndodhi në integralin e dytë? Ju mund të njiheni me këtë metodë në paragrafin e fundit të mësimit. Integrimi i disa thyesave.

(3) Edhe një herë përdorim vetitë e linearitetit. Në integralin e tretë fillojmë të izolohemi katror i përsosur(paragrafi i parafundit i mësimit Integrimi i disa thyesave).

(4) Marrim integralin e dytë, në të tretën zgjedhim katrorin e plotë.

(5) Merrni integralin e tretë. Gati.

Ky shërbim është krijuar për dekompozimin e fraksioneve të formës:

Për shumën e thyesave të thjeshta. Ky shërbim do të jetë i dobishëm për zgjidhjen e integraleve. shih shembullin.

Udhëzimet. Shkruani numëruesin dhe emëruesin e thyesës. Klikoni butonin Zgjidh.

Rregullat për futjen e një funksioni

Rregullat për futjen e një funksioni

Algoritmi për metodën e koeficientëve të pasigurt

1. Faktorizimi i emëruesit.
2. Zbërthimi i një thyese si një shumë e thyesave të thjeshta me koeficientë të pacaktuar.
3. Grupimi i numëruesit me fuqi të njëjta të x.
4. Marrja e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare me koeficientë të pacaktuar si të panjohur.
5. Zgjidhja e SLAE: Metoda Cramer, metoda Gauss, metoda e matricës inverse ose metoda e eliminimit të të panjohurave.

Shembull. Ne përdorim metodën e zbërthimit në më të thjeshtat. Le ta zbërthejmë funksionin në termat e tij më të thjeshtë:


Le të barazojmë numëruesit dhe të marrim parasysh se koeficientët janë në të njëjtat fuqi X, qëndrimi majtas dhe djathtas duhet të përputhen
2x-1 = A(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
A+B=0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16A = -1
0A -2B + C + 4D = 0
Duke e zgjidhur atë, gjejmë:
A = 1/16 ;B = - 1/9 ;C = - 5/12 ;D = 7/144 ;