Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale të rendit të n-të. Diferencial linear

Sisteme diferenciale lineare ekuacionet.

Sistemi i ekuacioneve diferenciale quhet lineare, nëse është linear në lidhje me funksionet e panjohura dhe derivatet e tyre. sistemi n-ekuacionet lineare të rendit të parë shkruhen në formën:

Koeficientët e sistemit janë konst.

Është i përshtatshëm për të shkruar këtë sistem në forma matrice: ,

ku është një vektor kolone me funksione të panjohura në varësi të një argumenti.

Vektori i kolonës së derivateve të këtyre funksioneve.

Vektori i kolonës së termave të lirë.

Matrica e koeficientit.

Teorema 1: Nëse të gjithë koeficientët e matricës A janë të vazhdueshme në disa intervale dhe , pastaj në ndonjë lagje të çdo m. Kushtet e TS&E janë plotësuar. Rrjedhimisht, një kurbë e vetme integrale kalon nëpër secilën pikë të tillë.

Në të vërtetë, në këtë rast, anët e djathta të sistemit janë të vazhdueshme në lidhje me grupin e argumenteve dhe derivatet e tyre të pjesshme në lidhje me (të barabartë me koeficientët e matricës A) janë të kufizuara, për shkak të vazhdimësisë në një interval të mbyllur.

Metodat për zgjidhjen e SLD-ve

1. Një sistem ekuacionesh diferenciale mund të reduktohet në një ekuacion duke eliminuar të panjohurat.

Shembull: Zgjidheni sistemin e ekuacioneve: (1)

Zgjidhja: përjashtojnë z nga këto ekuacione. Nga ekuacioni i parë kemi . Duke zëvendësuar në ekuacionin e dytë, pas thjeshtimit marrim: .

Ky sistem ekuacionesh (1) reduktohet në një ekuacion të vetëm të rendit të dytë. Pas gjetjes nga ky barazim y, duhet gjetur z, duke përdorur barazinë.

2. Kur zgjidhet një sistem ekuacionesh duke eliminuar të panjohurat, zakonisht fitohet një ekuacion më shumë rendit të lartë, prandaj, në shumë raste është më i përshtatshëm për të zgjidhur sistemin duke gjetur kombinime të integruara.

Vazhdim 27b

Shembull: Zgjidheni sistemin

Zgjidhja:

Le të vendosim këtë sistem Metoda e Euler-it. Le të shkruajmë përcaktorin për gjetjen e karakteristikës

ekuacioni: , (meqenëse sistemi është homogjen, në mënyrë që ai të ketë një zgjidhje jo të parëndësishme, është e nevojshme që kjo përcaktor të jetë e barabartë me zero). Marrim një ekuacion karakteristik dhe gjejmë rrënjët e tij:

Zgjidhja e përgjithshme është: ;

- vetvektor.

Ne shkruajmë zgjidhjen për: ;

- vetvektor.

Ne shkruajmë zgjidhjen për: ;

Ne marrim zgjidhjen e përgjithshme: .

Le të kontrollojmë:

le të gjejmë : dhe ta zëvendësojmë në ekuacionin e parë të këtij sistemi, d.m.th. .

Ne marrim:

- barazi e vërtetë.

Diferencial linear. ekuacionet e rendit të n-të. Teorema rreth vendim i përgjithshëm heterogjene ekuacioni linear rendi i n-të.

Quhet një ekuacion diferencial linear i rendit të n-të ekuacioni i formës: (1)

Nëse ky ekuacion ka një koeficient, atëherë duke e pjesëtuar me të, arrijmë në ekuacionin: (2) .

Zakonisht ekuacionet e tipit (2). Supozoni se në ur-i (2) të gjitha shanset, si dhe f(x) të vazhdueshme në një interval (a,b). Pastaj, sipas TS&E, ekuacioni (2) Ajo ka vetëm vendim, duke plotësuar kushtet fillestare: , , …, me . Këtu - çdo pikë nga intervali (a,b), dhe gjithçka - çdo numrat e dhënë. Ekuacioni (2) kënaq TC&E , prandaj nuk ka zgjidhje të veçanta.

Def.: i veçantë pikat janë ato në të cilat =0.

Vetitë e një ekuacioni linear:

1. Një ekuacion linear mbetet i tillë për çdo ndryshim në ndryshoren e pavarur.
2. Një ekuacion linear mbetet i tillë për çdo ndryshim linear të funksionit të dëshiruar.

Def: nëse në ekuacion (2) vënë f(x)=0, atëherë marrim një ekuacion të formës: (3) , e cila quhet ekuacioni homogjen relativisht jo ekuacioni homogjen (2).

Le të prezantojmë në konsideratë diferencial linear operatori: (4). Duke përdorur këtë operator mund ta rishkruani atë formë e shkurtër ekuacionet (2) Dhe (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Operatori (4) ka si më poshtë veti të thjeshta:

Nga këto dy veti mund të nxirret një përfundim: .

Funksioni y=y(x)është zgjidhje e ekuacionit johomogjen (2), Nëse L(y(x))=f(x), Pastaj f(x) quhet zgjidhja e ekuacionit. Pra, zgjidhja e ekuacionit (3) quhet funksioni y(x), Nëse L(y(x))=0 në intervalet e konsideruara.

Konsideroni ekuacioni linear johomogjen: , L(y)=f(x).

Supozoni se ne kemi gjetur një zgjidhje të veçantë në një farë mënyre, atëherë .

Le të prezantojmë një funksion të ri të panjohur z sipas formulës: , ku është një zgjidhje e veçantë.

Le ta zëvendësojmë në ekuacionin: , hapim kllapat dhe marrim: .

Ekuacioni që rezulton mund të rishkruhet si:

Meqenëse është një zgjidhje e veçantë për ekuacionin origjinal, atëherë .

Kështu, ne kemi marrë një ekuacion homogjen në lidhje me z. Zgjidhja e përgjithshme e këtij ekuacioni homogjen është një kombinim linear: , ku funksionet - janë sistemi themelor zgjidhjet e një ekuacioni homogjen. Zëvendësimi z në formulën e zëvendësimit, marrim: (*) për funksionin y– funksion i panjohur i ekuacionit origjinal. Të gjitha zgjidhjet e ekuacionit origjinal do të përmbahen në (*).

Kështu, zgjidhja e përgjithshme e vijës johomogjene. ekuacioni përfaqësohet si shuma e një zgjidhjeje të përgjithshme të një ekuacioni linear homogjen dhe një zgjidhje të veçantë të një ekuacioni johomogjen.

(vazhdon në anën tjetër)

30. Teorema e ekzistencës dhe unike e zgjidhjes së diferencialit. ekuacionet

Teorema: Nëse në barazimin. pjesa e djathtë e vazhdueshme në një drejtkëndësh dhe është i kufizuar, dhe gjithashtu plotëson kushtin Lipschitz: , N=const, atëherë ekziston një zgjidhje unike që plotëson kushtet fillestare dhe përcaktohet në segment , Ku.

Dëshmi:

Le ta konsiderojmë të plotë hapësirë ​​metrike ME, pikat e të cilit janë të gjitha funksionet e vazhdueshme të mundshme y(x) të përcaktuara në interval , grafikët e të cilit shtrihen brenda drejtkëndëshit dhe distanca përcaktohet nga barazia: . Kjo hapësirë ​​shpesh përdoret në analizën matematikore dhe quhet hapësirë konvergjencë uniforme , meqenëse konvergjenca në metrikë e kësaj hapësire është uniforme.

Le të zëvendësojmë diferencialin. ekuacioni me të dhëna kushtet fillestare në një ekuacion integral ekuivalent: dhe merrni parasysh operatorin A(y), e barabartë me anën e djathtë të këtij ekuacioni: . Ky operator përputhet me secilin funksion të vazhdueshëm

Duke përdorur pabarazinë e Lipschitz-it, mund të shkruajmë se distanca . Tani le të zgjedhim një për të cilin pabarazia e mëposhtme: .

Ju duhet të zgjidhni në mënyrë që, atëherë. Kështu ne treguam se.

Sipas parimit të hartëzimit të tkurrjes, ekziston një pikë e vetme ose, çfarë është e njëjta, një funksion i vetëm - një zgjidhje për një ekuacion diferencial që plotëson kushtet fillestare të dhëna.

n- urdhri

Teorema. Nëse y 0- zgjidhje e një ekuacioni homogjen L[y]=0, y 1- zgjidhja e ekuacionit johomogjen përkatës L[y] = f(x), pastaj shuma y 0 + y 1është zgjidhja e këtij ekuacioni johomogjen.

Struktura e zgjidhjes së përgjithshme të ekuacionit johomogjen përcaktohet nga teorema e mëposhtme.

Teorema. Nëse Y- zgjidhje e veçantë e ekuacionit L[y] = f(x) Me koeficientët e vazhdueshëm, - zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit homogjen përkatës L[y] = 0, atëherë zgjidhja e përgjithshme e këtij ekuacioni johomogjen përcaktohet me formulën

Komentoni. Për të shkruar zgjidhjen e përgjithshme të një ekuacioni linear johomogjen, është e nevojshme të gjendet një zgjidhje e veçantë për këtë ekuacion dhe një zgjidhje e përgjithshme për ekuacionin homogjen përkatës.

Ekuacionet lineare johomogjene n

Merrni parasysh ekuacionin linear johomogjen n-rendi i th me koeficiente konstante

Ku a 1, a 2, …, a n - numra realë. Le të shkruajmë ekuacionin përkatës homogjen

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit johomogjen përcaktohet me formulën

Zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni homogjen y 0 ne mund të gjejmë një zgjidhje të veçantë Y mund të gjendet nga koeficientët e pasigurt në rastet e mëposhtme të thjeshta:

NË rast i përgjithshëm Përdoret metoda e ndryshimit të konstantave arbitrare.

Metoda e ndryshimit të konstantave arbitrare

Merrni parasysh ekuacionin linear johomogjen n-rendi i th me koeficientë të ndryshueshëm

Nëse gjetja e një zgjidhjeje të veçantë për këtë ekuacion rezulton e vështirë, por zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen përkatës është e njohur, atëherë mund të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit johomogjen. metoda e ndryshimit të konstantave arbitrare.

Le të jetë ekuacioni homogjen përkatës

ka një zgjidhje të përgjithshme

Ne do të kërkojmë një zgjidhje të përgjithshme për ekuacionin johomogjen në formë

Ku y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x), …, y n =y n (x) janë zgjidhje linearisht të pavarura të një ekuacioni homogjen të përfshirë në zgjidhjen e përgjithshme të tij, dhe C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- funksione të panjohura. Për të gjetur këto funksione, le t'i nënshtrojmë ato në disa kushte.

Le të gjejmë derivatin

Ne kërkojmë që shuma në kllapa e dytë të jetë e barabartë me zero, domethënë

Le të gjejmë derivatin e dytë

dhe ne do ta kërkojmë atë

Duke vazhduar një proces të ngjashëm, ne marrim

Në këtë rast, nuk mund të kërkohet që shuma në kllapa e dytë të zhduket, pasi funksionet C 1 (x), C2(x), …, Cn(x) tashmë të varur n-1 kushte, por ju ende duhet të plotësoni ekuacionin origjinal johomogjen.

Ekuacionet diferencialen- urdhri.

Nëse ekuacioni është i zgjidhshëm në lidhje me derivatin më të lartë, atëherë ai ka formën (1). Një ekuacion i rendit të n-të mund të përfaqësohet gjithashtu si një sistem prej n ekuacionesh të rendit të parë.

(3)

Për një ekuacion të rendit të n-të, kushtet e teoremës mbi ekzistencën dhe unike për sistemin janë të përmbushura që nga (1)~(2)~(3).

Rastet më të thjeshta të uljes së porosisë.

Ekuacioni nuk përmban funksionin e kërkuar dhe derivatin e tij deri në rend k -1 përfshirëse , kjo eshte

Në këtë rast rendi mund të reduktohet në
zëvendësim. Nëse shprehim këtë ekuacion, atëherë zgjidhja y mund të përcaktohet nga funksioni i integrueshëm me k-fish fq.

Shembull.
.

Ekuacioni që nuk përmban ndryshore të panjohur

(5)

Në këtë rast, rendi mund të ulet me një me zëvendësim.

Shembull.
.

Ana e majtë e ekuacionit

(6)

është derivat i disa shprehjeve diferenciale ( n -1) rend .
. Nëse
- prandaj ekziston një zgjidhje për ekuacionin e fundit. Ne morëm integralin e parë të ekuacionit (6) dhe ulëm shkallën e ekuacionit që zgjidhej me një.

Koment. Ndonjëherë ana e majtë e (6) bëhet derivat i një ekuacioni diferencial të rendit (n-1) vetëm kur shumëzohet me
prandaj, këtu mund të shfaqen zgjidhje të panevojshme (përmbys në zero) ose mund të humbasim zgjidhjen nëse funksion i ndërprerë.

Shembull.

Ekuacioni

(7)

homogjene në lidhje me dhe derivatet e tij .

Ose ku është treguesi
përcaktohet nga kushtet e homogjenitetit.

Rendi i këtij ekuacioni mund të ulet me një duke zëvendësuar: .

Nëse këto marrëdhënie i zëvendësojmë me (7) dhe marrim parasysh homogjenitetin e funksionit F , atëherë në fund marrim: .

Shembull.
.

Ekuacionet diferenciale të rendit të dytë,

duke lejuar një reduktim në mënyrë.

Zëvendësimi
.

Nëse ekuacioni (8) mund të zgjidhet në lidhje me derivatin më të lartë, atëherë barazimi.
integruar dy herë mbi ndryshoren x.

Ju mund të prezantoni një parametër dhe të zëvendësoni ekuacionin (8) me paraqitjen e tij parametrike:
. Përdorimi i relacionit për diferenciale:
, marrim: dhe

II .
(9)

Le të përdorim paraqitjen parametrike:

III.
. (10)

Ju mund ta ulni porosinë duke zëvendësuar:
.

Nëse ekuacioni (10) është i zgjidhshëm në lidhje me derivatin më të lartë
, pastaj shumëzojeni të drejtën dhe ana e majte në
. Ne marrim: Ky është një ekuacion me ndryshore të ndashme:
.

Ekuacioni (10) mund të zëvendësohet me paraqitjen parametrike të tij: . Le të përdorim vetitë e diferencialit:.

Shembull.
.

Ekuacionet diferenciale linearen- urdhri.

Përkufizimi. Ekuacionet diferenciale lineare n - urdhri ekuacionet e formës quhen:
. (1)

Nëse shanset të vazhdueshme për
, pastaj në lagjen e ndonjë vlerat fillestare si: ku i përket intervalit, atëherë në afërsi të këtyre vlerave fillestare plotësohen kushtet teoremat e ekzistencës dhe unike. Lineariteti dhe homogjeniteti i ekuacionit (1) ruhet në çdo transformim
, Ku është një funksion arbitrar n herë i diferencueshëm. Për më tepër
. Lineariteti dhe homogjeniteti ruhen kur funksioni i panjohur transformohet në mënyrë lineare dhe homogjene.

Le të prezantojmë një operator diferencial linear: , atëherë (1) mund të shkruhet si më poshtë:
. Përcaktori i Wronskit për
do të duket si:

, Ku - zgjidhje të pavarura lineare të ekuacionit (1).

Teorema 1. Nëse funksionet linearisht të pavarura
është një zgjidhje e një ekuacioni linear homogjen (1) me të vazhduar
koeficientët
, pastaj përcaktorja Wronski
nuk zhduket në asnjë pikë të segmentit
.

Teorema 2. Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit linear homogjen (1) me të vazhduar
koeficientët
do të ketë një kombinim linear të zgjidhjeve , kjo eshte
(2), ku
i pavarur në mënyrë lineare në segment
zgjidhje private (1).

(e vërtetuar në mënyrë të ngjashme me rastin e një sistemi ekuacionesh diferenciale lineare)

Pasoja. Numri maksimal është linear vendime të pavarura(1) është e barabartë me rendin e saj.

Njohja e një zgjidhjeje të veçantë jo të parëndësishme të ekuacionit (1) -
, mund të bëni një zëvendësim
dhe ul rendin e ekuacionit duke ruajtur linearitetin dhe heterogjenitetin e tij. Zakonisht ky zëvendësim ndahet në dysh. Meqenëse kjo është një paraqitje lineare homogjene, ajo ruan linearitetin dhe homogjenitetin e (1), që do të thotë se (1) duhet të reduktohet në formë. Vendimi
në sajë të
korrespondon me zgjidhjen
, dhe për këtë arsye
. Duke bërë një zëvendësim
, marrim një ekuacion me rendin
.

Lemë. (3)

Dy ekuacione të formës (3) dhe (4), ku Q i dhe P i janë funksione të vazhdueshme që kanë një sistem të përbashkët themelor zgjidhjesh, përputhen, d.m.th. Q i (x)= P i (x), i=1,2,…n,  x

Bazuar në lemën, mund të konkludojmë se sistemi themelor i zgjidhjeve y 1 y 2 …y n përcakton plotësisht ekuacionin linear homogjen (3).

Le të gjejmë formën e ekuacionit (3), i cili ka një sistem themelor zgjidhjesh y 1 y 2 …y n . Çdo zgjidhje y(x) ekuacioni (3) varet linearisht nga sistemi themelor i zgjidhjeve, që do të thotë se W=0. Le të zgjerojmë përcaktuesin Wronski W mbi kolonën e fundit.

Ekuacioni (5) është ekuacioni diferencial linear i dëshiruar që ka një sistem të caktuar zgjidhjesh themelore. Mund ta ndajmë (5) me W, sepse nuk është e barabartë me zero  x. Pastaj:

(*)

Sipas rregullit të diferencimit të përcaktorit, derivati ​​i përcaktorit është i barabartë me shumën e përcaktorit i=1,2...n, rreshti i i-të i secilit prej tyre është i barabartë me derivatin e i-. rreshti i përcaktorit origjinal. Në këtë shumë, të gjithë përcaktorët përveç atij të fundit janë të barabartë me zero (pasi kanë dy drejtëza identike), dhe i fundit është i barabartë me (*). Kështu, marrim:

, Pastaj:
(6)

(7)

Përkufizimi. Formulat (6) dhe (7) quhen Formulat Ostrogradsky-Liouville.

Ne përdorim (7) për të integruar një ekuacion linear homogjen të rendit të dytë. Dhe na tregoni një nga zgjidhjet y 1 të ekuacionit (8).

Sipas (7), çdo zgjidhje (8) duhet të plotësojë relacionin e mëposhtëm:

(9)

Le të përdorim metodën e faktorit integrues.

Ekuacionet lineare homogjene me

koeficientët konstant.

Nëse në një ekuacion linear homogjen të gjithë koeficientët janë konstant,

a 0 y (n) +a 1 y (n-1) +….+a n y=0, (1)

atëherë zgjidhjet e veçanta (1) mund të përkufizohen si: y=e kx, ku k është një konstante.

a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+a n =0 (3)

Përkufizimi. (3) - ekuacioni karakteristik.

Lloji i zgjidhjes (1) përcaktohet nga rrënjët e ekuacionit karakteristik (3).

1). Të gjitha rrënjët janë reale dhe të dallueshme , Pastaj:

2). Nëse të gjithë koeficientët janë realë, atëherë rrënjët mund të jenë të konjuguara komplekse .

k 1 =+i k 2 =-i

Pastaj zgjidhjet kanë formën:

Sipas teoremës: nëse një operator me koeficientë realë ka zgjidhje komplekse të konjuguara, atëherë pjesët reale dhe imagjinare të tyre janë gjithashtu zgjidhje. Pastaj:

Shembull.

Le ta paraqesim zgjidhjen në formë
, atëherë ekuacioni karakteristik ka formën:

, marrim dy zgjidhje:

atëherë funksioni i kërkuar është:

3). Ka shumë rrënjë: k i me shumësi  i . Në këtë rast, numri i zgjidhjeve të ndryshme
do të jetë më i vogël, prandaj, duhet të kërkoni zgjidhjet që mungojnë linearisht të pavarura në një formë tjetër. Për shembull:

Dëshmi:

Le të themi k i =0, nëse e zëvendësojmë me (3), marrim atë, atëherë:

- zgjidhje të veçanta (3).

Le të jetë k i 0, le të bëjmë zëvendësimin
(6)

Duke zëvendësuar (6) në (1), marrim në lidhje me z një ekuacion linear homogjen të rendit të n-të me koeficientë konstante (7).

Rrënjët (3) ndryshojnë nga rrënjët e ekuacionit karakteristik (7) me termin k i .

(8)

Nëse k=k i , atëherë kjo k i përgjigjet zgjidhjes së ekuacionit (7) me rrënjë p=0, d.m.th. korrespondojnë me zgjidhje të formës z=
, atëherë y= është zgjidhja e ekuacionit (1). Dhe zgjidhja e përgjithshme duket si kjo:

zgjidhje për k i



ekuacioni i Euler-it.

Përkufizimi. Ekuacioni i formës:

a i janë koeficientë konstante, të quajtur ekuacioni i Euler-it.

Ekuacioni i Euler-it duke zëvendësuar x=e t reduktohet në një ekuacion linear homogjen me koeficientë konstante.

Ju mund të kërkoni zgjidhje në formën y=x k, atëherë ato kanë formën:

Linear ekuacionet johomogjene.

Nëse është 0 (x)0, atëherë duke pjesëtuar ekuacionin (1) me këtë koeficient, marrim:

.

Nëse i dhe f janë të vazhdueshëm në b, atëherë (2) ka një zgjidhje unike që plotëson kushtet fillestare përkatëse. Nëse shprehim derivatet më të larta nga (2) në mënyrë eksplicite, marrim një ekuacion, ana e djathtë e të cilit plotëson teoremën e ekzistencës dhe unike. Meqenëse operatori L është linear, do të thotë se për (2) vlen sa vijon:

1).
- zgjidhja (2), nëse - zgjidhje e ekuacionit johomogjen (2), dhe - zgjidhja e ekuacionit homogjen përkatës.

2). Nëse - Zgjidhjet
, Kjo
zgjidhje e ekuacionit
.

Vetia 2 është parimi i mbivendosjes, vlen kur
, nëse seria
- konvergon dhe pranon m-diferencimi i shumëfishtë term pas termi.

3) Le të jepet ekuacioni i operatorit
, ku L është një operator me koeficientë , Të gjitha - e vërtetë. Funksionet U dhe V janë gjithashtu reale. Atëherë, nëse ky ekuacion ka një zgjidhje
, atëherë zgjidhja për të njëjtin ekuacion do të jetë edhe pjesa imagjinare edhe ajo reale:
Dhe
. Për më tepër, secila prej tyre korrespondon me zgjidhjen.

Teorema. Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit johomogjenn- rreth
në segmentin [a, b] me kusht që të gjithë koeficientët
dhe anën e djathtë
- funksionet e vazhdueshme, mund të paraqiten si shuma e zgjidhjes së përgjithshme përkatëse sistem homogjen
dhe një zgjidhje e veçantë për johomogjenen -
.

Ato. zgjidhje
.

Nëse është e pamundur të zgjidhni në mënyrë eksplicite zgjidhje të veçanta të një sistemi johomogjen, atëherë mund të përdorni metodën variacionet e konstantës . Ne do të kërkojmë një zgjidhje në formën:

(3)

Ku
zgjidhje për një sistem homogjen,
- funksione të panjohura.

Gjithsej funksione të panjohura
- n. Ata duhet të plotësojnë ekuacionin origjinal (2).

Duke zëvendësuar shprehjen y(x) në ekuacionin (2), marrim kushte për përcaktimin e vetëm një funksioni të panjohur. Për të përcaktuar funksionet e mbetura (n-1)-pus, një (n-1)-por është i nevojshëm kushti që ato mund të zgjidhen në mënyrë arbitrare. Le t'i zgjedhim ato në mënyrë që zgjidhja (2) - y(x) të ketë të njëjtën formë sikur
ishin konstante.

,

sepse
atëherë silleni si konstante
, që do të thotë
.

Se. marrim kushtin (n-1)-por përveç ekuacionit (1). Nëse shprehjen për derivatet e zëvendësojmë me ekuacionin (1) dhe marrim parasysh të gjitha kushtet e fituara dhe faktin që y i është zgjidhja e sistemit homogjen përkatës, atëherë marrim kushtin e fundit për
.

Le të kalojmë te sistemi:

(3)

Përcaktori i sistemit (3) është (W) Përcaktori i Vronskit, dhe sepse y i janë zgjidhje të një sistemi homogjen, atëherë W0 në .

Shembull. Ekuacioni johomogjen

, ekuacioni homogjen përkatës

Ne po kërkojmë një zgjidhje në formëy= e kx . Ekuacioni karakteristikk 2 +1=0, d.m.th.k 1,2 =  i

y= e ix = cos x + i mëkat x, vendim i përbashkët -

Le të përdorim metodën e ndryshimit të vazhdueshëm:

Kushtet për
:

, që është e barabartë me shkrimin:

Nga këtu:

Ekuacione të zgjidhura me integrim të drejtpërdrejtë

Merrni parasysh ekuacionin diferencial të mëposhtëm:
.
Ne integrojmë n herë.
;
;
e kështu me radhë. Ju gjithashtu mund të përdorni formulën:
.
Cm. Ekuacione diferenciale që mund të zgjidhen drejtpërdrejt integrim > > >

Ekuacionet që nuk përmbajnë në mënyrë eksplicite variablin e varur y

Zëvendësimi çon në një ulje të rendit të ekuacionit me një. Këtu është një funksion nga .
Cm. Ekuacionet diferenciale të rendit më të lartë që nuk përmbajnë një funksion në formë të qartë > > >

Ekuacionet që nuk përmbajnë në mënyrë eksplicite variablin e pavarur x

.
Ne konsiderojmë se është një funksion i . Pastaj
.
Në mënyrë të ngjashme për derivatet e tjerë. Si rezultat, rendi i ekuacionit zvogëlohet me një.
Cm. Ekuacionet diferenciale të rendit më të lartë që nuk përmbajnë një ndryshore eksplicite > > >

Ekuacionet homogjene në lidhje me y, y′, y′′, ...

Për të zgjidhur këtë ekuacion, bëjmë zëvendësimin
,
ku është një funksion i . Pastaj
.
Ne në mënyrë të ngjashme transformojmë derivatet, etj. Si rezultat, rendi i ekuacionit zvogëlohet me një.
Cm. Ekuacione diferenciale të rendit më të lartë që janë homogjene në lidhje me një funksion dhe derivatet e tij > > >

Ekuacionet diferenciale lineare të rendit më të lartë

Le të shqyrtojmë ekuacioni linear homogjen diferencial i rendit të n-të:
(1) ,
ku janë funksionet e ndryshores së pavarur. Le të ketë n zgjidhje lineare të pavarura për këtë ekuacion. Atëherë zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (1) ka formën:
(2) ,
ku janë konstante arbitrare. Vetë funksionet formojnë një sistem themelor zgjidhjesh.
Sistemi i zgjidhjes themelore të një ekuacioni linear homogjen të rendit të n-të janë n zgjidhje të pavarura lineare të këtij ekuacioni.

Le të shqyrtojmë ekuacioni diferencial johomogjen linear i rendit të n-të:
.
Le të ketë një zgjidhje të veçantë (ndonjë) për këtë ekuacion. Atëherë zgjidhja e përgjithshme ka formën:
,
ku është zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen (1).

Ekuacione diferenciale lineare me koeficientë konstante dhe të reduktueshme në to

Ekuacione lineare homogjene me koeficientë konstante

Këto janë ekuacionet e formës:
(3) .
Këtu janë numrat realë. Për të gjetur një zgjidhje të përgjithshme për këtë ekuacion, duhet të gjejmë n zgjidhje të pavarura në mënyrë lineare që formojnë një sistem themelor zgjidhjesh. Pastaj zgjidhja e përgjithshme përcaktohet me formulën (2):
(2) .

Ne po kërkojmë një zgjidhje në formë. marrim ekuacioni karakteristik:
(4) .

Nëse ky ekuacion ka rrënjë të ndryshme, atëherë sistemi themelor i zgjidhjeve ka formën:
.

Nëse në dispozicion rrënjë komplekse
,
atëherë ekziston edhe një rrënjë komplekse e konjuguar. Këto dy rrënjë korrespondojnë me zgjidhjet dhe , të cilat ne i përfshijmë në sistemin themelor në vend zgjidhje të integruara Dhe .

Shumë rrënjë shumëfishimet i përgjigjen zgjidhjeve lineare të pavarura: .

Shumëfisha rrënjë komplekse shumëfishimet dhe vlerat e tyre komplekse të konjuguara korrespondojnë me zgjidhjet lineare të pavarura:
.

Ekuacione lineare johomogjene me një pjesë të veçantë johomogjene

Konsideroni një ekuacion të formës
,
ku janë polinomet e shkallëve s 1 dhe s 2 ; - e përhershme.

Së pari ne kërkojmë një zgjidhje të përgjithshme për ekuacionin homogjen (3). Nëse ekuacioni karakteristik (4) nuk përmban rrënjë, atëherë ne kërkojmë një zgjidhje të veçantë në formën:
,
Ku
;
;
s - më i madhi i s 1 dhe s 2 .

Nëse ekuacioni karakteristik (4) ka një rrënjë shumëfishim, atëherë ne kërkojmë një zgjidhje të veçantë në formën:
.

Pas kësaj marrim zgjidhjen e përgjithshme:
.

Ekuacione lineare johomogjene me koeficientë konstante

Këtu ka tre zgjidhje të mundshme.

1) Metoda Bernoulli.
Së pari, gjejmë ndonjë zgjidhje jozero të ekuacionit homogjen
.
Më pas bëjmë zëvendësimin
,
ku është një funksion i ndryshores x. Ne marrim një ekuacion diferencial për u, i cili përmban vetëm derivate të u në lidhje me x. Duke kryer zëvendësimin, marrim ekuacionin n - 1 - urdhri.

2) Metoda zëvendësim linear .
Le të bëjmë një zëvendësim
,
ku është një nga rrënjët ekuacioni karakteristik(4). Si rezultat, marrim një ekuacion linear johomogjen me koeficientë konstante të rendit. Duke aplikuar vazhdimisht këtë zëvendësim, ne marrim ekuacioni origjinal në një ekuacion të rendit të parë.

3) Metoda e ndryshimit të konstantave të Lagranzhit.
Në këtë metodë, së pari zgjidhim ekuacionin homogjen (3). Zgjidhja e tij duket si kjo:
(2) .
Më tej supozojmë se konstantet janë funksione të ndryshores x. Atëherë zgjidhja e ekuacionit origjinal ka formën:
,
ku janë funksionet e panjohura. Duke zëvendësuar në ekuacionin origjinal dhe duke vendosur disa kufizime, marrim ekuacione nga të cilat mund të gjejmë llojin e funksioneve.

ekuacioni i Euler-it

Reduktohet në një ekuacion linear me koeficientë konstante me zëvendësim:
.
Megjithatë, për të zgjidhur ekuacionin e Euler-it, nuk ka nevojë të bëhet një zëvendësim i tillë. Ju mund të kërkoni menjëherë një zgjidhje për ekuacionin homogjen në formë
.
Si rezultat, marrim të njëjtat rregulla si për një ekuacion me koeficientë konstante, në të cilin në vend të një ndryshoreje ju duhet të zëvendësoni .

Referencat:
V.V. Stepanov, Kursi ekuacionet diferenciale, "LKI", 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Përmbledhje problemesh mbi matematikë e lartë, "Lan", 2003.