Konvergjenca uniforme e një integrali në varësi të një parametri. Integrale të pahijshme në varësi të një parametri

F(y) =

për zonën e pamjes

Ku f të përcaktuara në zonë D(mbyllur),x 1 (y), x 2 (y) funksionet e vazhdueshme të përcaktuara në [ c, d].

Teorema. Nëse f është e vazhdueshme në D, x 1 (y), x 2 (y) janë të vazhdueshme në , atëherë F(y) është e vazhdueshme në .

Dëshmi. Funksioni f le ta përcaktojmë në një drejtkëndësh [ a, b]  [ c, d] që përmban zonën D, siç tregohet në foto, si më poshtë: vënë f(x, y) = f(x 1 (y), y) në fikse y  [ c, d] Dhe  x [ a, x 1 (y)], në mënyrë të ngjashme në anën e djathtë të zonës f(x, y) = f(x 2 (y), y) në y  [ c, d] Dhe  x [ x 2 (y), b]. Ne do të vazhdojmë të shënojmë funksionin e përcaktuar shtesë f(x, y) . Ky funksion do të jetë i vazhdueshëm për [ a, b]  [ c, d].

Me tutje | F(y+  y) - F(y)| =
= 
+
+
 M|  x 1 |+(b - a)  + M|  x 2 |.

Kjo përdor funksionin e kufizuar f dhe vazhdimësinë uniforme të saj.

Përkufizimi. Lëreni funksionin f(x, y) është përcaktuar më [ a, b] për këdoy Y. Ata thonë se f(x, y) konvergjon në mënyrë të njëtrajtshme në g(x) në [ a, b] nëy y 0 Nëse

 >0 >0xyU  (y 0): |f(x,y) - g(x)|

Mund të vërtetohet se nëse f(x, y) të vazhdueshme dhe konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në g(x) në [ a, b] në y y 0 , pastaj funksioni g(x) i vazhdueshëm në [ a, b].

Dëshmi. Le të shkruajmë pabarazitë

| g(x)- g(x 0 )|=| g(x)- f(x, y) + f(x, y)- f(x 0 , y)- g(x 0 )+ f(x 0 , y)|  | g(x)- f(x, y)|+ | f(x, y)- f(x 0 , y)|+ | g(x 0 )- f(x 0 , y)|. Për një të dhënë  së pari zgjidhni  lagja e një pike x 0 në mënyrë që në këtë afërsi | f(x, y)- f(x 0 , y)| për çdo y nga ndonjë lagje e një pike y 0 . Kjo mund të bëhet për shkak të vazhdimësisë uniforme të funksionit f(x, y). Sasitë | g(x)- f(x, y)|, | g(x 0 )- f(x 0 , y)| mund të bëhet gjithashtu  duke zgjedhur një lagje edhe më të vogël të pikës y 0 per te gjithe x për shkak të konvergjencës uniforme f(x, y) për të g(x) .

Teorema. Nësef(x, y) është i vazhdueshëm dhe konvergjon në mënyrë të njëtrajtshme nëg(x) në [ a, b] në y y 0 , Kjo

.

Dëshmi.
| b - a|  .

1. 
   Integrimiintegrale në varësi të parametrit

F(y) =

Teorema (Leibniz). Nëse f dhe janë të vazhdueshme në  , atëherë F(y) =

i diferencueshëm nga dhe
.

Dëshmi.

=
=
, 0 Pastaj


.

Nga kjo pabarazi dhe vazhdimësia uniforme e funksionit vijon deklarata e kërkuar.

Konsideroni një rajon si NË treguar në figurë dhe funksion f , të përcaktuara në një drejtkëndësh [ a, b]  [ c, d] , që përmban zonën D.

Teorema. Nëse f dhe derivati ​​i tij janë të vazhdueshme në  , x 1 (y), x 2 (y) kanë derivate të vazhdueshme, atëherë F(y) = gjithashtu ka një derivat

+
-
.

Dëshmi. Merrni parasysh funksionin F(y, u, v) =
. Për të ekzistojnë derivate të pjesshme të vazhdueshme
(nuk është e qartë se funksioni është i vazhdueshëm ). Diferencimi i një funksioni kompleks F(y) = = Ф(y, x 1 (y), x 2 (y)) marrim barazinë e kërkuar. Vazhdimësia e funksionit =
rrjedh nga vazhdimësia uniforme e funksionit
.

§2 . Nes integralet e duhura në varësi të parametrit

1. 
   Konvergjenca uniforme e një integrali jo të duhur të një parametri

(1)

, yY.

Le të supozojmë se për disa y integrale (1) nuk është pronësor. Keshtu nese dhe për disa y integrale (1) ka të vetmen veçori në b, atëherë kushti për konvergjencën e integralit (1) do të ketë një kufi të kufizuar

.

Nëse për një të dhënë y integrali konvergon, pastaj për cilindo  [ a, b) integrale
(i quajtur pjesa e mbetur) do të ekzistojë dhe kushti i konvergjencës mund të shkruhet si
. Në rastin e divergjencës së këtij integrali, është e natyrshme të supozohet se kushti
nuk është bërë. Kështu, kushti i konvergjencës do të shkruhet më tej në formë

.

Përkufizimi. Një integral që konvergohet në Y quhet konvergjent uniform në Y nëse

 >0 >0(b-,b)yY:
(për integralin e llojit të dytë)

 >0M(M,+)yY:
(për integralin e llojit të parë)

Testi Weierstrass për konvergjencë uniforme (për një integral të llojit të dytë)

Nëse g(x) në y y 0 , integrale
konvergon në mënyrë të njëtrajtshme nëY,
konvergon. Pastaj

.

Dëshmi.

=
.

mund të bëhet arbitrarisht i vogël për shkak të konvergjencës uniforme të funksionit f(x, y) për të g(x). Integrale
mund të bëhet arbitrarisht i vogël për shkak të konvergjencës uniforme të integralit
. Integrale
mund të bëhet arbitrarisht i vogël për shkak të konvergjencës së integralit
.

Kriteri Cauchy për konvergjencë uniforme. Për konvergjencë uniforme të integralit
të nevojshme dhe të mjaftueshme për të

 >0>0 y  Y,(b-,b):
.

Përshtatshmëria. Kur plotësohet kushti
Për  y  Y  ,  (b-  , b) ju mund të shkoni në kufi në   b . Pastaj për  y  Y   (b-  , b) :
, që nënkupton konvergjencë uniforme të integralit
.

Domosdoshmëri. Ne kemi  >0  >0  y  Y (b-  , b):
. Pastaj në   ,  (b-  , b) do te behet .

1. 
   Vazhdimësia e integralit të parametrit

Teorema 2. Nëse f(x,y) është e përcaktuar dhe e vazhdueshme në , integrali (y) =
konvergon në mënyrë uniforme në , atëherë ky integral është një funksion i vazhdueshëm.

Dëshmi.

|(y+y) - (y)| =

+
+
.

Integrali i dytë dhe i tretë mund të bëhen më pak se sa është specifikuar  zgjedhje  për shkak të konvergjencës uniforme të integralit
. Pas përzgjedhjes  integrali i parë mund të bëhet më pak se sa është specifikuar  duke zgjedhur një ndarje mjaftueshëm të vogël për shkak të vazhdimësisë uniforme të funksionit.

1. 
   Integrimi i integraleve në varësi të një parametri

Teorema. Nëse funksioni f(x,y) është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në , integrali (y) =
konvergon në mënyrë uniforme në , atëherë

=
=
.

Dëshmi. Për këdo  brenda kufijve të arsyeshëm

=
. Kjo nënkupton deklaratën e kërkuar, duke marrë parasysh atë
konvergon në mënyrë uniforme në [ c, d] për të
në  b.

Kjo teoremë mund të përgjithësohet

Teorema. Nëse funksioni f(x,y) është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në , integrali
konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në  dhe ka një prej integrale të përsëritura

,

, atëherë ekziston edhe tjetri dhe barazia qëndron

=
.

Asnjë provë.

1. 
   Diferencimi i integraleve në varësi të një parametri

seria konvergon
.

Në mënyrë të ngjashme për konvergjencë uniforme.

Teorema. Le të lëmë funksionet f(x,y) dhe i vazhdueshëm në . Nëse
konvergon për të gjitha y a
konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në , atëherë funksioni (y) =
është vazhdimisht i diferencueshëm në këtë interval dhe

.

Dëshmi. Le  n  b . Sipas lemës

(y) =
=
, .

Shembull. Funksioni gama i Euler-it G(fq) =
, fq > 0.

Vazhdimësia në (0,  ).

Le të shqyrtojmë dy integrale
,
.

1)

, fq [  , 1) . Shenja e Weierstrass.

- vet për fq . Shenja e Weierstrass.


, p(0 , 1] .

Le të vërtetojmë formulën

(1)

Për ta bërë këtë, ne do të bëjmë një zëvendësim x  xy .  (fq) =
=
=
.

2. Funksioni beta i Euler-it B(p,q) =
, p > 0 , q > 0 .

Le të bëjmë një zëvendësim
, dx =
.

B(p,q) =
=
.

B(p,q) =
(2)

3 . Disa veti të funksioneve të Euler-it

Nga formula (1) vijon se

,
. Duke u integruar, marrim . Nga ku, duke përdorur (2)

G
NË(fq, q) = Г
G
.

NË(fq,1- fq) = Г
G
=
=
.

Г(1) = 1, Г(p+1) = p Г(p).

Vini re se nga kjo formulë del se mjafton të dihet funksioni Gamma në interval (0, 1/2).

Integrale
konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në ndonjë [  , A ], 0  A. Prandaj, integrali mund të diferencohet në lidhje me parametrin. Merrni parasysh integralin
.

Në afërsi të zeros | ln x| 
Për  > 0 ekziston C 1 ( ). .
=
=
=

F(a,b) =
+C(b)=
+C(b).

 ln b = F(b,b)= ln 2 + C(b), C(b) = 
.

analiza matematikore. semestri i 3-të. Loginov A.S. 2005 [email i mbrojtur]

Integrale vetjake në varësi të parametrit 1.1. Koncepti i një integrali në varësi të një parametri dhe vazhdimësisë së tij Le të përcaktohet një funksion i dy ndryshoreve f(x, y) në një drejtkëndësh (Fig. 1). Le të supozojmë se për çdo vlerë fikse y e [c, d] ka një integral Është e qartë se ky integral është një funksion i ndryshores y. Vlen teorema e mëposhtme për vazhdimësinë e integralit në varësi të parametrit. Teorema 1. Nëse funksioni /(x, y) është i vazhdueshëm në drejtkëndëshin Π, atëherë funksioni /(y) i përcaktuar nga relacioni (1) është i vazhdueshëm në intervalin [c, d\. Nga formula (1) rezulton se rritja) e funksionit f(y), që i përgjigjet rritjes së argumentit Du, mund të vlerësohet si më poshtë: Sipas kushteve të teoremës, funksioni f(x) y) është i vazhdueshëm në një drejtkëndësh të mbyllur Π, dhe për këtë arsye f(x)y) është uniformisht i vazhdueshëm në këtë drejtkëndësh. Rrjedhimisht, për çdo e > 0 mund të specifikohet një 6 > 0 e tillë që për të gjitha x nga dhe të gjitha yуу + Ду nga [с, d] të tillë që |Ду| , pabarazia do të plotësohet dhe nga vlerësimi (2) marrim se kjo do të thotë se funksioni /(y) është i vazhdueshëm në çdo pikë të segmentit (kalimi në kufirin nën shenjën integrale). Nëse funksioni f(x) y) është i vazhdueshëm në drejtkëndëshin Π, atëherë ku yo është çdo numër fiks që i përket segmentit [c, d). Meqenëse funksioni /(y) është i vazhdueshëm në [c, d], atëherë integralet e duhura janë në varësi të parametrit Një integral i pahijshëm i llojit të parë, në varësi të një parametri. drejtkëndësh ku. Nga këtu, duke përdorur formulën (3), marrim 1.2. Diferencimi i një integrali në lidhje me një parametër Teorema 2. Nëse funksioni f(x) y) dhe derivati ​​i tij i pjesshëm janë të vazhdueshëm në një drejtkëndësh, atëherë për çdo formulë të Leibniz-it për diferencimin në lidhje me një parametër nën shenjën integrale është e vlefshme. Duke supozuar se ], ne formulojmë një relacion diferencë duke kaluar në këtë barazi për të kufizuar si Dy -> 0 dhe duke përdorur vazhdimësinë e derivatit të pjesshëm dhe formulës (3), marrim vërejtje. Lërini kufijtë e integrimit të varen nga parametri y. Atëherë ku të dy funksionet a(y) dhe 6(y) janë të diferencueshëm në interval, me kusht që funksionet /) të jenë të vazhdueshme në domen (Fig. 2), marrim se funksioni F(y) është i diferencueshëm në (. c, d\ dhe ( 5) (6) Formula (6) vërtetohet duke përdorur diferencimin funksion kompleks. Meqenëse, derivati ​​total është vendi ku Duke zëvendësuar shprehjet për derivatet në formulën (7), marrim formulën e kërkuar (6). Shembulli 2. Duke aplikuar diferencimin në lidhje me një parametër, llogaritni integralin dhe gjithashtu derivatin e tij në lidhje me parametrin janë të vazhdueshme në drejtkëndësh Prandaj, teorema 2 mbi diferencimin e integralit në lidhje me parametrin është e zbatueshme për Ne kemi. vendos Integrimi jo t nga 0 në, ne marrim Prandaj. Duke lënë një prirje në zero dhe duke vërejtur se /(0) = 0, kemi C = 0. Prandaj, Shembulli 3. Gjeni derivatin për funksionin Duke zbatuar formulën (b), marrim: 1.3. Integrimi i integralit mbi parametrin Teorema 3. Nëse funksioni f(x, y) është i vazhdueshëm në drejtkëndësh, atëherë funksioni është i integrueshëm në intervalin [c, d\, dhe barazitë janë të vlefshme sipas teoremës 1. funksioni f(y) është i vazhdueshëm në intervalin [c, d) dhe për këtë arsye i integrueshëm në të. Vlefshmëria e formulës (8) rrjedh nga barazia e integraleve të përsëritura, Shembulli 4. Integroni integralin mbi parametrin y në intervalin nga 0 në 1. Meqenëse funksioni është i vazhdueshëm në një drejtkëndësh, Teorema 3 mbi integrimin e integralit mbi parametrin është i zbatueshëm. Kemi §2. Integrale të pahijshme , në varësi të parametrit 2.1. Koncepti i një integrali të papërshtatshëm të llojit të parë, në varësi të parametrit Le të përcaktohet një funksion i dy ndryshoreve /(x, y) në një gjysmë-shirit (Fig. 3) dhe për çdo integral fiks ekziston një integral jo i duhur, që është funksion i y. Atëherë funksioni quhet një integral i papërshtatshëm i llojit të parë, në varësi të parametrit y. Intervali (c, d) mund të jetë i pafund. Përkufizimi 1. Një integral i papërshtatshëm (1) quhet konvergjent në një pikë nëse ka një kufi të fundëm, d.m.th. nëse për çdo e > O ka një numër B0 të tillë që për të gjithë B ^ B0 pabarazia plotësohet: Nëse integrali i pahijshëm (1) konvergjon në secilën pikë të segmentit [c, d], atëherë thuhet se konvergjon në këtë segment. Integrali (1) thuhet se është absolutisht konvergjent në intervalin [с, d\, nëse integralet e duhura konvergojnë në varësi të një parametri Koncepti i një integrali të pahijshëm të llojit të parë, në varësi të një parametri të njëtrajtshëm të një integrali të papërshtatshëm. Konvergjenca uniforme e një integrali jo të duhur. Kriteri Cauchy Përkufizimi 2. Një integral i papërshtatshëm (1) thuhet se është uniformisht konvergjent në parametrin y në segmentin [c, d) nëse konvergon në këtë segment dhe për çdo e > 0 është e mundur të specifikohet një A ^ a , në varësi vetëm nga e, e tillë që për të gjithë B > A dhe për të gjithë y në intervalin [c, d\ vlen kriteri i mëposhtëm Cauchy për konvergjencën uniforme të integraleve jo të duhura në varësi të parametrit. Teorema 4. Në mënyrë që integrali i papërshtatshëm (1) të konvergojë në mënyrë të njëtrajtshme në lidhje me parametrin y në intervalin [c, d\, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që për çdo e > 0 të jetë e mundur të tregohet një numër A ^ a që varet vetëm nga e dhe e tillë që për çdo B dhe C më të madh se A, dhe për të gjithë y nga intervali [c, d], vlen pabarazia Vlefshmëria e këtij kriteri rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i konvergjencës uniforme. Le të formulojmë një kriter të mjaftueshëm për konvergjencën uniforme të integraleve jo të duhura në varësi të një parametri. Teorema 5 (testi i Weierstrass). Le të përcaktohet funksioni /(x, y) në pyupyos Poo dhe për çdo y € | c, d] është i integrueshëm në lidhje me x në çdo interval [a, A]. Le të plotësohet, përveç kësaj, pabarazia për të gjitha pikat e gjysmëshiritit Π^ nga konvergjenca e integralit f g(x) dx në bazë të kriterit Cauchy për konvergjencën e integralit të një funksioni për çdo e > 0, ne mund të specifikojmë një numër A ^ a të tillë që për të gjithë C > B ^ A pabarazia të plotësohet duke përdorur pabarazinë (4). kjo që për të gjithë y nga intervali Pra, kriteri Cauchy për konvergjencë uniforme të integralit është i plotësuar. Citr 1. Isladova t mbi konvergjencën uniforme ictral jo i duhur ku i është një parametër, Meqenëse për çdo numër real arbitrar pabarazia plotësohet dhe integrali konvergon, atëherë sipas kriterit të Weierstrass integrali (5) konvergjon në mënyrë të njëtrajtshme për të gjithë 2.3. Vetitë e integraleve të parregullt konvergjent njëtrajtësisht në varësi të parametrit Vetia 1. Vazhdimësia e integralit të parregullt në lidhje me parametrin. Nëse funksioni është i vazhdueshëm në domenin Poo dhe integrali konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në y në segmentin (c, dj, atëherë funksioni 1(y) është i vazhdueshëm në vetinë 2. Integrueshmëria e një integrali jo të duhur në lidhje me një parametër. funksioni është i vazhdueshëm në domenin I" dhe integrali (6) konvergjon në mënyrë të njëtrajtshme në y në, më pas Vetia 3. Differentiable™ i integralit të papërshtatshëm në lidhje me parametrin. Le të jetë funksioni f(x,y) dhe derivati ​​i pjesshëm сс i vazhdueshëm në domenin Pso, integrali i papërshtatshëm (6) konvergjon në mënyrë të njëtrajtshme në lidhje me y. Pastaj Shembulli 2. Llogariteni integralin në varësi të parametrit $ Në shembullin 1, vërtetuam konvergjencën e njëtrajtshme të integralit Në lidhje me parametrin s në çdo interval Le të tregojmë se integrali (9) konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në lidhje me parametrin s në çdo interval, dhe kështu kriteri Weierstrass ndjek konvergjencën e njëtrajtshme integrali (9) Duke shënuar integranin e integralit (5) vërejmë se është integrali i integralit uniformisht konvergjent (9). ) = (në) kjo është e lehtë për t'u verifikuar duke integruar me pjesë), pastaj Shembulli 3. Integrimi i barazisë mbi. Gjeni integralin Le të tregojmë fillimisht se një integral jo i duhur Integralet e duhura në varësi të një parametri Diferencimi i një integrali mbi një parametër Integrimi i një integrali në lidhje me një parametr Koncepti i një integrali të papërshtatshëm të llojit të parë në varësi të një parametri Konvergjenca uniforme e një integral jo i duhur Kriteri Cauchy Vetitë e integraleve jo të duhura konvergjente uniforme në varësi të një parametri në varësi të parametrit y, konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në segmentin (a, 6). Kjo rrjedh nga kriteri Weyer-igtrass, pasi ne integrojmë mbi parametrin y në intervalin nga a në 6. Kështu kemi Remark. Deri më tani, ne kemi konsideruar n integrale të duhura të formës hos Këto janë integrale të pahijshme të llojit të parë, në varësi të parametrit y. Një integral i pahijshëm i llojit të dytë, në varësi të parametrit y, quhet integral i formës. Teoria e integraleve jo të duhura të llojit të dytë, në varësi të një parametri, është e ngjashme me teorinë që kemi shqyrtuar për integralet e pahijshme të llojit të parë. , në varësi të një parametri.

Transkripti

1 Tema e kursit të ligjëratave: INTEGRALE TË PAPAKTUARA NË VARËSITË NGA PARAMETRI. Leksioni 7. Integrale jo të duhura në varësi të një parametri. Konvergjenca uniforme e një integrali të papërshtatshëm të llojit të th. Kriteri Cauchy. Shenjat Weierstrass, Dirichlet dhe Abel. Lidhja midis teorive të integraleve jo të duhura të llojit -të, në varësi të një parametri dhe serisë funksionale. Konvergjenca uniforme e një integrali jo të duhur të llojit të dytë. Shenja e Weierstrass. Integrale të pahijshme në varësi të një parametri. Përkufizimi. Le të ekzistojë çdo Y për një funksion f për çdo integral I = në varësi të parametrit, do ta quajmë f, d. Një integral i papërshtatshëm i llojit të th, I = f, d=lim f, d. Në fakt, si më parë, kjo është një familje parametrike e integraleve të pahijshme. Bashkësia e parametrave për të cilët integrali konvergjon quhet rajoni i konvergjencës. Konvergjenca uniforme e një integrali të llojit të th. Këtu dhe më poshtë, le të përfshihet grupi Y në domenin e konvergjencës. Përkufizimi. Integrali nëse B B, Y f, d konvergjon në mënyrë të njëtrajtshme në bashkësinë Y, f, d. Në vijim, ne do të përdorim shënimin F, = f, d për integrale të pjesshme. Kriteri Cauchy. Që familja e integraleve të pjesshme F, I të konvergojë në mënyrë të njëtrajtshme në lidhje me parametrat Y, konvergjenca uniforme në vetvete është e nevojshme dhe e mjaftueshme: B B, Y f, d. Shenja e Weierstrass. Le të konvergjojmë f, g për Y dhe x mjaftueshëm të madh dhe për disa integrale g d, atëherë integrali I konvergon absolutisht dhe në mënyrë të njëtrajtshme.

2 Dëshmi. Sipas kriterit të parë të krahasimit për integrale të pahijshme, integrali i treguar konvergjon absolutisht. Meqenëse në Y bëhet vlerësimi f, d g d, atëherë, sipas kriterit Cauchy, integrali konvergon në mënyrë të njëtrajtshme. Shembull. Konsideroni f, d, integrale si një shumë: f,. Sepse p është uniforme kudo. = Mëkatoj f, =, p, p. Le të imagjinojmë. Për një funksion f, vlerësimi është i vërtetë se d p, atëherë integrali origjinal konvergon absolutisht dhe Shembull. Konsideroni I = f, d, f, =e mëkat,. Meqenëse f, e dhe integrali e d, integrali konvergon absolutisht dhe në mënyrë të njëtrajtshme në rreze [,). Prandaj, ajo konvergon absolutisht në gjysmë-bosht. Duke integruar me pjesë dy herë, marrim se sin os e I = 2 = = = 2. Shembull. Shqyrtoni integralin M = e ln d për konvergjencë uniforme. Meqenëse për, ln, vlerësimi f, =e ln e =g është i vlefshëm për integrandin. Meqenëse integrali g d konvergjon, integrali origjinal konvergjon absolutisht dhe në mënyrë uniforme sipas kriterit të Weierstrass. Testi i Dirichletit. Ne do ta konsiderojmë integralin I = f, g, d, Y. Integralet e pjesshme për funksionin f do t'i shënojmë si F, = f t, dt. Kufiri uniform i familjes së funksioneve F nënkupton ekzistencën e një konstante K f, Y, d.b. Teorema. Le të përcaktohen funksionet f, g në, Y dhe të ekzekutohen kushtet e mëposhtme:. Funksioni f është i vazhdueshëm në, familja e funksioneve F është e kufizuar në mënyrë uniforme; 2. Ekziston një derivat i pjesshëm g, i vazhdueshëm në dhe në shenjë konstante për d.b A familje funksionesh, për në mënyrë të njëtrajtshme në lidhje me parametrat Y. Pastaj integrali I konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në bashkësinë Y.

3 Dëshmi. Le të g. Meqenëse funksioni f t, është i vazhdueshëm në t, atëherë F, = f,. Së fundi, nga kushti g, rezulton se për një arbitrar, për d.b. dhe Y vlen pabarazia g, 4 K Le të kontrollojmë përmbushjen e kushteve të kriterit Cauchy për konvergjencë uniforme për integralin I. Pra, le të, Y. Më pas, duke zbatuar formulën e integrimit sipas pjesëve, marrim se fgd. = g F d = gf Fg d. Le të vlerësojmë modulin gf. gf = g f t, dt g K 4, pastaj gf gf, gf, 2. Fg d F g d K g d= Kg K g, g, 2. Pra, në fund kemi që fgd, sipas kriterit Cauchy, integrali I konvergjon në mënyrë uniforme. Koment. Është e qartë se kriteri Dirichlet mund të zbatohet për integrale të formës f, g d, f g, d. Në rastin e parë, do të kërkohet vazhdimësia dhe shenja konstante e derivatit g dhe kushtit g, dhe në rastin e dytë, kufiri i grupit të integraleve të pjesshme të funksion të vazhdueshëm F = f t dt. mëkat Shembull. Konsideroni integralin I = d, 2. Le të jetë f, = sin, g =. Le të vlerësojmë integralet e pjesshme të funksionit 2 f: sin t dt = os t t = t = = os 2 2 funksion g, g. Sipas kriterit Dirichlet, integrali konvergon në mënyrë të njëtrajtshme. Shenja e Abelit. Teorema. Le të përcaktohen funksionet f, g, në, Y dhe të plotësohen kushtet e mëposhtme:. Funksioni f është i vazhdueshëm, integrali f, d konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në bashkësinë Y; 2. Familja e funksioneve g është e kufizuar në mënyrë të njëtrajtshme, ka një derivat të pjesshëm të vazhdueshëm të g dhe një shenjë konstante për Y dhe d.b Pastaj integrali I konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në bashkësinë Y. Vërtetimi. Le të prezantojmë konstanten K g, shënimin për F, shih më lart. Le të integrojë Y. Përsëri me pjesë segmentin e integralit:, fgd= g F d= gf Fg d ()

4 Sipas teoremës së vlerës mesatare, për një integral të caktuar të një produkti të funksioneve të vazhdueshme, njëri prej të cilëve është me shenjë konstante, ekziston një pikë e tillë që integrali Fg d=f, g, d=f, g, g, . Atëherë për anën e djathtë të barazisë () mund të shkruajmë: fgd=g, F, F, g, F, F, Meqenëse, sipas kushteve të teoremës, familja e integraleve të pjesshme F, = f t, dt f t, dt për në mënyrë të njëtrajtshme në lidhje me parametrat, atëherë, sipas kriterit të Cauchy-së për konvergjencë uniforme të një familjeje funksionesh, familja e funksioneve F konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në vetvete: F h, F, për d.b 2 K Kjo do të thotë se për një integral të caktuar Vlerësimi i mëposhtëm do të jetë i vlefshëm: fgd g, F, F, g, F , F, K 2 K K 2 K =. Koment. Është e qartë se testi i Abelit mund të zbatohet për integrale të formës f, g d, f g, d. Në rastin e parë, funksioni g kërkohet të jetë i kufizuar dhe derivati ​​i tij i zakonshëm është i vazhdueshëm dhe me shenjë konstante. Në të dytin, funksioni f është i vazhdueshëm dhe integrali f d konvergon. Shembull. Hulumtoni integralin për konvergjencë uniforme për I = e sin sin d. Le të shënojmë f = me shtrirje të vazhdueshme me një në zero, g, =e. Integrali i funksionit f konvergon. Nga mosnegativiteti i variablave, rezulton se g, familja e funksioneve, është e kufizuar. Derivati ​​i pjesshëm g = e është me shenjë konstante dhe i vazhdueshëm. Sipas kriterit të Abelit, integrali I konvergjon në mënyrë të njëtrajtshme. Marrëdhënia midis teorive të integraleve jo të duhura të llojit -të, në varësi të një parametri, dhe serisë funksionale. Njohja e kësaj lidhjeje thjeshton shumë provën e pohimeve të mëtejshme në lidhje me integrale të pahijshme në varësi të parametrit, duke i reduktuar ato në fakte të njohura teoria e serive funksionale. Do të shënojmë F, = f, d. Atëherë integrali I = lim F,. Sipas përkufizimit të Heine-s, mjafton të studiojmë rastet e të gjitha sekuencave: n, n, = (2) n = n n f, d (3).

5 Teorema. Për konvergjencën (konvergjencën uniforme) të integralit I, konvergjenca (konvergjenca e njëtrajtshme) e serisë n= n për të gjitha sekuencat (2) është e nevojshme dhe e mjaftueshme, dhe integrali e barabartë me shumën rresht. Nëse përballë të gjithëve dhe d.b. f, atëherë konvergjenca (konvergjenca e njëtrajtshme) e serisë për çdo sekuencë (2) është e mjaftueshme. Vërtetimi i pohimit kryhet në mënyrë të ngjashme me ato përkatëse të dhëna në temën "Lidhja midis teorive të integraleve të pasakta të llojit të th dhe serisë së numrave". Vetitë e integraleve jo të duhura të llojit të th në varësi të një parametri. Le të jetë f, g në. Nëse I = f, d g d, atëherë ata flasin për mundësinë e kalimit në kufi nën shenjën integrale. Teorema. Le të jetë funksioni f, i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në gjysmëshiritin [, ;,d ] ; për çdo, familja e funksioneve f, g për është në mënyrë uniforme relative në çdo segment [,] ; integrali f, d konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në lidhje me parametrin [, d]. Atëherë integrali g d konvergjon dhe mund të shkojmë në kufirin nën shenjën integrale. Dëshmi. Le të prezantojmë sekuencat dhe madhësitë (2), (3) dhe n = n Për konvergjencën e integralit n g d. I = g d (ose konvergjenca uniforme e integralit I = f, d) konvergjenca e një serie numrash n është e nevojshme dhe e mjaftueshme, dhe konvergjenca uniforme e një serie funksionesh n), dhe I = n, I = n. Sipas teoremës për kalimin në kufirin për një integral të caktuar në varësi të një parametri, lim n = n. Sipas një teoreme të ngjashme për serinë funksionale, seria e numrave n konvergon dhe lim n n = n n. Teorema 2. Le të jetë funksioni f, i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në gjysmëshiritin [, ;, d ] ; integrali f, d konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në lidhje me parametrin [, d]. Atëherë integrali I është i vazhdueshëm. Dëshmi. Nga teorema 2, për një integral të caktuar, funksionet n janë të vazhdueshme. Nga teorema 2 për një seri funksionale, shuma e saj I është e vazhdueshme. Sipas përkufizimit, ju mund të ndryshoni rendin e integrimit të përsëritur nëse d d f, d= d d f, d. Teorema 3. Nëse plotësohen kushtet e teoremës 2, rendi i integrimit të përsëritur mund të ndryshohet. Vërtetimi i pohimit bazohet në teoremat mbi integrimin e një integrali të caktuar në varësi të një parametri dhe një serie funksionale. Mundësia e diferencimit nën shenjën e serisë nënkupton që d d f, d= f, d. (ose

6 Teorema 4. Le të jetë funksioni f, i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në gjysmëshiritin [, ;, d ] ; derivati ​​i pjesshëm i f është i vazhdueshëm; integrali f, d konvergjon; integrali f, d konvergon në mënyrë të njëtrajtshme. Atëherë integrimi nën shenjën integrale është i mundur. Vërtetimi bazohet në teorema mbi diferencimin e një integrali të caktuar në varësi të një parametri dhe një serie funksionale. Teoremat 2-4 përdoren, në veçanti, kur llogariten integrale të përcaktuara dhe të pahijshme që varen dhe nuk varen nga parametri. Shembull. Gjeni integralin I = e sin d,. Zgjidhje. Meqenëse është mjaft e vështirë të gjesh integralin drejtpërdrejt, le të përpiqemi të gjejmë derivatin e tij. Për ta bërë këtë, ne vendosim një parametër fiks arbitrar në segmentin [,d], d. Le të kontrollojmë përmbushjen e kushteve të teoremës 4. Funksioni f, nën shenjën integrale, është i vazhdueshëm (në pikën = f, = është i përcaktuar vazhdimisht. Derivati ​​f = e sin është i vazhdueshëm. Për një vlerë arbitrare të Parametri, nga relacioni rrjedh se f, = f, derivati ​​i pjesshëm është i vazhdueshëm kudo. atëherë I =C rtg, Meqenëse për integralin origjinal I, atëherë I, C= 2. Së fundi, I = 2. rtg, ne paraqesim disa pohime për sjelljen e një integrali të papërshtatshëm të llojit të dytë Përkufizimi: Një integral është njëtrajtësisht konvergjent në një bashkësi Y nëse f, d me një pikë njëjës a quhet: integrali në pikën a do të konvergjojë në mënyrë të njëtrajtshme në bashkësinë Y 2, Y 2 f, d me një njëjës f, d Testi i mjaftueshëm i Weierstrass Nëse për Y, f, g, integrali g d, atëherë f, d konvergon absolutisht dhe në mënyrë të njëtrajtshme në Y. Për sa i përket integraleve të llojit -të, analogët. për këto integrale mund të formulohen teorema e Dirichlet, Abel dhe teorema -4 mbi vetitë (vazhdimësia, diferencibiliteti, integrueshmëria).

16. Konvergjenca uniforme e sekuencave dhe serive 16.1. Konsideroni një grup arbitrar X dhe një sekuencë funksionesh f të përcaktuar në X. Thuhet se sekuenca f konvergjon në drejtim të pikës

V.V. Zhuk, A.M. Seria Kamachkin 1 Power. Rrezja e konvergjencës dhe intervali i konvergjencës. Natyra e konvergjencës. Integrimi dhe diferencimi. 1.1 Rrezja e konvergjencës dhe intervali i konvergjencës. Gama funksionale

5 Kapitulli FUNKSIONET E DISA NDRYSHOREVE Hapësirë ​​R n Koncepti i një funksioni prej disa Përkufizimi i variablave Bashkësia e të gjitha bashkësive të renditura (, n), ku n janë numra realë, quhet n-dimensionale

1. Analiza matematikore, semestri i parë Lista e pyetjeve për provimin 1.1. Përkufizime (2006-2007, semestri 1 1. Formuloni përkufizimin e një grupi të kufizuar numra realë. 2. Formuloni një përkufizim

4 Integrali i caktuar i Rimanit. Përkufizim, teorema e përgjithësuar e vlerës mesatare, integrale me ndryshore kufiri i sipërm, formula e ndryshimit të ndryshores, integrim sipas pjesëve, disa pabarazi. 4.1

1. Përkufizimi dhe vetitë themelore të integralit të Rimanit Përkufizimi i një ndarjeje Një ndarje e segmentit [, b] është një grup pikash = x 1< x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

S A Lavrenchenko wwwwrckoru Leksion Transformimi Furier Koncepti i transformimit integral Metoda e transformimeve integrale është një nga metoda të fuqishme fizika matematikore është një zgjidhje e fuqishme

8 Barrow Isaac (Brrow Is) -77 matematikan, filolog, teolog anglez. Profesor Universiteti i Kembrixhit. Autor i leksioneve për optikën dhe gjeometrinë (9-7). Nga teorema del se integrali i caktuar

VARIACIONI DHE EKSTREMI I FUNKSIONALIT A. N. Myagky Ekuacionet integrale dhe llogaritja e variacioneve Leksion Le të jetë dhënë funksionalja V = V , y(x) M E. Le të rregullojmë funksionin y (x) M. Pastaj çdo funksion tjetër

Kapitulli Seritë e fuqisë a a a Një seri e formës a a a a () quhet seri fuqie, ku, a, janë konstante të quajtura koeficientë të serisë Ndonjëherë një seri fuqie konsiderohet më shumë pamje e përgjithshme: a a(a) a(a) a(a) (), ku

Integrueshmëria e një funksioni (sipas Riemann) dhe e një integrali të caktuar Shembuj të zgjidhjes së problemeve 1. Funksioni konstant f(x) = C është e integrueshme në , pasi për çdo ndarje dhe çdo zgjedhje të pikave ξ i integrali

8. Integrali i caktuar 8.. Le të jetë f funksion të kufizuar, e përcaktuar në segmentin [, b] R. Një ndarje e segmentit [, b] është një grup pikash τ = (x, x,..., x n, x n) [, b] të tilla që = x< x < < x n < x n =

Leksioni 8 Teoremat e Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange dhe L'Hopital Abstrakt: Të gjitha këto teorema janë vërtetuar dhe janë dhënë shembuj të zbulimit të pasigurive sipas rregullit të L'Hopital. Përkufizimi Funksioni y=f().

PARATHËNIE Manuali është një vazhdimësi. Ai u krijua në bazë të teksteve të njohura për analizën matematikore [6]. Ai bazohet në ligjëratat e V.V. Zhuk, të cilat u lexuan disa herë

MINISTRIA E ARSIMIT DHE SHKENCËS E FEDERATËS RUSE Nizhny Novgorod Universiteti Shtetëror me emrin NI Lobachevsky Udhëzimet për zgjidhjen e problemeve në integrale me një parametër Manual edukativo-metodologjik

Integrali i dyfishtë Përkufizimi i integralit të dyfishtë dhe vetitë e tij Si të llogaritet problemi i sipërfaqes trapezoid i lakuarçon në një integral të caktuar të një funksioni të një ndryshoreje, pra një problem i ngjashëm

S A Lavrenchenko wwwlawrecekoru Leksion Prezantimi i funksioneve seri fuqie Hyrje Paraqitja e funksioneve sipas serive të fuqisë është e dobishme në zgjidhjen e problemeve të mëposhtme: - integrimi i funksioneve

Integrale jo të duhura me kufij të pafund integrimi. Përkufizimi. Vetitë. Shenjat e konvergjencës. Shembuj me zgjidhje. Përkufizim Le të jetë funksioni f() i përcaktuar për të gjitha a dhe i integrueshëm në cilindo

TICKET 1 “3” Përkufizimi i Teoremës 12 të antiderivativit “3” (mbi integrueshmërinë funksioni monoton) "3" Teorema 4 (teorema e krahasimit për seritë) TICKET 2 "3" Përkufizimi i antiderivativit të përgjithësuar "3" Teorema 16

1 Funksionet janë të vazhdueshme në një interval (teoremat e Bolzano-Cauchy, Weierstrass, Cantor). Funksionaliteti është i vazhdueshëm në kompakt. 1.1 Teorema mbi vlerat e ndërmjetme Teorema 1. (Bolzano-Cauchy) Le të jetë funksioni f i vazhdueshëm në interval, dhe f(a) f(b). Atëherë për çdo numër C që gjendet ndërmjet f(a) dhe f(b) ekziston një pikë γ (a, b) e tillë që f(γ) = C. Vërtetim. Le të, për shembull, f(a) = A< B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на . Кроме того, g(a) < 0, g(b) >0. Për të vërtetuar teoremën, mjafton të tregohet se ekziston një pikë γ (a, b) e tillë që g(γ) = 0. Ndani segmentin me pikën x 0 në dy segmente me gjatësi të barabartë, pastaj ose g (x 0) = 0 dhe, kjo do të thotë se është gjetur pika e dëshiruar γ = x 0, ose g(x 0) 0 dhe më pas në skajet e njërit prej intervaleve rezultuese funksioni g merr vlera të shenjave të ndryshme , më saktë, në skajin e majtë vlera më pak se zero, në të djathtë - më shumë. Le ta caktojmë këtë segment dhe ta ndajmë përsëri në dy segmente me gjatësi të barabartë, etj. Si rezultat, ose pas një numri të kufizuar hapash arrijmë në pikën e dëshiruar γ, në të cilën g(γ) = 0, ose marrim një sekuencë segmentesh të mbivendosur përgjatë gjatësisë që priren në zero dhe të tillë që g(a n)< 0 < g(b n) (1) Пусть γ - pikë e përbashkët e të gjithë segmenteve , n = 1, 2,... Atëherë γ = lim a n = lim b n. Prandaj, për shkak të vazhdimësisë së funksionit g Nga (1) gjejmë se g(γ) = lim g(a n) = lim g(b n) (2) Nga (2) dhe (3) rrjedh se g(γ ) = 0 lim g(a n) 0 lim g(b n) (3) Përfundimi 1. Nëse një funksion është i vazhdueshëm në një segment dhe merr vlera të shenjave të ndryshme në skajet e tij, atëherë ka të paktën një pikë në këtë segment në të cilin funksioni zhduket. 1.2 Teorema e parë dhe e dytë e Weierstrass Ne do të themi se një funksion f i përcaktuar në një bashkësi E arrin kufirin e tij të sipërm (të poshtëm) β = sup E f (α = inf E f) në të nëse ekziston një pikë x 0 E e tillë që f( x 0) = β (f(x 0) = α). 1

Leksioni 3 Teorema e ekzistencës dhe unike e një zgjidhjeje të një ekuacioni skalar Paraqitja e problemit Rezultati kryesor Merrni parasysh problemin e Cauchy-së d f () d =, () = Funksioni f (,) përcaktohet në rajonin G të rrafshit (,

Universiteti Shtetëror i Moskës Universiteti Teknik me emrin N.E. Fakulteti Bauman" Shkenca Bazë"Departamenti" Modelimi i matematikës» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

178 4 Vetitë themelore të integralit të caktuar Le të shqyrtojmë vetitë themelore të integralit të caktuar. 1) Nëse kufijtë e poshtëm dhe të sipërm të integrimit janë të barabartë (=), atëherë integrali e barabartë me zero f () d = 0 Jepet

4. Koncepti seri numrash. Kriteri Cauchy për konvergjencën e një serie numrash. Fjala "seri" në analizën matematikore nënkupton shumën numër i pafund kushtet. Konsideroni një sekuencë numrash arbitrare

LEKTURA 8A 9A Hapësira D, vazhdim 5 Ndryshimi linear i ndryshores Për të prezantuar një veprim linear (më saktë, zëvendësimi i afinës variabël, si më parë, ne do të përdorim parimin e vazhdimit nga një grup i rregullt

PYETJE DHE PROBLEME MODEL për provimin përfundimtar në disiplinën “Analiza matematike” Matematikë e aplikuar në provim me gojë studenti merr dy çështje teorike dhe dy probleme Gjithsej 66 pyetje në vit

Pyetje dhe detyra për provimin në analizën matematikore Semestri I, - Tema Kompletet e numrave dhe sekuencat Përkufizime Formuloni një përkufizim: një grup i kufizuar numrash realë i kufizuar

I vit, detyrë. Vërtetoni se funksioni i Riemann-it, nëse 0, m m R(), nëse, m, m 0, dhe thyesa është e pakalueshme, 0, nëse iracionale, është i ndërprerë në çdo pikë racionale dhe i vazhdueshëm në çdo pikë irracionale. Zgjidhje.

Leksioni 6 integrali i caktuar i Rimanit Abstrakt: Vihet re se përveç integralit të Rimanit, janë konsideruar edhe vetitë e integralit të caktuar

Tema e kursit të ligjëratave: ZBATIMI I TEORISË TË INTEGRALËVE TË VARUR NË PARAMETRIN NË LLOGARITJEN E DISA INTEGRALËVE TË PAKËSHTATSHME INTEGRALE EULER EULER Leksion 8 integral Euler-Poisson Integral Laplace integral Fresnel

Leksioni 7 DERIVATET E DOBËT DHE TË FORTË 1. Derivati ​​i dobët Përkufizim 1. Funksioni v(x) L p loc () quhet derivat i dobët x α i funksionit u(x) L p loc () dhe shkruajmë v(x) = α u(x) , nëse për ndonjë funksion

HYRJE NË ANALIZËN MATEMATIKE Tema: Kufiri dhe vazhdimësia e një funksioni Leksioni 6 Limiti sekuenca e numrave PËRMBAJTJA: Kalimi në kufirin në pabarazitë Pasardhës Sekuencat themelore

58 Integral i caktuar Le të jepet funksioni () në interval Do ta konsiderojmë funksionin të vazhdueshëm, edhe pse kjo nuk është e nevojshme Le të zgjedhim në interval numra arbitrar, 3, n-, që plotëson kushtin:

SA Lavrenchenko wwwlwrncnkoru Mësim praktik 9 Integrale jo të duhura Llogaritjet standarde, integrale jo të duhura të llojit të integralit të pahijshëm të llojit të shënojmë dhe përkufizojmë si më poshtë:

Chir e Mth. Anlysis, SPb. Universiteti Stte. A.V. Poteun, Studimi i konvergjencës së integraleve jo të duhura Udhëzime metodologjike për zgjidhjen e problemeve A. V. Poteun Siç dihet (shih, Kapitulli III, 7), nëse

UNIVERSITETI SHTETËROR Bjellorusian FAKULTETI I MATEMATIKËS SË APLIKUAR DHE SHKENCAVE TË INFORMACIONIT DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS SË LARTË INTEGRALET E RËNDËSISHME Manual edukativ dhe metodologjik për studentët e Fakultetit të Matematikës së Aplikuar

Funksionet janë të vazhdueshme në një interval (teorema e Bolzano-Cauchy, Weierstrass, Cantor). Funksionalitetet janë të vazhdueshme në një grup kompakt teorema mbi vlerat e ndërmjetme. (Bolzano-Cauchy) Le të jetë funksioni f i vazhdueshëm

Ministria e Arsimit dhe Shkencës Federata Ruse Agjencia Federale Shteti sipas arsimit institucion arsimor më të larta Arsimi profesional UNIVERSITETI SHTETËROR ROSTOV

MINISTRIA E SHKENCËS DHE ARSIMIT E UNIVERSITETIT TË HAPUR SHTETËROR RF MOSKË me emrin VS Chernomyrdin KOLOMENSKY INSTITUTI DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS DHE FIZIKËS SË LARTË EF KALINICHENKO LEKTURA MBI CALCULCIFIC

LEKTURA Integralet jo të duhura dhe vetitë e tyre Kushtëzuar dhe konvergjencë absolute Shenjat e konvergjencës Përkufizimi i një integrali të caktuar, vetitë e tij dhe metodat e integrimit u konsideruan nën supozimin

Kapitulli 7. VAZHDUESHMËRIA UNIFORME E FUNKSIONIVE Një funksion f () x quhet njëtrajtësisht i vazhdueshëm në një bashkësi X nëse > δδ () > () () x x X x x

shënim programi i punës disiplinat B.2.B.1 analiza matematikore Drejtimi i trajnimit: 080100.62 “Ekonomi” Profili: “Ekonomia dhe informacioni dhe menaxhmenti matematikor” 1. Qëllimet dhe objektivat e disiplinës

1. Integrali i caktuar 1.1. Le të jetë f një funksion i kufizuar i përcaktuar në segmentin [, b] R. Një ndarje e segmentit [, b] është një grup pikash τ = (x, x 1,..., x n 1, x n) [, b ] të tillë që = x< x 1 < < x n 1

Përmbajtja Kapitulli Hapësira Euklidiane Koncepti i hapësirës Euklidiane m-dimensionale Bashkësi pikash të hapësirës Euklidiane m-dimensionale 4 m Sekuencat e pikave të hapësirës R 5 4 Kufiri i një funksioni të m variablave

13. Derivatet e pjesshëm të rendit më të lartë Le = kanë dhe përcaktohen në D O. Funksionet dhe quhen edhe derivate të pjesshëm të rendit të parë të një funksioni ose derivate të parë të pjesshëm të një funksioni. dhe në përgjithësi

Shteti i Penzës Universiteti Pedagogjik me emrin VGBelinsky RANKS OGNIKITIN Tutorial Penza Botuar me vendim të këshillit redaktues dhe botues të Pedagogjisë Shtetërore të Penzës

Leksioni 7 Numrat kompleksë, paraqitja e tyre në rrafsh Veprimet algjebrike në numrat komplekse Lidhja komplekse Moduli dhe argumenti numër kompleks Format algjebrike dhe trigonometrike

PUNË LABORATORIKE 5 KALIMI NË KUFIZIN NË SHENJËN INTEGRALE LEBESGUE I. Konceptet themelore dhe teorema Le të jetë X një bashkësi, një -algjebër e nëngrupeve të një bashkësie X dhe i jepet një -aditiv i plotë

11. Derivati ​​(vazhdim); funksionet e vazhdueshme Në leksionin e fundit nxorrën rregullin për diferencimin e prodhimit të funksioneve; Tani do të merremi me diferencimin e herësve. Le të vërejmë së pari këtë

6 Probleme që çojnë në konceptin e derivatit Let pikë materiale lëviz në një vijë të drejtë në një drejtim sipas ligjit s f (t), ku t është koha dhe s është rruga, të përshkueshme në pikë gjatë kohës t Le të shënojmë një moment të caktuar

Seminari 3 Kufiri i një funksioni të disa ndryshoreve O. Le të jetë D disa bashkësi pikash në hapësirën R m: D R m. Le të lidhet çdo pikë M(x, x, x m) D me një numër të caktuar u R. Pastaj ata thonë:

HYRJE Gjatë studimit proceset stacionare të ndryshme natyra fizike(lëkundjet, përçueshmëria termike, difuzioni etj. zakonisht vijnë në ekuacione të tipit eliptik. Ekuacioni më i zakonshëm

Mësimi 24 Integralet Euler (funksionet Γ dhe B) Analiza matematike, matematika e aplikuar, semestri i 3-të Përkufizime të funksionit gama dhe funksionit beta: Γ(x) = t x 1 e t dt B(x, y) = t x 1 ( 1 t) y 1 dt D 3841 Vërtetoni se funksioni

Leksioni 19 DERIVATI DHE ZBATIMET E TIJ. PËRKUFIZIMI I DERIVATIT. Le të kemi një funksion y=f(x), të përcaktuar në një interval. Për secilën vlerë të argumentit x nga ky interval, funksioni y=f(x)

Ministria e Arsimit e Federatës Ruse Universiteti Teknik Shtetëror Ulyanovsk SERIA NUMERIKE DHE FUNKSIONALE FOURIER SERIA Ulyanovsk UDC 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 recensues Kandidat i fizikës dhe matematikës

Departamenti i Matematikës dhe Informatikës Analiza Matematikore Kompleksi i trajnimit dhe metodologjisë për studentët e arsimit të lartë që studiojnë duke përdorur teknologjitë në distancë Moduli 4 Aplikacionet e derivative Përpiluar nga: Profesor i Asociuar

Leksioni 6 9 Parimi i pasqyrimeve të tkurrjes Teorema rreth pikë fikse Le të jetë D një operator jolinear, duke folur në përgjithësi, që vepron nga një hapësirë ​​Banach B në vetvete

TEMA V SERIA FOURIER LEKTURA 6 Zbërthimi funksion periodik në serinë Fourier Shumë procese që ndodhin në natyrë dhe teknologji kanë vetitë e përsëritjes së tyre në intervale të caktuara kohore

Fondet Fondet e mjeteve të vlerësimit në disiplinën B.2.1 “Analiza matematikore” për kryerjen e kontrolli aktual performanca akademike dhe certifikimi i ndërmjetëm studentë në drejtimin 080100.62 Temat “Ekonomia”.

Ministria e Arsimit dhe Shkencës së Federatës Ruse INSTITUCIONI ARSIMOR I BUXHETIT SHTETËROR FEDERAL I ARSIMIT TË LARTË PROFESIONAL "UNIVERSITETI SHTETËROR SARATOV ME EMËR

LEKTORIA N Diferencial i plotë, derivatet e pjesshme dhe diferencialet e rendeve me te larta Diferenciale totale Diferencat e pjesshme Derivatet e pjesshme te rendeve me te larta Diferencialet e rendit te larte 4Derivatet

Analiza matematikore Seksioni: Hyrje në analizë Tema: Kufiri i një kufiri funksioni të një funksioni dhe vetitë e tij, i pafund. karakteristika të shkëlqyera dhe vetitë e tyre Ligjërues Januszczyk OV 215 g 3 Kufiri i një funksioni 1 Përkufizimi i kufirit

LAB 6 TRANSFORMI I FOURIERIT I KONCEPTET THEMELORE DHE TEOREMAT Përkufizimi Transformimi Furier i një funksioni nga L është një funksion i përcaktuar nga barazia d Operatori F: quhet

Universiteti Shtetëror i Moskës me emrin M.V. Lomonosova V.A. Ilyin, V.A. Sadovnichy, Bl.Kh. Sendov TEKSTORI ANALIZA MATEMATIKE Në 2 pjesë Pjesa 2 Botimi i dytë, i rishikuar dhe zgjeruar Redaktuar nga

џ. Koncepti i një serie numrash. Le të jepet një varg numrash a, a 2,..., a,..... Seria e numrave quhet shprehja a = a + a 2 +... + a +... (.) Numrat a, a 2,..., a,... quhen terma të serisë, a.

Lista e problemave me zgjidhje në analizën funksionale Le të jetë një hapësirë ​​e normuar lineare Vërtetoni se për çdo element vlen pabarazia nga aksiomat e normës:, atëherë: A është e mundur në hapësirë.

Për të përcaktuar integralin në varësi të parametrit, ne prezantojmë funksionin . Le të përcaktohet ky funksion në një grup të caktuar, ku dhe , domethënë, rezultati do të jetë grupi . Nëse funksioni është i vazhdueshëm në D, atëherë integrali ka kuptim, ku x i përket një intervali të fundëm ose të pafund, që do të thotë se integrali mund të jetë i papërshtatshëm.

Bazuar në këtë, ne mund të japim një përkufizim të një integrali në varësi të parametrit.

Përkufizimi.

Integrale quhet integral në varësi të një parametri nëse është i integrueshëm në intervalin për ndonjë fiks , ku .

Prandaj, është një funksion i një ndryshoreje (parametri) të përcaktuar në interval. Është gjithashtu e mundur që integrali të ekzistojë për një fikse , atëherë ai do të jetë një funksion i një ndryshoreje (parametri) të përcaktuar në intervalin . Është caktuar kështu, pra .

Detyra kryesore do të jetë që, duke ditur vetitë e funksionit, të merrni informacion në lidhje me vetitë e funksionit. Këto veti kanë shumë aplikime, veçanërisht kur llogariten integrale të pahijshme.

Shembull. Gjeni integralin e funksionit,

Funksioni është i vazhdueshëm në interval për çdo fiks, që do të thotë se është i integrueshëm. Pastaj

.

Pika 2. Kalimi në kufirin nën shenjën integrale. Vazhdimësia e integralit në funksion të një parametri

Përkufizimi.

Le të jetë pika kufitare e grupit Një funksion thuhet se konvergjon në mënyrë të njëtrajtshme në një funksion në variablin nëse plotësohen kushtet e mëposhtme:

1. sepse në ka një funksion limit të fundëm ;

Shënim 1.

Në zinxhirin (1) varet vetëm nga dhe nuk varet nga , dhe pabarazia kryhet për çdo në të njëjtën kohë.

Shënim 2.

Nëse , atëherë në zinxhirin (1) pabarazia duhet të zëvendësohet me ().

Teorema 1 (testi i konvergjencës). Nëse një funksion përcaktohet në grup, atëherë në mënyrë që ai të ketë një funksion limit dhe të konvergojë në mënyrë të njëtrajtshme me të, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që zinxhiri

Le ta vërtetojmë teoremën si kjo.

Domosdoshmëri. Lëreni funksionin të konvergojë në mënyrë të njëtrajtshme. Nëse zëvendësojmë në përkufizim me dhe zgjedhim në përputhje me rrethanat, dhe pastaj marrim dy vlera dhe nga në mënyrë që kushtet dhe janë të kënaqur. Si rezultat marrim Dhe prej nga vijon pabarazia e fundit në zinxhir .

Përshtatshmëria. Tani le të ketë një funksion limit. Është e nevojshme të vërtetohet konvergjenca uniforme e funksionit me funksionin kufi. Për ta bërë këtë, le të kalojmë në kufirin e pabarazisë në , rezulton . Që konfirmon konvergjencën uniforme me funksionin.

Teorema 2 (mbi vazhdimësinë e funksionit limit). Nëse një funksion për çdo vlerë fikse është i vazhdueshëm në dhe konvergjon në mënyrë uniforme në një funksion limit në lidhje me ndryshoren në, atëherë funksioni është gjithashtu i vazhdueshëm në.

Teorema e Dinit përgjithësohet lehtësisht: nëse një funksion është i vazhdueshëm për çdo të fiksuar në dhe me rritjen e funksionit, duke u rritur në mënyrë monotone, ai tenton në funksionin kufi, atëherë ai konvergon në mënyrë të njëtrajtshme.

Teorema 3 (kalimi në kufi në lidhje me parametrin nën shenjën integrale). Nëse funksioni është i vazhdueshëm në vlerë konstante në dhe konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në variablin me funksionin limit në , atëherë barazia vlen

(2)

Dëshmi.

Vazhdimësia rrjedh nga teorema 2, që do të thotë se është e integrueshme në interval. Për shkak të konvergjencës uniforme, k qëndron. Pastaj, me të njëjtën, kemi:

Nga vjen? , e cila vërteton formulën (2).

Shënim 3.

Barazia (2) mund të shkruhet në një formë tjetër

. (2`)

Përfundimi 1.

Nëse një funksion është i vazhdueshëm në konstante dhe, ndërsa rritet, priret, duke u rritur në mënyrë monotone, në një funksion kufi të vazhdueshëm, atëherë formulat (2) dhe (2`) janë të vlefshme.

Duke supozuar se rajoni është një interval i kufizuar, shqyrtoni çështjen e vazhdimësisë së funksionit.

Shembull(Nr. 3713 (c)). Gjej .

1. funksion funksioni i vazhdueshëm në . Funksionet dhe janë gjithashtu të vazhdueshme në .

2. funksioni i vazhdueshëm (v.4 dhe sl.2) në interval, që do të thotë

Teorema 4 (mbi vazhdimësinë e integralit në funksion të parametrit). Le të jetë funksioni i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në drejtkëndësh , pastaj integrali do të jetë një funksion i vazhdueshëm i parametrit në intervalin .

Dëshmi.

Meqenëse është në vazhdimësi komplet i mbyllur, atëherë sipas teoremës së Cantorit është uniformisht i vazhdueshëm në një drejtkëndësh të caktuar. Le të marrim ndonjë dhe ta rregullojmë. Atëherë vlera jonë do të korrespondojë me , I tillë që për çdo dy pika që i përkasin , Nga pabarazitë dhe , do të pasojë. Le të , , ku , të jetë ndonjë nga , dhe , ku . Pastaj marrim

Kjo do të thotë që funksioni në mënyrë uniforme tenton të . Në këtë rast, nga teorema 3 , dhe nga kjo rrjedh barazia , domethënë funksioni ynë është i vazhdueshëm në .

Shënim 4. Teorema për , Ku.

Përfundimi 2. Nëse është e vazhdueshme në një drejtkëndësh, atëherë .

Shembull. Gjej .

1. i vazhdueshëm në

2. pastaj nga teorema 4. dhe përfundimi 2 marrim

Pika 3. Diferencimi nën shenjën integrale

Kur studiohen vetitë e një funksioni e rëndësishme ka një pyetje në lidhje me derivatin e tij në lidhje me një parametër. Ju mund të llogarisni derivatin duke përdorur formulën , e cila u përftua nga Leibniz në 1697. Le të shqyrtojmë një teoremë që vendos kushte të thjeshta të mjaftueshme për zbatueshmërinë e kësaj formule.

Teorema (mbi diferencimin e një integrali në varësi të një parametri). Le të jetë funksioni i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në drejtkëndësh dhe të ketë një derivat të pjesshëm të vazhdueshëm atje. Le , . Pastaj:

1. funksioni ka derivat në interval;

2. , kjo eshte , .

Dëshmi.

Le të marrim çdo pikë dhe ta rregullojmë atë. Le të shtojmë një rritje dhe një pikë . Pastaj , ,

(1)

Sipas teoremës së Lagranzhit. Prandaj,

. (2)

Duke kaluar në (2) në kufirin në , duke marrë parasysh teoremën mbi pranueshmërinë e kalimit në kufirin nën shenjën integrale, marrim:

Nga kjo rezulton se ekziston, dhe . Meqenëse - çdo, atëherë ekziston për çdo, dhe .

Shembull. Gjeni derivatin e një funksioni .

1. i vazhdueshëm në

2. . Ky funksion është gjithashtu i vazhdueshëm në .

4.

Pika 4. Integrimi mbi një parametër nën shenjën integrale

Le të shqyrtojmë çështjen e integrimit mbi parametrin e funksionit . Nëse është i integrueshëm, atëherë integrali do të ketë formën . Teorema e mëposhtme ofron një kusht të mjaftueshëm për barazinë e dy integraleve të përsëritur.

Teorema. Nëse e vazhdueshme në të dyja funksioni i ndryshueshëm në një drejtkëndësh , Kjo funksioni i integrueshëm në intervalin dhe barazia vlen , kjo eshte .

Mund të shkruhet gjithashtu duke përdorur integrale të përsëritura si më poshtë: .

Le të provojmë një barazi më të përgjithshme.

për këdo. (1)

Në të majtë dhe pjesët e duhura barazia (1) kemi dy funksione të parametrit t. Le të llogarisim derivatet e tyre me t. Meqenëse , atëherë (t.4 f.2), dhe prandaj ekziston një integral me një kufi të sipërm të ndryshueshëm të një funksioni të vazhdueshëm. Pastaj, nga teorema e Barrow:

, . (2)

Në anën e djathtë ka një integral, ku . Në të vërtetë, funksioni plotëson kushtet e Teoremës 3, ai është gjithashtu i vazhdueshëm në bazë të Teoremës 4, Seksioni 2. Mund të gjejmë derivatin , i cili do të jetë i vazhdueshëm në funksion të dy ndryshoreve.

Pastaj, nga teorema mbi diferencimin në lidhje me një parametër nën shenjën integrale

, . (3)

Ne shohim se anët e majta dhe të djathta të barazisë (1) kanë derivate që përputhen në intervalin (shih (2) dhe (3)). Kjo do të thotë se ato ndryshojnë në këtë interval vetëm nga vlerë konstante, dmth.

. (4)

Vendosja (4) t = c, do të marrim . Kjo do të thotë se në vend të (4) do të kemi për ndonjë

. (5)

Lëreni të hyjë (5) t = d, marrim

.

Kjo është ajo që na duhej të merrnim.

Kapitulli 2. Integrale jo të duhura në varësi të një parametri

Pika 1. Konvergjenca uniforme e integraleve jo të duhura në varësi të një parametri

Kur shqyrtohet teoria e integraleve në varësi të një parametri në rastin e integraleve jo të duhura rol të veçantë luan koncepti i konvergjencës uniforme. Le ta sqarojmë fillimisht këtë koncept për integrale të pahijshme të llojit të parë (NIIP-1), pastaj për integrale të llojit të dytë (NIIP-2).

Le të jetë një funksion i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në një drejtkëndësh të caktuar dhe, për çdo vlerë fikse, ekziston një integral i gabuar, në varësi të parametrit, të këtij funksioni në çdo interval. Atëherë integrali konvergon dhe është i barabartë me

.

Në këtë rast, quhet një integral i papërshtatshëm i llojit të parë (IIP-1).

Deklarata që konvergon për çdo do të thotë si vijon: për çdo fikse

.

Prandaj,

ose .

Kjo do të thotë që për secilin, për cilindo, mund të specifikoni një numër të tillë që nëse , atëherë . Është e rëndësishme të theksohet se varet nga të dyja: . Nëse për ndonjë mund të specifikoni një numër që varet vetëm nga , i tillë që kur sepse, atëherë në këtë rast quhet uniformisht konvergjent në lidhje me parametrin .

Tani ne formulojmë kriterin Cauchy për konvergjencë uniforme për rastin tonë si më poshtë:

Teorema 1. (Kriteri Cauchy për konvergjencë uniforme për NISP-1). Në mënyrë që integrali të konvergojë në mënyrë të njëtrajtshme mbi ndryshoren në interval, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që zinxhiri

, .

Le të shqyrtojmë indikacione të mjaftueshme konvergjencë uniforme.

Teorema 2. (Testi Weierstrass për konvergjencë uniforme të NISP-1). Le të jetë funksioni i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në drejtkëndësh dhe plotëson kushtet:

1. e vazhdueshme në lidhje me variablin,

2. ekziston një funksion që,

3. - konvergon.

Nga kjo rezulton se konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në.

Dëshmi.

Në përputhje me kushtin 3) të kriterit Cauchy për konvergjencën e integraleve jo të duhura të llojit të parë të një funksioni të një ndryshoreje, kemi:

(1)

Pastaj, për të njëjtën gjë si në zinxhir, marrim

.

Dhe nga këtu, nga Teorema 1, integrali konvergon në mënyrë uniforme.

Koment.

Kur plotësohen kushtet e teoremës 2, themi se funksioni ka një majorant të integrueshëm ose se integrali është i madhoruar nga një integral konvergjent.

Pasoja.

Le të plotësohen kushtet e mëposhtme:

1. funksioni është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në ;

2. funksioni është i kufizuar në një drejtkëndësh;

3. integrali konvergon, atëherë rrjedh se

konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në .

Le të shënojmë me dhe merr si , dhe si funksion . Më pas, bazuar në teoremën 2, marrim zinxhirin (1).

Koncepti i konvergjencës uniforme të integraleve të pahijshme të llojit të dytë (NIIP-2) është paraqitur në një mënyrë krejtësisht të ngjashme.

Le të përcaktohet funksioni në domenin (a,b,c - numrat e fundëm). Le të konvergojë integrali i papërshtatshëm për. Në këtë rast, do të jetë një funksion i një ndryshoreje (parametri) të përcaktuar në interval. Deklarata që integrali i papërshtatshëm konvergjon në , do të thotë si vijon. Për çdo integral fiks

(Këtu). Kjo do të thotë që për secilën nga secili mund të specifikohet në mënyrë që, në varësi të kushtit, . Është e rëndësishme të theksohet se numri zgjidhet nga , dhe do të jetë i ndryshëm për të gjithë, me fjalë të tjera, varet nga të dyja , dhe: . Nëse është e mundur të tregohet e tillë që varet vetëm nga , e tillë që kur kushti të plotësohet do të jetë e vërtetë për të gjitha në të njëjtën kohë, quhet integrali i papërshtatshëm uniformisht konvergjent në lidhje me parametrin. Shkurtimisht, ata thonë se një integral quhet uniformisht konvergjent në një ndryshore nëse konvergjon në dhe zinxhiri qëndron:
.

Për NISP-2, teorema të ngjashme me t.1 dhe t.2 janë të vlefshme.

Teorema 3. (Kriteri Cauchy për konvergjencë uniforme të NISP-2). Në mënyrë që NISP-2 të konvergojë në mënyrë uniforme në të është e nevojshme dhe e mjaftueshme që:

, .

Teorema 4. Le të përcaktohet një funksion në një domen dhe të plotësojë kushtet e mëposhtme:

1. funksioni është i vazhdueshëm në , për ;

2. ekziston një funksion i tillë që , Dhe .

3. - konvergon

NISP-2 konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në .

Prova është e ngjashme me vërtetimin e Teoremës 2.

Shembull. Hulumtoni integralin për konvergjencë uniforme .

Për të përcaktuar konvergjencën uniforme, është e nevojshme të kontrolloni nëse të gjitha kushtet e teoremës 2 janë përmbushur.

1. të përcaktuara dhe të vazhdueshme në rajon;

2. ka një funksion, , për këdo;

3. , domethënë konvergon.

Meqenëse plotësohen të gjitha kushtet, integrali konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në lidhje me çdo interval.

Pika 2. Vazhdimësia e NILP, kalimi në kufi nën shenjën integrale.

Në këtë seksion do të shqyrtojmë kalimin në kufi nën shenjën e integralit, i cili ka kufi i pafund, dhe vazhdimësinë e integralit në funksion të parametrit. Kushtet e mjaftueshme për pranueshmërinë e kalimit në kufi jepen nga teorema e mëposhtme:

Teorema 1. Lëreni funksionin e përcaktuar në drejtkëndësh , plotëson kushtet:

1. funksion në interval;

2. në mënyrë të njëtrajtshme tenton të për , ku ;

3. integrali konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në.

Si rezultat, barazia është e vërtetë

(1)

Dëshmi.

Funksioni do të jetë i vazhdueshëm. Me kushtin e konvergjencës uniforme, për çdo ka të tillë që , për , por vetëm . Duke kaluar në kufirin në nën shenjën integrale, marrim . Kjo do të thotë se është një funksion që është i integrueshëm në një interval të pafund. Pastaj për , ne kemi është e vazhdueshme dhe e integrueshme në intervalin - kjo është çdo fikse e, atëherë formula është e vlefshme Më shpesh, një ndërrim i tillë është i vështirë për t'u bërë. , integrale. Kjo barazi është vendosur për , që formula (*) është e kënaqur.

Diferencimi në lidhje me një parametër ndonjëherë mund të përdoret për të vlerësuar integralet.

Shembulli 5 . Llogaritni në a> 1 .

Zgjidhje . Le të gjejmë derivatin e integralit në lidhje me parametrin A. Prandaj, është e lehtë të kontrollohet nëse kërkesat e Teoremës 4 janë përmbushur

.

Le të aplikojmë zëvendësimin t= tgx. Pastaj , , . Nëse X® 0 ,Ajo t® 0 , nese atehere t® ¥ . Ne vazhdojmë llogaritjen:

.

Tani, duke llogaritur integralin, marrim:

.

Konstante ME lehtë për t'u gjetur sepse

.

Nga këtu: fqln2+C= 0 ,T. e. ME= –fqln2. Më në fund marrim:

Tani le të mësojmë se si të llogarisim derivatet në rastin kur jo vetëm funksioni i integrandit, por edhe kufijtë e integrimit varen nga parametri.

Teorema 5 . Le f(x,y), e vazhdueshme në drejtkëndësh D= ´ ; le funksionet a(y), b(y) në yÎ të diferencueshme, dhe a£ a(y)£ b,a£ b(y)£ b. Pastaj

Dëshmi . Le të marrim një pikë arbitrare y 0Î dhe llogaritni sipas përkufizimit: . Por së pari ne shkruajmë, duke përdorur aditivitetin e integralit:

Derivati ​​i termit të dytë llogaritet duke përdorur Teoremën 4:

.

Le të gjejmë derivatin e termit të tretë:

Ne përdorëm teoremën e vlerës mesatare për integral i caktuar, dhe më pas me vazhdimësi f(x,y) dhe diferencim b(y). Derivati ​​i termit të parë llogaritet saktësisht në të njëjtën mënyrë:

.

Duke shtuar të 3 termat, marrim formulën e kërkuar (në pikë arbitrare y 0Î ).

Shembulli 6 . Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje . Këtu duhet të diferencojmë integralin në lidhje me parametrin X. Ne veprojmë sipas formulës së Teoremës 5:

16 .1 .3 Integrimi mbi një parametër.

Teorema 6 . Le f(x,y) e vazhdueshme në një drejtkëndësh D= ´ . Le të shqyrtojmë . Pastaj

.

Ose, çfarë është e njëjta,

.

Dëshmi . Do të vërtetojmë më shumë raporti i përgjithshëm. Le t–pika arbitrare e segmentit . Le ta vërtetojmë këtë

. (*)

Le të gjejmë derivatin në lidhje me t nga çdo pjesë e kësaj barazie. Duke zbatuar teoremën 5 (ose teoremën e njohur mbi integralin me një kufi të sipërm të ndryshueshëm), marrim:

.

Në anën e djathtë të barazisë (*) është një integral në varësi të parametrit t. Ne e dallojmë atë duke përdorur Teoremën 4:

.

Të njëjtat rezultate tregojnë se funksionet në anën e majtë dhe të djathtë të barazisë (*) ndryshojnë vetëm nga një konstante: . Është e drejtë " tÎ . Në veçanti, kur t= c marrim: 0 = 0 + ME, d.m.th. ME= 0 dhe barazia vërtetohet. Nëse e aplikoni kur t= d, marrim pohimin e teoremës.

Shembulli 7 . Llogarit integralin .

Zgjidhje . Integrimi në në rendin e specifikuar e veshtire:

Duke përdorur teoremën 6, le të ndryshojmë rendin e integrimit.

Është llogaritur integrali. Gjatë rrugës, u arrit lidhja e mëposhtme:

.

Le të japim një shembull që tregon se nëse shkelet vazhdimësia e funksionit integrand, ndryshimi i rendit të integrimit mund të çojë në një rezultat tjetër.

Shembulli 8 . Le të llogarisim integralin:

Kur llogaritni në një mënyrë tjetër, mund të vini re se nëse ndryshoni shenjën e funksionit integrand, merrni integralin e konsideruar tashmë:

.

Përgjigje të ndryshme - për faktin se integranti funksionon në pikë (0 , 0) ka një boshllëk.

16. 2 Integrale të pahijshme me parametër

Le të kalojmë në studimin e integraleve të pahijshme që varen nga një parametër. Shënimi më i thjeshtë për një integral të tillë është ende

, por edhe këtu b= ¥ , ose funksion f(x, y) nuk kufizohet në afërsi të pikës x= b. Për shkurtësi, do të themi se integrali ka veçanti në pikën x= b. E ndryshueshme y merr vlera në interval (ose në një interval të pakufizuar, për shembull, , Nëse " yÎ integrale konvergon, d.m.th. ka një fund .

Le të themi se konvergon në mënyrë të barabartë në , Nëse