Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike PËRDOR nivelin e profilit. Puna kërkimore me temën "ekuacionet trigonometrike në detyrat e provimit"

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

Kur paraqisni një kërkesë në faqe, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj Email etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

Mbledhur nga ne informata personale na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme si auditimi, analiza e të dhënave dhe studime të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ne ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione rreth jush nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione rreth jush nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

MBOU "Shkolla e mesme Mordovsko-Paevskaya" e rrethit Insarsky të Republikës së Moldavisë

Plotësuar nga: Pantileikina Nadezhda,

Nxënëse e klasës së 11-të

Drejtues: Kadyshkina N.V.,

mësues i matematikës

Tabela e përmbajtjes

Prezantimi……………………………………………………………………………………….

Kapitulli I. Rreth ekuacioneve trigonometrike…………………………………………..…5

1) Llojet themelore të ekuacioneve trigonometrike dhe metodat për zgjidhjen e tyre:

1. Ekuacionet e reduktuara në më të thjeshtat. …………………………………..5

2. Ekuacionet duke reduktuar në kuadratik…………………………………….5

3. Ekuacionet homogjene acosx + b sin x = 0……………………………...6

4. Ekuacionet e formës acosx + b sin x = c, c≠ 0…………………………………7

5. Ekuacionet e zgjidhura me faktorizim……………………….7

6. Ekuacionet jo standarde………………………………………………………….8

Kapitulli II. Konceptet dhe formulat bazë të trigonometrisë…………………….8-10

Kapitulli II I. Ekuacionet e propozuara në Provimet e Unifikuara Shtetërore të së kaluarës vjet…………………10-14

konkluzioni…………………………………………………………………………………….14

Shtojca………………………………………………………..…………………………….15-17

Literatura……………………………………………………………………………………..18

Prezantimi

« E vetmja mënyrë Të çosh drejt dijes është veprimtari...”

Bernard Show

Rëndësia e punës.

Për pak muaj mbaroj shkollën.

Në mënyrë që të mos ketë probleme me zgjedhjen e mëtejshme rrugën e jetës, e nevojshme merrni një certifikatë shkollore dhe për të marrë një certifikatë shkollore, duhet të kaloni dy provimi i detyrueshëm V Formulari i Provimit të Unifikuar të Shtetit- dhe një prej tyrematematikë. Cfare mund te them? Provimet finale- një periudhë vendimtare në jetën e çdo nxënësi, nga e cila varet jo vetëm nota përfundimtare në certifikatë, por edhe të ardhmen e tij profesionale, të ardhurat dhe karrierën.

Beqare Provimi i shtetit- Ky është një test i rëndësishëm përpara se të hyni në jete e re dhe pranimi në një universitet ose kolegj. Është veçanërisht e rëndësishme për ta kaluar atë rezultate të mira. Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë është një test serioz dhe pa një bazë të mirë, një student nuk do të mund të pretendojë një rezultat të mirë.

Si të shmangni dështimin në provim dhe të merrni rezultate të mira? Për ta bërë këtë, ju duhet të zgjidhni mirë detyrat. Unë nuk pretendoj rezultati maksimal Megjithatë, jam duke u përgatitur me zell. Dhe vura re se edhe në detyrën e parë të pjesës C, domethënë në zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike dhe sistemeve të tyre, bëj gabime.Në shikim të parë, detyra C1 është relativisht ekuacion i thjeshtë ose një sistem ekuacionesh që mund të përmbajnë funksione trigonometrike,Një nga qasjet kryesore për zgjidhjen e tyre është thjeshtimi i tyre në mënyrë sekuenciale për t'i reduktuar në një ose disa më të thjeshtat.Pra, pse e kam gabim?

Rëndësia e temës përcaktohet nga fakti se nxënësit duhet të kuptojnë disa metoda të zgjidhjes së ekuacioneve trigonometrike.

Prandaj, i vendosa vetes sa vijonobjektivi:

Sistematizojnë dhe zgjerojnë njohuritë dhe aftësitë në lidhje me përdorimin e metodave për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

Objekti i studimitështë studimi i ekuacioneve trigonometrike në detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit.

Lënda e studimit- është zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike

Kështu, qëllimi kryesor duke shkruar këtë punë kursiështë studimi i ekuacioneve trigonometrike dhe sistemet e tyre, metodat e zgjidhjes së tyre.

Në përputhje me qëllimet, objektin dhe lëndën e studimit, përcaktohen: detyrat:

1). Studioni të gjitha detyrat që lidhen me zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike të ofruara në Punon Provimi i Unifikuar i Shtetit vitet e mëparshme dhe gjatë kryerjes punë diagnostikuese;

2) Metodat e studimit për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

3). Identifikoni kryesoren gabimet e mundshme gjatë zgjidhjes së ekuacioneve të tilla;

4). Zbuloni arsyen për të bërë gabime të tilla.

6). Nxirrni përfundime.

Në punën time do të zgjidh disa ekuacione trigonometrike, do të tregoj gabime të mundshme në zgjidhjen e tyre dhe do të përpiqem t'i përgjigjem pyetjeve të mëposhtme pyetje:

1). A është e mundur të shmangen gabimet gjatë kryerjes së detyrave të tipit C1?

2) Nëse praktikoj zgjidhjen e ekuacioneve të këtij lloji, atëherë mundem

A është e mundur të kryhen detyra të tilla pa gabime?

Për këtë qëllim, kam studiuar të gjitha demonstrimet dhe detyrat e trajnimit shpenzuar me ne, Materialet e Provimit të Unifikuar të Shtetit vitet e mëparshme;

burime referimi të studiuara;

detyra të zgjidhura në mënyrë të pavarur nga interneti;

konsultohej me mësuesin e saj në rast vështirësie;

Mësova të analizoj dhe formatoj saktë rezultatet.

Kapitulli I. Rreth ekuacioneve trigonometrike.

1) Përkufizim 1. Një ekuacion trigonometrik është një ekuacion që përmban një ndryshore nën shenjën funksionet trigonometrike.

Ekuacionet trigonometrike më të thjeshta janë ekuacionet lloj mëkati x = a,

cos x=a, tg x=a, ctg x = a.

Në ekuacione të tilla, ndryshorja është nën shenjën e funksionit trigonometrik dhe është numri i dhënë.

Zgjidhja e një ekuacioni trigonometrik përbëhet nga dy faza: transformimi i ekuacionit për të marrë formën e tij më të thjeshtë dhe zgjidhja e ekuacionit më të thjeshtë trigonometrik që rezulton.

2) Llojet bazë të ekuacioneve trigonometrike.

Ekuacionet e reduktuara në më të thjeshtat.

Zgjidhe ekuacionin

Zgjidhja:

Përgjigje:

Ekuacione reduktuese në kuadratike.

1) Zgjidheni ekuacionin 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Përgjigje:

Ekuacionet homogjene: asinx + bcosx = 0

a mëkat 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.

Zgjidheni ekuacionin 2sinx – 3cosx = 0

Zgjidhja: Le të jetë cosx = 0, pastaj 2sinx = 0 dhe sinx = 0 - një kontradiktë me

se sin 2 x + cos 2 x = 1. Kjo do të thotë cosx ≠ 0 dhe ne mund ta ndajmë ekuacionin me cosx.

marrim

Përgjigje:

Shembull: Zgjidhe ekuacionin

Zgjidhja:

Përgjigje:

Ekuacionet e zgjidhura me faktorizim.

Priper: Zgjidheni ekuacionin sin2x – sinx = 0.

Zgjidhja: Duke përdorur formulën sin2x = 2sinxcosx, marrim

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx (2cosx – 1) = 0.

Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero.

Përgjigje:

Ekuacione jo standarde.

Zgjidheni ekuacionin cosx = X 2 + 1.

Zgjidhja:

Le të shohim funksionet

Kapitulli II. Konceptet dhe formulat bazë të trigonometrisë.

Ekuacionet trigonometrike - temë e kërkuar ndonjë provim matematike.

RRETHx, sa agoni u shkakton nxënësve mësimi i trigonometrisë.

Vështirësi të caktuara lindin edhe nëse ka një mësues afërmatematikë dhe shpjegon çdo detaj të vogël. Kjo është e kuptueshme, vetëm formulat bazë janë më shumë se njëzet. Dhe nëse numërojmë derivatet e tyre... Nxënësi ngatërrohet në llogaritje dhe nuk mund të kujtojë mekanizmat me anë të të cilave këto formula e lejojnë njeriun të gjejë, p.sh. .

Ju i dini formulat - është e lehtë për ju të vendosni. Nëse nuk e dini, nuk do ta kuptoni, edhe nëse ju japin formulën.Ju nuk duhet vetëm të dini formulën, por duhet të dini se ku mund të aplikohet, si ta hapni atë dhe cili është thelbi i formulës, dhe për këtë ju duhet të zgjidhni shembuj në mënyrë specifike për ato probleme që janë vështirë për t'u zgjidhur.

Në fillim më dukejtrigonometria është një grup i mërzitshëm formulash dhe grafikësh. Megjithatë, kur u njoha me konceptet e reja të trigonometrisë dhe metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike, u binda çdo herë se sa interesante dhe magjepsëse është bota e trigonometrisë.

Së pari, për të zgjidhur me sukses ekuacionet trigonometrike duhet të dini mirë formulat trigonometrike, jo vetëm ato kryesore, por edhe ato shtesë (konvertimi i shumës së funksioneve trigonometrike në një produkt dhe produkteve në një shumë, formulat për zvogëlimin e shkallëve dhe të tjera),që nga përdorimi në Fletët e mashtrimit të Provimit të Unifikuar të Shtetit Dhe Telefonat celular e ndaluar

(Shtojca 1)

Së dyti , duhet ta dimë qartë formulat standarde rrënjët e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike (të dobishme për t'u mbajtur mend ose për të fituar duke përdorur rrethi trigonometrik formulat e thjeshtuara për rrënjët e ekuacioneve)

Secili prej këtyre ekuacioneve zgjidhet duke përdorur formula që duhet të dini. Këto janë formulat:

a) Funksioniy= mëkatx. Funksioni është i kufizuar: është brenda [-1; 1]. Kjo do të thotë se gjatë zgjidhjes së ekuacioneve sisinx=2 osesinxsinx

1) sinx =a,x= (-1) n harksin a +n,n Z

2) sinx = - a,x= (-1) n+1 harksin a +n,n Z

Gjithashtu, duhet të dini raste të veçanta: 1) sinx =- 1,

2)sinx =0,

3)sinx = a,

Ju gjithashtu duhet të jeni në gjendje të zgjidhninë formën e dy serive rrënjësh

2. Funksioni y = cos x . Funksioni është i kufizuar: është brenda [-1; 1]. Kjo do të thotë se gjatë zgjidhjes së ekuacioneve sicosx=2 osecosx=-5 përgjigja rezulton të jetë: pa rrënjë. Formulat për funksionin y=cosx:

1. cosx =a, X=± arccos a+2n,n Z

2.cos x=-a, X=±(  - arccos a)+2n,n Z

Raste të veçanta: 1. cosx =-1, X =  +2 n, n Z

2. cosx = 0,

3. cosx =1, X= 2n,n Z

3. Funksioniy= tgx.

Ekziston vetëm një formulë, pa raste të veçanta:tgx = ± a .

X = ± arctan a+n,n Z

Së treti, ju duhet të dini vlerat e funksioneve trigonometrike;

(Shtojca 2)

Së katërti, Nëse në një ekuacion funksioni trigonometrik është nën shenjën radikale, atëherë një ekuacion i tillë trigonometrik do të jetë irracional. Në ekuacione të tilla, duhet të ndiqni të gjitha rregullat që përdoren gjatë zgjidhjes së ekuacioneve të zakonshme. ekuacionet irracionale(zona e marrë parasysh vlerat e pranueshme si vetë ekuacioni ashtu edhe kur lirohet nga një rrënjë e shkallës çift).

V. Ekuacionet e ofruara në Provimin e Unifikuar të Shtetit të viteve të mëparshme.

"Një metodë zgjidhjeje është e mirë nëse ne mund të parashikojmë që në fillim - dhe më pas ta konfirmojmë këtë - se duke ndjekur këtë metodë do të arrijmë qëllimin."

Leibniz

1. Ekuacione që reduktohen në kuadratik.

C1. Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja: Duke përdorur identitetin bazë trigonometrik,e rishkruajmë ekuacionin në formë

Zëvendësimicos= tekuacioni reduktohet në kuadratik:2t 2 + 9 t-5 =0, që ka rrënjët 1 = ½ dhet 2 = -5. Duke u kthyer te ndryshorja x, marrim
,

Ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë që nga |cosx |≥1, dhe nga i pari x =± +6k, k Z

Përgjigje: =± +6k, k Z

konkluzioni: Kur futni një ndryshore të re, duhet të keni parasysh që vlerat e sin x dhe cos x janë të kufizuara nga segmenti
, përndryshe do të shfaqen rrënjë të jashtme.

2. Ekuacionet e zgjidhura me faktorizim

Detyra C1 (2011)

a) Zgjidhe ekuacionin

b) Tregoni rrënjët e ekuacionit që i përket segmentit

Zgjidhje: a) zgjidhni duke faktorizuar anën e majtë:

grupojeni dhe nxirrni jashtë shumëzues i përbashkët përtej kllapave, ne marrim

Ekuacioni 1) nuk ka zgjidhje.

Ekuacioni i dytë është homogjen, mund të zgjidhet duke pjesëtuar termin me term me cosx ≠0, marrim
, ku

Përgjigje: a)
b)

konkluzioni:

1. Kur zgjidhni një ekuacion të këtij lloji, së pari, duhet të dini se |sin x|≤1 dhe |cosx |≤1, dhe ekuacioni sinx =-2 nuk ka zgjidhje;

2. Së dyti, justifikoni pjesëtimin me cosx ≠о (pasi nëse cosx = 0, atëherë sin x = 0, por kjo është e pamundur;

së treti, është e arsyeshme të zgjidhni rrënjët që i përkasin një intervali të caktuar

3
.Ekuacioni për zbatimin e formulave të reduktimit

C1 (2010) Duke pasur parasysh ekuacionin

a) të zgjidhë ekuacionin;

b
) Tregoni rrënjët që i përkasin segmentit

Zgjidhja: Duke përdorur formulat e reduktimit, marrim:

sin 2 x – cos x =0,

2 sinx cosx-cosx =0,

Me osx (2 sinx -1)=0, prej nga cosx= 0 ose sinx =½,

b) Le të gjejmë vlerat e k të cilave do t'u përkasin rrënjët

intervalin e caktuar. Për të zgjedhur rrënjët. që i përket një intervali të caktuar, ne e paraqesim zgjidhjen në formën:

b

) Gjeni vlerat e k në të cilat rrënjët do t'i përkasin intervalit të specifikuar.

Zgjidhja e kësaj pabarazie, të tërës

nuk do të marrim vlera për k.

Përgjigje: a)

konkluzioni:

Gjatë zgjidhjes së një ekuacioni të këtij lloji, është e nevojshme të njihen formulat e ekuacionit të dhënë dhe të zbatohen drejt; të jetë në gjendje të paraqesë një zgjidhje
në dy seri rrënjësh; zgjidhni rrënjët e sakta që i përkasin një segmenti të caktuar.

4. Sistemet e ekuacioneve trigonometrike

C1 (2010). Zgjidh sistemin e ekuacioneve

Zgjidhja: O.D.Z

Një thyesë është e barabartë me zero nëse numëruesi është 0 dhe emëruesi nuk është 0.

Nga ekuacioni 2sin 2 x – 3 sinx +1 =0, duke u zgjidhur duke futur një ndryshore të re, gjejmë

ose sin x =1.

1) Le
, Pastaj
dhe y = cos x = ›0 (duke përdorur bazën identiteti trigonometrik)

ose
Dhe
- nuk ka asnjë vendim.

2) Le sinx = 1, pastaj y = cos x = 0 - nuk ka zgjidhje.

Përgjigje:
dhe y =

Përfundim: 1) është e nevojshme të merren parasysh kufizimet e trigonometrisë

funksione

2) Regjistroni dhe merrni parasysh O.D.Z.

5. C1 (PERDORIMI 2011) Zgjidhe ekuacionin:

O.D.Z. - cos x ≥ 0, sin x ≤ 0.

4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 ose cos x =0

sinx = t

4 t 2 + 12 t + 5=0, nga ku t 1 = -½, t 2 = -

sinx = -½ sinx=- - nuk ka zgjidhje

x =

duke marrë parasysh O.D.Z. x =

Përgjigje: x =

Përfundim: Shkruani përgjigjen duke marrë parasysh O.D.Z.

PËRFUNDIM

Në punën që bëra, studiova zgjidhjet e ekuacioneve trigonometrike, mora parasysh rekomandimet për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike, metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike dhe konsiderova gabimet që janë të mundshme gjatë zgjidhjes së tyre.

erdha te përfundimet e mëposhtme:

1. Detyrat e tipit C1 testojnë aftësinë për të zgjidhur ekuacionet trigonometrike. Këto detyra janë me të vërtetë të thjeshta, gjë që jep vetëbesim të tepërt dhe tërheq vëmendjen. Vështirësia e vetme e këtyre detyrave është se, pasi të keni zgjidhur një ekuacion ose sistem ekuacionesh, të hidhni rrënjët e jashtme.

2. Detyra C1 është më së shumti detyrë e thjeshtë grupi C. Gjatë zgjidhjes së tij, shndërrimet e rënda dhe llogaritjet komplekse. Nëse shfaqen, duhet menjëherë të ndaloni, të kontrolloni zgjidhjen dhe të përpiqeni të kuptoni se çfarë nuk shkon këtu.

3. Në fund të fundit,Kërkesa kryesore është që zgjidhja duhet të jetë matematikisht e shkolluar dhe rrjedha e arsyetimit duhet të jetë e qartë prej saj.Ju duhet të përpiqeni të shkruani vendimin tuaj shkurt dhe qartë, por më e rëndësishmja - saktë!

4. Dhe më e rëndësishmja, për të mësuar se si të zgjidhni ekuacionet pa gabime, duhet t'i zgjidhni ato! Në fund të fundit, siç tha Polya, "Nëse doni të mësoni si të notoni, atëherë ndjehuni të lirë të zhyteni në ujë, dhe nëse doni të mësoni se si t'i zgjidhni problemet, duhet t'i zgjidhni ato!"

Shtojca 1 ( formulat bazë trigonometri)

1) identiteti bazë trigonometrikmëkat 2 α + cos 2 α= 1,

Duke e pjesëtuar këtë ekuacion me katrorin e kosinusit dhe sinusit, përkatësisht, kemi