Reduktimi i shprehjeve me thyesa në internet. Reduktimi i thyesave algjebrike

Për të kuptuar se si të zvogëlojmë thyesat, le të shohim së pari një shembull.

Të zvogëlosh një thyesë do të thotë të ndash numëruesin dhe emëruesin me të njëjtën gjë. Të dy 360 dhe 420 përfundojnë me një shifër, kështu që ne mund ta zvogëlojmë këtë thyesë me 2. Në thyesën e re, edhe 180 dhe 210 janë të pjestueshme me 2, kështu që ne e zvogëlojmë këtë thyesë me 2. Në numrat 90 dhe 105, shuma i shifrave është i plotpjesëtueshëm me 3, pra të dy këta numra pjesëtohen me 3, ne e zvogëlojmë thyesën me 3. Në thyesën e re, 30 dhe 35 përfundojnë me 0 dhe 5, që do të thotë që të dy numrat janë të pjesëtueshëm me 5, kështu që zvogëlojmë thyesa me 5. Thyesa rezultuese e gjashtë të shtatësave është e pakalueshme. Kjo është përgjigja përfundimtare.

Mund të arrijmë në të njëjtën përgjigje në një mënyrë tjetër.

Të dy 360 dhe 420 përfundojnë me zero, që do të thotë se janë të pjesëtueshëm me 10. Ne e zvogëlojmë thyesën me 10. Në thyesën e re, edhe numëruesi 36 edhe emëruesi 42 pjesëtohen me 2. E zvogëlojmë thyesën me 2. Në thyesën e re thyesa tjetër, si numëruesi 18 ashtu edhe emëruesi 21 ndahen me 3, që do të thotë se ne e zvogëlojmë thyesën me 3. Arritëm në rezultat - gjashtë të shtatat.

Dhe një zgjidhje tjetër.

Herën tjetër do të shohim shembuj të reduktimit të thyesave.

I përshtatshëm dhe i thjeshtë kalkulator në internet thyesat me zgjidhje të detajuara Ndoshta:

• Shtoni, zbritni, shumëzoni dhe pjesëtoni fraksione në internet,
• Merrni zgjidhje e gatshme fraksionet me një foto dhe është i përshtatshëm për ta transferuar atë.

Rezultati i zgjidhjes së thyesave do të jetë këtu...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Shenja e thyesës "/" + - * :
_fshij Pastro
Llogaritësi ynë i fraksionit në internet ka hyrje të shpejtë. Për të zgjidhur thyesat, për shembull, thjesht shkruani 1/2+2/7 në kalkulator dhe shtypni " Zgjidh thyesat". Llogaritësi do t'ju shkruajë zgjidhje e detajuar thyesat dhe do të lëshojë një imazh i lehtë për t'u kopjuar.

Shenjat që përdoren për të shkruar në një makinë llogaritëse

Karakteristikat e kalkulatorit të fraksioneve në internet

Nëse keni nevojë të zgjidhni thyesat negative, thjesht përdorni vetitë e minusit. Gjatë shumëzimit dhe pjesëtimit thyesat negative dy negative bëjnë një pohore. Kjo do të thotë, prodhimi dhe ndarja e thyesave negative është e barabartë me prodhimin dhe ndarjen e të njëjtave pozitive. Nëse një thyesë është negative gjatë shumëzimit ose pjesëtimit, atëherë thjesht hiqni minusin dhe shtoni atë në përgjigje. Kur shtoni thyesa negative, rezultati do të jetë i njëjtë sikur të kishit shtuar të njëjtën gjë thyesat pozitive. Nëse shtoni një thyesë negative, atëherë kjo është njësoj si të zbritni të njëjtin pozitiv.
Kur zbriten thyesat negative, rezultati do të jetë i njëjtë sikur ato të ndërroheshin dhe të bëheshin pozitive. Kjo është, minus për minus në në këtë rast jep një plus, por riorganizimi i kushteve nuk e ndryshon shumën. Ne përdorim të njëjtat rregulla kur zbresim thyesat, njëra prej të cilave është negative.

Për të zgjidhur thyesat e përziera (fraksionet në të cilat është e izoluar e gjithë pjesa), thjesht vendosni të gjithë pjesën në thyesë. Për ta bërë këtë, shumëzojeni të gjithë pjesën me emëruesin dhe shtoni numëruesit.

Nëse ju duhet të zgjidhni 3 ose më shumë thyesa në internet, duhet t'i zgjidhni ato një nga një. Fillimisht numëroni 2 thyesat e para, më pas zgjidheni thyesën tjetër me përgjigjen që merrni, e kështu me radhë. Kryeni veprimet një nga një, 2 thyesa në të njëjtën kohë dhe përfundimisht do të merrni përgjigjen e saktë.

Reduktimi i thyesave është i nevojshëm për të reduktuar fraksionin në më shumë pamje e thjeshtë, për shembull, në përgjigjen e marrë si rezultat i zgjidhjes së një shprehjeje.

Reduktimi i thyesave, përkufizimi dhe formula.

Çfarë janë thyesat reduktuese? Çfarë do të thotë të reduktosh një fraksion?

Përkufizimi:
Thyesat reduktuese- kjo është ndarja e numëruesit dhe emëruesit të një thyese në të njëjtën gjë numër pozitiv jo e barabartë me zero dhe një. Si rezultat i zvogëlimit, fitohet një thyesë me numërues dhe emërues më të vogël, e barabartë me thyesën e mëparshme sipas.

Formula për reduktimin e thyesave prona kryesore numrat racionalë.

\(\frac(p \herë n)(q \herë n)=\frac(p)(q)\)

Le të shohim një shembull:
Zvogëloni thyesën \(\frac(9)(15)\)

Zgjidhja:
Mund ta zgjerojmë thyesën në faktorët kryesorë dhe zvogëloni faktorët e zakonshëm.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \herë 3)(5 \herë 3)=\frac(3)(5) \times \ngjyrë(e kuqe) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \herë 1=\frac(3)(5)\)

Përgjigje: pas reduktimit kemi marrë thyesën \(\frac(3)(5)\). Sipas vetive themelore të numrave racionalë, thyesat origjinale dhe rezultuese janë të barabarta.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Si të zvogëloni fraksionet? Reduktimi i një fraksioni në formën e tij të pareduktueshme.

Për të marrë një fraksion të pakalueshëm si rezultat, na duhet gjeni më të madhin pjesëtues i përbashkët(NOD) për numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

Ka disa mënyra për të gjetur GCD në shembullin që do të përdorim zbërthimin e numrave në faktorë të thjeshtë;

Merrni thyesën e pakalueshme \(\frac(48)(136)\).

Zgjidhja:
Le të gjejmë GCD(48, 136). Le t'i shkruajmë numrat 48 dhe 136 në faktorët kryesorë.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\ngjyrë(e kuqe) (2 \herë 2 \herë 2) \herë 2 \herë 3)(\ngjyrë(e kuqe) (2 \herë 2 \herë 2) \herë 17)=\frac(\ngjyra(e kuqe) (6) \herë 2 \herë 3)(\ngjyrë(e kuqe) (6) \herë 17)=\frac(2 \herë 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Rregulli për reduktimin e një thyese në një formë të pareduktueshme.

1. Ju duhet të gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët për numëruesin dhe emëruesin.
2. Ju duhet të pjesëtoni numëruesin dhe emëruesin me pjesëtuesin më të madh të përbashkët për të marrë një thyesë të pareduktueshme.

Shembull:
Zvogëloni thyesën \(\frac(152)(168)\).

Zgjidhja:
Le të gjejmë GCD(152, 168). Le t'i shkruajmë numrat 152 dhe 168 në faktorët kryesorë.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\ngjyrë(të kuqe) (6) \herë 19)(\ngjyrë(e kuqe) (6) \herë 21)=\frac(19)(21)\)

Përgjigje: \(\frac(19)(21)\) fraksion i pareduktueshëm.

Reduktimi i fraksioneve të pahijshme.

Si të zvogëloni një fraksion të papërshtatshëm?
Rregullat për reduktimin e thyesave janë të njëjta për thyesat e duhura dhe të papërshtatshme.

Le të shohim një shembull:
Zvogëloni thyesën e papërshtatshme \(\frac(44)(32)\).

Zgjidhja:
Le të shkruajmë numëruesin dhe emëruesin në faktorë të thjeshtë. Dhe pastaj ne do të reduktojmë faktorët e përbashkët.

\(\frac(44)(32)=\frac(\ngjyrë(e kuqe) (2 \herë 2) \herë 11)(\ngjyrë(e kuqe) (2 \herë 2) \herë 2 \herë 2 \herë 2 )=\frac(11)(2 \herë 2 \herë 2)=\frac(11)(8)\)

Reduktimi i fraksioneve të përziera.

Thyesat e përziera ndjekin të njëjtat rregulla si thyesat e zakonshme. I vetmi ndryshim është se ne mundemi mos e prekni të gjithë pjesën, por zvogëloni pjesën thyesore ose Shndërroni një thyesë të përzier në një thyesë të papërshtatshme, zvogëloni atë dhe kthejeni përsëri në një thyesë të duhur.

Le të shohim një shembull:
Anuloni thyesën e përzier \(2\frac(30)(45)\).

Zgjidhja:
Le ta zgjidhim në dy mënyra:
Mënyra e parë:
Le ta shkruajmë pjesën thyesore në faktorë të thjeshtë, por nuk do ta prekim të gjithë pjesën.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \herë \ngjyrë(e kuqe) (5 \herë 3))(3 \herë \ngjyrë(e kuqe) (5 \herë 3))=2\ frac(2)(3)\)

Mënyra e dytë:
Le ta kthejmë fillimisht në një thyesë të papërshtatshme dhe më pas ta shkruajmë në faktorët kryesorë dhe ta zvogëlojmë. Le ta shndërrojmë thyesën e papërshtatshme që rezulton në një thyesë të duhur.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \herë 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \herë \ngjyra(e kuqe) (5 \herë 3) \herë 2 \herë 2)(3 \herë \ngjyrë(e kuqe) (3 \herë 5))=\frac(2 \herë 2 \herë 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Pyetje të ngjashme:
A mund të zvogëloni thyesat kur mblidhni ose zbritni?
Përgjigje: jo, së pari duhet të shtoni ose zbrisni thyesat sipas rregullave dhe vetëm më pas t'i zvogëloni ato. Le të shohim një shembull:

Vlerësoni shprehjen \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Zgjidhja:
Ata shpesh bëjnë gabim duke shkurtuar numra të njëjtë Në rastin tonë, numëruesi dhe emëruesi kanë numrin 20, por nuk mund të zvogëlohen derisa të keni përfunduar mbledhjen dhe zbritjen.

\(\frac(50+\ngjyrë(e kuqe) (20)-10)(\ngjyrë(e kuqe) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \herë 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Me çfarë numrash mund të zvogëloni një thyesë?
Përgjigje: Ju mund të zvogëloni një thyesë me faktorin më të madh të përbashkët ose me pjesëtuesin e përbashkët të numëruesit dhe emëruesit. Për shembull, fraksioni \(\frac(100)(150)\).

Le t'i shkruajmë numrat 100 dhe 150 në faktorët kryesorë.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Pjesëtuesi më i madh i përbashkët do të jetë numri GCD(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \herë 50)(3 \herë 50)=\frac(2)(3)\)

Morëm thyesën e pakalueshme \(\frac(2)(3)\).

Por nuk është e nevojshme të pjesëtohet gjithmonë me gcd një thyesë e pakalueshme nuk është gjithmonë e nevojshme; Për shembull, numri 100 dhe 150 kanë një pjesëtues të përbashkët të 2. Le të zvogëlojmë thyesën \(\frac(100)(150)\) me 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \herë 50)(2 \herë 75)=\frac(50)(75)\)

Morëm thyesën e reduktueshme \(\frac(50)(75)\).

Cilat fraksione mund të reduktohen?
Përgjigje: Ju mund të zvogëloni thyesat në të cilat numëruesi dhe emëruesi kanë një pjesëtues të përbashkët. Për shembull, fraksioni \(\frac(4)(8)\). Numri 4 dhe 8 kanë një numër me të cilin janë të dy pjesëtueshëm - numri 2. Prandaj, një pjesë e tillë mund të zvogëlohet me numrin 2.

Shembull:
Krahasoni dy thyesat \(\frac(2)(3)\) dhe \(\frac(8)(12)\).

Këto dy thyesa janë të barabarta. Le të hedhim një vështrim më të afërt në thyesën \(\frac(8)(12)\):

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \herë 4)(3 \herë 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \herë 1=\frac(2)(3)\)

Nga këtu marrim, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Dy thyesa janë të barabarta nëse dhe vetëm nëse njëra prej tyre fitohet duke reduktuar thyesën tjetër me shumëzues i përbashkët numërues dhe emërues.

Shembull:
Nëse është e mundur, zvogëloni thyesat e mëposhtme: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)

Zgjidhja:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \herë \ngjyrë(e kuqe) (5) \herë 3 \herë 3)(\ngjyrë(e kuqe) (5) \herë 13)=\frac (2 \herë 3 \herë 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\ngjyrë(e kuqe) (3 \herë 3) \herë 3)(\ngjyrë(e kuqe) (3 \herë 3) \herë 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) fraksion i pareduktueshëm
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\ngjyra(e kuqe) (2 \herë 5 \herë 5) \herë 2)(\ngjyrë(e kuqe) (2 \herë 5 \herë 5) \ herë 5)=\frac(2)(5)\)

Pra, ne tashmë e dimë se numëruesi dhe emëruesi i një thyese mund të shumëzohen dhe pjesëtohen me të njëjtin numër, thyesa nuk do të ndryshojë. Le të shqyrtojmë tre qasje:

Qasja një.

Për të reduktuar, pjesëtoni numëruesin dhe emëruesin me një pjesëtues të përbashkët. Le të shohim shembuj:

Le të shkurtojmë:

Në shembujt e dhënë, ne shohim menjëherë se cilët pjesëtues duhet të marrim për reduktim. Procesi është i thjeshtë - kalojmë 2,3,4,5 e kështu me radhë. Në shumicën e shembujve të kurseve shkollore, kjo është mjaft e mjaftueshme. Por nëse është një thyesë:

Këtu procesi i zgjedhjes së pjesëtuesve mund të zgjasë shumë;). Sigurisht, shembuj të tillë janë jashtë programit shkollor, por ju duhet të jeni në gjendje t'i përballoni ato. Më poshtë do të shohim se si bëhet kjo. Tani për tani, le të kthehemi te procesi i zvogëlimit.

Siç u diskutua më lart, për të reduktuar një thyesë, ne pjesëtuam me pjesëtuesin(ët) e përbashkët që përcaktuam. Gjithçka është e saktë! Duhet vetëm të shtohen shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave:

- nëse numri është çift, atëherë ai pjesëtohet me 2.

- nëse një numër nga dy shifrat e fundit pjesëtohet me 4, atëherë vetë numri pjesëtohet me 4.

— nëse shuma e shifrave që përbëjnë numrin pjesëtohet me 3, atëherë vetë numri pjesëtohet me 3. Për shembull, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Dymbëdhjetë pjesëtohen me 3, kështu që 123031 pjesëtohet me 3.

- nëse numri përfundon me 5 ose 0, atëherë numri pjesëtohet me 5.

— nëse shuma e shifrave që përbëjnë numrin pjesëtohet me 9, atëherë vetë numri pjesëtohet me 9. Për shembull, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Tetëmbëdhjetë pjesëtohet me 9, që do të thotë 623032 pjesëtohet me 9.

Qasja e dytë.

Për ta thënë shkurt, në fakt, i gjithë veprimi zbret në faktorizimin e numëruesit dhe emëruesit dhe më pas zvogëlimin e faktorëve të barabartë në numërues dhe emërues (kjo qasje është pasojë e qasjes së parë):

Vizualisht, për të shmangur konfuzionin dhe gabimet, thjesht tejkalohen faktorë të barabartë. Pyetje - si të faktorizohet një numër? Është e nevojshme të përcaktohen të gjithë pjesëtuesit duke kërkuar. Kjo është një temë më vete, nuk është e ndërlikuar, kërkoni informacionin në një libër shkollor ose në internet. Nuk do të hasni ndonjë problem të madh me faktorizimin e numrave që janë të pranishëm në thyesat shkollore.

Formalisht, parimi i reduktimit mund të shkruhet si më poshtë:

Qasja e tretë.

Këtu është gjëja më interesante për të avancuarit dhe ata që duan të bëhen të tillë. Le të zvogëlojmë thyesën 143/273. Provojeni vetë! Epo, si ndodhi shpejt? Tani shikoni!

E kthejmë përmbys (ndërrojmë vendet e numëruesit dhe të emëruesit). Ndani fraksionin që rezulton me një qoshe dhe kthejeni atë në numër i përzier, domethënë zgjedhim të gjithë pjesën:

Tashmë është më e lehtë. Ne shohim që numëruesi dhe emëruesi mund të reduktohen me 13:

Tani mos harroni ta ktheni përsëri thyesën, le të shkruajmë të gjithë zinxhirin:

Kontrolluar - kërkon më pak kohë sesa kërkimi dhe kontrollimi i pjesëtuesve. Le të kthehemi te dy shembujt tanë:

Së pari. Ndani me një qoshe (jo në një kalkulator), marrim:

Ky fraksion është më i thjeshtë, natyrisht, por reduktimi është përsëri një problem. Tani analizojmë veçmas thyesën 1273/1463 dhe e kthejmë atë:

Është më e lehtë këtu. Mund të konsiderojmë një pjesëtues të tillë si 19. Pjesa tjetër nuk janë të përshtatshme, kjo është e qartë: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Urra! Le të shkruajmë:

Shembulli tjetër. Le të shkurtojmë 88179/2717.

Ndani, marrim:

Më vete, ne analizojmë fraksionin 1235/2717 dhe e kthejmë atë:

Ne mund të konsiderojmë një pjesëtues të tillë si 13 (deri në 13 nuk është i përshtatshëm):

Numëruesi 247:13=19 Emëruesi 1235:13=95

*Gjatë procesit pamë një pjesëtues tjetër të barabartë me 19. Rezulton se:

Tani shkruajmë numrin origjinal:

Dhe nuk ka rëndësi se çfarë është më e madhe në fraksion - numëruesi ose emëruesi, nëse është emëruesi, atëherë ne e kthejmë atë dhe veprojmë siç përshkruhet. Në këtë mënyrë ne mund të reduktojmë çdo fraksion, qasja e tretë mund të quhet universale.

Natyrisht, dy shembujt e diskutuar më sipër nuk janë shembuj të thjeshtë. Le ta provojmë këtë teknologji në fraksionet "e thjeshta" që kemi shqyrtuar tashmë:

Dy të katërtat.

Shtatëdhjetë e dy të gjashtëdhjetat. Numëruesi është më i madh se emëruesi;

Natyrisht, qasja e tretë u zbatua për të tillë shembuj të thjeshtë vetëm si alternativë. Metoda, siç u tha tashmë, është universale, por jo e përshtatshme dhe e saktë për të gjitha fraksionet, veçanërisht për ato të thjeshta.

Shumëllojshmëria e fraksioneve është e madhe. Është e rëndësishme të kuptoni parimet. Thjesht nuk ka rregull të rreptë për të punuar me fraksione. Ne shikuam, kuptuam se si do të ishte më e përshtatshme të vepronim dhe shkuam përpara. Me praktikë, aftësia do të vijë dhe ju do t'i plasni si fara.

konkluzioni:

Nëse shihni një pjesëtues(a) të përbashkët për numëruesin dhe emëruesin, atëherë përdorni ato për të zvogëluar.

Nëse dini të faktorizoni shpejt një numër, atëherë faktorizoni numëruesin dhe emëruesin, pastaj zvogëloni.

Nëse nuk mund të përcaktoni pjesëtuesin e përbashkët, atëherë përdorni qasjen e tretë.

*Për të reduktuar thyesat, është e rëndësishme të zotëroni parimet e reduktimit, të kuptoni vetitë themelore të një thyese, të njihni qasjet për zgjidhjen dhe të jeni jashtëzakonisht të kujdesshëm kur bëni llogaritjet.

Dhe mbani mend! Është zakon që një thyesë të zvogëlohet derisa të ndalet, domethënë të zvogëlohet për aq kohë sa ka një pjesëtues të përbashkët.

Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.

Nëse duhet të pjesëtojmë 497 me 4, atëherë kur pjesëtojmë do të shohim se 497 nuk është i pjesëtueshëm në mënyrë të barabartë me 4, d.m.th. mbetet pjesa e mbetur e ndarjes. Në raste të tilla thuhet se është përfunduar pjesëtimi me mbetje, dhe zgjidhja shkruhet si më poshtë:
497: 4 = 124 (1 mbetur).

Komponentët e pjesëtimit në anën e majtë të barazisë quhen njësoj si në pjesëtimin pa mbetje: 497 - divident, 4 - ndarës. Rezultati i pjesëtimit kur ndahet me një mbetje quhet private jo të plota. Në rastin tonë, ky është numri 124. Dhe së fundi, komponenti i fundit, i cili nuk është in ndarje e zakonshme, - mbetje. Në rastet kur nuk ka mbetje, thuhet se një numër pjesëtohet me një tjetër pa gjurmë, ose tërësisht. Besohet se me një ndarje të tillë pjesa e mbetur e barabartë me zero. Në rastin tonë, pjesa e mbetur është 1.

Pjesa e mbetur është gjithmonë më e vogël se pjesëtuesi.

Pjesëtimi mund të kontrollohet me shumëzim. Nëse, për shembull, ekziston një barazi 64: 32 = 2, atëherë kontrolli mund të bëhet kështu: 64 = 32 * 2.

Shpesh në rastet kur kryhet pjesëtimi me mbetje, është e përshtatshme të përdoret barazia
a = b * n + r,
ku a është dividenti, b është pjesëtuesi, n është herësi jo i plotë, r është mbetja.

Herësi i numrave natyrorë mund të shkruhet si thyesë.

Numëruesi i një thyese është dividenti, dhe emëruesi është pjesëtuesi.

Meqenëse numëruesi i një thyese është dividenti dhe emëruesi është pjesëtuesi, besoni se drejtëza e një thyese nënkupton veprimin e pjesëtimit. Ndonjëherë është e përshtatshme të shkruhet pjesëtimi si thyesë pa përdorur shenjën ":".

Herësi i pjesëtimit të numrave natyrorë m dhe n mund të shkruhet si thyesë \(\frac(m)(n) \), ku numëruesi m është dividenti, dhe emëruesi n është pjesëtuesi:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Rregullat e mëposhtme janë të vërteta:

Për të marrë thyesën \(\frac(m)(n)\), ju duhet ta ndani njësinë në n pjesë (aksione) të barabarta dhe të merrni m pjesë të tilla.

Për të marrë thyesën \(\frac(m)(n)\), duhet të pjesëtoni numrin m me numrin n.

Për të gjetur një pjesë të një tërësie, duhet të ndani numrin që i përgjigjet së tërës me emëruesin dhe të shumëzoni rezultatin me numëruesin e thyesës që shpreh këtë pjesë.

Për të gjetur një të tërë nga pjesa e saj, duhet të ndani numrin që korrespondon me këtë pjesë me numëruesin dhe të shumëzoni rezultatin me emëruesin e thyesës që shpreh këtë pjesë.

Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen me të njëjtin numër (përveç zeros), vlera e thyesës nuk do të ndryshojë:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese pjesëtohen me të njëjtin numër (përveç zeros), vlera e thyesës nuk do të ndryshojë:
\(\ i madh \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Kjo pronë quhet vetia kryesore e një thyese.

Dy transformimet e fundit quhen duke reduktuar një fraksion.

Nëse thyesat duhet të paraqiten si thyesa me të njëjtin emërues, atëherë ky veprim quhet duke reduktuar thyesat në emërues i përbashkët .

Thyesat e duhura dhe të pahijshme. Numra të përzier

Ju tashmë e dini se një thyesë mund të merret duke e ndarë një të tërë në pjesë të barabarta dhe duke marrë disa pjesë të tilla. Për shembull, fraksioni \(\frac(3)(4)\) do të thotë tre të katërtat e një. Në shumë nga problemet në paragrafin e mëparshëm, thyesat u përdorën për të paraqitur pjesë të një tërësie. Mendje e shëndoshë sugjeron që pjesa duhet të jetë gjithmonë më e vogël se e tëra, por atëherë ç'të themi për thyesat të tilla si, për shembull, \(\frac(5)(5)\) ose \(\frac(8)(5)\)? Është e qartë se kjo nuk është më pjesë e njësisë. Kjo është ndoshta arsyeja pse thirren thyesat, numëruesi i të cilave është më i madh ose i barabartë me emëruesin thyesat e papërshtatshme. Thyesat e mbetura, pra thyesat, numëruesi i të cilave është më i vogël se emëruesi, quhen thyesat e sakta.

Siç e dini, çdo thyesë e zakonshme, si i saktë ashtu edhe i pasaktë, mund të konsiderohet si rezultat i pjesëtimit të numëruesit me emëruesin. Prandaj, në matematikë, ndryshe nga gjuhë e zakonshme, termi "thyesë e papërshtatshme" nuk do të thotë se kemi bërë diçka të gabuar, por vetëm se numëruesi i kësaj thyese është më i madh ose i barabartë me emëruesin.

Nëse një numër përbëhet nga një pjesë numër i plotë dhe një thyesë, atëherë thyesat quhen të përziera.

Për shembull:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 është pjesa e plotë dhe \(\frac(2)(3) \) është pjesa thyesore.

Nëse numëruesi i thyesës \(\frac(a)(b) \) është i pjesëtueshëm me një numër natyror n, atëherë për të pjesëtuar këtë thyesë me n, numëruesi i tij duhet të pjesëtohet me këtë numër:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Nëse numëruesi i fraksionit \(\frac(a)(b)\) nuk është i pjesëtueshëm me një numër natyror n, atëherë për ta pjesëtuar këtë thyesë me n, duhet të shumëzoni emëruesin e tij me këtë numër:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Vini re se rregulli i dytë është gjithashtu i vërtetë kur numëruesi pjesëtohet me n. Prandaj, mund ta përdorim kur është e vështirë të përcaktojmë në shikim të parë nëse numëruesi i një thyese është i pjesëtueshëm me n apo jo.

Veprimet me thyesa. Shtimi i thyesave.

Me numrat thyesorë, si me numrat natyrorë, mund të bëni veprimet aritmetike. Le të shohim fillimisht mbledhjen e thyesave. Shtoni me lehtësi thyesat me emërues të njëjtë. Le të gjejmë, për shembull, shumën e \(\frac(2)(7)\) dhe \(\frac(3)(7)\). Është e lehtë të kuptohet se \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Për të shtuar thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini emëruesin të njëjtë.

Duke përdorur shkronja, rregulli për mbledhjen e thyesave me emërues të ngjashëm mund të shkruhet si më poshtë:
\(\ i madh \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Nëse keni nevojë të shtoni thyesa me emërues të ndryshëm, atëherë së pari duhet të sillen në një emërues të përbashkët. Për shembull:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Për thyesat, si për numrat natyrorë, komutativ dhe vetitë asociative shtesë.

Shtimi i fraksioneve të përziera

Shënimet si \(2\frac(2)(3)\) thirren thyesat e përziera. Në këtë rast, thirret numri 2 pjesë e tërë thyesë e përzier, dhe numri \(\frac(2)(3)\) është i tij pjesë thyesore . Hyrja \(2\frac(2)(3)\) lexohet si më poshtë: "dy dhe dy të tretat".

Kur ndani numrin 8 me numrin 3, mund të merrni dy përgjigje: \(\frac(8)(3)\) dhe \(2\frac(2)(3)\). Ato shprehin të njëjtin numër thyesor, d.m.th. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Kështu, thyesa e papërshtatshme \(\frac(8)(3)\) përfaqësohet si një fraksion i përzier \(2\frac(2)(3)\). Në raste të tilla thuhet se thyesë e papërshtatshme vuri në pah të gjithë pjesën.

Zbritja e thyesave (numrat thyesorë)

Zbritja numrat thyesorë, si numrat natyrorë, përcaktohet në bazë të veprimit të mbledhjes: zbritja e një tjetri nga një numër nënkupton gjetjen e një numri që, kur i shtohet të dytit, jep të parin. Për shembull:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) pasi \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)

Rregulli për zbritjen e thyesave me emërues të ngjashëm është i ngjashëm me rregullin për mbledhjen e thyesave të tilla:
Për të gjetur ndryshimin midis thyesave me emërues të njëjtë, duhet të zbritni numëruesin e të dytës nga numëruesi i thyesës së parë dhe të lini emëruesin të njëjtë.

Duke përdorur shkronja, ky rregull shkruhet kështu:
\(\ i madh \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Shumëzimi i thyesave

Për të shumëzuar një thyesë me një thyesë, duhet të shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e tyre dhe të shkruani prodhimin e parë si numërues dhe të dytin si emërues.

Duke përdorur shkronjat, rregulli për shumëzimin e thyesave mund të shkruhet si më poshtë:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Duke përdorur rregullin e formuluar, ju mund të shumëzoni një fraksion me një numër natyror, me një fraksion të përzier, dhe gjithashtu të shumëzoni fraksionet e përziera. Për ta bërë këtë, ju duhet të shkruani një numër natyror si një thyesë me emërues 1 dhe një thyesë të përzier si një thyesë jo të duhur.

Rezultati i shumëzimit duhet të thjeshtohet (nëse është e mundur) duke zvogëluar thyesën dhe duke izoluar të gjithë pjesën e fraksionit të papërshtatshëm.

Për thyesat, si për numrat natyrorë, janë të vlefshme vetitë komutative dhe kombinuese të shumëzimit, si dhe vetia shpërndarëse e shumëzimit në lidhje me mbledhjen.

Ndarja e thyesave

Le të marrim thyesën \(\frac(2)(3)\) dhe ta "rrokullisim" atë, duke ndërruar numëruesin dhe emëruesin. Marrim thyesën \(\frac(3)(2)\). Kjo thyesë quhet e kundërta thyesat \(\frac(2)(3)\).

Nëse tani "e kthejmë" thyesën \(\frac(3)(2)\), do të marrim thyesën origjinale \(\frac(2)(3)\). Prandaj, thyesat si \(\frac(2)(3)\) dhe \(\frac(3)(2)\) quhen reciprokisht anasjelltas.

Për shembull, thyesat \(\frac(6)(5) \) dhe \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) dhe \(\frac (18 )(7)\).

Përdorimi i shkronjave në mënyrë reciproke thyesat reciproke mund të shkruhet si më poshtë: \(\frac(a)(b) \) dhe \(\frac(b)(a) \)

Është e qartë se prodhimi i thyesave reciproke është i barabartë me 1. Për shembull: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Duke përdorur thyesat reciproke, ju mund ta reduktoni ndarjen e thyesave në shumëzim.

Rregulli për pjesëtimin e një thyese me një thyesë është:
Për të pjesëtuar një thyesë me një tjetër, duhet të shumëzoni dividentin me reciprocitetin e pjesëtuesit.

Duke përdorur shkronjat, rregulli për ndarjen e thyesave mund të shkruhet si më poshtë:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Nëse dividenti ose pjesëtuesi është numri natyror ose fraksion i përzier, atëherë për të përdorur rregullin për pjesëtimin e thyesave, fillimisht duhet të paraqitet si thyesë e papërshtatshme.