Gjatë studimit të mbretëreshës së të gjitha shkencave - matematikës, në një moment të gjithë hasin në thyesa. Megjithëse ky koncept (si vetë llojet e thyesave apo veprimet matematikore me to) nuk është aspak i ndërlikuar, ai duhet trajtuar me kujdes, sepse në jeta reale Do të jetë shumë e dobishme jashtë shkollës. Pra, le të rifreskojmë njohuritë tona për thyesat: çfarë janë, për çfarë shërbejnë, çfarë llojesh janë dhe si të bëjmë gjëra të ndryshme me to veprimet aritmetike.
Fraksioni i Madhërisë së saj: çfarë është
Në matematikë, thyesat janë numra, secili prej të cilëve përbëhet nga një ose më shumë pjesë të një njësie. Thyesat e tilla quhen edhe të zakonshme ose të thjeshta. Si rregull, ato shkruhen në formën e dy numrave që ndahen nga një vijë horizontale ose e pjerrët, ajo quhet një vijë "fraksionale". Për shembull: ½, ¾.
Pjesa e sipërme ose e para e këtyre numrave është numëruesi (tregon sa pjesë janë marrë nga numri), dhe i poshtëmi ose i dyti është emëruesi (tregon në sa pjesë ndahet njësia).
Shiriti i fraksionit në fakt funksionon si shenjë ndarjeje. Për shembull, 7:9=7/9
Tradicionalisht, fraksionet e zakonshme janë më pak se një. Ndërsa numrat dhjetorë mund të jenë më të mëdhenj se ai.
Për çfarë janë thyesat? Po për gjithçka, sepse në botën reale Jo të gjithë numrat janë numra të plotë. Për shembull, dy nxënëse në kafene blenë një çokollatë të shijshme së bashku. Kur ata ishin gati të ndanin ëmbëlsirën, ata takuan një mikeshë dhe vendosën ta trajtonin edhe atë. Megjithatë, tani është e nevojshme të ndahet saktë shiriti i çokollatës, duke pasur parasysh se ai përbëhet nga 12 katrorë.
Në fillim, vajzat donin të ndanin gjithçka në mënyrë të barabartë, dhe më pas secila do të merrte katër pjesë. Por, pasi e menduan mirë, vendosën ta trajtojnë shokun e tyre, jo 1/3, por 1/4 e çokollatës. E duke qenë se nxënëset nuk i kanë studiuar mirë thyesat, nuk kanë marrë parasysh se në një situatë të tillë do të përfundonin me 9 pjesë, të cilat janë shumë të vështira për t'u ndarë në dysh. Ky shembull mjaft i thjeshtë tregon se sa e rëndësishme është të jesh në gjendje të gjesh saktë një pjesë të një numri. Por në jetë raste të ngjashme me shume.
Llojet e thyesave: të zakonshme dhe dhjetore
Të gjitha thyesat matematikore ndahen në dy kategori të mëdha: të zakonshme dhe dhjetore. Karakteristikat e të parit prej tyre u përshkruan në paragrafin e mëparshëm, kështu që tani ia vlen t'i kushtohet vëmendje të dytit.
Dhjetor është një shënim pozicionor i një thyese të një numri, i cili shkruhet me shkrim i ndarë me presje, pa vizë ose të pjerrët. Për shembull: 0.75, 0.5.
Në fakt dhjetoreështë identike me të zakonshmen, megjithatë, emëruesi i saj është gjithmonë një i ndjekur nga zero - këtu vjen emri i tij.
Numri që i paraprin pikës dhjetore është pjesë e tërë, dhe çdo gjë pas saj është thyesore. me pelqen thyesë e thjeshtë mund të konvertohet në dhjetore. Kështu, thyesat dhjetore të treguara në shembullin e mëparshëm mund të shkruhen si zakonisht: ¾ dhe ½.
Vlen të përmendet se si thyesat dhjetore ashtu edhe ato të zakonshme mund të jenë pozitive ose negative. Nëse ato paraprihen nga një shenjë "-", thyesë e dhënë negative, nëse "+" - atëherë pozitive.
Nëntipet e thyesave të zakonshme
Ekzistojnë këto lloje thyesash të thjeshta.
Nënllojet e thyesës dhjetore
Ndryshe nga një thyesë e thjeshtë, një thyesë dhjetore ndahet vetëm në 2 lloje.
- Final - mori këtë emër për faktin se pas presjes dhjetore ka një numër të kufizuar (të fundëm) shifrash: 19.25.
- Një thyesë e pafundme është një numër me një numër të pafund shifrash pas presjes dhjetore. Për shembull, kur pjesëtoni 10 me 3, rezultati është thyesë e pafundme 3,333…
Shtimi i thyesave
Kryerja e manipulimeve të ndryshme aritmetike me thyesa është pak më e vështirë sesa me numrat e zakonshëm. Sidoqoftë, nëse i kuptoni rregullat themelore, zgjidhja e ndonjë shembulli me to nuk do të jetë e vështirë.
Për shembull: 2/3+3/4. Shumëfishi më i vogël i përbashkët për ta do të jetë 12, prandaj, është e nevojshme që ky numër të jetë në secilin emërues. Për ta bërë këtë, ne shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e fraksionit të parë me 4, rezulton 8/12, bëjmë të njëjtën gjë me termin e dytë, por shumëzojmë vetëm me 3 - 9/12. Tani mund ta zgjidhni me lehtësi shembullin: 8/12+9/12= 17/12. Thyesa që rezulton është një vlerë e pasaktë sepse numëruesi është më i madh se emëruesi. Mund dhe duhet të shndërrohet në një përzierje të saktë duke e ndarë 17:12 = 1 dhe 5/12.
Kur shtohen thyesat e përziera, veprimet kryhen fillimisht me numra të plotë, e më pas me thyesa.
Nëse shembulli përmban një thyesë dhjetore dhe një thyesë të zakonshme, është e nevojshme t'i bëjmë të dyja të thjeshta, pastaj t'i sillni në të njëjtin emërues dhe t'i shtoni. Për shembull 3.1+1/2. Numri 3.1 mund të shkruhet si fraksion i përzier 3 dhe 1/10 ose si e pasaktë - 31/10. Emëruesi i përbashkët për termat do të jetë 10, kështu që ju duhet të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e 1/2 me 5 në mënyrë alternative, ju merrni 5/10. Atëherë mund të llogaritni lehtësisht gjithçka: 31/10+5/10=35/10. Rezultati i marrë është një fraksion i papërshtatshëm i reduktueshëm, ne e zvogëlojmë atë në pamje normale, duke reduktuar me 5: 7/2 = 3 dhe 1/2, ose dhjetore - 3,5.
Kur mblidhen 2 thyesa dhjetore, është e rëndësishme që pas presjes dhjetore të ketë të njëjtin numër shifrash. Nëse nuk është kështu, thjesht duhet të shtoni shumën e kërkuar zero, sepse në thyesat dhjetore kjo mund të bëhet pa dhimbje. Për shembull, 3.5+3.005. Për të zgjidhur këtë problem, duhet të shtoni 2 zero në numrin e parë dhe më pas të shtoni një nga një: 3.500+3.005=3.505.
Zbritja e thyesave
Kur zbritni thyesat, duhet të bëni të njëjtën gjë si kur shtoni: zvogëloni në emërues i përbashkët, zbritni një numërues nga tjetri dhe, nëse është e nevojshme, kthejeni rezultatin në një fraksion të përzier.
Për shembull: 16/20-5/10. Emëruesi i përbashkët do të jetë 20. Ju duhet të sillni thyesën e dytë në këtë emërues duke shumëzuar të dy pjesët e saj me 2, do të merrni 10/20. Tani mund ta zgjidhni shembullin: 16/20-10/20= 6/20. Sidoqoftë, ky rezultat vlen për fraksionet e reduktueshme, kështu që ia vlen të ndani të dyja anët me 2 dhe rezultati është 3/10.
Shumëzimi i thyesave
Pjesëtimi dhe shumëzimi i thyesave janë veprime shumë më të thjeshta se sa mbledhja dhe zbritja. Fakti është se gjatë kryerjes së këtyre detyrave, nuk ka nevojë të kërkoni një emërues të përbashkët.
Për të shumëzuar thyesat, thjesht duhet të shumëzoni të dy numëruesit një nga një, dhe më pas të dy emëruesit. Zvogëloni rezultatin që rezulton nëse fraksioni është një sasi e reduktueshme.
Për shembull: 4/9x5/8. Pas shumëzimit alternativ, rezultati është 4x5/9x8=20/72. Kjo thyesë mund të zvogëlohet me 4, kështu që përgjigja përfundimtare në shembull është 5/18.
Si të ndajmë thyesat
Pjestimi i thyesave është gjithashtu një veprim i thjeshtë, në fakt bëhet fjalë për shumëzimin e tyre. Për të ndarë një pjesë me një tjetër, duhet të ktheni të dytën dhe të shumëzoni me të parën.
Për shembull, pjesëtimi i thyesave 5/19 dhe 5/7. Për të zgjidhur shembullin, duhet të ndërroni emëruesin dhe numëruesin e thyesës së dytë dhe të shumëzoni: 5/19x7/5=35/95. Rezultati mund të zvogëlohet me 5 - rezulton 7/19.
Nëse duhet të ndani një thyesë me një numër të thjeshtë, teknika është paksa e ndryshme. Fillimisht, ju duhet ta shkruani këtë numër si një thyesë jo të duhur dhe më pas ta ndani sipas skemës së njëjtë. Për shembull, 2/13:5 duhet të shkruhet si 2/13: 5/1. Tani duhet të ktheni 5/1 dhe të shumëzoni thyesat që rezultojnë: 2/13x1/5= 2/65.
Ndonjëherë ju duhet të ndani fraksione të përziera. Ju duhet t'i trajtoni ato si do të bëni me numrat e plotë: t'i ktheni në thyesa të papërshtatshme, të ktheni pjesëtuesin dhe të shumëzoni gjithçka. Për shembull, 8 ½: 3. Kthejeni gjithçka në thyesat e papërshtatshme: 17/2: 3/1. Kjo pasohet nga një rrokullisje 3/1 dhe shumëzim: 17/2x1/3= 17/6. Tani ju duhet të konvertoni fraksionin e papërshtatshëm në atë të saktë - 2 të plota dhe 5/6.
Pra, pasi të keni kuptuar se cilat janë fraksionet dhe si mund të kryeni operacione të ndryshme aritmetike me to, duhet të përpiqeni të mos harroni për këtë. Në fund të fundit, njerëzit janë gjithmonë më të prirur për të ndarë diçka në pjesë sesa për të shtuar, kështu që ju duhet të jeni në gjendje ta bëni atë siç duhet.
Thyesat i hasim në jetë shumë më herët sesa të fillojmë t'i studiojmë në shkollë. Nëse e presim një mollë të plotë në gjysmë, marrim ½ e frutave. Le ta presim përsëri - do të jetë ¼. Këto janë thyesa. Dhe gjithçka dukej e thjeshtë. Për një të rritur. Për fëmijën (dhe Kjo temë filloni të studioni në fund shkollë e vogël) abstrakte konceptet matematikore janë ende tmerrësisht të pakuptueshme, dhe mësuesi duhet të shpjegojë qartë se çfarë janë një thyesë e duhur dhe një thyesë e gabuar, një e zakonshme dhe një dhjetore, çfarë operacionesh mund të kryhen me to dhe, më e rëndësishmja, për çfarë nevojitet e gjithë kjo.
Çfarë lloje thyesash ekzistojnë?
Duke u njohur temë e re në shkollë fillon me thyesa të zakonshme. Ato njihen lehtësisht nga vija horizontale që ndan dy numrat - sipër dhe poshtë. I larti quhet numërues, ai i poshtëm është emëruesi. Ekziston gjithashtu një mundësi e vogël për të shkruar fraksione të zakonshme të pahijshme dhe të duhura - përmes një prerje, për shembull: ½, 4/9, 384/183. Ky opsion përdoret kur lartësia e linjës është e kufizuar dhe nuk është e mundur të përdoret një formular hyrjeje "dykatëshe". Pse? Po, sepse është më i përshtatshëm. Këtë do ta shohim pak më vonë.
Përveç thyesave të zakonshme, ka edhe thyesa dhjetore. Dallimi i tyre është shumë i thjeshtë: nëse në një rast përdoret një horizontale ose e pjerrët, në tjetrën përdoret një presje për të ndarë sekuencat e numrave. Le të shohim një shembull: 2.9; 163,34; 1,953. Ne kemi përdorur qëllimisht një pikëpresje si ndarës për të kufizuar numrat. E para prej tyre do të lexojë kështu: "dy pika nëntë".
Koncepte të reja
Le të kthehemi te thyesat e zakonshme. Ato vijnë në dy lloje.
Përkufizimi i një thyese të duhur është si vijon: është një thyesë numëruesi i së cilës më pak se emëruesi. Pse është e rëndësishme? Do të shohim tani!
Keni disa mollë, të përgjysmuara. Gjithsej - 5 pjesë. Si do të thoshit: a keni mollë "dy e gjysmë" ose "pesë e gjysmë"? Sigurisht, opsioni i parë tingëllon më i natyrshëm, dhe ne do ta përdorim atë kur flasim me miqtë. Por nëse duhet të llogarisim sa fruta do të marrë secili person, nëse ka pesë persona në kompani, do të shkruajmë numrin 5/2 dhe do ta ndajmë me 5 - nga pikëpamja matematikore, kjo do të jetë më e qartë .
Pra, për emërtimin e thyesave të duhura dhe të pahijshme, rregulli është ky: nëse një pjesë e tërë mund të dallohet në një thyesë (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), atëherë ajo është e parregullt. Nëse kjo nuk mund të bëhet, si në rastin e ½, 13/16, 9/10, do të jetë e saktë.
Vetia kryesore e një thyese
Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen ose pjesëtohen njëkohësisht me të njëjtin numër, vlera e tij nuk ndryshon. Imagjinoni: ata e prenë tortën në 4 pjesë të barabarta dhe ju dhanë një. Ata e prenë të njëjtën tortë në tetë pjesë dhe ju dhanë dy. A ka vërtet rëndësi? Në fund të fundit, ¼ dhe 2/8 janë e njëjta gjë!
Reduktimi
Autorët e problemeve dhe shembujve në tekstet e matematikës shpesh kërkojnë t'i ngatërrojnë studentët duke ofruar thyesa që janë të vështira për t'u shkruar, por që në fakt mund të shkurtohen. Këtu është një shembull i një fraksioni të duhur: 167/334, i cili, me sa duket, duket shumë "i frikshëm". Por në fakt mund ta shkruajmë si ½. Numri 334 ndahet me 167 pa mbetje - pas kryerjes së këtij operacioni, marrim 2.
Numra të përzier
Një thyesë e papërshtatshme mund të përfaqësohet si një numër i përzier. Kjo është kur e gjithë pjesa nxirret përpara dhe shkruhet në nivelin e vijës horizontale. Në fakt, shprehja merr formën e një shume: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 e kështu me radhë.
Për të hequr të gjithë pjesën, duhet të ndani numëruesin me emëruesin. Shkruani pjesën e mbetur të ndarjes sipër, sipër rreshtit, dhe të gjithë pjesën - para shprehjes. Kështu, marrim dy pjesë strukturore: njësi të tëra + thyesa e duhur.
Është e mundur të kryhet operacion i kundërt- për ta bërë këtë, duhet të shumëzoni të gjithë pjesën me emëruesin dhe të shtoni vlerën që rezulton në numërues. Asgjë e komplikuar.
Shumëzimi dhe pjesëtimi
Mjaft e çuditshme, shumëzimi i thyesave është më i lehtë sesa mbledhja. Gjithçka që kërkohet është të zgjeroni vijën horizontale: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.
Me ndarjen, gjithçka është gjithashtu e thjeshtë: duhet të shumëzoni fraksionet në mënyrë tërthore: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.
Shtimi i thyesave
Çfarë duhet të bëni nëse duhet të kryeni mbledhje ose emëruesi i tyre është numra të ndryshëm? Nuk do të funksionojë të bëni të njëjtën gjë si me shumëzimin - këtu duhet të kuptoni përkufizimin e një fraksioni të duhur dhe thelbin e tij. Është e nevojshme të sillni termat në një emërues të përbashkët, domethënë, fundi i të dy thyesave duhet të ketë të njëjtët numra.
Për ta bërë këtë, duhet të përdorni vetinë bazë të një fraksioni: shumëzoni të dy pjesët me të njëjtin numër. Për shembull, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.
Si të zgjidhni se në cilin emërues të reduktoni termat? Ky duhet të jetë numri minimal që është shumëfish i të dy numrave në emëruesit e thyesave: për 1/3 dhe 1/9 do të jetë 9; për ½ dhe 1/7 - 14, sepse vlerë më të vogël, i pjesëtueshëm me 2 dhe 7 pa mbetje, nuk ekziston.
Përdorimi
Për çfarë përdoren thyesat e papërshtatshme? Në fund të fundit, është shumë më e përshtatshme që menjëherë të zgjidhni të gjithë pjesën, të merrni një numër të përzier - dhe të përfundoni me të! Rezulton se nëse keni nevojë të shumëzoni ose ndani dy fraksione, është më e dobishme të përdorni ato të parregullta.
Le ta marrim shembulli tjetër: (2 + 3/17) / (37 / 68).
Duket se nuk ka asgjë për të prerë fare. Por çka nëse rezultatin e mbledhjes e shkruajmë në kllapat e para si një thyesë e gabuar? Shiko: (37/17) / (37/68)
Tani gjithçka bie në vend! Le ta shkruajmë shembullin në atë mënyrë që gjithçka të bëhet e qartë: (37*68) / (17*37).
Le të anulojmë 37 në numërues dhe emërues dhe në fund të ndajmë pjesën e sipërme dhe të poshtme me 17. A ju kujtohet rregulli bazë për thyesat e duhura dhe të pahijshme? Ne mund t'i shumëzojmë dhe pjesëtojmë me çdo numër për sa kohë që e bëjmë për numëruesin dhe emëruesin në të njëjtën kohë.
Pra, marrim përgjigjen: 4. Shembulli dukej i ndërlikuar, por përgjigja përmban vetëm një numër. Kjo ndodh shpesh në matematikë. Gjëja kryesore është të mos keni frikë dhe të ndiqni rregulla të thjeshta.
Gabimet e zakonshme
Gjatë zbatimit, një student mund të bëjë lehtësisht një nga gabimet e zakonshme. Zakonisht ato ndodhin për shkak të pavëmendjes, dhe ndonjëherë për shkak të faktit se materiali i studiuar ende nuk është ruajtur siç duhet në kokë.
Shpesh shuma e numrave në numërues ju bën të dëshironi të reduktoni komponentët e tij individualë. Le të themi në shembull: (13 + 2) / 13, të shkruara pa kllapa (me vijë horizontale), shumë nxënës, për shkak të papërvojës, shënojnë 13 sipër dhe poshtë. Por kjo nuk duhet bërë në asnjë rrethanë, sepse ky është një gabim i rëndë! Nëse në vend të mbledhjes do të kishte një shenjë shumëzimi, do të merrnim numrin 2 në përgjigje, por gjatë kryerjes së mbledhjes, nuk lejohen veprime me një nga termat, vetëm me të gjithë shumën.
Djemtë gjithashtu shpesh bëjnë gabime kur ndajnë thyesa. Le të marrim dy të sakta thyesat e pareduktueshme dhe ndani me njëri-tjetrin: (5/6) / (25/33). Nxënësi mund ta përziejë atë dhe të shkruajë shprehjen që rezulton si (5*25) / (6*33). Por kjo do të ndodhte me shumëzim, por në rastin tonë gjithçka do të jetë disi ndryshe: (5*33) / (6*25). Ne zvogëlojmë atë që është e mundur, dhe përgjigja do të jetë 11/10. Ne e shkruajmë thyesën e pahijshme që rezulton si dhjetore - 1.1.
Kllapa
Mos harroni se në çdo shprehjet matematikore radha e veprimeve përcaktohet nga përparësia e shenjave të funksionimit dhe prania e kllapave. Të gjitha gjërat e tjera janë të barabarta, rendi i veprimeve llogaritet nga e majta në të djathtë. Kjo është gjithashtu e vërtetë për thyesat - shprehja në numërues ose emërues llogaritet në mënyrë rigoroze sipas këtij rregulli.
Në fund të fundit, ky është rezultat i pjesëtimit të një numri me një tjetër. Nëse ato nuk ndahen në mënyrë të barabartë, bëhet një fraksion - kjo është e gjitha.
Si të shkruani një thyesë në një kompjuter
Meqenëse mjetet standarde nuk lejojnë gjithmonë krijimin e një fraksioni të përbërë nga dy "nivele", studentët ndonjëherë përdorin truke të ndryshme. Për shembull, ata kopjojnë numëruesit dhe emërtuesit në redaktuesin grafik Paint dhe i ngjitin së bashku, duke vizatuar mes tyre vije horizontale. Sigurisht, ekziston një opsion më i thjeshtë, i cili, nga rruga, ofron shumë veçori shtesë, e cila do të jetë e dobishme për ju në të ardhmen.
Hapni Microsoft Word. Një nga panelet në krye të ekranit quhet "Fut" - klikoni atë. Në të djathtë, në anën ku ndodhen ikonat e dritares së mbylljes dhe minimizimit, ka një buton "Formula". Kjo është pikërisht ajo që na duhet!
Nëse përdorni këtë funksion, në ekran do të shfaqet një zonë drejtkëndëshe në të cilën mund të përdorni ndonjë shenja matematikore, që mungon në tastierë, dhe gjithashtu shkruani thyesat në formën klasike. Kjo do të thotë, pjesëtimi i numëruesit dhe emëruesit me një vijë horizontale. Ju madje mund të habiteni që një thyesë e tillë e duhur është kaq e lehtë për t'u shkruar.
Mësoni matematikë
Nëse jeni në klasat 5-6, atëherë së shpejti njohuritë e matematikës (përfshirë aftësinë për të punuar me thyesa!) do të kërkohet në shumë lëndët shkollore. Në pothuajse çdo problem në fizikë, kur matni masën e substancave në kimi, në gjeometri dhe trigonometri, nuk mund të bëni pa fraksione. Së shpejti do të mësoni të llogaritni gjithçka në mendjen tuaj, pa i shkruar as shprehjet në letër, por gjithnjë e më shumë shembuj kompleks. Prandaj, mësoni se çfarë është një thyesë e duhur dhe si të punoni me të, vazhdoni me kurrikula, bëni detyrat në kohë dhe do t'ia dilni.
Thyesat e zakonshme ndahen në thyesa \textit (e duhur) dhe \textit (e papërshtatshme). Kjo ndarje bazohet në krahasimin e numëruesit dhe emëruesit.
Thyesat e duhura
Pjesa e duhur thirrur thyesë e zakonshme$\frac(m)(n)$, numëruesi i të cilit është më i vogël se emëruesi, d.m.th. $m
Shembulli 1
Për shembull, thyesat $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ janë të sakta , pra si në secilën prej tyre numëruesi është më i vogël se emëruesi, i cili plotëson përkufizimin e një thyese të duhur.
Ekziston një përkufizim i një thyese të duhur, i cili bazohet në krahasimin e thyesës me një.
e saktë, nëse është më pak se një:
Shembulli 2
Për shembull, thyesa e zakonshme $\frac(6)(13)$ është e duhur sepse kushti $\frac(6)(13) është i kënaqur
Thyesat e gabuara
Thyesë e papërshtatshmeështë një thyesë e zakonshme $\frac(m)(n)$ numëruesi i së cilës është më i madh se ose e barabartë me emëruesin, d.m.th. $m\ge n$.
Shembulli 3
Për shembull, thyesat $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ janë të parregullta , pra si në secilën prej tyre numëruesi është më i madh ose i barabartë me emëruesin, i cili plotëson përkufizimin e një thyese jo të duhur.
Le të japim një përkufizim të një thyese të papërshtatshme, e cila bazohet në krahasimin e saj me një.
Thyesa e përbashkët $\frac(m)(n)$ është gabim, nëse është e barabartë ose më e madhe se një:
\[\frac(m)(n)\ge 1\]
Shembulli 4
Për shembull, fraksioni i përbashkët $\frac(21)(4)$ është i papërshtatshëm sepse kushti $\frac(21)(4) >1$ është i plotësuar;
thyesa e zakonshme $\frac(8)(8)$ është e papërshtatshme sepse plotësohet kushti $\frac(8)(8)=1$.
Le të hedhim një vështrim më të afërt në konceptin e një fraksioni të papërshtatshëm.
Le të marrim si shembull thyesën e papërshtatshme $\frac(7)(7)$. Kuptimi i kësaj thyese është të marrësh shtatë pjesë të një objekti, i cili ndahet në shtatë pjesë të barabarta. Kështu, nga shtatë aksionet që janë në dispozicion, mund të përbëhet i gjithë objekti. Ato. fraksioni i papërshtatshëm $\frac(7)(7)$ përshkruan e gjithë lënda dhe $\frac(7)(7)=1$. Pra, thyesat e papërshtatshme, në të cilat numëruesi është i barabartë me emëruesin, përshkruajnë një objekt të plotë dhe një thyesë e tillë mund të zëvendësohet me numrin natyror $1$.
$\frac(5)(2)$ - është mjaft e qartë se nga këto pesë pjesë të dytë ju mund të bëni $2$ objekte të tëra (një objekt i tërë do të përbëhet nga $2$ pjesë, dhe për të kompozuar dy objekte të tëra ju nevojiten $2+2=4$ aksione) dhe mbetet një aksion i dytë. Kjo do të thotë, fraksioni i papërshtatshëm $\frac(5)(2)$ përshkruan $2$ të një objekti dhe $\frac(1)(2)$ pjesën e këtij objekti.
$\frac(21)(7)$ -- nga pjesët e njëzet e një të shtatët mund të bëni $3$ objekte të plota ($3$objekte me $7$ aksione në secilin). Ato. fraksioni $\frac(21)(7)$ përshkruan $3$ objekte të plota.
Nga shembujt e shqyrtuar, mund të konkludohet prodhimi tjetër: Një thyesë e papërshtatshme mund të zëvendësohet me një numër natyror nëse numëruesi është i pjesëtueshëm me emëruesin (për shembull, $\frac(7)(7)=1$ dhe $\frac(21)(7)=3$), ose shuma numri natyror dhe një thyesë e duhur nëse numëruesi nuk është plotësisht i pjesëtueshëm me emëruesin (për shembull, $\ \frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$). Prandaj quhen thyesa të tilla gabim.
Përkufizimi 1
Procesi i paraqitjes së një thyese të papërshtatshme si shumë e një numri natyror dhe një thyese të duhur (për shembull, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) quhet duke e ndarë të gjithë pjesën nga një thyesë e papërshtatshme.
Kur punoni me fraksione të pahijshme, mund të vëzhgoni lidhje e ngushtë mes tyre dhe numra të përzier.
Një thyesë e gabuar shpesh shkruhet si një numër i përzier - një numër që përbëhet nga një pjesë e plotë dhe një pjesë thyese.
Për të shkruar një thyesë të papërshtatshme si një numër të përzier, duhet të ndani numëruesin me emëruesin me një mbetje. Herësi do të jetë pjesa e plotë e numrit të përzier, pjesa e mbetur do të jetë numëruesi i pjesës thyesore dhe pjesëtuesi do të jetë emëruesi i pjesës thyesore.
Shembulli 5
Shkruani thyesën e papërshtatshme $\frac(37)(12)$ si një numër të përzier.
Zgjidhje.
Ndani numëruesin me emëruesin me një mbetje:
\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (e mbetur\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]
Përgjigju.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.
Për të shkruar një numër të përzier si një thyesë jo të duhur, duhet të shumëzoni emëruesin me të gjithë pjesën e numrit, të shtoni numëruesin e pjesës thyesore në produktin që rezulton dhe të shkruani shumën që rezulton në numëruesin e thyesës. Emëruesi i thyesës së papërshtatshme do të jetë i barabartë me emëruesin e pjesës thyesore të numrit të përzier.
Shembulli 6
Shkruani numrin e përzier $5\frac(3)(7)$ si një thyesë jo të duhur.
Zgjidhje.
Përgjigju.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.
Shtimi i numrave të përzier dhe i thyesave të duhura
Mbledhja e numrave të përzier$a\frac(b)(c)$ dhe thyesa e duhur$\frac(d)(e)$ kryhet duke i shtuar një thyese të caktuar pjesën thyesore të një numri të caktuar të përzier:
Shembulli 7
Shto thyesën e duhur $\frac(4)(15)$ dhe numrin e përzier $3\frac(2)(5)$.
Zgjidhje.
Le të përdorim formulën për mbledhjen e një numri të përzier dhe një thyese të duhur:
\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\djathtas)=3+\ majtas(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\djathtas)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]
Duke pjesëtuar me numrin \textit(5) mund të përcaktojmë se thyesa $\frac(10)(15)$ është e reduktueshme. Le të bëjmë reduktimin dhe të gjejmë rezultatin e shtimit:
Pra, rezultati i shtimit të fraksionit të duhur $\frac(4)(15)$ dhe numrit të përzier $3\frac(2)(5)$ është $3\frac(2)(3)$.
Përgjigje:$3\frac(2)(3)$
Shtimi i numrave të përzier dhe i thyesave të gabuara
Shtimi i thyesave të pasakta dhe numrave të përzier reduktohet në mbledhjen e dy numrave të përzier, për të cilët mjafton të veçohet e gjithë pjesa nga thyesa e papërshtatshme.
Shembulli 8
Llogaritni shumën e numrit të përzier $6\frac(2)(15)$ dhe thyesës së papërshtatshme $\frac(13)(5)$.
Zgjidhje.
Së pari, le të nxjerrim pjesën e plotë nga fraksioni i papërshtatshëm $\frac(13)(5)$:
Përgjigje:$8\frac(11)(15)$.
Fjala "fraksione" u bën shumë njerëzve të turbulluar. Sepse më kujtohet shkolla dhe detyrat që zgjidheshin në matematikë. Kjo ishte një detyrë që duhej përmbushur. Po sikur t'i trajtonit problemet që përfshijnë thyesat e duhura dhe të papërshtatshme si një enigmë? Në fund të fundit, shumë të rritur zgjidhin fjalëkryqe dixhitale dhe japoneze. Ne kuptuam rregullat, dhe kaq. Është e njëjta gjë këtu. Duhet vetëm të thellohet në teori - dhe gjithçka do të bjerë në vend. Dhe shembujt do të kthehen në një mënyrë për të trajnuar trurin tuaj.
Çfarë lloje thyesash ekzistojnë?
Le të fillojmë me atë që është. Një thyesë është një numër që ka një pjesë të një. Mund të shkruhet në dy forma. E para quhet e zakonshme. Kjo është, ai që ka një vijë horizontale ose të pjerrët. Është e barabartë me shenjën e ndarjes.
Në këtë shënim, numri mbi vijën quhet numërues, dhe numri nën të quhet emërues.
Ndër thyesat e zakonshme dallohen thyesat e duhura dhe të pahijshme. Për të parën, vlera absolute e numëruesit është gjithmonë më e vogël se emëruesi. Të gabuarat quhen kështu sepse kanë gjithçka anasjelltas. Vlera e një thyese të duhur është gjithmonë më e vogël se një. Ndërsa e pasakta është gjithmonë më e madhe se ky numër.
Ka edhe numra të përzier, pra ata që kanë një numër të plotë dhe një pjesë thyesore.
Lloji i dytë i shënimit është një thyesë dhjetore. Ka një bisedë të veçantë për të.
Si ndryshojnë thyesat e pasakta nga numrat e përzier?
Në thelb, asgjë. Këto janë vetëm regjistrime të ndryshme të të njëjtit numër. Thyesat e pasakta bëhen lehtësisht numra të përzier pas hapave të thjeshtë. Dhe anasjelltas.
E gjitha varet nga situatë specifike. Ndonjëherë është më e përshtatshme të përdoret një fraksion i papërshtatshëm në detyra. Dhe ndonjëherë është e nevojshme ta shndërroni atë në një numër të përzier dhe atëherë shembulli do të zgjidhet shumë lehtë. Prandaj, çfarë të përdorni: thyesat e pahijshme, numrat e përzier, varet nga aftësitë vëzhguese të personit që zgjidh problemin.
Numri i përzier krahasohet edhe me shumën e pjesës së plotë dhe të pjesës thyesore. Për më tepër, e dyta është gjithmonë më pak se një.
Si të paraqitet një numër i përzier si një thyesë e gabuar?
Nëse duhet të kryeni ndonjë veprim me disa numra që janë të shkruar tipe te ndryshme, atëherë ju duhet t'i bëni ato të njëjta. Një metodë është paraqitja e numrave si thyesa të pahijshme.
Për këtë qëllim, do t'ju duhet të kryeni algoritmin e mëposhtëm:
- të shumëzojë emëruesin me pjesën e plotë;
- shtoni vlerën e numëruesit në rezultat;
- shkruani përgjigjen sipër rreshtit;
- lëre të njëjtin emërues.
Këtu janë shembuj se si të shkruani thyesa të pahijshme nga numra të përzier:
- 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
- 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.
Si të shkruhet një thyesë e gabuar si një numër i përzier?
Teknika tjetër është e kundërta e asaj të diskutuar më sipër. Kjo do të thotë, kur të gjithë numrat e përzier zëvendësohen me thyesa të papërshtatshme. Algoritmi i veprimeve do të jetë si më poshtë:
- pjesëtoje numëruesin me emëruesin për të marrë pjesën e mbetur;
- shkruaj hersin në vend të pjesës së tërë të të përzierës;
- pjesa e mbetur duhet të vendoset mbi vijën;
- pjesëtuesi do të jetë emëruesi.
Shembuj të një transformimi të tillë:
76/14; 76:14 = 5 me mbetjen 6; përgjigja do të jetë 5 e plotë dhe 6/14; pjesë thyesore në këtë shembull ju duhet të zvogëloni me 2, ju merrni 3/7; përgjigja përfundimtare është 5 pikë 3/7.
108/54; pas pjesëtimit, herësi 2 fitohet pa mbetje; kjo do të thotë se jo të gjitha thyesat e papërshtatshme mund të paraqiten si një numër i përzier; Përgjigja do të jetë një numër i plotë - 2.
Si të shndërroni një numër të plotë në një thyesë të papërshtatshme?
Ka situata kur një veprim i tillë është i nevojshëm. Për të marrë thyesa të pahijshme me një emërues të njohur, do t'ju duhet të kryeni algoritmin e mëposhtëm:
- shumëzoni një numër të plotë me emëruesin e dëshiruar;
- shkruani këtë vlerë mbi vijën;
- vendosni emëruesin poshtë tij.
Opsioni më i thjeshtë është kur emëruesi e barabartë me një. Atëherë nuk keni nevojë të shumëzoni asgjë. Mjafton thjesht të shkruani numrin e plotë të dhënë në shembull dhe të vendosni një nën rresht.
Shembull: Bëni 5 një thyesë jo të duhur me emërues 3. Duke shumëzuar 5 me 3 jepet 15. Ky numër do të jetë emëruesi. Përgjigja e detyrës është një thyesë: 15/3.
Dy qasje për zgjidhjen e problemeve me numra të ndryshëm
Shembulli kërkon llogaritjen e shumës dhe diferencës, si dhe prodhimin dhe herësin e dy numrave: 2 numra të plotë 3/5 dhe 14/11.
Në qasjen e parë numri i përzier do të paraqitet si një thyesë e papërshtatshme.
Pasi të keni kryer hapat e përshkruar më sipër, do të merrni vlerën e mëposhtme: 13/5.
Për të gjetur shumën, duhet të zvogëloni thyesat në i njëjti emërues. 13/5 pas shumëzimit me 11 bëhet 143/55. Dhe 14/11 pas shumëzimit me 5 do të duket si: 70/55. Për të llogaritur shumën, duhet të shtoni vetëm numëruesit: 143 dhe 70, dhe më pas shkruani përgjigjen me një emërues. 213/55 - kjo fraksion i papërshtatshëm është përgjigja e problemit.
Gjatë gjetjes së ndryshimit zbriten të njëjtët numra: 143 - 70 = 73. Përgjigja do të jetë një thyesë: 73/55.
Kur shumëzoni 13/5 dhe 14/11, nuk keni nevojë t'i sillni ato në një emërues të përbashkët. Mjafton të shumëzohen numëruesit dhe emëruesit në çifte. Përgjigja do të jetë: 182/55.
E njëjta gjë vlen edhe për ndarjen. Për vendimi i duhur ju duhet të zëvendësoni pjesëtimin me shumëzim dhe të përmbysni pjesëtuesin: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.
Në qasjen e dytë një thyesë e papërshtatshme bëhet një numër i përzier.
Pas kryerjes së veprimeve të algoritmit, 14/11 do të kthehet në një numër të përzier me një pjesë të plotë 1 dhe një pjesë thyesore 3/11.
Kur llogaritni shumën, duhet të shtoni pjesët e plota dhe të pjesshme veç e veç. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Përgjigja përfundimtare është 3 pikë 48/55. Në qasjen e parë fraksioni ishte 213/55. Ju mund ta kontrolloni korrektësinë e tij duke e kthyer atë në një numër të përzier. Pas pjesëtimit të 213 me 55, herësi është 3 dhe pjesa e mbetur është 48. Është e lehtë të shihet se përgjigja është e saktë.
Kur zbritet, shenja "+" zëvendësohet me "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Për të kontrolluar, përgjigja nga qasja e mëparshme duhet të shndërrohet në një numër të përzier: 73 ndahet me 55 dhe herësi është 1 dhe pjesa e mbetur është 18.
Për të gjetur produktin dhe koeficientin, është e papërshtatshme të përdoren numra të përzier. Gjithmonë rekomandohet të kaloni në fraksione të pahijshme këtu.
E thjeshtë rregullat matematikore dhe teknikat, nëse nuk përdoren vazhdimisht, harrohen më shpejt. Termat zhduken nga kujtesa edhe më shpejt.
Një nga këto veprime të thjeshta– shndërrimi i një thyese të papërshtatshme në një thyesë të duhur ose, me fjalë të tjera, në një thyesë të përzier.
Thyesë e papërshtatshme
Një thyesë e papërshtatshme është ajo në të cilën numëruesi (numri mbi vijë) është më i madh ose i barabartë me emëruesin (numri nën vijë). Kjo thyesë fitohet duke mbledhur thyesa ose duke shumëzuar një thyesë me një numër të plotë. Sipas rregullave të matematikës, një fraksion i tillë duhet të shndërrohet në një të duhur.
Pjesa e duhur
Është logjike të supozohet se të gjitha thyesat e tjera quhen të duhura. Një përkufizim i rreptë është që një thyesë numëruesi i së cilës është më i vogël se emëruesi i saj quhet i duhur. Një thyesë që ka një pjesë të plotë nganjëherë quhet thyesë e përzier.
Shndërrimi i një thyese të papërshtatshme në një thyesë të duhur
- Rasti i parë: numëruesi dhe emëruesi janë të barabartë me njëri-tjetrin. Rezultati i konvertimit të çdo fraksioni të tillë është një. Nuk ka rëndësi nëse janë tre të tretat apo njëqind e njëzet e pesë e njëqind e njëzet e pesta. Në thelb, një fraksion i tillë tregon veprimin e pjesëtimit të një numri në vetvete.
- Rasti i dytë: numëruesi është më i madh se emëruesi. Këtu duhet të mbani mend metodën e pjesëtimit të numrave me një mbetje.
Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni numrin më të afërt me vlerën e numëruesit, i cili është i pjesëtueshëm me emëruesin pa mbetje. Për shembull, ju keni thyesën nëntëmbëdhjetë të tretat. Shumica mbyll numrin që mund të ndahet me tre është tetëmbëdhjetë. Janë gjashtë. Tani zbritni numrin që rezulton nga numëruesi. Ne marrim një. Kjo është pjesa e mbetur. Shkruani rezultatin e shndërrimit: gjashtë të plota dhe një e treta.
Por përpara se të zvogëlohet thyesa në lloji i duhur, duhet të kontrolloni nëse mund të shkurtohet.
Zvogëlimi i një thyese është i mundur nëse numëruesi dhe emëruesi kanë pjesëtues i përbashkët. Domethënë një numër me të cilin të dy pjesëtohen pa mbetje. Nëse ka disa pjesëtues të tillë, duhet të gjeni më të madhin.
Për shembull, të gjithë numrat çift kanë një pjesëtues kaq të përbashkët - dy. Dhe thyesa e gjashtëmbëdhjetë e dymbëdhjetë ka një pjesëtues më të përbashkët - katër. Kjo pjesëtuesi më i madh. Ndani numëruesin dhe emëruesin me katër. Rezultati i zvogëlimit: katër të tretat. Tani, si praktikë, kthejeni këtë thyesë në një të duhur.
