Hartoni ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme pas kthimit. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme

Ndryshore e rastësishme Quhet një sasi e cila, si rezultat i provave të kryera në të njëjtat kushte, merr vlera të ndryshme, në përgjithësi, në varësi të faktorëve të rastësishëm që nuk merren parasysh. Shembuj të ndryshoreve të rastësishme: numri i pikëve të tërhequra për zare, numri i produkteve me defekt në një grumbull, devijimi i pikës së goditjes së predhës nga objektivi, koha e funksionimit pa dështim të pajisjes, etj. Ka variabla të rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme. Diskret I thirrur vlerë e rastësishme, vlerat e mundshme të cilat formojnë një bashkësi të numërueshme, të fundme ose të pafundme (domethënë një bashkësi elementet e të cilit mund të numërohen).

E vazhdueshme Quhet një ndryshore e rastësishme, vlerat e mundshme të së cilës plotësojnë vazhdimisht një interval të fundëm ose të pafund. boshti numerik. Numri i vlerave të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është gjithmonë i pafund.

Do të shënojmë ndryshore të rastësishme me shkronja të mëdha fund Alfabeti latin: X, Y, . ; vlerat e ndryshueshme të rastësishme - shkronja te vogla: X, y,. . Kështu, X Tregon të gjithë grupin e vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe X - Disa nga kuptimet e tij specifike.

Ligji i shpërndarjes Një ndryshore e rastësishme diskrete është një korrespondencë e specifikuar në çdo formë midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve të tyre.

Lërini vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme X Janë . Si rezultat i testit, ndryshorja e rastësishme do të marrë një nga këto vlera, d.m.th. Një ngjarje nga një grup i plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift do të ndodhë.

Le të dihen edhe probabilitetet e këtyre ngjarjeve:

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X Mund të shkruhet në formën e një tabele të quajtur Pranë shpërndarjes Ndryshore diskrete e rastësishme:

Variabla të rastësishme. Ndryshore diskrete e rastësishme.
Vlera e pritshme

Seksioni i dytë mbi teoria e probabilitetit të përkushtuar variablat e rastësishëm , e cila na shoqëroi në mënyrë të padukshme në fjalë për fjalë në çdo artikull mbi këtë temë. Dhe ka ardhur momenti për të formuluar qartë se çfarë është:

E rastësishme thirrur madhësia, i cili si rezultat i testit do të marrë një dhe vetëm një një vlerë numerike që varet nga faktorë të rastësishëm dhe është e paparashikueshme paraprakisht.

Ndryshoret e rastësishme janë zakonisht tregojnë përmes * , dhe kuptimet e tyre shkruhen me shkronja të vogla përkatëse me nënshkrime, për shembull, .

* Ndonjëherë përdoren edhe shkronjat greke

Ne hasëm në një shembull Mësimi i parë mbi teorinë e probabilitetit, ku ne kemi konsideruar në të vërtetë variablin e rastësishëm të mëposhtëm:

– numri i pikëve që do të shfaqen pas hedhjes së zarit.

Si rezultat i këtij testi, ai do të bjerë jashtë një dhe i vetëm linja, cila saktësisht, nuk mund të parashikohet (ne nuk i konsiderojmë truket); në këtë rast, ndryshorja e rastësishme mund të marrë një nga vlerat e mëposhtme:

– numri i djemve në 10 të porsalindurit.

Është absolutisht e qartë se ky numër nuk dihet paraprakisht, dhe dhjetë fëmijët e ardhshëm të lindur mund të përfshijnë:

Ose djem - një dhe vetëm një nga opsionet e listuara.

Dhe, për të mbajtur në formë, pak edukim fizik:

– distanca e kërcimit të gjatë (në disa njësi).

Edhe një mjeshtër i sportit nuk mund ta parashikojë :)

Megjithatë, hipotezat tuaja?

Sapo një tufë me numra realë pafundësisht, atëherë ndryshorja e rastësishme mund të marrë pafundësisht shumë vlerat nga një interval i caktuar. Dhe kjo është ajo nga e cila përbëhet dallimi themelor nga shembujt e mëparshëm.

Kështu, Këshillohet që variablat e rastësishëm të ndahen në 2 grupe të mëdha:

1) Diskret (me ndërprerje) ndryshore e rastësishme – merr vlera individuale, të izoluara. Numri i këtyre vlerave Sigurisht ose i pafund por i numërueshëm.

...ka ndonjë term të paqartë? Ne e përsërisim urgjentisht bazat e algjebrës!

2) Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme – pranon Të gjitha vlerat numerike nga disa intervale të fundme ose të pafundme.

shënim : V literaturë edukative shkurtesat popullore DSV dhe NSV

Së pari, le të analizojmë ndryshoren diskrete të rastësishme, pastaj - të vazhdueshme.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete

- Kjo korrespondencë ndërmjet vlerave të mundshme të kësaj sasie dhe probabiliteteve të tyre. Më shpesh, ligji shkruhet në një tabelë:

Termi përdoret mjaft shpesh rresht shpërndarja, por në disa situata tingëllon e paqartë dhe kështu do t'i përmbahem "ligjit".

Dhe tani Shumë pikë e rëndësishme : që nga ndryshorja e rastit Domosdoshmërisht do të pranojë një nga vlerat, pastaj formohen ngjarjet përkatëse grupi i plotë dhe shuma e probabiliteteve të ndodhjes së tyre është e barabartë me një:

ose, nëse shkruhet e përmbledhur:

Kështu, për shembull, ligji i shpërndarjes së probabilitetit të pikave të mbështjellë në një mbulesë ka formën e mëposhtme:

Ju mund të keni përshtypjen se një ndryshore e rastësishme diskrete mund të marrë vetëm vlera të plota "të mira". Le të shpërndajmë iluzionin - ato mund të jenë çdo gjë:

Disa lojëra kanë ligji i ardhshëm shpërndarja fituese:

… ju ndoshta keni ëndërruar për detyra të tilla për një kohë të gjatë 🙂 Unë do t'ju them një sekret - edhe mua. Sidomos pasi mbarova punën teoria e fushës.

Zgjidhje: meqenëse një ndryshore e rastësishme mund të marrë vetëm një nga tre kuptime, pastaj formohen ngjarjet përkatëse grupi i plotë, që do të thotë se shuma e probabiliteteve të tyre është e barabartë me një:

Ekspozimi i “partizanit”:

– pra, probabiliteti për të fituar njësi konvencionale është 0.4.

Kontrolli: kjo është ajo për të cilën duhej të sigurohenim.

Përgjigju:

Nuk është e pazakontë kur ju duhet të hartoni vetë një ligj shpërndarjeje. Për këtë përdorin përkufizimi klasik i probabilitetit, Teoremat e shumëzimit/shtimit për probabilitetet e ngjarjeve dhe patate të skuqura të tjera tervera:

Kutia përmban 50 bileta lotarie, ndër të cilat 12 janë fituese, dhe 2 prej tyre fitojnë 1000 rubla secila, dhe pjesa tjetër - 100 rubla secila. Hartoni një ligj për shpërndarjen e një ndryshoreje të rastësishme - madhësia e fitimeve, nëse një biletë nxirret në mënyrë të rastësishme nga kutia.

Zgjidhje: siç e keni vënë re, zakonisht vendosen vlerat e një ndryshoreje të rastësishme në rend rritës. Prandaj, ne fillojmë me fitimet më të vogla, domethënë rubla.

Gjithsej janë 50 bileta të tilla - 12 = 38, dhe sipas përkufizimi klasik :
– probabiliteti që një biletë e tërhequr rastësisht të jetë humbëse.

Në raste të tjera, gjithçka është e thjeshtë. Probabiliteti për të fituar rubla është:

Dhe për:

Kontrollo: – dhe kjo është e veçantë moment i bukur detyra të tilla!

Përgjigju: ligji i dëshiruar i shpërndarjes së fitimeve:

Detyrën e mëposhtme duhet ta zgjidhni vetë:

Probabiliteti që gjuajtësi të godasë objektivin është . Hartoni një ligj të shpërndarjes për një ndryshore të rastësishme - numrin e goditjeve pas 2 goditjeve.

...E dija qe te kishte marr malli :) Le ta kujtojme teoremat e shumëzimit dhe mbledhjes. Zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit.

Ligji i shpërndarjes përshkruan plotësisht një ndryshore të rastësishme, por në praktikë mund të jetë e dobishme (dhe nganjëherë më e dobishme) të dimë vetëm disa prej saj. karakteristikat numerike .

Pritja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Duke folur në gjuhë të thjeshtë, Kjo vlera mesatare e pritur kur testimi përsëritet shumë herë. Lëreni variablin e rastësishëm të marrë vlera me probabilitete në përputhje me rrethanat. Pastaj vlera e pritur e kësaj ndryshoreje të rastësishme është e barabartë me shuma e produkteve të gjitha vlerat e tij në probabilitetet përkatëse:

ose i shembur:

Le të llogarisim, për shembull, pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme - numrin e pikave të mbështjellë në një diabet:

Cili është kuptimi probabilistik i rezultatit të marrë? Nëse hidhni zare mjaft herë, atëherë vlera mesatare Pikët e rënë do të jenë afër 3.5 - dhe sa më shumë teste të kryeni, aq më afër. Në fakt, unë tashmë fola në detaje për këtë efekt në mësimin rreth probabiliteti statistikor.

Tani le të kujtojmë lojën tonë hipotetike:

Shtrohet pyetja: a është e dobishme të luash fare këtë lojë? ...kush ka përshtypje? Pra, nuk mund ta thuash "të pamend"! Por kjo pyetje mund të përgjigjet lehtësisht duke llogaritur pritshmërinë matematikore, në thelb - mesatare e ponderuar sipas probabilitetit për të fituar:

Kështu, pritja matematikore e kësaj loje duke humbur.

Mos u besoni përshtypjeve tuaja - besoni numrave!

Po, këtu mund të fitosh 10 dhe madje 20-30 herë radhazi, por në planin afatgjatë do të përballemi me shkatërrim të pashmangshëm. Dhe unë nuk do t'ju këshilloja të luani lojëra të tilla :) Epo, ndoshta vetëm per qejf.

Nga të gjitha sa më sipër rezulton se pritshmëria matematikore nuk është më një vlerë RANDOM.

Detyrë krijuese për kërkime të pavarura:

Z. X luan ruletë evropiane sistemin e ardhshëm: vazhdimisht bast 100 rubla në "të kuqe". Hartoni një ligj të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme - fitimet e saj. Llogaritni pritshmërinë matematikore të fitimeve dhe rrumbullakoni atë në kopekun më të afërt. Sa shume mesatare A humbet lojtari për çdo njëqind bast?

Referenca : Ruleta evropiane përmban 18 sektorë të kuq, 18 të zi dhe 1 të gjelbër (“zero”). Nëse shfaqet një "e kuqe", lojtarit i paguhet dyfishi i bastit, përndryshe shkon në të ardhurat e kazinosë

Ka shumë sisteme të tjera ruletë për të cilat mund të krijoni tabelat tuaja të probabilitetit. Por ky është rasti kur nuk kemi nevojë për ligje apo tabela të shpërndarjes, sepse është vërtetuar me siguri se pritshmëria matematikore e lojtarit do të jetë saktësisht e njëjtë. E vetmja gjë që ndryshon nga sistemi në sistem është dispersion, për të cilën do të mësojmë në pjesën e dytë të mësimit.

Por së pari, do të jetë e dobishme të shtrini gishtat në çelësat e kalkulatorit:

Një ndryshore e rastësishme specifikohet nga ligji i shpërndarjes së probabilitetit:

Gjeni nëse dihet se. Kryeni kontrollin.

Pastaj le të kalojmë në studim varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete, dhe nëse është e mundur, TANI TANI!!- për të mos humbur fillin e temës.

Zgjidhje dhe përgjigje:

Shembulli 3. Zgjidhje: sipas kushtit - probabiliteti i goditjes së objektivit. Pastaj:
– probabiliteti i humbjes.

Le të hartojmë ligjin e shpërndarjes së goditjeve për dy goditje:

- asnjë goditje e vetme. Nga teorema e shumëzimit të probabilitetit ngjarje të pavarura :

- një goditje. Nga teorema për mbledhjen e probabiliteteve të papajtueshmërisë dhe shumëzimin e ngjarjeve të pavarura:

- dy goditje. Sipas teoremës së shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura:

Kontrolloni: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Përgjigju :

shënim : mund të përdorni shënime - nuk ka rëndësi.

Shembulli 4. Zgjidhje: lojtari fiton 100 rubla në 18 raste nga 37, dhe për këtë arsye ligji i shpërndarjes së fitimeve të tij është si më poshtë:

Le të llogarisim pritshmërinë matematikore:

Kështu, për çdo njëqind bast, lojtari humbet mesatarisht 2.7 rubla.

Shembulli 5. Zgjidhje: sipas përkufizimit të pritjes matematikore:

Le të shkëmbejmë pjesë dhe të bëjmë thjeshtime:

Kështu:

Le të kontrollojmë:

, e cila ishte ajo që duhej të kontrollohej.

Përgjigju :

(Shko në faqen kryesore)

Punime me cilësi të lartë pa plagjiaturë – Zaochnik.com

www.mathprofi.ru

Variabla të rastësishme diskrete

Ndryshore e rastësishme Një variabël quhet një variabël që, si rezultat i çdo testi, merr një vlerë të panjohur më parë, në varësi të arsyeve të rastësishme. Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha me shkronja latine: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Sipas llojit të tyre, variablat e rastësishëm mund të jenë diskrete Dhe të vazhdueshme.

Ndryshore diskrete e rastësishme- kjo është një ndryshore e rastësishme, vlerat e së cilës nuk mund të jenë më shumë se të numërueshme, domethënë të fundme ose të numërueshme. Me numërueshmëri nënkuptojmë që vlerat e një ndryshoreje të rastësishme mund të numërohen.

Shembulli 1 . Këtu janë shembuj të ndryshoreve të rastësishme diskrete:

a) numri i goditjeve në objektiv me $n$ goditje, këtu vlerat e mundshme janë $0,\ 1, \ \dots,\ n$.

b) numri i emblemave të rënë gjatë hedhjes së një monedhe, këtu vlerat e mundshme janë $0,\ 1,\ \dots,\ n$.

c) numrin e anijeve që mbërrijnë në bord (një grup vlerash të numërueshme).

d) numrin e thirrjeve që mbërrijnë në PBX (bashkësi vlerash e numërueshme).

1. Ligji i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Një ndryshore diskrete e rastësishme $X$ mund të marrë vlerat $x_1,\dots,\ x_n$ me probabilitete $p\left(x_1\djathtas),\ \dots,\ p\left(x_n\djathtas)$. Korrespondenca midis këtyre vlerave dhe probabiliteteve të tyre quhet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Si rregull, kjo korrespondencë specifikohet duke përdorur një tabelë, rreshti i parë i së cilës tregon vlerat $x_1,\dots,\ x_n$, dhe rreshti i dytë përmban probabilitetet $p_1,\dots,\ p_n$ që korrespondojnë me këto vlera.

$\fillojnë
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \pika & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\fund$

Shembulli 2 . Lëreni variablin e rastësishëm $X$ të jetë numri i pikëve të rrokullisur kur hidhet një peshore. Një variabël i tillë i rastësishëm $X$ mund të marrë vlerat e mëposhtme$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitetet e të gjitha këtyre vlerave janë të barabarta me 1/6$. Pastaj ligji i shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastësishme $X$:

$\fillojnë
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\fund$

Komentoni. Meqenëse në ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme $X$, ngjarjet $1,\ 2,\ \pika,\ 6$ formojnë një grup të plotë ngjarjesh, atëherë shuma e probabiliteteve duhet të jetë e barabartë me një, d.m.th. $\shuma

2. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Pritja e një ndryshoreje të rastësishme vendos kuptimin e tij “qendror”. Për një ndryshore diskrete të rastësishme, pritshmëria matematikore llogaritet si shuma e produkteve të vlerave $x_1,\dots,\ x_n$ dhe probabiliteteve $p_1,\dots,\ p_n$ që korrespondojnë me këto vlera, d.m.th. : $M\majtas(X\djathtas)=\shuma ^n_ $. Në literaturën në gjuhën angleze, përdoret një shënim tjetër $E\left(X\right)$.

Vetitë e pritjes matematikore$M\majtas(X\djathtas)$:

$M\left(X\djathtas)$ gjendet midis më të voglës dhe vlerat më të larta ndryshore e rastësishme $X$.
Pritja matematikore e një konstante është e barabartë me vetë konstanten, d.m.th. $M\majtas(C\djathtas)=C$.
Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
Pritshmëria matematikore e shumës së variablave të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve të tyre matematikore: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\djathtas)+M\left(Y\djathtas)$.
Pritshmëria matematikore e prodhimit të ndryshoreve të pavarura të rastësishme është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Shembulli 3 . Le të gjejmë matematikën pritshmëria e ndryshores së rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

Mund të vërejmë se $M\left(X\right)$ shtrihet midis vlerave më të vogla ($1$) dhe më të mëdha ($6$) të ndryshores së rastësishme $X$.

Shembulli 4 . Dihet se pritshmëria matematikore e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $M\left(X\right)=2$. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $3X+5$.

Duke përdorur veçoritë e mësipërme, marrim $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\djathtas)+M\left(5\djathtas)=3M\majtas(X\djathtas)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Shembulli 5 . Dihet se pritshmëria matematikore e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $M\left(X\right)=4$. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $2X-9$.

Duke përdorur veçoritë e mësipërme, marrim $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\djathtas)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Vlerat e mundshme të variablave të rastësishëm me pritshmëri të barabarta matematikore mund të shpërndahen ndryshe rreth vlerave të tyre mesatare. Për shembull, në dy grupet e nxënësve GPA për provimin në teorinë e probabilitetit doli të ishte i barabartë me 4, por në një grup të gjithë rezultuan studentë të mirë, dhe në grupin tjetër - vetëm studentë C dhe studentë të shkëlqyer. Prandaj, ekziston nevoja për një karakteristikë numerike të një ndryshoreje të rastësishme që do të tregonte përhapjen e vlerave të ndryshores së rastësishme rreth pritshmërisë së saj matematikore. Kjo karakteristikë është dispersioni.

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete$X$ është e barabartë me:

Në literaturën angleze përdoret shënimi $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Shumë shpesh varianca $D\left(X\right)$ llogaritet duke përdorur formulën $D\left(X\right)=\sum^n_ —^2$.

Vetitë e dispersionit$D\majtas(X\djathtas)$:

Varianca është gjithmonë më e madhe ose e barabartë me zero, d.m.th. $D\majtas(X\djathtas)\ge 0$.
Varianca e konstantës është zero, d.m.th. $D\majtas(C\djathtas)=0$.
Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e dispersionit me kusht që të jetë në katror, d.m.th. $D\left(CX\djathtas)=C^2D\majtas(X\djathtas)$.
Varianca e shumës së variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të tyre, d.m.th. $D\majtas(X+Y\djathtas)=D\majtas(X\djathtas)+D\majtas(Y\djathtas)$.
Varianca e diferencës ndërmjet ndryshoreve të pavarura të rastit është e barabartë me shumën e variancave të tyre, d.m.th. $D\majtas(X-Y\djathtas)=D\majtas(X\djathtas)+D\majtas(Y\djathtas)$.

Shembulli 6 . Le të llogarisim variancën e ndryshores së rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

Shembulli 7 . Dihet se varianca e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $D\left(X\right)=2$. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme $4X+1$.

Duke përdorur vetitë e mësipërme, gjejmë $D\left(4X+1\djathtas)=D\majtas(4X\djathtas)+D\left(1\djathtas)=4^2D\majtas(X\djathtas)+0= 16D\ majtas(X\djathtas)=16\cdot 2=32$.

Shembulli 8 . Dihet se varianca e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $D\left(X\right)=3$. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme $3-2X$.

Duke përdorur vetitë e mësipërme, gjejmë $D\left(3-2X\right)=D\left(3\djathtas)+D\left(2X\djathtas)=0+2^2D\left(X\djathtas)= 4D\ majtas(X\djathtas)=4\cdot 3=12$.

4. Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Metoda e paraqitjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete në formën e një serie shpërndarjeje nuk është e vetmja, dhe më e rëndësishmja, nuk është universale, pasi një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme nuk mund të specifikohet duke përdorur një seri shpërndarjeje. Ekziston një mënyrë tjetër për të paraqitur një ndryshore të rastësishme - funksioni i shpërndarjes.

Funksioni i shpërndarjes ndryshorja e rastësishme $X$ quhet një funksion $F\left(x\right)$, i cili përcakton probabilitetin që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë një vlerë më të vogël se një vlerë fikse $x$, domethënë $F\ majtas(x\djathtas)=P\majtas(X 6$, pastaj $F\majtas(x\djathtas)=P\majtas(X=1\djathtas)+P\majtas(X=2\djathtas)+P\ majtas(X=3 \djathtas)+P\majtas (X=4\djathtas)+P\majtas(X=5\djathtas)+P\majtas (X=6\djathtas)=1/6+1/6+ 1/6+1 /6+1/6+1/6=1$.

Grafiku i funksionit të shpërndarjes $F\left(x\djathtas)$:

Ligjet bazë të shpërndarjes

1. Ligji i shpërndarjes binomiale.

Ligji i shpërndarjes binomiale përshkruan probabilitetin e ndodhjes së ngjarjes A m herë në n teste të pavarura, me kusht që probabiliteti p i ndodhjes së ngjarjes A në çdo provë të jetë konstante.

Për shembull, departamenti i shitjeve të një dyqani pajisjesh shtëpiake merr mesatarisht një porosi për blerje televizori nga 10 thirrje. Hartoni një ligj të shpërndarjes së probabilitetit për blerjen e m televizorëve. Ndërtoni një poligon të shpërndarjes së probabilitetit.

Në tabelën m - numri i porosive të marra nga kompania për blerjen e një TV. C n m është numri i kombinimeve të m televizorëve me n, p është probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A, d.m.th. porositja e një televizori, q është probabiliteti që ngjarja A të mos ndodhë, d.m.th. mos porositja e një TV, P m,n është probabiliteti për të porositur m TV nga n. Figura 1 tregon poligonin e shpërndarjes së probabilitetit.

2.Shpërndarja gjeometrike.

Shpërndarja gjeometrike e një ndryshoreje të rastësishme ka formën e mëposhtme:

P m është probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A në numrin provues m.
p është probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A në një provë.
q = 1 - p

Shembull. Një kompani e riparimit të pajisjeve shtëpiake mori një grup prej 10 njësish rezervë për makina larëse. Ka raste kur 1 bllok në një grumbull rezulton të jetë i dëmtuar. Një inspektim kryhet derisa të zbulohet një njësi me defekt. Është e nevojshme të hartohet një ligj i shpërndarjes për numrin e blloqeve të verifikuara. Probabiliteti që një bllok mund të jetë me defekt është 0.1. Ndërtoni një poligon të shpërndarjes së probabilitetit.

Tabela tregon se me rritjen e numrit m zvogëlohet probabiliteti që të zbulohet një bllok me defekt. Rreshti i fundit (m=10) kombinon dy probabilitete: 1 - që blloku i dhjetë doli i gabuar - 0.038742049, 2 - që të gjitha blloqet e kontrolluara rezultuan të funksiononin - 0.34867844. Meqenëse probabiliteti që njësia të jetë me defekt është relativisht i ulët (p = 0.1), atëherë probabiliteti ngjarjen e fundit P m (10 blloqe të testuara) është relativisht i lartë. Fig.2.

3. Shpërndarja hipergjeometrike.

Shpërndarja hipergjeometrike e një ndryshoreje të rastësishme ka formën e mëposhtme:

Për shembull, hartoni një ligj të shpërndarjes për 7 numra të hamendësuar nga 49. Në në këtë shembull numrat e përgjithshëm N=49, n=7 numra të hequr, M - numrat total që kanë pronë e dhënë, d.m.th. i numrave të hamendësuar saktë, m është numri i numrave të hamendësuar saktë midis atyre të tërhequr.

Tabela tregon se probabiliteti për të hamendësuar një numër m=1 është më i madh se sa me m=0. Sidoqoftë, atëherë probabiliteti fillon të ulet me shpejtësi. Kështu, probabiliteti i supozimit të 4 numrave është tashmë më i vogël se 0,005, dhe 5 është i papërfillshëm.

4.Ligji i shpërndarjes Poisson.

Një ndryshore e rastësishme X ka një shpërndarje Poisson nëse ligji i shpërndarjes së tij ka formën:

Np = konst
n është numri i testeve që priren në pafundësi
p është probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje, me tendencë zero
m është numri i ndodhive të ngjarjes A

Për shembull, në një ditë mesatare një kompani që shet televizorë merr rreth 100 telefonata. Probabiliteti për të porositur një markë TV A është 0.08; B - 0,06 dhe C - 0,04. Hartimi i ligjit për shpërndarjen e porosive për blerjen e televizorëve klasat A, B dhe C. Ndërtoni një poligon të shpërndarjes së probabilitetit.

Nga kushti kemi: m=100, ? 1 = 8, ? 2 = 6, ? 3 = 4 (? 10)

(tabela nuk është dhënë e plotë)

Nëse n është mjaftueshëm e madhe për të shkuar në pafundësi dhe vlera e p shkon në zero, atëherë produkti np shkon në numër konstant, Kjo këtë ligjështë një përafrim me ligjin e shpërndarjes binomiale. Nga grafiku duket qartë se më shumë gjasa p, sa më afër të jetë kurba me boshtin m, d.m.th. më e sheshtë. (Fig.4)

Duhet të theksohet se shpërndarjet binomiale, gjeometrike, hipergjeometrike dhe Poisson shprehin shpërndarjen e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

5.Ligji uniform i shpërndarjes.

Nëse densiteti i probabilitetit?(x) është një vlerë konstante për një interval të caktuar, atëherë ligji i shpërndarjes quhet uniform. Figura 5 tregon grafikët e funksionit të shpërndarjes së probabilitetit dhe densitetit të probabilitetit ligj uniform shpërndarjet.

6.Ligji i shpërndarjes normale (ligji i Gauss).

Ndër ligjet e shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme, më i zakonshmi është ligj normal shpërndarjet. Një ndryshore e rastësishme shpërndahet sipas ligjit të shpërndarjes normale nëse densiteti i probabilitetit të tij ka formën:

Ku
a është pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme
? - mesatare devijimi standard

Grafiku i densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme që ka një ligj të shpërndarjes normale është simetrik në lidhje me drejtëzën x=a, pra x është e barabartë me pritshmërinë matematikore. Kështu, nëse x=a, atëherë kurba ka një maksimum të barabartë me:

Kur vlera e pritshmërisë matematikore ndryshon, kurba do të zhvendoset përgjatë boshtit Ox. Grafiku (Fig. 6) tregon se në x=3 kurba ka një maksimum, sepse pritshmëria matematikore është 3. Nëse pritshmëria matematikore merr një vlerë të ndryshme, për shembull a=6, atëherë kurba do të ketë një maksimum në x=6. Duke folur për devijimin standard, siç mund të shihet nga grafiku, sa më i madh të jetë devijimi standard, aq më i vogël vlera maksimale dendësia e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme.

Një funksion që shpreh shpërndarjen e një ndryshoreje të rastësishme në intervalin (-?, x) dhe ka një ligj normal të shpërndarjes, shprehet përmes funksionit Laplace duke përdorur formulën e mëposhtme:

Ato. probabiliteti i një ndryshoreje të rastësishme X përbëhet nga dy pjesë: probabiliteti ku x merr vlera nga minus pafundësia në a, e barabartë me 0,5, dhe pjesa e dytë - nga a në x. (Fig. 7)

Le të studiojmë së bashku

Materiale të dobishme për studentët, punime diplome dhe afati sipas porosisë

Mësimi: Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete quhet korrespodencë midis vlerave të mundshme dhe probabiliteteve të tyre. Mund të specifikohet në mënyrë tabelare, grafike dhe analitike.

Çfarë është një ndryshore e rastësishme diskutohet në këtë mësim.

Me metodën tabelare të specifikimit, rreshti i parë i tabelës përmban vlerat e mundshme, dhe i dyti probabilitetet e tyre, d.m.th.

Kjo sasi quhet seri e shpërndarjes ndryshore diskrete e rastësishme.

X=x1, X=x2, X=xn formojnë një grup të plotë, pasi në një provë ndryshorja e rastësishme do të marrë një dhe vetëm një vlerë të mundshme. Prandaj, shuma e probabiliteteve të tyre është e barabartë me një, domethënë p1 + p2 + pn = 1 ose

Nëse grupi i vlerave të X është i pafund, atëherë Shembulli 1. Janë 100 bileta të lëshuara në një lotari me para. Një fitore prej 1000 rubla dhe 10 fitore nga 100 rubla janë tërhequr. Gjeni ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X - kostoja e një fitimi të mundshëm për pronarin e një bilete llotarie.

Ligji i kërkuar i shpërndarjes ka formën:

Kontrolli; 0,01+0,1+0,89=1.
Në grafikisht vendosja e ligjit të shpërndarjes për rrafshi koordinativ ndërtoni pika (Xi:Pi), dhe më pas lidhni ato me segmente të drejta. Marrë vijë e thyer thirrur poligonin e shpërndarjes. Për shembull 1, poligoni i shpërndarjes është paraqitur në Figurën 1.

Në mënyrë analitike caktimet e ligjit të shpërndarjes tregojnë një formulë që lidh probabilitetet e një ndryshoreje të rastësishme me vlerat e saj të mundshme.

Shembuj të shpërndarjeve diskrete

Shpërndarja binomiale

Le të kryhen n prova, në secilën prej të cilave ndodh ngjarja A probabilitet konstant p, pra, nuk ndodh me probabilitet konstant q = 1- fq. Merrni parasysh variablin e rastësishëm X- numri i dukurive të ngjarjes A në këto n prova. Vlerat e mundshme të X janë x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n. Probabiliteti i këtyre të mundshme

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete quhet Windows XP Word 2003 Excel 2003 Ligjet e shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme diskrete Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete është çdo marrëdhënie që vendos një lidhje midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe […]

Koncepti i formave të trashëgimisë 2.1. Koncepti i trashëgimisë me testament Aktualisht ligjvënësi vendas nuk ka dhënë një përkufizim ligjor të testamentit. Mungesa ose jo e mjaftueshme përcaktim i saktë Ky koncept është karakteristik jo vetëm për ligjin rus, por edhe për ligjin e shteteve të tjera, prandaj ne duhet […]

Probleme mbi trashëgiminë e faktorit Rh, probabilitetin e Rh+ dhe Shembulli 2. Gjenotipi i burrit është rhrhJ A J O (grupi i gjakut IIRh–), gruaja –RhrhJ B J B (grupi i gjakut IIIRh+). Sa është probabiliteti për të pasur një fëmijë Rh pozitiv me grupin IV të gjakut? probabiliteti Rh+J A J B – ? rhrh J B J O rhrh J A J B 43. Një grua Rh-pozitive me […]

Pensioni për personat me aftësi të kufizuara të grupit të dytë në 2018 në Federatën Ruse Caktimi i çdo forme të aftësisë së kufizuar në Federata Ruse ndodh vetëm sipas treguesve mjekësorë dhe socialë. Aftësia e kufizuar e kategorisë së dytë u caktohet personave që konsiderohen të paaftë, por që nuk kanë nevojë për kujdes të vazhdueshëm. Qytetarët e tillë kanë të drejtë të marrin [...]

Organizata SH.PK "QENDRA RAJONALE PËR EKZAMINIMET LIGJORE" Është përfshirë në regjistrin e bizneseve të vogla dhe të mesme: nga 01.08.2016 si mikrondërmarrje. Adresa ligjore: 350051, Rajoni i Krasnodarit, Krasnodar, Koltsevaya str., 17/4 OKFS: 16 - Prona private OKOGU: 4210014 - Organizatat e themeluara […]

Provë Llojet e provave Algoritmi i mosmarrëveshjeve analiza logjike argumentimi 1. Theksoni tezën në tekst 2. Theksoni argumentet, përcaktoni besueshmërinë e tyre 3. Theksoni formën e argumentit, përcaktoni ashpërsinë e lidhjes logjike midis argumenteve dhe tezës 4. Jepni një përfundim për natyrën e argumentit , e saj […]

Kuadri legjislativ Federata Ruse Konsultim falas Legjislacioni federal Home Dekret i Qeverisë së Federatës Ruse i datës 17 nëntor 2001 N 795 "MBI MIRATIMIN E RREGULLAVE PËR OFRIMIN E SHËRBIMEVE TË PARKIMIT TË MAKINAVE" Dokument në në format elektronik FAPSI, STC "Sistemi" "Koleksioni i Legjislacionit të Federatës Ruse", N 48, 26/11/2001, […]

Shtyrja e vuajtjes së dënimit Aplikimi për shtyrjen e vuajtjes së dënimit në lidhje me gratë shtatzëna dhe gratë me fëmijë të vegjël është zbatuar që nga viti 1992. Gjatë gjithë vitet e fundit rrethi u zgjerua me radhë gratë e dënuara, për të cilin mund të aplikohet shtyrja e vuajtjes së dënimit. Kështu, ligji i 12 […]

Siç dihet, ndryshore e rastësishme thirrur sasi e ndryshueshme, e cila mund të marrë një ose një vlerë tjetër në varësi të rastit. Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin (X, Y, Z), dhe vlerat e tyre shënohen me shkronjat përkatëse të vogla (x, y, z). Variablat e rastësishëm ndahen në të ndërprerë (diskrete) dhe të vazhdueshme.

Ndryshore diskrete e rastësishme është një ndryshore e rastësishme që merr vetëm një grup vlerash të fundme ose të pafundme (të numërueshme) me probabilitete të caktuara jo zero.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete është një funksion që lidh vlerat e një ndryshoreje të rastësishme me probabilitetet e tyre përkatëse. Ligji i shpërndarjes mund të specifikohet në një nga mënyrat e mëposhtme.

1 . Ligji i shpërndarjes mund të jepet nga tabela:

ku λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) duke përdorur funksioni i shpërndarjes F(x) , e cila përcakton për secilën vlerë x probabilitetin që ndryshorja e rastësishme X të marrë një vlerë më të vogël se x, d.m.th. F(x) = P(X< x).

Vetitë e funksionit F(x)

3 . Ligji i shpërndarjes mund të specifikohet grafikisht – poligonin e shpërndarjes (poligonin) (shih problemin 3).

Vini re se për të zgjidhur disa probleme nuk është e nevojshme të njihni ligjin e shpërndarjes. Në disa raste, mjafton të njohësh një ose më shumë numra që pasqyrojnë më shumë karakteristika të rëndësishme ligji i shpërndarjes. Ky mund të jetë një numër që ka kuptimin e "vlerës mesatare" të një ndryshoreje të rastësishme, ose një numër që tregon madhësinë mesatare të devijimit të një ndryshoreje të rastësishme nga vlera e saj mesatare.

Numrat e këtij lloji quhen karakteristika numerike të një ndryshoreje të rastit. :

Karakteristikat themelore numerike të një ndryshoreje të rastësishme diskrete Pritshmëria matematikore (vlera mesatare) e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.
M(X)=Σ x i p i
Për shpërndarjen binomiale M(X)=np, për shpërndarjen Poisson M(X)=λ Dispersion ndryshore diskrete e rastësishme D(X)=M2 ose. Diferenca X–M(X) quhet devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore.
Për shpërndarjen binomiale D(X)=npq, për shpërndarjen Poisson D(X)=λ
Devijimi standard (devijimi standard) σ(X)=√D(X).

Shembuj të zgjidhjes së problemeve me temën "Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastit"

Detyra 1.

Janë lëshuar 1000 bileta lotarie: 5 prej tyre do të fitojnë 500 rubla, 10 do të fitojnë 100 rubla, 20 do të fitojnë 50 rubla, 50 do të fitojnë 10 rubla. Përcaktoni ligjin e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastësishme X - fitimet për biletë.

Zgjidhje. Sipas kushteve të problemit, vlerat e mëposhtme të ndryshores së rastësishme X janë të mundshme: 0, 10, 50, 100 dhe 500.

Numri i biletave pa fituar është 1000 – (5+10+20+50) = 915, pastaj P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Në mënyrë të ngjashme, gjejmë të gjitha probabilitetet e tjera: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Le të paraqesim ligjin që rezulton në formën e një tabele:

Le të gjejmë pritjen matematikore të vlerës X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Detyra 3.

Pajisja përbëhet nga tre elementë që funksionojnë në mënyrë të pavarur.

Zgjidhje. 1. Probabiliteti i dështimit të secilit element në një eksperiment është 0.1. Hartoni një ligj të shpërndarjes për numrin e elementeve të dështuar në një eksperiment, ndërtoni një poligon të shpërndarjes. Gjeni funksionin e shpërndarjes F(x) dhe vizatoni atë. Gjeni pritshmërinë matematikore, variancën dhe devijimin standard të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Ndryshorja diskrete e rastësishme X = (numri i elementeve të dështuar në një eksperiment) ka këto vlera të mundshme: x 1 =0 (asnjë nga elementët e pajisjes nuk dështoi), x 2 =1 (një element dështoi), x 3 =2 ( dy elementë dështuan ) dhe x 4 =3 (tre elementë dështuan). Dështimet e elementeve janë të pavarura nga njëra-tjetra, probabilitetet e dështimit të secilit element janë të barabarta, prandaj është e zbatueshme formula e Bernulit
. Duke marrë parasysh se sipas kushtit n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 përcaktojmë probabilitetet e vlerave:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;

Kontrollo: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1. Kështu, e dëshiruara ligji binom

Ne grafikojmë vlerat e mundshme të x i përgjatë boshtit të abshisës dhe probabilitetet përkatëse p i përgjatë boshtit të ordinatave. Le të ndërtojmë pikat M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Duke i lidhur këto pika me segmente drejtvizore, fitojmë poligonin e dëshiruar të shpërndarjes.

3. Le të gjejmë funksionin e shpërndarjes F(x) = Р(Х

Për x ≤ 0 kemi F(x) = Р(Х<0) = 0;
për 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
per 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
për 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
për x > 3 do të ketë F(x) = 1, sepse ngjarja është e besueshme.

Grafiku i funksionit F(x)

4. Për shpërndarjen binomiale X:
- pritshmëria matematikore M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- varianca D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- devijimi standard σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve me temën "Ndryshoret e rastësishme".

Detyrë 1 . Janë 100 bileta të lëshuara për shortin. U hodh një fitore prej 50 USD. dhe dhjetë fitore nga 10 USD secila. Gjeni ligjin e shpërndarjes së vlerës X - kostoja e fitimeve të mundshme.

Zgjidhje. Vlerat e mundshme për X: x 1 = 0; x 2 = 10 dhe x 3 = 50. Meqenëse janë 89 bileta “bosh”, atëherë p 1 = 0.89, probabiliteti për të fituar 10 dollarë. (10 bileta) – f 2 = 0.10 dhe për të fituar 50 USD -fq 3 = 0.01. Kështu:


	0,89	0,10	0,01

Lehtë për tu kontrolluar:.

Detyrë 2. Probabiliteti që blerësi të ketë lexuar paraprakisht reklamën e produktit është 0.6 (p=0.6). Kontrolli selektiv i cilësisë së reklamës kryhet nga anketimi i blerësve përpara të parit që ka studiuar reklamën paraprakisht. Hartoni një seri shpërndarjeje për numrin e blerësve të anketuar.

Zgjidhje. Sipas kushteve të problemit, p = 0,6. Nga: q=1 -p = 0.4. Duke zëvendësuar këto vlera, marrim: dhe ndërtoni një seri shpërndarjeje:


p i		0,24

Detyrë 3. Një kompjuter përbëhet nga tre elementë që punojnë në mënyrë të pavarur: njësia e sistemit, monitori dhe tastiera. Me një rritje të vetme të mprehtë të tensionit, probabiliteti i dështimit të secilit element është 0.1. Bazuar në shpërndarjen e Bernoulli-t, hartoni një ligj të shpërndarjes për numrin e elementëve të dështuar gjatë një rritjeje të fuqisë në rrjet.

Zgjidhje. Le të shqyrtojmë Shpërndarja e Bernoulli(ose binom): probabiliteti që n testet, ngjarja A do të shfaqet saktësisht k një herë: , ose:


	q n					fq n

NË Le t'i kthehemi detyrës.

Vlerat e mundshme për X (numri i dështimeve):

x 0 =0 – asnjë nga elementët nuk dështoi;

x 1 =1 – dështimi i një elementi;

x 2 =2 – dështim i dy elementeve;

x 3 =3 – dështimi i të gjithë elementëve.

Meqenëse, sipas kushtit, p = 0.1, atëherë q = 1 - p = 0.9. Duke përdorur formulën e Bernulit, marrim

, ,

, .

Kontrolli:.

Prandaj, ligji i kërkuar i shpërndarjes:


	0,729	0,243	0,027	0,001

Problemi 4. 5000 fishekë të prodhuar. Probabiliteti që një fishek është i dëmtuar . Sa është probabiliteti që të ketë saktësisht 3 fishekë me defekt në të gjithë grupin?

Zgjidhje. E aplikueshme Shpërndarja Poisson: Kjo shpërndarje përdoret për të përcaktuar probabilitetin që, për shumë të mëdha

numri i testeve (testet në masë), në secilën prej të cilave probabiliteti i ngjarjes A është shumë i vogël, ngjarja A do të ndodhë k herë: , Ku.

Këtu n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Ne gjejmë , atëherë probabilitetin e dëshiruar: .

Problemi 5. Gjatë gjuajtjes deri në goditjen e parë me probabilitet goditjeje p = 0.6 kur gjuan, duhet të gjesh probabilitetin që të ndodhë një goditje në goditjen e tretë.

Zgjidhje. Le të zbatojmë një shpërndarje gjeometrike: le të kryhen prova të pavarura, në secilën prej të cilave ngjarja A ka një probabilitet të ndodhjes p (dhe mosngjarje q = 1 – p). Testi përfundon sapo ndodh ngjarja A.

Në kushte të tilla, probabiliteti që ngjarja A të ndodhë në provën k-të përcaktohet nga formula: . Këtu p = 0.6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Prandaj, .

Problemi 6. Le të jepet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X:

Gjeni pritshmërinë matematikore.

Zgjidhje. .

Vini re se kuptimi probabilistik i pritshmërisë matematikore është vlera mesatare e një ndryshoreje të rastësishme.

Problemi 7. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme X me ligjin e mëposhtëm të shpërndarjes:

Zgjidhje. Këtu .

Ligji i shpërndarjes për vlerën në katror të X 2 :

X 2

Varianca e kërkuar: .

Dispersioni karakterizon masën e devijimit (dispersionit) të një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore.

Problemi 8. Le të jepet një ndryshore e rastësishme nga shpërndarja:

			10 m

Gjeni karakteristikat e tij numerike.

Zgjidhja: m, m 2 ,

M 2 , m.

Për ndryshoren e rastësishme X mund të themi ose: pritshmëria e saj matematikore është 6.4 m me një variancë prej 13.04 m. 2 , ose – pritshmëria e tij matematikore është 6,4 m me një devijim prej m Formulimi i dytë është padyshim më i qartë.

Detyrë 9. Vlera e rastësishme X dhënë nga funksioni i shpërndarjes:
.

Gjeni probabilitetin që si rezultat i testit vlera X të marrë vlerën që përmban intervali .

Zgjidhje. Probabiliteti që X të marrë një vlerë nga një interval i caktuar është i barabartë me rritjen e funksionit integral në këtë interval, d.m.th. . Në rastin tonë dhe për këtë arsye

Detyrë 10. Ndryshore diskrete e rastësishme X jepet nga ligji i shpërndarjes:

Gjeni funksionin e shpërndarjes F(x ) dhe vizatoni atë.

Zgjidhje. Që nga funksioni i shpërndarjes,

Për , Kjo

në ;

Grafiku përkatës:

Problemi 11. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X dhënë nga funksioni i shpërndarjes diferenciale: .

Gjeni probabilitetin e goditjes X për interval

Zgjidhje. Vini re se ky është një rast i veçantë i ligjit të shpërndarjes eksponenciale.

Le të përdorim formulën: .

Detyrë 12. Gjeni karakteristikat numerike të një ndryshoreje diskrete të rastësishme X të specifikuar nga ligji i shpërndarjes:

–5

X2:

X 2

. , Ku – Funksioni Laplace.

Vlerat e këtij funksioni gjenden duke përdorur një tabelë.

Në rastin tonë:.

Nga tabela gjejmë: , pra:

LIGJI I SHPËRNDARJES DHE KARAKTERISTIKAT

NDRYSHORET E RASTËSISHME

Variablat e rastësishëm, klasifikimi i tyre dhe metodat e përshkrimit.

Një sasi e rastësishme është një sasi që, si rezultat i eksperimentit, mund të marrë një ose një vlerë tjetër, por që nuk dihet paraprakisht. Prandaj, për një ndryshore të rastësishme, mund të specifikoni vetëm vlera, njërën prej të cilave do ta marrë patjetër si rezultat i eksperimentit. Në vijim do t'i quajmë këto vlera vlera të mundshme të ndryshores së rastësishme. Meqenëse një ndryshore e rastësishme karakterizon në mënyrë sasiore rezultatin e rastësishëm të një eksperimenti, ai mund të konsiderohet si një karakteristikë sasiore e një ngjarjeje të rastësishme.

Variablat e rastësishëm zakonisht shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin, për shembull, X..Y..Z, dhe vlerat e tyre të mundshme me shkronja të vogla përkatëse.

Ekzistojnë tre lloje të variablave të rastësishëm:

Diskret; E vazhdueshme; Të përziera.

Diskretështë një ndryshore e rastësishme, numri i vlerave të mundshme të së cilës formon një grup të numërueshëm. Nga ana tjetër, një grup, elementët e të cilit mund të numërohen quhet i numërueshëm. Fjala "diskrete" vjen nga latinishtja discretus, që do të thotë "i pandërprerë, i përbërë nga pjesë të veçanta".

Shembulli 1. Një ndryshore e rastësishme diskrete është numri i pjesëve X me defekt në një grup nproduktesh. Në të vërtetë, vlerat e mundshme të kësaj ndryshoreje të rastësishme janë një seri numrash të plotë nga 0 në n.

Shembulli 2. Një ndryshore e rastësishme diskrete është numri i të shtënave përpara goditjes së parë në objektiv. Këtu, si në shembullin 1, vlerat e mundshme mund të numërohen, megjithëse në rastin kufizues vlera e mundshme është një numër pafundësisht i madh.

E vazhdueshmeështë një ndryshore e rastësishme, vlerat e mundshme të së cilës plotësojnë vazhdimisht një interval të caktuar të boshtit numerik, që nganjëherë quhet intervali i ekzistencës së kësaj ndryshoreje të rastësishme. Kështu, në çdo interval të kufizuar të ekzistencës, numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është pafundësisht i madh.

Shembulli 3. Një variabël i rastësishëm i vazhdueshëm është konsumi mujor i energjisë elektrike i një ndërmarrje.

Shembulli 4. Një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme është gabimi në matjen e lartësisë duke përdorur një lartësimatës. Nga parimi i funksionimit të lartësimatësit le të dihet se gabimi qëndron në intervalin nga 0 deri në 2 m. Prandaj, intervali i ekzistencës së kësaj ndryshoreje të rastësishme është intervali nga 0 në 2 m.

Ligji i shpërndarjes së ndryshoreve të rastit.

Një ndryshore e rastësishme konsiderohet plotësisht e specifikuar nëse vlerat e saj të mundshme tregohen në boshtin numerik dhe vendoset ligji i shpërndarjes.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme është një lidhje që vendos një lidhje midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve përkatëse.

Një ndryshore e rastësishme thuhet se shpërndahet sipas një ligji të caktuar, ose i nënshtrohet një ligji të caktuar të shpërndarjes. Një numër probabilitetesh, funksioni i shpërndarjes, densiteti i probabilitetit dhe funksioni karakteristik përdoren si ligje të shpërndarjes.

Ligji i shpërndarjes jep një përshkrim të plotë të mundshëm të një ndryshoreje të rastësishme. Sipas ligjit të shpërndarjes, para eksperimentit mund të gjykohet se cilat vlera të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme do të shfaqen më shpesh dhe cilat më rrallë.

Për një ndryshore të rastësishme diskrete, ligji i shpërndarjes mund të specifikohet në formën e një tabele, në mënyrë analitike (në formën e një formule) dhe grafikisht.

Forma më e thjeshtë e përcaktimit të ligjit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete është një tabelë (matricë), e cila rendit në rend rritës të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme dhe probabilitetet e tyre përkatëse, d.m.th.

Një tabelë e tillë quhet një seri shpërndarjeje e një ndryshoreje diskrete të rastësishme. 1

Ngjarjet X 1, X 2,..., X n, që konsistojnë në faktin se si rezultat i testit, ndryshorja e rastësishme X do të marrë respektivisht vlerat x 1, x 2,... x n. jokonsistente dhe të vetmet e mundshme (pasi tabela liston të gjitha vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme), d.m.th. formojnë një grup të plotë. Prandaj, shuma e probabiliteteve të tyre është e barabartë me 1. Kështu, për çdo ndryshore diskrete të rastit

(Kjo njësi shpërndahet disi midis vlerave të ndryshores së rastësishme, prandaj termi "shpërndarje").

Seritë e shpërndarjes mund të përshkruhen grafikisht nëse vlerat e ndryshores së rastësishme vizatohen përgjatë boshtit të abshisës dhe probabilitetet e tyre përkatëse vizatohen përgjatë boshtit të ordinatave. Lidhja e pikave të fituara formon një vijë të thyer, e quajtur shumëkëndësh ose shumëkëndësh i shpërndarjes së probabilitetit (Fig. 1).

Shembull Shorti përfshin: veturë prej 5000 den. njësi, 4 televizorë që kushtojnë 250 den. njësi, 5 video regjistrues në vlerë prej 200 den. njësi Gjithsej 1000 bileta janë shitur për 7 ditë. njësi Hartoni një ligj shpërndarjeje për fitimet neto të marra nga një pjesëmarrës i lotarisë që bleu një biletë.

Zgjidhje. Vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme X - fitimet neto për biletë - janë të barabarta me 0-7 = -7 para. njësi (nëse bileta nuk fiton), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. njësi (nëse bileta ka fitimet e një VCR, TV ose makinë, përkatësisht). Duke marrë parasysh se nga 1000 bileta, numri i jofituesve është 990, dhe fitimet e treguara janë përkatësisht 5, 4 dhe 1, dhe duke përdorur përkufizimin klasik të probabilitetit, marrim.