Struktura zgjidhje e përgjithshme një ekuacion i tillë përcaktohet nga teorema e mëposhtme.
Teorema 1. Zgjidhja e përgjithshme nuk është ekuacioni homogjen(1), paraqitet si shuma e disa zgjidhjeve të veçanta të këtij ekuacioni y h dhe zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen përkatës
Dëshmi. Duhet të vërtetojmë se shuma (3)
Ekziston një zgjidhje e përgjithshme për ekuacionin (1).
Le të vërtetojmë fillimisht se funksioni (3) është zgjidhje e ekuacionit (1). Zëvendësimi në vend në shuma në ekuacionin (1) do të jetë:
Meqenëse – është një zgjidhje e ekuacionit (2), shprehja në kllapat e para të ekuacionit (4) është identike e barabartë me zero. Sepse y hështë zgjidhje e ekuacionit (1), atëherë shprehja në kllapa e dytë (4) është e barabartë me f(x). Prandaj, barazia (4) është një identitet. Kështu, pjesa e parë e teoremës vërtetohet.
Le të vërtetojmë tani se shprehja (3) është një zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (1), d.m.th. Le të vërtetojmë se konstantat arbitrare të përfshira në të mund të zgjidhen në mënyrë që kushtet fillestare (5) të plotësohen
sido që të jenë numrat x 0, y 0, dhe (nëse vetëm zonat ku funksionojnë a 1, a 2 Dhe f(x) të vazhdueshme).
Duke vënë re se ne mund ta përfaqësojmë atë si 
, Ku y 1, y 2 zgjidhje të pavarura lineare të ekuacionit (2), dhe C 1 Dhe C 2 janë konstante arbitrare, ne mund ta rishkruajmë barazinë (3) në formën . Pastaj, bazuar në kushtin (5), do të kemi një sistem
.
Nga ky sistem ekuacionesh është e nevojshme të përcaktohet C 1 Dhe C 2. Le ta rishkruajmë sistemin në formë
(6)
Përcaktues i sistemit 
– ekziston një përcaktues Wronski për zgjidhjet në 1 Dhe në 2 në pikën. Meqenëse këto funksione janë linearisht të pavarura nga kushti, përcaktorja Wronski nuk është e barabartë me zero, prandaj sistemi (6) ka vetëm vendim C 1 Dhe C 2, d.m.th. ka kuptime të tilla C 1 Dhe C 2 në të cilën formula (3) përcakton zgjidhjen e ekuacionit (1) duke plotësuar të dhënat kushtet fillestare.
Kështu, nëse dihet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen (2), atëherë problemi kryesor në integrimin ekuacioni johomogjen(1) konsiston në gjetjen e ndonjë prej zgjidhjeve të veçanta të tij y h.
Ekuacionet diferenciale johomogjene lineare të rendit të dytë me koeficientët konstant me anën e djathtë lloj i veçantë. Metoda koeficientët e pasigurt.
Ndonjëherë është e mundur të gjesh një zgjidhje më të thjeshtë pa iu drejtuar integrimit. Kjo ndodh në raste të veçanta kur funksioni f(x) ka një pamje të veçantë.
Le të kemi ekuacionin, (1)
Ku fq Dhe q numrat realë dhe f(x) ka një pamje të veçantë. Le të shqyrtojmë disa mundësi të tilla për ekuacionin (1).
Le të jetë prodhimi ana e djathtë e ekuacionit (1). funksioni eksponencial në një polinom, d.m.th. duket si 
, (2)
ku është një polinom i shkallës së n-të. Atëherë janë të mundshme rastet e mëposhtme:
një numër - nuk është rrënjë ekuacioni karakteristik 
.
Në këtë rast, një zgjidhje e veçantë duhet të kërkohet në formën (3)
ato. edhe në formën e një polinomi n-shkalla e, ku A 0, A 1,…, A n duhet të përcaktohen koeficientët.
Për t'i përcaktuar ato gjejmë derivatet dhe .
Zëvendësimi y h, dhe në ekuacionin (1) dhe duke reduktuar të dyja anët me një faktor do të kemi:
Këtu është një polinom i shkallës së n-të, - një polinom i shkallës (n-1) dhe - një polinom i shkallës (n-2).
Kështu, në të majtë dhe në të djathtë të shenjës së barazimit ka polinome n-shkalla e saj. Barazimi i koeficientëve në shkallë të barabarta X(numri i koeficientëve të panjohur është i barabartë me ), marrim një sistem ekuacionesh për përcaktimin e koeficientëve A 0, A 1, ..., A n.
nëse ana e djathtë e ekuacionit (1) ka formën:
Njohja e sistemit themelor të zgjidhjeve të një ekuacioni bën të mundur ndërtimin e një zgjidhjeje të përgjithshme për këtë ekuacion. Le të kujtojmë përkufizimin e zgjidhjes së përgjithshme të ekuacionit diferencial P- urdhri
Funksioni 
, të përcaktuara në disa fusha të variacionit të variablave 
, në secilën pikë të së cilës ekziston ekzistenca dhe unike e një zgjidhjeje për problemin Cauchy, dhe e cila ka derivate të pjesshme të vazhdueshme në lidhje me X sipas porosisë P përfshirëse, quhet një zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (15) në rajonin e treguar nëse:
sistemi i ekuacioneve
të zgjidhshme në rajonin e specifikuar në lidhje me konstantet arbitrare 
, Kështu që
(16)
2. funksion 
është një zgjidhje e ekuacionit (15) për të gjitha vlerat e konstantave arbitrare 
, shprehur me formulat (16), kur pika 
i përket zonës në shqyrtim.
Teorema 1. (mbi strukturën e zgjidhjes së përgjithshme të një homogjeni linear ekuacioni diferencial)
. Nëse funksionet 
,
,
…,
formë sistemi themelor zgjidhjet e një ekuacioni linear homogjen P- urdhri 
në interval 
, d.m.th. në intervalin e vazhdimësisë së koeficientëve, atëherë funksioni 
është një zgjidhje e përgjithshme e këtij ekuacioni në rajon D:
,
,
.
Dëshmi. Në çdo pikë të rajonit të treguar ekziston ekzistenca dhe unike e një zgjidhjeje për problemin Cauchy. Le të tregojmë tani se funksioni 
plotëson përkufizimin e një zgjidhjeje të përgjithshme të ekuacionit P- urdhri.
sistemi i ekuacioneve
të zgjidhshme në domen D në lidhje me konstantet arbitrare 
meqenëse përcaktori i këtij sistemi është përcaktor Wronski për sistemin themelor të zgjidhjeve (12) dhe, për rrjedhojë, është i ndryshëm nga zero.
2. Funksioni 
nga vetia e zgjidhjeve të një ekuacioni linear homogjen, është një zgjidhje e ekuacionit 
për të gjitha vlerat e konstantave arbitrare 
.
Prandaj funksioni 
është një zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit 
në zonë D. Teorema është vërtetuar.
Shembull.
.
Zgjidhjet e këtij ekuacioni janë padyshim funksionet 
,
. Këto vendime formojnë një sistem themelor vendimesh, pasi
.
Prandaj, zgjidhja e përgjithshme ekuacioni origjinalështë funksioni.
Struktura e zgjidhjes së përgjithshme të një ekuacioni linear johomogjen të rendit të n-të.
Le të shqyrtojmë një johomogjene ekuacioni linear P- urdhri
Le të tregojmë se, si në rastin e një ekuacioni linear johomogjen të rendit të parë, integrimi i ekuacionit (1) reduktohet në integrimin e një ekuacioni homogjen nëse dihet një zgjidhje e veçantë e ekuacionit johomogjen (1).
Le 
- një zgjidhje e veçantë për ekuacionin (1), d.m.th.
,
. (2)
Le të vendosim 
, Ku z- e re jo funksion i njohur nga X. Atëherë ekuacioni (1) do të marrë formën
ose 
,
prej nga, në bazë të identitetit (2), marrim
. (3)
Ky është një ekuacion linear homogjen, ana e majte i cili është i njëjtë me atë të ekuacionit të konsideruar johomogjen (1). Ato. kemi marrë një ekuacion homogjen që i përgjigjet këtij ekuacioni johomogjen (1).
,
,
…,
,
është një sistem themelor i zgjidhjeve të ekuacionit homogjen (3). Atëherë të gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni përmbahen në formulën për zgjidhjen e përgjithshme të tij, d.m.th.
.
Le ta zëvendësojmë këtë vlerë z në formulë 
, marrim
.
Funksioni që rezulton është një zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (1) në rajon D.
Kështu, ne kemi treguar se zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit linear johomogjen (1) është e barabartë me shumën e disa zgjidhjeve të veçanta të këtij ekuacioni dhe zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit linear homogjen përkatës.
Shembull. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit
.
Zgjidhje. Kemi që një zgjidhje e veçantë për këtë ekuacion linear johomogjen ka formën
.
Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen përkatës 
, siç e kemi treguar tashmë më herët, ka formën
Prandaj, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit origjinal është: 
.
Në shumë raste, detyra për të gjetur një zgjidhje të veçantë për një ekuacion johomogjen është më e lehtë nëse përdorni vetinë e mëposhtme:
Teorema. Nëse në ekuacionin (1) ana e djathtë ka formën
dhe dihet se 
, A 
- zgjidhje e veçantë e ekuacionit 
, atëherë shuma e këtyre zgjidhjeve të veçanta 
+
do të jetë një zgjidhje e pjesshme e ekuacionit (1).
Dëshmi. Në të vërtetë, që nga kushti 
ka një zgjidhje të veçantë për ekuacionin 
, A 
- zgjidhje e veçantë e ekuacionit 
, Kjo
,
.
ato. 
+
është një zgjidhje e veçantë e ekuacionit (1).
D U të urdhrave më të lartë
Siç kemi thënë tashmë, ekuacionet diferenciale mund të përmbajnë derivate të rendit të ndryshëm.
Ekuacione të tilla diferenciale kanë zgjidhje që përmbajnë sa më shumë konstante të integrimit arbitrar → cili është rendi i ekuacionit diferencial, d.m.th. për një ekuacion diferencial të rendit të dytë do të ketë dy konstante arbitrare C1 dhe C2, për një renditje të tretë →C1, C2 dhe C3, etj.
Kështu, zgjidhja e përgjithshme ( integrali i përgjithshëm) një ekuacion i tillë diferencial do të ketë një funksion
.
Për të marrë një zgjidhje të veçantë të ekuacioneve të tilla diferenciale, është e nevojshme të vendosen aq kushte fillestare sa rendi i ekuacionit diferencial, ose sa konstante arbitrare janë marrë në zgjidhjen e përgjithshme.
D U në diferenciale të plota. Faktori integrues
Një ekuacion diferencial i formës quhet ekuacion diferencial në diferenciale të plota nëse ana e majtë e tij është diferenciali i plotë i disa funksion të qetë, d.m.th. Nëse 
, 
. E nevojshme dhe gjendje e mjaftueshme që të ekzistojë një funksion i tillë ka formën: 
Për të zgjidhur një ekuacion diferencial në diferencialet totale, duhet të gjeni funksionin. Atëherë zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial mund të shkruhet në formën e një konstante arbitrare C.
Faktori integrues për një ekuacion diferencial
quhet një funksion i tillë, pas shumëzimit me të cilin ekuacioni diferencial kthehet në një ekuacion në totalin e diferencialeve. Nëse funksionet M dhe N në ekuacion kanë derivate të pjesshëm të vazhdueshëm dhe nuk zhduken njëkohësisht, atëherë ekziston një faktor integrues. Megjithatë, metodë e përgjithshme nuk ka asnjë mënyrë për ta gjetur atë.
Struktura e zgjidhjes së përgjithshme të LNDU
Merrni parasysh ekuacionin diferencial johomogjen linear
+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).
- sido që të jetë pikënisje(x0, y0, ) , x0∈ , ka vlera C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 të tilla që funksioni y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) plotëson kushtet fillestare y( x0) = y0, y "(x0) ,..., (x0) = .
E drejtë deklaratën e mëposhtme(teorema mbi strukturën e zgjidhjes së përgjithshme të një ekuacioni linear johomogjen).
Nëse të gjithë koeficientët e ekuacionit të një ekuacioni diferencial homogjen linear janë të vazhdueshëm në intervalin , dhe funksionet y1(x), y2(x),..., yn(x) formojnë një sistem zgjidhjesh të ekuacionit homogjen përkatës. , atëherë zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit johomogjen ka formën
y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),
ku C1,...,Cn janë konstante arbitrare, y*(x) është një zgjidhje e veçantë e ekuacionit johomogjen.
LNDU Rendi i 2-të
Ekuacionet diferenciale johomogjene lineare të rendit të dytë.
Ekuacioni i formës y" + py" + qy = f(x), ku p dhe q - numra realë, f(x) - funksion të vazhdueshëm, quhet ekuacion linear johomogjen i rendit të dytë me koeficientë konstante.
Zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni është shuma e një zgjidhjeje të veçantë të një ekuacioni johomogjen dhe një zgjidhje e përgjithshme të ekuacionit homogjen përkatës. Është studiuar gjetja e një zgjidhjeje të përgjithshme për një ekuacion homogjen. Për të gjetur një zgjidhje të veçantë, ne do të përdorim metodën e koeficientëve të pacaktuar, e cila nuk përmban një proces integrimi.
Le të shqyrtojmë lloje te ndryshme anët e djathta të ekuacionit y" + py" + qy = f(x).
1) Pjesa e djathtë ka formën F(x) = Pn(x), ku Pn(x) është një polinom i shkallës n. Pastaj një zgjidhje e veçantë y mund të kërkohet në formën ku Qn (x) është një polinom i së njëjtës shkallë si Pn (x), dhe r është numri i rrënjëve të ekuacionit karakteristik i barabartë me zero.
Shembull. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit y" – 2y" + y = x+1.
Zgjidhja: Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen përkatës ka formën Y = ex (C1 + C2x). Meqenëse asnjë nga rrënjët e ekuacionit karakteristik k2 – 2k + 1 = 0 nuk është e barabartë me zero (k1 = k2 = 1), ne kërkojmë një zgjidhje të veçantë në formën ku A dhe B janë koeficientë të panjohur. Duke diferencuar dy herë dhe duke zëvendësuar “ dhe “ në këtë ekuacion, gjejmë –2A + Ax + B = x + 1.
Duke barazuar koeficientët për të njëjtat fuqi të x në të dy anët e barazisë: A = 1, –2A + B = 1, gjejmë A = 1, B = 3. Pra, një zgjidhje e veçantë ekuacioni i dhënë ka formën = x + 3, dhe zgjidhja e përgjithshme e saj është y = ex (C1 + C2x) + x + Z.
2) Ana e djathtë ka formën f(x) = eax Pn(x), ku Рn (x) është një polinom i shkallës n. Pastaj duhet kërkuar një zgjidhje e veçantë në formën ku Qn(x) është një polinom i së njëjtës shkallë si Pn (x), dhe r është numri i rrënjëve të ekuacionit karakteristik i barabartë me a. Nëse a = 0, atëherë f(x) = Pn (x), d.m.th., ndodh rasti 1.
LOD me koeficientë konstante.
Merrni parasysh ekuacionin diferencial
ku janë konstantet reale.
Për të gjetur një zgjidhje të përgjithshme për ekuacionin (8), ne e bëjmë këtë. Ne hartojmë ekuacionin karakteristik për ekuacionin (8): (9)
Le të jenë rrënjët e ekuacionit (9), dhe midis tyre mund të ketë shumëfisha. Rastet e mëposhtme janë të mundshme:
a) - reale dhe e ndryshme. Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen do të jetë ;
b) rrënjët e ekuacionit karakteristik janë reale, por midis tyre ka shumëfisha, d.m.th. , atëherë zgjidhja e përgjithshme do të jetë
c) nëse rrënjët e ekuacionit karakteristik janë komplekse (k=a±bi), atëherë zgjidhja e përgjithshme ka formën .
Struktura e përgjithshme zgjidhje për LDE të rendit të dytë
Merrni parasysh ekuacionin diferencial linear homogjen
+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.
Zgjidhja e përgjithshme e këtij ekuacioni në një interval është funksioni y = Φ(x, C1,..., Cn), në varësi të n konstante arbitrare C1,..., Cn dhe të kënaqshme kushtet e mëposhtme:
− për çdo vlerat e pranueshme e konstantave C1,..., Cn funksioni y = Φ(x, C1,..., Cn) është zgjidhje e ekuacionit në ;
− cilado qoftë pika fillestare (x0, y0, ) , x0∈ , ka vlera C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 të tilla që funksioni y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) kënaq kushtet fillestare y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .
Për një ekuacion diferencial johomogjen linear n- Porosia e pare
y(n) + a 1(x)y(n- 1) + ... + an- 1 (x) y" + një(x)y = f(x),
Ku y = y(x) - funksion i panjohur, a 1(x),a 2(x), ..., an- 1(x), një(x), f(x) - i njohur, i vazhdueshëm, i drejtë:
1) nëse y 1(x) Dhe y 2(x) janë dy zgjidhje të një ekuacioni johomogjen, pastaj funksioni
y(x) = y 1(x) - y 2(x) - zgjidhja e ekuacionit homogjen përkatës;
2) nëse y 1(x) zgjidhja e një ekuacioni johomogjen, dhe y 2(x) është zgjidhja e ekuacionit homogjen përkatës, pastaj funksioni
y(x) = y 1(x) + y 2(x) - zgjidhje e një ekuacioni jo homogjen;
3) nëse y 1(x), y 2(x), ..., yn(x) - n lineare vendime të pavarura ekuacioni homogjen, dhe ych(x) - vendim arbitrar ekuacioni johomogjen,
pastaj për ndonjë vlerat fillestare
x 0, y 0, y 0,1, ..., y 0,n- 1
Shprehje
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) +ych(x)
thirrur vendim i përgjithshëm ekuacioni diferencial johomogjen linear n- urdhri.
Për të gjetur zgjidhje të pjesshme të ekuacioneve diferenciale johomogjene me koeficientë konstante me anët e djathta të formës:
Pk(x) exp(a x)cos( bx) + Q m(x) exp(a x) mëkat ( bx),
Ku Pk(x), Q m(x) - polinomet e shkallës k Dhe m Prandaj, ekziston një algoritëm i thjeshtë për ndërtimin e një zgjidhjeje të caktuar, i quajtur metoda e përzgjedhjes.
Metoda e përzgjedhjes, ose metoda e koeficientëve të papërcaktuar, është si më poshtë.
Zgjidhja e kërkuar e ekuacionit shkruhet si:
(Pr(x) exp(a x)cos( bx) + Qr(x) exp(a x) mëkat ( bx))xs,
Ku Pr(x), Qr(x) - polinomet e shkallës r= max( k, m) Me i panjohur koeficientët
pr , pr- 1, ..., fq 1, fq 0, qr, qr- 1, ..., q 1, q 0.
Kështu, për të gjetur një zgjidhje të përgjithshme për një ekuacion diferencial johomogjen linear me koeficientë konstante, duhet
gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen përkatës (shkruani ekuacionin karakteristik, gjeni të gjitha rrënjët e ekuacionit karakteristik l 1, l 2, ... , ln, shkruani sistemin themelor të zgjidhjeve y 1(x), y 2(x), ..., yn(x));
gjeni ndonjë zgjidhje të veçantë për ekuacionin johomogjen ych(x);
shkruani shprehjen për zgjidhjen e përgjithshme
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x);
Ekuacione diferenciale johomogjene lineare të rendit të dytë me koeficientë konstante me anën e djathtë të veçantë. Metoda e koeficientëve të papërcaktuar.
Ekuacioni diferencial i formës (1)
ku, f është një funksion i njohur, i quajtur një ekuacion diferencial linear i rendit të n-të me koeficientë konstante. Nëse , atëherë ekuacioni (1) quhet homogjen, përndryshe - johomogjen.
Për ekuacionet lineare johomogjene me koeficientë konstante dhe me anën e djathtë të një forme të veçantë, domethënë, të përbërë nga shuma dhe produkte të funksioneve, një zgjidhje e veçantë mund të kërkohet me metodën e koeficientëve të pacaktuar. Lloji i zgjidhjes së veçantë varet nga rrënjët e ekuacionit karakteristik. Më poshtë është një tabelë e llojeve të zgjidhjeve të pjesshme për një ekuacion linear johomogjen me një anën e djathtë të veçantë.
Aeroplan kompleks. Moduli dhe argumenti i një numri kompleks. Kuptimi kryesor i argumentit. Kuptimi gjeometrik
Numrat kompleks shkruhen në formën: a+ bi. Këtu a dhe b janë numra realë, dhe i është njësi imagjinare, d.m.th. i 2 = –1. Numri a quhet abshisa, dhe b është ordinata e numrit kompleks a+ bi. Dy numra kompleksë a+ bi dhe a – bi quhen numra kompleksë të konjuguar.
Paraqitja gjeometrike numra komplekse. Numrat realë përfaqësohen me pika në vijën numerike:
Këtu, pika A qëndron për numrin –3, pika B qëndron për numrin 2 dhe O qëndron për zero. Në të kundërt, numrat kompleksë përfaqësohen me pika plan koordinativ. Për këtë qëllim zgjedhim koordinatat drejtkëndore (karteziane) me të njëjtat shkallë në të dy boshtet. Pastaj numër kompleks a+ bi do të paraqitet me pikën P me abshisë a dhe me ordinatë b (shih figurën). Ky sistem koordinativ quhet plan kompleks.
Moduli i një numri kompleks është gjatësia e vektorit OP që përfaqëson një numër kompleks në planin koordinativ (kompleks). Moduli i një numri kompleks a+ bi shënohet me | a+ bi | ose shkronja r dhe është e barabartë me:
Numrat kompleksë të konjuguar kanë të njëjtin modul. __
Argumenti i një numri kompleks është këndi midis boshtit OX dhe vektorit OP që përfaqëson këtë numër kompleks. Prandaj, tan = b/a.
