INSTITUTI I ENERGJISË SË MOSKËS

(Universiteti Teknik)

FAKULTETI I INXHINIERISË ELEKTRONIKE

ABSTRAKT MBI TEMA

TE EKUACIONI INETIK B OLTZMAN.

PLOTËSUAR:

Korkin S.V.

MËSUES

Sherkunov Yu.B.

Gjysma e dytë e punës është mjaft e mbushur matematikë komplekse . Autori ( [email i mbrojtur], [email i mbrojtur])nuk e konsideron këtë kurs ideal, ai mund të shërbejë vetëm si një pikënisje për të shkruar një punë më të përsosur (dhe të kuptueshme). Teksti nuk është kopje e librit. Shihni fundin për literaturën mbështetëse.

Lënda u pranua me notën "Shkëlqyeshëm". (Versioni përfundimtar i veprës është pak i humbur. Unë sugjeroj të përdorni "versionin" e parafundit).

Hyrje………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Simbolet………………………………………………………………………………. 4

§1 Funksioni i shpërndarjes.

§2 Përplasja e grimcave.

§3 Përcaktimi i formës së integralit të përplasjes

dhe ekuacionet Boltzmann.

§4. Ekuacioni kinetik për një gaz të dobët johomogjen.

Përçueshmëria termike e gazit.

Disa simbolet:

n - përqendrimi i grimcave;

d është distanca mesatare ndërmjet grimcave;

V është një vëllim i caktuar i sistemit;

P është probabiliteti i ndonjë ngjarjeje;

f - funksioni i shpërndarjes;

Prezantimi.

Degët e fizikës termodinamika, fizika statistikore dhe kinetika fizike merren me studimin e proceseve fizike që ndodhin në sistemet makroskopike - trupa të përbërë nga numer i madh mikrogrimca Në varësi të llojit të sistemit, mikrogrimca të tilla mund të jenë atome, molekula, jone, elektrone, fotone ose grimca të tjera. Sot, ekzistojnë dy metoda kryesore për studimin e gjendjeve të sistemeve makroskopike - termodinamike, e cila karakterizon gjendjen e sistemit përmes parametrave makroskopikë që maten lehtësisht (për shembull, presioni, vëllimi, temperatura, numri i moleve ose përqendrimi i një substance) dhe, në fakt, nuk merr parasysh struktura atomiko-molekulare substancave dhe një metodë statistikore e bazuar në modelin atomiko-molekular të sistemit në shqyrtim. Metoda termodinamike nuk do të diskutohet në këtë punim. Bazuar në ligjet e njohura të sjelljes së grimcave të sistemit, metoda statistikore na lejon të vendosim ligjet e sjelljes së të gjithë makrosistemit në tërësi. Për të thjeshtuar problemin që zgjidhet, qasja statistikore bën një sërë supozimesh (supozimesh) në lidhje me sjelljen e mikrogrimcave dhe, për rrjedhojë, rezultatet e marra me metodën statistikore janë të vlefshme vetëm brenda kufijve të supozimeve të bëra. Metoda statistikore përdor një qasje probabiliste për zgjidhjen e problemeve për të përdorur këtë metodë, sistemi duhet të përmbajë mjaftueshëm nje numer i madh i grimcat. Një nga problemet e zgjidhura me metodën statistikore është nxjerrja e ekuacionit të gjendjes së një sistemi makroskopik. Gjendja e sistemit mund të jetë konstante me kalimin e kohës (sistemi i ekuilibrit) ose mund të ndryshojë me kalimin e kohës (sistemi jo-ekuilibër). Kinetika fizike merret me studimin e gjendjeve jo ekuilibër të sistemeve dhe proceseve që ndodhin në sisteme të tilla.

Ekuacioni i gjendjes së një sistemi që zhvillohet me kalimin e kohës është një ekuacion kinetik, zgjidhja e të cilit përcakton gjendjen e sistemit në çdo kohë. Interesi për ekuacionet kinetike shoqërohet me mundësinë e aplikimit të tyre në fusha të ndryshme fizika: në teoria kinetike gazi, në astrofizikë, fizika e plazmës, mekanika e lëngjeve. Ky punim shqyrton ekuacionin kinetik të nxjerrë nga një prej themeluesve të fizikës statistikore dhe kinetikës fizike, fizikani austriak Ludwig Boltzmann në 1872 dhe që mban emrin e tij.

§1 Funksioni i shpërndarjes.

Grimcat e gazit janë të padallueshme (identike);

Grimcat përplasen vetëm në çifte (ne neglizhojmë përplasjen e tre ose më shumë grimcave njëkohësisht);

Menjëherë para përplasjes, grimcat lëvizin në një vijë të drejtë drejt njëra-tjetrës;

Përplasja e molekulave është një ndikim i drejtpërdrejtë elastik qendror;

Dhe. Le të shënojmë me

Lëvizja përkthimore e një grimce klasike përshkruhet nga koordinatat

INSTITUTI I ENERGJISË SË MOSKËS

(Universiteti Teknik)

FAKULTETI I INXHINIERISË ELEKTRONIKE

ABSTRAKT MBI TEMA

TE EKUACIONI INETIK B OLTZMAN.

PLOTËSUAR:

Korkin S.V.

MËSUES

Sherkunov Yu.B.

Gjysma e dytë e punës është e mbushur me matematikë mjaft komplekse. Autori ( [email i mbrojtur], [email i mbrojtur])nuk e konsideron këtë kurs ideal, ai mund të shërbejë vetëm si një pikënisje për të shkruar një punë më të përsosur (dhe të kuptueshme). Teksti nuk është kopje e librit. Shihni fundin për literaturën mbështetëse.

Lënda u pranua me notën "Shkëlqyeshëm". (Versioni përfundimtar i veprës është pak i humbur. Unë sugjeroj të përdorni "versionin" e parafundit).

Hyrje………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Simbolet………………………………………………………………………………. 4

§1 Funksioni i shpërndarjes.

§2 Përplasja e grimcave.

§3 Përcaktimi i formës së integralit të përplasjes

dhe ekuacionet Boltzmann.

§4. Ekuacioni kinetik për një gaz të dobët johomogjen.

Përçueshmëria termike e gazit.

Disa konventa:

n - përqendrimi i grimcave;

d është distanca mesatare ndërmjet grimcave;

V është një vëllim i caktuar i sistemit;

P është probabiliteti i ndonjë ngjarjeje;

f - funksioni i shpërndarjes;

Prezantimi.

Degët e fizikës termodinamika, fizika statistikore dhe kinetika fizike studiojnë proceset fizike që ndodhin në sistemet makroskopike - trupa të përbërë nga një numër i madh mikrogrimcash. Në varësi të llojit të sistemit, mikrogrimca të tilla mund të jenë atome, molekula, jone, elektrone, fotone ose grimca të tjera. Sot, ekzistojnë dy metoda kryesore për studimin e gjendjeve të sistemeve makroskopike - termodinamike, e cila karakterizon gjendjen e sistemit përmes parametrave makroskopikë që maten lehtësisht (për shembull, presioni, vëllimi, temperatura, numri i moleve ose përqendrimi i një substance) dhe, në fakt, nuk merr parasysh strukturën atomiko-molekulare të substancës, dhe një metodë statistikore e bazuar në modelin atomiko-molekular të sistemit në shqyrtim. Metoda termodinamike nuk do të diskutohet në këtë punim. Bazuar në ligjet e njohura të sjelljes së grimcave të sistemit, metoda statistikore na lejon të vendosim ligjet e sjelljes së të gjithë makrosistemit në tërësi. Për të thjeshtuar problemin që zgjidhet, qasja statistikore bën një sërë supozimesh (supozimesh) në lidhje me sjelljen e mikrogrimcave dhe, për rrjedhojë, rezultatet e marra me metodën statistikore janë të vlefshme vetëm brenda kufijve të supozimeve të bëra. Metoda statistikore përdor një qasje probabiliste për zgjidhjen e problemeve për të përdorur këtë metodë, sistemi duhet të përmbajë një numër mjaft të madh të grimcave. Një nga problemet e zgjidhura me metodën statistikore është nxjerrja e ekuacionit të gjendjes së një sistemi makroskopik. Gjendja e sistemit mund të jetë konstante me kalimin e kohës (sistemi i ekuilibrit) ose mund të ndryshojë me kalimin e kohës (sistemi jo-ekuilibër). Kinetika fizike merret me studimin e gjendjeve jo ekuilibër të sistemeve dhe proceseve që ndodhin në sisteme të tilla.

Ekuacioni i gjendjes së një sistemi që zhvillohet me kalimin e kohës është një ekuacion kinetik, zgjidhja e të cilit përcakton gjendjen e sistemit në çdo kohë. Interesi për ekuacionet kinetike shoqërohet me mundësinë e aplikimit të tyre në fusha të ndryshme të fizikës: në teorinë kinetike të gazeve, në astrofizikë, fizikën e plazmës dhe mekanikën e lëngjeve. Ky punim shqyrton ekuacionin kinetik të nxjerrë nga një prej themeluesve të fizikës statistikore dhe kinetikës fizike, fizikani austriak Ludwig Boltzmann në 1872 dhe që mban emrin e tij.

§1 Funksioni i shpërndarjes.

Për të nxjerrë ekuacionin kinetik të Boltzmann-it, merrni parasysh një gaz ideal monatomik, d.m.th. një gaz mjaft i rrallë i përbërë nga atome ose molekula elektrike neutrale. Lloji i vetëm i ndërveprimit midis grimcave të një gazi ideal janë përplasjet midis molekulave, të cilat ndodhin, megjithatë, aq rrallë sa çdo molekulë lëviz pothuajse gjatë gjithë kohës sikur të ishte e lirë. Duke i konsideruar grimcat e gazit si klasike, mund të argumentohet se ka një vëllim për grimcë. Numri i grimcave për njësi vëllimi është përqendrimi. Kjo do të thotë se ekziston një distancë mesatare midis grimcave (supozohet të jetë mjaft e madhe në krahasim me rrezen e veprimit të forcave ndërmolekulare d). Kur nxjerrim ekuacionin Boltzmann, ne do të bëjmë supozimet e mëposhtme:

Grimcat e gazit janë të padallueshme (identike);

Grimcat përplasen vetëm në çifte (ne neglizhojmë përplasjen e tre ose më shumë grimcave njëkohësisht);

Menjëherë para përplasjes, grimcat lëvizin në një vijë të drejtë drejt njëra-tjetrës;

Përplasja e molekulave është një ndikim i drejtpërdrejtë elastik qendror;

Përshkrimi statistikor i një gazi kryhet nga funksioni i shpërndarjes së probabilitetit (ose densiteti i probabilitetit) dhe funksioni i shpërndarjes nuk ndryshon në distanca të rendit të rajonit të përplasjes së grimcave. Dendësia e probabilitetit përcakton probabilitetin që një ndryshore e rastësishme x të ketë një vlerë brenda një intervali të vogël dx si më poshtë. Probabiliteti për të gjetur x në një interval të fundëm përcaktohet nga integrimi.

Funksioni i shpërndarjes së molekulave të gazit jepet në hapësirën e tyre fazore.

është një grup koordinatash të përgjithësuara të të gjitha molekulave; - një grup impulsesh molekulare të përgjithësuara. Përkatësisht

Dhe. Le të shënojmë me

element vëllimor i hapësirës fazore të një molekule. Në një element të caktuar të hapësirës fazore ekziston (mesatarisht) numri i grimcave të barabartë me (d.m.th., konsiderohen molekula, vlerat q dhe p të të cilave qëndrojnë në intervalet e zgjedhura dq dhe dp). Funksioni i shpërndarjes së molekulave të gazit u përcaktua më lart në hapësirën fazore, megjithatë, ai mund të shprehet në terma të variablave të tjerë përveç koordinatave të përgjithësuara dhe momenteve të grimcave. Le të zgjedhim argumentet e funksionit f.

Duke marrë parasysh një proces jo-ekuilibër të ndryshimit të gjendjes së një sistemi që ndodh me kalimin e kohës, padyshim duhet të supozojmë se funksioni i shpërndarjes varet nga koha. Gazi në fjalë është një grup grimcash që ne kemi rënë dakord t'i konsiderojmë klasike.

Lëvizja përkthimore e një grimce klasike përshkruhet nga koordinatat

qendra e gravitetit të grimcës dhe vektori i shpejtësisë ose vektori i momentit (, ku m është masa e grimcës). Për gazin monoatomik lëvizje përpara- lloji i vetëm i lëvizjes së grimcave; numri i shkallëve të lirisë është tre. Nëse grimca është një molekulë poliatomike, atëherë lindin shkallë shtesë lirie të lidhura me rrotullimin e molekulës në hapësirë ​​dhe dridhjen e atomeve në molekulë. Kushtet e përdorimit Mekanika kuantike janë masa të ulëta dhe përqendrime të larta të grimcave, si dhe temperatura të ulëta. Pa marrë parasysh zonën temperaturat e ulëta, lëvizjen rrotulluese të molekulave të gazit do ta konsiderojmë klasike. Çdo lëvizje klasike rrotulluese përshkruhet, para së gjithash, çift ​​rrotullues forcat që veprojnë në trup. Nën ndikimin e një momenti, një molekulë diatomike rrotullohet në një plan, pingul me vektorin moment. Përveç kësaj, pozicioni i molekulës karakterizohet nga këndi i rrotullimit të boshtit të molekulës në rrafshin e rrotullimit.

Le të shqyrtojmë një molekulë hidrogjeni (ose ndonjë molekulë tjetër diatomike) në T = 300 K. Sipas ligjit të barazndarjes, çdo shkallë lirie (përkthimore, rrotulluese ose vibruese) ka mesatarisht të njëjtën energji kinetike, të barabartë.

Le të jetë I momenti i inercisë së molekulës, m masa, d distanca mesatare ndërmjet atomeve në molekulë.

Në një sekondë molekula bën (d.m.th. afërsisht) revolucione të plota. Shpejtësia e ndryshimit të këndit të rrotullimit të boshtit molekulë diatomikeështë i madh dhe të gjitha orientimet e mundshme të molekulës në rrafshin e rrotullimit do të jenë po aq të mundshme. Pastaj, kur merren parasysh problemet reale fizike, funksioni i shpërndarjes mund të konsiderohet i pavarur nga orientimi i molekulës. Ligji i barazisë vlen edhe për molekulat poliatomike, që do të thotë se supozimi i bërë për pavarësinë e funksionit të shpërndarjes nga orientimi i molekulave të gazit në hapësirë ​​mund të konsiderohet i vlefshëm për gazet poliatomike.

Lëvizja osciluese atomet brenda një molekule janë pothuajse gjithmonë të kuantizuara dhe gjendja e molekulës është e tillë sistemi kuantik duhet të përcaktohet nga parametrat kuantikë. Në kushte normale (jo shumë temperaturat e larta) molekulat e gazit janë në një gjendje të pangacmuar që korrespondon me nivelin e vibrimit të tokës (zero). Kjo është arsyeja pse efektet kuantike V gaze reale në kushte normale mund të neglizhohet. Rrjedhimisht, funksioni i shpërndarjes së një gazi klasik ideal në një gjendje jo ekuilibër varet jo vetëm nga koha, por edhe nga koordinatat e grimcave.

Le të shënojmë me simbolin Г bashkësinë e të gjitha ndryshoreve nga të cilat varet funksioni i shpërndarjes, me përjashtim të koordinatave të molekulës dhe kohës. Në elementin e vëllimit të fazës, ne zgjedhim vëllimin elementar hapësirë ​​tredimensionale, dhe pjesa tjetër do të shënohet me simbolin dG. Sasitë dГ janë integrale të lëvizjes që mbeten konstante për çdo molekulë gjatë lëvizjes së saj të lirë ndërmjet dy përplasjeve të njëpasnjëshme. Lëvizja e lirë e molekulës kryhet pa ndikim të jashtëm nga ndonjë trup ose fushë e jashtme. Si rezultat i ndërveprimit të molekulave me njëra-tjetrën (në rast përplasjeje) ose nën ndikimin e një fushe

këto vlera mund të ndryshojnë. Koordinatat e molekulës në tërësi ndryshojnë gjatë lëvizjes së lirë të saj.

Përqendrimi ose dendësia e shpërndarjes hapësinore të grimcave të gazit mund të shprehet me një integral, dhe numri mesatar i grimcave në një element vëllimor përcaktohet nga produkti. Me element vëllimi nënkuptojmë një vëllim fizikisht të vogël, d.m.th. një zonë hapësire, dimensionet e së cilës janë të vogla në krahasim me dimensionet e konsideruara në problem. Në të njëjtën kohë, dimensionet e një vëllimi të vogël janë të mëdha në krahasim me dimensionet e molekulave. Deklarata për vendndodhjen e një molekule në një element vëllimor të caktuar përcakton pozicionin e molekulës brenda skenari më i mirë vetëm deri në distanca që tejkalojnë dimensionet e vetë molekulës. Përcaktimi i saktë i koordinatave të dy grimcave klasike e bën të mundur përcaktim i saktë trajektoret e tyre para dhe pas përplasjes, nëse ka ndodhur një e tillë. Pasiguria e saktësisë pozicioni i ndërsjellë grimcat bën të mundur aplikimin e një qasjeje probabiliste për zgjidhjen e problemit të përplasjes së tyre. Konsiderimi i një gazi klasik nënkupton se dendësia

është një sasi makroskopike. Makroskopiteti ndodh vetëm në rastin kur vëllimi elementar përmban një numër mjaftueshëm të madh grimcash (vetëm atëherë ndryshimi i numrit të grimcave në vëllimin elementar është i vogël gjatë procesit në shqyrtim); në këtë rast, dimensionet lineare të rajonit të zënë nga gazi duhet të jenë dukshëm më të mëdha se distanca mesatare ndërmolekulare.

§2 Përplasja e grimcave.

Le të shqyrtojmë një përplasje molekulash, disa prej të cilave kanë vlerat e Γ që shtrihen në një interval të caktuar, dhe të tjerët - në intervalin. Si rezultat i përplasjes, molekulat fitojnë vlera të Γ në intervale dhe, përkatësisht. Më tej, për shkurtim, do të flasim për përplasjen e molekulave dhe me tranzicionin

Produkti i numrit të molekulave për njësi vëllimi nga probabiliteti që secila molekulë të përjetojë një përplasje me tranzicionin e treguar do të japë numrin total të përplasjeve të tilla për njësi vëllimi për njësi të kohës. Probabiliteti i një ngjarjeje të tillë (e shënojmë përmes një funksioni të caktuar) është në përpjesëtim me numrin e molekulave për njësi vëllimi dhe intervalet e vlerave të secilës prej molekulave pas përplasjes. Kështu, ne do të supozojmë se numri i përplasjeve me një tranzicion që ndodh për njësi vëllimi për njësi të kohës do të marrë formën

(një vizë tregon gjendjet përfundimtare, pa një prizë gjendjet fillestare). Probabiliteti i përplasjes ka pronë e rëndësishme, që rrjedh nga ligjet e mekanikës në lidhje me përmbysjen e shenjës së kohës. Nëse me mbishkrimin T shënojmë vlerat e të gjitha sasive të marra duke përmbysur shenjën e kohës, atëherë barazia do të ndodhë.

Kthimi i kohës rirregullon gjendjet "para" dhe "pas", që do të thotë se është e nevojshme të riorganizohen argumentet e funksionit të probabilitetit. Në veçanti, kjo barazi vlen në rastin e ekuilibrit të sistemit, d.m.th. mund të argumentohet se në ekuilibër numri i përplasjeve me tranzicionin është i barabartë me numrin e përplasjeve me tranzicionin (*). Le të shënojmë me funksionin e shpërndarjes së ekuilibrit dhe të shkruajmë

Produkti i diferencialeve është një element i hapësirës fazore që nuk ndryshon kur koha kthehet mbrapsht (diferencat në të dy anët e barazisë mund të hiqen). Nuk ndryshon njesoj energji potenciale molekulat, dhe për këtë arsye funksioni i shpërndarjes së ekuilibrit (Boltzmann), i cili varet vetëm nga energjia:

(2)

V është shpejtësia makroskopike e lëvizjes së gazit në tërësi. Për shkak të ligjit të ruajtjes së energjisë kur dy molekula përplasen. Prandaj mund të shkruajmë (3)

Le të vërejmë gjithashtu faktin se vetë funksioni i probabilitetit, në parim, mund të përcaktohet vetëm duke zgjidhur problemin mekanik të përplasjeve të grimcave. Barazitë e mësipërme (1), (2) dhe (3) do të jepen pas shkurtesave në (1)

I nënshtrohet miratimit (*)

Duke integruar barazinë e fundit (për përdorim të mëtejshëm) marrim relacionin:

§3 Nxjerrja e ekuacionit kinetik.

Le të shqyrtojmë derivatin e funksionit të shpërndarjes së kohës:

Kur molekulat e gazit lëvizin në mungesë fushë e jashtme madhësitë Г, si integrale të lëvizjes, nuk ndryshojnë.

Shprehja për derivatin do të marrë formën: (6)

Le të jetë tani gazi në një fushë potenciale të jashtme që vepron në koordinatat e qendrës së gravitetit të molekulave (për shembull, në një fushë gravitacionale). Dhe le të jetë F forca që vepron nga fusha në grimcë.

Ne shënojmë anën e djathtë të barazisë (6) me. Simboli do të thotë

shpejtësia e ndryshimit të funksionit të shpërndarjes për shkak të përplasjeve, dhe madhësia

është ndryshimi për njësi të kohës për shkak të përplasjeve të numrit të molekulave në vëllimin fazor. Një ndryshim i plotë në funksionin e shpërndarjes në pikë e dhënë Hapësira fazore do të shkruhet si:

(8)

Sasia quhet integral i përplasjes dhe ekuacioni i formës (8) quhet ekuacion kinetik. Ekuacioni kinetik (8) do të marrë kuptim real vetëm pasi të përcaktohet forma e integralit të përplasjes.

§3 Përcaktimi i formës së integralit të përplasjes dhe ekuacionit të Boltzmann-it.

Gjatë përplasjes së molekulave, ndodh një ndryshim në sasitë nga të cilat varet funksioni i shpërndarjes. Duke marrë parasysh faktin se koha e vëzhgimit të gjendjes së sistemit dhe koordinatave të grimcave ndryshojnë, pavarësisht nëse ka ndodhur apo jo një përplasje grimcash (që ndikon vetëm në natyrën e ndryshimit të koordinatave), mund të argumentohet që vlerat e G të molekulave të përplasjes ndryshojnë. Duke marrë parasysh një interval mjaft të vogël, ne gjejmë se molekulat hiqen nga ky interval pas përplasjes, d.m.th. ndodhin aktet e "përkujdesjes". Le të korrespondojnë dy molekulat përplasëse, si më parë, me vlerat para përplasjes dhe pas përplasjes (për shkurtim, ne po flasim për një tranzicion).

Numri i plotë përplasjet gjatë tranzicionit të mësipërm me të gjithë vlerat e mundshme

Për një ngjarje të caktuar që ndodh për njësi të kohës në një vëllim përcaktohet nga integrali

Në të njëjtën kohë, ndodhin përplasje të një lloji tjetër (të quajtura "arritja"), si rezultat i të cilave molekulat që para përplasjes kishin vlera jashtë intervalit të caktuar bien në këtë interval. Tranzicione të tilla mund të caktohen si më poshtë: (me të gjitha vlerat e mundshme të dhëna). Ngjashëm me llojin e parë të tranzicionit, numri i përgjithshëm i përplasjeve të tilla për njësi të kohës në vëllim është i barabartë me:

Si rezultat i të gjitha përplasjeve, ndryshimi në numrin e molekulave për njësi të kohës në një vëllim elementar përcaktohet nga ndryshimi midis numrit të akteve të largimit dhe numrit të akteve të mbërritjes:

(9), ku

Integrali i përplasjes mund të përkufizohet si:

(ndryshimi në numrin e grimcave për njësi të kohës në vëllimin fazor dVdГ)

Nga relacionet (8) dhe (9) marrim formën e integralit të përplasjes

Vini re se në termin e dytë të integrandit, integrimi mbi ka

lidhur vetëm me funksionin. Shumëzues dhe nuk varen nga variablat. Duke e transformuar këtë pjesë të integralit duke përdorur relacionin (4), marrim formën përfundimtare të integralit të përplasjes

dhe ekuacioni kinetik

Ekuacioni integral-diferencial që rezulton quhet ekuacioni Boltzmann.

Le të shqyrtojmë shpërndarjen e pavarur nga koha në gjendjen e ekuilibrit të sistemit në mungesë ndikimet e jashtme. Kjo shpërndarje është e palëvizshme (nuk varet nga koha) dhe homogjene (nuk ndryshon në rajonin e hapësirës së zënë nga sistemi). Kushtet e vendosura rivendosin derivatin e funksionit të shpërndarjes në lidhje me kohën dhe tre koordinatat; ana e majtë e ekuacionit kinetik zhduket. Integrandi shkon në zero për shkak të barazisë (3). Rrjedhimisht, shpërndarja e ekuilibrit në mungesë të fushave të jashtme plotëson ekuacionin kinetik në mënyrë identike. Nëse gazi është në një gjendje ekuilibri nën ndikimin e një fushe potenciale të jashtme (për shembull, gravitacionale), atëherë funksioni i shpërndarjes në këtë rast plotëson ekuacionin kinetik. Në të vërtetë, shpërndarja e ekuilibrit shprehet përmes integralit të lëvizjes - plot energji molekulat. Ana e majte Ekuacioni kinetik është një derivat total, i cili është i barabartë me zero si derivat i një funksioni që varet vetëm nga integralet e lëvizjes. Pjesa e djathtë ekuacioni, siç është treguar tashmë, është zero. Kështu, funksioni i shpërndarjes së një gazi në ekuilibër në një fushë potenciale të jashtme plotëson gjithashtu ekuacionin kinetik.

Supozimeve të treguara në "Hyrje" do t'i shtojmë edhe një: përplasjet e molekulave konsiderohen si akte të menjëhershme që ndodhin në një "pikë" të hapësirës. Ekuacioni kinetik përshkruan një proces që ndodh në një interval kohor shumë më të madh se kohëzgjatja e përplasjeve. Në të njëjtën kohë, rajoni i sistemit në shqyrtim duhet të tejkalojë ndjeshëm rajonin e përplasjes së grimcave, i cili ka dimensione në rendin e rrezes së veprimit të forcave molekulare d. Koha e përplasjes sipas rendit të madhësisë mund të përcaktohet si (- Shpejtësia mesatare lëvizja e molekulave në një gaz). Vlerat e marra paraqesin kufirin e poshtëm të distancës dhe kohës kur merret parasysh se cilat mund të përdoren ekuacioni kinetik. Reale detyrat fizike nuk kërkojnë një përshkrim kaq të detajuar të procesit; Madhësia e sistemit dhe koha e vëzhgimit tejkalojnë ndjeshëm minimumin e kërkuar.

Për konsideratë të cilësisë dukuritë kinetike që rrjedh në një gaz, përdorni vlerësime të përafërta të integralit të përplasjes përmes dy parametrave: shtegut mesatar të lirë dhe kohës së lirë të udhëtimit. Lëreni një molekulë të lëvizë nëpër një njësi gjatësie, duke u përplasur me molekulat e vendosura në vëllim cilindër i drejtë gjatësia njësi dhe sipërfaqja e bazës (është seksioni kryq efektiv i molekulës). Në këtë vëllim ka molekula.

- distanca mesatare ndërmjet molekulave;

Vlera është koha e funksionimit të lirë. Për të vlerësuar përafërsisht integralin e përplasjes, mund të përdorni:

Diferenca e shkruar në numërues merr parasysh faktin që integrali i përplasjes zhduket për funksionin e shpërndarjes së ekuilibrit, dhe shenja minus tregon se përplasjet janë një mekanizëm për vendosjen e ekuilibrit statistikor, d.m.th. përpiquni të zvogëloni devijimin e funksionit të shpërndarjes nga ai i ekuilibrit (me fjalë të tjera, çdo sistem i hequr nga një gjendje ekuilibri që korrespondon me minimumin energjia e brendshme sistemi, dhe i lënë në vetvete, tenton të kthehet në një gjendje ekuilibri).

§3 Kalimi në ekuacionet makroskopike. Ekuacioni i vazhdimësisë hidrodinamike.

Ekuacioni kinetik i Boltzmann-it jep një përshkrim mikroskopik të evolucionit të gjendjes së një gazi. Por në praktikë, shpesh nuk është e nevojshme të përshkruhen proceset në detaje të tilla, prandaj, kur merren parasysh problemet e hidrodinamikës, problemet e shfaqjes së proceseve në gazrat johomogjenë ose shumë të rrallë, problemet e përçueshmërisë termike dhe difuzioni i gazeve dhe një sërë të tjerash. , ka kuptim të kalojmë në ekuacionet më pak të detajuara (dhe për rrjedhojë më të thjeshta) makroskopike. Ky përshkrim është i zbatueshëm për një gaz nëse vetitë e tij makroskopike (temperatura, dendësia, përqendrimi i grimcave, presioni, etj.) ndryshojnë mjaft ngadalë përgjatë çdo drejtimi të zgjedhur arbitrarisht në gaz. Distancat në të cilat ndodh një ndryshim i rëndësishëm në parametrat makroskopikë duhet të tejkalojnë ndjeshëm rrugën e lirë të molekulave.

Si shembull, merrni parasysh një metodë për marrjen e një ekuacioni hidrodinamik.

Shprehja përcakton densitetin e shpërndarjes së molekulave të gazit në hapësirë ​​(përqendrimi i molekulave të gazit). Prodhimi i masës së një molekule (supozohet se gazi përbëhet nga grimca identike) nga dendësia e shpërndarjes së molekulave jep dendësinë e masës së gazit: . Le të shënojmë me shpejtësinë makroskopike të lëvizjes së gazit në tërësi dhe me shpejtësinë mikroskopike të molekulave. Shpejtësia makroskopike (shpejtësia e lëvizjes së qendrës së masës) mund të përkufizohet si vlera mesatare nga shpejtësitë mikroskopike të molekulave

Përplasjet nuk ndryshojnë as numrin e grimcave që përplasen, as energjinë ose momentin e tyre total (përplasjet e molekulave konsiderohen absolutisht ndikim elastik). Pjesa e përplasjes së ndryshimit në funksionin e shpërndarjes nuk mund të çojë në një ndryshim në densitetin, energjinë e brendshme, shpejtësinë dhe çdo parametër tjetër makroskopik të gazit në secilin element të vëllimit të tij. Në të vërtetë, pjesa përplasëse e ndryshimit në numrin total të molekulave për njësi vëllimi të gazit jepet nga integrali i barabartë me zero:

Le të verifikojmë vlefshmërinë e kësaj barazie në mënyrën e mëposhtme:

Integrimi kryhet mbi secilën prej variablave, që do të thotë se është e mundur, pa ndryshuar integralin, të ripërcaktohen variablat, për shembull, në integralin e dytë:

Shprehja e fundit është padyshim e barabartë me zero dhe, për rrjedhojë, barazia (14) është e vlefshme.

Le të shkruajmë ekuacionin kinetik dhe, pasi të kemi shumëzuar më parë të dy pjesët e tij me masën e grimcës m, ta integrojmë atë sipas:

Nga këtu marrim menjëherë ekuacionin e vazhdimësisë hidrodinamike:

Duke pyetur në këtë ekuacioni diferencial duke ndryshuar densitetin e lëngut dhe duke e konsideruar lëngun si të papërshtatshëm, mund të merret një fushë vektoriale e drejtimeve të shpejtësisë në çdo pikë të lëngut.

§4. Gaz pak johomogjen. Përçueshmëria termike e gazit.

Të gjitha proceset reale fizike ndodhin domosdoshmërisht me disa humbje energjie (d.m.th., ndodh shpërndarja e energjisë - kalimi i energjisë së lëvizjes së urdhëruar në energjinë e lëvizjes kaotike, për shembull, në lëvizjen termike të molekulave të gazit). Për të marrë në konsideratë proceset shpërhapëse (përçueshmëria termike ose viskoziteti) në një gaz johomogjen të dobët, është e nevojshme të përdoret përafrimi i mëposhtëm: funksioni i shpërndarjes në një pjesë të vogël të gazit duhet të konsiderohet jo ekuilibër lokal, si në rastin e një gazi homogjen. , por që ndryshon nga ekuilibri një nga një vlerë mjaft të vogël (pasi gazi është pak johomogjen). Funksioni i shpërndarjes do të marrë formën, dhe vetë korrigjimi do të shkruhet në formë. Funksioni duhet të plotësojë disa kushte. Nëse jepen dendësitë e numrit të grimcave, energjisë dhe momentit të gazit

ato. integralet korrespondojnë me funksionin e ekuilibrit, atëherë funksioni joekuilibër duhet të çojë në të njëjtat vlera të këtyre sasive (integralet me dhe duhet të përkojnë), gjë që ndodh vetëm kur

Le të transformojmë integralin e përplasjes në ekuacionin kinetik (13): zëvendësimi i shprehjeve për funksionin e shpërndarjes dhe korrigjimet, zerimi i integraleve të përplasjes që përmbajnë funksionin e shpërndarjes së ekuilibrit, reduktimi i termave që nuk përmbajnë një korrigjim të vogël. Kushtet e rendit të parë do të japin. Simboli u prezantua për të treguar operatorin integral linear

Le të shkruajmë (pa derivim) ekuacionin kinetik për një gaz të dobët johomogjen, duke mbajtur për shqyrtimin e problemit të përçueshmërisë termike në anën e majtë të ekuacionit vetëm një term me gradientin e temperaturës.

*************************************************

§4. Llogaritja e koeficientit të përçueshmërisë termike të një gazi monoatomik

Për të llogaritur koeficientin e përçueshmërisë termike të një gazi, është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni i shkruar më sipër me një gradient të temperaturës.

Le të jetë vetëm një funksion vektorial i sasive. Pastaj do të kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin () në formë. Kur e zëvendësojmë këtë zgjidhje në ekuacionin (), marrim një faktor. Ekuacioni () është i vlefshëm për vlera krejtësisht arbitrare të vektorit të gradientit të temperaturës, atëherë koeficientët në të dy anët e barazisë duhet të jenë të barabartë. Si rezultat, marrim ekuacionin

Ekuacioni nuk përmban një gradient të temperaturës dhe për këtë arsye nuk ka një varësi të qartë nga koordinatat. Funksioni duhet të plotësojë kushtet e specifikuara më parë (). Dy kushtet e para janë padyshim të përmbushura (ekuacioni () nuk përmban asnjë parametër vektorial përgjatë të cilit mund të drejtohen konstantet integrale vektoriale

DHE). Integrali i tretë është një kusht shtesë për funksionin g. Nëse zgjidhet ekuacioni kinetik dhe funksioni

të përcaktuara, atëherë është e mundur të përcaktohet koeficienti i përçueshmërisë termike duke llogaritur rrjedhën e energjisë, ose më saktë, pjesën shpërndarëse të saj, e cila nuk shoqërohet me transferimin konvektiv të energjisë (këtë pjesë të rrjedhës së energjisë e shënojmë me). Në mungesë të lëvizjes makroskopike në një gaz, Q përkon me në rrjedhë të plotë energjia Q, e cila mund të shprehet përmes integralit

Nëse sistemi është në ekuilibër, atëherë ky integral është i barabartë me zero për shkak të integrimit në të gjitha drejtimet e mundshme në gaz. Kur zëvendësohet në () mbetet

Në komponentë

Për shkak të izotropisë së mjedisit të gazit të ekuilibrit, çdo destinacionet e zgjedhura mungojnë në të dhe tensori mund të shprehet vetëm nëpërmjet tensorit njësi, d.m.th. reduktohet në një shkallë

Kështu, rrjedha e energjisë shprehet si, ku sasia është koeficienti skalar i përçueshmërisë termike

Rrjedha Q duhet të drejtohet në drejtim të kundërt me gradientin e temperaturës, dhe vlera duhet të jetë në përputhje me rrethanat pozitive, e cila sigurohet automatikisht nga ekuacioni kinetik (). Në gazet monoatomike, shpejtësia v është i vetmi vektor nga i cili varet funksioni g (në gazet poliatomike, g varet jo vetëm nga shpejtësia v, por edhe nga çift rrotullimi M). Për gazet monoatomike, funksioni g ka formën:

.

§5.Një shembull i zgjidhjes së një ekuacioni kinetik

Molekulat e gazit ndërveprojnë sipas ligjeve mjaft komplekse. Kjo është veçanërisht e vërtetë për gazrat e vërtetë poliatomikë. Supozimet e bëra në lidhje me natyrën e sjelljes së molekulave të gazit bëjnë të mundur thjeshtimin e arsyetimit (apo edhe ta bëjnë të mundur në parim), por disi na largojnë nga realiteti. Ligjet komplekse të bashkëveprimit molekular që përcaktojnë funksionin në integralin e përplasjes nuk na lejojnë as të shkruajmë ekuacionin e Boltzmann-it për gaze specifike në formë e saktë. Edhe me thjeshtimin e karakterit ndërveprimi molekular Struktura matematikore e ekuacionit kinetik mbetet mjaft komplekse dhe gjetja e zgjidhjes së tij në formë analitike është e vështirë. Në teorinë kinetike të gazeve përdoren të veçanta që janë më efektive se sa të provosh zgjidhje analitike, metodat për zgjidhjen e përafërt të ekuacionit të Boltzmann-it. Si shembull, merrni parasysh një gaz monoatomik dhe problemin e përçueshmërisë termike.

dhe funksioni i shpërndarjes së ekuilibrit do të marrë formën

Metoda efektive zgjidhja e përafërt e ekuacionit () bazohet në zgjerimin e funksioneve të kërkuara në një sistem të plotë funksionesh reciproke ortogonale. Si funksione të tilla, merrni parasysh polinomet Sonin të përcaktuara nga format:

Në këtë formulë, r është arbitrar, dhe s është një numër i plotë numër pozitiv ose zero. Me ndershmëri

Vetia e ortogonalitetit të këtyre polinomeve për një indeks të caktuar r dhe indekse të ndryshëm s duket kështu:

Ne kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin në formën e zgjerimit të mëposhtëm

Duke hequr termin me s=0 në zgjerim, marrim shprehjen e kënaqshme () (integrali vendoset në zero për shkak të ortogonalitetit të polinomeve me s të ndryshëm). Shprehja në kllapa në anën e majtë ()

ka. Ekuacioni () merr formën

Për shprehjen e fundit është futur shënimi

Nuk ka ekuacion me l=0, pasi për shkak të ruajtjes së momentit

Koeficienti i përçueshmërisë termike llogaritet duke zëvendësuar shprehjen () në integrale (). Duke marrë parasysh kushtin (), integrali (c) mund të paraqitet në formë

Si rezultat, ne gjejmë.

Rreth efikasitetit metodë numerike duke përdorur zgjerimin polinomial Sonon mund të gjykohet nga thjeshtësia e anës së djathtë () dhe shprehjes përfundimtare (). Sistemi i pafundëm i ekuacioneve algjebrike lineare i marrë gjatë zgjidhjes zgjidhet pas shkurtimit artificial.

konkluzioni.

Metoda e shqyrtuar për nxjerrjen e ekuacionit kinetik të Boltzmann-it është mjaft e kënaqshme me pikë fizike vizion. Megjithatë, ekuacioni kinetik mund të merret edhe nga aparati matematikor i përdorur për të përshkruar lëvizjen e grimcave të gazit. Në vitin 1946, një përfundim i tillë, i quajtur dinamik, u dha nga N. N. Bogolyubov. Metoda Bogolyubov lejon jo vetëm marrjen e ekuacionit Boltzmann, por edhe korrigjimet e tij, d.m.th. termat e urdhrave të mëposhtëm në parametrin e përmbajtjes së gazit të vogël. Për shembull, derivimi i mësipërm merr parasysh përplasjen e njëkohshme të vetëm dy molekulave dhe supozon se përplasjet ndodhin në një pikë, d.m.th. janë lokale dhe nuk ka asnjë recetë pak a shumë të dukshme për të marrë parasysh përplasjet e grupeve prej tre, katër ose më shumë grimcash. Ndërkohë, është e qartë se marrja parasysh e përplasjeve të tilla është thelbësisht e rëndësishme kur merren parasysh gazrat e dendur. Në këtë drejtim, këshillohet që të merret një qasje më rigoroze për nxjerrjen e ekuacionit kinetik dhe përgjithësimet e tij të mundshme. Metoda e Bogolyubov na lejon të marrim parasysh

"jolokaliteti" i përplasjes dhe përplasjes së më shumë se dy grimcave me ndihmën e termave të caktuar korrigjues që lindin në prejardhje. Neglizhimi i korrigjimeve e çon ekuacionin kinetik në formën e marrë në rastin më të thjeshtë.

Bibliografi.

1. E.M.Lifshits, L.P.Pitaevsky. Kinetika fizike. Nauka, M., 1979

2. Yu.B.Rumer, M.Sh.Ryvkin. Termodinamika, fizika statistikore dhe kinetika.

EKUACIONI KINETIK I BOLZMANIT

- numër i plotë-diferencial ekuacioni, i cili plotësohet nga një grimcë e vetme jo ekuilibër funksionet e shpërndarjes sistemet e një numri të madh grimcash, për shembull, shpërndarja e molekulave të gazit sipas shpejtësisë dhe koordinatave r, funksionet e shpërndarjes së elektroneve në një metal, fononeve në një kristal etj K.u. B. - kryesore nivel mikroskopik teoria e proceseve jo ekuilibër ( kinetika fizike), veçanërisht teoria kinetike e gazeve. K.u. B. në në kuptimin e ngushtë thirrur që rrjedh nga L. Boltzmann (L. Boltzmann) kinetike. ekuacioni për gazet me densitet të ulët, molekulat e të cilave i binden klasikes. mekanika. K.u. B. për kuazigrimcave në kristale, për shembull. për elektronet në një metal, të quajtur edhe kinetike. nivelet ose nivelet e transferimit.

K.u. B. përfaqëson nivelin e ekuilibrit të numrit të grimcave (më saktë, pikat që përshkruajnë gjendjen e grimcave) në një element të vëllimit fazor; dr= =dxdydz) dhe shpreh faktin se ndryshimi i shpërndarjes së grimcave funksionon me kalimin e kohës t ndodh për shkak të lëvizjes së grimcave nën ndikimin e ndikimeve të jashtme. forcat dhe përplasjet mes tyre. Për një gaz të përbërë nga grimca të të njëjtit lloj, K. at. B. duket si

ku është ndryshimi në densitetin e numrit të grimcave në një element të vëllimit fazor për njësi të kohës, F= = F(r,t) - forca që vepron në grimcë (mund të varet edhe nga shpejtësia) është një ndryshim në funksionin e shpërndarjes për shkak të përplasjeve (integrali i përplasjes). Termat e dytë dhe të tretë të ekuacionit (1) karakterizojnë përkatësin ndryshimet në funksionin e shpërndarjes si rezultat i lëvizjes së grimcave në hapësirë ​​dhe veprimit të ndikimeve të jashtme. forcë Ndryshimi i tij, i shkaktuar nga përplasjet e grimcave, shoqërohet me largimin e grimcave nga elementi i vëllimit fazor gjatë të ashtuquajturës. përplasjet e drejtpërdrejta dhe plotësimi i vëllimit me grimca që kanë përjetuar përplasje "të kundërta". Nëse i llogaritni përplasjet sipas ligjeve të klasikes mekanikë dhe supozojmë se nuk ka korrelacion midis dinamikës. gjendjet e përplasjes së molekulave, atëherë

Shpejtësitë e grimcave para përplasjes janë shpejtësitë e të njëjtave grimca pas përplasjes, vlera lidhet. shpejtësia e përplasjes së grimcave, - diferenciale. eff. seksion kryq i shpërndarjes së grimcave në një kënd të fortë në laborator. sistemi i koordinatave, - këndi ndërmjet relativ. shpejtësia dhe linja e qendrave. Për shembull, për sferat e ngurtë elastike me një rreze R,= , për grimcat që bashkëveprojnë sipas ligjit qendror. forcë, ( b- parametri i ndikimit, - këndi azimutal i vijës së qendrave).

K.u. B. merr parasysh vetëm përplasjet në çift ndërmjet molekulave; është e vlefshme me kusht që gjatësia e rrugës së lirë molekulat janë dukshëm më të mëdha se dimensionet lineare të rajonit në të cilin ndodh përplasja (për një gaz me grimca elastike ky është një rajon i rendit të diametrit të grimcave). Prandaj K. u. B. i aplikueshëm për gazrat që nuk janë shumë të dendur. Përndryshe do të jetë e padrejtë. supozimi i mungesës së korrelacionit ndërmjet gjendjeve të grimcave që përplasen (hipoteza e kaosit molekular). Nëse sistemi është në statistikë ekuilibri, atëherë integrali i përplasjes (2) zhduket dhe zgjidhja e ekuacionit B. është Shpërndarja Maxwell.

Me një qasje më rigoroze për ndërtimin e K. në. B. vijnë nga ekuacionet e Liouville për dendësinë e shpërndarjes së të gjitha molekulave të gazit në hapësirën fazore, nga e cila fitohet një sistem ekuacionesh për funksionet e shpërndarjes së një, dy molekulave etj. ekuacionet e Bogolyubov). Ky zinxhir ekuacionesh zgjidhet duke përdorur një zgjerim në fuqitë e densitetit të grimcave duke përdorur kusht kufitar dobësimi i korrelacioneve, duke zëvendësuar hipotezën e kaosit molekular.

Vendimi i K B. me zbërthim supozimet për forcat e bashkëveprimit midis grimcave - tema e kinetikës. teoria e gazeve, e cila lejon llogaritjen koeficientët kinetikë dhe merrni makroskopike. ekuacioni për proceset e transferimit ( viskoziteti, difuzioni, përçueshmëria termike).

Për gazet kuantike vlerat e eff. seksionet kryq llogariten në bazë të mekanikës kuantike, duke marrë parasysh padallueshmërinë e grimcave identike dhe faktin që probabiliteti i një përplasjeje varet jo vetëm nga produkti i funksioneve të shpërndarjes së grimcave që përplasen, por edhe nga funksionet e shpërndarjes së grimcave. pas përplasjes. Si rezultat, probabiliteti i përplasjes do të ulet për fermionet dhe do të rritet për bozonet. Operatori i përplasjes në rastin kuantik merr formën

ku korrespondon shenja minus Statistikat Fermi - Dirac, dhe shenja plus është Statistikat Bose - Einstein, g - statistikore pesha e gjendjes (g = l për grimcat me rrotullim të barabartë me zero dhe g=2 për grimcat me spin ), është momenti i grimcës. Funksionet janë normalizuar në mënyrë që të përfaqësojnë mesataren. numri i grimcave në një pikë. Funksionet e ekuilibrit të shpërndarjeve Fermi dhe Bose bëjnë që operatori i përplasjes (3) të zhduket.

Një rast i rëndësishëm i veçantë i K.u. B. është kinetik. ekuacioni për neutronet, të cilat shpërndahen dhe ngadalësohen nga bërthamat e mediumit. Në këtë rast, ext. Unë nuk kam forcë dhe në ekuacionin (1) duhet të vendos F=0. Dendësia e numrit të neutroneve është zakonisht e vogël, kështu që përplasjet ndërmjet tyre mund të neglizhohen dhe mund të merren parasysh vetëm përplasjet e tyre me bërthamat e mediumit (shih. Difuzioni i neutronit, moderimi i neutronit).

Proceset e transferimit të lidhura me lëvizjen e elektroneve në një metal mund të studiohen gjithashtu duke përdorur rrezatimin kozmik. B. Në mungesë të dridhjeve të rrjetës, elektronet përhapen lirshëm në metal dhe përshkruhen valët e avionit, e moduluar me periudhën e grilave dhe në varësi të vektorit të valës k; dhe numrat e energjisë zonave l. Lëvizja termike e atomeve të rrjetës prish periodicitetin dhe çon në shpërndarjen e elektroneve (përplasje midis elektroneve dhe fononeve). Funksioni i shpërndarjes së elektroneve n(k, l, t) kënaq K. u. B. lloji (1), në të cilin F = (E Dhe N - tensioni elektrik dhe mag. fusha, e - ngarkesa elektronike), dhe integrali i përplasjes ka formën

ku n=n( k ,l), - vektorët e valëve dhe numrat e zonave para dhe pas përplasjes, N= =N ( f, s) - funksioni i shpërndarjes së fononit, f Dhe s- vektori valor dhe polarizimi i fononeve, - fillimi. dhe energjia përfundimtare e elektronit pas ngacmimit të një fononi me energji - delta-f-tion, - elementet matricë të kalimit të elektroneve nga gjendja k, l në një gjendje , të cilat vlerësohen në bazë të përkufizimit. hipotezat për mekanizmin e bashkëveprimit të elektroneve me rrjetën. Shprehja (4) është marrë nën supozimin se koha e udhëtimit pa elektron është dukshëm më e madhe se pasiguria për kohën e përplasjes. Teoria e përçueshmërisë elektrike, termoelektrike. dhe galvano-magn. dukuritë në metale dhe gjysmëpërçues bazohen në zgjidhjen e ekuacioneve kuantike. B.

Në disa raste, i kondensuar sistemet, kur dihet natyra e lëvizjes termike, është e mundur të ndërtohet një ekuacion termik. B. për ngacmimet elementare (kuazigrimca). Për shembull, teoria e proceseve të transferimit të energjisë në kristale kristalore. rrjeta bazohet në këtë lloj ekuacioni. Nëse në shprehjen për potencial. Energjitë e rrjetës kufizohen në terma që janë kuadratikë në raport me zhvendosjet e atomeve, atëherë lëvizja termike e atomeve në një kristal përshkruhet duke përhapur lirshëm fononet - kuantet e dridhjeve normale të rrjetës. Marrja parasysh e kushteve të shkallës së 3-të çon në mundësinë e përplasjeve midis fononeve. Si rezultat, funksioni i shpërndarjes së fononit N(f, s) do të ndryshojë me kalimin e kohës sipas kinetikës. ur-nuyu

Koeficient në kub termat në zgjerimin e potencialit. energjia e kristalit në bazë të devijimeve të atomeve nga pozicioni i ekuilibrit, - dendësia. Ekuacioni (5) përshkruan përplasjet e trefishta të fononeve me shkatërrimin e dy fononeve dhe lindjen e njërit (dhe përpunon inverse me to). Është niveli i ekuilibrit të fononeve që lëvizin në një paketë valësh me shpejtësi grupore dhe që përplasen me njëri-tjetrin. Teoria e përçueshmërisë termike të kristaleve jopërçuese bazohet në zgjidhjen e ekuacionit (5) për devijime të vogla nga ai statistikor. ekuilibër.

K.u. B. është gjithashtu i zbatueshëm për proceset në të cilat grimcat pësojnë transformime të ndërsjella, për shembull, në teorinë e dusheve të formuara kur grimcat kozmike goditen. grimcat me energji të lartë në atmosferë. Në këtë rast, kinetike Nivelet janë përpiluar si një sistem i niveleve të bilancit për tarifat. grimcat dhe fotonet në një interval të caktuar energjie dhe momenti. Këto ekuacione shprehin faktin se një ndryshim në funksionin e shpërndarjes (përveç efekteve të shpërndarjes) ndodh për shkak të formimit të çifteve të ngarkesave. grimcat fotone dhe emetimi i ngarkesave. grimcat e fotoneve në formë bremsstrahlung në fushën e bërthamave.

Teoria e kaskadës së dusheve bazohet në zgjidhjen e këtyre ekuacioneve.

Ndezur. shih nën artikujt Kinetic teoria e gazeve. Kinetika fizike. D. Ya Zubarev.

• - ekuacioni për probabilitetin e shpërndarjes së një sistemi kuantik mbi gjendjet kuantike. Themeluar nga W. Pauli në 1928. K. u. O. është një kinetike kuantike...

  Enciklopedi fizike

• - ...

  Enciklopedi fizike

• - në teorinë kinetike të gazeve - një ekuacion linear integro-diferencial që përshkruan përafërsisht evolucionin e një funksioni të shpërndarjes me një grimcë të një gazi mjaft të rrallë pa shkallë të brendshme lirie...

  Enciklopedia Matematikore

• - ekuacioni i funksionit statistikor joekuilibri. fizika, e përdorur në teorinë e gazeve, aerodinamikën, fizikën e plazmës, teorinë e kalimit të grimcave nëpër materie, teorinë e transferimit të rrezatimit...

  Enciklopedia Matematikore

• -, një drejtim avangardë në artet moderne plastike, bazuar në krijimin e një efekti estetik me ndihmën e instalimeve lëvizëse...

  Enciklopedia e artit

• - arti që u shfaq në vitin 1950. rrjedhë, e orientuar drejt dinamikës hapësinore. eksperimente me jo-tradicionale...

  Enciklopedia e Studimeve Kulturore

• - Shiko dëmtimet mekanike...
• - një lloj arme veprimi i së cilës bazohet në përdorimin e saj energjia kinetike elementë shkatërrues, të karakterizuar kryesisht nga shpejtësia e konsiderueshme e takimit të tyre me pengesën...

  Fjalor i termave të urgjencës

• - kinetike...

  Enciklopedia e teknologjisë

• - 1) në fizikën statistikore - një ekuacion për funksionin e shpërndarjes me një grimcë të një sistemi të shumësisë. grimcat që përshkruajnë evolucionin e sistemit me kalimin e kohës...

  Shkenca natyrore. fjalor enciklopedik

• - shih Dridhja e qëllimshme...

  I madh fjalor mjekësor

• - reaksion kimik karburanti dhe oksiduesi, i parapërzier në formën e një përzierjeje të djegshme në mikserin e pajisjes djegëse të karburantit...

  Fjalor Enciklopedik i Metalurgjisë

• - ekuacioni për funksionin e shpërndarjes f të molekulave të gazit mbi shpejtësitë ν dhe koordinatat r, duke përshkruar procese joekuilibri në gazrat me densitet të ulët...

  I madh Enciklopedia Sovjetike

• - një drejtim avangardë në artet moderne plastike, bazuar në krijimin e një efekti estetik me ndihmën e instalimeve lëvizëse. Origjina në vitet 1920 - 30. , por mori formë në vitet '60....

  Enciklopedi moderne

• - Art KINETIC - krijimi i një efekti estetik duke përdorur instalime lëvizëse. Arti kinetik filloi në vitet 1920 dhe 30. , por mori formë në vitet 1960. ...
• - Ekuacioni KINETIK - 1) in fizika statistikore- një ekuacion për një funksion të shpërndarjes me një grimcë të një sistemi me shumë grimca, duke përshkruar evolucionin e sistemit me kalimin e kohës...

  Fjalor i madh enciklopedik

"EKUACIONI KINETIK i Boltzmann" në libra

Ekuacioni termik

autor Arnold Vladimir Igorevich

Ekuacioni i përçueshmërisë termike Unë rashë nëpër akull pa ski në ditët e para të majit, duke kaluar akullin e liqenit qindra metra të gjatë "Miru - Mir", i cili tani është pjesë e Moskës. Filloi kur akulli filloi të përkulej pak poshtë meje, dhe uji u shfaq nën atletet e mia. Shpejt kuptova se forma e akullit

Arti kinetik (nga greqishtja: kinesis - lëvizje)

Nga libri Leksiku i joklasikëve. Kultura artistike dhe estetike e shekullit të 20-të. autor Ekipi i autorëve

ART KINETIK

Nga libri Postmodernizmi [Enciklopedi] autor Gritsanov Alexander Alekseevich

ART KINETIK ART KINETIK - drejtimi artistik në neokonstruktivizëm (shih neokonstruktivizëm), i fokusuar te krijimi modele dinamike projektuar për të përcjellë thelbin e lëvizjes (një objekt specifik lëvizës) dhe krijuar nga

ekuacioni i Shrodingerit; Ekuacioni i Dirakut

Nga libri Mendja e re e mbretit [Për kompjuterët, të menduarit dhe ligjet e fizikës] nga Penrose Roger

ekuacioni i Shrodingerit; Ekuacioni i Dirakut Më herët në këtë kapitull përmenda ekuacionin e Shrodingerit, i cili është një ekuacion përcaktues i mirëpërcaktuar i ngjashëm në shumë aspekte me ekuacionet e fizikës klasike. Rregullat thonë se përderisa

5. Shpërndarja Maxwell (shpërndarja e shpejtësisë së molekulave të gazit) dhe Boltzmann

Nga libri Fizika Mjekësore autor Podkolzina Vera Alexandrovna

5. Shpërndarja Maxwell (shpërndarja molekulat e gazit sipas shpejtësive) dhe shpërndarja Boltzmann Maxwell - në një gjendje ekuilibri, parametrat e gazit (presioni, vëllimi dhe temperatura) mbeten të pandryshuara, por mikrostatet - marrëveshje reciproke molekulat, të tyre

EKUACIONI KINETIK I BOLZMANIT- numër i plotë-diferencial ekuacioni, i cili plotësohet nga grimca e vetme jo ekuilibër funksionet e shpërndarjes sistemet e një numri të madh grimcash, për shembull, shpërndarja e molekulave të gazit sipas shpejtësisë dhe koordinatave r, funksionet e shpërndarjes së elektroneve në një metal, në një kristal etj K.u. B. - kryesore nivel mikroskopik teoria e proceseve jo ekuilibër ( kinetika fizike), veçanërisht teoria kinetike e gazeve. K.u. B. në kuptimin e ngushtë të emrit. e përftuar nga L. Boltzmann (L. Boltzmann) kinetike. Ekuacioni për gazet është i vogël, molekulat e të cilave i binden klasikes. mekanika. K.u. B. për

kuazigrimcave dr= =dxdydz) dhe shpreh faktin se ndryshimi i shpërndarjes së grimcave funksionon me kalimin e kohës t ndodh për shkak të lëvizjes së grimcave nën ndikimin e ndikimeve të jashtme.

forcat dhe përplasjet mes tyre. Për një gaz të përbërë nga grimca të të njëjtit lloj, K. at. B. duket si F= = F(r ku është ndryshimi në densitetin e numrit të grimcave në një element të vëllimit fazor për njësi të kohës,,t)

- forca që vepron në grimcë (mund të varet edhe nga shpejtësia), - ndryshimi i funksionit të shpërndarjes për shkak të përplasjeve (integrali i përplasjes). Termat e dytë dhe të tretë të ekuacionit (1) karakterizojnë përkatësin ndryshimet në funksionin e shpërndarjes si rezultat i lëvizjes së grimcave në hapësirë ​​dhe veprimit të ndikimeve të jashtme. forcë Ndryshimi i tij, i shkaktuar nga përplasjet e grimcave, shoqërohet me largimin e grimcave nga elementi i vëllimit fazor gjatë të ashtuquajturës. përplasjet e drejtpërdrejta dhe plotësimi i vëllimit me grimca që kanë përjetuar përplasje "të kundërta". Nëse i llogaritni përplasjet sipas ligjeve të klasikes mekanikë dhe supozojmë se nuk ka korrelacion midis dinamikës. gjendjet e përplasjes së molekulave, atëherë Shpejtësitë e grimcave para përplasjes janë shpejtësitë e të njëjtave grimca pas përplasjes, vlera lidhet. shpejtësia e përplasjes së grimcave, - diferenciale. eff. seksion kryq i shpërndarjes së grimcave në një kënd të fortë në laborator. sistemi i koordinatave, - këndi ndërmjet relativ. shpejtësia dhe linja e qendrave. Për shembull, për sferat e ngurtë elastike me një rreze R, = , për grimcat që bashkëveprojnë sipas ligjit qendror. forcë, (

b - parametri i ndikimit, - këndi azimutal i vijës së qendrave). K.u. B. merr parasysh vetëm përplasjet në çift ndërmjet molekulave; është e vlefshme me kusht që gjatësia e rrugës së lirë.

molekulat janë dukshëm më të mëdha se dimensionet lineare të rajonit në të cilin ndodh përplasja (për një gaz me grimca elastike ky është një rajon i rendit të diametrit të grimcave). Prandaj K. u. B. i aplikueshëm për gazrat që nuk janë shumë të dendur. Përndryshe do të jetë e padrejtë. supozimi i mungesës së korrelacionit ndërmjet gjendjeve të grimcave që përplasen (hipoteza e kaosit molekular). Nëse sistemi është në statistikë ekuilibri, atëherë integrali i përplasjes (2) zhduket dhe zgjidhja e ekuacionit B. është Shpërndarja Maxwell Me një qasje më rigoroze për ndërtimin e K. në. B. vijnë nga ekuacionet e Liouville për dendësinë e shpërndarjes së të gjitha molekulave të gazit në hapësirën fazore, nga e cila fitohet një sistem ekuacionesh për funksionet e shpërndarjes së një, dy molekulave etj.

Vendimi i K B. me zbërthim koeficientët kinetikë supozimet për forcat e bashkëveprimit midis grimcave - tema e kinetikës. teoria e gazeve, e cila lejon llogaritjen dhe merrni makroskopike. ekuacioni për proceset e transferimit (.

viskoziteti, difuzioni, përçueshmëria termike)

Për gazet kuantike vlerat e eff. seksionet kryq llogariten në bazë të padallueshmërisë së grimcave identike dhe faktit që probabiliteti i një përplasjeje varet jo vetëm nga produkti i funksioneve të shpërndarjes së grimcave që përplasen, por edhe nga funksionet e shpërndarjes së grimcave pas përplasjes. Si rezultat i kësaj, probabiliteti i përplasjes do të ulet për fermionet dhe do të rritet për bozonet. Operatori i përplasjes në rastin kuantik merr formën ku korrespondon shenja minus Statistikat Fermi - Dirac , dhe shenja plus është Statistikat Bose - Ajnshtajni, g g=2- statistikore pesha e gjendjes (g = l për grimcat me rrotullim të barabartë me zero dhe

për grimcat me rrotullim), është momenti i grimcës. Funksionet janë normalizuar në mënyrë që të përfaqësojnë mesataren. numri i grimcave në një pikë. Funksionet e ekuilibrit të shpërndarjeve Fermi dhe Bose bëjnë që operatori i përplasjes (3) të zhduket. Një rast i rëndësishëm i veçantë i K.u. B. është kinetik. ekuacioni për neutronet, të cilat shpërndahen dhe ngadalësohen nga bërthamat e mediumit. Në këtë rast, ext. Unë nuk kam forcë dhe në ekuacionin (1) duhet të vendos F=0.

. Dendësia e numrit të neutroneve është zakonisht e vogël, kështu që përplasjet ndërmjet tyre mund të neglizhohen dhe mund të merren parasysh vetëm përplasjet e tyre me bërthamat e mediumit (shih. k; dhe numrat e energjisë zonave l Difuzioni i neutronit, moderimi i neutronit) Proceset e transferimit të lidhura me lëvizjen e elektroneve në një metal mund të studiohen gjithashtu duke përdorur rrezatimin kozmik. B. Në mungesë të një rrjete, elektronet përhapen lirshëm në metal dhe përshkruhen si të moduluara me periudhën e rrjetës dhe në varësi të) kënaq K. u. B. lloji (1), në të cilin F = (E Dhe . Lëvizja termike e atomeve të rrjetës prish periodicitetin dhe çon në shpërndarjen e elektroneve (përplasje midis elektroneve dhe fononeve). Funksioni i shpërndarjes së elektroneve n(k, l, t N- tensioni elektrik dhe mag. fusha,

ku n=n( k ,e- elektron), dhe integrali i përplasjes ka formën N= =N ( f l), - vektorët e valëve dhe numri i zonave para dhe pas përplasjes, f Dhe s, s) - funksioni i shpërndarjes së fononit, k, l- vektori valor dhe polarizimi i fononeve, - fillimi. dhe energjia përfundimtare e elektronit pas ngacmimit të një fononi me energji - delta-f-tion, , të cilat vlerësohen në bazë të përkufizimit. hipotezat për mekanizmin e bashkëveprimit të elektroneve me rrjetën. Shprehja (4) është marrë nën supozimin se koha e udhëtimit pa elektron është dukshëm më e madhe se pasiguria për kohën e përplasjes. Teoria e përçueshmërisë elektrike, termoelektrike. dhe galvano-magn. dukuritë në metale dhe gjysmëpërçues bazohen në zgjidhjen e ekuacioneve kuantike. B.

Në disa raste, i kondensuar N (f, s sistemet, kur dihet natyra e lëvizjes termike, është e mundur të ndërtohet një ekuacion termik. B. për ngacmimet elementare (kuazigrimca). Për shembull, teoria e proceseve të transferimit të energjisë në kristale kristalore. rrjeta bazohet në këtë lloj ekuacioni. Nëse në shprehjen për potencial. Energjitë e rrjetës janë të kufizuara në terma që janë kuadratikë në raport me zhvendosjet e atomeve, atëherë lëvizja termike e atomeve në një kristal përshkruhet duke përhapur lirshëm fononet - kuantet e dridhjeve normale të rrjetës. Marrja parasysh e kushteve të shkallës së 3-të çon në mundësinë e përplasjeve midis fononeve. Si rezultat, funksioni i shpërndarjes së fononit

) do të ndryshojë me kalimin e kohës sipas kinetikës. ur-nuyu

Koeficient në kub termat në zgjerimin e potencialit. energjia e kristalit në bazë të devijimeve të atomeve nga pozicioni i ekuilibrit, - dendësia.

Ekuacioni (5) përshkruan përplasjet e trefishta të fononeve me shkatërrimin e dy fononeve dhe lindjen e njërit (dhe përpunon inverse me to). Është niveli i ekuilibrit të fononeve që lëvizin me shpejtësi grupore dhe përplasen me njëri-tjetrin. Teoria e kristaleve jopërcjellëse bazohet në zgjidhjen e ekuacionit (5) për devijime të vogla nga ato statistikore. ekuilibër.

K.u. B. është gjithashtu i zbatueshëm për proceset në të cilat grimcat pësojnë transformime të ndërsjella, për shembull, në teorinë e dusheve të formuara kur grimcat kozmike goditen. grimcat me energji të lartë në atmosferë. Në këtë rast, kinetike Nivelet janë përpiluar si një sistem i niveleve të bilancit për tarifat. grimcat dhe fotonet në një interval të caktuar energjie dhe momenti. Këto ekuacione shprehin faktin se një ndryshim në funksionin e shpërndarjes (përveç efekteve të shpërndarjes) ndodh për shkak të formimit të çifteve të ngarkesave. grimcat fotone dhe emetimi i ngarkesave. grimcat e fotoneve në formë bërthamash në fushë. Teoria e kaskadës së dusheve bazohet në zgjidhjen e këtyre ekuacioneve. Ndezur.

. shih nën artikujt Kinetic

Nëse përplasjet e molekulave mund të neglizhohen fare, atëherë çdo molekulë gazi do të përfaqësonte një nënsistem të mbyllur dhe teorema e Liouville do të ishte e vlefshme për funksionin e shpërndarjes së molekulave, sipas së cilës

(shih V, § 3). Derivati ​​total këtu nënkupton diferencimin përgjatë trajektores së fazës së molekulës, e përcaktuar nga ekuacionet e saj të lëvizjes. Kujtojmë se teorema e Liouville vlen për një funksion shpërndarjeje të përcaktuar saktësisht si dendësi në hapësirën fazore (d.m.th., në hapësirën e ndryshoreve që janë të konjuguara kanonikisht koordinatat dhe momentet e përgjithësuara).

Kjo rrethanë nuk ndërhyn. Natyrisht, fakti që vetë funksioni f mund të shprehet më pas përmes çdo ndryshoreje tjetër.

Në mungesë të një fushe të jashtme, sasitë Γ të një molekule që lëviz lirshëm mbeten konstante dhe ndryshojnë vetëm koordinatat e saj; ku

Nëse gazi është, për shembull, në një fushë të jashtme që vepron në koordinatat e qendrës së inercisë së molekulës (të themi, në fushën gravitacionale), atëherë

ku është forca që vepron në molekulë nga fusha.

Marrja parasysh e përplasjeve cenon barazinë (3.1); funksioni i shpërndarjes pushon së qeni konstant përgjatë trajektoret fazore. Në vend të (3.1) ne duhet të shkruajmë

ku simboli nënkupton shpejtësinë e ndryshimit të funksionit të shpërndarjes për shkak të përplasjeve: ka një ndryshim për njësi të kohës për shkak të përplasjeve në numrin e molekulave në vëllimin fazor Shkruar në formë

ekuacioni (3.4) (nga (3.2)) përcakton ndryshimin total në funksionin e shpërndarjes në një pikë të caktuar në hapësirën fazore; termi është një rënie (në 1 s) në numrin e molekulave në një element të caktuar të hapësirës fazore, e shoqëruar me lëvizjen e lirë të tyre.

Sasia quhet integral i përplasjes dhe ekuacionet e formës (3.4) në përgjithësi quhen ekuacione kinetike. Natyrisht, ekuacioni kinetik bëhet kuptimi i vërtetë vetëm pasi të vendoset forma e integralit të përplasjes. Tani do t'i drejtohemi kësaj çështjeje.

Kur dy molekula përplasen, vlerat e vlerave të tyre Γ ndryshojnë. Prandaj, çdo përplasje e përjetuar nga një molekulë e nxjerr atë nga një interval i caktuar, për përplasje të tilla flitet si akte ikjeje.

Numri i përgjithshëm i përplasjeve me tranzicione me të gjitha vlerat e mundshme; sepse një Γ e dhënë që ndodh për njësi të kohës në një vëllim dV është e barabartë me integralin

Sidoqoftë, ndodhin edhe përplasje të tilla ("arritja"), si rezultat i të cilave molekulat që fillimisht kishin vlerat e vlerave të Γ që shtriheshin jashtë intervalit të caktuar bien në këtë interval. Këto janë përplasje me tranzicione përsëri me të gjitha të mundshmet për një G të dhënë. Numri i përgjithshëm i përplasjeve të tilla (për njësi të kohës në vëllimin dV) është i barabartë me

Duke zbritur numrin e akteve të nisjes nga numri i akteve të mbërritjes, gjejmë se si rezultat i të gjitha përplasjeve numri i molekulave në fjalë rritet me 1 s.

ku për shkurtim shënojmë

Kështu, gjejmë shprehjen e mëposhtme për integralin e përplasjes:

Në termin e dytë në integrand, integrimi mbi zbatohet vetëm për funksionin w, faktorët nuk varen nga këto variabla. Prandaj, kjo pjesë e integralit mund të transformohet duke përdorur relacionin e unitaritetit (2.9). Si rezultat, integrali i përplasjes merr formën

në të cilin të dy termat hyjnë me të njëjtin koeficient.

Pasi vendosëm formën e integralit të përplasjes, ne patëm mundësinë për të shkruar ekuacionin kinetik

Ky ekuacion integro-diferencial quhet edhe ekuacioni Boltzmann. Ajo u themelua për herë të parë nga themeluesi i teorisë kinetike, Ludwig Boltzmann, në 1872.

Shpërndarja statistikore e ekuilibrit duhet të plotësojë ekuacionin kinetik në mënyrë identike. Ky kusht është vërtet i plotësuar. Shpërndarja e ekuilibrit është e palëvizshme dhe (në mungesë të një fushe të jashtme) homogjene; Kjo është arsyeja pse Pjesa e dorës së majtë ekuacioni (3.8) zhduket në mënyrë identike. E barabartë me zero edhe integrali i përplasjes: për shkak të barazisë (2.5), ai zhduket integrand. Natyrisht, shpërndarja e ekuilibrit për një gaz në një fushë të jashtme gjithashtu plotëson ekuacionin kinetik. Mjafton të kujtojmë se ana e majtë e ekuacionit kinetik është derivati ​​total df/dt, i cili në mënyrë identike zhduket për çdo funksion në varësi vetëm të integraleve të lëvizjes; shpërndarja e ekuilibrit shprehet vetëm përmes integralit të lëvizjes - energjisë totale të molekulës.

Në nxjerrjen e ekuacionit kinetik të paraqitur, përplasjet e molekulave konsideroheshin në thelb si ngjarje të menjëhershme që ndodhin në një pikë të hapësirës. Prandaj është e qartë se ekuacioni kinetik lejon, në parim, të monitorohet ndryshimi në funksionin e shpërndarjes vetëm në intervale kohore që janë të mëdha në krahasim me kohëzgjatjen e përplasjeve dhe në distanca që janë të mëdha në krahasim me madhësinë e rajonit të përplasjes. . Këto të fundit janë të rendit të madhësisë së rrezes së veprimit të forcave molekulare d (për molekulat neutrale që përkojnë me madhësitë e tyre); koha e përplasjes është e rendit të madhësisë. Këto vlera vendosin kufirin e poshtëm të distancave dhe kohëzgjatjeve, shqyrtimi i të cilave lejohet nga ekuacioni kinetik (ne do të kthehemi në origjinën e këtyre kufizimeve në § 16). Por në fakt, zakonisht nuk ka nevojë (ose as mundësi) për një të tillë pershkrim i detajuar sjellja e sistemit; kjo do të kërkonte, në veçanti, specifikimin e kushteve fillestare (shpërndarja hapësinore e molekulave të gazit) me të njëjtën saktësi, gjë që është praktikisht e pamundur. Në të vërtetë çështje fizike ka parametra karakteristikë të gjatësisë L dhe kohës T të imponuara në sistem nga kushtet e problemit (gjatësitë karakteristike të gradientëve të sasive makroskopike të një gazi, gjatësitë dhe periudhat e valëve zanore që përhapen në të, etj.). Në probleme të tilla, mjafton të monitorohet sjellja e sistemit në distanca dhe kohë që janë të vogla vetëm në krahasim me këto L dhe T. Me fjalë të tjera, elementet fizikisht infinitimale të vëllimit dhe kohës duhet të jenë të vogla vetëm në krahasim me L dhe T. T. Kushtet fillestare të problemit janë gjithashtu të specifikuara si mesatare mbi elementë të tillë.

Për një gaz monatomik, sasitë Γ reduktohen në tre komponentë të momentit atomik , dhe sipas (2.8) funksioni w në integralin e përplasjes mund të zëvendësohet nga funksioni

Pasi e kemi shprehur më pas këtë funksion përmes seksionit kryq të përplasjes diferenciale sipas shih (2.2)), marrim

Funksioni i tij dhe seksioni kryq i përcaktuar sipas (2.2) përmbajnë -faktorë funksionalë që shprehin ligjet e ruajtjes së momentit dhe energjisë, për shkak të të cilave variablat (për një të dhënë ) në fakt nuk janë të pavarura. Por pasi integrali i përplasjes shprehet në formën (3.9), mund të supozojmë se këto -funksione tashmë janë eliminuar nga integrimet përkatëse; atëherë do të jetë prerja tërthore e zakonshme e shpërndarjes, në varësi (për një ir të caktuar) vetëm nga këndi i shpërndarjes.