Arsyeja e amortizimit është se në çdo sistem oscilues, përveç forcës rivendosëse, gjithmonë ka lloje te ndryshme, rezistenca e ajrit

etj., të cilat ngadalësojnë lëvizjen. Me çdo lëkundje, një pjesë shpenzohet për punën kundër forcave të fërkimit. Në fund të fundit, kjo punë konsumon të gjithë furnizimin me energji të furnizuar fillimisht në sistemin oscilues.

Kur merrnim parasysh , kishim të bënim me lëkundje natyrore ideale, rreptësisht periodike. Duke përdorur një model të tillë për të përshkruar lëkundjet reale, ne qëllimisht lejojmë pasaktësi në përshkrim. Megjithatë thjeshtim i ngjashëmështë i përshtatshëm për faktin se në shumë sisteme osciluese amortizimi i lëkundjeve të shkaktuara nga fërkimi është vërtet i vogël: sistemi arrin të bëjë shumë lëkundje përpara se ato të ulen ndjeshëm.

Grafikët e lëkundjeve të amortizuara

Në prani të amortizimit, lëkundjet natyrore (Fig. 1) pushojnë së qeni harmonike. Për më tepër, një lëkundje e amortizuar pushon së qeni një proces periodik - fërkimi ndikon jo vetëm në amplituda e lëkundjeve (d.m.th., ajo shkakton amortizimin), por edhe kohëzgjatjen e lëkundjeve. Me rritjen e fërkimit, rritet koha e nevojshme që sistemi të përfundojë një lëkundje të plotë. Grafiku i lëkundjeve të amortizuara është paraqitur në Fig. 2.

Fig.1. Orari falas dridhjet harmonike

Fig.2. Grafiku i lëkundjeve të amortizuara

Një tipar karakteristik i sistemeve osciluese është se fërkimi i lehtë ndikon në periudhën e lëkundjes në një masë shumë më të vogël se amplituda. Kjo rrethanë luajti një rol të madh në përmirësimin e orëve. Ora e parë u ndërtua nga fizikani dhe matematikani holandez Christiaan Huygens në vitin 1673. Ky vit mund të konsiderohet data e lindjes së mekanizmave moderne të orës. Lëvizja e një ore me një lavjerrës është pak e ndjeshme ndaj ndryshimeve të shkaktuara nga fërkimi, i cili në rast i përgjithshëm varen nga shumë faktorë, ndërsa shpejtësia e orëve të mëparshme pa lavjerrës ishte shumë e varur nga fërkimi.

Në praktikë, ekziston nevoja për të zvogëluar dhe rritur amortizimin e lëkundjeve. Për shembull, kur dizajnojnë lëvizjet e orës, ata përpiqen të zvogëlojnë amortizimin e lëkundjeve të balancuesit të orës. Për ta bërë këtë, boshti i balancuesit është i pajisur me maja të mprehta, të cilat mbështeten në kushineta konike të lëmuara mirë të bëra prej guri të fortë (agat ose rubin). Përkundrazi, në shumë instrumente matëse është shumë e dëshirueshme që pjesa lëvizëse e pajisjes të instalohet shpejt gjatë procesit të matjes, por duke bërë numer i madh hezitim. Për të rritur zbutjen në këtë rast, përdoren amortizues të ndryshëm - pajisje që rrisin fërkimin dhe, në përgjithësi, humbjen e energjisë.

Të gjitha sistemet reale osciluese janë disipative. Energjia e dridhjeve mekanike të një sistemi të tillë harxhohet gradualisht në punën kundër forcave të fërkimit, prandaj dridhjet e lira gjithmonë zbehen - amplituda e tyre zvogëlohet gradualisht. Në shumë raste, kur nuk ka fërkim të thatë, si përafrim i parë mund të supozojmë se me shpejtësi të ulët lëvizjeje forcat që shkaktojnë zbutje dridhjet mekanike, janë proporcionale me shpejtësinë. Këto forca, pavarësisht nga origjina e tyre, quhen forca të rezistencës.

Le ta rishkruajmë këtë ekuacion si më poshtë:

dhe shënoni:

ku paraqet frekuencën me të cilën do të ndodhnin lëkundjet e lira të sistemit në mungesë të rezistencës mjedisore, d.m.th. në r = 0. Kjo frekuencë quhet frekuencë natyrore e lëkundjes së sistemit; β është koeficienti i dobësimit. Pastaj

(7.19)

Zgjidhjen e ekuacionit (7.19) do ta kërkojmë në formë

ku U është një funksion i t.

Le ta diferencojmë këtë shprehje dy herë në lidhje me kohën t dhe, duke zëvendësuar vlerat e derivatit të parë dhe të dytë në ekuacionin (7.19), marrim

Zgjidhja e këtij ekuacioni varet dukshëm nga shenja e koeficientit në U. Le të shqyrtojmë rastin kur ky koeficient është pozitiv. Le të prezantojmë shënimin atëherë Me një ω reale, zgjidhja e këtij ekuacioni, siç e dimë, është funksioni

Kështu, në rastin e rezistencës së ulët të mediumit, zgjidhja e ekuacionit (7.19) do të jetë funksioni

(7.20)

Grafiku i këtij funksioni është paraqitur në Fig. 7.8. Vijat me pika tregojnë kufijtë brenda të cilëve shtrihet zhvendosja e pikës lëkundëse. Madhësia quhet frekuenca ciklike natyrore e lëkundjeve sistemi disipativ. Lëkundjet e amortizuara përfaqësojnë lëkundje jo periodike, sepse ato nuk përsërisin kurrë, për shembull, vlerat maksimale të zhvendosjes, shpejtësisë dhe nxitimit. Sasia zakonisht quhet periudha e lëkundjeve të amortizuara, ose më saktë, periudha e kushtëzuar e lëkundjeve të amortizuara,

Logaritmi natyror Raporti i amplitudave të zhvendosjes që ndjekin njëra-tjetrën përmes një intervali kohor të barabartë me periudhën T quhet zvogëlim logaritmik i amortizimit.

Le të shënojmë me τ periudhën kohore gjatë së cilës amplituda e lëkundjeve zvogëlohet me e herë. Pastaj

ku

Prandaj, koeficienti i zbutjes është sasi fizike, reciproke me periudhën kohore τ, gjatë së cilës amplituda zvogëlohet me një faktor e. Sasia τ quhet koha e relaksimit.

Le të jetë N numri i lëkundjeve pas të cilave amplituda zvogëlohet me një faktor e, Pastaj

Rrjedhimisht, zvogëlimi logaritmik i amortizimit δ është një sasi fizike, reciproke e një numri lëkundjet N, pas së cilës amplituda zvogëlohet me e herë

Deri më tani, ne kemi konsideruar lëkundjet harmonike që lindin, siç u përmend tashmë, në prani të një force të vetme në sistem - një forcë elastike ose një forcë pothuajse elastike. Në natyrën përreth nesh, në mënyrë rigoroze, luhatje të tilla nuk ekzistojnë. NË sisteme reale Përveç forcave elastike ose thuajse elastike, ka gjithmonë forca të tjera që ndryshojnë në natyrën e veprimit nga forcat elastike - këto janë forca që lindin gjatë bashkëveprimit të trupave të sistemit me mjedisi - forcat shpërndarëse. Rezultati përfundimtar Veprimi i tyre është shndërrimi i energjisë mekanike të një trupi në lëvizje në nxehtësi. Me fjalë të tjera, shpërndarja ndodh ose shpërndarje energji mekanike. Procesi i shpërndarjes së energjisë nuk është thjesht mekanik dhe për përshkrimin e tij kërkon përdorimin e njohurive nga degët e tjera të fizikës. Në kuadrin e mekanikës, ne mund ta përshkruajmë këtë proces duke futur forcat e fërkimit ose rezistencës. Si rezultat i shpërndarjes së energjisë, amplituda e lëkundjes zvogëlohet. Në këtë rast, është zakon të thuhet se dridhjet e një trupi ose sistemi trupash zbehen. Lëkundjet e amortizuara nuk janë më harmonike, pasi amplituda dhe frekuenca e tyre ndryshojnë me kalimin e kohës.

Lëkundjet që për shkak të shpërndarjes së energjisë në një sistem lëkundës ndodhin me një amplitudë në rënie të vazhdueshme quhen venitje. Nëse një sistem oscilues, i hequr nga një gjendje ekuilibri, lëkundet vetëm nën ndikimin forcat e brendshme, pa rezistencë dhe shpërndarje (shpërndarje) të energjisë, atëherë lëkundjet që ndodhin në të quhen falas(ose vet) lëkundjet e pamposhtura. Në të vërtetë sistemet mekanike me shpërndarjen e energjisë, lëkundjet e lira janë gjithmonë të zbehta. Frekuenca e tyre co ndryshon nga frekuenca co 0 e lëkundjeve të sistemit pa amortizues (sa më i madh të jetë ndikimi i forcave të rezistencës, aq më i madh është ndikimi i forcave të rezistencës.

Le të shqyrtojmë lëkundjet e amortizuara duke përdorur shembullin lavjerrësi pranveror. Le të kufizohemi në marrjen në konsideratë të lëkundjeve të vogla. Në shpejtësi të ulëta të lëkundjeve, mund të merret forca e rezistencës proporcionale me madhësinë ritmet e zhvendosjes osciluese

Ku v = 4 - shpejtësia e lëkundjes; G - një faktor proporcionaliteti i quajtur koeficienti i tërheqjes. Shenja minus në shprehjen (2.79) për forcën e rezistencës është për faktin se ajo është e drejtuar drejt shpejtësi të kundërt lëvizjet e një trupi lëkundës.

Njohja e shprehjeve për forcën kuazi-elastike i^p = - dhe forcën e rezistencës Fc= duke marrë parasysh veprim të përbashkët këto forca, ne mund të shkruajmë ekuacionin dinamik të lëvizjes së një trupi që kryen lëkundje të amortizuara

Në këtë ekuacion, ne zëvendësojmë koeficientin (3 në përputhje me formulën (2.49) me Ti], pas së cilës ndajmë ekuacionin e fundit dhe marrim

Ne do të kërkojmë një zgjidhje të ekuacionit (2.81) në funksion të kohës së formës

Këtu është ende e pasigurt konstante u. Për thjeshtësi, do të supozohet faza fillestare në shqyrtimin tonë e barabartë me zero, d.m.th. kronometrin mund ta “ndezjmë” kur zhvendosja osciluese kalon në pozicionin e ekuilibrit (koordinata zero).

Ne mund të përcaktojmë vlerën e y duke zëvendësuar në ekuacioni diferencial lëkundjet e amortizuara (2.81) të zgjidhjes së propozuar (2.82), si dhe shpejtësitë e marra prej saj

dhe nxitimi

Zëvendësimi i (2.83) dhe (2.84) së bashku me (2.82) në (2.81) jep Pasi të zvogëlohet me /1 () e": "dhe duke shumëzuar me "-1" marrim zgjidhjen e kësaj ekuacioni kuadratik në lidhje me y, kemi

Duke zëvendësuar y në (2.82), ne gjejmë se si zhvendosja varet nga koha gjatë lëkundjeve të amortizuara. Le të prezantojmë shënimin

ku simboli c tregon frekuencën këndore të lëkundjeve të amortizuara dhe me frekuencën këndore dridhje të lira pa zbutje. Mund të shihet se për S > 0 frekuenca e lëkundjeve të amortizuara është gjithmonë më e vogël se frekuenca

Kështu, dhe, për rrjedhojë, zhvendosja gjatë lëkundjeve të amortizuara mund të shprehet si

Zgjedhja e shenjës "+" ose "-" në eksponentin e dytë është arbitrare dhe korrespondon me një zhvendosje fazore të lëkundjeve me l. Ne do të shkruajmë lëkundjet e amortizuara duke marrë parasysh zgjedhjen e shenjës "+", atëherë shprehja (2.90) do të jetë

Kjo është varësia e dëshiruar e zhvendosjes nga koha. Mund të rishkruhet edhe në formë trigonometrike(i kufizuar në pjesën reale)

Varësia e dëshiruar nga amplituda A(t) herë pas here mund të paraqitet si

Ku A(,- amplituda në kohë t = 0.

Konstante 8, e barabartë sipas (2.88) me raportin e koeficientit të rezistencës G për të dyfishuar masën T trupi lëkundës quhet koeficienti i amortizimit të dridhjeve. Le të zbulojmë kuptimi fizik ky koeficient. Le të gjejmë kohën t gjatë së cilës amplituda e lëkundjeve të amortizuara do të ulet me e (baza e logaritmeve natyrore e = 2,72) herë. Për ta bërë këtë, le të vendosim

Duke përdorur relacionin (2.93), marrim: ose

prej nga vijon

Prandaj, koeficienti i dobësimit 8 është reciproke e kohës t, pas së cilës amplituda e lëkundjeve të amortizuara do të ulet me e herë. Sasia m, e cila ka dimensionin e kohës, quhet konstante kohore e një procesi oscilues të amortizuar.

Përveç koeficientit 8, i ashtuquajturi zvogëlimi logaritmik i amortizimit X, e barabartë me logaritmin natyror të raportit të dy amplitudave të dridhjeve të ndara nga njëra-tjetra për një periudhë kohe, e barabartë me periudhën T

Shprehja nën logaritëm, e treguar nga simboli d, quajtur thjesht zvogëlimi i luhatjeve (ulja e zbutjes).

Duke përdorur shprehjen e amplitudës (2.93), marrim:

Le të zbulojmë kuptimin fizik zvogëlimi logaritmik zbutje. Le të zvogëlohet amplituda e lëkundjeve me e herë pas N oscilimeve. Koha t gjatë së cilës trupi do të përfundojë N lëkundjet mund të shprehen përmes periudhës t = N.T. Duke e zëvendësuar këtë vlerë m në (2.97), marrim 8NT= 1. Që nga viti 67 "= A., atëherë NX = 1, ose

Prandaj, zvogëlimi i amortizimit logaritmikështë reciproke e numrit të lëkundjeve gjatë së cilës amplituda e lëkundjeve të amortizuara do të ulet me e herë.

Në disa raste, varësia e amplitudës së lëkundjes nga koha A(t)Është e përshtatshme për ta shprehur atë në termat e zvogëlimit logaritmik të amortizimit A. Eksponenti 6 1 Shprehjet (2.93) mund të shkruhen sipas (2.99) si më poshtë:

Pastaj shprehja (2.93) merr formën

ku eshte sasia, e barabartë me numrin N lëkundjet e bëra nga sistemi gjatë kohës t.

Tabela 2.1 tregon vlerat e përafërta (në rendin e madhësisë) të zvogëlimeve logaritmike të amortizimit të disa sistemeve osciluese.

Tabela 2.1

Vlerat e zvogëlimit të dobësimit të disa sistemeve osciluese

Le të analizojmë tani ndikimin e forcave të rezistencës në frekuencën e lëkundjeve. Kur një trup lëviz nga një pozicion ekuilibri dhe kthehet në një pozicion ekuilibri, një forcë rezistente do të veprojë mbi të gjatë gjithë kohës, duke e bërë atë të ngadalësohet.

Kjo do të thotë që të njëjtat seksione të shtegut gjatë lëkundjeve të amortizuara do të mbulohen nga trupi në një interval kohor më të madh sesa gjatë lëkundjeve të lira. Periudha e lëkundjeve të amortizuara T, prandaj do të ketë periudhë më të gjatë dridhjet e veta të lira. Nga shprehja (2.89) shihet qartë se diferenca në frekuenca bëhet më e madhe sa koeficient më të lartë zbutje b. Për b të mëdha (b > coo), lëkundjet e amortizuara degjenerojnë në proces aperiodik (jo periodik), në të cilin, në varësi të kushteve fillestare, sistemi kthehet në pozicionin e ekuilibrit menjëherë pa kaluar nëpër të, ose para se të ndalet ai kalon një herë në pozicionin e ekuilibrit (kryen vetëm një lëkundje) - shih Fig. 2.16.

Oriz. 2.16. Lëkundjet e amortizuara:

Në figurën 2.16, A tregon grafikun e varësisë %(t) Dhe A(t)(në 5 > co 0 dhe fazën fillestare coo, lëkundjet janë krejtësisht të pamundura (ky rast korrespondon me vlerën imagjinare të frekuencës së përcaktuar nga barazia (2.89). Sistemi bëhet amortizues, dhe procesi oscilues- aperiodike (Fig. 2.16, b).

• Shënimi exp(x) është ekuivalent me e*. Ne do të përdorim të dy format.
• Duke i hedhur një vështrim të përgjithshëm lëkundjeve kuptimin e plotë vendoset faza e lëkundjes kushtet fillestare, d.m.th. madhësia e zhvendosjes 4(0 dhe shpejtësia 4(0) në momentin fillestar të kohës (t = 0) dhe përfshin termin

Në sistemet reale osciluese, përveç forcave kuazi-elastike, ekzistojnë edhe forca të rezistencës së mediumit. Prania e forcave të fërkimit çon në shpërndarjen e energjisë dhe një ulje të amplitudës së dridhjeve. Duke ngadalësuar lëvizjen, forcat e fërkimit rrisin periudhën, d.m.th. zvogëlon frekuencën e lëkundjeve. Lëkundje të tilla nuk do të jenë harmonike.

Quhen lëkundje me amplitudë në rënie të vazhdueshme me kalimin e kohës për shkak të shpërndarjes së energjisë venitje . Me shpejtësi mjaft të ulëta, forca e fërkimit është proporcionale me shpejtësinë e trupit dhe drejtohet kundër lëvizjes

ku r është koeficienti i fërkimit, në varësi të vetive të mediumit, formës dhe madhësisë së trupit në lëvizje. Ekuacioni diferencial i lëkundjeve të amortizuara në prani të forcave të fërkimit do të ketë formën:

ose
(21)

Ku
- koeficienti i zbutjes,

- Frekuenca rrethore natyrore e dridhjeve të lira në mungesë të forcave të fërkimit.

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (21) në rastin e dobësimeve të vogla (
) është:

Ai ndryshon nga harmoniku (8) në atë që amplituda e lëkundjeve është:

(23)

është një funksion zvogëlues i kohës dhe frekuencës rrethore lidhur me frekuencën natyrore dhe koeficienti i zbutjes raport:

. (24)

Periudha e lëkundjeve të amortizuara është e barabartë me:

. (25)

Varësia e zhvendosjes X nga lëkundjet e amortizuara është paraqitur në Fig. 4.

C shkalla e uljes së amplitudës përcaktohet nga koeficienti i zbutjes .

Gjatë
amplituda (23) zvogëlohet me e ≈ 2,72 herë. Kësaj radhe zbutja natyrore quhet koha e relaksimit. Prandaj, koeficienti i amortizimit është reciprok i kohës së relaksimit:

.(26)

Shkalla e uljes së amplitudës së lëkundjeve karakterizohet nga zvogëlimi i amortizimit logaritmik. Le të jenë A(t) dhe A(t+T) amplituda e dy lëkundjeve të njëpasnjëshme që i korrespondojnë momenteve në kohë që ndryshojnë me një periodë. Pastaj lidhja:

(27)

thirrur zvogëlimi i amortizimit, e cila tregon sa herë zvogëlohet amplituda e lëkundjeve gjatë një kohe të barabartë me periudhën. Logaritmi natyror i këtij raporti është:

(28)

i quajtur zvogëlim i amortizimit logaritmik. Këtu, N e është numri i lëkundjeve të kryera gjatë kohës kur amplituda zvogëlohet me e herë, d.m.th. gjatë kohës së relaksimit.

Kështu, zvogëlimi logaritmik i amortizimit është reciproke e numrit të lëkundjeve, pas së cilës amplituda e lëkundjeve zvogëlohet me një faktor e.

Shkalla e rënies së energjisë së sistemit oscilues karakterizohet nga faktori i cilësisë Q. Faktori i cilësisë sistemi oscilues - një vlerë proporcionale me raportin e energjisë totale E(t) të sistemit oscilues me energjinë (- E), humbur gjatë periudhës T:

(29)

Energjia totale e sistemit oscilues në një moment arbitrar në kohë dhe për çdo vlerë të X ka formën:

(30)

Meqenëse energjia është proporcionale me katrorin e amplitudës, energjia e lëkundjeve të amplitudës zvogëlohet në proporcion me madhësinë
, ti mund te shkruash:

. (31)

Pastaj, sipas përkufizimit, shprehja për faktorin e cilësisë së sistemit oscilues do të ketë formën:

Këtu merret parasysh se për zbutje të vogla (1): 1st -2   ​​2.

Për rrjedhojë, faktori i cilësisë është proporcional me numrin e lëkundjeve N e të kryera nga sistemi gjatë kohës së relaksimit.

Faktori i cilësisë së sistemeve lëkundëse mund të ndryshojë shumë, për shembull, faktori i cilësisë së një lavjerrës fizik është Q~ 10 2, dhe faktori i cilësisë së një atomi, i cili është gjithashtu një sistem oscilues, arrin Q~ 10 8.

Si përfundim, vërejmë se me një koeficient amortizimi β = ω 0, periudha bëhet e pafundme T = ∞ (zbutja kritike). Me një rritje të mëtejshme të β, periudha T bëhet imagjinare, dhe zbutja e lëvizjes ndodh pa lëkundje, siç thonë ata, periodikisht. Ky rast i lëvizjes është paraqitur në Fig. 5. Amortizimi kritik (qetësimi) ndodh në një kohë minimale dhe është i rëndësishëm në instrumentet matëse, për shembull, në galvanometrat balistikë .

NË I DETYRUAR LËSHTIMET DHE REZONANCA

Nëse veprohet mbi një trup me masë m forcë elastike F y = -kX, forca e fërkimit
dhe forca periodike e jashtme
, atëherë kryen lëkundje të detyruara. Në këtë rast, ekuacioni diferencial i lëvizjes ka formën:

Ku
,
- koeficienti i zbutjes,
- frekuenca natyrore e lirë lëkundjet e vazhdueshme trupi, F 0 – amplituda, ω – frekuenca e forcës periodike.

Në momentin fillestar të kohës, puna e forcës së jashtme tejkalon energjinë që shpenzohet në fërkim (Fig. 6). Energjia dhe amplituda e dridhjeve të trupit do të rritet derisa e gjithë energjia e dhënë nga forca e jashtme të shpenzohet tërësisht për kapërcimin e fërkimit, i cili është proporcional me shpejtësinë. Prandaj, vendoset një ekuilibër në të cilin shuma e kinetike dhe energji potenciale rezulton të jetë konstante. Kjo gjendje karakterizon gjendjen e palëvizshme të sistemit.

Në këtë gjendje, lëvizja e trupit do të jetë harmonike me një frekuencë të barabartë me frekuencën e ngacmimit të jashtëm, por për shkak të inercisë së trupit, lëkundjet e tij do të zhvendosen në fazë në lidhje me vlerën e menjëhershme të periodikut të jashtëm. forca:

X = ACos(ωt + φ). (34)

Ndryshe nga lëkundjet e lira, amplituda A dhe faza  e lëkundjeve të detyruara nuk varen nga kushtet fillestare të lëvizjes, por do të përcaktohen vetëm nga vetitë e sistemit lëkundës, amplituda dhe frekuenca e forcës lëvizëse:

, (35)

. (36)

Mund të shihet se amplituda dhe zhvendosja e fazës varen nga frekuenca e forcës lëvizëse (Fig. 7, 8).

Një tipar karakteristik i lëkundjeve të detyruara është prania e rezonancës. Fenomeni një rritje e mprehtë e amplitudës së lëkundjeve të detyruara ndërsa frekuenca e forcës lëvizëse i afrohet frekuencës natyrore të lëkundjeve të lira të pamposhtura të trupit ω 0 quhet rezonancë mekanike . Amplituda e lëkundjeve të trupit në frekuencë rezonante
arrin vlerën e saj maksimale:

(37)

Lidhur me kurbat e rezonancës (shih Fig. 7), bëjmë komentet e mëposhtme. Nëse ω→ 0, atëherë të gjitha kthesat (shih gjithashtu (35)) vijnë në të njëjtën vlerë kufi jozero
, i ashtuquajturi devijimi statistikor. Nëse ω→ ∞, atëherë të gjitha kthesat në mënyrë asimptotike priren në zero.

Në kushtet e amortizimit të ulët (β 2 ‹‹ω 0 2), amplituda rezonante (shih (37))

(37a)

Në këtë kusht, marrim raportin e zhvendosjes rezonante me devijimin statik:

nga ku shihet qartë se rritja relative e amplitudës së lëkundjeve në rezonancë përcaktohet nga faktori i cilësisë së sistemit oscilues. Këtu, faktori i cilësisë është, në thelb, faktori i fitimit të përgjigjes
sistemet dhe me zbutje të ulët mund të arrijnë vlera të mëdha.

Kjo rrethanë përcakton rëndësinë e madhe të fenomenit të rezonancës në fizikë dhe teknologji. Përdoret nëse duan të përforcojnë dridhjet, për shembull, në akustikë - për të përmirësuar tingullin e instrumenteve muzikore, në inxhinieri radio - për të izoluar sinjalin e dëshiruar nga shumë të tjerë që ndryshojnë në frekuencë. Nëse rezonanca mund të çojë në një rritje të padëshirueshme të lëkundjeve, përdorni një sistem me një faktor cilësie të ulët.

Lëkundjet e ndërlidhura

Burimi i forcës periodike të jashtme mund të jetë një sistem i dytë oscilues, i lidhur në mënyrë elastike me të parin. Të dy sistemet osciluese mund të veprojnë mbi njëri-tjetrin. Kështu, për shembull, rasti i dy lavjerrësve të lidhur (Fig. 9).

Sistemi mund të kryejë lëkundje në fazë (Fig. 9b) dhe antifazore (Fig. 9c). Lëkundje të tilla quhen lloji normal ose mënyra normale e lëkundjeve dhe karakterizohen nga frekuenca e tyre normale. Me lëkundjet në fazë, zhvendosja e lavjerrësve në çdo kohë X 1 = X 2, dhe frekuenca ω 1 është saktësisht e njëjtë me frekuencën e një lavjerrës të vetëm
. Kjo shpjegohet me faktin se susta e lehtë është në gjendje të lirë dhe nuk ka asnjë efekt në lëvizje. Me lëkundje antifazore në çdo kohë - X 1 = X 2. Frekuenca e lëkundjeve të tilla është më e madhe dhe e barabartë me
, meqenëse susta, e cila ka ngurtësi k dhe kryen lidhjen, është gjithmonë në gjendje të zgjatur ose të ngjeshur.

L
çdo shteti ynë sistemi i lidhur, duke përfshirë zhvendosjen fillestare X (Fig. 9a), mund të përfaqësohet si një mbivendosje e dy mënyrave normale:

Nëse e vendosni sistemin në lëvizje nga gjendja fillestare X 1 = 0,
, X 2 = 2A,
,

atëherë zhvendosjet e lavjerrësve do të përshkruhen me shprehjet:

Në Fig. Figura 10 tregon ndryshimin në zhvendosjen e lavjerrësve individualë me kalimin e kohës.

Frekuenca e lëkundjeve të lavjerrësve është e barabartë me frekuencën mesatare të dy mënyrave normale:

, (39)

dhe amplituda e tyre ndryshon sipas ligjit të një sinusi ose koni me një frekuencë më të ulët të barabartë me gjysmën e ndryshimit në frekuencën e mënyrave normale:

. (40)

Një ndryshim i ngadaltë në amplitudë me një frekuencë të barabartë me gjysmën e ndryshimit në frekuencat e mënyrave normale quhet “ rreh ” dy lëkundje me frekuenca pothuajse të njëjta. Frekuenca e "rrahjeve" është e barabartë me diferencën e frekuencave ω 1 - ω 2 (dhe jo gjysma e këtij ndryshimi), pasi amplituda maksimale 2A arrihet dy herë gjatë periudhës që korrespondon me frekuencën.

Prandaj, periudha e goditjes rezulton të jetë e barabartë me:

(41)

Gjatë rrahjes, energjia shkëmbehet midis lavjerrësve. Sidoqoftë, një shkëmbim i plotë i energjisë është i mundur vetëm kur të dy masat janë të njëjta dhe raporti (ω 1 + ω 2 / ω 1 -ω 2) është i barabartë me një numër të plotë. Një gjë për tu theksuar pikë e rëndësishme: Edhe pse lavjerrësit individualë mund të shkëmbejnë energji, nuk ka shkëmbim energjie ndërmjet mënyrave normale.

Prania e sistemeve të tilla lëkundëse që ndërveprojnë me njëri-tjetrin dhe janë të afta të transferojnë energjinë e tyre tek njëri-tjetri përbën bazën e lëvizjes së valës.

Një trup material lëkundës i vendosur në një mjedis elastik mbart me vete dhe vë në lëvizje lëkundëse grimcat e mjedisit ngjitur me të. Për shkak të pranisë së lidhjeve elastike midis grimcave, dridhjet përhapen me një shpejtësi karakteristike të një mjedisi të caktuar në të gjithë mjedisin.

Procesi i përhapjes së dridhjeve në një mjedis elastik quhet valë .

Ekzistojnë dy lloje kryesore të valëve: gjatësore dhe tërthore. Në valët gjatësore grimcat e mediumit lëkunden përgjatë drejtimit të përhapjes së valës dhe në tërthor– pingul me drejtimin e përhapjes së valës. Përhapja e valëve tërthore nuk është e mundur në çdo mjedis elastik. Një valë elastike tërthore është e mundur vetëm në mjediset në të cilat ndodh deformimi elastik i prerjes. Për shembull, vetëm valët elastike gjatësore (tingulli) përhapen në gazra dhe lëngje.

Vendndodhja gjeometrike e pikave në mjedisin në të cilin lëkundje ka arritur në një moment të caktuar në kohë quhet ballë valësh . Pjesa e përparme e valës ndan pjesën e hapësirës tashmë të përfshirë procesi i valës, nga një zonë në të cilën lëkundjet nuk kanë ndodhur ende. Në varësi të formës së ballit, valët ndahen në plane, sferike, cilindrike etj.

Ekuacioni i një vale të rrafshët që përhapet pa humbje në mjedis homogjen, ka formën:
, (42)

ku ξ(X,t) është zhvendosja e grimcave të mjedisit me koordinatë X nga pozicioni i ekuilibrit në kohën t, A është amplituda,
- faza e valës,
- frekuenca rrethore e lëkundjes së grimcave të mediumit, v - shpejtësia e përhapjes së valës.

Gjatësia e valës λ është distanca midis pikave që lëkunden me një ndryshim fazor prej 2π, me fjalë të tjera, gjatësia e valës është shtegu i përshkuar nga çdo fazë e valës gjatë një periudhe lëkundjeje:

shpejtësia e fazës, d.m.th. Shpejtësia e përhapjes së kësaj faze:

λ/T (44)

Numri i valës – numri i gjatësive valore që përshtaten brenda një gjatësi prej 2π njësive:

k = ω / v = 2π / λ. (45)

Duke zëvendësuar këto shënime në (42), ekuacioni i një aeroplani që udhëton në valë monokromatike mund të përfaqësohet si:

(46)

Vini re se ekuacioni i valës (46) shfaq periodicitet të dyfishtë në koordinatë dhe kohë. Në të vërtetë, fazat e lëkundjeve përkojnë kur koordinata ndryshon me λ dhe kur koha ndryshon sipas periodës T. Prandaj, është e pamundur të përshkruhet grafikisht një valë në një plan. Shpesh herë regjistrohet koha t dhe në grafik paraqitet varësia e zhvendosjes ξ nga koordinata X, d.m.th. shpërndarja e menjëhershme e zhvendosjeve të grimcave të mesme përgjatë drejtimit të përhapjes së valës (Fig. 11). Diferenca fazore Δφ e lëkundjeve të pikave në mjedis varet nga distanca ΔХ = Х 2 – Х 1 ndërmjet këtyre pikave:

(47)

Nëse vala përhapet në të kundërt me drejtimin X, atëherë ekuacioni i valës së prapme do të shkruhet si:

ξ (X,t) = АCos(ωt + kX). (48)

VALËT E QËNDRUESHME janë rezultati lloj i veçantë interferenca valore. Ato formohen nga mbivendosja e dy valëve udhëtuese që përhapen drejt njëra-tjetrës me të njëjtat frekuenca dhe amplituda.

Ekuacionet e dy valët e avionit, duke u përhapur përgjatë boshtit X në drejtime të kundërta, kanë formën:

ξ 1 =ASos(ωt – kX)

ξ 2 = ACos(ωt + kX). (49)

Duke i shtuar këto ekuacione duke përdorur formulën e shumës së kosinuseve dhe duke marrë parasysh se k = 2π / λ, marrim ekuacionin e valës në këmbë:

. (50)

Shumëzuesi Cos ωt tregon se në pikat e mjedisit ndodh një lëkundje e së njëjtës frekuencë ω me një amplitudë.
, në varësi të koordinatës X të pikës në fjalë. Në pikat e mjedisit ku:
, (51)

amplituda e lëkundjeve arrin vlerën maksimale prej 2A. Këto pika quhen antinyjet.

Nga shprehja (51) mund të gjeni koordinatat e antinyjeve:
(52)

Në pikat ku
(53) amplituda e lëkundjeve bëhet zero. Këto pika quhen nyjet.

Koordinatat e nyjeve:
. (54)

R Distancat midis antinyjeve fqinje dhe nyjeve fqinje janë të njëjta dhe të barabarta me λ/2. Distanca midis një nyje dhe një antinyje ngjitur është λ / 4. Kur kalon nëpër një nyje, shumëzuesi
ndryshon shenjën, pra fazat e lëkundjeve në anët e kundërta të nyjës ndryshojnë me π, d.m.th. pikat e shtrira në anët e kundërta të nyjës dridhen në antifazë. Pikat midis dy nyjeve ngjitur luhaten me amplituda të ndryshme, por me të njëjtat faza.

Shpërndarja e nyjeve dhe antinyjeve në valë në këmbë varet nga kushtet që ndodhin në ndërfaqen ndërmjet dy mediave nga të cilat ndodh reflektimi. Nëse vala reflektohet nga një mjedis më i dendur, atëherë faza e lëkundjeve në vendin ku reflektohet vala ndryshon në të kundërtën ose, siç thonë ata, gjysma e valës humbet. Prandaj, si rezultat i shtimit të lëkundjeve në drejtime të kundërta, zhvendosja në kufi është zero, d.m.th. ka një nyjë (Fig. 12). Kur një valë reflektohet nga kufiri i një mediumi më pak të dendur, faza e lëkundjeve në vendin e reflektimit mbetet e pandryshuar dhe lëkundjet me të njëjtat faza shtohen në kufi - fitohet një antinyjë.

Në një valë në këmbë nuk ka lëvizje fazore, nuk ka përhapje të valës, nuk ka transferim energjie, prandaj edhe emri i kësaj lloj vale lidhet.

INFORMACION I PERGJITHSHEM

Lëkundjet quhen lëvizjet ose proceset që karakterizohen nga një përsëritje e caktuar me kalimin e kohës. Lëkundjet quhen falas, nëse ato realizohen për shkak të energjisë së komunikuar fillimisht në mungesën e mëvonshme ndikimet e jashtme në sistemin oscilator. Lloji më i thjeshtë i lëkundjeve janë lëkundjet harmonike - lëkundjet në të cilat madhësia lëkundëse ndryshon me kalimin e kohës sipas ligjit të sinusit ose kosinusit.

Ekuacioni diferencial i lëkundjeve harmonike ka formën:

ku është sasia osciluese dhe është frekuenca ciklike.

është zgjidhja e këtij ekuacioni. Këtu është amplituda, - faza fillestare.

Faza e lëkundjes.

Amplituda - vlera maksimale madhësia e luhatshme.

Periudha e lëkundjes është periudha kohore gjatë së cilës përsëritet lëvizja e trupit. Faza e lëkundjes rritet gjatë periudhës. . , - numri i lëkundjeve.

Frekuenca e lëkundjeve është numri i lëkundjeve të plota të kryera për njësi të kohës. . . Matur në Hertz (Hz).

Frekuenca ciklike është numri i lëkundjeve të kryera në sekondë. . Njësia .

Faza e lëkundjes është një sasi nën shenjën e kosinusit dhe që karakterizon gjendjen e sistemit oscilues në çdo kohë.

Faza fillestare - faza e lëkundjeve në momentin fillestar të kohës. Faza dhe faza fillestare maten në radianë ().

Lëkundje të lira të amortizuara- lëkundjet, amplituda e të cilave zvogëlohet me kalimin e kohës për shkak të humbjeve të energjisë nga sistemi real oscilues. Mekanizmi më i thjeshtë për zvogëlimin e energjisë së dridhjeve është shndërrimi i tij në nxehtësi për shkak të fërkimit në sistemet osciluese mekanike, si dhe humbjeve omike dhe rrezatimit të energjisë elektromagnetike në sistemet osciluese elektrike.

- zvogëlimi i amortizimit logaritmik.

Madhësia N eështë numri i lëkundjeve të kryera gjatë kohës kur amplituda zvogëlohet në e një herë. Zvogëlimi logaritmik i amortizimit është një vlerë konstante për një sistem të caktuar oscilues.

Për të karakterizuar një sistem oscilues, përdoret koncepti i faktorit të cilësisë P, e cila për vlera të vogla të zvogëlimit logaritmik është e barabartë me

.

Faktori i cilësisë është proporcional me numrin e lëkundjeve të kryera nga sistemi gjatë kohës së relaksimit.

PËRCAKTIMI I KOEFICIENTËS SË FËRKIMIT DUKE PËRDORUR NJË lavjerrës të përfshirë

Arsyetimi teorik i metodës së përcaktimit të koeficientit të fërkimit

Një lavjerrës i prirur është një top i varur nga një fije e gjatë dhe e shtrirë në një plan të pjerrët.

Nëse topi zhvendoset nga pozicioni i tij ekuilibër (boshti OO 1) në këndin a, dhe më pas lëshojeni, atëherë lavjerrësi do të lëkundet. Në këtë rast, topi do të rrokulliset përgjatë një rrafshi të pjerrët pranë pozicionit të ekuilibrit (Fig. 1, a). Mes topit dhe rrafsh i pjerrët do të veprojë forca e fërkimit të rrotullimit. Si rezultat, lëkundjet e lavjerrësit gradualisht do të zbehen, domethënë do të vërehet një ulje e amplitudës së lëkundjeve me kalimin e kohës.

Mund të supozohet se forca e fërkimit dhe koeficienti i fërkimit të rrotullimit mund të përcaktohen nga madhësia e amortizimit të dridhjeve.

Le të nxjerrim një formulë që lidh uljen e amplitudës së lëkundjes me koeficientin e fërkimit të rrotullimit m Kur një top rrotullohet përgjatë një rrafshi, forca e fërkimit funksionon. Kjo punë zvogëlon energjinë totale të topit. Energjia totale përbëhet nga energjitë kinetike dhe potenciale. Në ato pozicione ku lavjerrësi është devijuar maksimalisht nga pozicioni i ekuilibrit, shpejtësia e tij, dhe për rrjedhojë energjia kinetike, është zero.

Këto pika quhen pika kthese. Në to, lavjerrësi ndalon, kthehet dhe lëviz prapa. Në momentin e rrotullimit, energjia e lavjerrësit është e barabartë me energjinë potenciale, prandaj, zvogëlimi i energjisë potenciale të lavjerrës kur lëviz nga një pikë kthese në tjetrën është e barabartë me punën e forcës së fërkimit në rrugë. midis pikave të kthesës.

Le A- pika e kthesës (Fig. 1, a). Në këtë pozicion, filli i lavjerrësit bën një kënd a me boshtin OO 1. Nëse nuk do të kishte fërkime, atëherë pas gjysmës së periudhës lavjerrësi do të ishte në pikën N, dhe këndi i devijimit do të ishte i barabartë me a. Por për shkak të fërkimit, topi nuk do të arrijë pak pikën N dhe ndalet në një pikë NË.Kështu do të ndodhë pikë e re kthesë. Në këtë pikë këndi i fillit Me boshti OO 1 do të jetë e barabartë me . Gjatë gjysmës së periudhës, këndi i rrotullimit të lavjerrësit u ul me . Pika NË ndodhet pak më poshtë se pika A, dhe për këtë arsye energjia potenciale e lavjerrësit në pikë NË më pak se në pikën A. Rrjedhimisht, lavjerrësi humbi lartësinë kur lëvizte nga pika A pikërisht NË.

Le të gjejmë lidhjen midis humbjes së këndit dhe humbjes së lartësisë. Për ta bërë këtë, ne projektojmë pikat A Dhe B për aks OO 1 (shih Fig. 1, a). Këto do të jenë pikat A 1 dhe B 1 respektivisht. Natyrisht, gjatësia e segmentit A 1 NË 1

ku është gjatësia e fillit.

Që nga boshti OO 1 është e prirur në një kënd në vertikale, projeksioni i segmentit është në boshti vertikal dhe ka një humbje të lartësisë (Fig. 1, b):

Në këtë rast, ndryshimi i energjisë potenciale të lavjerrësit kur ai lëviz nga pozicioni A për të pozicionuar NË barazohet me:

, (3)

Ku m- masa e topit;

g- nxitimi i gravitetit.

Le të llogarisim punën e bërë nga forca e fërkimit.

Forca e fërkimit përcaktohet nga formula:

Distanca e përshkuar nga topi gjatë gjysmës së periudhës së lëkundjes së lavjerrësit është e barabartë me gjatësinë harqe AB:

.

Puna e bërë nga forca e fërkimit në rrugë:

Por, pra, duke marrë parasysh ekuacionet (2), (3), (4) rezulton

. (6)

Shprehja (6) është thjeshtuar ndjeshëm duke marrë parasysh faktin se këndi është shumë i vogël (rreth 10 -2 radianë). Kështu që, . Por . Kjo është arsyeja pse.

Kështu, formula (6) merr formën:

,

. (7)

Nga formula (7) është e qartë se humbja e këndit gjatë gjysmë periudhe përcaktohet nga koeficienti i fërkimit m dhe këndi a. Megjithatë, është e mundur të gjenden kushte në të cilat a nuk varet nga këndi. Le të marrim parasysh se koeficienti i fërkimit të rrotullimit është i vogël (rreth 10 -3). Nëse marrim parasysh amplituda mjaft të mëdha të lëkundjes së lavjerrësit a, të tilla që , atëherë termi në emëruesin e formulës (7) mund të neglizhohet dhe më pas:

.

Nga ana tjetër, le të jetë këndi a mjaft i vogël sa të mund të supozojmë se . Pastaj humbja e këndit për gjysmën e periudhës së lëkundjes do të përcaktohet nga formula:

. (8)

Formula (8) është e vlefshme nëse:

. (9)

Për shkak të faktit se m është i rendit 10 -2, pabarazia (9) plotësohet nga këndet a të rendit 10 -2 -10 -1 radian.

Pra, gjatë një lëkundjeje të plotë, humbja e këndit do të jetë:

,

dhe për n luhatje - .

Formula (10) jep mënyrë e përshtatshme përcaktimi i koeficientit të fërkimit të rrotullimit. Është e nevojshme të matet ulja e këndit Da n për 10-15 lëkundje, dhe më pas llogaritni m duke përdorur formulën (10).

Në formulën (10), vlera e Da shprehet në radianë. Për të përdorur vlerat Da në shkallë, formula (10) duhet të modifikohet:

. (11)

Le të zbulojmë kuptimin fizik të koeficientit të fërkimit të rrotullimit. Le të shohim së pari më shumë detyrë e përbashkët. Masa e topit m dhe momenti i inercisë Unë C në lidhje me boshtin që kalon nëpër qendrën e masës, ai lëviz përgjatë një sipërfaqeje të lëmuar (Fig. 2).

Oriz. 2

Drejt qendrës së masës C forca e aplikuar e drejtuar përgjatë boshtit kau dhe që është funksion i koordinatës x. Forca e fërkimit vepron në trup nga sipërfaqja F TR. Lëreni momentin e fërkimit të fuqizojë rreth boshtit që kalon nëpër qendër C top, i barabartë M TR.

Ekuacionet e lëvizjes së topit në këtë rast kanë formën:

; (12)

, (13)

Ku - shpejtësia e qendrës së masës;

w - shpejtësia këndore.

Ka katër të panjohura në ekuacionet (12) dhe (13): ,w, F TR, M TR . Në përgjithësi, detyra nuk është e përcaktuar.

Le të supozojmë se:

1) trupi rrotullohet pa rrëshqitur. Pastaj:

Ku R- rrezja e topit;

2) trupi dhe rrafshi janë absolutisht të ngurtë, d.m.th. trupi nuk është i deformuar, por prek rrafshin në një pikë RRETH(kontakti i pikës), atëherë ekziston një marrëdhënie midis momentit të forcës së fërkimit dhe forcës së fërkimit:

. (15)

Duke marrë parasysh formulat (14) dhe (15) nga ekuacionet (12) dhe (13), marrim shprehjen për forcën e fërkimit:

. (16)

Shprehja (16) nuk përmban koeficientin e fërkimit m, i cili përcaktohet vetitë fizike sipërfaqet kontaktuese të topit dhe rrafshit, të tilla si vrazhdësia, ose lloji i materialeve nga të cilat janë bërë topi dhe rrafshi. Ky rezultat është pasojë e drejtpërdrejtë idealizimi i pranuar, i pasqyruar nga lidhjet (14) dhe (15). Përveç kësaj, është e lehtë të tregohet se në modelin e miratuar forca e fërkimit nuk funksionon. Në të vërtetë, le të shumëzojmë ekuacionin (12) me , dhe ekuacioni (13) - në w. Duke pasur parasysh atë

Dhe

dhe duke shtuar shprehjet (12) dhe (13), marrim

Ku W(x) - energjia potenciale e topit në fushën e forcës F(x). Duhet theksuar se

Nëse marrim parasysh formulat (14) dhe (15), atëherë pjesa e djathtë barazia (17) zhduket. Në anën e majtë të barazisë (17) është derivati ​​kohor i energjisë totale të sistemit, i cili përbëhet nga energjia kinetike lëvizje përpara top , energjia kinetike e lëvizjes rrotulluese dhe energjinë potenciale W(X). Do të thotë se energji totale sistemet - një vlerë konstante, d.m.th. Forca e fërkimit nuk funksionon.

Natyrisht, ky rezultat disi i çuditshëm është gjithashtu pasojë e idealizimit të pranuar. Kjo tregon se idealizimi i miratuar nuk përmbushet realiteti fizik. Në fakt, në procesin e lëvizjes topi ndërvepron me aeroplanin, kështu që ai energji mekanike duhet të ulet, që do të thotë se lidhjet (14) dhe (15) mund të jenë të vërteta vetëm në masën që shpërndarja e energjisë mund të neglizhohet.

Është absolutisht e qartë se në në këtë rast Një idealizim i tillë nuk mund të pranohet, pasi qëllimi ynë është të përcaktojmë koeficientin e fërkimit nga ndryshimi i energjisë së lavjerrësit. Prandaj, ne do ta konsiderojmë supozimin e ngurtësisë absolute të topit dhe sipërfaqes si të drejtë, dhe për këtë arsye lidhja (15) të jetë e drejtë. Megjithatë, le të braktisim supozimin se topi lëviz pa rrëshqitur. Do të supozojmë se ka rrëshqitje të lehtë.

Lëreni shpejtësinë e pikave të kontaktit (pika O në Fig. 2) të topit (shpejtësia e rrëshqitjes):

. (19)

Pastaj, duke zëvendësuar në ekuacionin (17) dhe duke marrë parasysh kushtet (15) dhe (20), arrijmë në ekuacionin:

, (21)

nga e cila shihet qartë se shpejtësia e shpërndarjes së energjisë është e barabartë me fuqinë e forcës së fërkimit. Rezultati është krejt i natyrshëm, sepse... një trup rrëshqet përgjatë një sipërfaqeje me shpejtësi Dhe, mbi të vepron një forcë fërkimi, duke bërë punë, si rezultat i së cilës energjia totale e sistemit zvogëlohet.

Duke kryer diferencimin në ekuacionin (21) dhe duke marrë parasysh relacionin (18), marrim ekuacionin e lëvizjes së qendrës së masës së topit:

. (22)

Është e ngjashme me ekuacionin e lëvizjes pikë materiale masë:

, (23)

Nën ndikimin forca e jashtme F dhe forcat e fërkimit të rrotullimit:

.

Për më tepër, F TP është forca e zakonshme e fërkimit rrëshqitës. Rrjedhimisht, kur një top rrotullohet, forca efektive e fërkimit, e cila quhet forca e fërkimit rrotullues, është thjesht forca e zakonshme e fërkimit rrëshqitëse e shumëzuar me raportin e shpejtësisë së rrëshqitjes me shpejtësinë e qendrës së masës së trupit. Në praktikë, shpesh vërehet një rast kur forca e fërkimit të rrotullimit nuk varet nga shpejtësia e trupit.

Me sa duket, në këtë rast shkalla e rrëshqitjes Dhe proporcionale me shpejtësinë e trupit: