Belge: Yani Aşağıdaki işlemler gerçekleştirilirken matrisin sırası korunur:
1. Satırların sırasını değiştirmek.
2. Bir matrisin sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılması.
3. Aktarım.
4. Bir dizi sıfırın ortadan kaldırılması.
5. Bir dizeye rastgele bir sayıyla çarpılarak başka bir dize eklemek.
İlk dönüşüm bazı minörleri değiştirmeden bırakacak, ancak bazılarının işaretini tersine değiştirecektir. İkinci dönüşümde de bazı küçük sayılar değişmeden kalacak, bazıları ise sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılacak. Üçüncü dönüşüm tüm küçükleri koruyacaktır. Dolayısıyla bu dönüşümler uygulanırken matrisin rütbesi de korunacaktır (ikinci tanım). Sıfır satırın elenmesi matrisin sıralamasını değiştiremez çünkü böyle bir satır sıfırdan farklı bir minöre giremez. Beşinci dönüşümü ele alalım.
Temel minör Δp'nin ilk p satırlarında bulunduğunu varsayacağız. Bu dizelerden biri olan a dizisine herhangi bir λ sayısıyla çarpılarak rastgele bir b dizisi eklensin. Onlar. a dizisine temel minör içeren dizelerin doğrusal bir kombinasyonu eklenir. Bu durumda, temel minör Δp değişmeden kalacaktır (ve 0'dan farklı olacaktır). İlk p satırına yerleştirilen diğer küçükler de değişmeden kalır, aynı durum diğer tüm küçükler için de geçerlidir. O. V bu durumda rütbe (ikinci tanım gereği) korunacaktır. Şimdi, ilk p satırları arasındaki tüm satırlara sahip olmayan (ve belki de hiçbir satıra sahip olmayan) küçük M'yi düşünün.
ai dizisine λ sayısıyla çarpılan rastgele bir b dizisi ekleyerek yeni bir küçük Ms' ve Ms'=Ms+λ Ms elde ederiz; burada
Eğer s>p ise Ms=Ms=0 olur çünkü Orijinal matrisin p'sinden büyük tüm küçükler 0'a eşittir. Ancak bu durumda Ms'=0 olur ve matris dönüşümlerinin sırası artmaz. Ancak temel minör herhangi bir değişikliğe uğramadığı için bu da azalamadı. Yani matrisin rütbesi değişmeden kalır.
İlgilendiğiniz bilgileri bilimsel arama motoru Otvety.Online'da da bulabilirsiniz. Arama formunu kullanın:
Acil hedefimiz herhangi bir matrisin belirli bir değere indirgenebileceğini kanıtlamak. standart tipler. Eşdeğer matrislerin dili bu yolda faydalıdır.
İzin vermek. Bir matrisin bir matrise l_equivalent (n_equivalent veya eşdeğer) olduğunu söyleyeceğiz ve matrisin bir matristen şu şekilde elde edilip edilemeyeceğini (veya) göstereceğiz: sonlu sayı satır (sırasıyla sütun veya satır ve sütun) temel dönüşümler. L_eşdeğer ve n_ olduğu açıktır. eşdeğer matrisler eşdeğerdir.
İlk önce herhangi bir matrisin şuna indirgenebileceğini göstereceğiz: özel Tip azaltılmış denir.
İzin vermek. Bu matrisin sıfır olmayan bir satırı, sütunun dışındaki tüm elemanları sıfıra eşit olacak şekilde 1'e eşit bir eleman içeriyorsa, indirgenmiş forma sahip olduğu söylenir. Çizginin işaretli tek elemanını bu çizginin baş elemanı olarak adlandıracağız ve onu bir daire içine alacağız. Başka bir deyişle, bir matrisin bir satırı, eğer bu matris formdaki bir sütunu içeriyorsa indirgenmiş forma sahiptir.
Örneğin aşağıdaki matriste
çizgi o zamandan beri aşağıdaki forma sahiptir. Bu örnekte bir elemanın aynı zamanda çizginin baş elemanı gibi görünmesine dikkat edelim. Gelecekte, verilen türdeki bir çizgi öncü özelliklere sahip birkaç öğe içeriyorsa, bunlardan yalnızca birini keyfi bir şekilde seçeceğiz.
Bir matrisin sıfırdan farklı satırlarının her biri indirgenmiş bir forma sahipse, matrisin indirgenmiş forma sahip olduğu söylenir. Örneğin matris
aşağıdaki forma sahiptir.
Önerme 1.3 Herhangi bir matris için indirgenmiş formun eşdeğer bir matrisi vardır.
Aslında, eğer matris (1.1) formuna sahipse ve o zaman içinde temel dönüşümler gerçekleştirildikten sonra
matrisi alıyoruz
burada dize aşağıdaki forma sahiptir.
İkinci olarak, eğer matristeki satır azaltılırsa, temel dönüşümler (1.20) gerçekleştirildikten sonra matrisin satırı azaltılacaktır. Gerçekten de verildiğinden beri öyle bir sütun var ki
ancak bu durumda ve sonuç olarak dönüşümler (1.20) gerçekleştirildikten sonra sütun değişmez, yani. . Bu nedenle çizgi aşağıdaki forma sahiptir.
Artık matrisin sıfır olmayan her satırını yukarıdaki şekilde sırayla dönüştürdüğümüzde, sonlu sayıda adımdan sonra indirgenmiş formda bir matris elde edeceğimiz açıktır. Matris elde etmek için yalnızca satır temel dönüşümleri kullanıldığından, matris bir matrise l_eşdeğerdir. >
Örnek 7. Matrise l_eşdeğer olan indirgenmiş formda bir matris oluşturun
Bu bölümün ilk üç paragrafı polinom matrislerinin denkliği doktrinine ayrılmıştır. Buna dayanarak, sonraki üç paragrafta, temel bölenlerin analitik bir teorisi, yani sabit (birkaç nominal) kare matrisi şuna indirgeyen bir teori inşa edilmiştir: normal biçim. Bölümün son iki paragrafında bir dönüşüm matrisi oluşturmak için iki yöntem verilmektedir.
§ 1. Bir polinom matrisinin temel dönüşümleri
Tanım 1. Bir polinom matrisi veya -matrisi, elemanları şu şekilde polinom olan dikdörtgen bir matristir:
polinomların en büyük derecesi buradadır.
bir polinom matrisini, 'ye göre bir matris polinomu olarak, yani matris katsayılarına sahip bir polinom olarak temsil edebiliriz:
Bir polinom matrisi üzerinde aşağıdaki temel işlemleri dikkate alalım:
1. Bazı satırları, örneğin th'yi bir sayıyla çarpmak.
2. Bazılarına, örneğin inci satırına bir başkasını, örneğin inci dizesini ekleyerek, daha önce rastgele bir polinomla çarpıyoruz.
3. Herhangi iki satırın yerini değiştirin, örneğin inci ve inci satırlar.
Okuyucuyu, 1, 2, 3 işlemlerinin sırasıyla soldaki bir polinom matrisini aşağıdaki mertebeden kare matrislerle çarpmaya eşdeğer olup olmadığını kontrol etmeye davet ediyoruz:
(1)
yani, 1, 2, 3 işlemlerinin uygulanması sonucunda matris sırasıyla matrislere dönüştürülür , , . Bu nedenle 1, 2, 3 tipi işlemlere sol temel işlemler adı verilir.
Bir polinom matrisi üzerindeki doğru temel işlemler tamamen benzer bir şekilde tanımlanır (bu işlemler polinom matrisinin satırlarında değil sütunlarında gerçekleştirilir) ve karşılık gelen matrisler (sırasıyla):
Doğru temel işlemin uygulanması sonucunda matris sağdan karşılık gelen matris ile çarpılır.
Tür matrislere (veya aynısı olan türe) temel matrisler adını vereceğiz.
Herhangi bir temel matrisin determinantı sıfıra bağlı değildir ve sıfırdan farklıdır. Bu nedenle, her sol (sağ) temel işlem için ters işlem, bu aynı zamanda sol (sırasıyla sağ) temel işlemdir.
Tanım 2. İki polinom matrisine, sırasıyla 1) sol temel işlemler, 2) sağ temel işlemler, 3) sol temel işlemler uygulanarak biri diğerinden elde ediliyorsa 1) sol eşdeğer, 2) sağ eşdeğer, 3) eşdeğer denir. ve doğru temel işlemler.
Matrislere karşılık gelen sol temel işlemler kullanılarak matris elde edilsin. Daha sonra
. (2).
Çarpımı ifade ederek eşitlik (2) formunu yazıyoruz.
, (3)
matrislerin her biri gibi sıfırdan farklı bir sabit determinantı vardır.
Bir sonraki bölümde, sıfırdan farklı sabit bir determinantı olan her kare matrisin, temel matrislerin bir ürünü olarak temsil edilebileceğini kanıtlayacağız. Bu nedenle eşitlik (3), eşitliğe (2) eşdeğerdir ve bu nedenle ve matrislerinin sol eşdeğerliği anlamına gelir.
Sağ denklik durumunda polinom matrisleri ve eşitlik (3) yerine eşitliğe sahip olacağız
, (3")
ve (ikili) denklik durumunda – eşitlik
Burada yine sıfırdan farklı ve bağımsız determinantları olan matrisler var.
Böylece Tanım 2, eşdeğer bir tanımla değiştirilebilir.
Tanım 2". İki dikdörtgen matrise sırasıyla 1) sol eşdeğer, 2) sağ eşdeğer, 3) eşdeğer denir.
1)
, 2) , 3) ,
nerede ve sabit ve sıfır olmayan determinantlara sahip polinom kare matrislerdir.
Yukarıda tanıtılan tüm kavramları aşağıdaki önemli örnekle açıklıyoruz.
Doğrusal homojen bir sistem düşünün diferansiyel denklemler Sabit katsayılı, bilinmeyen bağımsız değişkenli -th mertebeden fonksiyonlar:
(4)
Yeni bir bilinmeyen fonksiyonun Mu denklemi; ikinci temel işlem, yeni bir bilinmeyen fonksiyonun tanıtılması anlamına gelir 
(yerine ); üçüncü işlem, ve (ör.) içeren terimlerin denklemlerindeki yerleri değiştirmek anlamına gelir. 
).
1. İki vektör uzayı ve buna göre bir sayı alanı üzerindeki ölçümler ve doğrusal bir operatörün . Bu bölümde belirli bir doğrusal operatöre karşılık gelen matrisin, bazlar değiştiğinde ve değiştiğinde nasıl değiştiğini bulacağız.
Keyfi bazları seçelim ve . Bu tabanlarda operatör matrise karşılık gelecektir. Vektör eşitliği
matris eşitliğine karşılık gelir
nerede ve vektörler için ve tabanlardaki koordinat sütunları ve .
Şimdi in ve diğer üsleri seçelim ve . Yeni üslerde , yerine: , , . burada
Uzaylarda ve eski tabanlardan yenilerine geçişte koordinatların dönüşümünü gerçekleştiren sırasıyla ve mertebelerin tekil olmayan kare matrislerini ve ile gösterelim (bkz. § 4):
Daha sonra (27) ve (29)'dan şunu elde ederiz:
(28) ve (30)'dan şunu bulduğumuzu varsayarsak:
Tanım 8. İki dikdörtgen matris ve aynı boyutlar tekil olmayan iki kare matris varsa eşdeğer olduğu söylenir;
(31)'den, farklı taban seçenekleriyle aynı doğrusal operatöre karşılık gelen iki matrisin her zaman birbirine eşdeğer olduğu sonucu çıkar. Tersine, eğer bir matris ve'deki bazı bazlar için bir operatöre karşılık geliyorsa, matris bir matrise eşdeğerse, o zaman ve'deki diğer bazı bazlar için aynı doğrusal operatöre karşılık geldiğini görmek kolaydır.
Böylece her doğrusal operatör, alandaki elemanlarla birbirine eşdeğer bir matris sınıfına eşlenir ve karşılık gelir.
2. Aşağıdaki teorem iki matrisin denkliği için bir kriter oluşturur:
Teorem 2. Aynı büyüklükteki iki dikdörtgen matrisin eşdeğer olabilmesi için bu matrislerin aynı dereceli olması gerekli ve yeterlidir.
Kanıt. Şart gereklidir. Dikdörtgen bir matrisi tekil olmayan herhangi bir matrisle çarparken Kare matris(sol veya sağ) orijinal dikdörtgen matrisin sırası değişemez (bkz. Bölüm I, sayfa 27). Bu nedenle (32)'den şu sonuç çıkar:
Durum yeterlidir. boyutunda dikdörtgen bir matris olsun. Tabanı olan bir alanı, tabanı olan bir uzaya eşleyen doğrusal bir operatörü tanımlar. Sayılarla doğrusal olarak gösterelim bağımsız vektörler vektörler arasında 
. Genelliği kaybetmeden vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğunu varsayabiliriz. 
ve geri kalanı bunlar aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir:
. (33)
Yeni bir temeli şu şekilde tanımlayalım:
(34)
O zaman (33) sayesinde
. (35)
Vektörler doğrusal olarak bağımsızdır. Bunları bir tabana bazı vektörlerle destekleyelim.
Daha sonra yeni bazlarda aynı operatöre karşılık gelen matris; (35) ve (36)'ya göre formda olacaktır
. (37)
Matriste, ana köşegen boyunca yukarıdan aşağıya doğru giderler; matrisin diğer tüm elemanları sıfıra eşittir. Matrisler ve aynı operatöre karşılık geldiğinden birbirlerine eşdeğerdirler. Kanıtlanmış olanlara göre eşdeğer matrislerin rütbeleri aynıdır. Bu nedenle orijinal matrisin rütbesi eşittir.
Rasgele bir dikdörtgen sıralı matrisin "kanonik" matrise eşdeğer olduğunu gösterdik. Ancak matris tamamen boyutlar ve sayılar belirtilerek belirlenir. Bu nedenle, boyutları ve dereceleri verilen tüm dikdörtgen matrisler aynı matrise ve dolayısıyla birbirine eşdeğerdir. Teorem kanıtlandı.
3. Aşağıdakileri temsil eden doğrusal bir operatör verilsin: boyutlu uzay boyutlu. Formun bir dizi vektörü, burada oluşur Vektör Uzayı. Bu uzayı ; uzayın bir parçasını oluşturur ya da dedikleri gibi uzaydaki bir altuzaydır.
Alt uzayla birlikte denklemi sağlayan tüm vektörlerin kümesini göz önünde bulunduruyoruz.
Bu vektörler ayrıca ; Bu alt uzayı ile göstereceğiz.
Tanım 9. Bir doğrusal operatör, ile eşleşirse, uzayın boyut sayısına operatörün sırası denir ve koşulu (38) karşılayan tüm vektörlerden oluşan uzayın boyut sayısına operatörün kusuru denir. .
Tüm eşdeğerler arasında dikdörtgen matrisler Bu operatörü çeşitli tabanlarda tanımlayan, kanonik matris[bkz. (37)]. ve ile karşılık gelen bazları gösterelim. Daha sonra
, 
.
Tanımdan, vektörlerin 'de bir taban oluşturduğu ve vektörlerin 'deki tabanı karşılaştırdığı anlaşılmaktadır. Buradan operatörün rütbesi çıkar ve
Operatöre karşılık gelen keyfi bir matris ise eşdeğerdir ve dolayısıyla aynı dereceye sahiptir. Böylece operatörün sıralaması dikdörtgen matrisin sıralamasıyla çakışır.
,
bazı bazlarda operatör tanımlama 
Ve 
.
Matrisin sütunları vektörlerin koordinatlarını içerir . Buradan operatörün sırasının, yani boyutların sayısının şuna eşit olduğu anlaşılmaktadır: azami sayı arasında doğrusal bağımsız vektörler . Böylece matrisin sırası, matrisin doğrusal olarak bağımsız sütunlarının sayısıyla çakışır. Aktarım sırasında matrisin satırları sütunlara dönüştürüldüğünden ve sıralama değişmediğinden, matrisin doğrusal olarak bağımsız satırlarının sayısı da matrisin sıralamasına eşittir.
4. İki tane verilsin doğrusal operatör ve onların çalışmaları.
Operatörün ile ve operatörün ile eşlemesine izin verin. Daha sonra operatör şunu eşleştirir:
Belirli bir baz seçimi için, operatörlerine karşılık gelen matrisleri tanıtalım. Daha sonra operatör eşitliği matris eşitliğine karşılık gelecektir, yani. in, .
