Matrisleri Jordan formuna indirgeme örnekleri

1°. . Kökler karakteristik denklem: l 1, 2, 3 = 1. .

Özvektörler Aλ = 1 ile, yani. çekirdek A 1:

yani temel N(A 1): .

Operatör resmi A 1 M(A 1) ilişkilerden şunu buluyoruz:

; temel M(A 1) F 3 (1, 2, –1), vb. F 3 = 2F 1 – F 2, o zaman F 3 Оℒ( F 1 , F 2).

Sonra: temel bir vektör olacak; temeli tamamlayan vektör tabandan önce vektörlerden herhangi biri olacaktır, örneğin vektör; ve temel Temele eklenecek hiçbir şey yok çünkü .

Prototip A 1 en= (1, 2, –1) Ş en 1 – en 2 – en 3 = 1, örneğin (1, 0, 0).

Bu arada: sistem A 1 en= (1, 0, 0)'ın çözümü yoktur, yani (1, 2, –1) vektörünün ikinci katmanının ters görüntüsü yoktur.

Bu nedenle operatörün Ürdün bazında A: .

Ve son olarak operatör matrisinin Jordan formuna sahibiz A: .

2°. Matrisin normal Jordan formunu bulun doğrusal operatör A = ve operatör matrisinin Jordan formuna sahip olduğu bir temel.

Δ. Doğrusal bir operatör matrisi için A = Karakteristik denklemi oluşturup çözelim: det( A-ben e) = 0 .

= .

Daha sonra: = 0 ve dolayısıyla l 1, 2 = –1; l3, 4 = 1.

a) Operatörü düşünün A -1 = A-ben e= A+e= A l = - 1 için, yani operatörün çekirdeği A-1. Bunu yapmak için dört doğrusal sistemi çözüyoruz homojen denklemler matris ile A-1. Üçüncüden ve dördüncü denklemler sistem bunu açıkça ortaya koyuyor. O zaman bunu kolaylıkla tespit edebiliriz. Vektör F 1 (1, 1, 0, 0) operatörün tek özvektörüdür A l = -1 özdeğerine karşılık gelir ve operatör çekirdeğinin temelini oluşturur A–1. Daha sonra operatör görüntüsünün temelini arıyoruz A –1:

.

Vektörler için bunu not ediyorum F 2 , F 3 , F 4 bir ilişki var: F 3 + F 4 – F 2 = (0, 0, 0, 1), operatörün görüntüsünün temelini bulun A –1:

(j 1 (1, 1, 0, 0), j 2 (0, –1, 1, 1), j 3 (0, 0, 0, 1).

Vektörlerin F 1 ve çakışırsa, bu vektörün görüntünün ve operatörün çekirdeğinin kesişiminin temelini oluşturduğu sonucuna varırız. A -1 .

λ = -1 kökünün çokluğu ikidir ve bu özdeğere karşılık gelen özvektör yalnızca birdir. Bu nedenle inanıyoruz G 1 vektöre eşit ve ilk katmanın prototipi olarak başka bir Jordan tabanlı vektör arıyoruz. Haydi karar verelim heterojen sistem doğrusal denklemleri çöz ve ikinci vektörü bul G 2 (1, 3/4, 0, 0) Jordan bazı, çoklu ikinin özdeğeri l = -1'e karşılık gelir. Tipik olan bu durumda, vektör ikinci katmanın ters görüntüsüne sahip değildir, çünkü genişletilmiş matrisli bir sistem

hiçbir çözümü yok. Bu tesadüfi değildir, çünkü çokluk 2'nin özdeğeri l= -1, operatörün Jordan bazındaki iki vektöre karşılık gelmelidir. A:

G 1 (1, 1, 0, 0); G 2 (1, 3/4, 0, 0).

Aynı zamanda şunu da not ediyoruz:

b) Şimdi l = 1 özdeğerini ve buna göre operatörü düşünün. A 1 =A+e:

.

Bu operatörün çekirdeğini bulalım, yani. özvektörler operatör Aλ = 1'de.

.

Vektör F 1 (1, 1, 1, 1) operatör çekirdeğinin temelini oluşturur A 1 ve operatörün tek özvektörüdür A, özdeğer l = 1'e karşılık gelir.

Resmin temelini arıyoruz M(A 1) operatör A 1 .

.

Bunu not ederek F 1 = F 2 + F 3 + F 4, şu sonuca varıyoruz: çekirdeğin kesişiminin temeli ve operatörün görüntüsü A 1 bir vektördür F 1 .

Yalnızca bir özvektör olduğundan ve özdeğerin katı 2 olduğundan, Jordan bazının başka bir vektörünü bulmamız gerekir. Bu nedenle inanıyoruz G 3, y 1 (1, 1, 1, 1) vektörüne eşittir ve y 1 (1, 1, 1, 1) için ilk katmanın ters görüntüsü olarak başka bir Jordan temel vektörü ararız. Bunu yapmak için homojen olmayan bir doğrusal denklem sistemini çözüyoruz A 1 G 4 = j 1 ve vektörü bulun G 4 (0, 1/2, 0, 1/2) Jordan bazı, özdeğer l = 1'in çoklu ikisine karşılık gelir. Bu durumda y 1 (1, 1, 1, 1) vektörü ikinci katmanın ters görüntüsüne sahip değildir çünkü sistem A 1 sen = G 4 genişletilmiş matrisli hiçbir çözümü yok. Ve yine, bu tesadüfi değildir, çünkü 2 katlılığının özdeğeri l= 1, Jordan bazının iki vektörüne karşılık gelmelidir ve bunlar zaten bulunmuştur:

G 3 (1, 1, 1, 1); G 4 (0, 1/2, 0, 1/2).

Aynı zamanda şunu da not ediyoruz: Ag 3 = G 1 , Ag 4 = G 3 + G 4. Operatör için AÜrdün temeli bulunur: . Aynı zamanda A g= . ▲

3°. ; det( A-ben e) = 0 l 1, 2 = 1; l3, 4 = 2.

Δ a) Operatörü düşünün A 1: A 1 -e= . Operatörün özvektörlerini arıyoruz A l = 1 için, yani operatör çekirdeği A 1 .

. Vektörler ( F 1 ,F 2) bir temel oluşturmak N(A 1).

vektörlerden beri F 1 , F 2 , F 3 , F 4 – doğrusal bağımsız, o zaman ve temeli tamamlayan vektörler tabana – vektörler.

Özvektörler bazında doğrusal bir operatörün matrisinin köşegen forma indirgenebileceği bilinmektedir. Bununla birlikte, bir dizi gerçek sayı üzerinde, doğrusal bir operatörün özdeğerleri ve dolayısıyla özvektörleri olmayabilir. Kalabalığın üzerinde karmaşık sayılar herhangi bir doğrusal operatörün özvektörleri vardır, ancak bunlar bir temel için yeterli olmayabilir. Doğrusal operatör matrisinin, karmaşık sayılar kümesi üzerindeki herhangi bir matrisin indirgenebileceği başka bir kanonik biçimi daha vardır.

Teorem 10.1. Karmaşık elemanlara sahip herhangi bir matris, C'den Jordan 14 normal formuna kadar olan karmaşık sayılar kümesinde indirgenebilir.

Gerekli tanımları verelim:

Tanım 10.1. Kare sıralı matris N Elemanları, C karmaşık sayılar kümesinden katsayıları olan λ değişkeninde keyfi dereceli polinomlar olan λ- olarak adlandırılır. matris(veya polinom matrisi, veya polinom matrisi).

Polinom matrisinin bir örneği karakteristik matristir A – λ e keyfi kare matris A. Ana köşegen üzerinde birinci dereceden polinomlar vardır, onun dışında sıfırıncı dereceden veya sıfırlardan oluşan polinomlar vardır. Böyle bir matrisi şu şekilde gösterelim: A(λ).

Örnek 10.1. Matris verilsin A= o zaman A– λ e = =
= A(λ).

Tanım 10.2. Temel dönüşümlerλ-matrislerine aşağıdaki dönüşümler denir:

bir matrisin herhangi bir satırının (sütununun) çarpımı A(λ) sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayıya;

herhangi birine ek olarak Ben-bu satır ( Ben matrisin inci sütunu) A(λ) başka herhangi biri J-inci satır ( J sütun) keyfi bir polinomla çarpılır (  ).

λ-matrisin özellikleri

1) Bu dönüşümlerin matriste kullanılması A(λ) herhangi iki satır veya herhangi iki sütun yeniden düzenlenebilir.

2) Bu dönüşümlerin köşegen matriste kullanılması A(λ) diyagonal elemanlar değiştirilebilir.

Örnek 10.2. 1) 

  .

2)


.

Tanım 10.3. Matrisler A(λ) ve B(λ) denir eş değer, eğer A(λ) gidebiliriz B(λ) kullanarak sonlu sayı temel dönüşümler.

Amaç matrisi mümkün olduğunca basitleştirmektir. A(λ).

Tanım 10.4. Kanonik λ- matris aşağıdaki özelliklere sahip bir λ-matris olarak adlandırılır:

matris A(λ) diyagonal;

her polinom e Ben (), Ben = 1, 2, …, N tamamen bölünebilir e Ben –1 ();

her polinomun baş katsayısı e Ben (), Ben = 1, 2, …, N 1'e eşittir veya bu polinom sıfıra eşittir.

A(λ) =
.

Yorum. Polinomlar arasında ise e Ben() sıfırlar oluşur, ana köşegeni işgal ederler son yerler(özellik 2'ye göre), sıfır dereceli polinomlar varsa, bunlar 1'e eşittir ve ana köşegende ilk sıraları işgal eder.

Sıfır ve özdeş matrisler kanonik λ-matrislerdir.

Teorem10.2. Her λ-matris, bazı kanonik λ-matrislere eşdeğerdir (yani, temel dönüşümlerle indirgenebilir) kanonik form)

Örnek 10.3. Matrisi azalt A(λ) =
kanonik forma.

Çözüm. Dönüşümlerin seyri Gauss yöntemindeki dönüşümlere benzerken, matrisin sol üst elemanı onu kanonik forma indirirken sıfır değildir ve en küçük dereceye sahiptir.

A(λ) =
 (birinci ve ikinci sütunları değiştirin) 
 (ikinci sütuna ilk sütunu ( – 2) ile çarparak ekliyoruz) 
 (ikinci satıra ilk satırı ( – 2) ile çarparak ekliyoruz) 
 (ikinci ve üçüncü sütunları değiştirin) 
 (üçüncü sütuna ikinci sütunu ( – 2) 3 ile çarparak ekliyoruz) 
 (üçüncü satıra ikinci satırı ( – 2) ile çarparak ekliyoruz) 
.

1. Alandan katsayılı bir polinom verilsin

Üçüncü dereceden bir kare matris düşünün

. (36)

Polinomun matrisin karakteristik bir polinomu olup olmadığını kontrol etmek kolaydır:

.

Öte yandan karakteristik determinanttaki elemanın minörü eşittir. Öyleyse , .

Bu nedenle, matrisin benzersiz, birlik olmayan değişmez polinomu vardır.

Matrise polinomun eşlik eden matrisi adını vereceğiz.

Değişmez polinomları olan bir matris verilsin

İşte tüm polinomlar mermiden daha yüksek bir dereceye sahiptir ve bu polinomların her biri ikinciden başlayarak bir öncekinin böleni olur. Bu polinomlara eşlik eden matrisleri ile gösteririz.

O zaman inci mertebeden yarı köşegen matris

(38)

değişmez polinomları polinomlara (37) sahiptir (bkz. Teorem 4 sayfa 145). Matrisler ve aynı değişmez polinomlara sahip oldukları için benzerdirler, yani her zaman tekil olmayan bir matris vardır, öyle ki

Matrise bir matrisin birinci doğal normal formu denir. Bu normal form şu şekilde karakterize edilir: 1) yarı köşegen görünüm (38), 2) çapraz hücrelerin özel yapısı (36) ve 3) ek koşul: köşegen hücrelerin bir dizi karakteristik polinomunda, ikinciden başlayarak her polinom bir öncekinin böleni olur.

2. Şimdi şunu ifade edelim:

(39)

bir sayı alanındaki temel matris bölenleri. İlgili eşlik eden matrisleri şu şekilde gösteririz:

.

Matrisin tek temel böleni olduğundan, Teorem 5'e göre yarı köşegen matris

(40)

temel bölenleri polinomlara (39) sahiptir.

Matrisler ve alanda aynı temel bölenlere sahiptirler. Bu nedenle, bu matrisler benzerdir, yani her zaman tekil olmayan bir matris vardır, öyle ki

Matrise bir matrisin ikinci doğal normal formu denir. Bu normal form şu şekilde karakterize edilir: 1) yarı köşegen form (40), 2) köşegen hücrelerin özel yapısı (36) ve 3) ek bir koşul: her köşegen hücrenin karakteristik polinomu, indirgenemez bir polinomun derecesidir sahada.

Yorum. Temel matris bölenleri, değişmez polinomlardan farklı olarak, esas olarak belirli bir sayı alanıyla ilişkilidir. Orijinal sayısal alan yerine başka bir sayısal alan alırsak (bu matrisin öğelerini de içerir), o zaman temel bölenler değişebilir. Temel bölenlerin yanı sıra matrisin ikinci doğal normal formu da değişecektir.

Örneğin bize gerçek elemanları olan bir matris verilsin. Bu matrisin karakteristik polinomu gerçek katsayılara sahip olacaktır. Aynı zamanda bu polinomun sahip olabileceği karmaşık kökler. Eğer bir reel sayılar alanı ise, temel bölenler arasında indirgenemez kuvvetlerin de bulunması mümkündür. kare trinomialler gerçek katsayılarla. Karmaşık sayıların alanı ise, her temel bölen şu şekle sahiptir:

3. Şimdi sayı alanının sadece matrisin elemanlarını değil aynı zamanda bu matrisin tüm karakteristik sayılarını da içerdiğini varsayalım. O halde matrisin temel bölenleri şu şekle sahiptir:

. (41)

Bu temel bölenlerden birini ele alalım

ve bunu aşağıdaki sıra matrisiyle ilişkilendirin:

. (42)

Bu matrisin yalnızca bir temel bölenin olup olmadığını kontrol etmek kolaydır. Matris (42)'ye temel bölene karşılık gelen bir Jordan hücresi diyeceğiz.

Temel bölenlere (41) karşılık gelen Jordan hücreleri şu şekilde gösterilir:

Daha sonra yarı köşegen matris

temel güç bölenlerine sahiptir (41).

Matris şu şekilde de yazılabilir:

Matrisler ve aynı temel bölenlere sahip olduklarından birbirlerine benzerler, yani tekil olmayan bir matris vardır:

Bir matrise Jordan normal formu veya basitçe bir matrisin Jordan formu denir. Jordan formu, yarı çapraz bir görünüm ve çapraz hücrelerin özel bir yapısı (42) ile karakterize edilir.

Ayrıca eğer , o zaman matrislerin her birinin

,

yalnızca bir temel böleni vardır: . Bu nedenle, (III) ve (IV) ile birlikte temel bölenlere (41) sahip tekil olmayan bir matris için aşağıdaki gösterimler geçerlidir:

İyi çalışmanızı bilgi tabanına göndermek kolaydır. Aşağıdaki formu kullanın

Bilgi tabanını çalışmalarında ve çalışmalarında kullanan öğrenciler, lisansüstü öğrenciler, genç bilim insanları size çok minnettar olacaklardır.

Kanıt:Çünkü Bir matrisin köşegen forma indirgenebilirliği, tüm Jordan hücreleri 1. dereceden olan bir Jordan formuna indirgenebilirliğe eşdeğerdir. A matrisinin tüm temel bölenleri birinci dereceden polinomlar olmalıdır. Çünkü A - lE matrisinin tüm değişmez faktörleri, e n (l) polinomunun bölenleridir, bu durumda ikinci koşul, e n (l)'nin tüm temel bölenlerinin 1 derecesine sahip olduğu gerçeğine eşdeğerdir ve bunun kanıtlanması gerekir.

1.6 Minimal polinom

A düzeyinde bir kare matris düşünün N sahadan unsurlarla P. Eğer

F (l) = b 0 l k + b 1 l k -1 + ... + b k -1 l + b k

P[l] halkasından rastgele bir polinom, ardından matris

F(A) = b 0 A k + b 1 A k-1 + … + b k-1 A + b k E

polinomun değeri olarak adlandırılacaktır F (l) l = A ile; Şu gerçeğe dikkat edelim ücretsiz üye polinom F (k), A matrisinin sıfır derecesi ile çarpılır, yani; birim matris E'ye.

Bir matris kökü tanımlayalım.

Bir polinom ise F (k) A matrisi tarafından iptal edilir, yani. F (A) = 0 ise A matrisi çağrılacaktır matris kökü veya bunun karışıklığa neden olmayacağı durumlarda, sadece polinomun kökü F (l) .

A matrisi aynı zamanda baş katsayıları bire eşit olan bu tür polinomların da köküdür; A matrisi tarafından iptal edilen sıfırdan farklı herhangi bir polinomu alın ve bu polinomu baş katsayısına bölün.

Tanım: A matrisi tarafından iptal edilen, baş katsayısı 1 olan en küçük dereceli polinom, A matrisinin minimal polinomu olarak adlandırılır ve m A ile gösterilir.

Teorem: Her A matrisinin yalnızca bir minimum polinomu vardır.

Kanıt:Örneğin iki minimal polinomun olacağını varsayalım. M 1 (kara M 2 (k), o zaman farkları sıfırdan farklı, daha düşük dereceli bir polinom olur ve bunun kökü yine A matrisidir. Bu farkı baş katsayısına bölerek baş katsayısı 1 olan bir polinom elde ederiz; kök Bunlardan A matrisi olan ve minimal polinomlardan daha düşük bir dereceye sahip olan M 1 (kara M 2 (l), minimal polinomların tanımıyla çelişiyor.

Teorem: Herhangi bir polinom F Kökü A matrisi olan (l), minimum polinomla kalansız olarak bölünebilir M(k) bu matrisin.

Kanıt:İzin vermek F(l) bölünemez M(l). ile belirtelim Q(k) özel, aracılığıyla R(k) bölümün geri kalanı F(l) açık M(l), sahip olacağız

F(l) = M(ben) Q(ben) + R(l).

Burada l = A'yı yerine koyarsak ve şu gerçeği kullanırsak:

M(l) = F(l) = 0,

R(l) = 0.

Ama kalanın derecesi R(l) bölenin gücünden daha az M(l). Bu yüzden R(k), kökü A matrisi olan ve derecesi minimal polinomun derecesinden küçük olan sıfırdan farklı bir polinomdur. M(l), ki bu çelişkilidir. İfade kanıtlandı.

Benzer matrislerin aynı karakteristik polinoma sahip olacağı bilinmektedir. Minimal polinomun da şu özelliği vardır: Benzer matrisler aynı minimum polinomlara sahiptir. Ancak minimal polinomların eşitliği yeterli koşul matris benzerliği.

Vereceğimiz bir sonraki teoremi kanıtlamak için tanım ilişkili matris.

A olsun ben(1) - A matrisinin cebirsel tamamlayıcıları. A'ya ek matrisi, matrise aktarılmış olarak A v gösteriminde tanımlarız. cebirsel eklemeler A. için

bir v = .

Teorem: Son temel bölen e N(ben) karakteristik matris A -bene minimal polinom m A'dır.

Kanıt: Eşitliği yazalım

(-1)n | A - lE | = d n -1 (l) e n (l).

Buradan d n -1 (l) ve e n (l)'nin sıfır olmayacağı sonucu çıkar. B(l), A - lE matrisine ek matrisi göstersin.

B(l) = (A - lE) (1)

Eşitlik adildir

(A - lE) B(l) = | A - lE | E.(2)

Öte yandan, çünkü B(l) matrisinin elemanları, A - lE matrisinin (n - 1) mertebesinden, artı veya eksi işaretleriyle alınan küçükleridir ve yalnızca bunlardır ve d n -1 (l) polinomları geneldir. en büyük bölen tüm bu küçükler, o zaman

B(l) = d n -1 (l) C(l), (3)

ve en büyüğü ortak bölen matris elemanları C(n) 1'e eşittir.

Eşitlikler (3), (2) ve (1) eşitliği ifade eder

(A - lE) d n -1 (l) C (l) = (-1) n d n -1 (l) e n (l) E.

Bu eşitliği sıfır olmayan bir d n -1 (l) faktörüyle azaltıyoruz. Eğer μ(n) sıfırdan farklı bir polinom ise,

D(l) = (d ij (l))

Sıfır olmayan l-matris ve d st(l) ? 0 ise, c(l) D(l) matrisinde (s, t) yerinde sıfır olmayan bir c(l) d st (l) elemanı olacaktır. O.

(A - lE) C(l) = (-1) n e n (l) E,

e n (l) E = (lE - A) [(-1) n+1 C(l)]. (4)

Bu eşitlikten, l-matrisin soldaki binom lE - A'ya bölünmesinin geri kalanının sıfıra eşit olduğu açıktır. Bölüm 3'te kanıtlanan lemmadan, bu kalanın matrise eşit olduğu sonucu çıkar

e n (A) E = e n (A).

Aslında e n (n) E matrisi, katsayıları skaler matris olan bir n-polinom matrisi olarak yazılabilir; A matrisiyle gidip gelir.

onlar. e n (n) polinomu gerçekten de A matrisi tarafından iptal edilmiştir. Bu, e n (n) polinomunun minimal polinom tarafından tamamen bölünebildiği anlamına gelir. M (k) A matrisleri,

e (l) = M (ben) Q (l). (5)

polinomun baş katsayısının olduğu açıktır. Q(-1) n +1 (n) bire eşittir.

Çünkü M (A) = 0, yine paragraf 3'teki aynı lemma göz önüne alındığında, n-matrisin sol bölümünün geri kalanı M (ben) e binomda lE - A sıfıra eşittir, yani.

M (ben) e = (lE - A) Q(l). (6)

Eşitlikler (5), (4) ve (6) eşitliğe indirgenir

(lE - A) [(-1) n+1 C(l)] = (lE - A) .

Bu eşitliğin her iki tarafı da şu şekilde azaltılabilir: ortak çarpan(lE - A), çünkü bunun baş katsayısı E matris l-polinomu tekil olmayan bir matristir. O.,

C(l) = (-1) n +1 Q(l) q(l).

C(n) matrisinin elemanlarının en büyük ortak böleni 1'e eşittir. Bu nedenle, q(n) polinomunun derecesi sıfır olmalıdır ve baş katsayısı 1 olduğundan, o zaman

Böylece (5)’e göre,

e N (l) = M (ben),

Q.E.D.

Bölüm 2. Sorun çözme

Örnek 1. L-matrisini kanonik forma düşürün

Çözüm: Bu A(n) matrisini temel dönüşümler yaparak kanonik forma indirgeyelim.

1) İkinci satırı birinciye ekleyin, ardından ilk satırı (-l) ve (-l 2 -1) ile çarpın ve sırasıyla ikinci ve üçüncü satırları ekleyin. Birinci sütunu (-l 2 -l) ile çarparak birinci ve ikinci sütunları ekleyin. Ortaya çıkan matriste ikinci ve üçüncü sütunları değiştirin. İkinci satırı (-l) ile çarpıp üçüncüye ekleyelim. Daha sonra ikinci sütunu (-l 2 -l + 1) ile çarparak ekleyin. İkinci ve üçüncü satırları (-1) ile çarpın.

A(l) = ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = A(l).

Ortaya çıkan matris kanoniktir çünkü köşegen bir forma sahiptir ve ana köşegen üzerindeki her bir sonraki polinom bir öncekine bölünür.

Cevap:

Örnek 2. L-matrislerin denkliğini kanıtlayın

Çözüm: A(n) matrisini kanonik forma indirgeyelim.

1) A(l) matrisinde birinci ve üçüncü sütunların yerlerini değiştirin:

2) İkinciyi ilk satırdan çıkarın:

3) İlk satırı (l+1) ile çarpın ve üçüncüyü bundan çıkarın:

4) İlk sütunu () ve () ile çarpın ve sırasıyla ikinci ve üçüncü sütunları çıkarın:

5) İkinci ve üçüncü satırları değiştirin:

6) Üçüncü satırı () ile çarpın ve ikinci satırı ondan çıkarın:

7) Üçüncü satırı (-1) ile çarpın:

A(l) ~ = B(l).

Cevap: A(l) ~ B(l).

B(n) matrisinin kanonik olduğuna dikkat edin.

Örnek 3. Bunu kanıtla verilen matris A(l) tek modülerdir. Çapraz görünüme küçültün.

Tek modüler bir matrisin determinantı sıfıra eşit değildir ve l'ye bağlı değildir. Hesaplayalım mı?C:

İlk sütunu (-) ile çarpın l 2) ve bunu ikinciyle eklersek şunu elde ederiz:

A(l) ~~ ~ ~ ~ ~ ~

Cevap: A(n) matrisi tek modülerdir.

Örnek 4. Değişmez faktörleri kullanarak Jordan matrisini bulun

a) A matrisi:

b) B matrisi:

c) matris C:

Çözüm: A matrisi için temel bölenlerin bir tablosunu derliyoruz. Tablonun ilk sütununa son değişmez faktörün temel bölenlerini yazıyoruz: .

Temel bölenler tablosunu kullanarak bir Jordan matrisi oluşturuyoruz. Her temel bölen için karşılık gelen Jordan hücresini yazıyoruz: J 1 (1), J 1 (2), J 1 (3), J 1 (4). Bu hücreleri matrisin ana köşegenine yerleştirerek istenen Jordan matrisini elde ederiz:

B matrisi için temel bölenlerden oluşan bir tablo derliyoruz. Tablonun ilk sütununa, son değişmez faktörün tek temel bölenini, ikinci sütuna - sondan bir önceki değişmez faktörü yazıyoruz:

Değişmez faktörler

C matrisi için temel bölenlerin bir tablosunu derliyoruz. Tablonun ilk sütununa, son değişmez faktörün tek temel bölenini, sondan bir önceki faktörün ikinci sütununu, üçüncü sütuna yazıyoruz -

Temel bölenler tablosunu kullanarak bir Jordan matrisi oluşturuyoruz. Her temel bölen için karşılık gelen Jordan hücresini yazıyoruz J 2 (1), J 1 (1), J 1 (1). Bu hücreleri matrisin ana köşegenine yerleştirerek istenen Jordan matrisini elde ederiz:

Cevap:

Örnek 5. Aşağıdaki matrisleri normal Jordan formuna düşürün:

Çözüm: 1. A matrisi için normal bir Jordan matrisi buluyoruz ve onu kanonik forma getiriyoruz. Karakteristik bir matrisin derlenmesi

matris Jordan formu

2. A - lE matrisini kanonik forma indirgeyelim.

1) Birinci ve ikinci sütunları değiştirin

2) İlk satırı (l - 4) ve (-1) ile çarpın ve sırasıyla ikinci ve üçüncü satırla ekleyin

3) Üçüncü ve ikinci sütunları ekleyin

4) İlk sütunu (l) ile çarparak ilk sütunu ikinciye ekleyin.

5) İkinci ve üçüncü satırları (-1) ile çarpın, ardından ikinci ve üçüncü sütunları ve ikinci ve üçüncü satırları yer değiştirin

Değişmez matris faktörleri

e 1 (l) = 1, e 2 (l) = l - 2

e 3 (l) = = = .

3. Elde edilen e 1 (l) ve e 2 (l) değişmez faktörlerini kullanarak, bir temel bölenler tablosu derliyoruz ve bire eşit temel bölenler tabloya dahil edilmiyor

Her temel bölen için karşılık gelen Jordan hücresini yazıyoruz J 1 (2), J 2 (2). Bu hücreleri matrisin ana köşegenine yerleştirerek istenen Jordan matrisini elde ederiz:

J A = .

B matrisini minörler aracılığıyla normal Jordan formuna indirgeyelim.

1. Karakteristik matrisi oluşturun

2. Değişmeyen faktörleri bulalım. Birinci dereceden küçükler en büyük bölene sahiptir

Tüm ikinci dereceden küçükleri bulalım:

Bu polinomların en büyük ortak böleni

Üçüncü dereceden küçük matrisin determinantıyla çakışıyor

det (B - lE) = =.

Baş katsayısı 1'e eşit olan en büyük ortak böleni alalım.

Değişmeyen faktörleri bulalım:

e 1 (l) = d 1 (l) =1, e 2 (l) = =

3. Elde edilen e 2 (l) ve e 3 (l) değişmez faktörlerini kullanarak bir temel bölenler tablosu derliyoruz.

4. Her temel bölen için karşılık gelen Jordan hücresini yazıyoruz J 1 (-1), J 2 (-1). Bu hücreleri matrisin ana köşegenine yerleştirerek istenen Jordan matrisini elde ederiz:

J B = .

Cevap:

J A =

J B = .

Örnek 6. Matrisin karakteristik polinomunun olduğunu gösterin

onun için geçersizdir.

Çözüm. Belirleyiciyi bulma karakteristik polinom matrisler A.

l değişkeni yerine A matrisini değiştirerek şunu elde ederiz:

Bir = 3 Bir 2 - Bir 3 = 3= 3= 0,

gösterilmesi gereken şey buydu.

Örnek 7. Bir matrisin minimum polinomunu bulun

Çözüm.İlk yol. 1. Karakteristik matrisi oluşturun

2. Bu l-matrisini normal köşegen forma indiriyoruz. Birinci ve üçüncü satırları yer değiştirelim. Soldaki birimi baş eleman olarak seçelim üst köşe matrisler. Yaptığımız öncü elemanı kullanarak sıfıra eşit ilk satırın ve ilk sütunun geri kalan elemanları:

Baştaki elemanı (-l) alıp ikinci satırın ve ikinci sütunun diğer tüm elemanlarını sıfıra eşitliyoruz. Daha sonra köşegen elemanların baş katsayıları olacak şekilde ikinci ve üçüncü satırları (-1) ile çarpıyoruz. bire eşit. Normal diyagonal görünümü elde ederiz:

Minimum matris polinomu

m A (l) =e 3 (l) =.

İkinci yol. 1. Karakteristik bir matris derliyoruz;

2. karakteristik polinomu bulun

bir (l) = 3l 2 - l 3.

3. Karakteristik matrisin (A - lE) ikinci dereceden küçüklerini bulun. Kendimizi ilk iki satırda yer alan küçüklerle sınırlayalım:

M 12 12 = =, M 13 12 = = -l, M 23 12 = = l.

Geriye kalan reşit olmayanlara ilişkin ifade ise bulunanlarla örtüşmektedir. Polinomların en büyük ortak böleni (-l), l eşittir l, yani.

4. Formüle göre

şunu elde ederiz:

Kontrol etmek için hesaplayalım

m Bir (A) =A 2 -3A =

Minimal polinom mA(A)'nın yok edici olduğuna dikkat edin;

Cevap: .

Örnek 8.Ülkenin nüfusu. Ülke nüfusunu dört yaş grubuna ayıralım:

(0,20], (20,40], (40,60], (60,) yıl. (1)

X(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t), x 4 (t))

t zamanında bu gruplardaki kişilerin sayısı. bu alt gruplardaki 20, 40, 60,... yıllardaki (yani X(20), X(40), X(60)... yıllarındaki nüfus büyüklüğüyle (yani ülke nüfusunun yaş yapısıyla) ilgileniyoruz. ). Bunu X(0) vektörünün koordinatlarından ve hayata mümkün olduğunca yakın alacağımız doğum ve ölüm oranlarından hesaplayacağız.

Gelecek için bir denklem oluşturalım.

20 yıl içinde 1. gruptaki insanların neredeyse tamamı ikinci gruba geçecek. Bazıları hastalıktan, kazalardan vs. ölecek. 20 yıl içinde 1. gruptan 0,95 kişi ikinci gruba geçsin. Bu 1. grubun 2. gruba katsayısıdır:

x 2 (t + 20) = 0,95 x 1 (t). (2)

Ayrıca bu gruptaki gençlerin küçük bir kısmının 20 yaşından önce evlenmeye ve çocuk sahibi olmaya vakti olacak, bu da 1. grubun 1. gruba (20 yıl sonra) katkısını veriyor. Bu katkı 1. grubun nüfusunun 0,01'i olsun. 2. ve 3. gruplar da 1. gruba (çocuklar şeklinde) katkı sağlayacak. 2. grubun katkısı kendi sayısının 0,5'i (herkes evli ve her ailede bir çocuk var) ve 3. grubun katkısı = kendi sayısının 0,02'si olsun. Daha sonra

X 1 (t + 20) = 0,01 x 1 (t) + 0,5 x 2 (t) + 0,02 x 3 (t). (3)

İkinci gruptaki hayatta kalma oranını 0,8'e ayarlayalım, yani.

X3(t+20) = 0,8x2(t). (4)

Ve grup 3 ve 4'te sırasıyla 0,7 ve 0,4:

X 4 (t + 20) = 0,7 x 3 (t) + 0,5 x 4 (t). (5)

Verdiğimiz (2, 3, 4, 5) ilişkilerini matris formunda yeniden yazıyoruz:

X(t + 20) = AX(t). (6)

Etki katsayılarının A matrisi şu şekildedir:

Prensiplere göre derlenir:

giriş numarası = sütun numarası,

çıkış numarası = satır numarası.

Yani 1. grubun 2. üzerindeki etki katsayısı 1. sütun 2. satıra yazılmalıdır.

Formül (6)'ya göre, eğer A operatörü t zamanında X(t) nüfus bileşimine göre hareket ederse, 20 yıl sonra X(t + 20) nüfus bileşimi elde edilecektir. Bu nedenle A operatörüne vardiya operatörü adı verilir (bu problemde 20 yıllık vardiya).

Formül (6)'dan şu sonuç çıkıyor:

X(t + 40) = AX(t + 20) = AAX(t) = A 2 X(t)

X(t + 60) = AX(t + 40) = AA 2 X(t) = A 3 X(t)

X(t + 20n) = Bir n X(t) (8)

Yani, 20, 40, 60,... sonrasındaki nüfusu hesaplamak istiyoruz (ne doğum oranının ne de ölüm oranının değişmediğini varsayarak) - yani. AX(0), A 2 X(0), A 3 X(0),… Çarpımını hesapla

Bir n X(0) = AAAA…AX(0)

Farklı sıralarda hesaplanabilir. Bunu yapabilirsiniz:

A(A…(AX(0))). (9)

Veya şunu yapabilirsiniz: önce A n sonra

Bu problemde, gelecekteki nüfusu yalnızca birkaç an için (örneğin 200 yıl önceden) hesaplamak gerekiyorsa, operasyon sayısını azaltmak için formül (9)'u kullanacağız. Ama eğer seçmek istiyorsak sayısal öğeler A matrisi (örneğin, ülke nüfusunun aynı seviyede sabitlendiği doğum oranını bulun), o zaman yöntem (10) daha uygundur. O halde bugünkü nüfus şu şekilde olsun:

X 1 (0) = 30, x 2 (0) = 40, x 3 (0) = 30, x 4 (0) = 25 (milyon kişi).

Şimdi hesaplamaları yapalım N= 2, 3...10 matematiksel bilgisayar programlarından herhangi birinde (örneğin, Mathematics, MathCAD, Maple V) (9)'a göre. biraz kullanıyorum bilgisayar programı, tabloya girdiğimiz sonuçları alıyoruz.

200 yılda buna benzer nüfusa sahip bir ülkenin olduğunu görüyoruz. modern Rusya nüfusa göre küçüldü Leningrad bölgesi. Nüfusun nasıl yaşlandığına dikkat edelim (yaşlıların oranı artıyor). Bu, nüfus azalmasının zorunlu bir sonucu. Gerçekte ise her şey çok daha kötü: Aynı bölgedeki nüfus azalması gençlerin tanışıp evlenmesini zorlaştırıyor, ülkenin zenginliğini azaltıyor ve bunun sonucunda da durum kötüleşiyor. tıbbi bakım vesaire. vesaire. Yani nüfusun azalması A tablosundaki sayıların da azalmasına yol açacaktır.

Karşılaştırma için 2. gruptaki doğum oranını farklı olarak aile başına 4 çocuk düzeyinde ayarlayalım.

O zaman aynı hesaplamalar bize şunu verir:

140 yıl sonra bugünkü Rusya, Çin'in bir milyarlık nüfusuna yetişecek ve yarısı gençlerden oluşacaktı.

Doğal olarak, eğer sadece bu kadar basit bir tahminle ilgilenseydik, kendimizi şu şekilde sınırlandırabilirdik: basit hesaplama(9)'a göre ve Jordan formunun teorisine ihtiyaç duyulmayacaktır. Ama biz, ülkenin ölümüne ya da felaket düzeyinde bir nüfus artışına izin vermeden süreci yönetebilme becerisiyle ilgileniyoruz. Bu nedenle üç soruyla ilgileniyoruz:

· doğum oranını seçerek nüfusu istikrara kavuşturmak mümkün müdür (bu oranı arttırmak ölüm oranını azaltmaktan daha kolaydır);

· ülke nüfusunun istikrara kavuşması için doğum oranının ne olması gerektiği;

· istikrarlı bir nüfus büyüklüğü ile nüfus yapısının nasıl oluşturulacağı (gençler ve yaşlılar arasındaki oran) (bu oran, her bir çalışanın kaç emekliyi beslemesi gerektiğini belirler ve dolayısıyla emek verimliliği ile birlikte yaşam standardını belirler) ).

Sayısal deney, yani bu tür tabloların hesaplanması çeşitli miktarlar(9)'a göre doğum oranı belki de doğum oranı değerini seçmenize olanak sağlayacaktır. Ancak hesaplamaların süresiz olarak yapılmasının imkansızlığı ve sayıların davranışlarını anlamadaki zorluklar nedeniyle sonucu bilmediğimiz bir hatayla alacağız. ayrı gruplar. Aslında: x 3 (t) ve x 4 (t) değerleri son masa tereddüt etmek. Doğurganlık parametresini biraz değiştirirseniz dalgalanmalar da bir miktar değişecektir.

(8)’e göre ülkemizin 20n yıllık nüfusu eşittir

X(20n)=A n X(0), (12)

A matrisinin (7)'de verildiği yer. Bunu biliyoruz

Bir n = S J n S -1 (13)

Burada S, aşağıdakilerden oluşan yeni bir temele geçiş matrisidir: sabit sayılar ve J, A matrisinin Jordan normal formudur.

J'yi hesaplamak için A matrisinin özdeğerlerine ihtiyacımız var. Hesaplamalar için bilgisayar kullanıyoruz. A matrisimiz için Maple V dört özdeğer verir:

ben 1 = 0,7095891332

l2 = - 0,667497875

l4 = - 0,0320912582

Farklı özdeğerlerin sayısı = 4 olduğundan, bu, J matrisindeki tüm Jordan hücrelerinin 1. sıraya sahip olduğu anlamına gelir, yani. J matrisi tamamen köşegendir ve n'inci kuvveti şu şekildedir:

Böylece (12) için şunu elde ederiz:

X(20n) = l 1 n V + l 2 n V + l 3 n V + l 4 n V, (14)

burada V harfleri bazı sayısal (sabit) sütun vektörlerini belirtir.

Formül (14)'ün yapısı X'in davranışını artan N. Özdeğerlerin mutlak değerde 1'den küçük olması nedeniyle tüm terimler azalır, yani. X, 0 vektörüne eğilimlidir. Son üç terim azalıyor ilkinden daha hızlı. Yeterince büyük N ilk terim bu toplamın ana terimi olacaktır. İkinci terim birinciden daha hızlı azalır, ancak ikinci özdeğerin negatifliği nedeniyle ya birinciye eklenir (çift sayı için) N) veya ondan çıkarılır (tek sayı için) N), yani yaratır sönümlü salınımlar X'in davranışında. Bu dalgalanmalar gerçeğe karşılık gelir, çünkü bu dalgalanmaların döngüsü keyfi olarak seçilmiş bir aralık (20 yıl) tarafından belirlenir. Nüfusu ikiye bölerken daha büyük sayı yaş grupları negatif özdeğerler daha kısa süreli salınımlar üretecektir.

Yüksek bir doğum oranı varsa, o zaman X(20n) formülü hala (14) biçimindedir, ancak daha büyük özdeğerler içerecektir. Doğum oranının yüksek olması durumunda, ilk özdeğerin birden büyük olduğu ortaya çıkar ve bu nedenle şunu gözlemleriz: üstel büyüme nüfus.

Yukarıda yazılanlardan şu sonuca varabiliriz: Eğer ülkenin nüfusunu istikrara kavuşturmak istiyorsak, doğum oranını ilk özdeğer 1'e eşit olacak ve diğer tüm özdeğerler mutlak olarak 1'den küçük olacak şekilde seçmeliyiz. Bu, denklemdeki son üç terimin 0 formülüne (14) yönelmesini sağlayacak ve ardından V1, popülasyonun istenen kararlı durumu olacaktır.

Daha sonra doğum oranını seçeceğiz. (7)'de verilen A matrisine dönelim. 2. gruptaki çocukların doğum oranı (birinci satır, ikinci sütun) g harfiyle değiştirilecektir. Bilindiği gibi A matrisinin özdeğeri onun karakteristik denkleminin kökü olmalıdır. l = 1'e ihtiyacımız olduğu için determinantı det(A - E) hesaplıyoruz.

Aldık

det = 0,584880 - 0,57006 g

ve det = 0 eşitliğinden g = 1,026'yı buluruz. Bu doğum oranı değerini A matrisine (1. satır, 2. sütun) yerleştiriyoruz ve (9)'u kullanarak ülkenin 200 yıllık nüfusunu yeniden hesaplıyoruz.

Doğum oranını 200 yıl boyunca ülke nüfusunun istikrarını sağlayacak şekilde ayarladılar. 130 milyon civarında seyrediyor. Bireysel grupların sayılarındaki dalgalanmalar oldukça önemlidir. Bu dalgalanmaların nedeni A matrisinin artık modulo bire yakın iki özdeğere sahip olması ve bunlardan birinin negatif olmasıdır. Yani şuna benzer bir sonuç elde ediyoruz

X(20n) = V 1 + (-1) n V 2 + l 3 n V 3 + l 4 n V 4 , (15)

Üçüncü ve dördüncü özdeğerlerin mutlak değerlerinin 1'den küçük olması nedeniyle son iki terim artan n ile azalır. İkinci terim ise X'in V 1 - V 2 değerinden değerine salınmasını sağlar. V 1 + V 2 ve geri.

g'nin yaklaşık değeri göz önüne alındığında, A matrisinin öz değeri tam olarak 1'e eşit değildir. Bu nedenle, grupların boyutu bu büyük dalgalanmaların arka planına göre yavaş yavaş değişir. Elbette, daha kesin olarak 1'e eşit bir özdeğer elde etmek için doğurganlığı ayarlamayı deneyebilir ve ardından ikinci özdeğerin (-1)'e ne kadar yakın olduğunu bulabilirsiniz. Ancak elbette bu problemdeki özdeğerleri açıklığa kavuşturmak mantıklı değil çünkü başlangıç ​​değerleri ve A matrisinin kendisi büyük bir hatayla verilmiştir (ve prensip olarak doğurganlık ve ölümlülüğün kesin ölçümü bize doğru hesaplamaların temelini vermez, çünkü bunları düzeltmek imkansızdır). Bu modelin geliştirilmesi toplumdaki diğer bağımlılıkların dikkate alınması yolunu izlemelidir. Ancak tamamen teorik bir bakış açısıyla, limitin (14) varlığı sorununu çözdük: eğer özdeğerlerden biri 1'e eşitse ve geri kalanı mutlak değerden küçükse, o zaman limit mevcuttur.

Çözüm

Matrislerden ilk kez bahsedildi Antik Çin, daha sonra "sihirli kare" olarak adlandırıldı. Matrislerin ana uygulaması doğrusal denklemlerin çözülmesiydi. Ayrıca sihirli kareler bir süre sonra Arap matematikçiler tarafından biliniyordu ve o sıralarda matrislerin eklenmesi ilkesi ortaya çıktı. 17. yüzyılın sonlarında determinant teorisini geliştiren Gabriel Cramer (1704 - 1752), 18. yüzyılda teorisini geliştirmeye başladı ve 1751'de Cramer kuralını yayınladı. Aynı dönemde “Gauss yöntemi” ortaya çıktı. Matris teorisi 19. yüzyılın ortalarında William Hamilton ve Arthur Cayley'in çalışmalarıyla başladı. Matrisler teorisindeki temel sonuçlar Karl Weierstrass (1815 - 1897), Jordan, Frobenius'a (1849 - 1917) aittir. Matris terimi 1850'de James Sylvester tarafından icat edildi.

Matrisler her yerde bulunur. Örneğin çarpım tablosu matrislerin çarpımıdır. Fizikte veya diğerlerinde uygulamalı bilimler Matrisler verileri kaydetmenin ve dönüştürmenin bir yoludur. Programlamada - program yazmada. Bunlara diziler de denir. Teknolojide yaygın olarak kullanılır. Örneğin, ekrandaki herhangi bir resim, öğeleri noktaların renkleri olan iki boyutlu bir matristir. Psikolojide terimin anlaşılması matematikteki bu terime benzer, ancak bunun yerine matematiksel nesneler kesin " psikolojik nesneler" - örneğin testler. Ayrıca matrisler ekonomide, biyolojide, kimyada ve hatta pazarlamada yaygın olarak kullanılmaktadır. Ayrıca soyut bir model de var; evlilik teorisi. ilkel toplum matrisler kullanılarak, belirli bir kabilenin temsilcileri ve hatta torunları için izin verilen evlilik seçeneklerinin gösterildiği yer.

Matematikte matrisler, SLAE'leri veya sistemleri kompakt bir şekilde yazmak için yaygın olarak kullanılır. diferansiyel denklemler. Matris aparatı, SLAE'lerin çözümünün matrisler üzerindeki işlemlere indirgenmesine olanak tanır.

Belirli bir süre sonra bir ülke, bölge veya dünyada olacak nüfusun hesaplanmasında matrisin Ürdün normal formu kullanılır. Böyle bir matris, belirli koşullara bağlı olarak nüfustaki değişiklikler hakkında bir fikir verir: doğum oranı ve ölüm oranı, ne ülkenin ölümüne ne de nüfusta felaket bir artışa izin vermez.

Matris teorisi gerekli değildir okul müfredatı matematik okuyorum. İleri düzey matematik derslerinin olduğu okullarda matris teorisinin temel kavramları yüzeysel olarak öğretilmektedir. Yüksek matematik çalışırken matrisler daha ayrıntılı olarak tartışılır.

Çalışma, öğrencilere matris teorisi alanındaki bilgilerini genişletmeleri, lise öğrencilerine ve matematik öğretmenlerine kendilerini tanımaları için önerilebilir. genel kavramlar matematiksel ufuklarını genişletmenin bir parçası olarak matris teorisi.

Çalışmada belirlenen görevler çözüldü, hedefe ulaşıldı.

Kullanılmış literatür listesi

1. Kvashko, L. P. Lineer cebirin temelleri: Ders Kitabı. ödenek / L. P. Kvashko. - Habarovsk: DVGUPS yayınevi, 2012. - 78 s. : hasta.

2. Yazılı, D. T. Ders notları yüksek matematik: [saat 2'de]. Bölüm 1 / D. T. Yazılı. - 6. baskı. - M .: Iris-press, 2006. - 288 s .: hasta.

3. Mishina, A.P. Yüksek cebir. / I.V. Proskuryakov. - M., Fizmatlit, 1962. - 300 s.

4.Romannikov, A.N. Doğrusal cebir: Ders kitabı. kılavuz // Moskova devlet üniversitesi ekonomi, istatistik ve bilgisayar bilimi. - M., 2003. - 124 s.

5. Okunev, L. Ya. Yüksek cebir. / L. Ya. - M.: Eğitim, 1966. - 335 s.

6. Faddeev, D.K. Cebir üzerine dersler: Proc. harçlık./ D.K. Faddeev.-4. baskı, silindi..- St. Petersburg: Lan, 2005.- 416 s. - (Üniversiteler için ders kitapları. Özel edebiyat. En iyi klasik ders kitapları. Matematik).

7. Butuzov, V.F. Soru ve problemlerde doğrusal cebir: ders kitabı. öğrencilere yardım üniversiteler/ V.F. Butuzov. - 3. baskı, gözden geçirilmiş - St. Petersburg: Lan, 2008. - 256 s. - (Üniversiteler için ders kitapları. Özel edebiyat).

8. Voevodin, V.V. Lineer cebir: Ders Kitabı. ödenek / V.V. Voevodin.-4. baskı, silindi..- St. Petersburg: Lan, 2008.- 416 s. -(Üniversiteler için ders kitapları. Özel edebiyat)

9. Kurosh, A. G. Yüksek cebir kursu: Ders Kitabı. ödenek./ A.G. Kuroş. 17. baskı, - St. Petersburg: Lan Yayınevi, 2008. - 432 s.: hasta. - (Üniversiteler için ders kitapları. Özel edebiyat).

10. Gelfand, I.M. Dersler doğrusal cebir./ BEN. Gelfand. - 5. baskı, rev. - M .: Dobrosvet, Moskova Süreklilik Merkezi matematik eğitimi, 1998. - 320 s.

11. Maltsev, A.I. Doğrusal cebirin temelleri: Ders kitabı. ödenek./A.I. Maltsev. 5. baskı, silindi. - St. Petersburg: Lan Yayınevi, 2009. - 480 s.: hasta. - (Üniversiteler için ders kitapları. Özel edebiyat).

12. Gantmakher, F. R. Matrisler teorisi. Ders Kitabı üniversiteler için el kitabı./ F.R. Gantmakher, - Yüksek Lisans Bilim. 1967. - 576 s.

13. Cebir üzerine dersler. 2. Yarıyıl. Sayı II. Matrisin Jordan normal formu: Eğitimsel ve metodolojik el kitabı/ S.N. Tronin. -- Kazan: Kazansky (Privolzhsky) federal üniversite, 2012. - 78 s.

14. Van der Waerden B.L. van der Waerden; Başına. onunla. A.A. Belsky.-3. baskı, ster.- St. Petersburg: Lan, 2004.- 624 s.

15. Alferova, Z.V. Cebir ve sayılar teorisi. Eğitimsel ve metodolojik kompleks/ Z.V. Alferova, E.L. Balyukevich, A.N. Romannikov. - M.: Avrasya Açık Enstitüsü, 2011. - 279 s.

16. Lancaster, P., Matrisler Teorisi. / P. Lancaster - M.: “Bilim” 1973, 280 s.

17. Schreyer O. Matrisler teorisi / E. Sperner. - L.: ONTI, 1936. - 156 s.

18. Shneperman, L.B. Cebir ve sayılar teorisinde problemlerin toplanması: Ders Kitabı. ödenek./ L.B. Shneperman.-3. baskı, silindi..- St. Petersburg: Lan, 2008.- 224 s. -(Üniversiteler için ders kitapları. Özel edebiyat).

19. Proskuryakov, I.V. Lineer cebirde problemlerin toplanması. Ders Kitabı ödenek / I.V. Proskuryakov. - 13. baskı, silindi. - St. Petersburg: "Lan" Yayınevi, 2010. - 480 s. -- (Üniversiteler için ders kitapları. Özel edebiyat).

20. Cebirde problemlerin toplanması: problem kitabı / ed. yapay zeka Kostrikina. - M .: MTsNMO, 2009. - 404 s.

21. Sushkova M. V. St. Petersburg Devlet Politeknik Üniversitesi Üniversite / İnternet dergisinde matematik. - 2002. - No. 2. - URL: https://www.spbstu.ru/publications/m_v/N_002/Sushkova/par_02.html.

Allbest.ru'da yayınlandı

Benzer belgeler

Matrisler üzerinde temel işlemler ve özellikleri. Matrislerin çarpımı veya matrislerin çarpımı. Blok matrisleri. Determinant kavramı. Matris araç çubuğu. Transpozisyon. Çarpma. Bir kare matrisin determinantı. Vektör modülü.

özet, 04/06/2003 eklendi


Matrislerin uygulamaları ve çeşitleri (eşit, kare, köşegen, birim, sıfır, satır vektörü, sütun vektörü). Matrisler üzerindeki işlemlere örnekler (sayılarla çarpma, toplama, çıkarma, matrislerin çarpması ve yer değiştirmesi) ve elde edilen matrislerin özellikleri.

sunum, 21.09.2013 eklendi


Sistemin çözümü için kayıt formu ve yöntemleri cebirsel denklemler n bilinmeyenli. Vektörlerin ve matrislerin çarpımı ve normları. Matris determinantlarının özellikleri. Özdeğerler ve özvektörler. Kullanım örnekleri sayısal özellikler matrisler

özet, 08/12/2009 eklendi


Matris kavramı, türleri ve cebiri. Kare matrisin determinantları ve özellikleri, Laplace teoremi ve iptali. Konsept ters matris ve benzersizliği, yapım algoritması ve özellikleri. Yalnızca kare matrisler için birim matrisin tanımı.

özet, 06/12/2010 eklendi


Ortogonalin yorumlanması ve üniter matris. Matrislerin temel belirleyicileri. Karmaşık karenin tanımı, dejenere olmayan ve tekil matrisler. Determinant bulma yöntemleri. Dodgson yoğunlaşma yöntemi. Çarpık simetrik çoklu doğrusal satır fonksiyonu.

kurs çalışması, eklendi 06/04/2015


Matrisler kullanarak değerlerini ifade ederken, bir işletmenin ürün üretimi için nakit maliyetlerinin hesaplanması. Bir denklem sisteminin uyumluluğunun kontrol edilmesi ve Cramer formülleri ve ters matris kullanılarak çözülmesi. Cebirsel denklemlerin Gauss yöntemini kullanarak çözülmesi.

test, 28.09.2014 eklendi


Cebirsel matris gruplarına örnekler, klasik matris grupları: genel, özel, simplektik ve dik. Cebirsel bir grubun bileşenleri. Matris sıralaması, denklemlere dönüş, uyumluluk. Doğrusal dönüşümler, matrislerle işlemler.

kurs çalışması, eklendi 09/22/2009


Zp alanı üzerinde tersinir matrisler. 2. dereceden ters çevrilebilir matrisleri sayma formülü. 3. dereceden ters çevrilebilir matrisleri sayma formülü. Genel formül Zp alanı üzerinde tersinir matrislerin sayılması. Zn üzerinde tersinir matrisler.

tez, eklendi: 08/08/2007


Hesaplama yöntemi nokta çarpım verilen vektörler. Matrislerin determinantlarının ve derecelerinin hesaplanması, ters matrislerin bulunması. Denklemlerin Cramer yöntemi, ters matris ve yerleşik lsolve işlevi kullanılarak çözülmesi. Elde edilen sonuçların analizi.

laboratuvar çalışması, 10/13/2014 eklendi


Temel Eylemler matrisler üzerinde. Çözüm matris denklemleri ters matrisin kullanılması ve kullanılması temel dönüşümler. Ters ve devrik matris kavramları. Matris denklemlerini çözme çeşitli türler: AX=B, HA=B, AXB=C, AX+XB=C, AX=HA.