Bir matrise kare denirse. §1

Resmi Kalkınma Yardımı. Aşağıdakilerden oluşan dikdörtgen bir masa Tçizgiler ve P sütunlar gerçek sayılar isminde matris boyut t×p. Matrisler büyük Latin harfleriyle gösterilir: A, B,... ve bir sayı dizisi yuvarlak veya köşeli parantezlerle ayrılır.

Tabloda yer alan sayılara matris elemanları adı verilir ve çift indeksli küçük Latin harfleriyle gösterilir; Ben– satır numarası, J– elemanın bulunduğu kesişim noktasındaki sütun numarası. İÇİNDE Genel görünüm matris şu şekilde yazılır:

İki matris dikkate alınır eşit karşılık gelen elemanları eşitse.

Matris satır sayısı ise T sütun sayısına eşit P, o zaman matris denir kare(aksi halde – dikdörtgen).

Boyut Matrisi
satır matrisi denir. Boyut Matrisi

sütun matrisi denir.

Eşit indekslere sahip matris elemanları (
vb.), biçim ana diyagonal matrisler. Diğer köşegene yan köşegen denir.

Kare matris denir diyagonal, eğer ana köşegenin dışında bulunan tüm elemanları sıfıra eşitse.

Köşegen elemanları bire eşit olan köşegen matrislere denir. Bekar matristir ve standart notasyon E'ye sahiptir:

Ana köşegenin üstünde (veya altında) bulunan tüm matris elemanları sıfıra eşitse, matrisin üçgen formda olduğu söylenir:

§2. Matrisler üzerinde işlemler

1. Matris aktarımı - matrisin satırlarının sıraları korunarak sütunlar halinde yazıldığı bir dönüşüm. Bir kare matris için bu dönüşüm, ana köşegen etrafında simetrik bir haritalamaya eşdeğerdir:

.

2. Aynı boyuttaki matrisler toplanabilir (çıkarılabilir). Matrislerin toplamı (farkı), her bir elemanı aynı boyutta olan bir matristir. toplamına eşit Orijinal matrislerin karşılık gelen elemanlarının (farklılıkları):

3. Herhangi bir matris bir sayıyla çarpılabilir. Bir matrisin bir sayıya göre çarpımı, her bir elemanı orijinal matrisin karşılık gelen elemanının bu sayı ile çarpımına eşit olan aynı dereceden bir matristir:

.

4. Bir matrisin sütun sayısı diğerinin satır sayısına eşitse, ilk matrisi ikinciyle çarpabilirsiniz. Bu tür matrislerin çarpımı, her bir elemanı, birinci matrisin karşılık gelen satırındaki elemanların ve ikinci matrisin karşılık gelen sütununun elemanlarının ikili çarpımlarının toplamına eşit olan bir matristir.

Sonuçlar. Matris üssü İle>1 A matrisinin çarpımıdır İle bir kere. Yalnızca kare matrisler için tanımlanır.

Örnek.

Matrislerdeki işlemlerin özellikleri.

1. (A+B)+C=A+(B+C);

   k(A+B)=kA+kV;

   A(B+C)=AB+AC;

   (A+B)C=AC+BC;

   k(AB)=(kA)B=A(kV);

   A(BC)=(AB)C;

2. (kA) T = kAT;

   (A+B) T =A T +B T;

   (AB) T =B T A T;

Yukarıda listelenen özellikler sayılarla ilgili işlemlerin özelliklerine benzer. Matrislerin kendine özgü özellikleri de vardır. Bunlar, örneğin matris çarpımının ayırt edici özelliğini içerir. AB ürünü varsa BA ürünü olur.

mevcut olmayabilir

AB'den farklı olabilir.

Örnek. Şirket, A ve B olmak üzere iki tip ürün üretiyor ve S 1, S 2 ve S 3 olmak üzere üç tip hammadde kullanıyor. Hammadde tüketim oranları N= matrisiyle belirtilir
, Nerede N ben– hammadde miktarı J Bir birim çıktının üretimi için harcanan Ben. Üretim planı C=(100 200) matrisiyle, her hammadde türünün birim maliyeti ise matrisle verilmektedir. . Planlanan üretim için gerekli hammadde maliyetlerini ve toplam hammadde maliyetini belirleyin.

Çözüm. Hammadde maliyetlerini C ve N matrislerinin çarpımı olarak tanımlarız:

Hammaddelerin toplam maliyetini S ve P'nin çarpımı olarak hesaplıyoruz.

Ana köşegeninde birlerin bulunduğu ve diğer tüm elemanların sıfıra eşit olduğu üçüncü dereceden bir kare matris, birim matris olarak adlandırılacak ve veya basitçe ile gösterilecektir. "Birim matris" adı, matrisin aşağıdaki özelliği ile ilişkilidir: herhangi biri için dikdörtgen matris

eşitlikler var

.

Açıkça,

Bir kare matris olsun. Daha sonra matrisin derecesi olağan şekilde belirlenir:

Matris çarpımının kombinasyon özelliğinden şu sonuç çıkar:

Burada , keyfi negatif olmayan tamsayılardır.

Alandan katsayıları olan bir polinomu (tam bir rasyonel fonksiyon) düşünün:

O zaman matrisi kastediyoruz

Bir matristeki polinom bu şekilde tanımlanır.

Polinom polinomların çarpımına eşit olsun ve:

.

Polinom, terim terim çarpım ve azaltma yoluyla elde edilir benzer üyeler. Bu durumda kuvvetler çarpımı kuralı kullanılır: . Tüm bu eylemler, bir skaler miktarı bir matrisle değiştirirken de geçerli olduğundan, o zaman

Bu nedenle, özellikle,

yani aynı matristen gelen iki polinom her zaman birbiriyle değişir.

Dikdörtgen bir matristeki köşegen üstü (alt köşegen), (sırasıyla) bir dizi öğe olduğu konusunda hemfikir olalım. Birinci dereceden köşegen üstü elemanların bire ve diğer tüm elemanların sıfıra eşit olduğu bir kare matris ile gösterelim. Daha sonra

, vesaire.;

Bu eşitliklere göre:

Polinom görecelidir, o halde

.

Benzer şekilde, eğer birinci alt köşegenin tüm elemanlarının bire ve geri kalanların hepsinin sıfıra eşit olduğu üçüncü dereceden bir kare matris ise, o zaman

.

Okuyucuyu kontrol etmeye davet ediyoruz aşağıdaki özellikler matrisler ve:

1° Çarpma sonucu keyfi -matris soldan 3. dereceden bir matrise (matrise) doğru, matrisin tüm satırları bir basamak yukarı (aşağı) ezilir (alçaltılır), matrisin ilk (son) satırı kaybolur ve matrisin son (ilk) satırı ürün sıfırlarla doludur. Örneğin,

,

.

2° Sağdaki rastgele bir -matrisin üçüncü dereceden bir matrisle çarpılması sonucunda matrisin tüm sütunları bir yer sağa (sola) kaydırılırken, matrisin son (ilk) sütunu kaybolur. ve ürünün ilk (son) sütunu sıfırlarla doldurulur. Örneğin,

.

.

2. Eğer kare matrise özel diyeceğiz. Aksi takdirde kare matrise tekil olmayan denir.

Tekil olmayan bir matris () olsun. Hadi düşünelim doğrusal dönüşüm katsayı matrisi ile

Eşitlikleri (23) göreceli denklemler olarak düşünürsek ve denklem sisteminin (23) koşula göre determinantının sıfırdan farklı olduğuna dikkat çekerek, bilinen formülleri kullanarak benzersiz bir şekilde şu şekilde ifade edebiliriz:

. (24)

(23) için “ters” dönüşümü elde ettik. Bu dönüşümün katsayı matrisi

matrisin ters matrisini çağıracağız. (24)'ten bunu görmek kolaydır

, (25)

determinanttaki elemanın cebirsel tamamlayıcısı (ek) nerede .

Örneğin, eğer

Ve ,

.

Bu dönüşümün (23) ve tersinin (24) bir ve diğer sırayla bileşik dönüşümünü oluşturarak, her iki durumda da şunu elde ederiz: kimlik dönüşümü(birim katsayı matrisi ile); Bu yüzden

. (26)

Eşitliklerin (26) geçerliliği, ve matrislerinin doğrudan çarpılmasıyla da doğrulanabilir. Aslında (25) sayesinde

.

Aynı şekilde

.

Matris denklemlerinin olduğunu görmek kolaydır.

çözümden başka çareleri yok. Nitekim birinci denklemin her iki tarafını soldan, ikincisini sağdan çarpmak ve kullanmak ilişkisel özellik matrislerin çarpımı ve eşitliğin (26) yanı sıra, her iki durumda da şunu elde ederiz:

Aynı şekilde matris denklemlerinin her birinin

dikdörtgen matrisler nerede ve nelerdir eşit boyutlar, uygun boyutta bir kare matristir ve tek bir çözümü vardır:

Ve buna göre (29)

Matrisler (29), bir matrisin bir matrise "bölünmesinin" "sol" ve "sağ" bölümleridir. (28) ve (29)'dan sırasıyla (bkz. sayfa 22) ve , yani . (28) ile karşılaştırıldığında, elimizde:

Dikdörtgen bir matris soldan veya sağdan tekil olmayan bir matrisle çarpıldığında orijinal matrisin sıralaması değişmez.

Ayrıca (26)'dan şunun çıktığını da belirtelim, yani.

İki tekil olmayan matrisin çarpımı için elimizde:

. (30)

3. . dereceden tüm matrisler kimlik elemanıyla bir halka oluşturur. Bu halkada alandaki bir sayıyla çarpma işlemi tanımlandığından ve th. dereceden tüm matrislerin doğrusal olarak ifade edildiği doğrusal olarak bağımsız matrislerin bir temeli olduğundan, th. dereceden matrislerin halkası bir cebirdir.

Tüm kare matrisler-'inci sıra, toplama işlemine göre değişmeli bir grup oluşturur. 3. dereceden tekil olmayan tüm matrisler, çarpma işlemine göre bir (değişmeli olmayan) grup oluşturur.

Ana köşegenin altında (ana köşegenin üstünde) bulunan tüm matris elemanları sıfıra eşitse, kare matrise üst üçgen (alt üçgen) denir:

, .

Köşegen matris, hem üst hem de alt üçgen matrisin özel bir durumudur.

Üçgen bir matrisin determinantı, köşegen elemanlarının çarpımına eşit olduğundan, üçgen (ve özellikle köşegen) bir matris, yalnızca tüm köşegen elemanları sıfır değilse tekil değildir.

İki köşegen (üst üçgen, alt üçgen) matrislerin toplamının ve çarpımının bir köşegen (sırasıyla üst üçgen, alt üçgen) matris olduğunu ve bunun olduğunu kontrol etmek kolaydır. ters matris tekil olmayan bir köşegen için (üst üçgen, alt üçgen) matris aynı türden bir matristir. Bu yüzden

1° Tamamı çapraz, tamamı üst üçgen, tamamı alt üçgen matrisler toplama işlemine göre üç değişmeli grup oluşturur.

2° Tekil olmayan tüm köşegen matrisler çarpma altında değişmeli bir grup oluşturur.

3° Tekil olmayan tüm üst (alt) üçgen matrisler çarpma altında bir grup (değişmeli olmayan) oluşturur

4. Bu bölümün sonunda matrisler üzerinde iki önemli işleme değineceğiz: bir matrisin transpozisyonunu yapmak ve eşlenik matrislere geçmek.

Bir kare matris, devrik () ile çakışırsa, böyle bir matrise simetrik denir. Bir kare matris eşleniği () ile çakışıyorsa buna Hermitian denir. Simetrik bir matriste, ana köşegene göre simetrik olarak yerleştirilmiş elemanlar eşittir, ancak bir Hermit matrisinde bunlar birbirleriyle karmaşık bir şekilde eşleniktir. Bir Hermit matrisinin köşegen elemanları her zaman gerçektir. Genel olarak konuşursak, iki simetrik (Hermitsel) matrisin çarpımının simetrik (Hermitsel) bir matris olmadığını unutmayın. 3° sayesinde, bu yalnızca verilen iki simetrik veya Hermit matrisinin birbiriyle yer değiştirmesi durumunda meydana gelir.

Eşitliği teşvik eder.

Bir kare matris, devrikinden () -1 faktörü kadar farklıysa, o zaman böyle bir matrise çarpık simetrik denir. Çarpık simetrik bir matriste, ana köşegene göre simetrik olarak yerleştirilmiş herhangi iki eleman birbirinden -1 faktörü kadar farklıdır ve köşegen elemanlar sıfıra eşittir. 3°'den birbiriyle yer değiştiren iki çarpık simetrik matrisin çarpımının bir simetrik matris olduğu sonucu çıkar.

Matematikte matrisler bunlardan biridir. en önemli nesneler sahip olmak uygulanan değer. Matrisler teorisine bir gezi genellikle şu sözlerle başlar: “Bir matris dikdörtgen masa..." Bu geziye biraz farklı bir yönden başlayacağız.

Her boyutta ve her miktarda abone verisine sahip telefon defterleri matrislerden başka bir şey değildir. Bu tür matrisler yaklaşık olarak şuna benzer:

Hepimizin bu tür matrisleri neredeyse her gün kullandığımız açıktır. Bu matrisler farklı sayıda satırla birlikte gelir (binlerce, yüzbinlerce hatta milyonlarca satıra sahip olabilen bir telefon şirketi tarafından yayınlanan bir rehber ile yeni başladığınız bir rehber gibi değişirler) Not defteri, içinde ondan az satır bulunan) ve sütunlar (pozisyon ve ofis numarası gibi sütunları ve aynı not defterinizi içerebilen, isim dışında herhangi bir verinin olmayabileceği, bazı kuruluşların yetkililerinin listesi) ve dolayısıyla yalnızca iki sütunu vardır - ad ve telefon numarası).

Tüm matrisler toplanıp çarpılabileceği gibi üzerlerinde başka işlemler de yapılabilir ancak toplama ve çarpma işlemine gerek yoktur telefon rehberleri Bunun hiçbir faydası yok, üstelik zihninizi harekete geçirebilirsiniz.

Ancak birçok matris toplanabilir ve çarpılabilir ve çarpılmalıdır ve böylece çeşitli acil problemleri çözebilir. Aşağıda bu tür matrislerin örnekleri verilmiştir.

Sütunların belirli bir ürün tipinin birimlerinin üretimini, satırların ise bu ürünün üretiminin kaydedildiği yılları gösterdiği matrisler:

Sektöre yönelik özet veriler elde etmek amacıyla, farklı işletmelerin benzer ürün çıktılarını dikkate alan bu tür matrisleri ekleyebilirsiniz.

Veya satırların belirli bir ürün türünün ortalama maliyeti olduğu, örneğin bir sütundan oluşan matrisler:

Son iki matris türü çarpılabilir ve sonuç, tüm ürün türlerinin yıllara göre maliyetini içeren bir satır matrisidir.

Matrisler, temel tanımlar

Sayılardan oluşan dikdörtgen bir tablo Mçizgiler ve N sütunlar denir mn-matris (ya da sadece matris ) ve şu şekilde yazılır:

(1)

Matris (1)'deki sayılara denir elementler (determinantta olduğu gibi, ilk indeks satır sayısını, ikincisi ise elemanın bulunduğu kesişim noktasındaki sütunu ifade eder; Ben = 1, 2, ..., M; J = 1, 2, N).

Matris denir dikdörtgen , Eğer .

Eğer M = N, o zaman matris denir kare ve n sayısı onun sırayla .

Bir kare matris A'nın determinantı elemanları bir matrisin elemanları olan bir determinanttır A. | sembolüyle gösterilir. A|.

Kare matris denir özel değil (veya dejenere olmayan , tekil olmayan ), eğer determinantı değilse sıfıra eşit, Ve özel (veya dejenere , tekil ) eğer determinantı sıfır ise.

Matrisler denir eşit Sahip oldukları takdirde aynı numara satırlar, sütunlar ve karşılık gelen tüm öğeler eşleşir.

Matris denir hükümsüz , eğer tüm elemanları sıfıra eşitse. Sıfır matrisini sembolüyle göstereceğiz 0 veya .

Örneğin,

Matris satırı (veya küçük harf ) 1 olarak adlandırılır N-matris ve matris-sütun (veya sütunlu ) – M 1-matris.

Matris A" matrisinden elde edilen A içindeki satır ve sütunların yer değiştirmesine denir aktarılmış matrise göre A. Dolayısıyla matris (1) için aktarılan matris şu şekildedir:

Matris geçiş işlemi A" matrise göre yer değiştirme A, matris aktarımı olarak adlandırılır A. İçin milyon-transpoze edilmiş matris nm-matris.

Matrise göre transpoze edilen matris A, yani

(A")" = A .

Örnek 1. Matris bul A" , matrise göre yer değiştirmiş

ve orijinal ve transpoze matrislerin determinantlarının eşit olup olmadığını bulun.

Ana diyagonal Kare matris, her iki endeksin de aynı olduğu, elemanlarını birleştiren hayali bir çizgidir. Bu elementlere denir diyagonal .

Ana köşegen dışındaki tüm elemanların sıfıra eşit olduğu kare matrise denir diyagonal . Bir köşegen matrisin tüm köşegen elemanlarının mutlaka sıfırdan farklı olması gerekmez. Bazıları sıfıra eşit olabilir.

Ana köşegenindeki elemanların aynı sayıya eşit olduğu, sıfırdan farklı ve diğer elemanların sıfıra eşit olduğu kare matrise denir. skaler matris .

Kimlik matrisi tüm köşegen elemanlarının bire eşit olduğu matrise köşegen matris denir. Örneğin üçüncü dereceden birim matris matristir

Örnek 2. Verilen matrisler:

Çözüm. Bu matrislerin determinantlarını hesaplayalım. Üçgen kuralını kullanarak şunu buluruz:

Matris determinantı B formülü kullanarak hesaplayalım

Bunu kolayca anlıyoruz

Bu nedenle matrisler A ve tekil değildir (dejenere olmayan, tekil olmayan) ve matris B– özel (dejenere, tekil).

Herhangi bir mertebenin birim matrisinin determinantı açıkça bire eşit.

Matris problemini kendiniz çözün ve sonra çözüme bakın

Örnek 3. Verilen matrisler

,

,

Hangilerinin tekil olmadığını (dejenere olmayan, tekil olmayan) belirleyin.

Matrislerin matematiksel ve ekonomik modellemede uygulanması

Belirli bir nesneye ilişkin yapılandırılmış veriler basit ve kullanışlı bir şekilde matris biçiminde kaydedilir. Matris modelleri yalnızca bu yapılandırılmış veriyi depolamak için değil, aynı zamanda çözmek için de oluşturulur. çeşitli görevler verilen doğrusal cebir araçlarıyla.

Bu nedenle, ekonominin iyi bilinen bir matris modeli, Rus kökenli Amerikalı iktisatçı Vasily Leontiev tarafından ortaya atılan girdi-çıktı modelidir. Bu model, ekonominin tüm üretim sektörünün bölümlere ayrıldığı varsayımına dayanmaktadır. N temiz endüstriler. Her endüstri yalnızca bir tür ürün üretir ve farklı endüstriler yalnızca bir tür ürün üretir. çeşitli ürünler. Endüstriler arasındaki bu işbölümü nedeniyle endüstriler arası bağlantılar söz konusudur; bunun anlamı, her endüstrinin üretiminin bir kısmının üretim kaynağı olarak diğer endüstrilere aktarılmasıdır.

Ürün hacmi Ben Raporlama döneminde üretilen sektör (belirli bir ölçü birimi ile ölçülür), tam çıktı olarak adlandırılır ve buna denir. Ben-inci endüstri. Sorunlar rahatlıkla yerleştirilebilir N-matrisin bileşen satırı.

Birim sayısı Ben- Harcanması gereken endüstri J-sanayi çıktısının bir biriminin üretimi için belirlenir ve doğrudan maliyet katsayısı olarak adlandırılır.

Matrisler üzerinde işlemler ve özellikleri.

İkinci ve üçüncü dereceden determinant kavramı.Determinantların özellikleri ve hesaplanması.

3. Genel açıklama görevler.

4. Görevleri tamamlamak.

5. Laboratuvar çalışmalarına ilişkin raporun hazırlanması.

Sözlük

Aşağıdakilerin tanımlarını öğrenin şartlar:

Boyut Matris, satır sayısı m ve sütun sayısından n oluşan iki sayıdan oluşan bir koleksiyondur.

Eğer m=n ise matris denir kare mertebeden matris

Matrisler üzerinde işlemler: bir matrisin transpozisyonunu yapmak, bir matrisi bir sayıyla çarpmak (bölmek), toplama ve çıkarma, bir matrisi bir matrisle çarpmak.

Bir A matrisinden, satırları sütunlar ve sütunları A matrisinin satırları olan bir A m matrisine geçişe geçiş denir. aktarma matrisler A.

Örnek: A = , A t = .

İle matrisi sayıyla çarpma matrisin her elemanını bu sayıyla çarpmanız gerekir.

Örnek: 2A= 2· = .

Toplam (fark) Aynı boyuttaki A ve B matrislerine elemanları eşit olan C=A B matrisi denir ij = a ij b ij ile hepsi için Ben Ve J.

Örnek: A = ; B = . A+B= = .

İş A m n matrisine göre B n k matrisi C m k olarak adlandırılır, her bir elemanı c ij, A matrisinin i'inci satırındaki elemanların j'inci sütunun karşılık gelen elemanı ile çarpımlarının toplamına eşittir. B matrisinin:

c ij = a i1 · b 1j + a i2 ·b 2j +…+ a in ·b nj .

Bir matrisi bir matrisle çarpabilmek için bunların olması gerekir. üzerinde anlaşmaya varıldıçarpma için, yani sütun sayısı ilk matriste şuna eşit olmalıdır: satır sayısı ikinci matriste.

Örnek: A= ve B=.

А·В—imkansız, çünkü tutarlı değiller.

VA= . = = .

Matris çarpma işleminin özellikleri.

1. A matrisinin boyutu varsa mn, ve B matrisi boyuttur nk ise A·B çarpımı mevcuttur.

BA ürünü ancak şu durumlarda var olabilir: m=k.

2. Matris çarpımı değişmeli değildir, yani. Her iki çarpım da tanımlanmış olsa bile A·B her zaman BA·A'ya eşit değildir. Bununla birlikte, eğer А·В=В·А ilişkisi sağlanırsa, A ve B matrislerine çağrılır. değiştirilebilir.

Örnek. Hesaplamak.

Küçük elemanı, sütunun üçüncü satırının silinmesiyle elde edilen sıra matrisinin determinantıdır.

Cebirsel tamamlayıcı eleman denir.

Laplace genişleme teoremi:

Bir kare matrisin determinantı, herhangi bir satırın (sütun) elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile çarpımlarının toplamına eşittir.

Örnek. Hesaplamak.

Çözüm. .

N'inci dereceden determinantların özellikleri:

1) Satır ve sütunların yer değiştirmesi durumunda determinantın değeri değişmeyecektir.

2) Determinant yalnızca sıfırlardan oluşan bir satır (sütun) içeriyorsa sıfıra eşittir.

3) İki satır (sütun) yeniden düzenlendiğinde determinantın işareti değişir.

4) İki özdeş satırı (sütun) olan bir determinant sıfıra eşittir.

5) Toplam çarpan herhangi bir satırın (sütun) elemanları determinant işaretinin ötesine çıkarılabilir.

6) Belirli bir satırın (sütun) her bir öğesi iki terimin toplamı ise, o zaman determinant, her birinde belirtilenler dışındaki tüm satırların (sütunların) aynı olduğu iki determinantın toplamına eşittir. bu determinantta ve söz konusu satırda ( Sütun) ilk determinantın ilk terimleri, ikincisi ikinci terimleri içerir.

7) Determinanttaki iki satır (sütun) orantılıysa sıfıra eşittir.

8) Başka bir satırın (sütun) karşılık gelen elemanları, belirli bir satırın (sütun) elemanlarına aynı sayı ile çarpılarak eklenirse determinant değişmeyecektir.

9) Üçgen ve köşegen matrislerin determinantları ana köşegenin elemanlarının çarpımına eşittir.

Belirleyicileri hesaplamak için sıfırları biriktirme yöntemi, belirleyicilerin özelliklerine dayanmaktadır.

Örnek. Hesaplamak.

Çözüm. İlk satırdan çift üçte birlik kısmı çıkaralım, ardından ilk sütundaki genişletme teoremini kullanalım.

~ .

Kontrol soruları(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :

1. İkinci dereceden determinant ne denir?

2. Belirleyicilerin temel özellikleri nelerdir?

3. Bir elementin minörü nedir?

4. Bir determinantın bir elemanının cebirsel tümleyenine ne denir?

5. Üçüncü dereceden determinant bir satırın (sütun) elemanlarına nasıl genişletilir?

6. Herhangi bir satırın (veya sütunun) elemanlarının çarpımlarının toplamı nedir? cebirsel eklemeler başka bir satırın (veya sütunun) karşılık gelen öğeleri?

7. Üçgen kuralı nedir?

8. Sıra azaltma yöntemi kullanılarak yüksek derecelerin belirleyicileri nasıl hesaplanır?

10. Hangi matrise kare denir? Hükümsüz? Satır matrisi, sütun matrisi nedir?

11. Hangi matrislere eşit denir?

12. Toplama, matrislerle çarpma, bir matrisin bir sayıyla çarpma işlemlerinin tanımlarını verin

13. Toplama ve çarpma sırasında matrislerin boyutları hangi koşulları sağlamalıdır?

14. Cebirsel işlemlerin özellikleri nelerdir: değişme, birleşme, dağılma? Toplama ve çarpma sırasında matrisler için bunlardan hangileri yerine getirilir, hangileri sağlanmaz?

15. Ters matris nedir? Hangi matrisler için tanımlanır?

16. Ters matrisin varlığı ve tekliği üzerine bir teorem formüle edin.

17. Bir matris çarpımının transpozisyonuna ilişkin bir lemma formüle edin.

Genel pratik görevler(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :

1 numara. A ve B matrislerinin toplamını ve farkını bulun :

A)

B)

V)

2 numara. Bu adımları takip et :

c) Z= -11A+7B-4C+D

Eğer

Numara 3. Bu adımları takip et :

V)

4 numara. Bir kare matrisin determinantını hesaplamanın dört yöntemini kullanarak aşağıdaki matrislerin determinantlarını bulun. :

Numara 5. Sütunun (satırın) elemanlarına göre n'inci dereceden determinantları bulun :

A) B)

6 numara. Determinantların özelliklerini kullanarak bir matrisin determinantını bulun:

A) B)

Uzaydaki noktalar, çarpım Karavan dönme sonrasında noktanın konumunu belirleyen başka bir vektör verir. Eğer v bir satır vektörüdür, aynı dönüşüm kullanılarak elde edilebilir VR T, nerede R T - aktarılan R matris.

Ansiklopedik YouTube

1 / 5

C# - Konsol - Olimpiyat - Kare Spiral

Matris: tanım ve temel kavramlar

Güç ve ilham nereden alınır? 4 kare matrisi yeniden şarj etmek

Matrislerin toplamı ve farkı, bir matrisin bir sayıyla çarpılması

Transpoze matris / Transpoze matris

Altyazılar

Ana diyagonal

Elementler A ii (Ben = 1, ..., N) bir kare matrisin ana köşegenini oluşturur. Bu elemanlar soldan hayali bir düz çizgi üzerinde uzanır üst köşe matrisin sağ alt köşesine. Örneğin şekildeki 4x4 matrisin ana köşegeni elemanlarını içermektedir. A 11 = 9, A 22 = 11, A 33 = 4, A 44 = 10.

Bir kare matrisin sol alt ve sağ üst köşelerinden geçen köşegenine ne ad verilir? taraf.

Özel tipler

Köşegen ve üçgen matrisler

Ana köşegen dışındaki tüm elemanlar sıfır ise, A diyagonal denir. Ana köşegenin üstündeki (altındaki) tüm elemanlar sıfır ise, A alt (üst) üçgen matris denir.

Kimlik matrisi

yalnızca kabul eder pozitif değerler(sırasıyla, negatif değerler ya da her ikisi de). Eğer ikinci dereceden form yalnızca negatif olmayan (sırasıyla yalnızca pozitif olmayan) değerler alır, simetrik bir matrise pozitif yarı tanımlı (sırasıyla negatif yarı tanımlı) denir. Bir matris ne pozitif ne de negatif yarı-belirli değilse belirsiz olacaktır.

Simetrik bir matris ancak ve ancak tümünün pozitif tanımlı olması durumunda özdeğerler olumlu. Sağdaki tabloda iki olası vakalar 2x2 matrisler için.

İki farklı vektör kullanırsak, aşağıdakilerle ilişkili çift doğrusal bir form elde ederiz: A:

Ortogonal matris

Ortogonal matris sütunları ve satırları ortogonal birim vektörler (yani ortonormal) olan gerçek elemanlara sahip bir kare matristir. Ayrıca tanımlayabilirsiniz ortogonal matris tersi transpoze edilene eşit olan bir matris olarak:

nereden geliyor

Ortogonal matris A her zaman geri dönüşümlüdür ( A −1 = A T), üniter ( A −1 = A*) ve normal ( A*A = A.A.*). Herhangi bir ortonormal matrisin determinantı +1 veya -1'dir. Doğrusal bir haritalama olarak, determinantı +1 olan herhangi bir ortonormal matris basit bir döndürme iken, determinantı -1 olan herhangi bir ortonormal matris ya basit bir yansımadır ya da yansıma ve dönmenin bir bileşimidir.

Operasyonlar

İzlemek

Belirleyici det( A) veya | A| Kare matris A matrisin bazı özelliklerini belirleyen bir sayıdır. Bir matris ancak ve ancak determinantının sıfırdan farklı olması durumunda tersine çevrilebilir.