Ve orijinden geçen bir doğru. Hiperbol bu eksen etrafında dönmeye başlarsa, hiperboloid olan içi boş bir dönme gövdesi görünecektir. İki tür hiperboloid vardır: tek yapraklı ve iki yapraklı. Tek sayfalık bir hiperboloit şu şekilde bir denklemle verilir: x^2/a^2 + y^2/b^2-z^2/c^2=1 Bununla birlikte, tek yapraklı bir hiperboloidin Oxy düzlemi tarafından kesiti bir elipstir. Bir hiperboloidin en küçük elipsine boğaz elipsi denir. Bu durumda z=0 olur ve elips orijinden geçer. z=0 için boğaz denklemi şu şekilde yazılır: x^2/a^2 +y^2/b^2=1 Kalan elipsler şu şekildedir: x^2/a^2 +y^2/b^ 2=1+ h^2/c^2, burada h, tek sayfalık bir hiperboloidin yüksekliğidir.
Xoz düzleminde bir hiperbol çizerek bir hiperboloit oluşturmaya başlayın. Y ekseni ile çakışan gerçek bir yarı eksen ve z ile çakışan hayali bir yarı eksen çizin. Bir hiperbol oluşturun ve sonra hiperboloidin h yüksekliğini verin. Daha sonra belirli bir yükseklikte Ox'e paralel ve hiperbol grafiğini alt ve üst noktalarda kesen düz çizgiler çizin ve benzer şekilde Oyz düzleminde b'nin gerçek yarı olduğu bir hiperbol oluşturun. -ekseni y ekseninden geçiyor ve c hayali yarı eksen, yine c ile çakışıyor.Oxy düzleminde hiperbol grafiklerinin noktalarını birleştirerek elde edilen bir paralelkenar oluşturun. Bu paralelkenara yazılacak şekilde boğaz elipsini çizin. Diğer elipsleri de aynı şekilde oluşturun. Sonuç, bir devrim gövdesidir - Şekil 1'de gösterilen tek yapraklı bir hiperboloit.
İki yapraklı hiperboloit, Oz ekseni tarafından oluşturulan iki farklı yüzeyden kaynaklanmaktadır. Böyle bir hiperboloidin denklemi aşağıdaki forma sahiptir: x^2/a^2 + y^2/b^2 -z^2/c^2=-1 Oxz ve Oyz'da bir hiperbol oluşturarak iki boşluk elde edilir. yüzeyleri. İki sayfalık bir hiperboloidin bölümleri vardır - elipsler: x^2/a^2-y^2/b^2=h^2/c^2-1 Ayrıca, tek sayfalık bir hiperboloit durumunda olduğu gibi, hiperboller oluşturun 2'de gösterildiği gibi düzenlenecek Oxz ve Oyz düzlemlerinde. Elipsler oluşturmak için altta ve üstte paralelkenarlar oluşturun. Elipsler oluşturduktan sonra, tüm yapıları kaldırın ve ardından iki yapraklı bir hiperboloid çizin.
Tek şerit hiperboloit bir dönüş figürüdür. İnşa etmek için belirli bir tekniği izlemeniz gerekir. Önce yarı eksenler, ardından hiperboller ve elipsler çizilir. Tüm bu unsurların kombinasyonu, mekansal figürün kendisinin oluşturulmasına yardımcı olacaktır.
İhtiyacın olacak
- - kalem,
- - kağıt,
- - matematiksel referans kitabı.
Talimat
Xoz'da bir abartı çizin. Bunu yapmak için, y ekseni (gerçek yarı eksen) ve z ekseni (hayali yarı eksen) ile çakışan iki yarı eksen çizin. Onlara dayalı bir abartı oluşturun. Bundan sonra, belirli bir h yüksekliği ayarlayın. Sonunda, bu verilen seviyede düz çizgiler çizin, Öküz'e paralel olacaklar ve aynı anda hiperbol grafiğini ikiye bölecekler: alt ve üst.
Elipslerin geri kalanı için yukarıdaki adımları tekrarlayın. Sonuçta, tek boşluklu bir çizim hiperboloit A.
tek boşluk hiperboloit tasvir edilen tarafından açıklanan
- (Yunanca, mübalağa, mübalağa ve eidos benzerliğinden). Bir hiperbolün dönmesinden kaynaklanan 2. dereceden kapalı olmayan kavisli yüzey. Sözlük yabancı kelimeler Rus diline dahildir. Chudinov A.N., 1910. Yunan HYPERBOLOID, abartmadan, ... ... Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü
hiperboloit- a, m.hiperboloid m. mat. Bir hiperbolün eksenlerinden biri etrafında döndürülmesiyle oluşan açık yüzey. BAS 2. Hiperboloit mühendisi Garin. Lex. Ocak 1803: hiperboloit; SAN 1847: hiperbolik/d: BAS 1954: hiperbolik/id... tarihsel sözlük Rus dilinin galizmleri
HİPERBOLOİD, hiperboloid, erkek. (mat.). Bir hiperbolün dönmesiyle oluşan yüzey (1 değerde). Ushakov'un Açıklayıcı Sözlüğü. D.N. Ushakov. 1935 1940... Ushakov'un Açıklayıcı Sözlüğü
Var., eşanlamlı sayısı: 2 konoid (4) yüzey (32) ASIS eşanlamlı sözlüğü. V.N. Trishin. 2013 ... eşanlamlı sözlüğü
Hiperboloit- Tek yapraklı hiperboloit. HİPERBOLOİD (hiperbol ve Yunan eidos görünümünden), bir hiperbolün simetri eksenlerinden birinin etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir yüzey. Bir durumda, iki yapraklı bir hiperboloid oluşur, diğerinde tek yapraklı ... ... Resimli Ansiklopedik Sözlük
hiperboloit- hiperboloidas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. hiperboloid vok. Hiperboloid, m rus. hiperboloid, m pranc. hyperboloide, m … Fizikos terminų žodynas
- (mat.) Bu isim altında iki tip ikinci dereceden yüzey bilinmektedir. 1) Tek cinsiyetli G. Simetri eksenleriyle ilgili bu yüzey, x2 / a2 + y2 / b2 z2 / c2 \u003d 1 denklemine sahiptir. Tek cinsiyetli bir G., çizgili bir yüzeydir ve üzerinde iki sistem bulunur ... ... ansiklopedik sözlük F. Brockhaus ve I.A. Efron
M. Bir hiperbolün [hiperbol II] eksenlerinden biri etrafında (geometride) dönmesiyle oluşan açık bir yüzey. Ephraim'in Açıklayıcı Sözlüğü. T. F. Efremova. 2000... Modern Sözlük Rus dili Efremova
Hiperboloid, hyperboloids, hyperboloid, hyperboloids, hyperboloids, hyperboloids, hyperboloids, hyperboloids, hyperboloids, hyperboloids, hyperboloids, hyperboloids (Kaynak: "A. A. Zaliznyak'a göre tam vurgulu paradigma") ... Kelime biçimleri
İkinci dereceden kapalı olmayan merkezi yüzey. İki tür G. vardır: tek sayfalık G. ve iki sayfalık G. Uygun koordinat sisteminde (şekle bakın), tek sayfalık G.'nin denklemi şu şekildedir: ve iki sayfalık form: Sayılar a, b ve c (ve böyle segmentler ... ... Matematiksel Ansiklopedi
Kitabın
- Alexey Tolstoy. Kitap, geçen yüzyılın 20'li yıllarında yaratılan A. N. Tolstoy'un bilim kurgu romanlarını içeriyor ...
- Hiperboloit mühendisi Garin. Aelita, Alexei Tolstoy. "Mühendis Garin'in Hiperboloidi" romanı ve "Aelita" öyküsü, Sovyet bilim kurgu edebiyatının başlangıcı oldu. Fantastik temaların aşağıdakilerle birlikte verilmesi bakımından farklılık gösterirler…
EK 2
TEK-yapraklı HİPERBOLOİD DÖNME
(kısa bilgi)
Generatrix'in yer değiştirmesi, bazı sabit düz çizgi (eksen) etrafında bir dönüş ise, bu durumda oluşan yüzeye dönüş yüzeyi denir. Üreten çizgi, düz bir çizginin yanı sıra düz veya uzamsal bir eğri olabilir.
Generatrix'in her noktası, eksen etrafında dönerken, dönme eksenine dik bir düzlemde bulunan bir daireyi tanımlar. Bu dairelere paralel denir. Bu nedenle, eksene dik olan düzlemler, dönme yüzeyini paralellikler boyunca keser. Dönme yüzeyinin eksenden geçen bir düzlemle kesiştiği çizgiye meridyen denir. Dönme yüzeyinin tüm meridyenleri uyumludur.
Tüm paralellikler veya meridyenler kümesi, dönüş yüzeyinin sürekli bir çerçevesidir. Yüzeyin her noktasından bir paralel ve bir meridyen geçer. Nokta izdüşümleri, paralel veya meridyenin karşılık gelen izdüşümleri üzerinde bulunur. Yüzeyde bir nokta belirleyebilir veya bu noktadan geçen bir paralel veya meridyeni kullanarak, eğer verilmişse, bir noktanın ikinci bir izdüşümünü oluşturabilirsiniz. Dönme yüzeyinin determinantının geometrik kısmı, dönme ekseni ve generatriksten oluşur.
Düz bir çizginin dönmesiyle oluşan yüzeyler:
1. - Döndürme silindiri, eksene paralel bir düz çizginin döndürülmesiyle oluşturulur;
2. - dönme konisi, ekseni kesen düz bir çizginin dönmesiyle oluşturulur;
3. - eksenle kesişen düz bir çizginin dönmesiyle tek yapraklı bir dönme hiperboloidi oluşur;
Yüzeyin paralelleri dairelerdir.
Yüzey meridyeni bir hiperboldür.
Dönmenin numaralandırılmış tüm regle yüzeyleri ikinci dereceden yüzeylerdir.
İkinci dereceden eğrilerin kendi eksenleri etrafında dönmesiyle oluşan yüzeyler
1. Bir çemberin çapı etrafında döndürülmesiyle bir küre oluşturulur.
2. Bir elipsin büyük veya küçük bir eksen etrafında döndürülmesiyle bir dönme elipsoidi oluşturulur.
3. Bir parabolün kendi ekseni etrafında döndürülmesiyle bir dönme paraboloidi oluşturulur.
4. Bir hiperbolün hayali ekseni etrafında döndürülmesiyle tek yapraklı bir dönme hiperboloidi oluşturulur (bu yüzey de düz bir çizginin döndürülmesiyle oluşturulur: madde a-1).
Tek yapraklı bir hiperboloid, bir yüzeydir kanonik denklemşuna benzer:
burada a, b, c pozitif sayılardır.
Üç simetri düzlemi, üç simetri ekseni ve bir simetri merkezi vardır. Bunlar, sırasıyla, koordinat düzlemleridir, koordinat eksenleri ve köken. Bir hiperboloit oluşturmak için onun kesitlerini farklı düzlemlerde buluruz. xOy düzlemi ile kesişme çizgisini bulun. Bu düzlemde z = 0, yani
xOy düzlemindeki bu denklem, yarı eksenleri a ve b olan bir elipsi tanımlar (Şekil 1). yOz düzlemi ile kesişme doğrusunu bulalım. Bu düzlemde x = 0, yani
Bu, gerçek yarı eksenin b ve hayali yarı eksenin c olduğu yOz düzlemindeki bir hiperbolün denklemidir. Bu hiperbolü oluşturalım.
xOz düzleminin kesiti de denklemi olan bir hiperboldür.
Bu hiperbolü çizelim, ancak çizimi ek çizgilerle aşırı yüklememek için asimptotlarını göstermeyeceğiz ve yOz düzlemine göre kesitteki asimptotları kaldırmayacağız.
Yüzeyin z = ± h, h > 0 düzlemleriyle kesiştiği doğruları bulalım.
Pirinç. 1. Tek yapraklı bir hiperboloidin enine kesiti
Bu çizgiler için denklemler:
İlk denklemi forma dönüştürüyoruz
Bu denklem xOy düzlemindeki bir elipse benzeyen, benzerlik katsayısı ve yarı eksenleri a 1 ve b 1 olan bir elipsin denklemidir. Elde edilen bölümleri çizelim (Şekil 2).
Pirinç. 2. Bölümler kullanılarak tek sayfalık bir hiperboloitin görüntüsü
Tek yapraklı bir dönme hiperboloidi, bu çizginin etrafında döndüğü hayali eksenle kesişen bir düz çizgi döndürülerek elde edilebilir. Bu durumda, yüzeyi dönme sırasında düz bir çizginin ardışık konumlarından oluşan uzamsal bir şekil elde edilir (Şekil 3).
Pirinç. 3. Dönme ekseni ile kesişen düz bir çizginin döndürülmesiyle elde edilen tek yapraklı dönme hiperboloidi
Böyle bir yüzeyin meridyeni bir hiperboldür. Bu dönme şeklinin içindeki alan gerçek ve dışarısı - hayali olacaktır. Hayali eksene dik olan ve tek yapraklı hiperboloidi minimum kesitinde kesen düzleme odak düzlemi denir.
Göze tanıdık gelen tek yapraklı bir hiperboloidin görüntüsü, Şekil 1'de gösterilmektedir. 6.4.
a \u003d b denkleminde ise, hiperboloidin düzlemlere göre bölümleri, düzleme paralel xOy dairelerdir. Bu durumda, yüzeye tek yapraklı bir dönme hiperboloidi denir ve yOz düzleminde bulunan bir hiperbolün Oz ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilebilir (Şekil 4).
Pirinç. 4. Tek sayfalık devinim hiperboloidi,
Tek yapraklı hiperboloid
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1.
İki yapraklı hiperboloid bazılarında tanımlanmış bir yüzey olarak adlandırılır dikdörtgen sistem Oxyz'i kanonik denklemle koordinatlar
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1.
(4.48), (4.49) denklemlerinde a,b,c hiperboloitleri karakterize eden pozitif parametrelerdir ve a\geqslant b .
Koordinatların orijini, hiperboloidin merkezi olarak adlandırılır. Hiperboloidin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarına köşeleri denir. Bunlar, tek yapraklı hiperboloidin (4.48) dört noktası (\pm a,0,0), (0,\pm b,0) ve iki yapraklı hiperboloidin iki noktasıdır (0,0,\pm c). (4.49). Hiperboloitlerin köşelerini birleştiren koordinat eksenlerinin üç parçasına hiperboloidlerin eksenleri denir. Ox, \, Oy koordinat eksenlerine ait hiperboloid eksenler, hiperboloidlerin enine eksenleri olarak adlandırılır ve Oz uygulama eksenine ait eksen, hiperboloidlerin uzunlamasına eksenidir. a,\,b,\,c sayıları, yarıya eşit eksen uzunluklarına hiperboloidlerin yarı eksenleri denir.
Tek yapraklı bir hiperboloidin düzlem kesitleri
Denklemde (4.48) z=0'ı değiştirerek, denklemi elde ederiz \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 tek sayfalık bir hiperboloidin Oxy koordinat düzlemiyle kesişme çizgileri. Oksijen düzlemindeki bu denklem, boğaz elipsi adı verilen bir elipsi tanımlar. Tek yapraklı bir hiperboloidin diğerleriyle kesişme çizgileri koordinat düzlemleri hiperbollerdir. Bunlara temel hiperboller denir. Örneğin, x=0 için ana hiperbolü elde ederiz. \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(z^2)=1 ve y=0 için - ana hiperbol \frac(x^2)(a^2)-\frac(z^2)(c^2)=1
Şimdi tek yapraklı bir hiperboloidin Oxy düzlemine paralel düzlemlerle bir kesitini ele alalım. h'nin gelişigüzel bir sabit (parametre) olduğu z=h'yi denklem (4.48)'de değiştirerek şunu elde ederiz:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac(x ^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1+\frac(h^2)(c^2).
h parametresinin herhangi bir değeri için denklem, yarı eksenli bir elips tanımlar a"=a\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)) b"=b\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)). Sonuç olarak, tek yapraklı bir hiperboloidin z=h düzlemi tarafından kesiti, merkezi uygulama ekseninde ve köşeleri ana hiperbollerde bulunan bir elipstir. Z=h ile kesitlerde elde edilen tüm elipsler arasında farklı değerler h parametresi, boğaz elipsi (h=0 olduğunda) en küçük yarı eksenlere sahip elipstir.
Böylece, tek yapraklı bir hiperboloid, köşeleri ana hiperbollerin üzerinde bulunan elipslerden oluşan bir yüzey olarak temsil edilebilir (Şekil 4.42, a)
İki yapraklı hiperboloidin düzlem kesitleri
İki yapraklı hiperboloidin Oyz ve Oxz koordinat düzlemlerine göre bölümleri hiperbollerdir (temel hiperboller).
Şimdi iki yapraklı bir hiperboloidin Oxy düzlemine paralel düzlemlerle kesitlerini ele alalım. h'nin gelişigüzel bir sabit (parametre) olduğu z=h'yi denklem (4.49)'da değiştirerek şunu elde ederiz:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=-1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac( x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=\frac(h^2)(c^2)-1.
|h| için
Böylece, iki yapraklı bir hiperboloid, köşeleri ana hiperbollerde bulunan elipslerden oluşan bir yüzey olarak temsil edilebilir (Şekil 4.43, a).
devrim hiperboloidleri
Enine yarı eksenleri eşit (a=b) olan bir hiperboloid denir devrim hiperboloidi. Böyle bir hiperboloit, bir dönüş yüzeyidir ve z=h düzlemleri tarafından kesitleri ( |h|>c için iki yapraklı bir hiperboloit için), ilgili eksende ortalanmış dairelerdir. Bir sayfalık veya iki sayfalık hiperboloidler, bir hiperbolü Oz ekseni etrafında döndürerek elde edilebilir. \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1(Şekil 4.42, b) veya eşlenik hiperbol \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1(Şekil 4.43, b), sırasıyla. İkincisinin denkleminin şu şekilde yazılabileceğine dikkat edin: -\frac(y^2)(b^2)+\frac(z^2)(c^2)=1.
Enine eksenleri farklı (a \ ne b) olan bir hiperboloid, üç eksenli (veya genel) olarak adlandırılır.
Açıklamalar 4.9
1. Uçak x x=\pm a,\,y=\pm b,\,z=\pm c boşlukta tanımla temel küboid , dışında iki yapraklı bir hiperboloit vardır (Şekil 4.43, c). Paralelyüzün iki yüzü (z=\pm c) hiperboloide köşelerinden dokunur.
2. Tek yapraklı bir hiperboloidin, uygulanan eksene paralel ve bir taneye sahip olan bir düzlemle kesiti ortak nokta boğaz elipsli (yani ona dokunan), temas noktasında kesişen iki düz çizgidir. Örneğin, x=\pm a denklemini (4.48) yerine koyarak, denklemi elde ederiz \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=0 kesişen iki düz çizgi (bkz. Şekil 4.42, a).
3. Tek sayfalık bir hiperboloit çizgili yüzey, yani düz bir çizginin hareketiyle oluşan yüzey (bkz. Şekil 4.42, c). Örneğin, tek yapraklı bir dönme hiperboloidi, bir çizgiyi kendisiyle kesişen (ancak dik olmayan) başka bir çizgi etrafında döndürerek elde edilebilir.
4. Kanonik koordinat sisteminin orijini hiperboloidin simetri merkezidir, koordinat eksenleri hiperboloidin simetri eksenleridir, koordinat düzlemleri hiperboloidin simetri düzlemleridir.
Aslında, M(x, y, z) noktası hiperboloide aitse, o zaman koordinatları olan noktalar (\pm x,\pm y,\pm z) herhangi bir işaret seçimi için, koordinatları sırasıyla (4.48) veya (4.49) denklemini sağladığından, bunlar da hiperboloide aittir.
Javascript tarayıcınızda devre dışı.Hesaplama yapabilmek için ActiveX kontrolleri açık olmalıdır!
Tek yapraklı hiperboloit. Denklem tarafından tanımlanan yüzey
tek yapraklı hiperboloit olarak adlandırılır. Bu yüzeyin üç simetri düzlemi vardır - koordinat düzlemleri, çünkü mevcut koordinatlar y ve z denkleme (55) çift güçlerde girer.
Tek yapraklı bir hiperboloidi bir düzlemle kesiştirerek, düzlemde yatan ABCD hiperbolü elde ederiz (Şekil 97)
Benzer şekilde, EFGH hiperbolü
uçakta
Tek yapraklı bir hiperboloit bir düzlemle kesiştiğinde, denklemleri aşağıdaki gibi olan bir elips BFCG elde edilir:
Bu elipsin yarı eksenleri artan oranda artar. mutlak değer H.
Bir düzlemde uzanan ve en küçük yarı eksenleri a ve b olan bir elips elde ettiğinizde. noktasında, tek sayfalık bir devir hiperboloidi elde ederiz.
Düzlemleri kesiştiğinde daireler elde edilecek
s. 2 ve 3 silindirik kabul edilir ve konik yüzeyler, her biri çizgilerden oluşur. Tek yapraklı bir hiperboloidin düz çizgilerden oluşan bir yüzey olarak da düşünülebileceği ortaya çıktı. Denklemlerle tanımlanan düz çizgiyi düşünün
a, b ve c'nin tek yapraklı bir hiperboloidin yarı eksenleri olduğu, a k keyfi olarak seçilen bir sayıdır
Bu denklemleri terim terim çarparak denklemi elde ederiz.
yani, tek yapraklı bir hiperboloidin denklemi.
Bu nedenle, tek yapraklı bir hiperboloidin denklemi, denklem sisteminin (59) bir sonucudur. Bu nedenle, denklem sistemini (59) karşılayan herhangi bir noktanın koordinatları, tek yapraklı bir hiperboloidin denklemini (55) de sağlar. Yani (59) doğrusunun tüm noktaları hiperboloide (55) aittir. K'nin değerlerini değiştirerek, yüzeyde yatan bütün bir çizgi ailesi elde ederiz (55). Benzer şekilde, tek yapraklı hiperboloidin tüm doğrudan aileleri içerdiği gösterilebilir.
keyfi bir parametre nerede.
Ayrıca, tek yapraklı bir hiperboloidin her noktasından, belirtilen ailelerin her birinden bir düz çizgi geçtiği gösterilebilir. Böylece, tek yapraklı bir hiperboloid, düz çizgilerden oluşan bir yüzey olarak düşünülebilir (Şekil 98). Bu çizgilere, tek yapraklı bir hiperboloidin doğrusal üreteçleri denir.
Tek yapraklı bir hiperboloidin yüzeyini düz çizgilerden oluşturma olasılığı, inşaat teknolojisinde kullanılmaktadır.
Bu nedenle, örneğin, mühendis V. G. Shukhov tarafından önerilen tasarıma göre, Moskova'da tek yapraklı bir hiperboloidin doğrusal jeneratörleri boyunca yerleştirilmiş kirişler kullanılarak bir radyo direği inşa edildi.
İki yapraklı hiperboloit. Denklem tarafından tanımlanan yüzey
iki yapraklı hiperboloit olarak adlandırılır.
Koordinat düzlemleri, iki yapraklı bir hiperboloid için simetri düzlemleridir.
Bu yüzeyi koordinat düzlemleriyle geçerek sırasıyla hiperbolleri elde ederiz.
