Sınıflar, kümeler, gruplar, sistemler. Aynı nesnenin birçok modeli olabilir ve farklı nesneler tek bir modelle tanımlanabilir.

Matematiksel analiz, sonsuz küçük bir fonksiyon fikrine dayanan fonksiyonların incelenmesiyle ilgilenen matematiğin dalıdır.

Temel kavramlar matematiksel analizöyle büyüklük, küme, fonksiyon, sonsuz küçük fonksiyon, limit, türev, integral.

Boyut Sayılarla ölçülebilen ve ifade edilebilen her şeye denir.

Birçok bazı unsurların bir araya gelerek oluşturduğu bir koleksiyondur ortak özellik. Bir kümenin elemanları sayılar, şekiller, nesneler, kavramlar vb. olabilir.

Setler belirtilir büyük harflerle ve birçok unsur var küçük harfler. Kümelerin elemanları küme parantezleri içine alınmıştır.

Eğer eleman X birçok kişiye ait X, sonra yaz X∈X (∈ - aittir).
A kümesi B kümesinin bir parçası ise, şunu yazın: bir ⊂ B (⊂ - içerir).

Bir küme iki yoldan biriyle tanımlanabilir: numaralandırmayla ve tanımlayıcı bir özellik kullanılarak.

• A=(1,2,3,5,7) - sayılar kümesi
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - bazı elemanların kümesi x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) — doğal sayılar kümesi
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — tam sayılar kümesi

(-∞;+∞) kümesine denir sayı doğrusu ve herhangi bir sayı bu doğru üzerinde bir noktadır. Bırakın... keyfi nokta sayı doğrusu veδ - pozitif sayı. (a-δ; a+δ) aralığına denir δ-a noktasının komşuluğu.

Herhangi bir x ∈ X için x≤с (x≥c) eşitsizliğinin geçerli olduğu bir c sayısı varsa, bir X kümesi yukarıdan (aşağıdan) sınırlıdır. Bu durumda c sayısına denir üst (alt) kenar X kümesi. Hem üstten hem de alttan sınırlı bir kümeye denir sınırlı. Bir kümenin üst (alt) yüzlerinin en küçüğüne (en büyüğüne) denir tam üst (alt) kenar bu çokluğun.

Temel sayı kümeleri

Bir küme tek bir eleman içermiyorsa kümeye denir. boş küme ve kaydedildi Ø .

Mantıksal sembolizmin unsurları

Gösterim ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Niceleyiciler genellikle matematiksel ifadeler yazarken kullanılır.

Niceleyici kendisini takip eden unsurları niceliksel olarak karakterize eden mantıksal bir sembol olarak adlandırılır.

• ∀- genel niceleyici, “herkes için”, “herkes için” kelimelerinin yerine kullanılıyor.
• ∃- varoluş niceleyicisi“Var”, “mevcut” kelimeleri yerine kullanılmaktadır. Sanki sadece bir tane varmış gibi okunan ∃! sembol kombinasyonu da kullanılır.

İşlemleri Ayarla

İki A ve B kümeleri eşittir(A=B) aynı elementlerden oluşuyorsa.
Örneğin, eğer A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) ise A=B.

Birleşime göre (toplam) A ve B kümeleri, elemanları bu kümelerden en az birine ait olan bir A ∪ B kümesidir.
Örneğin, eğer A=(1,2,4), B=(3,4,5,6) ise A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Kesişime göre (ürün) Elemanları hem A kümesine hem de B kümesine ait olan A ve B kümelerine A ∩ B kümesi denir.
Örneğin, eğer A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), bu durumda A ∩ B = (2,4)

Farkına göre Elemanları A kümesine ait olan ancak B kümesine ait olmayan A ve B kümelerine AB kümesi denir.
Örneğin, eğer A=(1,2,3,4), B=(3,4,5) ise AB = (1,2)

Simetrik fark A ve B kümelerine AB ve BA kümelerinin farklarının birleşimi olan A Δ B kümesi denir, yani A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Örneğin, eğer A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), bu durumda A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)

Küme işlemlerinin özellikleri

Bir ∪ B = B ∪ Bir
Bir ∩ B = B ∩ Bir

(Bir ∪ B) ∪ C = Bir ∪ (B ∪ C)
(Bir ∩ B) ∩ C = Bir ∩ (B ∩ C)

Sayılabilen ve sayılamayan kümeler

Herhangi iki A ve B kümesini karşılaştırmak için elemanları arasında bir yazışma kurulur.

Bu yazışma bire bir ise bu kümelere eşdeğer veya eşit derecede güçlü A B veya B A denir.

BC kenarı üzerindeki noktalar kümesi ile ABC üçgeninin AC hipotenüsü eşit kuvvettedir.

Paragraf öğretim unsurları:

Model kavramının gelişiminde tarihselcilik.

Sistem

Özellikler

İlişki unsurlar arasındadır.

Konsept modelin tanımı.

Model kavramı bilimin gelişiminde önemli değişikliklere uğramıştır.

Başlangıçta, modele, belirli bir durumda başka bir nesnenin yerini alan bir nesne olan bazı yardımcı cihaz adı verildi. Aynı zamanda doğa yasalarının evrenselliği ve modellemenin evrenselliği, yani hemen anlaşılmadı. Bu sadece bir fırsat değil, aynı zamanda herhangi bir bilgimizi model şeklinde temsil etme zorunluluğudur.

Örneğin eski filozoflar, kendi fikirlerine göre doğal ve yapay süreçlerin farklı yasalara uyması nedeniyle doğal süreçleri modellemenin imkansız olduğunu düşünüyorlardı. Doğanın ancak mantık, tartışma, muhakeme, yani yardımıyla tasvir edilebileceğine inanıyorlardı. modern terminolojiye göre dil modelleri.

Birkaç yüzyıl sonra İngiliz Kraliyet Bilim Derneği'nin sloganı "kelimelerle hiçbir şey yok" sloganı haline geldi. Yalnızca deneysel veya matematiksel hesaplamalarla desteklenen sonuçlar kabul edildi. Sonuç olarak, çok uzun bir süre “model” kavramı yalnızca maddi nesnelere uygulandı.

Çizimlerin, çizimlerin, haritaların (yapay kökenli gerçek nesneler, oldukça yüksek düzeyde soyutlamalar içeren) model özellikleri ancak daha sonra gerçekleştirildi. Bir sonraki adım, yalnızca gerçek nesnelerin değil, aynı zamanda matematiksel modeller gibi ideal, soyut yapıların da model olarak hizmet edebileceğini anlamaktı.

Her nesnenin (orijinalinin) bir SİSTEM olduğu unutulmamalıdır. Resmi olarak sistem aşağıdaki ilişkiyle temsil edilebilir:

S= (E, P, R)→ C

BİR SİSTEM BİRÇOK öğeden oluşur e, belirli ÖZELLİKLERE sahip R ve belirli İLİŞKİLER ile bağlıyız R. Sistem belirli bir hedefi gerçekleştirir İLE.

Bir bakıma model aynı zamanda bir sistemdir:

s=(e , p , r )→ s

İlişki ile R, iki veya daha fazla maddi veya soyut nesne veya olgunun karşılıklı bağımlılığını veya etkileşimini anlayacağız. Etkileşim ilişkileri maddi, enerjisel veya bilgilendirici olabilir. Aşağıdaki karşılıklı bağımlılık ilişkileri ayırt edilir: benzerlik, özdeşlik, benzetme, homomorfizm, izomorfizm, neden-sonuç, amaç-araç, bağlantı (sıralı, paralel, ters, birleşik).

Karşılıklı bağımlılık aynı zamanda işlevsel, mantıksal, mekansal ve zamansal da olabilir. Ayrıca A, B, C nesneleri arasında da ilişkiler olabilir:

yansıma – A=A

simetri – A=B ve B=A

geçişlilik – A=B, B=C, A=C

denklik – eğer ilk üç ilişki karşılanırsa.

P Özelliği daraltılmış (tek yer) bir ilişkidir.

“Sistem” kavramında olduğu gibi “model” kavramının da pek çok tanımı bulunmaktadır. Aşağıdakilere bağlı kalacağız: Modeli

Genel anlamda, zihinsel bir görüntü, sembolik araçlarla açıklama (formüller, grafikler vb.) veya maddi bir nesne biçiminde bilgi elde etmek ve (veya) depolamak amacıyla yaratılmış belirli bir nesne vardır. Bir kişi tarafından çözülen problem için gerekli olan, keyfi nitelikteki orijinal nesnenin özellikleri, özellikleri ve bağlantıları.

Bu tanımdan, model kavramının yalnızca doğrudan model olarak adlandırılan şeyle sınırlandırılamayacağı sonucu çıkmaktadır.

Şekil 1.1'deki diyagram, modeli, modellemenin başlatıcısı olan "özne" ve/veya sonuçlarının kullanıcısı arasındaki çok yerli bir ilişki olarak göstermektedir; Modellemenin konusu “orijinal nesne”dir; “model” - bir nesnenin gösterimi; Bu kümenin tüm öğelerinin bulunduğu ve etkileşimde bulunduğu “ortam”. Kısaca modelin orijinalin sistemsel bir yansıması olduğunu söyleyebiliriz.

Her maddi nesne, farklı görevlerle ilişkili sayısız farklı modele karşılık gelir. Bu nedenle modelleri sınıflandırmak için çeşitli kriterler vardır. Sorular

öz kontrol ve MK'ye hazırlık için:

Bilimin gelişmesiyle birlikte model kavramı nasıl değişti?

Bir sistemdeki öğeler arasındaki ilişki nedir?

Model kavramı şu anda nasıl tanımlanıyor?

Orijinal bir nesnenin birçok modeli olabilir mi?

Ansiklopedide karşılıklı bağımlılık ilişkilerinin türleri ve türleri için kavramların tanımlarını bulun.

Fizik, matematik ve bilgisayar bilimlerinde incelenen sistemlerde hangi ilişkiler dikkate alındı?

Üç Cantor tozunun uç noktaları kümesi kendine benzerdir ve aynı değerlerle ve tüm Cantor tozuyla karakterize edilir; benzerlik boyutu Cantor tozunun benzerlik boyutuyla örtüşmektedir. Ancak sayılabilirdir, bu da onun Hausdorff-Besicovitch boyutunun sıfır olduğu anlamına gelir. Buraya tozun sınırlayıcı noktalarını eklersek, Cantor'un tozunun kendisini elde ederiz ve tutarsızlık, bu küme için daha önemli bir özellik olan benzerlik boyutunun "lehine" ortadan kalkacaktır.

Besicovich kümesi adını verdiğim başka bir basit örnek, lakuner olmayan fraktallar bölümünde tartışılmaktadır, 3.

Fourier boyutu ve buluşsal yöntem

'nin azalmayan bir fonksiyonu olsun. Değerin sabit olduğu maksimum açık aralıkların toplamı kapalı kümenin tümleyenine eşitse bu kümenin bir destek olduğunu söyleriz. Fonksiyonun Fourier-Stieltjes dönüşümü şu şekildedir:

En yumuşak işlevler mümkün olan en yüksek azaltma oranını sağlar. Destekli en az bir fonksiyonun eşitliği sağladığı en büyük reel sayı ile gösterelim

herkes için,

ama hiçbiri tatmin etmiyor

bazıları için.

Buradaki "at" ifadesi şu anlama gelir: . Küme aralığın tamamını doldurduğunda büyüklük sonsuzdur. Ve tam tersi, tek bir nokta olduğunda, tek nokta . İlginç bir şekilde, sıfır Lebesgue ölçüsü kümesini temsil ettiğinde miktar sonludur ve bu kümenin Hausdorff-Besicovich boyutunu aşmaz. Eşitsizlik, bir fraktal kümenin fraktal ve harmonik özelliklerinin birbirine bağlı olduğunu ancak mutlaka çakışmadığını gösterir.

Bu boyutların farklı olabileceğini kanıtlamak için, bunun bir doğru üzerinde bir küme olduğunu ve boyutunun eşit olduğunu varsayalım. Düzlem üzerinde bir küme olarak düşünürsek boyut değişmeyecek, sıfır olacaktır.

Tanım. Bazı harmonik özellikleri genelleştirmenin uygun bir yolu olarak, niceliğe kümenin Fourier boyutu adını vermeyi öneriyorum.

Salem Setleri. Eşitlik, benzersizlik kümeleri veya Salem kümeleri adı verilen tüm kümeler kategorisini tanımlar (bkz.).

Temel kurallar ve buluşsal yöntemler. Emsal çalışmalarda bizi ilgilendiren fraktalların kural olarak Salem kümeleri olduğu ortaya çıkıyor. Değer çoğu durumda deneysel verilerden kolayca belirlenebildiğinden, tahmin etmek için kullanılabilir.

Salem'in rastgele olmayan kümeleri. Rastgele olmayan Cantor tozu, yalnızca katsayı belirli sayı teorik özelliklerini karşılıyorsa bir Salem kümesidir.

Salem rastgele kümeleri. Rastgele Cantor tozu, rastgeleliği herhangi bir aritmetik düzenliliği ihlal edecek kadar büyük olduğunda bir Salem kümesidir.

R. Salem'in bizzat önerdiği orijinal örnek çok karmaşıktır. Alternatif bir örnek olarak Levy tozu verilebilir: spektrumun (burada - Levy merdiveni, bkz. Şekil 399) ortalama olarak düz çizgiden düz çizgiye kesirli Brownian fonksiyonunun spektrumuyla neredeyse çakıştığı ve Gauss-Weierstrass fonksiyonunun spektrumunun düzeltilmiş versiyonu.

Monografide (Teoremler 1, s. 165 ve 5, s. 173), kesirli Brownian fonksiyonuna göre boyutu olan kompakt bir kümenin görüntüsünün, üslü çizgiden çizgiye, boyutlu bir Salem kümesi olduğu gösterilmiştir. .

Cantor Dust bir Salem seti değil. Trinity Cantor'un tozu, Georg Cantor'un benzersizlik kümesini aramasının (bkz. I, s. 196) bir sonucu olarak bir zamanlar doğmuştu; bu arayış, başarı ile taçlandırılamadı. (Cantor daha sonra harmonik analizi terk etti ve -daha iyi bir şey olmadığı için- küme teorisini yarattı.) Cantor'un merdivenini ile gösterelim. Spektrum, spektrumla aynı genel şekle sahiptir, ancak ikincisinden farklı olarak, boyutu azalmayan, rastgele yerleştirilmiş bir dizi keskin tepe içerir ve bundan şu sonuca varabiliriz. Santimetre. .

Teklik teorisi kümeleri için bu zirvelerin varlığı belirleyici bir rol oynar, ancak pratikte hiç de o kadar önemli değildir. Çoğu durumda, spektral yoğunluk tahmin edilirken tepe noktaları göz ardı edilir ve yalnızca boyuta göre belirlenen spektrumun genel şekli dikkate alınır.

Orta Nokta ve Aralıklı Çokgenler

Bu konuyla ilgili materyal (Peano eğrileriyle ilgili) Fractals 1977'nin XII. Bölümünde bulunabilir.

Normalleştirilmiş aralığı kullanan istatistiksel analiz

Yakın zamana kadar uygulamalı istatistikler, zaman serileriyle ilgili aşağıdaki iki varsayımı olduğu gibi kabul ediyordu: Rastgele değişkenin kısa vadeli bir bağımlılığa sahip olduğu varsayılmıştı. Ancak ampirik uzun kuyruklu veri dizilerinin genellikle varsayımların ışığında daha iyi yorumlandığını gösterdim (bkz. Bölüm 37). Şu ya da bu veri dizisinin zayıf mı (kısa vadeli) yoksa güçlü (uzun vadeli) mi bağımlı olduğu sorusuyla ilk kez Hurst olgusunu yorumlamak için uzun vadeli bağımlılığı ortaya attığımda karşılaştık (bkz. Bölüm 27).

Uzun kuyruklar ve çok uzun vadeli bağımlılığın bu karışımı istatistikçileri bir çıkmaza sürükleyebilir, çünkü sabit bağımlılık (korelasyon, spektrum) için tasarlanmış standart ikinci dereceden yöntemler varsayıma göre yönlendirilir. Yemek yemek. Ancak bir alternatif var.

Miktarın dağılımını ihmal edebilir ve normalleştirilmiş aralığı kullanarak uzun vadeli bağımlılığını analiz edebilirsiniz; Aksi takdirde bu işleme analiz adı verilir. Önerilen ve matematiksel olarak gerekçelendirilen bu istatistiksel yöntem, kısa vadeli ve çok uzun vadeli bağımlılıklar arasındaki ayrıma dayanmaktadır. Bu yöntemde Hurst katsayısı veya - üssü adı verilen ve 0 ile 1 arasında herhangi bir değer alabilen bir sabit eklenir.

Bir sabitin önemi, tanımlanmadan önce bile tanımlanabilir. Bağımsız, Markov ve kısa vadeli bağımlılığı olan diğer rastgele fonksiyonların karakteristiği özellikle önemlidir. Dolayısıyla ampirik verilerde veya örnek fonksiyonlarda çok uzun vadeli periyodik olmayan bir istatistiksel bağımlılığın mevcut olup olmadığını bilmek için varsayımın istatistiksel olarak kabul edilebilir olup olmadığını kontrol etmek yeterlidir. Değilse, o zaman böyle bir bağımlılık vardır ve yoğunluğunun ölçüsü, değeri mevcut verilere dayanarak tahmin edilebilecek olan farkla belirlenir.

Bu yaklaşımın temel avantajı göstergenin marjinal dağılıma göre istikrarlı olmasıdır. Yani, yalnızca veri dizilerinin veya rastgele fonksiyonların Gauss'a yakın olduğu durumlarda değil, aynı zamanda dağılımın Gauss'tan uzaklaşacak kadar uzak olduğu durumlarda da etkilidir; bu durumda ikinci dereceden yöntemlerin hiçbiri işe yaramaz.

istatistiksel tanımı - kapsam. Sürekli zamanda tanımlarız , Ve . Ayrık zamanda tanımlarız ve ; işte bölümün tamamı. Her biri için (değer gecikmesi diyelim), 0'dan zaman aralığına kadar olan toplamın ayarlanmış aralığını formda tanımlarız.

Büyüklük toplamın istatistiksel aralığı veya kendi kendine normalleştirilmiş kendi kendini düzelten aralığı denir.

Tanım - gösterge Diyelim ki öyle bir gerçek sayı var ki, değer dağılımda bazı dejenere olmayan sınırlayıcı rastgele değişkenlere yakınsar. 'da kanıtlandığı gibi, bu varsayımdan şu sonuç çıkar. Bu durumda fonksiyonun bir üssü ve sabit bir ön faktörü olduğunu söylüyorlar.

Daha genel bir varsayım yapalım: ilişkinin dağılımdaki dejenere olmayan sınırlayıcı bir rastgele değişkene yakınsamasına izin verin , burada sonsuzda yavaş yavaş değişen bazı fonksiyonlar var, yani. koşulu sağlayan fonksiyon herkes için. Böyle bir fonksiyonun en basit örneği . Bu durumda fonksiyonun - üssü ve - ön faktörü olduğu söylenir.

Ana sonuçlar. Beyaz Gauss gürültüsü olduğunda, aynı zamanda sabit bir ön faktörümüz vardır. Daha doğrusu tutum 'nin durağan rastgele bir fonksiyonudur.

Daha genel olarak eşitlik her durumda doğrudur. ve normalleştirilmiş toplam, 'ye zayıf bir şekilde yakınsar.

Ayrık kesirli Gauss gürültüsü (yani fonksiyon artışlarının bir dizisi, bkz. s. 488) olduğunda, elimizde , .

Daha genel olarak, sabit bir ön faktör elde etmek için şu yeterlidir: ve böylece toplam fonksiyona yaklaşacak şekilde .

Daha genel olarak, anlam ve önfaktör şu durumlarda geçerli olur: , fonksiyona yaklaşır ve ilişkiyi karşılar .

Ve son olarak eğer , ancak Gaussian olmayan ölçekte değişmeyen bazı rastgele fonksiyonlara üslü yaklaşır. Örnekler şurada bulunabilir.

Öte yandan, eğer beyaz Levy-kararlı gürültü ise (yani), o zaman .

Bir fonksiyon türev alma sonucu durağan hale geldiğinde, o zaman .

Durağanlık. Durağanlık dereceleri

Bilimsel metinlerde “sıradan” kelimeleri kullanırken, ya onların yaygın olarak kullanılan “dünyevi” anlamlarını kastederiz (bunun seçimi yazara bağlıdır) ya da onlara resmi tanımların statüsünü veririz (bunun için bazı özel anlamları vurgularız ve - bu durumda - matematiksel "tabletlere" girin. Durağan ve ergodik terimleri, matematikçilerin anlamları üzerinde anlaşmaya varmaları açısından şanslıdır. Ancak kendi tecrübelerime dayanarak birçok mühendis, fizikçi ve istatistikçinin matematiksel tanımı kelimelerle kabul ederken aslında daha dar görüşlere bağlı kaldıklarını görme fırsatım oldu. Tam tersine matematiksel tanımı genişletmek istiyorum. Aşağıda bu terimleri kullanırken ortaya çıkan temel yanlış anlamaları listeleyeceğim ve matematiksel tanımın neden genişletilmesi gerektiğini açıklamaya çalışacağım.

Matematiksel tanım. Miktarın dağılımı şunlara bağlı değilse ve ortak dağılım şunlara bağlı değilse süreç durağandır; ve aynı şey ortak dağıtımlar için de geçerlidir herkesin önünde.

İlk yanlış anlama (felsefe). Yaygın inanışa göre bilimsel faaliyet, amacı değişmeyen kurallara uyan olgular olan faaliyet olarak değerlendirilebilir. Durağanlığın yanlış anlaşılması çoğu zaman tam olarak bu bakış açısının bir sonucudur: çoğu kişi durağanlığın yalnızca süreci yöneten kuralların zamanla değişmezliği anlamına geldiğine inanır. Bu gerçek olmaktan çok uzak. Örneğin Brownian hareketinin artması ortalaması ve varyansı bağlı olmayan bir Gauss rastgele değişkenidir. Brown hareketinin sıfır kümesini oluşturma kuralı ikisine de bağlı değildir. Ancak yalnızca sürecin değerlerini yöneten kurallar durağanlıkla ilgilidir. Brown hareketi durumunda bu kurallar zamanla değişmez değildir.

İkinci yanlış anlama (uygulamalı istatistik).İstatistikçiler bize “zaman serisi analizi” için birçok yöntem (hatta bazen bilgisayar yazılımı biçiminde) sunuyor; aslında, etikete bakılırsa, bu yöntemlerin yetenek yelpazesinin beklenenden çok daha dar olduğu ortaya çıkıyor. Bu kaçınılmazdır, çünkü matematiksel durağanlık herhangi bir yöntemin tüm olası durumlara uygulanamayacağı kadar genel bir kavramdır. Ancak bunu yaparak istatistikçiler farkında olmadan müşterilerine "durağan zaman serisi" kavramının şu veya bu yöntemin kapsadığı daha dar kavramlarla aynı olduğu inancını aşılıyorlar. Yöntemlerin yazarlarının, yaratımlarını "istikrar" açısından kontrol etme zahmetine katlandıkları durumlarda bile, durağanlıkla hiçbir şekilde çelişmeyen çok radikal sapmaları hesaba katmadan, en basit durumdan yalnızca minimum sapmaları hesaba katarlar.

Üçüncü yanlış anlama (mühendisler ve fizikçiler). Pek çok araştırmacı (kısmen daha önceki yanlış anlamalardan dolayı), eğer örnekleme süreci durağansa, bunun "yukarı ve aşağı hareket edebileceği, ancak bir şekilde istatistiksel olarak aynı kalacağı" anlamına geldiğine inanıyor. Bu yorum ilk "gayri resmi" aşamada oldukça uygundu, ancak şu anda kabul edilemez. Matematiksel tanım yalnızca üretimin kurallarını açıklar ancak üretilen nesneleri hiçbir şekilde etkilemez. Matematikçiler son derece rastgele örneklere sahip durağan süreçlerle ilk karşılaştıklarında, durağanlık kavramının bu kadar çok farklı ve beklenmedik davranış biçimini içerebildiğine şaşırdılar. Ne yazık ki, pek çok uygulayıcının durağan olarak kabul etmeyi açıkça reddettiği şey tam da bu davranış biçimleridir.

Gri alan. Durağan ve durağan olmayan süreçler arasındaki sınırın beyaz Gauss gürültüsü ile Brown hareketi arasında bir yerde olduğuna şüphe yoktur; Yalnızca kesin konumu tartışmalıdır.

Ölçekten bağımsız gürültü kullanarak sınır iyileştirme. Gauss ölçeğinde değişmeyen gürültü (bkz. Bölüm 27), tartışmalı sınırın iyileştirilmesi için çok uygun bir araç olarak hizmet edebilir, çünkü spektral yoğunlukları şu şekildedir: burada. Beyaz gürültü için, Brown hareketi için, durağan ve durağan olmayan süreçler arasındaki sınır, "araştırmacıların" hangi hususlara göre yönlendirildiğine bağlı olarak farklı değerlere düşer. Yalnızca durağan olmayan bir model gereklidir.

Ben de değerlerin değerlendirme dışı bırakılmasının, durağanlık tanımının birçok örnek olay için yeterince genel olmadığını buldum.

Koşullu olarak durağan sporadik süreçler.Örneğin, fraktal gürültü teorisi (bkz. Bölüm 9), Brown sıfırlarından oluşan bir sürecin zayıflamış bir biçimde durağan olduğunu öne sürer. Aslında, ile arasında bir yerde en az bir sıfır olduğunu varsayalım. Böyle bir varsayımın sonucu, ek bir dış parametreye bağlı olarak rastgele bir süreç olacaktır. Değerlerin ortak dağılımının bağlı olmadığını belirttim. Renyi ayrıca rastgele değişkenler için sonsuz ölçüm hakkında da yazdı. Önlemin bir felakete yol açmaması için, genelleştirilmiş rastgele değişkenler teorisinde, bu niceliklerin yalnızca bir olay tarafından koşullandırıldığında gözlemlendiği varsayımı yapılır; .

Renyi rastgele değişkenlerinin uygulanabilirliği çok sınırlı olmasına rağmen, sporadik fonksiyonların bazen çok yararlı olduğu ortaya çıkıyor: özellikle onların yardımıyla birçok durumda kızılötesi felaketten kaçınabildim, böylece bazı ölçekle değişmeyen gürültülerin varlığını şöyle açıkladım: .

Ergodiklik. Karıştırma. Ergodisite kavramı da farklı yorumlara tabidir. Matematik literatüründe ergodisite kavramı çeşitli karışım biçimlerini içerir. Güçlü karıştırmanın olduğu işlemler ve zayıf karıştırmanın olduğu işlemler vardır. Bu formlar arasındaki fark (matematiksel çalışmalara bakılırsa) çok önemsiz görünebilir ve gerçek doğal olaylardan uzak görünebilir. Aldanmayın - bu doğru değil. Örneğin, ölçekle değişmeyen gürültü c veya Joseph etkisi (sonsuz bağımlılık, - gürültü c'de olduğu gibi). Bununla birlikte, emsal araştırmalarımın neredeyse tamamının, bir aşamada, incelenen olgunun açıkça durağan olmadığını ve bu nedenle durağan modellerimin başarısızlığa mahkum olduğunu savunan bazı "uzmanlar" tarafından a priori eleştirildiğini söylemek gerekir. en başından beri. Akıl yürütme hatalı, ancak psikolojik olarak çok önemli.

Çözüm. Matematiksel olarak durağan ve durağan olmayan süreçler arasındaki sınır etrafında şiddetli anlamsal tartışmalar devam ediyor. Pratikte sınır, durağan süreçler hakkındaki sezgisel fikirlerimize uymasa da yine de bilimsel araştırmanın nesneleri olarak hareket etme yeteneğine sahip süreçler tarafından işgal edilmiştir. Bu süreçler benim için hem bu makalede hem de araştırma çalışmamın geri kalanında çok faydalı oldu.

Sözcüksel sorunlar. Ve yine yeni şartlara ihtiyaç var. Matematikçilerin "durağan ve toplamın yakınsadığı" kavramının eşanlamlısı olarak oluşturulan terimi ve pratik araştırmacıların "durağanlık" olarak adlandırma eğiliminde olduğu sezgisel kavram için bir terim önerme özgürlüğünü kullanacağım. Tersi kavram, kararsız veya gezici terimlerle belirtilebilir.

İlk çalışmalarımdan birinde (yani: in), sürekli süreçleri Laplacian ve yumuşak olarak adlandırmayı önerdim. Son kelime “güvenli, kolay kontrol edilen” anlamında kullanılmış; bu değer bana oldukça uygun göründü, çünkü böylesine rastgele bir süreçle uğraşırken, herhangi bir sürprizden korkmanıza gerek yok - ondan keskin sapmalar ve çeşitli konfigürasyonlar beklenmemeli, bu nedenle rastgele gezinme analizi süreçler daha karmaşık ama aynı zamanda çok daha ilginç bir faaliyettir.

Matematik seti

Birçok- Matematiğin temel nesnelerinden biri, özellikle küme teorisi. “Çoğullukla, sezgimizin veya düşüncemizin belirli, tamamen ayırt edilebilir nesnelerinin tek bir bütün halinde birleşmesini kastediyoruz” (G. Kantor). Bu, tam anlamıyla kavram kümesinin mantıksal bir tanımı değil, sadece bir açıklamadır (çünkü bir kavramı tanımlamak, bu kavramın bir tür olarak dahil edildiği genel bir kavram bulmak anlamına gelir, ancak küme belki de en geniş matematik ve mantık kavramı).

Teoriler

Küme kavramına iki ana yaklaşım vardır: toy Ve aksiyomatik küme teorisi.

Aksiyomatik küme teorisi

Günümüzde bir küme, ZFC aksiyomlarını (seçim aksiyomlu Zermelo-Frenkel aksiyomları) karşılayan bir model olarak tanımlanmaktadır. Bu yaklaşımla bazı matematik teorilerinde küme olmayan nesne toplulukları ortaya çıkar. Bu tür koleksiyonlara sınıflar (çeşitli düzenlerden) denir.

Öğeyi ayarla

Kümeyi oluşturan nesnelere denir setin elemanları veya setin noktaları. Kümeler çoğunlukla Latin alfabesinin büyük harfleriyle, elemanları ise küçük harflerle gösterilir. Eğer a, A kümesinin bir elemanı ise, a ∈ A (a, A'ya aittir) yazın. Eğer a, A kümesinin bir elemanı değilse, a∉A yazın (a, A'ya ait değildir).

Bazı set türleri

• Sıralı küme, üzerinde sıra ilişkisinin belirtildiği bir kümedir.
• Bir küme (özellikle sıralı bir çift). Basit bir kümeden farklı olarak parantez içinde yazılır: ( x 1, x 2, x 3,…) ve öğeler tekrarlanabilir.

Hiyerarşiye göre:

Kümeler kümesi Altküme Süperküme

Sınırlamayla:

İşlemleri Ayarla

Edebiyat

• Stoll R.R.Çokluk. Mantık. Aksiyomatik teoriler. - M.: Eğitim, 1968. - 232 s.

Ayrıca bakınız

Wikimedia Vakfı.

2010.

Diğer sözlüklerde “Matematiksel kümenin” ne olduğuna bakın:

Vitali kümesi, Lebesgue ölçüsü olmayan bir gerçek sayılar kümesinin ilk örneğidir. Bir klasik haline gelen bu örnek, 1905 yılında İtalyan matematikçi G. Vitali tarafından “Sul problema della misura dei gruppi di punti... ... Vikipedi” başlıklı makalesinde yayımlanmıştır. - Bir rastgele değişkenin (ortalama değeri), bir rastgele değişkenin sayısal bir özelliğidir. Bir olasılık uzayında tanımlanmış bir rastgele değişken varsa (bkz. Olasılık teorisi), o zaman M. o. MX (veya EX), Lebesgue integrali olarak tanımlanır: burada...

Fiziksel ansiklopedi Rastgele bir değişken onun sayısal özelliğidir. Eğer bir X rastgele değişkeni F(x) dağılım fonksiyonuna sahipse, bu durumda M. o. irade: . X dağılımı ayrık ise, o zaman M.o.: , burada x1, x2, ... ayrık rastgele değişken X'in olası değerleri; p1...

Jeolojik ansiklopedi ACS yazılımı - , yazılımla aynı, yazılım, matematiksel programlar ve algoritmalardan oluşan bir kompleks, destekleyici alt sistemlerden biri. Genellikle bilgisayardaki belirli sorunları çözmek için ana program tarafından birleştirilen birçok program içerir... ...

Ekonomik-matematik sözlüğü ACS yazılımı - destekleyici alt sistemlerden biri olan yazılım, yazılım, matematiksel programlar ve algoritmalardan oluşan bir kompleks ile aynı. Genellikle, bir bilgisayardaki belirli sorunları çözmek için, dağıtıcı tarafından ana programla birleştirilen birçok program içerir.... ...

Teknik Çevirmen Kılavuzu

Matematiksel model, gerçekliğin matematiksel bir temsilidir. Matematiksel modelleme, matematiksel modellerin oluşturulması ve çalışılması sürecidir. Temelde matematiksel araçları kullanan tüm doğa ve sosyal bilimler... ... Vikipedi

Doğrusal ve doğrusal olmayan kısıtlamalarla (eşitlikler ve eşitsizlikler) tanımlanan sonlu boyutlu vektör uzayı kümeleri üzerindeki fonksiyonların ekstremumlarını bulma problemlerini çözme teorisine ve yöntemlerine adanmış bir matematik disiplini. M.p.... ... Matematik Ansiklopedisi

Doğrusal ve doğrusal olmayan kısıtlamalarla (eşitlikler ve eşitsizlikler) tanımlanan kümelerdeki fonksiyonların ekstremumlarını bulma problemlerini çözme teorisi ve yöntemlerine adanmış bir matematik disiplini. M.p. bilim bölümü... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Kanıt. Matematikte kanıt, belirli bir dizi aksiyom ve çıkarım kuralları göz önüne alındığında, belirli bir ifadenin doğru olduğunu gösteren mantıksal sonuçlar zinciridir. Bağlı olarak... Vikipedi

Kitaplar

• Ekonominin matematiksel modellemesi, Malykhin V.I.. Kitap, ekonominin ana matematiksel modellerini tartışıyor: bireysel tüketici modeli (fayda fonksiyonuna dayalı), imalat şirketi modeli (üretim fonksiyonuna dayalı), .. .

Bir konu alanının tanımı (ontolojisinin oluşturulması), geleneksel olarak bir sınıf-alt sınıf ağacının derlenmesinden ve bunlara bireylerin atanmasından oluşan nesnelerin tanımlanması ve sınıflandırılması ile başlar. Bu durumda “sınıf” terimi esas olarak “küme” anlamında kullanılmaktadır: Bir nesneyi bir sınıfa atamak, onu karşılık gelen kümenin bir öğesi olarak dahil etmek olarak düşünülür. Bu metnin amacı, bir konu alanının yapısını açıklamaya yönelik bu tür birleşik bir yaklaşımın güçlü bir basitleştirme olduğunu ve nesnelerin anlamsal ilişkilerinin çeşitliliğini yakalamamıza izin vermediğini göstermektir.

Bug bireyini sınıflandırmak için üç seçeneğe bakalım:

1. Hayvan - köpek - husky - Böcek.
2. Servis - sürme - Hata.
3. Köpek kulübesi - köpek takımı - Zhuchka.

İkincil varlıkların ilk dizisi, sınıfların ve alt sınıfların tanımı yoluyla açık bir şekilde tanımlanmaktadır: Bir böcek, "Lika" sınıfının bir bireyidir, "Lika" sınıfı, köpeklerin bir alt sınıfıdır ve bu, "hayvan"ın bir alt sınıfıdır. sınıf. Bu durumda, "hayvanlar" sınıfı tüm hayvanların kümesi olarak yorumlanır ve "beğeniler" sınıfı da "köpekler" kümesinin bir alt kümesi olarak yorumlanır. Bununla birlikte, böyle bir tanımlama, oldukça görsel olmasına rağmen, anlamlı bir şekilde totolojiktir, kendine gönderme yapar: bireysel Böceğe, dış yapraklar kümesine dahilse, dış yapraklar adını veririz ve dış yapraklar kümesinin kendisini, dış yapraklar kümesinin kendisi olarak tanımlarız. Husky'lerin tüm bireylerinin bütünlüğü - yani kümeye dahil olmak, ismin anlamlı kopyalarıdır. Ek olarak, bir sınıf kümesinin tanımı, sınıfı tanımlayan kavramın kapsamına giren bir bireyin tanımıyla tamamen tükenmiştir. Ayrıca, bu tür küme sınıflarının işleyişinin, içlerindeki öğe sayısına bağlı olmadığına da dikkat edilmelidir: Husky Bug, Dünya'daki tek, son husky olarak kalsa bile bir husky olacaktır. Dahası, bu tür sınıf kümeleriyle, içinde bireylerin yokluğunda bile çalışabiliriz: halihazırda soyu tükenmiş dinozorların bir ontolojisini inşa edebilir, yalnızca gelecekte tasarlanacak benzersiz cihazı içerecek bir sınıf hayal edebilir veya bir sınıf kümesi modeli oluşturabiliriz. Konu alanı efsanevi hayvanlar, masal kahramanları olsa da aynı zamanda tüm sınıf kümelerinin önem derecesi sıfıra eşit olacaktır.

Yani analiz edilen sınıflandırmanın içerik yönünden bahsedersek (hayvan - köpek - husky - Böcek), o zaman (içerik tarafı) hiçbir şekilde kümeler ve alt kümeler arasındaki ilişki yoluyla ifade edilemez. Bu durumda kavramsallaştırma - kavramları yalıtma ve cins-tür ilişkilerinin kurulması aralarında. Dahası, kavramsal sınıfın gerçek öğelerinin sayısı, yani kavramın kapsamı, tanımında yer almaz ve yalnızca bir kavram ("benzer") diğerinin altına düştüğünde bahsedilir (ve o zaman bile anlamlı değildir) ( “köpek”), yani cinsin bir türü gibi davrandığında. Evet, “köpek” kavramının kapsamının “gibi” kavramının kapsamından daha geniş olduğunu söyleyebiliriz ancak bu kümelerin gerçek sayısal ilişkisinin ontolojik bir anlamı yoktur. Bir sınıfın hacmi, cinse özgü ilişkilerde bir alt sınıfın hacmini aştığında, bu yalnızca bir cinsin tanımı gereği birkaç türü içermesi gerektiği gerçeğini yansıtır - aksi takdirde bu sınıflandırma anlamsız hale gelir. Yani, cins-tür kavramsal sınıflandırmasında, kavramların içeriğiyle tam olarak ilgileniyoruz - "köpek" türünün "kedi" türünden nasıl farklı olduğu (ki bu aynı zamanda onlar için genel "hayvan" kavramının kapsamına da giriyor), ve cins ve tür kümelerinin hacimlerinin nasıl ilişkili olduğu değil ve daha da önemlisi tür kavramlarının (“köpek” ve “kedi”) hacimleri. Ve kavramsal sınıfları gerçekten sayılabilir kümelerden ayırmak için şöyle demek daha doğru olur: Bir bireyin bu kavramın kapsamına girip girmediği, hakkında değil açılıyor onu bir sınıfa/küme haline getirin. Biçimsel gösterimde "X kavramı kapsamına girer" ve "X sınıfının bir öğesidir" ifadelerinin aynı görünebileceği açıktır, ancak bu iki tanım arasındaki temel farkın anlaşılmaması, tanımın oluşturulmasında ciddi hatalara yol açabilir. ontoloji.

İkinci seçenekte (hizmet - binicilik - Zhuchka), herhangi bir kümenin "binicilik" kavramını karşılaştırmakla da ilgilenmiyoruz: "Zhuchka - binicilik" ifadesinin anlamsal içeriği, onun tek olup olmadığına bağlı değildir. birçoğu var. Görünüşe göre burada genel-özel ilişkilerle uğraşıyoruz: "Binicilik" kavramı, genel "hizmet" kavramına göre spesifik olarak düşünülebilir. Ancak bireysel "Böceğin" "binicilik" kavramıyla bağlantısı, "beğenme" kavramıyla olan bağlantısından önemli ölçüde farklıdır: ikincisi, kavramsal kavram içkindir ve her zaman bireye içkindir ve ilki, zamanında yerel uzmanlık. Böcek bir kızak köpeği olarak doğmamıştır ve belki de yaşlandıkça bir bekçi köpeği olmaktan çıkıp bir bekçi köpeği kategorisine girebilir ve yaşlılıkta tüm "mesleğini" tamamen kaybedebilir. Yani uzmanlaşmadan bahsederken, belirli bir kavramın kazanılması ve bağlantının kaybedilmesi olaylarını her zaman vurgulayabiliriz. Örneğin, Zhuchka, türün mutlak şampiyonu olarak tanınabilir ve daha sonra kavramsal kavramlarla temelde imkansız olan bu unvanı kaybedebilir: Zhuchka, doğumdan ölüme, yani bir birey olarak varlığının tüm süresi boyunca, bir köpek ve bir husky'dir. Aynı şekilde, kişi hayatı boyunca "kişi" kavramı olarak kalır, ancak durumsal olarak (olaydan olaya) "okul çocuğu", "öğrenci", "doktor", "koca" vb. gibi özel kavramların kapsamına girebilir. Daha önce de belirtildiği gibi, bu kavramlarla bağlantı kesinlikle belirli bir kümeye dahil olmak anlamına gelmez (her ne kadar böyle görünse de) - uzmanlaşan bir kavramın atfedilmesi her zaman bireyin diğer bireylerle olan özel ilişkisinin sonucudur: okula girmek, üniversite, diploma almak, evliliği tescil ettirmek vb. Dolayısıyla uzmanlık kavramları da denilebilir ilişkisel. Yukarıdaki örneklerden, kavramsal sınıflandırma ile uzmanlaşma arasındaki bir diğer önemli fark şu şekildedir: Bir bireyin birkaç uzmanlığı olabilir (Zhuchka bir kızak köpeği ve cins şampiyonu olabilir, kişi hem öğrenci hem de koca olabilir), ancak aynı anda daha fazla uzmanlığa dahil edilemez. birden fazla kavramsal hiyerarşi (Zhuchka hem köpek hem de kedi olamaz).

Ve sadece Zhuchka'nın tanımının üçüncü versiyonunda - belirli bir köpek kulübesine ait olarak ve tundrada kızak çeken belirli bir ekibin üyesi olarak - çokluğundan bahsetmek yeterli. Ancak bu durumda bireyin sayılabilir sayıda öğe içeren somut bir kümenin öğesi olduğunu ve bu kümenin kapsamını geleneksel olarak sabitleyen soyut bir küme olarak temsil edilebilecek bir kavramın kapsamına girmediğini söyleme hakkına sahibiz. kavram. Ve burada, bir bireyin başlangıçta bir küme olarak tanımlanan başka bir bireyin parçası olması esastır: bir köpek kulübesi ve bir takım zorunlu olarak boş olmayan bir köpek kümesidir ve bu kümenin öğelerinin sayısı kesinlikle tanımlarına dahil edilmiştir. bireyler. Yani bu durumda ilişki hakkında konuşmalıyız parça-bütün: Böcek, kulübenin ve ekibin bir parçasıdır. Ayrıca, Böceğin belirli bir takıma dahil edilmesi veya girmemesi, onun (takımın) içeriğini değiştirir: eğer ikili bir takımımız varsa, Böceği kaldırdıktan sonra takım tek bir takıma dönüşür. Bu gibi durumlarda, yalnızca sayılabilir bir kümeyle (köpek kulübesindeki köpekler) değil, öğelerinin bileşimi değiştiğinde özü değişen ve bu bileşim tarafından belirlenen bir bireyle, yani sistem. Bir köpek kulübesi, içerdiği birçok unsurla tanımlanan basit bir bireysel grup ise, o zaman ekip, özü, parçalarının sayısına ve özelliklerine bağlı olan bir sistemdir.

Sonuç olarak, bir konu alanının ontolojisini oluştururken, tam olarak belirli sayıda bireyin toplamı olarak tanımlanan gerçek nesne kümelerini tanımlamak mümkündür. Bunlar: okuldaki bir sınıf, bir depodaki kutudaki mallar, bir elektronik cihaz ünitesinin parçaları vb. Ve bu kümeler diğer sayılabilir gerçek kümelerin alt kümeleri olabilir: okuldaki tüm öğrenciler, bir depodaki tüm mallar, hepsi bir cihazın parçaları. Bu kümeleri tanımlarken, bunların (bu kümelerin) bağımsız bireyler (bir ekip, bir ürün grubu, bir dizi parça) olarak hareket etmeleri önemlidir; bunların ana özelliği tam olarak içlerinde yer alan öğelerin sayısıdır. Üstelik bu niteliğin değiştirilmesi, nesnenin statüsünde bir değişikliğe yol açabilir, örneğin öğelerin sayısında bir artışla, bir dörtlüyü bir beşliye veya bir alayı bir tugaya dönüştürebilir. Ayrıca, karmaşık nesneler olan bu nesne kümelerinin tanımının, bunlara dahil olan bireylerin tanımına indirgenmemesi de önemlidir; ancak bu, ikincisinin izin verilen türünün (yaylı çalgılar dörtlüsü, at takımı) bir göstergesini içerebilir. . Ve bu tür ilişkiler - soyut kümeler arasında değil, bireylerden oluşan, karmaşık nesneler olan kümeler arasında - sınıf-alt sınıf yerine parça-bütün ilişkileri olarak daha doğru bir şekilde tanımlanır.

Bu nedenle, bireylerin şu veya bu sınıf kümesine atanarak geleneksel olarak sınıflandırılmasının homojen olduğu düşünülemez. Şunları birbirinden ayırmak gerekir: (1) anlamsal özgüllüğü öğelerinin tanımıyla sınırlı olmayan karmaşık bir nesneye (bütün) bireylerin parçalar olarak dahil edilmesi. Bu durumda (1.1.) bir nesne-bütün yalnızca bireylerin adlandırılmış bir kümesi (bir paketteki parçalar, bir resim koleksiyonu) olarak düşünülebilir ve aslında bunlar için yalnızca parçaların sayısı önemlidir. Bu tür nesneler çağrılabilir gruplar (veya koleksiyonlar)). Ayrıca (1.2.) bir nesne-bütün, parçaları tarafından anlamlı bir şekilde (ve sadece niceliksel olarak değil) belirlenebilir ve sonuç olarak parçaların sahip olmadığı niteliklere sahip olabilir. Böyle bir bütünlüğe geleneksel olarak denir sistemler ve sistemlerin parçaları - elemanlar. Nesneleri sınıflara-altsınıflara atayarak tanımlamanın ikinci seçeneği, (2) bireylerin, ancak biçimsel, totolojik olarak, gücü sınıfın gücüne eşit olan bir kümeye dahil edilmesi olarak tanımlanabilecek bir kavram altında toplanmasıdır. kavram. Bireylerin kavramsal tanımları sırasıyla (2.1) şeklinde sınıflandırılabilir. kavramsal, bir bireyin tipini küresel olarak sabitlemek ve (2.2) uzmanlaşmak (ilişkisel), yerel olarak zaman ve mekanda (sonunda) bir bireyi diğer nesnelere bağlamak.

Yukarıdaki düşünceler, her şeyden önce, konu alanını küme teorisine dayalı sınıflandırmayı kullanarak tanımlamaya yönelik geleneksel yaklaşımın yeterliliği ve yeterliliği sorusunu gündeme getirmektedir. Ve şu sonuç önerilmektedir: Ontolojilerdeki nesne bağlantılarının tüm çeşitliliğini yakalamak için daha farklılaştırılmış sınıflandırma araçlarına (gruplar, sistemler, kavramsal ve özel kavramlar) ihtiyaç vardır. Küme teorisinin formalizmi, ana açıklama yöntemi olarak değil, yalnızca mantıksal çıkarımın ihtiyaçları için yerel bir basitleştirme olarak kullanılabilir.