Karmaşık fonksiyon Weierstrass'a benziyor
nerede - bazıları gerçek sayı, ancak olarak veya olarak yazılır. Fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarına sırasıyla kosinüs ve Weierstrass sinüzoidleri denir.
Fonksiyon süreklidir ancak hiçbir yerde türevi alınamaz. Ancak duruma resmi genellemesi hem sürekli hem de türevlenebilirdir.
Bu bölümde işlevin kendisine ek olarak bazı seçenekler de tartışılmaktadır; bunların sunumuna duyulan ihtiyaç, fraktallar teorisinin Weierstrass fonksiyonuna kazandırdığı yeni anlamdan kaynaklanmaktadır.
Bir fonksiyonun frekans spektrumu. Bana göre “spektrum” terimi aşırı anlamlarla dolu. Frekans spektrumu seti ifade eder kabul edilebilir değerler karşılık gelen bileşenlerin genlikleri dikkate alınmaksızın frekanslar.
Periyodik bir fonksiyonun frekans spektrumu pozitif tamsayılardan oluşan bir dizidir. Brownian fonksiyonunun frekans spektrumu. Weierstrass fonksiyonunun frekans spektrumu, 'den 'ye kadar ayrı bir dizidir.
Bir fonksiyonun enerji spektrumu. Alt enerji spektrumu, karşılık gelen bileşenlerin enerji değerleriyle (karelenmiş genlikler) birlikte izin verilen frekans değerleri kümesi olarak anlaşılmaktadır. Fonksiyondaki formun her frekans değeri için formun bir spektral enerji çizgisi vardır. 
. Sonuç olarak, frekanslardaki toplam enerji değeri yakınsar ve orantılıdır. 
.
Kesirli Brown hareketi ile karşılaştırma. Toplam enerji, daha önce ele aldığımız diğer bazı durumlarda orantılıdır: izin verilen frekanslar şu şekilde olan kesirli periyodik rastgele Fourier-Brown-Wiener fonksiyonları ve karşılık gelen Fourier katsayıları eşittir; rastgele süreçler ile orantılı sürekli bir spektral popülasyon yoğunluğu ile. En son süreçler Bölüm 27'de açıklanan kesirli Brownian fonksiyonlarından başka bir şey değildir. Örneğin, sıradan Brownian hareketinde Weierstrass fonksiyonunun kümülatif spektrumu tespit edilebilir; bunun spektral yoğunluğu ile orantılıdır. Temel bir fark: Brownian spektrumu kesinlikle süreklidir, Fourier-Brown-Wiener ve Weierstrass fonksiyonlarının spektrumları ise ayrıktır.
Farklılaştırılamazlık. Bir fonksiyonun herhangi bir değer için sonlu bir türevinin olmadığını kanıtlamak için Weierstrass'ın iki aşağıdaki koşullar: tek bir tamsayıdır, bunun sonucunda fonksiyon bir Fourier serisi olur ve . Gerekli ve yeterli koşullar( ve ) tarafımızdan Hardy'nin makalesinden alınmıştır.
Enerji tüketimi. Spektrumlara alışkın bir fizikçi için Hardy'nin koşulları açık görünüyor. Fizikçi, bir fonksiyonun türevinin Fourier katsayısı ile çarpılmasıyla hesaplandığı ampirik kuralını uygulayarak, fonksiyonun biçimsel türevi için Fourier katsayısı c'nin kare genliğinin şuna eşit olduğunu bulur: 
. θ'dan büyük frekanslarda toplam enerji sonsuz olduğundan, türevin belirlenemeyeceği fizikçiler için açık hale gelir.
Riemann'ın diferansiyellenemezliğe bir örnek ararken şu fonksiyonu ortaya çıkardığını belirtmek ilginçtir: 
, daha yüksek frekanslarda spektral enerjisi , ile orantılıdır . Böylece, aynı sezgisel akıl yürütme kullanılarak türevin türevlenemediği varsayılabilir. Bu sonuç yalnızca kısmen doğrudur, çünkü belirli değerlerde türev hala mevcuttur (bkz.).
Ultraviyole sapma/felaket."Felaket" terimi fizikte yirminci yüzyılın ilk on yılında Rayleigh ve Jeans'in bağımsız olarak kara cisim radyasyonu teorisini geliştirmesiyle ortaya çıktı; buna göre frekansın yakınındaki genişlik frekans aralığının enerjisi orantılıdır. Bu, spektrumun toplam enerjisinin olduğu anlamına gelir. yüksek frekanslar sonsuz - ki bu teori açısından çok felaket bir sonuçtur. Sorunun kaynağı spektrumun ultraviyole kısmının ötesindeki frekanslardan geldiğinden, bu olaya ultraviyole (UV) felaketi adı verilir.
Planck'ın kendi inşa ettiğini herkes biliyor. kuantum teorisi UV felaketinin radyasyon teorisini dönüştürdüğü harabelerin üzerinde.
Tarihi geri çekilme. Hem eski fiziğin hem de eski matematiğin ölüm nedeninin aynı olduğunu belirtelim (her ne kadar bunu daha önce kimsenin yapmadığını tam olarak anlamasam da; her halükarda, elimdeki kaynaklarda buna benzer bir şey bulamadım). Sürekli fonksiyonların basitçe türevlenebilir olması gerektiği inancını zayıflatan farklılık. Fizikçiler tepki gösterdi basit değişiklik Oyunun kurallarına göre matematikçiler türevlenemeyen fonksiyonlar ve bunların formal türevleriyle yaşamayı öğrenmek zorundaydı. (İkincisi, fizikte sıklıkla kullanılan genelleştirilmiş Schwarz fonksiyonunun tek örneğidir.)
Ölçekle değişmeyen ayrık spektrum arayışı içinde. Kızılötesi sapma. Rağmen frekans spektrumu Brownian fonksiyonu süreklidir, ölçek değişmez ve 'de bulunur, Weierstrass fonksiyonunun aynı değere karşılık gelen frekans spektrumu kesiklidir ve aşağıdan değeri ile sınırlıdır. Alt sınırın varlığı yalnızca Weierstrass sayısının başlangıçta tam sayı olması ve fonksiyonun periyodik olmasından kaynaklanmaktadır. Bu durumu ortadan kaldırmak için kesinlikle 'den herhangi bir değer almasına izin verilmelidir. Enerji spektrumunun ölçekten bağımsız olabilmesi için her frekans bileşenini bir genlikle ilişkilendirmek yeterlidir.
Ne yazık ki, ortaya çıkan seri birbirinden ayrılıyor ve bunun sorumlusu düşük frekanslı bileşenler. Bu kusura kızılötesi (IR) sapma (veya “felaket”) denir. Ne olursa olsun, bu farklılığa katlanmak zorundayız, çünkü aksi takdirde alt sınır, enerji spektrumunun doğasında var olan öz benzerlikle çatışır.
Odak zamanına göre kendine özgü, değiştirilmiş Weierstrass işlevi. Weierstrass fonksiyonunun frekans spektrumunu bir değere kadar sürdürmenize ve yıkıcı sonuçlardan kaçınmanıza olanak tanıyan en basit prosedür iki aşamadan oluşur: ilk önce ifadeyi elde ederiz. 
ve ancak o zaman 'dan 'a kadar herhangi bir değer almasına izin verin. Değerlere karşılık gelen ek terimler yakınsar ve bunların toplamı sürekli ve türevlenebilirdir. Bu şekilde değiştirilen fonksiyon
halen süreklidir ancak hiçbir yerde türevlenebilir değildir.
Ek olarak, şu anlamda ölçek açısından değişmezdir:
.
Yani fonksiyon 
bağlı değildir. Farklı da söyleyebiliriz: Fonksiyonlu 
bağlı değildir. Yani, fonksiyon 
, gerçek ve sanal kısımları, form ve odak zamanı değerlerine göre kendine bağlıdır.
Gaussian rastgele işlevler genelleştirilmiş Weierstrass spektrumu ile. Gerçekçiliğe ve geniş uygulanabilirliğe doğru bir sonraki adım, genelleştirilmiş Weierstrass fonksiyonunun rastgeleleştirilmesidir. En basit ve en doğal yöntem Fourier katsayılarının bağımsız karmaşık Gaussian ile çarpılmasından oluşur rastgele değişkenler sıfır matematiksel beklenti ve birim varyans ile. Ortaya çıkan fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarına haklı olarak Weierstrass-Gauss (değiştirilmiş) fonksiyonlar denilebilir. Bazı açılardan bu fonksiyonlar yaklaşık kesirli Brown fonksiyonları olarak kabul edilebilir. Değerler çakıştığında spektrumları, bu spektrumlardan birinin sürekli, diğerinin ayrık olmasına izin verecek kadar benzerdir. Üstelik, Orey ve Marcus'un sonuçları (bkz. s. 490) Weierstrass-Gauss fonksiyonlarına uygulanabilir ve bunların düzey kümelerinin fraktal boyutları, kesirli Brownian fonksiyonlarının düzey kümelerinin fraktal boyutlarıyla örtüşür.
Kesirli sayının temsil ettiği emsal göz önüne alındığında Brown hareketi Weierstrass-Rademacher fonksiyonunun sıfır kümelerinin boyutunun eşit olacağını varsayabiliriz. Bu varsayım ancak tamsayılar için doğrulanmıştır.
Singh, Weierstrass fonksiyonunun diğer birçok varyasyonundan bahsediyor. Bazılarının kümelerinin sıfır boyutunu tahmin etmek kolaydır. Genel olarak, bu konu, modern teorik düşüncenin başarıları dikkate alınarak, daha ayrıntılı bir çalışmayı açıkça hak etmektedir.
"S ifadesi doğru mudur?" ifadesi şu şekilde olduğunda belki de matematikteki en tipik sorudur: "A sınıfının her öğesi aynı zamanda B sınıfına da aittir: A B." Böyle bir ifadenin doğru olduğunu kanıtlamak, A'nın B'ye dahil olduğunu kanıtlamak anlamına gelir. Yanlış olduğunu kanıtlamak, A sınıfına ait olup B sınıfına ait olmayan bir element bulmak, yani karşı örnek vermek anlamına gelir. Örneğin, S ifadesi: "Her sürekli fonksiyon bir noktada türevlenebilirdir" ise, o zaman A ve B kümeleri sırasıyla tüm sürekli fonksiyonlardan ve bazı noktalarda türevlenebilir tüm fonksiyonlardan oluşur. Weierstrass'ın ünlü sürekli ama hiçbir yerde olmayan örneği. diferansiyellenebilir fonksiyon f, A'nın B'ye dahil edilmesine karşı örnektir, çünkü f, A'nın B'ye ait olmayan bir öğesidir. Aşırı basitleştirme riskine rağmen, matematiğin (tanımlar, ifadeler ve hesaplamalar hariç) oluştuğunu söyleyebiliriz. iki bölümden oluşur - kanıtlar ve karşı örnekler ve matematiksel keşifler kanıt bulmayı ve karşı örnekleri oluşturmayı içerir.
Bu, matematiğin oluşumu ve gelişimi sırasında karşı örneklerin alaka düzeyini belirler.
En matematik kitapları gerçek ifadeleri kanıtlamaya adanmıştır.
Genel olarak konuşursak, matematikteki örnekler iki türdendir: açıklayıcı örnekler ve karşı örnekler. İlki şu veya bu ifadenin neden anlamlı olduğunu gösterirken, ikincisi şu veya bu ifadenin neden anlamsız olduğunu gösterir. Herhangi bir örneğin aynı zamanda bazı ifadelere, yani böyle bir örneğin imkansız olduğu ifadesine karşı bir örnek olduğu ileri sürülebilir. Karşı örnek terimine bu kadar evrensel bir anlam vermek istemiyoruz ancak anlamının, rolü doğru teoremleri açıklamakla sınırlı olmayan tüm örnekleri kapsayacak kadar geniş olduğunu kabul ediyoruz. Dolayısıyla, örneğin, sürekli bir fonksiyonun örneği olarak bir polinom bir karşı örnek değildir, ancak sınırsız veya periyodik olmayan bir fonksiyonun bir örneği olarak bir polinom bir karşı örnektir. Benzer şekilde, entegre edilebilir fonksiyonlar sınıfı olarak sınırlı bir kapalı aralıktaki tüm monoton fonksiyonların sınıfı bir karşı örnek değildir, ancak bir fonksiyonel uzayın örneği olan ancak bir vektör uzayı olmayan bu aynı sınıf bir karşı örnektir.
Bu çalışmanın amacı analizde bir fonksiyonun monotonluğuna ilişkin karşıt örnekleri ve koşulları ele almaktır.
Hedefe ulaşmak için aşağıdaki görevler belirlendi:
1. Analizde karşıt örnekleri göz önünde bulundurun
2. Karşı örnek kavramını tanımlayın
3. Farklılaştırmada karşıt örneklerin kullanımını düşünün
4. Fonksiyonların monotonluğu kavramını tanımlayın
5. Bir fonksiyonun monotonluğuna ilişkin koşulları karakterize edin
6. Yerel ekstremum için gerekli koşulu göz önünde bulundurun
7. Yerel bir ekstremum için yeterli koşulları göz önünde bulundurun
1. Analizdeki karşı örnekler
1.1. Karşı örnek kavramı
Popüler ifadeler: "örneklerden öğrenin", "örnekliğin gücü" yalnızca gündelik anlamlara sahip değildir. "Örnek" kelimesi "ölçmek", "ölçmek", "ölçmek" sözcükleriyle aynı köke sahiptir, ancak en başından beri matematikte mevcut olmasının tek nedeni bu değildir. Bir örnek kavramı açıklar, anlamını anlamaya yardımcı olur, ifadenin doğruluğunu kendi özel tezahüründe doğrular; Yanlış bir ifadeyi çürüten bir karşı örneğin kanıtlayıcı gücü vardır.
Karşı örnek, belirli bir ifadenin doğruluğunu çürüten bir örnektir.
Karşı örnek oluşturmak hipotezleri çürütmenin yaygın bir yoludur. Eğer "M kümesindeki herhangi bir X için, A özelliği geçerlidir" gibi bir ifade varsa, bu ifadenin karşı örneği, A özelliğinin geçerli olmadığı M kümesindeki herhangi bir X 0 nesnesi olabilir.
Matematik tarihindeki klasik bir karşı örnek, Bernard Bolzano tarafından oluşturulan, tüm gerçek eksen üzerinde sürekli olan ve hiçbir noktada türevi alınamayan fonksiyondur. Bu fonksiyon, bir fonksiyonun türevlenebilirliğinin onun sürekliliğinin doğal bir sonucu olduğu hipotezine karşı bir örnek teşkil ediyordu.
2.2. Farklılaştırmada Karşı Örneklerin Kullanımı
Bu bölüm türev almanın matematiksel analizin temel unsuru olması nedeniyle seçilmiştir.
Bu bölümdeki bazı örneklerde türev terimi aynı zamanda sonsuz limitler için de geçerli olacaktır.
Bununla birlikte, türevlenebilir fonksiyon terimi yalnızca, fonksiyonun tanım kümesindeki her noktada sonlu bir türevi varsa kullanılır. Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her noktada herhangi bir mertebeden (sonlu) türevi varsa, bu fonksiyona sonsuz türevlenebilir olduğu söylenir.
E tabanına sahip bir üstel fonksiyon ex x veya exp(x) sembolüyle gösterilecektir.
Fonksiyonların etki alanları ve değer kümeleri de dahil olmak üzere tüm kümelerin R'nin alt kümeleri olduğu varsayılmaktadır. Aksi takdirde uygun açıklama yapılacaktır.
1. Türev olmayan fonksiyon
Fonksiyon sgnA: ve genel olarak, atlama formunda süreksizliği olan herhangi bir fonksiyonun ilkel değeri yoktur, yani herhangi bir fonksiyonun türevi değildir, çünkü tüm ara değerleri kabul eden Cauchy özelliğine sahip değildir ve bu özellik yalnızca sürekli fonksiyonlarda değil aynı zamanda türevlerde de mevcuttur ( bkz. s. 84, örnek 40 ve ayrıca cilt I, s. 224). Aşağıda süreksiz türevin bir örneği verilmiştir.
2. Süreksiz türevli türevlenebilir fonksiyon
İşlevi düşünün
Türevi
x = 0 noktasında süreksizdir.
3. Her yerde türevi olan süreksiz bir fonksiyon (mutlaka sonlu olması gerekmez)
Böyle bir örneğin mümkün olabilmesi için türev tanımının ± değerlerini de içerecek şekilde genişletilmesi gerekmektedir. Daha sonra süreksiz fonksiyon işaret x'in (örnek 1) bir türevi vardır
4. Türevi ekstrem noktanın herhangi bir tek taraflı komşuluğunda işaretini korumayan türevlenebilir fonksiyon
x = 0 noktasında mutlak minimumu vardır. Ve bunun türevi
Sıfırın herhangi bir tek taraflı komşuluğunda hem pozitif hem de pozitif değer alınır. negatif değerler. f fonksiyonu x = 0 noktasının herhangi bir tek taraflı komşuluğunda monoton değildir.
5. Türevi bir noktada pozitif olan ancak fonksiyonun kendisi bu noktanın hiçbir komşuluğunda monoton olmayan diferansiyellenebilir fonksiyon
eşit bir türevi vardır
Sıfırın herhangi bir komşuluğunda f/(x) türevinin hem pozitif hem de negatif değerleri vardır.
6. Türevi sonlu olan ancak kapalı bir aralıkta sınırlı olmayan bir fonksiyon
İşlevi düşünün
Türevi
[-1, 1] ile sınırlı değildir.
7. Türevi mevcut ve sınırlı olan, ancak kapalı bir aralıkta (mutlak) bir ekstremuma sahip olmayan bir fonksiyon
bir türevi var
Sıfırın herhangi bir mahallesinde, bu türev keyfi olarak 24 ve -24'e yakın değerlere sahiptir. Öte yandan 0 için Bu nedenle eşitsizlikten 0< h
1 следует, что 8. Her yerde sürekli fakat hiçbir yerde türevlenemeyen fonksiyon İşlev | x | her yerde süreklidir, ancak x - 0 noktasında türevlenebilir değildir. Bu fonksiyonun kaydırılması kullanılarak, keyfi olarak verilen sonlu bir kümenin her noktasında türevi alınamayan, her yerde sürekli bir fonksiyon tanımlanabilir. Bu bölümde | fonksiyonunun sonsuz sayıda kaydırmasını kullanan bir örnek vereceğiz. x |. fonksiyonunun olduğunu gösterelim. hiçbir yerde türevlenemez. a'nın keyfi bir gerçel sayı olduğunu varsayalım ve her n doğal sayısı için 4 -n veya –4 -n'ye eşit olan h n sayısının seçilmesine izin verin, böylece miktar aynı değere sahip olur | h n | tüm m n'ler için ve m > n için sıfıra eşittir. Bu durumda fark oranı, n çift olduğunda çift, n tek olduğunda tek olan bir tam sayıdır. Bundan şu sonuç çıkıyor: sınır mevcut değil ve bu nedenle mevcut değil ve Verilen örnek, 1930'da B. L. Van der Waerden tarafından oluşturulan bir örneğin değiştirilmiş halidir (bkz. s. 394). Sürekli, hiçbir yerde türevlenemeyen fonksiyonun ilk örneği K. W. T. Weierstrass (Alman matematikçi, 1815-1897) tarafından oluşturulmuştur: burada a bir tam sayıdır tek sayı ve b sayısı öyledir ki Örnekler şu anda biliniyor sürekli fonksiyonlar hiçbir noktada tek taraflı sonlu veya sonsuz türevi bile yoktur. Bu örnekler ve diğer referanslar (s. 392-394), (s. 61 - 62, 115, 126) ve (Cilt II, s. 401-412)'de bulunabilir. Mevcut örneğin fonksiyonu hiçbir aralıkta monoton değildir. Üstelik her yerde diferansiyellenebilen ve hiçbir yerde monoton olmayan bir fonksiyon örneği de vardır (bkz. cilt II, s. 412-421). Bu örneğin yapısı çok karmaşıktır ve her yerde diferansiyellenebilen bir fonksiyona yol açar. yoğun küme göreceli maksimumlar ve yoğun bir göreceli minimumlar seti. 9. Ortalama değer teoreminin geçerli olmadığı türevlenebilir fonksiyon Bu örnekte yine karmaşık değerli bir fonksiyona dönmek zorunda kalıyoruz. İşlev Gerçek bir x değişkeninin değeri her yerde süreklidir ve türevlenebilirdir (bkz. s. 509-513). Bununla birlikte, herhangi bir değerde eşitliğin sağlandığı böyle bir aralık yoktur. Bu eşitliğin mümkün olduğunu varsayarsak, her iki parçanın modüllerinin (mutlak değerleri) karelerini eşitleyerek eşitliği elde ederiz. temel dönüşümlerden sonra şu şekli alır Ancak sin h = h olacak şekilde pozitif bir h sayısı olmadığından (bkz. s. 78), bir çelişkiyle karşılaşırız. 13. Sonsuz türevlenebilir monoton bir f fonksiyonu öyle ki Monotonluk gerekli değilse, bu tür bir fonksiyonun önemsiz bir örneği örneğin (sinx 2)/x olabilir. Belirtilen özelliğe sahip bir monoton fonksiyon örneği oluşturalım. f(x)'in 1'e ve kapalı aralıklarda eşit olmasına izin verin. Formun geri kalan ara aralıklarında f(x) fonksiyonunu kullanarak belirleriz. yatay ve dikey kaydırmaların uygulanması ve uygun negatif faktörlerle çarpılması. 2.1. Fonksiyonların monotonluğu D aralığındaki herhangi bir x 1 ve x 2 sayısı için x 1 olacak şekilde bir f(x) fonksiyonunun D aralığında arttığı söylenir.< x 2 , выполняется неравенство
f (x 1) < f (x 2). Bir f(x) fonksiyonunun, D aralığındaki herhangi bir x 1 ve x 2 sayısı için x 1 olacak şekilde olması durumunda, D aralığında azalan olduğu söylenir.< x
2 , выполняется неравенство f (x 1) >f(x2). Şekil 1. Şekilde gösterilen grafikte y = f(x) fonksiyonu [ a ; x 1) ve (x 2 ; b ] ve (x 1 ; x 2) aralığında azalır. Fonksiyonun [ a ; x 1) ve (x 2 ; b ] aralıklarının her birinde arttığına, ancak sendika boşlukları Bir fonksiyon belirli bir aralıkta artıyor veya azalıyorsa bu aralıkta monoton olarak adlandırılır. Eğer f, D (f(x)) aralığında monoton bir fonksiyon ise, f(x) = const denkleminin bu aralıkta birden fazla kökü olamayacağına dikkat edin. Aslında eğer x 1 ise< x 2 – корни этого
уравнения на промежутке D (f (x)), то f (x 1) = f (x 2) = 0, что противоречит
условию монотонности. Özellikleri listeleyelim monoton fonksiyonlar(tüm fonksiyonların bir D aralığında tanımlandığı varsayılmaktadır). Benzer ifadeler azalan bir fonksiyon için de formüle edilebilir. Pirinç. 2. Fonksiyonun özellikleri. Eğer a noktasının ε-komşusu varsa ve bu komşuluktaki herhangi bir x için f(a) ≥ f(x) eşitsizliği geçerliyse, a noktasına f fonksiyonunun maksimum noktası denir. Eğer a noktasının ε-komşusu varsa ve bu komşuluktaki herhangi bir x için f(a) ≤ f(x) eşitsizliği geçerliyse, a noktasına f fonksiyonunun minimum noktası denir. Fonksiyonun maksimum veya minimum değerine ulaştığı noktalara ekstrem noktalar denir. Uç noktada fonksiyonun monotonluğunun doğası değişir. Böylece, uç noktanın solunda fonksiyon artabilir, sağında ise azalabilir. Tanıma göre ekstrem nokta şu şekilde olmalıdır: iç nokta tanım alanı. Herhangi bir (x ≠ a) için f (x) ≤ f (a) eşitsizliği geçerliyse, o zaman a noktasına, fonksiyonun D kümesindeki en büyük değerinin noktası denir: Herhangi bir (x ≠ b) için f (x) > f (b) eşitsizliği sağlanırsa, b noktasına D kümesindeki fonksiyonun minimum değerinin noktası denir. Tanım 1. Fonksiyon çağrılır türevlenebilir
bu noktada Nerede Teorem 1. İşlev Kanıt.gereklilik. Fonksiyona izin ver Yeterlilik. Var olmasına izin ver Teorem kanıtlandı. Yorum. Teorem 1'den sonlu türevi olan bir fonksiyon ile türevlenebilir bir fonksiyon kavramlarının eşdeğer olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle sonlu türevi olan bir fonksiyona türevlenebilir denilebilir, ki bazı ders kitaplarının yazarları da bunu yapar. Fonksiyonların süreklilik ve türevlenebilirlik özellikleri arasında nasıl bir ilişki vardır? Gerçekleşir Teorem 2.
Eğer fonksiyon Kanıt. Çünkü o noktada Teorem kanıtlandı. Bunun tersi doğru değildir, yani diferansiyellenemeyen sürekli fonksiyonlar vardır. Örnek 1. Fonksiyonun olduğunu gösterelim. Çözüm. Fonksiyonun o noktadaki artışını bulalım. Matematiksel analizde sayı doğrusu üzerindeki her noktada sürekli olan ancak türevi alınamayan fonksiyon örnekleri vardır. Karmaşık bir tasarıma sahiptirler. Teorem 3. Fonksiyona izin verin veya kısaca Kanıt. Değer verelim şunu unutmayın: Eşitliğin sağ tarafında bir limit olduğundan sol tarafta da bir limit vardır ve Teorem kanıtlandı. Yorum. Teorem 3 karmaşık fonksiyonun olduğu durum için kanıtlanmıştır. Teorem 1. Fonksiyonun Kanıt. Teoremin koşulları altında ters fonksiyonun olduğuna dikkat edin. Hadi ona bir anlam verelim Örnek Teorem kanıtlandı. 1. Fonksiyonların türevlerini bulun
arksin,X
arksin,Arcco'lar
arksin,arktg
arksin/ Çözüm arkctg ve artı işaretiyle kökü alın). Teorem Aynı şekilde, ) ve formüller geçerlidir) Kanıt.) ve formüller geçerlidir V A V , B V Teorem kanıtlandı. . Sahibiz yani formül geçerli . 1) Eğer ) ve formüller geçerlidir, O 2) Formül) herhangi biri için geçerlidir Kanıt sonlu sayı . 1) Çünkü , sahibiz.İÇİNDE genel durum formda .Karmaşık bir fonksiyonun diferansiyel kuralına göre, Teorem 2 ve § 1'deki Örnek 1'e dayanarak şunu elde ederiz: Şimdi fonksiyonların parametrik özelliklerine geçelim. İşlev bağımlılığı ise X tartışmadan Üstel fonksiyonu düşünün doğrudan ayarlanmaz, ancak üçüncü bir değişken kullanılır T, adı verilen parametre, formüller sonra fonksiyonun olduğunu söylüyorlar X itibaren Üstel fonksiyonu düşünün parametrik olarak belirtilir. Eğer Üstel fonksiyonu düşünün 2. Eğer işlevler en Düzlemdeki bir noktanın dikdörtgen koordinatları olarak kabul edilirse, denklemler (3.1) her değerle ilişkilendirilir. yarı eksenli bir elipsin parametrik denklemleridir ) ve formüller geçerlidir 2. Eğer işlevler B. (3.1) denkleminde ise Türevini bulalım Örneğin türev Bir noktada parametrik olarak tanımlanan bir eğriye teğet denklemi buradan itibaren Benzer şekilde denklem (1.5)'ten normal denklemi elde ederiz: Şimdi temel denklemin türevlerinin özet tablolarını yazalım. temel işlevler ve daha önce elde edilen türev alma kuralları. Farklılaşma kuralları 1.
5. Eğer O ters fonksiyondur, o zaman 1.
3.
5.
7.
9.
11.
özellikle, Ve Daha sonra parametreyi düzeltiyoruz. İlk ve sonraki adımlarda noktaları şu şekilde ayarlayacağız: sonraki kural : x ekseni boyunca bitişik önceden inşa edilmiş her iki nokta için, noktalarla tanımlanan dikdörtgenin merkezine göre merkezi olarak simetrik ve bir katsayıya sahip iki yeni nokta inşa edeceğiz k , vesaire. Açık(m+1)- Önceden inşa edilmiş bitişik noktalar arasındaki apsis boyunca tüm boşluklara iki nokta inşa edilir. Bu inşaat şu şekilde gerçekleştirilir: apsis ekseni boyunca bitişik noktalar arasındaki boşluklar (kenarları olan dikdörtgenler) A Bir parça üzerinde adım adım bir yardımcı fonksiyon oluşturalım. Sıfır adımında iki nokta belirleyeceğiz: B) her biri 3 eşit parçaya bölünür. Daha sonra aşağıdaki şemalardan birine göre iki yeni nokta inşa edilir: Komşu noktalardan hangisinin daha yüksek veya daha yüksek olduğuna bağlı olarak sol veya sağ şemayı kullanırız. İlk adımda yukarıda gösterildiği gibi kabul ediyoruz. a = b = 1. m = 1, 2, 3, … için inşayı sayılabilir sayıda tekrarlıyoruz. Sonuç olarak, belirli bir dereceye kadar benzer olacak bir fraktal elde edeceğiz. afin dönüşüm Her şeritte bulunan parçalardan herhangi birinin (gerilmesi, sıkıştırılması, döndürülmesi): Fraktal oluşturmanın bir sonucu olarak, bir dizi nokta üzerinde tanımlanan bir fonksiyon elde ederiz. segmentin her yerinde yoğundur. Oluşturulan fonksiyon hangi özelliklere sahiptir? · formun (*) her noktasında ya kesin bir maksimum ya da kesin bir minimum vardır; işlev g(x) hiçbir yerde monoton değildir ve segment üzerinde yoğun uç noktalara sahiptir; · g(x) fonksiyonu süreklidir ve hatta (*) noktaları kümesinde düzgün biçimde süreklidir; · segment üzerinde sürekli oluşturulan fonksiyonun herhangi bir noktası yoktur bu segmentin tek taraflı türevler bile; Yukarıdaki özellikler “Matematiksel Analizin Seçilmiş Bölümleri” dersinde kanıtlanmıştır. Ele alınan örnekte parametreyi varsaydık. Bu parametrenin değerini değiştirerek kendi özel özelliklerine sahip fonksiyon aileleri elde edebilirsiniz. · . Bu işlevler süreklidir ve kesinlikle monoton bir şekilde artmaktadır. Parçanın her yerinde yoğun olan nokta kümeleri üzerinde sıfır ve sonsuz türevleri (sırasıyla bükülme noktaları) vardır. · . Kabul edilmiş doğrusal fonksiyon y = x · . Fonksiyon ailesinin özellikleri, birinci aralıktaki k değerleriyle aynıdır. · . Daha önce detaylı olarak incelediğimiz Cantor fonksiyonunu elde ettik. · . Bu fonksiyonlar süreklidir, hiçbir yerde monoton değildir, kesin minimum ve maksimumlara sahiptir, parçanın her yerinde yoğun olan nokta kümeleri üzerinde sıfır ve sonsuz (her iki işaretin) tek taraflı türevleri vardır. · . Bu işlev yukarıda tarafımızdan incelenmiştir. · . Bu aralıktaki işlevler, konumundaki işlevle aynı özelliklere sahiptir. Çözüm. Çalışmamda “Matematiksel Analizin Seçilmiş Bölümleri” dersinden bazı örnekleri uyguladım. İÇİNDE bu iş Görselleştirdiğim programların ekran görüntüleri eklendi. Aslında hepsi etkileşimlidir; öğrenci işlevin görünümünü görebilir; özel adım, bunları yinelemeli olarak kendiniz oluşturun ve ölçeği yaklaştırın. İnşaat algoritmaları ve bazı kütüphane fonksiyonları İskelet için özel olarak seçildi ve geliştirildi bu tip problemler (çoğunlukla fraktallar dikkate alındı). Bu materyal şüphesiz öğretmenler ve öğrenciler için faydalı olacaktır ve “Matematiksel Analizin Seçilmiş Bölümleri” dersindeki derslere iyi bir eşlik edecektir. Bu görselleştirmelerin etkileşimli olması, oluşturulan setlerin doğasını daha iyi anlamaya yardımcı olur ve materyalin öğrenciler tarafından algılanma sürecini kolaylaştırır. Açıklanan programlar, www.visualmath.ru projesinin görsel modülleri kütüphanesine dahil edilmiştir, örneğin, burada daha önce ele aldığımız Cantor işlevi verilmiştir: Gelecekte görselleştirilmiş görevler listesinin genişletilmesi ve daha fazlası için inşaat algoritmalarının iyileştirilmesi planlanıyor. verimli çalışma programlar. Www.visualmath.ru projesinde çalışmak şüphesiz pek çok fayda ve deneyim, ekip çalışması becerileri, eğitim materyallerini mümkün olduğunca net bir şekilde değerlendirme ve sunma yeteneği getirdi. Edebiyat. 1. B. Gelbaum, J. Olmsted, Analizdeki karşı örnekler. M.: Mir.1967. 2. B.M. Makarov ve ark. Gerçek analizde seçilmiş problemler. Nevsky lehçesi, 2004. 3. B. Mandelbrot. Doğanın fraktal geometrisi. Bilgisayar Çalışmaları Enstitüsü, 2002. 4. Yu.S. Ochan, TFDP'de problem ve teoremlerin toplanması. M.: Aydınlanma. 1963. 5.V.M. Shibinsky Matematiksel analiz sürecinde örnekler ve karşı örnekler. M.: Yüksek Lisans, 2007. 6. R.M. Kronover, Fraktallar ve kaos dinamik sistemler, M .: Postmarket, 2000. 7. A. A. Nikitin, Matematiksel analizin seçilmiş bölümleri // Moskova Devlet Üniversitesi Hesaplamalı Matematik ve Matematik Fakültesi'nin genç bilim adamlarının makalelerinin toplanması, 2011 / ed. S. A. Lozhkin. M .: Moskova Devlet Üniversitesi Hesaplamalı Matematik ve Matematik Fakültesi Yayıncılık bölümü. M.V. Lomonosova, 2011. s. 71-73. 8. R.M. Kronover, Fraktallar ve dinamik sistemlerde kaos, M.: Postmarket, 2000. 9. Fraktal ve her yerde sürekli olan ancak hiçbir yerde türevlenemeyen fonksiyonun oluşturulması // XVI Uluslararası Lomonosov Okumaları: Koleksiyon bilimsel çalışmalar. – Arkhangelsk: Pomeranya Devlet Üniversitesi, 2004. S.266-273. Sayılabilir sayıda açık kümenin (bitişik aralıklar) birleşimi açıktır ve açık bir kümenin tamamlayıcısı kapalıdır. Bir noktanın herhangi bir mahallesi ) ve formüller geçerlidir Cantor kümesinden farklı en az bir nokta var A. Kapalı ve içermiyor yalıtılmış noktalar(her nokta bir limittir). En fazla her yerde yoğun olan sayılabilir bir küme vardır. Bir A kümesi, eğer varsa, R uzayının hiçbir yerinde yoğun değildir açık set Bu uzayın bir kısmı A kümesinin noktalarından tamamen bağımsız başka bir açık küme içerir. Herhangi bir komşuluğu, belirli bir kümenin sayılamayan nokta kümesini içeren bir nokta. Düzlemdeki bir kümenin hiçbir yerde yoğun olmadığını söyleyeceğiz. metrik uzay R, eğer bu uzayın herhangi bir açık çemberi bu kümenin noktalarından tamamen bağımsız başka bir açık çember içeriyorsa.2. Monoton fonksiyonlar
, eğer bu noktadaki artışı şu şekilde temsil edilebilirse
,
(2.1)
ve bağlı değil 
, A 
en 
.
noktada türevlenebilir 
ancak ve ancak bu noktada sonlu bir türevi varsa 
.
noktada diferansiyellenebilir 
yani eşitlik (2.1) geçerlidir. Onu bölmek 
, alıyoruz 
. Sınıra kadar gidiyor 
, bunu görüyoruz 
yani sağ tarafın limiti mevcuttur ve eşittir A yani sol tarafta bir limit var demektir. 
, Ve 
.
. Daha sonra Bölüm 1, § 16, Teorem 1 ile 
, Nerede 
- sonsuza kadar küçük fonksiyon en 
. Dolayısıyla, yani. fonksiyon bu noktada diferansiyellenebilir 
.
noktada diferansiyellenebilir 
ise bu noktada süreklidir.
, elimizde, bu da fonksiyonun o noktada sürekliliği anlamına geliyor 
.
sürekli fakat bir noktada türevlenebilir değil 
.
, artışa karşılık gelen 
argüman. Sahibiz. Bu yüzden 
yani fonksiyon 
bir noktada sürekli 
. Diğer tarafta, 
yani noktadaki tek taraflı türevler 
eşit değildir, bu nedenle bu fonksiyon bu noktada türevlenebilir değildir.
şu noktada var 
türev 
, işlev 
karşılık gelen noktada var 
türev 
. Daha sonra karmaşık fonksiyon 
şu noktada var 
türev
.
artış 
. Sonra karşılık gelen artışı elde ederiz 
işlevler 
ve artırma 
işlevler 
. Teorem 1'e göre elimizde
, Nerede 
en 
.
.
, Daha sonra 
Teorem 2'ye göre, bu nedenle 
. Buradan,.
.
bir ara değişkeni vardır 
. Birkaç ara değişken varsa türev benzer şekilde hesaplanır. Örneğin, eğer 
,
,
, O.§ 3. Farklılaşma kuralları. Temel temel fonksiyonların türevleri
, sürekli, segmentte kesinlikle monoton 
ve iç noktada türevlenebilir 
bu bölüm ve 
. O zaman ters fonksiyon 
noktada diferansiyellenebilir 
, Ve 
.
aralıkta sürekli ve kesinlikle monotondur 
Bölüm 1, § 19'daki teorem sayesinde.
artış 
. Daha sonra 
bir artış alacak
(işlevden beri 
kesinlikle monoton). Bu nedenle yazabiliriz 
. Ne zamandan beri 
ters fonksiyonun sürekliliği nedeniyle ve 
ve varsayım gereği var 
, sahibiz 
. Bu, varlığı ima eder 
ve eşitlik 
.
, sahibiz 
. Teorem 1'e göre elimizde (çünkü
2. Eğer işlevler 
Ve 
noktada türevleri var 
, o zaman bu noktada 
türevleri ve fonksiyonları var 
(Eğer
;A)
;B)
.
) İzin vermek 
artış 
. Hadi verelim . Daha sonra işlevler,sen,v sen 
, Ve
artışlar alacak 
. ) ve formüller geçerlidir Buradan
ve eşitlik ) ve formüller geçerlidir) kanıtlanmıştır.
. Nokta ile aynı A).
) sahibiz 
,
,
, yani formül geçerli B).
Sonuçlar 
.
şartlar.
, Nerede . Daha sonra işlevler
2. Eğer işlevler sen 2) ve 3) numaralı sonuçlar matematiksel tümevarım yöntemiyle kanıtlanmıştır. Üstel fonksiyonu düşünün– bazı işlevler X. Fonksiyonun türevini bulalım . Daha sonra işlevler
2. Eğer işlevler sen en X Fonksiyonların türevlenebildiği noktada 
.Bunu yapmak için işlevi hayal edin
Böylece, üstel fonksiyon ve ikincisi – şu şekilde güç fonksiyonu. Kullanılan farklılaştırma tekniğine denir logaritmik farklılaşma
. Farklılaştırılan fonksiyonun çeşitli faktörlerin ürünü olduğu durumlarda da kullanılması uygun olabilir.
,
(3.1)
nokta 
bir uçakta. Değişim ile T nokta 
düzlemdeki bazı eğrileri tanımlar. Denklemlere (3.1) bu eğrinin parametrik denklemleri adı verilir. Örneğin, denklemler
(3.2)
nispeten izin verilir T,
, O parametrik spesifikasyon işlevler açıkça azaltılabilir:
.
Parametrik olarak belirtilen fonksiyon. Bunu yapmak için, işlevlerin olduğunu varsayalım. 
2. Eğer işlevler 
diferansiyellenebilir ve 
belirli aralıklarla ve işlev için 
ters bir fonksiyon var 
, sonlu bir türevi olan 
. Daha sonra karmaşık ve farklılaşma kuralına göre ters fonksiyonlarşunu buluyoruz: 
. Böylece,
.
(3.3)
Denklemler (3.2) ile tanımlanan fonksiyon şu şekildedir:
.
parametre değerine karşılık gelen 
, eğer bunun yerine denklem (1.4)'ten elde edilir 
yerine geçmek 
:
,
sahibiz
.
(3.4)
veya. (3.5)
.
2.
.
3.
.
4.
.
Sonuçlar 
. 
6. Eğer 
.
7. Eğer 
.
8..
, Nerede 
.
2.
Temel temel fonksiyonların türevleri tablosu 
.
4.
.
.
.
6.
.
.
8.
.
.
10.
.
Temel temel fonksiyonların türevleri tablosu 
.
12.
Temel temel fonksiyonların türevleri tablosu 
.
Bir parça üzerinde adım adım bir yardımcı fonksiyon oluşturalım. Sıfır adımında iki nokta belirleyeceğiz: 
.
Bir parça üzerinde adım adım bir yardımcı fonksiyon oluşturalım. Sıfır adımında iki nokta belirleyeceğiz: 
. Yani ilk adımda iki yeni nokta belirlenir:
,
; 
