Kısaca: Alt uzaylardaki toplamın herhangi bir vektörünün ayrıştırılması benzersizse, alt uzayların toplamına doğrudan toplam denir.

Alt uzayların doğrudan toplamı, alt uzaylar üzerinde yeni bir işlem değildir. Bu sadece daha önce tanıtılan alt uzayların toplamının bazı özellikleridir.

Alt uzayların toplamı direkt ise bu alt uzayların kesişimi bir – sıfır – vektörden oluşur.

Alt uzayların doğrudan toplamı için kriter

Sonlu boyutlu alt uzaylar için doğrusal uzay aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:

1) Alt uzayların toplamı direkttir

2) Altuzay tabanları kümesi doğrusal olarak bağımsızdır

3) Alt uzayların tabanları kümesi, alt uzayların toplamının temelini oluşturur https://pandia.ru/text/78/133/images/image080_0.gif" width="140" height="46">

5) Toplamdan altuzaylardaki genişlemenin benzersiz olduğu bir vektör var.

6) Keyfi sistem sıfırdan farklı vektörler, her doğrusal altuzaydan bir tane alınmış, doğrusal olarak bağımsız

7) Doğrusal altuzayların kesişimi yalnızca sıfır vektördür: https://pandia.ru/text/78/133/images/image085_0.gif" width="19" height="20 src="> ek olarak adlandırılır L'nin alt uzayı, eğer . Açıkça L, 'ye ek bir alt uzaydır.

Mecazi anlamda konuşursak, ek alt uzay, alt uzayı tamamlayacak şekilde "tamamlar".

Ek bir alt uzayın varlığına ilişkin teorem

Doğrusal uzayın herhangi bir altuzayı için https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18 height=24" height="24">, V uzayının bir vektörüdür. H kümesi formun tüm vektörlerinden oluşur; burada https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18" height="24 src=">).

Kılavuz alt uzayı

Doğrusal bir manifoldun tanımındaki L alt uzayına, H doğrusal manifoldunun yönlendirici alt uzayı denir.

Faktör uzayı

V, P alanı üzerinde doğrusal bir uzay olsun, L de onun alt uzayı olsun. Bir V doğrusal uzayının bir L alt uzayına (V/L ile gösterilir) bölüm uzayı, H eşdeğerlik sınıflarından oluşan bir kümedir. Bu sınıflar, L: alt uzayından elde edilen tüm doğrusal manifoldlara karşılık gelir.

Kural tanımlar dış hukuk V/L'deki bileşim (H öğesini V/L'den sayıyla (veya P ana alanının öğesi) α ile çarpmak, kural - iç hukuk bileşim (V/L'den iki elementin - H1 ve H2 - eklenmesi).

2.4. Homojen bir SLAE'nin çözümlerinin alt uzayı

Homojen bir doğrusal cebirsel denklem sistemi tarafından tanımlanan alt uzaylar

Bu bir dizi karardır homojen sistem doğrusal denklemler burada A, sistemin doğrusal denklemlerinin katsayılarının matrisidir.

Ders No. 5. Bölüm 3. Öklid (üniter) doğrusal uzayın alt uzayları

3.1. Alt uzayın ortogonal tamamlayıcısı

Alt uzaya dik vektör

L olsun – doğrusal alt uzayÖklid (üniter) uzay. Bir x vektörü, eğer bu alt uzaydaki her vektöre dik ise, bir L alt uzayına dik olduğu söylenir. Tanım: .

Alt uzayın ortogonal tamamlayıcısı

L Öklid uzayının doğrusal bir alt uzayı olsun. Bütünlük herkes vektörler https://pandia.ru/text/78/133/images/image098_0.gif" genişlik = "20" yükseklik = "20 src = ">.

Bir altuzay olarak ortogonal tamamlayıcıya ilişkin teorem

Bir alt uzayın ortogonal tamamlayıcısı, aynı uzayın doğrusal bir alt uzayıdır.

3.2. Ortografik projeksiyon, ortografik bileşen

Bir vektörün bir alt uzaya dik izdüşümü

L, Öklid (üniter) uzayının https://pandia.ru/text/78/133/images/image099_0.gif" width="69" height="27 src="> biçiminde doğrusal bir alt uzayı olsun. bir toplam: , burada https://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width = "41" yükseklik = "19">. Vektör G isminde ortogonal projeksiyon vektör F L alt uzayına, vektör H ortogonal bileşen denir.

Ortogonal vektör bileşeni

Öklid (üniter) uzayın L alt uzayına göre f vektörünün ortogonal bileşeni https://pandia.ru/text/78/133/images/image100_0.gif" width="65" height="21 src= ">, burada .gif" width = "43" yükseklik = "27 src = "> bir vektör olarak adlandırılır H genişletmede, burada https://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width="41" height="19">.

Alt uzaya eğik

Vektör F ayrıştırmada https://pandia.ru/text/78/133/images/image101_0.gif" width = "40" height = "21">.gif" width = "43" height = "27 src = ">.

Bir alt uzayın ve onun ortogonal tamamlayıcısının toplamına ilişkin teorem

Uzayın doğrusal bir alt uzayıysa, bu doğrusal alt uzayın ve onun dik tamamlayıcısının doğrudan toplamı tüm uzayı oluşturur: https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" height = "18" > uzayın doğrusal bir alt uzayıdır, o zaman herhangi bir vektör için var ve dahası, benzersiz bir temsil var Fözet olarak: https://pandia.ru/text/78/133/images/image105_0.gif" width="90" height="21">.

3.3. Vektörden alt uzaya olan mesafe

Vektörden alt uzaya olan mesafe

Bir vektörden bir alt uzaya olan mesafe, bu vektörden alt uzaya bırakılan dikmenin uzunluğudur (yani, vektörün bu alt uzaya göre dik bileşeninin uzunluğu).

Ders No. 6. Bölüm 4. Çift doğrusal ve ikinci dereceden formlar.

4.1. Doğrusal form

4.2. Çift doğrusal form

4.1. Doğrusal form

Doğrusal fonksiyon (doğrusal form)

Alanın üzerinde doğrusal bir uzay olsun. İşlev F uzaydan bir vektörün bir sayıya eşlenmesine (alan öğesi https://pandia.ru/text/78/133/images/image107_0.gif" width = "36" yükseklik = "21"> denir) doğrusal , Eğer:

1) tüm vektörler için https://pandia.ru/text/78/133/images/image110_0.gif" width="121 height=21" height="21"> herhangi bir sayı için A(alan öğesi) ve herhangi bir vektör

Herhangi birini kaydet doğrusal şekil bazı (keyfi) temelde e şuna benziyor:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image114_0.gif" genişlik = "111" yükseklik = "20">.gif" genişlik = "74" yükseklik = "24">, - sayılar (öğeler) temele bağlı olarak P) alanları e ve elbette f formundan.

Farklı bir temel seçerken şunu unutmayın e A 1", A 2", …, A N".

Doğrusal Matris

Doğrusal formun A matrisi F temelde sayılardan oluşan bir satır matrisi denir - doğrusal bir formun bu esastaki vektörler üzerindeki etkisinin sonuçları:

bir = ( A 1, A 2, …, A n) = .

X = vektörün koordinatları olsun X temelde e, A – doğrusal formun matrisi F aynı temelde. Daha sonra değer F(X) A matrisi ile X sütununun çarpımına eşittir:

F(X) = A·X.

Bir tabandan diğerine geçerken doğrusal form matrisinin değişimine ilişkin teorem

Temelden temele geçerken https://pandia.ru/text/78/133/images/image120_0.gif" width="36" height="27 src=">) doğrusal formun matrisi aşağıdaki gibi değişir:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" height="18"> - alanın üzerindeki doğrusal boşluk. (sayısal) İşlev A iki vektör bağımsız değişkeni https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27 src=">her bağımsız değişkende doğrusalsa çiftdoğrusal form olarak adlandırılır:

2)

4)

- L uzayının herhangi bir vektörü, - keyfi sayı(alan elemanı P).

Herhangi bir çift doğrusal formu kaydetme https://pandia.ru/text/78/133/images/image130_0.gif" width="514" height="27 src=">,

Nerede ( X 1, X 2, …, X n) ve ( sen 1, sen 2, …, sen n) – temeldeki koordinatlar e sırasıyla x ve y vektörleri, A 11, A 12, …, A 1n,…, A nn – n2 sayı kümesi (P alanının elemanları).

Rakamlara dikkat edin A 11, A 12, …, A 1n,…, A nn temele bağlı e ve tabii ki formun kendisinden A. Farklı bir temel seçerken e "Genel olarak konuşursak, karşılık gelen sayı kümesi farklı olacaktır: A 11", A 12", …, A nn".

Çift Doğrusal Matris

Verilmesine izin ver çift ​​doğrusal form ve bazı (keyfi) temeller e .

Çift doğrusal formun eylemini şu temelde yazalım:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width = "50" height = "27 src = ">temelde e Aşağıdaki matris denir:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27">(sıralı) bir temel vektör çiftine ( e Ben, e J). Böylece:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image133_0.gif" width = "100" height = "29 src = ">, belirli (sabit) bir uzay temelinde benzersiz bir çift doğrusal formun matrisidir.

Çift doğrusal bir formun matrisinin bir tabandan diğerine geçerken değişmesine ilişkin teorem

Temelden hareket ederken üsse (geçiş matrisi https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif" width = "140" height = "27 src = ">

Çift doğrusal formun sıralaması

Çift doğrusal bir formun sırası, matrisinin keyfi bir temeldeki sırasıdır.

(değil) Dejenere çift doğrusal form

Bilineer bir formun aşağıdaki durumlarda dejenere olduğu söylenir: ve https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27"> için ise simetrik olarak adlandırılıyorsa dejenere olmayan . https://pandia.ru/text/78/133/images/image140_0.gif" width="192" height="27 src="> için çift doğrusal bir forma çarpık simetrik (veya çarpık simetrik) adı verilir.

Yorum:

Çarpık simetrik çift doğrusal formun matrisi (herhangi bir temelde) çarpık simetriktir: , tümü için Ben, J. Özellikle herkes için Ben eşitlik DIV_ADBLOCK81">

4.3. İkinci dereceden şekil

Rasgele doğrusal uzayda çift doğrusal ve ikinci dereceden formlar

4.3. İkinci dereceden şekil

İkinci dereceden şekil

Simetrik çiftdoğrusal bir form verilsin https://pandia.ru/text/78/133/images/image138_0.gif" width="114" height="27">. Bu çiftdoğrusal formun eylemini yalnızca çakışan vektör çiftleri, yani; A(X, X). Her vektörü atayan bir fonksiyon elde ediyoruz X doğrusal uzay numarası (ana alanın elemanı P) F(X) = A(X, X). İşlev F(X) = verilen simetrik çift doğrusal forma karşılık gelen ikinci dereceden form olarak adlandırılır https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width="49" height="27 src="> denir karşılık gelen simetrik çift doğrusal form.

Polar çift doğrusal form teoremi

Herhangi biri için kutupsal çift doğrusal form ikinci dereceden form açıkça tanımlanmıştır.

İkinci Dereceden Matris

İkinci dereceden bir formun matrisi, polar çift doğrusal formun bir matrisidir.

İkinci dereceden formun sıralaması

İkinci dereceden bir formun sırası, matrisinin keyfi bir temeldeki sırasıdır.

(değil) dejenere ikinci dereceden form

İkinci dereceden bir forma, https://pandia.ru/text/78/133/images/image145_0.gif" width = "120" height = "27 src = "> ise dejenere denir.

İkinci dereceden formdaki bir matrisin özellikleri

1) İkinci dereceden formun matrisi simetriktir

2) Herhangi bir kare simetrik matris, belirli bir temelde ikinci dereceden tek formun bir matrisidir

3) Temelden hareket ederken üsse (geçiş matrisi https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif" width = "140 height=27" height = "27">

4) Keyfi bir sabit temel olsun. İkinci dereceden form olsun F(X) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image146_0.gif" width = "64" height = "29 src = "> ve isteğe bağlı bir vektör X aynı temelde koordinatlara sahiptir ( X 1, X 2, …, X N). Daha sonra ikinci dereceden formun vektör üzerindeki etkisinin sonucu X olarak yazılabilir

F(X) = ,

veya daha kompakt bir biçimde:

F(X) =

nerede X = - vektör koordinat sütunu X temelde e

4.4. İkinci dereceden formun kanonik formu

İkinci dereceden formun kanonik formu

İkinci dereceden bir formun kanonik formu, yalnızca değişkenlerin karelerini içeren gösterimidir:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image150_0.gif" width="43" height="24"> (bazıları sıfır olabilir) ikinci dereceden formun kanonik katsayıları olarak adlandırılır.

Açıkçası, sıfır olmayan katsayıların sayısı kanonik formİkinci dereceden bir formun sıralaması ile çakışır.

İkinci dereceden formun kanonik temeli

F(X) = A(X, X),

bu formun bu temelde kaydı kanonikse, yani yalnızca değişkenlerin karelerini içeriyorsa:

matris dili" şuna benzer:

Temel, ikinci dereceden formun kanonik temeli olarak adlandırılır. F(X) = A(X, X),

eğer bu formun Ae matrisi bu temelde köşegen bir forma sahipse:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image153_0.gif" width = "589" height = "25 src = ">

2. Bu değişkenin karesi alındığında katsayıyı (≠ 0) çıkarın:

DIV_ADBLOCK83">

Yorum.

Yazılı toplamın karesini alıp parantez dışındaki katsayıyla çarparsanız sonuç, değişkeni içeren tüm terimler olacaktır. X 1, ikinci dereceden formun gösterimine dahil edilmiştir. Aynı zamanda, ikinci dereceden formun orijinal kaydında yer almayan terimler (ve oldukça fazla) görünecektir. Ancak “yeni” terimlerin tümü bir değişken içermiyor X 1.

Böylece ikinci dereceden formun yazılması aşağıdaki formu alır:

"İlk parantez" olarak gösterdiğimiz değişkenlerde değişiklik yaptıktan sonra X 1", ikinciden başlayarak X 2" vb., değişkenlerin yalnızca karelerini içeren terimler olan ikinci dereceden formun aşağıdaki gösterimini elde ederiz:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image158_0.gif" genişlik = "84" yükseklik = "51 src = ">

Bu değişiklik sonucunda terim aijxixj değişkenlerin çarpımını içeren xi Ve xj, değişkenlerin karelerini zaten içeren iki terime dönüştürülür xi" Ve xj":

DIV_ADBLOCK84">

Ortonormal kanonik bazın varlığına ilişkin teorem (ana eksenlere indirgeme).

Öklid uzayındaki herhangi bir ikinci dereceden form için, kanonik bir forma sahip olduğu ortonormal bir temel vardır.

Jacobi formülleri

İkinci dereceden formda bir matriste ise F(X) ilk önce https://pandia.ru/text/78/133/images/image161_0.gif" width="88" height="27 src="> sıralayın, o zaman bir temel vardır e ikinci dereceden form matrisinin köşegen bir forma sahip olduğu

Ayrıca kanonik katsayılar λ Benİkinci dereceden form açısal küçüklerle ilişkilidir Δ Ben aşağıdaki ilişkiler: ,

bunlara denir Jacobi formülleri.

Çift doğrusal ve ikinci dereceden formlar

gerçek (gerçek) doğrusal uzayda.

4.5. İkinci dereceden atalet indeksleri

İkinci dereceden atalet indeksleri

İkinci dereceden form olsun F(X) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image164_0.gif" width = "50" height = "46 src = ">. Pozitif katsayıların sayısı sayıya eşit bu sıradaki burç değişiklikleri.

4.6. Belirli ve alternatif ikinci dereceden formlar

Kesin ikinci dereceden form

Sıfırdan farklı tüm vektörlerde yalnızca pozitif (negatif) değerler alıyorsa, ikinci dereceden bir formun pozitif (negatif) tanımlı olduğu söylenir: ( F(X) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image170.gif" width = "48" height = "19 src = ">. Bu tür formlara işaret tanımlı denir.

Alternatif ikinci dereceden form

https://pandia.ru/text/78/133/images/image172.gif" width="15" height="18"> vektörlerinin bulunduğu ikinci dereceden bir form, öyle ki F(X) = > 0 ve F(sen) = < 0 называется знакопеременной.

İkinci dereceden bir formun işareti için kriter

İkinci dereceden bir form pozitif (negatif) olarak belirlidir ancak ve ancak pozitif (sırasıyla negatif) eylemsizlik endeksi uzayın boyutuyla çakışırsa.

Yani, n boyutlu uzayda pozitif (negatif) belirli ikinci dereceden bir formun herhangi bir kanonik formunda

https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width = "49" height = "27">.gif" width = "151 yükseklik = 99" yükseklik = "99">

İkinci dereceden bir form, ancak ve ancak tüm açısal küçüklerinin pozitif olması durumunda pozitif tanımlıdır.

İkinci dereceden bir form ancak ve ancak işaretleri varsa negatif tanımlıdır köşe küçükleri alternatif ve kısa kodlar">

Pr a b = |b|cos(a,b) veya

Burada a b vektörlerin skaler çarpımıdır, |a| - a vektörünün modülü.

Talimatlar. Пp a b vektörünün izdüşümünü bulmak için çevrimiçi mod a ve b vektörlerinin koordinatlarını belirtmek gerekir. Bu durumda vektör düzlemde (iki koordinat) ve uzayda (üç koordinat) belirtilebilir. Ortaya çıkan çözüm bir Word dosyasına kaydedilir. Vektörler noktaların koordinatları aracılığıyla belirtiliyorsa, bu hesap makinesini kullanmanız gerekir.

Vektör projeksiyonlarının sınıflandırılması

Tanım vektör projeksiyonuna göre projeksiyon türleri

Koordinat sistemine göre projeksiyon çeşitleri

Vektör Projeksiyon Özellikleri

1. Bir vektörün geometrik izdüşümü bir vektördür (bir yönü vardır).
2. Bir vektörün cebirsel izdüşümü bir sayıdır.

Vektör projeksiyon teoremleri

Pr a b = |b|cos(a,b)

Vektör projeksiyonlarının türleri

1. OX eksenine projeksiyon.
2. OY eksenine projeksiyon.
3. bir vektöre projeksiyon.

OX ekseninde projeksiyon	OY ekseninde projeksiyon	Vektöre projeksiyon
A'B' vektörünün yönü OX ekseninin yönüyle çakışıyorsa, A'B' vektörünün izdüşümünün pozitif işareti vardır.	A'B' vektörünün yönü OY ekseninin yönüyle çakışıyorsa, A'B' vektörünün izdüşümünün pozitif işareti vardır.	A'B' vektörünün yönü NM vektörünün yönüyle çakışıyorsa, A'B' vektörünün izdüşümünün pozitif işareti vardır.
Vektörün yönü OX ekseninin yönünün tersi ise, A'B' vektörünün izdüşümü şu şekildedir: negatif işaret.	A'B' vektörünün yönü OY ekseninin yönünün tersi ise, A'B' vektörünün izdüşümü negatif işarete sahiptir.	A'B' vektörünün yönü NM vektörünün yönünün tersi ise, A'B' vektörünün izdüşümü negatif işarete sahiptir.
AB vektörü OX eksenine paralelse, A'B' vektörünün izdüşümü AB vektörünün mutlak değerine eşittir.	AB vektörü OY eksenine paralelse, A'B' vektörünün izdüşümü AB vektörünün mutlak değerine eşittir.	AB vektörü NM vektörüne paralelse, A'B' vektörünün izdüşümü AB vektörünün mutlak değerine eşittir.
AB vektörü OX eksenine dik ise, o zaman A'B' izdüşümü sıfıra eşittir (sıfır vektör).	AB vektörü OY eksenine dikse, A'B' izdüşümü sıfıra eşittir (sıfır vektör).	AB vektörü NM vektörüne dikse, A'B' izdüşümü sıfıra eşittir (sıfır vektör).

1. Soru: Bir vektörün izdüşümü negatif işaretli olabilir mi? Cevap: Evet, vektör projeksiyonları olabilir negatif değer. Bu durumda vektörün ters yön(OX ekseninin ve AB vektörünün nasıl yönlendirildiğine bakın)
2. Soru: Bir vektörün izdüşümü, vektörün mutlak değeriyle çakışabilir mi? Cevap: Evet, yapabilir. Bu durumda vektörler paraleldir (veya aynı doğru üzerinde yer alır).
3. Soru: Bir vektörün izdüşümü sıfıra eşit olabilir mi (boş vektör). Cevap: Evet, yapabilir. Bu durumda vektör, karşılık gelen eksene (vektöre) diktir.

Örnek 1. Vektör (Şekil 1), OX ekseni ile 60°'lik bir açı oluşturur (a vektörü ile belirtilir). OE bir ölçek birimi ise |b|=4 olur, yani .

Aslında, vektörün uzunluğu ( geometrik projeksiyon b) 2'ye eşittir ve yön, OX ekseninin yönüyle çakışır.

Örnek 2. Vektör (Şekil 2), OX ekseniyle (a vektörüyle) (a,b) = 120o açı oluşturur. Uzunluk |b| b vektörü 4'e eşittir, yani pr a b=4·cos120 o = -2.

Aslında vektörün uzunluğu 2'dir ve yönü eksen yönünün tersidir.