İkinci dereceden şekil f(x 1, x 2,...,x n) n değişkenin her bir terimi ya değişkenlerden birinin karesi ya da iki farklı değişkenin belirli bir katsayı ile çarpımı olan bir toplamdır: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Bu katsayılardan oluşan A matrisine ikinci dereceden form matrisi denir. Her zaman simetrik matris (yani ana köşegen etrafında simetrik bir matris, a ij =a ji).

İÇİNDE matris gösterimi ikinci dereceden form f(X) = X T AX'tir, burada

Aslında

Örneğin şunu yazalım matris formu ikinci dereceden form.

Bunu yapmak için ikinci dereceden formda bir matris buluyoruz. Çapraz elemanları, kare değişkenlerin katsayılarına eşittir ve geri kalan elemanlar, ikinci dereceden formun karşılık gelen katsayılarının yarısına eşittir. Bu yüzden

X değişkenlerinin matris sütunu, Y matris sütununun dejenere olmayan doğrusal dönüşümüyle elde edilsin; X = CY, burada C n'inci dereceden tekil olmayan bir matristir. O halde ikinci dereceden f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Böylece, dejenere olmayan bir doğrusal dönüşüm C ile ikinci dereceden formun matrisi şu biçimi alır: A * =C T AC.

Örneğin, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ikinci dereceden formundan doğrusal dönüşümle elde edilen ikinci dereceden f(y 1, y 2) formunu bulalım.

İkinci dereceden form denir kanonik(sahip olmak kanonik görünüm), eğer i≠j için tüm katsayılarısa ij = 0 ise, yani f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Matrisi köşegendir.

Teorem(kanıt burada verilmemiştir). Herhangi bir ikinci dereceden form, dejenere olmayan bir doğrusal dönüşüm kullanılarak kanonik forma indirgenebilir.

Örneğin, şuna yol açalım kanonik form ikinci dereceden form f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Bunu yapmak için önce seçiyoruz mükemmel kare değişken x 1 ile:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Şimdi x 2 değişkenine sahip tam bir kare seçiyoruz:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

O zaman dejenere olmayan doğrusal dönüşüm y 1 = x 1 + x 2 ,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 ve y 3 = x 3 bu ikinci dereceden formu f(y 1 ,y 2 ,y 3) = 2y 1 kanonik formuna getirir 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

İkinci dereceden bir formun kanonik formunun belirsiz bir şekilde belirlendiğine dikkat edin (aynı ikinci dereceden form kanonik forma indirgenebilir) farklı şekillerde 1). Ancak alınan çeşitli şekillerde kanonik formların bir takım genel özellikleri vardır. Özellikle, ikinci dereceden bir formun pozitif (negatif) katsayılarına sahip terimlerin sayısı, formun bu forma indirgeme yöntemine bağlı değildir (örneğin, ele alınan örnekte her zaman iki negatif ve bir pozitif katsayı olacaktır). Bu özelliğe denir İkinci dereceden formların eylemsizlik yasası.

Aynı ikinci dereceden formu kanonik forma farklı bir şekilde getirerek bunu doğrulayalım. Dönüşüme x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + değişkeniyle başlayalım. 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , burada y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 ve y3 = x1. Burada y 3 için 2'lik pozitif bir katsayı ve y 1 ve y 2 için iki negatif katsayı (-3) vardır (ve başka bir yöntem kullanarak, y 1 için 2'lik pozitif bir katsayı ve iki negatif katsayı elde ettik - (-5) y 2 için ve (-1/20) y 3 için).

Aynı zamanda, ikinci dereceden formdaki bir matrisin rütbesinin de belirtildiği belirtilmelidir. ikinci dereceden formun sıralaması, sayıya eşit sıfır olmayan katsayılar kanonik form ve doğrusal dönüşümler altında değişmez.

İkinci dereceden f(X) formu denir olumlu(negatif)kesin, eğer değişkenlerin aynı anda sıfıra eşit olmayan tüm değerleri için pozitifse, yani f(X) > 0 (negatif, yani f(X)< 0).

Örneğin ikinci dereceden f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 formu pozitif tanımlıdır, çünkü karelerin toplamıdır ve ikinci dereceden f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 formu negatif tanımlıdır, çünkü temsil eder, f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 biçiminde temsil edilebilir.

Çoğu pratik durumda, ikinci dereceden bir formun kesin işaretini belirlemek biraz daha zordur, bu nedenle bunun için aşağıdaki teoremlerden birini kullanırız (bunları kanıt olmadan formüle edeceğiz).

Teorem. İkinci dereceden bir form pozitif (negatif) kesindir ancak ve ancak hepsi özdeğerler matrisleri pozitiftir (negatif).

Teorem (Sylvester kriteri). İkinci dereceden bir form, ancak ve ancak bu formun matrisinin tüm önde gelen küçüklerinin pozitif olması durumunda pozitif tanımlıdır.

Ana (köşe) minör An-th düzeninin k-th dereceli matrislerine, A () matrisinin ilk k satır ve sütunlarından oluşan matrisin determinantı denir.

Negatif belirli ikinci dereceden formlar için asal küçüklerin işaretlerinin dönüşümlü olduğunu ve birinci dereceden küçüklerin negatif olması gerektiğini unutmayın.

Örneğin işaret kesinliği için ikinci dereceden f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 formunu inceleyelim.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Bu nedenle ikinci dereceden form pozitif tanımlıdır.

Yöntem 2. A matrisinin birinci dereceden asal minörü  1 =a 11 = 2 > 0. İkinci dereceden asal minör  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Bu nedenle, Sylvester'ın kriterine göre, ikinci dereceden denklem form pozitif tanımlıdır.

İşaret kesinliği için başka bir ikinci dereceden formu inceliyoruz, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Yöntem 1. İkinci dereceden A = şeklinde bir matris oluşturalım. Karakteristik denklemşöyle görünecek = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Bu nedenle ikinci dereceden form negatif tanımlıdır.

Yöntem 2. A matrisinin birinci dereceden baş minörü  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Sonuç olarak, Sylvester'ın kriterine göre, ikinci dereceden form negatif tanımlıdır (temel küçüklerin işaretleri eksi ile başlayarak dönüşümlüdür).

Başka bir örnek olarak, işareti belirlenmiş ikinci dereceden f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 formunu inceliyoruz.

Yöntem 1. İkinci dereceden A = şeklinde bir matris oluşturalım. Karakteristik denklem şu şekilde olacaktır: = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Bu sayılardan biri negatif, diğeri pozitiftir. Özdeğerlerin işaretleri farklıdır. Sonuç olarak, ikinci dereceden form ne negatif ne de pozitif olarak belirli olabilir, yani. bu ikinci dereceden form işaret tanımlı değildir (herhangi bir işaretin değerini alabilir).

Yöntem 2. A matrisinin birinci dereceden asal minörü  1 =a 11 = 2 > 0. İkinci dereceden asal minörü 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1İkinci dereceden bir formu kanonik forma indirgemek için düşünülen yöntemin, değişkenlerin karelerinde sıfır olmayan katsayılarla karşılaşıldığında kullanılması uygundur. Bunlar orada değilse, dönüşümü gerçekleştirmek hâlâ mümkündür, ancak başka teknikler kullanmanız gerekir. Örneğin, f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 = olsun

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, burada y 1 = x 1 + x 2, аy 2 = x 1 – x 2.

Çeşitli değişkenlerde derecesi 2 olan homojen bir polinom ikinci dereceden form olarak adlandırılır.

Değişkenlerin ikinci dereceden formu iki tür terimden oluşur: değişkenlerin kareleri ve bunların belirli katsayılara sahip ikili ürünleri. İkinci dereceden form genellikle aşağıdaki kare diyagram olarak yazılır:

Çiftler benzer üyeler Her biri değişkenlerin karşılık gelen çarpımı ile katsayının yarısını oluşturacak şekilde aynı katsayılarla yazılır. Bu nedenle, her ikinci dereceden form doğal olarak simetrik olan katsayı matrisiyle ilişkilidir.

İkinci dereceden formu aşağıdaki matris gösteriminde temsil etmek uygundur. X ile X'e kadar değişkenlerin bir sütununu - bir satırı, yani X ile değiştirilmiş bir matrisi - gösterelim.

İkinci dereceden formlar matematiğin birçok dalında ve uygulamalarında bulunur.

Sayı teorisi ve kristalografi dikkate alınır ikinci dereceden formlar değişkenlerin yalnızca tam sayı değerleri aldığı varsayımı altında. İÇİNDE analitik geometri ikinci dereceden form, sıra eğrisinin (veya yüzeyin) denkleminin bir parçasıdır. Mekanik ve fizikte ikinci dereceden form şunu ifade ediyor gibi görünüyor: kinetik enerji genelleştirilmiş hızların bileşenleri vb. aracılığıyla sistemler. Ancak ek olarak, birçok değişkenin fonksiyonlarını incelerken analizde, çözümünün nasıl olduğunu bulmanın önemli olduğu sorularda ikinci dereceden formların incelenmesi de gereklidir. bu fonksiyon Belirli bir noktanın yakınında, ona yaklaşan noktadan sapar doğrusal fonksiyon. Bu tür bir problemin örneği, bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerinin incelenmesidir.

Örneğin, sürekli kısmi türevleri olan iki değişkenli bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu inceleme problemini düşünün. Gerekli bir koşul Bir noktanın bir fonksiyonun maksimum veya minimumunu verebilmesi için o noktadaki mertebeden kısmi türevlerinin sıfıra eşit olması gerekir. x ve y değişkenlerine küçük artışlar ve k verelim ve fonksiyonun karşılık gelen artışını düşünelim Taylor formülüne göre, bu artış, daha küçük mertebelere kadar, ikinci türevlerin değerlerinin olduğu ikinci dereceden forma eşittir. noktada hesaplanır. Bu ikinci dereceden form ve k'nin (hariç) tüm değerleri için pozitifse, o zaman fonksiyonun noktada bir minimumu vardır; negatifse o zaman bir maksimumu vardır. Son olarak, eğer form hem pozitif hem de negatif değerler o zaman ne maksimum ne de minimum olacaktır. İşlevleri Daha değişkenler.

İkinci dereceden formların incelenmesi esas olarak değişkenlerin bir veya başka doğrusal dönüşüm kümesine göre formların denkliği probleminin incelenmesinden oluşur. Belirli bir kümenin dönüşümlerinden biri ile biri diğerine dönüştürülebiliyorsa, iki ikinci dereceden formun eşdeğer olduğu söylenir. Eşdeğerlik sorunuyla yakından ilgili olan, biçimin azaltılması sorunudur; onu muhtemelen en basit biçime dönüştürmek.

İÇİNDE çeşitli konularİkinci dereceden formlarla ilişkili olarak, değişkenlerin kabul edilebilir çeşitli dönüşümleri de dikkate alınır.

Analiz sorularında değişkenlerin özel olmayan dönüşümleri kullanılır; Analitik geometri amaçları açısından en büyük ilgi ortogonal dönüşümler, yani bir değişkenler sisteminden geçişe karşılık gelenler Kartezyen koordinatlar diğerine. Son olarak sayı teorisinde ve kristalografide tamsayı katsayılı ve determinantı birliğe eşit olan doğrusal dönüşümler dikkate alınır.

Bu problemlerden ikisini ele alacağız: ikinci dereceden bir formu tekil olmayan herhangi bir dönüşümle en basit formuna indirme sorunu ve aynı soru dik dönüşümler için. Her şeyden önce, değişkenlerin doğrusal dönüşümü sırasında ikinci dereceden formdaki bir matrisin nasıl dönüştürüldüğünü bulalım.

A'nın form katsayılarının simetrik bir matrisi, X'in değişkenlerin bir sütunu olduğunu varsayalım.

Değişkenlerin doğrusal dönüşümünü yapalım, bunu kısaltılmış olarak yazalım. Burada C bu dönüşümün katsayılarının matrisini, X ise yeni değişkenlerin bir sütununu temsil ediyor. O zaman ve dolayısıyla, dönüştürülmüş ikinci dereceden formun matrisi şu şekildedir:

Matrisin otomatik olarak simetrik olduğu ortaya çıkar ve bunun kontrol edilmesi kolaydır. Dolayısıyla, ikinci dereceden bir formu en basit forma indirgeme problemi, simetrik bir matrisi karşılıklı olarak yer değiştiren matrislerle sol ve sağdan çarparak en basit forma indirgeme problemine eşdeğerdir.

İşlev girme kuralları:

İki kez sürekli türevlenebilen bir f(x) fonksiyonu ancak ve ancak şu şartla dışbükeydir (içbükeydir) Hessian matrisi x'e göre f(x) fonksiyonu tüm x için pozitif (negatif) yarı tanımlıdır (birkaç değişkenli bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarına bakınız).

İşlev açısından kritik noktalar:

• Hessian pozitif tanımlı ise x 0 bir noktadır yerel minimum f(x) fonksiyonları,
• Hessian negatif tanımlıysa, x 0 f(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktasıdır,
• Hessian işaret-kesin değilse (hem pozitif hem de negatif değerler alır) ve dejenere değilse (det G(f) ≠ 0), bu durumda x 0, f(x) fonksiyonunun eyer noktasıdır.

Bir matrisin kesinliği için kriterler (Sylvester teoremi)

• matrisin tüm köşegen elemanları pozitif olmalıdır;
• tüm önde gelen ana niteleyiciler pozitif olmalıdır.

Pozitif yarı kesinlik:

• tüm diyagonal öğeler negatif değildir;
• tüm ana belirleyiciler negatif değildir.

Elemanları kısmi türev olan n dereceli kare simetrik matris amaç fonksiyonu ikinci derece Hessian matrisi denir ve belirlenmiştir:

Simetrik bir matrisin pozitif tanımlı olabilmesi için tüm köşegen minörlerinin pozitif olması gerekli ve yeterlidir;


A = (a ij) matrisi için pozitiftir.

Negatif kesinlik.
Simetrik bir matrisin negatif tanımlı olabilmesi için aşağıdaki eşitsizliklerin gerçekleşmesi gerekli ve yeterlidir:
(-1) k Dk > 0, k=1,.., n.
Başka bir deyişle, ikinci dereceden formun olabilmesi için negatif tanımlı, ikinci dereceden formdaki bir matrisin açısal küçüklerinin işaretlerinin eksi işaretinden başlayarak değişmesi gerekli ve yeterlidir. Örneğin iki değişken için D 1< 0, D 2 > 0.

Eğer Hessian yarı-kesin ise bu da bir dönüm noktası olabilir. Gerekli ek araştırma aşağıdaki seçeneklerden birine göre gerçekleştirilebilir:

1. Azalan sipariş. Değişken değişikliği yapılır. Örneğin, iki değişkenli bir fonksiyon için bu y=x'tir, sonuç olarak tek değişkenli bir x fonksiyonu elde ederiz. Daha sonra fonksiyonun y=x ve y=-x doğrularındaki davranışını inceliyoruz. İlk durumda, incelenen noktadaki fonksiyonun bir minimumu varsa ve diğer durumda bir maksimumu varsa (veya tam tersi), o zaman incelenen nokta bir eyer noktasıdır.
2. Hessian'ın özdeğerlerini bulma. Tüm değerler pozitifse, incelenen noktadaki fonksiyonun minimumu vardır, tüm değerler negatifse maksimum vardır.
3. f(x) fonksiyonunun ε noktası civarında incelenmesi. x değişkenleri x 0 +ε ile değiştirilir. Daha sonra, bir ε değişkenine ait f(x 0 +ε) fonksiyonunun, veya sıfırdan büyük(bu durumda x 0 minimum noktadır) veya sıfırdan az(bu durumda x 0 maksimum noktadır).

Not. Bulmak için ters Hessian ters matrisi bulmak yeterlidir.

Örnek No.1. Hangisi aşağıdaki işlevler dışbükey veya içbükeydir: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2.
Çözüm. 1. Kısmi türevleri bulalım.


2. Denklem sistemini çözelim.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x1 -6x2 +6 = 0
Şunu elde ederiz:
a) Birinci denklemden x 1'i ifade edip onu ikinci denklemde yerine koyarız:
x 2 = x 2 + 1/2
-2x2 +8 = 0
Burada x2 = 4
Bu değerleri x 2'yi x 1 ifadesine yerleştiriyoruz. Şunu elde ederiz: x 1 = 9/2
Kritik nokta sayısı 1'dir.
M 1 (9 / 2 ;4)
3. İkinci dereceden kısmi türevleri bulalım.



4. Bu ikinci dereceden kısmi türevlerin değerini hesaplayalım. kritik noktalar M(x 0;y 0).
M 1 noktasının değerlerini hesaplıyoruz (9 / 2 ;4)



Hessian matrisini oluşturuyoruz:

D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
Çapraz küçükler olduğundan çeşitli işaretler o zaman fonksiyonun dışbükeyliği veya içbükeyliği hakkında hiçbir şey söylenemez.

İkinci dereceden form kavramı. İkinci dereceden formun matrisi. İkinci dereceden formun kanonik formu. Lagrange yöntemi. Normal görünüm ikinci dereceden form. İkinci dereceden formun sıralaması, indeksi ve imzası. Pozitif tanımlı ikinci dereceden form. Kuadrikler.

İkinci dereceden form kavramı: vektörün koordinatlarında ikinci dereceden homojen bir polinomla tanımlanan bir vektör uzayı üzerinde bir fonksiyon.

İkinci dereceden form N bilinmiyor her bir terimi bu bilinmeyenlerden birinin karesi veya iki farklı bilinmeyenin çarpımı olan toplam olarak adlandırılır.

İkinci dereceden matris: Matrise ikinci dereceden formdaki bir matris denir. bu temelde. Alan karakteristiği 2'ye eşit değilse ikinci dereceden formdaki matrisin simetrik olduğunu varsayabiliriz.

İkinci dereceden formda bir matris yazın:

Buradan,

Vektör matris formunda ikinci dereceden form şöyledir:

A, nerede

İkinci dereceden formun kanonik formu:İkinci dereceden bir forma kanonik denir, eğer hepsi yani.

Herhangi bir ikinci dereceden form, doğrusal dönüşümler kullanılarak kanonik forma indirgenebilir. Uygulamada genellikle aşağıdaki yöntemler kullanılmaktadır.

Lagrange yöntemi : tam karelerin sıralı seçimi. Örneğin, eğer

Daha sonra ikinci dereceden formda benzer bir prosedür gerçekleştirilir. vb. İkinci dereceden formda her şey ancak daha sonra ön dönüşümün ardından konu, dikkate alınan prosedüre gelir. Yani, örneğin, o zaman varsayarsak

İkinci dereceden formun normal formu: Normal ikinci dereceden form, tüm katsayıların +1 veya -1'e eşit olduğu kanonik ikinci dereceden bir formdur.

İkinci dereceden formun sıralaması, dizini ve imzası:İkinci dereceden formun sıralaması A matrisin rütbesi denir A. İkinci dereceden bir formun sırası, bilinmeyenlerin dejenere olmayan dönüşümleri altında değişmez.

Negatif katsayıların sayısına negatif form indeksi denir.

Kanonik formdaki pozitif terimlerin sayısına ikinci dereceden formun pozitif atalet indeksi, negatif terimlerin sayısına ise negatif indeks denir. Pozitif ve negatif endeksler arasındaki farka ikinci dereceden formun imzası denir.

Pozitif tanımlı ikinci dereceden form: Gerçek ikinci dereceden form Değişkenlerin aynı anda sıfır olmayan herhangi bir gerçek değeri için pozitif tanımlı (negatif tanımlı) olarak adlandırılır,

. (36)

Bu durumda matrise pozitif tanımlı (negatif tanımlı) da denir.

Pozitif belirli (negatif belirli) formlar sınıfı, negatif olmayan (yani pozitif olmayan) formlar sınıfının bir parçasıdır.

Kuadrikler:İkinci dereceden - N boyutlu hiperyüzey N+1 boyutlu uzay, ikinci dereceden bir polinomun sıfırları kümesi olarak tanımlanır. Koordinatları girerseniz ( X 1 , X 2 , xn+1 ) (Öklid veya afin uzayda), genel denklem kuadrikler şu şekle sahiptir

Bu denklem matris gösteriminde daha kısa bir şekilde yeniden yazılabilir:

burada x = ( X 1 , X 2 , xn+1 ) — satır vektörü, X T, yeri değiştirilmiş bir vektördür, Q— boyut matrisi ( N+1)×( N+1) (elemanlarından en az birinin sıfır olmadığı varsayılır), P bir satır vektörüdür ve R- devamlı. Gerçek olanlara göre kuadrikler çoğunlukla dikkate alınır karmaşık sayılar. Tanım, yansıtmalı uzaydaki kuadriklere genişletilebilir, aşağıya bakınız.

Daha genel olarak sistemin sıfırları kümesi polinom denklemleri cebirsel bir çeşit olarak bilinir. Bu nedenle, bir kuadrik, ikinci dereceden ve 1 kodlu bir (afin veya projektif) cebirsel çeşittir.

Düzlem ve uzayın dönüşümleri.

Düzlem dönüşümünün tanımı. Hareket algılama. hareketin özellikleri. İki tür hareket vardır: Birinci türden hareket ve ikinci türden hareket. Hareket örnekleri. Analitik ifade hareketler. Düzlem hareketlerinin sınıflandırılması (varlığına bağlı olarak) sabit noktalar ve değişmez çizgiler). Grup uçak hareketleri.

Düzlem dönüşümünün tanımı: Tanım. Noktalar arasındaki mesafeyi koruyan düzlem dönüşümüne denir hareket uçağın (veya hareketinin). Düzlem dönüşümü denir afin Aynı doğru üzerinde bulunan herhangi üç noktayı yine aynı doğru üzerinde bulunan ve aynı zamanda üç noktanın basit ilişkisini koruyarak üç noktaya dönüştürürse.

Hareket Tanımı: Bunlar noktalar arasındaki mesafeleri koruyan şekil dönüşümleridir. Eğer iki şekil hareket yoluyla birbirine tam olarak hizalanıyorsa bu şekiller aynı, eşittir.

Hareket özellikleri: Bir düzlemin yönelimi koruyan her hareketi ya paralel bir öteleme ya da dönmedir; bir düzlemin her yönelimi değiştiren hareketi ya bir eksenel simetri ya da bir kayma simetrisidir. Hareket ederken, düz bir çizgi üzerinde bulunan noktalar, düz bir çizgi üzerinde yer alan noktalara dönüşür ve sıraları korunur. göreceli konum. Hareket ederken yarım çizgiler arasındaki açılar korunur.

İki tür hareket: birinci türden hareket ve ikinci türden hareket: Birinci türden hareketler, belirli bir figürün tabanlarının yönünü koruyan hareketlerdir. Sürekli hareketlerle gerçekleştirilebilirler.

İkinci tür hareketler, tabanların yönünü tersine değiştiren hareketlerdir. Sürekli hareketlerle gerçekleştirilemezler.

Birinci türdeki hareketlerin örnekleri, düz bir çizgi etrafında öteleme ve dönmedir; ikinci türdeki hareketler ise merkezi ve ayna simetrileridir.

Birinci türden herhangi bir sayıda hareketin bileşimi birinci türden bir harekettir.

İkinci türden çift sayıdaki hareketlerin bileşimi 1. türden harekettir ve 2. türden tek sayıdaki hareketlerin bileşimi 2. türden harekettir.

Hareket örnekleri:Paralel aktarım . Verilen vektör a olsun. A vektörüne paralel transfer, düzlemin kendi üzerine eşlenmesidir; burada her M noktası, MM1 vektörü olan M1 noktasına eşlenir. vektöre eşit A.

Paralel öteleme bir harekettir çünkü mesafeleri koruyarak düzlemin kendi üzerine haritalanmasıdır. Bu hareket görsel olarak tüm düzlemin yön yönünde kayması olarak temsil edilebilir. verilen vektör ama uzunluğunda.

Döndür. Düzlem üzerinde O noktasını gösterelim ( tornalama merkezi) ve açıyı ayarlayın α ( dönme açısı). Düzlemin O noktası etrafında bir a açısı kadar dönmesi, düzlemin kendi üzerine eşlenmesidir; burada her M noktası, OM = OM 1 ve MOM 1 açısı a'ya eşit olacak şekilde M 1 noktasına eşlenir. Bu durumda, O noktası yerinde kalır, yani kendi üzerine haritalanır ve diğer tüm noktalar O noktası etrafında aynı yönde - saat yönünde veya saat yönünün tersine döner (şekil saat yönünün tersine dönüşü gösterir).

Döndürme bir harekettir çünkü mesafelerin korunduğu düzlemin kendi üzerine haritalanmasını temsil eder.

Hareketin analitik ifadesi:ön görüntünün koordinatları ile noktanın görüntüsü arasındaki analitik bağlantı (1) biçimindedir.

Düzlem hareketlerin sınıflandırılması (sabit noktaların ve değişmez çizgilerin varlığına bağlı olarak): Tanım:

Düzlemdeki bir nokta, belirli bir dönüşüm altında kendisine dönüşüyorsa değişmezdir (sabittir).

Örnek: Ne zaman merkezi simetri simetri merkezinin noktası değişmez. Dönerken dönme merkezinin noktası değişmez. Şu tarihte: eksenel simetri düz bir çizgi değişmezdir - simetri ekseni, değişmez noktalardan oluşan düz bir çizgidir.

Teorem: Bir hareketin tek bir değişmez noktası yoksa en az bir değişmez yönü vardır.

Örnek: Paralel aktarım. Aslında bu yöne paralel düz çizgiler, değişmez noktalardan oluşmasa da, bir bütün olarak şekil olarak değişmezdir.

Teorem: Eğer bir ışın hareket ederse, ışın kendi içine aktarılır, o zaman bu hareket ya kimlik dönüşümü veya verilen ışını içeren düz çizgiye göre simetri.

Bu nedenle, değişmez noktaların veya şekillerin varlığına dayanarak hareketleri sınıflandırmak mümkündür.

Düzlem hareket grubu: Geometride önemli rol kendi kendini birleştiren figürlerden oluşan gruplar oynuyor. Eğer bir düzlemde (veya uzayda) belirli bir figür varsa, o zaman figürün kendisine dönüştüğü düzlemin (veya uzayın) tüm hareketlerinin bir kümesini düşünebiliriz.

Bu set bir gruptur. Örneğin, eşkenar üçgenÜçgeni kendi içine aktaran düzlem hareketleri grubu 6 unsurdan oluşur: bir nokta etrafındaki açılar boyunca dönmeler ve üç düz çizgi etrafındaki simetriler.

Şekil 2'de gösterilmektedirler. 1 kırmızı çizgili. Kendi kendine kombinasyon grubunun elemanları düzgün üçgen farklı şekilde belirtilebilir. Bunu açıklamak için, normal bir üçgenin köşelerini 1, 2, 3 sayılarıyla numaralandıralım. Üçgenin herhangi bir kendi kendine hizalanması, 1, 2, 3 noktalarını aynı noktalara götürür, ancak farklı bir sırayla alınır, yani. şartlı olarak bu parantezlerden biri şeklinde yazılabilir:

vesaire.

burada 1, 2, 3 sayıları, söz konusu hareketin bir sonucu olarak 1, 2, 3 köşelerinin girdiği köşelerin sayısını gösterir.

Projektif uzaylar ve modelleri.

Projektif uzay kavramı ve projektif uzay modeli. Projektif geometrinin temel gerçekleri. O noktasında ortalanan bir grup çizgi, projektif düzlemin bir modelidir. Projektif noktalar. Uzatılmış düzlem projektif düzlemin bir modelidir. Genişletilmiş üç boyutlu afin veya Öklid uzayı, yansıtmalı uzayın bir modelidir. Paralel tasarımda düz ve mekansal figürlerin görüntüleri.

Projektif uzay kavramı ve projektif uzay modeli:

Bir alan üzerindeki yansıtmalı uzay, belirli bir alan üzerindeki bazı doğrusal uzayların çizgilerinden (tek boyutlu altuzaylar) oluşan bir uzaydır. Doğrudan uzaylara denir noktalar projektif uzay. Bu tanım keyfi bir organa genelleştirilebilir

Boyutu varsa, o zaman yansıtmalı uzayın boyutuna sayı denir ve yansıtmalı uzayın kendisi gösterilir ve ilişkili olarak adlandırılır (bunu belirtmek için notasyon benimsenir).

Geçiş vektör uzayı karşılık gelen yansıtmalı uzaya boyut denir projeleştirme uzay.

Noktalar kullanılarak tanımlanabilir homojen koordinatlar.

Projektif geometrinin temel gerçekleri: Projektif geometri, projektif düzlemleri ve uzayları inceleyen bir geometri dalıdır. Ana özellik Projektif geometri, birçok tasarıma zarif simetri katan dualite ilkesine dayanmaktadır. Projektif geometri hem salt olarak incelenebilir geometrik nokta Projektif düzlemi bir alan üzerindeki bir yapı olarak ele alarak hem analitik (homojen koordinatlar kullanarak) hem de salgebraik bakış açısı. Çoğu zaman ve tarihsel olarak, gerçek yansıtmalı düzlemin "sonsuz çizgi"nin eklenmesiyle Öklid düzlemi olduğu kabul edilir.

Öklid geometrisinin ilgilendiği şekillerin özellikleri ise metrik(açıların, bölümlerin, alanların belirli değerleri) ve şekillerin denkliği bunlara eşdeğerdir uyum(yani rakamlar, metrik özellikleri korunurken hareket yoluyla birbirine çevrilebildiğinde), daha "derinlerde yatan" özellikler vardır geometrik şekiller, birden fazla dönüşüm sırasında korunur genel tip hareketten daha fazla. Projektif geometri, sınıfa göre değişmez olan şekillerin özelliklerinin incelenmesiyle ilgilenir. projektif dönüşümler ve bu dönüşümlerin kendisi.

Projektif geometri Öklid'i tamamlar ve güzel ve basit çözümler Paralel çizgilerin varlığı nedeniyle karmaşık hale gelen birçok problem için. Konik bölümlerin projektif teorisi özellikle basit ve zariftir.

Projektif geometriye üç ana yaklaşım vardır: bağımsız aksiyomatizasyon, Öklid geometrisinin tamamlanması ve bir alan üzerindeki yapı.

aksiyomatizasyon

Projektif uzay farklı aksiyomlar kullanılarak tanımlanabilir.

Coxeter şunları sağlar:

1. Düz bir çizgi ve üzerinde olmayan bir nokta var.

2. Her çizginin en az üç noktası vardır.

3. İki noktadan tam olarak bir düz çizgi çizebilirsiniz.

4. Eğer A, B, C, Ve D- çeşitli noktalar ve AB Ve CD kesişir, sonra AC Ve BD kesişir.

5. Eğer ABC bir düzlem ise, bu düzlemde olmayan en az bir nokta vardır ABC.

6. İki farklı uçaklar en az iki noktada kesişir.

7. Tam bir dörtgenin üç köşegen noktası eşdoğrusal değildir.

8. Bir doğru üzerinde üç nokta varsa X X

Projektif düzlem (üçüncü boyut olmadan) biraz farklı aksiyomlarla tanımlanır:

1. İki noktadan tam olarak bir düz çizgi çizebilirsiniz.

2. Herhangi iki doğru kesişir.

3. Üçü aynı doğru üzerinde olmayan dört nokta vardır.

4. Üç çapraz nokta tam dörtgenler doğrusal değil.

5. Bir doğru üzerinde üç nokta varsa Xφ'nin projektivitesine göre değişmezse, o zaman üzerindeki tüm noktalar Xφ'ye göre değişmez.

6. Desargues teoremi: Eğer iki üçgen bir noktadan geçen perspektifse, o zaman bir çizgiden geçen perspektiftir.

Üçüncü bir boyutun varlığında Desargues teoremi, üçüncü bir boyut getirilmeden kanıtlanabilir. ideal noktalar ve düz.

Genişletilmiş düzlem - projektif düzlem modeli: Afin uzayında A3 merkezi O noktasında olan bir S(O) doğruları demetini ve bu demetin merkezinden geçmeyen bir Π düzlemini alıyoruz: O 6∈ Π. Afin uzaydaki bir çizgi demeti projektif düzlemin bir modelidir. Π düzleminin noktaları kümesinin S bağlantısının düz çizgileri kümesine eşlenmesini tanımlayalım (Kahretsin, bu soruyu aldıysanız dua edin, beni affedin)

Genişletilmiş üç boyutlu afin veya Öklid uzayı - yansıtmalı uzay modeli:

Haritalamayı örten hale getirmek için, afin düzlemi Π'yi projektif düzlem Π'ye resmi olarak uzatma işlemini tekrarlıyoruz, Π düzlemini bir dizi uygunsuz nokta (M∞) ile tamamlıyoruz, öyle ki: ((M∞)) = P0(O). Haritada S(O) düzlemleri demetinin her bir düzleminin ters görüntüsü d düzlemi üzerinde bir çizgi olduğundan, uzatılmış düzlemin bütün uygunsuz noktalarının kümesinin: Π = Π ∩ (M∞) olduğu açıktır. , (M∞), uzatılmış düzlemin uygunsuz bir d∞ doğrusunu temsil eder; bu, Π0 tekil düzleminin ters görüntüsüdür: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Burada ve bundan sonra son eşitlik olan P0(O) = Π0'ı nokta kümelerinin eşitliği anlamında anlayacağımızı, ancak farklı bir yapıya sahip olacağımızı kabul edelim. Ekleme afin düzlemi uygunsuz doğru, eşlemenin (I.21) uzatılmış düzlemin tüm noktaları kümesinde eşitleyici hale geldiğini başardık:

Paralel tasarım sırasındaki düz ve mekansal figürlerin görüntüleri:

Stereometride uzamsal şekiller incelenir ancak çizimde bunlar şu şekilde tasvir edilir: düz rakamlar. Düzlemde mekansal bir figür nasıl tasvir edilmelidir? Tipik olarak geometride bunun için paralel tasarım kullanılır. p bir düzlem olsun, ben- onu kesen düz bir çizgi (Şekil 1). Başından sonuna kadar keyfi nokta A, hatta ait değil ben, çizgiye paralel bir çizgi çizin ben. Bu doğrunun p düzlemiyle kesişme noktasına noktanın paralel izdüşümü denir. A düz çizgi yönünde p düzlemine ben. onu belirtelim A". Eğer nokta Açizgiye ait ben, ardından paralel projeksiyonla A doğrunun kesişme noktasının p düzleminde olduğu kabul edilir ben uçakla p.

Böylece her nokta A uzayın projeksiyonu karşılaştırılır A" p düzlemine. Bu yazışmaya denir paralel tasarım düz çizgi yönünde p düzlemine l.

Projektif dönüşümler grubu. Problem çözümüne yönelik uygulama.

Bir düzlemin projektif dönüşümü kavramı. Düzlemin projektif dönüşümlerine örnekler. Projektif dönüşümlerin özellikleri. Homoloji, homolojinin özellikleri. Projektif dönüşümler grubu.

Bir düzlemin projektif dönüşümü kavramı: Projektif dönüşüm kavramı, merkezi projeksiyon kavramını genelleştirir. eğer yaparsan merkezi projeksiyonα düzleminin bir α 1 düzlemine, ardından α 1'in α 2'ye, α 2'nin α 3'e izdüşümü, ... ve son olarak bir α düzlemi N yine a 1 üzerinde, o zaman tüm bu projeksiyonların bileşimi a düzleminin projektif dönüşümüdür; Böyle bir zincire paralel projeksiyonlar da dahil edilebilir.

Projektif düzlem dönüşümlerine örnekler: Tamamlanmış bir düzlemin projektif dönüşümü, noktaların eşdoğrusallığının korunduğu veya başka bir deyişle herhangi bir çizginin görüntüsünün düz bir çizgi olduğu, kendi üzerine birebir eşlenmesidir. Her projektif dönüşüm bir merkezi ve paralel projeksiyonlar. Afin dönüşümü- Bu özel durum sonsuz uzaklıktaki düz çizginin kendisine dönüştüğü yansıtmalı.

Projektif dönüşümlerin özellikleri:

Projektif dönüşüm sırasında, bir doğru üzerinde bulunmayan üç nokta, bir doğru üzerinde yer almayan üç noktaya dönüştürülür.

Projektif dönüşüm sırasında çerçeve bir çerçeveye dönüşür.

Projektif dönüşüm sırasında bir çizgi düz bir çizgiye dönüşür ve bir kalem bir kurşun kaleme dönüşür.

Homoloji, homolojinin özellikleri:

Değişmez noktalardan oluşan bir çizgiye ve dolayısıyla değişmez çizgilerden oluşan bir kaleme sahip bir düzlemin projektif dönüşümüne homoloji denir.

1. Çakışmayan karşılık gelen homoloji noktalarından geçen bir çizgi, değişmez bir çizgidir;

2. Çakışmayan karşılık gelen homoloji noktalarından geçen çizgiler, merkezi değişmez bir nokta olan aynı kaleme aittir.

3. Nokta, onun görüntüsü ve homolojinin merkezi aynı düz çizgi üzerinde yer alır.

Projektif dönüşüm grubu: P 2 yansıtmalı düzleminin kendi üzerine yansıtmalı haritalamasını, yani bu düzlemin (P 2 ' = P 2) yansıtmalı dönüşümünü düşünün.

Daha önce olduğu gibi, yansıtmalı düzlem P2'nin yansıtmalı dönüşümlerinin f 1 ve f 2 bileşimi f 1 ve f 2 dönüşümlerinin sıralı olarak yürütülmesinin sonucudur: f = f 2 °f 1 .

Teorem 1: P 2 projektif düzleminin tüm projektif dönüşümlerinin H kümesi, projektif dönüşümlerin bileşimine göre bir gruptur.

İkinci dereceden şekiller

İkinci dereceden şekil f(x 1, x 2,...,x n) n değişkenin her bir terimi ya değişkenlerden birinin karesi ya da iki farklı değişkenin belirli bir katsayı ile çarpımı olan bir toplamdır: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Bu katsayılardan oluşan A matrisine ikinci dereceden form matrisi denir. Her zaman simetrik matris (yani ana köşegen etrafında simetrik bir matris, a ij = a ji).

Matris gösteriminde ikinci dereceden form f(X) = X T AX'tir, burada

Aslında

Örneğin ikinci dereceden formu matris formunda yazalım.

Bunu yapmak için ikinci dereceden formda bir matris buluyoruz. Çapraz elemanları, kare değişkenlerin katsayılarına eşittir ve geri kalan elemanlar, ikinci dereceden formun karşılık gelen katsayılarının yarısına eşittir. Bu yüzden

X değişkenlerinin matris sütunu, Y matris sütununun dejenere olmayan doğrusal dönüşümüyle elde edilsin; X = CY, burada C n'inci dereceden tekil olmayan bir matristir. Daha sonra ikinci dereceden form
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Böylece, dejenere olmayan bir doğrusal dönüşüm C ile ikinci dereceden formun matrisi şu şekli alır: A * = C T AC.

Örneğin, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ikinci dereceden formundan doğrusal dönüşümle elde edilen ikinci dereceden f(y 1, y 2) formunu bulalım.

İkinci dereceden form denir kanonik(sahip olmak kanonik görünüm), eğer i ≠ j için tüm katsayıları a ij = 0 ise, yani
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Matrisi köşegendir.

Teorem(kanıt burada verilmemiştir). Herhangi bir ikinci dereceden form, dejenere olmayan bir doğrusal dönüşüm kullanılarak kanonik forma indirgenebilir.

Örneğin ikinci dereceden formu kanonik forma indirgeyelim.
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Bunu yapmak için önce x 1 değişkenine sahip tam bir kare seçin:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Şimdi x 2 değişkenine sahip tam bir kare seçiyoruz:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Daha sonra dejenere olmayan doğrusal dönüşüm y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 ve y 3 = x 3, bu ikinci dereceden formu f(y 1, y 2) kanonik formuna getirir , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

İkinci dereceden bir formun kanonik formunun belirsiz bir şekilde belirlendiğine dikkat edin (aynı ikinci dereceden form, farklı şekillerde kanonik forma indirgenebilir). Ancak çeşitli yöntemlerle elde edilen kanonik formların bir takım özellikleri vardır. genel özellikler. Özellikle, ikinci dereceden bir formun pozitif (negatif) katsayılarına sahip terimlerin sayısı, formun bu forma indirgeme yöntemine bağlı değildir (örneğin, ele alınan örnekte her zaman iki negatif ve bir pozitif katsayı olacaktır). Bu özelliğe denir İkinci dereceden formların eylemsizlik yasası.

Aynı ikinci dereceden formu kanonik forma farklı bir şekilde getirerek bunu doğrulayalım. Dönüşüme x 2 değişkeniyle başlayalım:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, burada y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 ve y3 = x 1 . Burada y3'te 2'lik pozitif bir katsayı ve y1 ve y2'de iki negatif katsayı (-3) vardır (ve başka bir yöntem kullanarak y1'de 2'lik pozitif bir katsayı ve y'de iki negatif katsayı - (-5) elde ettik) y 2 ve (-1/20) y 3'te).

Aynı zamanda, ikinci dereceden formdaki bir matrisin rütbesinin de belirtildiği belirtilmelidir. ikinci dereceden formun sıralaması, kanonik formun sıfır olmayan katsayılarının sayısına eşittir ve doğrusal dönüşümler altında değişmez.

İkinci dereceden f(X) formu denir olumlu (negatif) kesin Değişkenlerin aynı anda sıfıra eşit olmayan tüm değerleri için pozitifse, yani. f(X) > 0 (negatif, yani
f(X)< 0).

Örneğin ikinci dereceden f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 formu pozitif tanımlıdır, çünkü karelerin toplamıdır ve ikinci dereceden f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 formu negatif tanımlıdır, çünkü f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 olarak temsil edilebileceğini temsil eder.

Çoğu pratik durumda, ikinci dereceden bir formun kesin işaretini belirlemek biraz daha zordur, bu nedenle bunun için aşağıdaki teoremlerden birini kullanırız (bunları kanıt olmadan formüle edeceğiz).

Teorem. İkinci dereceden bir form, ancak ve ancak matrisinin tüm özdeğerlerinin pozitif (negatif) olması durumunda pozitif (negatif) kesindir.

Teorem (Sylvester kriteri). İkinci dereceden bir form, ancak ve ancak bu formun matrisinin tüm önde gelen küçüklerinin pozitif olması durumunda pozitif tanımlıdır.

Ana (köşe) minör N'inci dereceden k'inci derece matris A'ya, A () matrisinin ilk k satır ve sütunlarından oluşan matrisin determinantı denir.

Negatif belirli ikinci dereceden formlar için asal küçüklerin işaretlerinin dönüşümlü olduğunu ve birinci dereceden küçüklerin negatif olması gerektiğini unutmayın.

Örneğin işaret kesinliği için ikinci dereceden f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 formunu inceleyelim.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Bu nedenle ikinci dereceden form pozitif tanımlıdır.

Yöntem 2. A matrisinin birinci dereceden asal minörü D 1 = a 11 = 2 > 0. İkinci dereceden asal minör D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Dolayısıyla Sylvester kriterine göre ikinci dereceden form şu şekildedir: pozitif kesin.

İşaret kesinliği için başka bir ikinci dereceden formu inceliyoruz, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Yöntem 1. İkinci dereceden A = şeklinde bir matris oluşturalım. Karakteristik denklem şu şekilde olacaktır: = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Bu nedenle ikinci dereceden form negatif tanımlıdır.