Şunun için görevler: bağımsız çalışma

Aşağıdaki homojen sistemlerin genel çözümlerini bulun diferansiyel denklemler dikkate alınan yöntemlerden birini seçin ve bunları başka bir yöntemle kontrol edin:

8.1. 8.2.

8.3. 8.4.

8.5. 8.6.

8.7. 8.8.

8.9. 8.10.

Diferansiyel denklemlerin doğrusal sistemi şu şekildedir:

(9.1)

(9.1) ve (9.2) sistemlerine denir heterojen , eğer işlevlerden en az biri ben(X) bağımsız değişkenin tüm değerleri için aynı şekilde sıfır değildir. X tüm işlevler ben(X) sıfıra eşitse, örneğin sistem (8.14) şu formu alır:

ve denir homojen doğrusal sistem.

Eğer tüm işlevler bir ben(X) Ve ben(X) segment üzerinde süreklidir A£ X£ B, o zaman sistem örneğin (9.2)'ye sahiptir tek çözüm:

(9.4)

segment boyunca tanımlanmış A£ X£ B ve tatmin edici başlangıç ​​koşulları:

ve ilk veriler tamamen keyfi olarak seçilebilir ve X Aralıktan 0 seçilmelidir A£ X£ B.

Homojen olmayan doğrusal denklem sistemi sabit katsayılar şu forma sahiptir:

(9. 6)

Eğer her şey ben (X) =0, o zaman şunu elde ederiz: sabit katsayılı homojen sistem

Eğer bazı vektörlerin bileşenleri,

A vektörün türevinin bileşenleri ve katsayılar bir ben matrisin elemanlarıdır o zaman örneğin denklem sistemi (9.8) şu şekilde temsil edilebilir:

Doğrusal sistemleri sabit katsayılarla entegre etmeye yönelik yöntemleri ele alalım.

1. Sabit katsayılı bir diferansiyel denklem sistemi çözülebilir, örneğin: Euler'in yöntemi . Bu yöntemin özü, (9.9) sistemine çözümün şu şekilde aranmasıdır.

, (9.10)

Nerede λk - özdeğerler katsayı matrisleri A denkleminden bulunabilir :

(9.11)

(e– kimlik matrisi), buna denir karakteristik denklem; - özvektör bileşenleri P (k) özdeğere karşılık gelir λk.

Eğer ifade (9.10) denklem (9.9)'da yerine konulursa ve faktör ile indirgendikten sonra homojen bir doğrusal sistem elde ederiz. cebirsel denklemler vektörü buradan bulabiliriz P (k) :

,

veya genişletilmiş biçimde

(9.12)

Böylece, genel çözüm sistem (9.9) aşağıdaki formülle ifade edilecektir:

. (9.13)

Bu formülden orijinal sistemin çözümünün katsayı matrisinin özdeğerlerine bağlı olduğu açıktır. λk veya aslında aynı şey olan karakteristik denklemin köklerinin formundan .

1. vaka. Tüm kökler λk gerçek ve farklı ise sistemin genel çözümü formül (9.13) ile belirlenir. Genişletilmiş biçimde yazalım:

(9.14)

Örnek 9.1.6. Sistemin genel çözümünü bulun

▲ Bir katsayılar matrisi oluşturalım ve sonra oluşturacağız karakteristik denklem (31):

Bu karakteristik denklemin kökleri gerçek ve farklıdır: .

Özdeğerlerine (karakteristik denklemin kökleri) karşılık gelen özvektörleri bulalım.

.

Değer keyfi olarak alınabilir, örneğin =1 olsun, sonra , dolayısıyla vektör R (1) şuna eşittir: R (1) =.

Bu kök için ayrıca sistemi oluşturuyoruz (9.12)

,

dolayısıyla eğer =1 ise o zaman . Bu nedenle vektör R (2) =.

Böylece orijinal sistemin genel çözümü şu şekilde yazılabilir:

Bu nedenle genel çözümün bileşenleri şu şekli alır:

▲

2. durum. Kökler λk farklı ama aralarında karmaşık olanlar da var. Karakteristik denklemin kökü ise aynı zamanda kökü de olacaktır çünkü orijinal sistemin tüm katsayıları bir ben geçerlidir.

Sistem (8.29)'un genel çözümünün köke karşılık gelen bileşenlerini durum 1'dekiyle tamamen aynı şekilde buluyoruz. Daha sonra fonksiyonlardan karmaşık ve gerçek kısımları ayırıyoruz. ey k, bu çözümü oluştururken iki tane elde ederiz geçerli çözümler aynı sistem (8.29). Eşlenik kök yeni çözümler vermez (eğer bu kökü kullanırsak, halihazırda elde edilenlere doğrusal olarak bağımlı çözümler elde ederiz). Bu, her karmaşık kök için yapılır.

Örnek 9.2. Sistemin genel çözümünü bulun

Bu karakteristik denklemin kökleri karmaşık eşleniktir: .

bulacağız özvektör, özdeğere (karakteristik denklemin kökü) karşılık gelen: .

Bir cebirsel denklem sistemi oluşturalım (9.12)

Böylece =1 alarak şunu buluruz; özvektör R (1) şuna eşittir: R (1) =.

Buradan, temel sistemşöyle görünecek:

Bu çözümlerde gerçek ve sanal kısımları ayırıyoruz (bu köke karşılık gelen çözümler köke doğrusal olarak bağlı olduğundan kökü dikkate almıyoruz), sonuç olarak şunu elde ediyoruz:

Böylece genel çözüm nihayet şöyle görünür:

3. vaka. Karakteristik denklemin kökleri arasında birden fazla kök vardır.

Eğer kök λk, çokluğu var T, o zaman karşılık gelir N(9.9) sisteminin kısmi çözümleri. Bu çözümleri şu şekilde elde ederiz:

Nerede q 1(X),….,qn(X) – polinomlar X belirsiz katsayılı, her derece ( T-1):

Bu nedenle çözümler şöyle görünecektir:

(9.15)

İfadeleri (9.15) sistem (9.9)'a yerleştirmek ve katsayıları eşitlemek eşit derece bağımsız değişken X her denklemde polinomların bilinmeyen katsayılarını belirlemek için bir cebirsel denklem sistemi elde edeceğiz q 1(X),….,qn(X). Elde edilen cebirsel denklemlerin sayısı daha az sayı bilinmeyen katsayılar, dolayısıyla T bu katsayılardan bazıları keyfi kalır ve geri kalanı bunlar aracılığıyla ifade edilir.

Eğer λ 1 karmaşık bir sayı ise, o zaman ele alınan yöntemle elde edilen çözümler de karmaşık işlevler itibaren X. Çözümlerin her birinde gerçek ve sanal kısımları ayırarak 2 elde ederiz. T kararlar. Bu çözümler bir çift konjugeye karşılık gelir T– çoklu karmaşık kökler ve .

Örnek 9.3. Sistemin genel çözümünü bulun

▲ Bir katsayılar matrisi oluşturalım ve ardından karakteristik denklemi (9.11) oluşturalım:

Bu karakteristik denklemin kökleri gerçek ve farklıdır: . Çokluk oranı Tşuna eşittir: T= 2. Dolayısıyla bu durumda polinomlar P 1 (T) Ve P 2 (T) şu forma sahiptir:

Böylece çözüm çift köke karşılık gelir

Farklılaştırıcı X Ve en, alıyoruz

Değerler X, en, orijinal sisteme değiştirin ve indirgedikten sonra e 4 T sahip olacağız

Katsayıların eşitlenmesi T Ve ücretsiz üyeler, alıyoruz aşağıdaki sistemler

Şunu takip ediyor

Böylece orijinal sistemin genel çözümü şu şekilde olacaktır:

▲

2. Form (9.8) sistemi: ,

çözülebilir yöntem belirsiz katsayılar . Bu yöntemin algoritması aşağıdaki gibidir:

1. Sistemin karakteristik denklemini (9.8) çizin:

ve köklerini bulun.

2. Köklerin türüne bağlı olarak sistemin çözümünü yazın ve her çözüm için sen ben kendi keyfi sabitleri vardır:

3. Türevler hesaplanır ve bulunan fonksiyonlarla birlikte orijinal sistemin denklemlerine ikame edilir.

4. Denklemlerin sol ve sağ taraflarında aynı fonksiyonlara ait katsayılar eşitlenir.

5. Ortaya çıkan sistemlerden, tüm katsayılar tek bir katsayı ile ifade edilebilir, örneğin katsayılar katsayılar aracılığıyla C ben.

Örnek 9.4. Sistemin genel çözümünü bulun

Bir diferansiyel denklem sistemi nasıl çözülür?

Okuyucunun özellikle diferansiyel denklemleri çözmede oldukça iyi olduğu varsayılmaktadır. homojen ikinci dereceden denklemler Ve homojen olmayan ikinci dereceden denklemler sabit katsayılarla. Diferansiyel denklem sistemlerinde karmaşık hiçbir şey yoktur ve eğer yukarıdaki denklem türlerinden memnunsanız, sistemlerde uzmanlaşmak zor olmayacaktır.

İki ana tür diferansiyel denklem sistemi vardır:

– Lineer homojen diferansiyel denklem sistemleri
– Lineer homojen olmayan diferansiyel denklem sistemleri

Ve bir diferansiyel denklem sistemini çözmenin iki ana yolu:

– Eliminasyon yöntemi. Yöntemin özü, çözüm sırasında diferansiyel denklem sisteminin bir diferansiyel denkleme indirgenmesidir.

– Karakteristik denklemin kullanılması(sözde Euler yöntemi).

Çoğu durumda, bir diferansiyel denklem sisteminin ilk yöntem kullanılarak çözülmesi gerekir. İkinci yöntem problem durumlarında çok daha az yaygındır; tüm uygulamam boyunca onunla en fazla 10-20 sistem çözdüm. Ancak bu makalenin son paragrafında bunu da kısaca ele alacağız.

Materyalin teorik eksikliğinden dolayı derhal özür dilerim, ancak derse yalnızca pratikte karşılaşılabilecek görevleri dahil ettim. Her beş yılda bir göktaşı yağmuruna düşen bir şey bulmanız pek mümkün değildir ve bu tür sürprizler söz konusu olduğunda özel difüzör tuğlalarına yönelmelisiniz.

Lineer homojen diferansiyel denklem sistemleri

En basit homojen diferansiyel denklem sistemi aşağıdaki forma sahiptir:

Aslında neredeyse her şey pratik örnekler böyle bir sistemle sınırlıdırlar =)

Orada ne var?

– bunlar sayılardır ( sayısal oranlar). En çok sıradan sayılar. Özellikle bir, birkaç veya hatta tüm katsayılar sıfır olabilir. Ancak bu tür hediyeler nadiren verilir, bu nedenle sayılar çoğunlukla sıfıra eşit değildir.

Ve bunlar bilinmeyen fonksiyonlardır. Bağımsız değişken görevi gören değişken "sıradan bir diferansiyel denklemdeki X gibidir."

Ve sırasıyla bilinmeyen fonksiyonların birinci türevleridir.

Bir diferansiyel denklem sistemini çözmek ne anlama gelir?

Bu bulma anlamına gelir çok işlevler ve tatmin edici hem birinci hem ikinci sistemin denklemi. Gördüğünüz gibi prensip geleneksel olana çok benziyor doğrusal denklem sistemleri. Sadece orada kökler sayılardır ve burada fonksiyonlardır.

Bulunan cevap forma yazılır bir diferansiyel denklem sisteminin genel çözümü:

İÇİNDE kıvırcık parantez! Bu işlevler "tek bir donanımdadır."

Uzaktan kumanda sistemi için Cauchy problemini çözebilirsiniz, yani sistemin özel çözümü, verilen başlangıç ​​koşullarını karşılayan. Sistemin özel bir çözümü de süslü parantezlerle yazılmıştır.

Sistem aşağıdaki gibi daha kompakt bir şekilde yeniden yazılabilir:

Ancak geleneksel olarak türevlerin diferansiyellerle yazıldığı çözüm daha yaygındır, bu nedenle lütfen hemen aşağıdaki gösterime alışın:
ve – birinci dereceden türevler;
ve ikinci dereceden türevlerdir.

Örnek 1

Bir diferansiyel denklem sistemi için Cauchy problemini çözün başlangıç ​​koşullarıyla , .

Çözüm: Sorunlarda sistem çoğunlukla başlangıç ​​koşullarıyla karşılaşır, dolayısıyla hemen hemen tüm örnekler bu ders Cauchy problemi ile olacak. Ancak bu önemli değil, çünkü yol boyunca yine de genel bir çözüm bulunması gerekecek.

Sistemi çözelim eleme yoluyla. Yöntemin esasının sistemi tek bir diferansiyel denkleme indirgemek olduğunu hatırlatmama izin verin. Umarım diferansiyel denklemleri iyi çözersiniz.

Çözüm algoritması standarttır:

1) Al sistemin ikinci denklemi ve ondan şunu ifade ediyoruz:

Bu denklem Sona doğru bir çözüme ihtiyacımız olacak ve bunu bir yıldız işaretiyle işaretleyeceğim. Ders kitaplarında 500 notasyonla karşılaşıyorlar ve sonra "formül (253)'e göre ..." diyorlar ve 50 sayfa geride bu formülü arıyorlar. Kendimi tek bir işaretle (*) sınırlayacağım.

2) Ortaya çıkan denklemin her iki tarafının türevini alın:

"Vuruşlarla" süreç şöyle görünür:

Bu basit noktanın açık olması önemli; bunun üzerinde daha fazla durmayacağım.

3) yerine koyalım ve sistemin ilk denklemi:

Ve maksimum basitleştirmeler yapalım:

Sonuç en sıradan şey homojen ikinci dereceden denklem sabit katsayılarla. “Vuruşlarla” şu şekilde yazılır: .

– farklı gerçek kökler elde edilir, dolayısıyla:
.

Fonksiyonlardan biri yarı yolda bulundu.

Evet, lütfen "iyi" bir diskriminantla karakteristik bir denklem elde ettiğimizi unutmayın; bu, ikame ve basitleştirmelerde hiçbir şeyi karıştırmadığımız anlamına gelir.

4) Fonksiyona geçelim. Bunu yapmak için zaten bulunan işlevi alıyoruz ve türevini bulun. Şunlarla farklılaşıyoruz:

Hadi değiştirelim ve denkleme (*):

Veya kısaca:

5) Her iki fonksiyon da bulundu, sistemin genel çözümünü yazalım:

Cevap:özel çözüm:

Alınan cevabın kontrol edilmesi oldukça kolaydır; doğrulama üç adımda gerçekleştirilir:

1) Başlangıç ​​koşullarının gerçekten karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin:

Her iki başlangıç ​​koşulu da sağlanmıştır.

2) Bulunan cevabın sistemin ilk denklemini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.

Fonksiyonu cevaptan alıyoruz ve türevini bulun:

Hadi değiştirelim , Ve sistemin ilk denklemi:

Doğru eşitlik elde edilir, bu da bulunan cevabın sistemin ilk denklemini sağladığı anlamına gelir.

3) Cevabın sistemin ikinci denklemini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.

Yanıttan fonksiyonu alıp türevini buluyoruz:

Hadi değiştirelim , Ve sistemin ikinci denklemi:

Doğru eşitlik elde edilir, bu da bulunan cevabın sistemin ikinci denklemini sağladığı anlamına gelir.

Kontrol tamamlandı. Neler kontrol edildi? Başlangıç ​​koşullarının yerine getirildiği doğrulandı. Ve en önemlisi, bulunan özel çözümün olduğu gerçeği gösterilmiştir. tatmin eder herkese orijinal sistemin denklemi .

Benzer şekilde genel çözümü de kontrol edebilirsiniz. başlangıç ​​koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmeye gerek olmadığından kontrol daha da kısa olacaktır.

Şimdi çözülen sisteme dönelim ve birkaç soru soralım. Çözüm şu şekilde başladı: Sistemin ikinci denklemini aldık ve ondan ifade ettik. “X”i değil “Y”yi ifade etmek mümkün müydü? Eğer ifade edersek, o zaman bu bize hiçbir şey vermez. bu ifade sağda hem "Y" hem de "X" var, dolayısıyla değişkenden kurtulamayacağız ve sistemin çözümünü tek bir diferansiyel denklemin çözümüne indirgeyemeyeceğiz.

İkinci soru. Sistemin ikinciden değil ilk denkleminden çözmeye başlamak mümkün müydü? Olabilmek. Sistemin ilk denklemine bakalım: . İçinde iki "X" ve bir "Y" var, bu nedenle "Y"yi "X"e kadar tam olarak ifade etmek gerekiyor: . Sırada ilk türev var: . O zaman değiştirmelisin Ve sistemin ikinci denklemi. Çözüm tamamen eşdeğer olacaktır, tek farkı önce fonksiyonu sonra da bulmamızdır.

Ve sadece ikinci yöntem için bir örnek olacak bağımsız karar:

Örnek 2

Diferansiyel denklem sisteminin verilen başlangıç ​​koşullarını sağlayan özel bir çözümünü bulun.

Dersin sonunda verilen örnek çözümde ilk denklemden ifade edilmiştir. ve tüm dans bu ifadeden başlıyor. Örneğe bakmadan, kendiniz nokta nokta bir ayna çözümü yapmaya çalışın.

Ayrıca Örnek 1'in rotasına da gidebilirsiniz - ikinci denklemden, ifade edin (ifade edilmesi gerekenin “x” olduğuna dikkat edin). Ancak bu yöntem daha az rasyoneldir, çünkü sonunda bir kesir elde ettik ve bu da pek uygun değil.

Lineer homojen olmayan diferansiyel denklem sistemleri

Hemen hemen aynı, yalnızca çözüm biraz daha uzun olacaktır.

Çoğu durumda problemlerde karşılaşabileceğiniz homojen olmayan diferansiyel denklem sistemi aşağıdaki forma sahiptir:

Homojen bir sistemle karşılaştırıldığında her denkleme ek olarak “te”ye bağlı belirli bir fonksiyon eklenir. Fonksiyonlar sabitler (ve bunlardan en az biri sıfıra eşit değildir), üsteller, sinüsler, kosinüsler vb. olabilir.

Örnek 3

Verilen başlangıç ​​koşullarına karşılık gelen doğrusal diferansiyel denklemler sistemine özel bir çözüm bulun

Çözüm: Doğrusal homojen olmayan bir diferansiyel denklem sistemi verilmiştir; sabitler "katkı maddeleri" görevi görür. Kullanıyoruz eleme yöntemiçözüm algoritmasının kendisi tamamen korunur. Değişiklik olsun diye ilk denklemle başlayacağım.

1) Sistemin ilk denkleminden şunu ifade ediyoruz:

Bu önemli bir şey, o yüzden tekrar yıldız vereceğim. Parantezleri açmamak daha iyi; neden fazladan kesirler var?

Ve yine, ilk denklemde iki "X" ve bir sabit aracılığıyla ifade edilenin "Y" olduğuna dikkat edin.

2) Her iki tarafta da farklılaşın:

Sabitin türevinin sıfıra eşit olması nedeniyle sabit (üç) ortadan kaybolmuştur.

3) yerine koyalım Ve sistemin ikinci denklemine :

Değiştirmeden hemen sonra kesirlerden kurtulmanız tavsiye edilir; bunu yapmak için denklemin her bölümünü 5 ile çarparız:

Şimdi basitleştirmeler yapıyoruz:

Sonuç şuydu: doğrusal homojen olmayan ikinci dereceden denklem sabit katsayılarla. Aslında bu, önceki paragrafta tartışılan homojen denklem sisteminin çözümünden tüm farktır.

Not: Ancak homojen olmayan bir sistemde bazen homojen bir denklem elde edilebilir..

Karşılık gelen genel bir çözüm bulalım. homojen denklem:

Karakteristik denklemi oluşturup çözelim:

– konjuge karmaşık kökler, Bu yüzden:
.

Karakteristik denklemin kökleri yine “iyi” çıktı, bu da doğru yolda olduğumuz anlamına geliyor.

Formdaki homojen olmayan denkleme özel bir çözüm arıyoruz.
Birinci ve ikinci türevleri bulalım:

yerine koyalım sol taraf homojen olmayan denklem:

Böylece:

Belirli bir çözümün sözlü olarak kolayca seçilebileceğine ve uzun hesaplamalar yerine şunu yazmanın oldukça kabul edilebilir olduğuna dikkat edilmelidir: "Homojen olmayan denklemin belirli bir çözümünün olduğu açıktır: ."

Sonuç olarak:

4) Bir işlev arıyoruz. Öncelikle zaten bulunan fonksiyonun türevini buluyoruz:

Pek hoş değil ama bu tür türevler genellikle difüzörlerde bulunur.

Fırtına tüm hızıyla devam ediyor ve şimdi dokuzuncu bir dalga olacak. Kendinizi bir iple güverteye bağlayın.

Hadi değiştirelim
ve denkleme (*):

5) Sistemin genel çözümü:

6) Başlangıç ​​koşullarına karşılık gelen özel bir çözüm bulun :

Son olarak özel bir çözüm:

Hikayenin ne olduğunu görüyorsunuz mutlu son Artık yumuşak güneşin altında sakin denizde teknelerle korkusuzca yelken açabilirsiniz.

Cevap:özel çözüm:

Bu arada, bu sistemi ikinci denklemden çözmeye başlarsanız hesaplamalar çok daha basit olacaktır (deneyebilirsiniz), ancak birçok site ziyaretçisi daha zor şeyleri analiz etmek istedi. Nasıl reddedebilirsin? =) Daha ciddi örnekler olsun.

Kendi başınıza çözmeniz daha kolay bir örnek:

Örnek 4

Verilen başlangıç ​​koşullarına karşılık gelen doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemler sistemine özel bir çözüm bulun

Bu görevÖrnek 1'deki örneğe göre benim tarafımdan çözüldü, yani ikinci denklemden “x” ifade ediliyor. Çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Ele alınan örneklerde farklı gösterimler kullanmam tesadüf değildi; farklı yollarçözümler. Yani örneğin aynı görevdeki türevler üç şekilde yazılmıştır: . İÇİNDE yüksek matematik Herhangi bir dalgalı çizgiden korkmanıza gerek yok, asıl önemli olan çözüm algoritmasını anlamaktır.

Karakteristik denklem yöntemi(Eulerian yöntemi)

Makalenin başında belirtildiği gibi, karakteristik bir denklem kullanarak bir diferansiyel denklem sisteminin çözülmesi nadiren gerekli olur, bu nedenle son paragrafta sadece bir örneği ele alacağım.

Örnek 5

Doğrusal homojen bir diferansiyel denklem sistemi verildiğinde

Karakteristik denklemi kullanarak bir denklem sistemine genel bir çözüm bulun

Çözüm: Denklem sistemine bakıyoruz ve ikinci dereceden bir determinant oluşturuyoruz:

Determinantın hangi prensipte derlendiğini sanırım herkes görebilir.

Bunun için üzerinde yer alan her sayıdan karakteristik bir denklem oluşturalım. ana diyagonal, bazı parametreleri çıkarın:

Temiz bir kopyaya elbette hemen karakteristik denklemi yazmalısınız; ayrıntılı olarak adım adım açıklıyorum ki neyin nereden geldiği belli olsun.

Determinantı genişletiyoruz:

Ve kökleri buluyoruz ikinci dereceden denklem:

Karakteristik denklem varsa iki farklı gerçek kök, o zaman diferansiyel denklem sisteminin genel çözümü şu şekildedir:

Üslerdeki katsayıları zaten biliyoruz, geriye kalan tek şey katsayıları bulmak

1) Kökü düşünün ve onu karakteristik denklemde değiştirin:

(Ayrıca bu iki belirleyiciyi boş kağıda yazmanıza gerek yok, hemen aşağıdaki sistemi sözlü olarak oluşturun)

Determinantın sayılarından iki kişilik bir sistem oluşturuyoruz doğrusal denklemler iki bilinmeyenli:

Her iki denklemden de aynı eşitlik çıkar:

Şimdi seçmeniz gerekiyor en az value , öyle ki değer bir tamsayı olacaktır. Açıkçası, ayarlamanız gerekir. Ve eğer öyleyse

Homojen olmayan bir sistemin genel çözümü, homojen bir sistemin genel çözümü ile homojen olmayan bir sistemin bazı özel çözümlerinin toplamıdır.

Homojen olmayan bir sisteme genel bir çözüm bulmak için, keyfi sabitlerin değişimine ilişkin Lagrange yöntemini uygulayabilirsiniz.

Şeklindeki sıradan diferansiyel denklemlerin doğrusal homojen bir sistemini ele alalım.

hangisinde vektör formuşeklinde yazılmış

Matris Φ , sütunları homojen bir denklemin n adet doğrusal bağımsız Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) çözümüdür. doğrusal sistem Y" = A(x)Y'ye sistemin temel çözüm matrisi denir:

Homojen doğrusal sistemin Y" = A(x)Y çözümlerinin temel matrisi aşağıdaki koşulları karşılar: matris denklemiΦ" = A(x)Φ.

Doğrusal bağımsız Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) çözümlerinin Wronski determinantının sıfırdan farklı olduğunu hatırlayın.

N'inci dereceden diferansiyel denklemlerden oluşan doğrusal bir sistem düşünün:

Doğrusal bir sistemin x = φ(t) çözümlerinin her biri t ≥ t0 için Lyapunov kararlı ise t ≥ t0 için Lyapunov kararlıdır.

Doğrusal bir sistem, x = φ(t) çözümlerinin her biri t → ∞ kadar Lyapunov kararlı ise, t → ∞ olarak asimptotik olarak Lyapunov kararlıdır.

Doğrusal bir sistemin çözümlerinin ya tümü aynı anda kararlıdır ya da tümü kararsızdır. Aşağıdaki ifadeler doğrudur.

Doğrusal bir diferansiyel denklem sisteminin çözümlerinin kararlılığı üzerine teorem. Homojen olmayan doğrusal sistemde x" = A(t)x + b(t) A(t) matrisi ve b(t) vektör fonksiyonu ) aralığında sürekli olsun