Bir kare matrisin karekökünü çıkarmak için bir program. Matris hesaplayıcı çevrimiçi

1) İlk önce gerçek matrisleri ele alalım. Kökün $%A$% matrisinden çıkarıldığını varsayalım, yani. $%B \cdot B=A$% şeklinde bir $%B$% matrisi var. Ayrıca $%B$% matrisinin köşegen forma indirgenebileceğini varsayalım; $%S^(-1)BS=B"$% şeklinde bir $%S$% matrisi vardır; burada $%B"$% köşegen bir matristir. $%B"B"=S^(-1)BSS^(-1)BS=S^(-1)BBS=S^(-1)AS$% eşitliklerinden $%A"=S sonucu çıkar ^ (-1)AS$% aynı zamanda köşegen bir matristir, yani $%A$% ve $%B$% matrisleri aynı dönüşümle köşegen forma indirgenir. özdeğerler gölgelenmemişse, yukarıdaki akıl yürütmeden aşağıdaki sonuçlar çıkar.
1.1)Eğer $%A$% matrisi simetrik pozitif tanımlı bir matris ise, o zaman kök bundan gerçek bir matris biçiminde çıkarılır.
1.2) Böyle bir matrisin kökünü hesaplamak için algoritma şu şekildedir: özdeğer problemini çözün, özdeğerlerden kökleri çıkarın, onlardan köşegen bir matris oluşturun, ona matrisi dönüştüren dönüşümün tersi bir dönüşüm uygulayın $%A$%'yi köşegen forma dönüştürün.
1.3) Farklı matrislerin sayısı $%B$% eşittir $%2^n$%, çünkü Her özdeğer için pozitif ve negatif olmak üzere 2 kök değer vardır.

2) Karmaşık bir matris için, simetriyi üniterlikle değiştirirsek, akıl yürütme geçerli kalacaktır. Pozitif kesinlik şartı doğal olarak ortadan kalkacaktır.

3) Genel durum için çözüm.$%S$% dönüşümünün $%B$% matrisini köşegen değil üst üçgen biçimine getirdiğini varsayalım; $%B"$% matrisi üst üçgendir. Böyle bir dönüşüm herhangi bir şey için mevcuttur kare matris. $%A"$% matrisinin de üst üçgen olacağını ve $%A"$% matrisinin köşegen elemanlarının, $% matrisinin karşılık gelen köşegen elemanlarının kareleri olacağını doğrulamak kolaydır. B"$%. Bu, $%A"$% matrisinin köşegen elemanlarının kökünü çıkararak $ %B"$% matrisinin tüm köşegen elemanlarını bulmamızı ve ardından zincir boyunca diğer tüm elemanları bulmamızı sağlar. $%B"$% matrisinin elemanları. Bu, aşağıdaki sonuçlara yol açmaktadır.
3.1) Kök herhangi bir karmaşık matristen çıkarılır. genel durum bu tür kökler $%2^n$%'dir, ancak bunların arasında çakışan (birden fazla) kökler olabilir.
3.2) Kökleri hesaplama algoritması şu şekildedir: $%A$% matrisini üst üçgen forma dönüştürün, formüle edilmiş algoritmayı kullanarak $%B"$% matrisini bulun ve ters dönüşümü yapın.
3.3) Gerekli ve yeterli koşul gerçek bir matrisin köklerinin gerçekliği, matrisin üçgen forma dönüştürülmesinden sonra köşegen elemanlarının negatif olmamasıdır. Determinantın negatif olmaması gerekli ancak yeterli olmayan bir durumdur.

Ek 1 (yoruma cevap). "Üçgen bir görünüme" demek istedin. Genel olarak paragraflarda. 1, 2, her şey kesinlikle açık, ancak görünüşe göre 3. noktanın biraz daha düşünülmesi gerekiyor. Mesele şu ki, Gauss yöntemi $%S^(-1)AS$% dönüşümüne indirgenemeyebilir ve kanıt buna dayanmaktadır. Onlar. kanıt yalnızca $%S^(-1)AS$% dönüşümüyle üçgen forma indirgenebilen matrisler için geçerlidir.

Ek 2. Görünüşe göre paragraf 3'te genel olarak her şey doğru, sadece $%A$% matrisinin Jordan formuna dönüşümünü kullanmanız gerekiyor - bu dönüşüm için her zaman özdeğer probleminin çözülmesinden elde edilen bir matris vardır. Sorun, Jordan matrisinin karesinin Jordan matrisi olmamasıdır (her ne kadar üçgen ve hatta iki köşegen olsa da). Algoritmanın kesin bir gerekçesi, aşağıdaki teoremin kanıtını gerektirir: “Eğer $%A"=B"^2$% ve $%A"$% bir Jordan matrisi ise, o zaman $%B"$%- üçgen matris". İfade doğru görünüyor, ancak bunu nasıl kanıtlayacağımı henüz bilmiyorum.

Matris kullanma çevrimiçi hesap makinesi yapabilir misin katlamak, çıkarma, çarpmak, devrik matrisler, hesapla tersi matris, sözde ters matris, rütbe matrisler, belirleyici matris, matrisin m-normu ve l-normu, matrisi güce yükselt, matrisi sayıyla çarpma, Yapmak iskelet ayrışması matrisler, bir matristen doğrusal olarak bağımlı satırları kaldırın veya doğrusal bağımlı sütunlar, yönetmek Gauss dışlama, AX=B matris denklemini çöz, bir matrisin LU ayrıştırmasını yapın,bir matrisin çekirdeğini (sıfır uzayı) hesaplamak, Yapmak Gram-Schmidt ortogonalizasyonu ve Gram-Schmidt ortonormalizasyonu.

Çevrimiçi matris hesaplayıcısı yalnızca ondalık sayılarla değil aynı zamanda kesirlerle de çalışır. Kesirleri girmek için orijinal matrisleri girmeniz ve forma sayıları girmeniz gerekir. A veya A/B, Nerede A Ve B bütün veya ondalık sayılar (B pozitif sayı). Örneğin 12/67, -67,78/7,54, 327,6, -565.

Matrisin sol üst köşesindeki düğme, orijinal matrisi dönüştürmek (bir kimlik matrisi, sıfır matrisi oluşturmak veya hücrelerin içeriğini temizlemek) için bir menüyü (Şekil 1) açar.

Hesaplamalar sırasında boş bir hücre sıfır olarak kabul edilir.

Tek matris işlemleri için (ör. devrik, ters, sözde ters, iskelet ayrıştırma vb.), önce radyo düğmesini kullanarak belirli bir matris seçin.

Fn1, Fn2 ve Fn3 düğmeleri değişir farklı gruplar işlevler.

Hesaplanan matrislere tıkladığınızda yazmanıza olanak tanıyan bir menü açılır (Şekil 2). bu matris orijinal matrislere ve ayrıca matris elemanlarını yerinde dönüştürün ortak kesir, karışık fraksiyon veya ondalık bir sayıya.

Matrislerin toplamını, farkını ve çarpımını çevrimiçi hesaplayın

matrislerin toplamı, farkı veya çarpımı. Matrislerin toplamını veya farkını hesaplamak için aynı boyutta olmaları, matrislerin çarpımını hesaplamak için ise birinci matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına eşit olması gerekir.

Matrislerin toplamını, farkını veya çarpımını hesaplamak için:

Çevrimiçi matris ters hesaplaması

Ters matrisi hesaplamak için çevrimiçi bir matris hesaplayıcı kullanılabilir. Ters bir matrisin var olabilmesi için orijinal matrisin tekil olmayan bir kare matris olması gerekir.

Ters matrisi hesaplamak için:

İçin detaylı hesaplama Ters matrisi adım adım hesaplamak için bu hesap makinesini kullanarak ters matrisi hesaplayın. Ters matrisi hesaplama teorisine bakın.

Bir matrisin determinantını çevrimiçi hesaplayın

Bir matrisin determinantını hesaplamak için çevrimiçi bir matris hesaplayıcı kullanabilirsiniz. Bir matris determinantının var olabilmesi için orijinal matrisin tekil olmayan bir kare matris olması gerekir.

Bir matrisin determinantını hesaplamak için:

Bir matrisin determinantının adım adım ayrıntılı bir hesaplaması için, bir matrisin determinantını hesaplamak üzere bu hesap makinesini kullanın. Bir matrisin determinantını hesaplama teorisine bakın.

Matris sıralamasını çevrimiçi hesaplayın

Bir matrisin sırasını hesaplamak için çevrimiçi bir matris hesaplayıcı kullanılabilir.

Bir matrisin rütbesini hesaplamak için:

Matris sıralamasını adım adım ayrıntılı olarak hesaplamak için bu matris sıralaması hesaplayıcısını kullanın. Bir matrisin rütbesini hesaplama teorisine bakın.

Çevrimiçi sözde ters matris hesaplaması

Sahte ters matrisi hesaplamak için çevrimiçi bir matris hesaplayıcı kullanılabilir. Belirli bir matrisin sözde tersi her zaman mevcuttur.

Sahte ters matrisi hesaplamak için:

Doğrusal bağımlı matris satırlarını veya sütunlarını çevrimiçi olarak kaldırma

Çevrimiçi matris hesaplayıcı, bir matristen doğrusal olarak bağımlı satırları veya sütunları kaldırmanıza olanak tanır; tam sıralı bir matris oluşturun.

Bir matrisin doğrusal bağımlı satırlarını veya sütunlarını kaldırmak için:

Çevrimiçi iskelet matrisi ayrıştırması

İskelet matrisi ayrıştırmasını çevrimiçi gerçekleştirmek için

Bir matris denklemini veya AX=B doğrusal denklem sistemini çevrimiçi çözme

Çevrimiçi bir matris hesaplayıcı kullanarak AX=B matris denklemini X matrisine göre çözebilirsiniz. Özel durumda, B matrisi bir sütun vektörü ise, X sistemin bir çözümü olacaktır. doğrusal denklemler AX=B.

Matris denklemini çözmek için:

Matrislerin ve satırlarının eşit sayıda olması gerektiğini lütfen unutmayın.

Gauss eliminasyonu veya bir matrisin çevrimiçi olarak üçgen (adım) forma indirgenmesi

Çevrimiçi matris hesaplayıcı, herhangi bir değerdeki hem kare matrisler hem de dikdörtgen matrisler için Gauss elemesini gerçekleştirir. İlk gerçekleştirilen normal yöntem Gauss. Eğer bir aşamada öncü unsur sıfıra eşit, daha sonra sütundaki en büyük öncü elemanın seçilmesiyle Gauss eliminasyonu için başka bir seçenek seçilir.

Gaussian'ı ortadan kaldırmak veya matrisi üçgen forma indirgemek için

Çevrimiçi bir matrisin LU ayrıştırması veya LUP ayrıştırması

Bu matris hesaplayıcı, bir matrisin LU ayrıştırmasını (A=LU) veya bir matrisin LUP ayrıştırmasını (PA=LU) gerçekleştirmenizi sağlar; burada L bir alt üçgen matris, U bir üst üçgen (yamuk) matris, P ise bir matristir. permütasyon matrisi. İlk olarak program LU ayrıştırmasını gerçekleştirir, yani. P=E'nin olduğu böyle bir ayrıştırma, burada E birim matristir (yani PA=EA=A). Bu mümkün değilse LUP ayrıştırması gerçekleştirilir. Matris A herhangi bir değerde kare veya dikdörtgen bir matris olabilir.

LU(LUP) ayrıştırması için:

Çevrimiçi bir matrisin çekirdeğini (sıfır uzayı) oluşturma

Bir matris hesaplayıcı kullanarak bir matrisin sıfır uzayını (çekirdeği) oluşturabilirsiniz.

Matrisin sıfır uzayını (çekirdeği) oluşturmak.

>Herkese merhaba!!! Ölçeklendirme faktörlerini bilmeden bir matristen ölçeklendirmeyi kaldırabileceğiniz bir formül var mı?

Kutupsal ayrışmayı hemen hatırladık. M matrisi O * P olarak temsil edilir. Burada O diktir ve P pozitif tanımlı, simetriktir; yani bir sıkıştırma veya genişleme matrisidir. Burada O matrisini alacağız.

Soru ortaya çıkıyor. Ve diğer tarafta M'yi genişletirsek P' * O' elde ederiz. Farklı a priori matrislerle farklı bir sırayla ayrıştırma. Neden O' almıyorsun? Öğrencileri bu konuda nasıl başarısızlığa uğrattığımı hatırlayana kadar beş dakika kadar bu soruyla uğraştım. O' matrisi aslında O matrisine denk geliyor. Üniversiteden yeni mezun olduysanız veya hala okuyorsanız, bu gerçeği kanıtlamaya bile çalışabilirsiniz.

Yani kutupsal genişleme:

Olumlu bulmak için karekök matristen pozitif bilim Kendi numaralarınızı hesaplamanız istenir. Herkes için kendi numarası kendi alt uzayınızı bulun, ardından operatörün gerçek karekökünü dikkatlice üretin.

Özdeşliğe yakın bir matris için ne olacağını hayal ederken ürperdim. Şamandıranın yanlışlıkları nedeniyle her şey ölecek, matrislerin sıraları düşecek - tam bir çöküşün gerçekleşeceğine söz veriyor.

Asil papazlar neden ilahi olduğu bilinen tekrarları denemiyorlar?

Burada bir sayının kökü Newton yöntemi kullanılarak bulunur. Sıra a_(i+1) = 0,5 * (a_i + x / a_i); gururla x'in kareköküne yakınsar. Test olarak birisinin mat3x3 ile ilgili kütüphanesini aldım ve bir matris analogunu perçinledim.

Newton yönteminin doğrudan bir benzeri, 3-4 yinelemede hızlı bir şekilde birleşir, testler şu şekilde geçer: hafif esinti. Bu, matrisler için kutupsal bir ayrışmayla sonuçlanır; algoritmanın performansı temel düzeyden açıktır; spektral teori operatörler. Yarım saat beynimi gıcırdattıktan sonra bariz bir şekilde belli oldu.

Böylece kutupsal ayrışmayı bulduk. Soru şu: neden? Ve burada raporumun asıl noktasına geçmek zorunda kalıyorum. Öğretmenlik kötüdür. Spektral operatör teorisini hatırlamak için harcadığınız zaman başarıyla boşa gitti.

Ölçek Kesme Döndürme ayrıştırması bir seferde aranır. Matrise dikleştirme ve ortonormalleştirme işlemlerini uyguluyoruz. Sütunlara göre. Mükemmel bir matris elde ediyoruz. Peki sonuç neden daha kötü olacak? Hiç bir şey!

Aynı Ölçek Kesme Döndürme ayrışmasını hesaplayan Pascal'da kod içeren bir yazı gördüm ve aniden kutupsal ayrışma için hiçbir argümanım olmadığını fark ettim. Bu da kim bilir ne tür bir bilgisayar teknolojisi gerektirir.

Elbette ufak tefek itirazlar, neredeyse tartışma var. Örneğin, teğet uzayını ortonormal olarak düşünmek daha kolaydır. Hesaplama açısından daha basit. Genellikle dPosition/du'yu normal olarak kabul ederiz ve üçüncü vektör bu çifte dik olarak alınır. Yöntemin doku koordinatlarına göre asimetrik olduğu açıktır; hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğu tamamen belirsizdir. Polar ayrıştırmayı yerel dönüşüm matrisine uygulamak doğru görünmektedir.

"Doğru" kutupsal ayrıştırma ile "yanlış" sütun dikleştirme işlemi arasındaki farkı fark edebilirsiniz. Muhtemelen fark etmeyeceksiniz. Ve resim kesinlikle daha iyi olmayacak.

Not: Animasyonları Ölçek Kesme Döndürme'de depolamak da çok güzel. Üç vektör, bir kuaterniyon. Kesme neredeyse her zaman 0'dır, Ölçek neredeyse her zaman 1'dir, sabit izler atılabilir. Sabit olmayan izlerin olduğu yerde, şablonu özelleştirerek onu sıkıştırmanın bir yolu var. Veya başka bir şey.

Talimatlar. Çevrimiçi çözmek için denklem türünü seçmeniz ve karşılık gelen matrislerin boyutunu ayarlamanız gerekir.

Örnek No.1. Egzersiz yapmak. Matris denkleminin çözümünü bulun
Çözüm. Şunu belirtelim:
Daha sonra matris denklemi şu şekilde yazılacaktır: A·X·B = C.
A matrisinin determinantı detA=-1'e eşittir
A olmadığından tekil matris, o zaman bir ters A-1 matrisi vardır. Soldaki denklemin her iki tarafını A -1 ile çarpın: Bu denklemin soldaki her iki tarafını A -1 ve sağdaki B -1 ile çarpın: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B-1 . A A -1 = B B -1 = E ve E X = X E = X olduğundan, X = A -1 C B -1

Ters matris C-1:
Ters B-1 matrisini bulalım.
Transpoze matris B T:
Ters matris B -1:
X matrisini şu formülü kullanarak ararız: X = A -1 ·C·B -1

Cevap:

Örnek No.2. Egzersiz yapmak. Matris denklemini çöz
Çözüm. Şunu belirtelim:
Daha sonra matris denklemi şu şekilde yazılacaktır: A·X = B.
A matrisinin determinantı detA=0'dır
A tekil bir matris olduğundan (determinantı 0 olduğundan) denklemin çözümü yoktur.

Örnek No. 3. Egzersiz yapmak. Matris denkleminin çözümünü bulun
Çözüm. Şunu belirtelim:
Daha sonra matris denklemi şu şekilde yazılacaktır: X A = B.
A matrisinin determinantı detA=-60'tır
A tekil olmayan bir matris olduğundan, ters bir A-1 matrisi vardır. Sağdaki denklemin her iki tarafını da A -1 ile çarpalım: X A A -1 = B A -1, buradan X = B A -1 sonucunu buluruz
A-1 ters matrisini bulalım.
Transpoze matris A T:
Ters matris A -1:
Aşağıdaki formülü kullanarak X matrisini arıyoruz: X = B A -1


Cevap: >