1. Bir matris verilirse, karakteristik (laik) denklemi şu şekilde yazılır:
. (81)
Bu denklemin sol tarafında derecenin karakteristik bir polinomu vardır. Bu polinomun katsayılarını doğrudan hesaplamak için karakteristik determinantı ortaya çıkarmak gerekir ve büyük olanlar için bu, determinantın köşegen elemanlarına dahil edildiğinden büyük miktarda hesaplama çalışması gerektirir.
Akademisyen A. N. Krylov, 1937'de karakteristik belirleyicinin bir dönüşümünü önerdi, bunun sonucunda yalnızca bir sütunun (veya satırın) elemanlarına girdi. Krylov dönüşümü, karakteristik denklemin katsayılarının hesaplanmasını önemli ölçüde basitleştirir.
Bu bölümde, dönüştürülmüş karakteristik denklemin, Krylov'un kendisinin türetilmesinden biraz farklı olarak cebirsel bir türetilmesini vereceğiz.
Bir tabanı olan boyutlu bir vektör uzayını ve bu temel altında belirli bir matris tarafından tanımlanan doğrusal bir operatörü dikkate alalım. Rastgele bir vektör seçip bir dizi vektör oluşturalım
Bu serinin ilk vektörleri olsun 
doğrusal olarak bağımsızdır ve inci vektör, bu vektörlerin doğrusal bir birleşimidir:
Serinin (82) tüm diğer vektörleri de bu serinin ilk vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir. Böylece (82) serisinde doğrusal olarak var bağımsız vektörler ve serinin (82) doğrusal bağımsız vektörlerinin bu maksimum sayısı her zaman serinin ilk vektörleri üzerinde gerçekleştirilebilir.
Bir polinom, bir vektörün bir operatöre göre minimal (iptal eden) polinomudur (bkz. § 1). A. N. Krylov'un yöntemi, bir vektörün minimum polinomunu etkili bir şekilde belirlemeye yönelik bir yöntemdir.
İki durumu ayrı ayrı ele alacağız: normal durum When ve özel durum When.
Bir polinom, tüm uzayın minimal polinomunun bir böleni ve dolayısıyla bir bölendir. karakteristik polinom. Bu nedenle her zaman bölendir.
Normal durumda, dereceleri aynı olduğundan ve baş katsayıları eşit olduğundan bu polinomlar çakışır. Böylece normal durumda
,
ve bu nedenle normal durumda Krylov yöntemi, karakteristik polinomun katsayılarını hesaplamak için bir yöntemdir.
İÇİNDE özel durum Aşağıda göreceğimiz gibi Krylov yöntemi belirlemeyi mümkün kılmaz ve bu durumda yalnızca bölen olan polinomu belirler.
Krylov dönüşümünü sunarken, belirli bir tabandaki vektörün koordinatlarını ve vektörün koordinatlarını ile göstereceğiz.
2. Normal durum: . Bu durumda vektörler doğrusal olarak bağımsızdır ve eşitlikler (83), (84), (85) formunu alır.
Vektörlerin zambak bağımsızlığının koşulu analitik olarak aşağıdaki gibi yazılabilir (bkz. Bölüm III, § 1):
. (89)
Vektör koordinatlarından oluşan bir matris düşünün:
. (90)
Normal durumda bu matrisin rütbesi eşittir. Bu matrisin ilk satırları doğrusal olarak bağımsızdır ve son i satırı öncekilerin doğrusal birleşimidir.
Matrisin (90) satırları arasındaki bağımlılığı, vektör eşitliğini (86) eşdeğer bir skaler eşitlik sistemiyle değiştirerek elde ederiz.
(91)
Bu doğrusal denklem sisteminden gerekli katsayıları benzersiz bir şekilde belirleyebilir ve elde edilen değerleri (88)'de yerine koyabiliriz. (88) ve (91)'in bu istisnası simetrik biçimde gerçekleştirilebilir. Bunu yapmak için (88) ve (91)'i aşağıdaki gibi yeniden yazarız:
Bu bilinmeyenli denklem sisteminin sıfırdan farklı bir çözümü olduğundan, bu sistemin determinantının sıfıra eşit olması gerekir:
. (92)
Buradan, determinantı (92) ana köşegene göre daha önce yer değiştirdikten sonra belirleriz:
, (93)
burada sabit faktör formül (89) ile belirlenir ve sıfırdan farklıdır.
Kimlik (93) Krylov dönüşümüdür. Bu özdeşliğin sağ tarafında yer alan Krylov determinantında ise yalnızca son sütunun elemanlarında yer alır; Bu belirleyicinin geri kalan unsurlarına bağlı değildir.
Yorum. Normal durumda, uzayın tamamı döngüseldir (operatöre göre). Temel olarak vektörleri seçersek, bu temelde operatör doğal bir matrise karşılık gelir. normal şekil
. (94)
Ana temelden temele geçiş, özel olmayan bir dönüşüm matrisi kullanılarak gerçekleştirilir.
. (95)
3. Özel durum: . Bu durumda vektörler doğrusal olarak bağımlıdır ve dolayısıyla
.
Eşitlik (93) koşulu altında elde edildi. Ancak bu eşitliğin her iki tarafı da bir bütündür rasyonel fonksiyonlar ve parametreler. Bu nedenle “süreklilik hususlarından” eşitliğin (93) için de geçerli olduğu sonucu çıkar. Ancak Krylov determinantında (93), genişletildikten sonra tüm katsayılar sıfıra eşit olacaktır. Böylece, özel bir durumda formül (93) önemsiz özdeşlik haline gelir.
Vektör koordinatlarından oluşan bir matris düşünün
. (97)
Bu matrisin bir sıralaması vardır ve içindeki ilk satırlar doğrusal olarak bağımsızdır, son satır ise ilk satırların katsayılarla doğrusal birleşimidir 
[santimetre. (83)]. Koordinatlardan öyle koordinatlar seçebiliriz ki determinant bu vektör koordinatlarından oluşur. , sıfırdan farklıydı:
. (98)
(99)
Bu denklem sisteminden polinomun katsayıları (vektörün minimum polinomu) benzersiz bir şekilde belirlenir. Normal duruma oldukça benzer şekilde (yalnızca ve ile değiştirilen harflerle), (85) ve (99)'u hariç tutabilir ve aşağıdaki formülü elde edebiliriz:
. (100)
4. Normal durumun hangi matrisler için ve hangi başlangıç vektörü seçimiyle veya aynı şekilde hangi başlangıç parametreleri seçimi ile oluştuğu sorusunu açıklığa kavuşturmaya devam edelim.
Bunu zaten normal durumda gördük.
.
Karakteristik polinomun minimal polinomla çakışması, matrisin aynı karakteristik sayıya sahip iki temel bölenin olmadığı anlamına gelir, yani tüm temel bölenler ikili olarak eş asaldır. Basit yapıya sahip bir matris olması durumunda, bu gereklilik şu koşula eşdeğerdir: karakteristik denklem matrisin birden fazla kökü yoktur.
Polinomun çakışması, vektör olarak seçilen vektörün tüm uzayı (operatör kullanılarak) üreten bir vektör olduğu anlamına gelir. Teorem 2 § 2'ye göre böyle bir vektör her zaman mevcuttur.
Koşul karşılanmazsa, vektörü nasıl seçersek seçelim, bir polinom elde edemeyiz, çünkü Krylov yöntemiyle elde edilen polinom, söz konusu durumda polinomla çakışmayan, ancak bir bölendir. yalnızca böleni. Vektörü değiştirerek herhangi bir böleni değer olarak elde edebiliriz.
Elde edilen sonuçları aşağıdaki teorem şeklinde formüle edebiliriz:
Teorem 14. Krylov dönüşümü, matrisin karakteristik polinomu için determinant (93) formunda ancak ve ancak iki koşulun karşılanması durumunda bir ifade verir:
1. Bir matrisin temel bölenleri eş asaldır.
2. Başlangıç parametreleri, tüm boyutlu uzayı (matrise karşılık gelen operatörü kullanarak) üreten vektörün koordinatlarıdır.
Genel durumda, Krylov dönüşümü karakteristik polinomun belirli bir bölenine yol açar. Bu bölen, koordinatları olan bir vektör için minimal bir polinomdur ( – Krylov dönüşümündeki başlangıç parametreleri).
5. Koordinatları nasıl bulacağınızı göstereceğiz özvektör Krylov yöntemi kullanılarak elde edilen bir polinomun kökü olan herhangi bir karakteristik sayı için.
Formdaki vektörü arayacağız
Bu ifadeyi vektör eşitliğinde yerine koymak
ve (101)'i kullanarak şunu elde ederiz:
Bu arada buradan şu sonuç çıkıyor, çünkü (102)'ye göre eşitlik şunu verir: doğrusal bağımlılık vektörler arasında . Geleceğe inanıyoruz. Daha sonra (102)'den şunu elde ederiz:
Bu eşitliklerden ilki bizim için sırasıyla büyüklükleri (“yeni” temelde vektörün koordinatlarını) belirler. ); son eşitlik öncekilerin ve ilişkinin bir sonucudur 
.
Vektörün orijinal esastaki koordinatları (101)'den gelen aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:
(104)
Bu matrisin altına vektörün koordinatlarından bir doğru yazıyoruz. Bu sayıları keyfi olarak atarız (tek bir kısıtlamayla: bu sayılardan en az biri sıfırdan farklıdır). Çizginin altına çizgiyi, yani vektörün koordinatlarını yazıyoruz. Sayılar, bir satırın belirli bir matrisin satırlarıyla ardışık olarak çarpılmasıyla elde edilir. Yani, örneğin, vb. Satırın altına satırı vb. Yazıyoruz. İkinciden başlayarak atanan satırların her biri, önceki satırın bu matrisin satırlarıyla sırayla çarpılmasıyla belirlenir.
Bu matrisin satırlarının üstüne bir kontrol toplamı satırı yazıyoruz
.
Bu durumda düzenli bir vakamız var, çünkü
.
Krylov determinantı şu şekle sahiptir:
.
Bu determinantı genişleterek ve azaltarak şunu buluruz:
Karakteristik sayıya karşılık gelen matrisin özvektörü ile gösterelim. Sayıları formülleri (103) kullanarak buluyoruz:
,
, 
, 
.
Kontrol eşitliği elbette sağlanmıştır.
Ortaya çıkan sayıları vektörler sütununa paralel dikey bir sütuna yerleştiriyoruz 
. Sütunları sütunlarla çarparak vektörün orijinal temelindeki ilk koordinatını elde ederiz; benzer şekilde elde ederiz. Vektörün koordinatlarını (4 azaltıldıktan sonra) bulun. Benzer şekilde karakteristik sayının özvektörünün koordinatlarını da belirliyoruz.
, (105)
öncekilerin doğrusal bir kombinasyonu olan ilk [üstten] satırda durmak için ortaya çıkan matrisin sıralamasını izlemeniz gerekir. Sıralamayı belirlemek, bilinen belirleyicilerin hesaplanmasını içerir. Ek olarak, Krylov determinantını (93) veya (100) formunda aldıktan sonra, onu son sütunun elemanlarından genişletmek için, bilinen sayıdaki determinantı hesaplamak gerekir. emir].
Krylov determinantını ortaya çıkarmak yerine, katsayılar doğrudan denklem sisteminden (91) [veya (99)] belirlenebilir ve bu sisteme bazı etkili çözüm yöntemleri, örneğin eleme yöntemi uygulanarak belirlenebilir. Bu yöntem doğrudan matrise uygulanabilir.
Elemanları sıfıra çeviriyoruz - bu matrisin dönüşümden sonraki ilk satırı forma sahip olacak (orijinal satır değil) 
) bu matrisin satırlarına.
Daha sonra formdaki inci satırı bulacağız
ve önceki satırları çıkardıktan sonra şunu elde ederiz:
.
Krylov yönteminde önerdiğimiz küçük değişiklik (bunu yok etme yöntemiyle birleştirerek), herhangi bir determinant hesaplamadan ve yardımcı denklem sistemini çözmeden ilgilendiğimiz polinomu [normal durum] hemen elde etmemize olanak tanır.
Akademisyen A.N. Krylov, 1931'de belirleyiciyi ortaya çıkarmak için oldukça uygun bir yöntem öneren ilk kişilerden biriydi (2).
A.N Krylov'un yönteminin özü, determinant D()'yi forma dönüştürmektir.
D() determinantının sıfıra eşitliği gereklidir ve yeterli koşul için homojen sistem doğrusal cebirsel denklemler
sıfırdan farklı bir x1, x2, ..., xn çözümü vardı.
(2) sistemini aşağıdaki gibi dönüştürelim. İlk denklemi ile çarpalım ve x1,...,xn'yi (2)'den x1,..., xn'ye kadar olan ifadelerle değiştirelim.
Bu işlemi (n-1) kez tekrarlayarak (2) numaralı sistemden sisteme geçeceğiz.
katsayıları yinelenen formüllerle belirlenecek
Açıkçası, sistem (5)'in determinantı (1) formuna sahip olacaktır.
Doğrusal cebirsel denklemler sistemi (5), D()=0 denklemini karşılayan tüm değerler için sıfır olmayan bir çözüme sahiptir. Dolayısıyla, D()=0 denklemini sağlayan her şey için D1()=0.
Hadi bunu gösterelim
D()'nin tüm kökleri farklı olsun. D()'nin tüm kökleri D1()'in kökleri olduğundan, D1(), D()'ye bölünür. Ayrıca D1() ve D()'nin kuvvetleri aynı olduğundan bölümün sabit olması gerekir. n'nin katsayılarını karşılaştırarak şunu elde ederiz:
D()'nin birden fazla kökü varsa eşitlik (8) doğru kalır.
Şimdi D1()'i belirleyen bik katsayılarını ele alalım. Bi1, bi2, …, bin bileşenlerine sahip Bi vektörlerini tanıtalım. Eşitlikler
Bi=ABi-1 olduğunu gösterin; burada A, verilen matrise aktarılan matristir. Şunu takip ediyor
Bi=A i-1B1, B1=AB0, (9)
burada B0=(1,0,…,0)
Eğer C0 ise, D1()=0 ve D()=0 denklemleri eşdeğerdir. Eğer C = 0 ise bu dönüşüm hiçbir şey vermez. A.N. Krylov bu durumda şunu öneriyor: özel karşılama, Aşağıda tartışılmıştır. Rastgele bir B0 = (bi1,bi2,…,bin) vektörünü B0 vektörü olarak alalım ve bunu formül (9)'u kullanarak Bi vektörlerini elde etmek için kullanalım.
u=b01x1+b02x2+…+b0nxn (10) olsun
burada x1,x2,…xn (1/) sisteminin çözümleridir. Daha sonra önceki mantığı tekrarladığımızda şunu elde ederiz:
Bu sistemi doğrusal bir sistem olarak çözmek homojen denklemler n+1 bilinmeyen u,x1,x2,…xn ile sıfırdan farklı bir çözümün ancak ve ancak şu durumda mümkün olduğunu elde ederiz:
Önceki akıl yürütmeyi tekrarlarsak, şunu buluyoruz:
C10 ise karakteristik polinomun pi katsayıları Di - cebirsel eklemeler elementler n-i determinant D()'de.
Ancak Krylov'un yönteminin özü bu katsayıları küçükleri saymadan bulmaktır.
Bir matrisin karakteristik denkleminin kökü olduğuna dair Hamilton-Cayley teoremini kullanalım, yani.
(A) n+p1(A)n-1+…+pn-1A+pnE=0, (14)
burada pi karakteristik polinomun katsayılarıdır.
Eşitliği (14) b0 ile çarparsak şunu elde ederiz:
bn+p1bn-1+p2bn-2+…+pn-1b1+pnb0=0 (15)
Bu vektör eşitliği, karakteristik polinomun katsayılarını belirlemek için bir doğrusal cebirsel denklem sistemi verir. Bu sistemin determinantı C1'e eşittir. Ortaya çıkan sistem, bilinen yöntemlerden herhangi biriyle, örneğin Gauss yöntemiyle çözülebilir.
Hamilton-Cayley teoremini A matrisinin kendisi için uygulamak mümkün olabilir ve ardından sistemi elde edebiliriz.
сn+p1сn-1+p2сn-2+…+pn-1с1+pnc0=0 (15/)
burada ci=Aic0, c0
Keyfi başlangıç vektörü.
Örnek. A matrisinin şu şekilde olmasına izin verin:
B0 vektörü olarak B0 = (1,0,0,0) vektörünü alıyoruz. Sonra vektörleri alıyoruz
B1=AB0, B2=A2B0= AB1, B3=A3B0=AB2, B4=A4B0=AB3:
Karakteristik polinomun katsayılarını belirlemek için doğrusal cebirsel denklemler sistemi şu şekildedir:
Bu sistemi çözdükten sonra şunu elde ederiz: p1=-11, p2=7, p3=72, p4=-93. Bu nedenle karakteristik polinom şu şekli alacaktır:
D()= 4 -113 + 72 +72 -93.
Verilen örnekte C10.
C = 0 ise böyle bir sistem karakteristik denklemin katsayılarının belirlenmesini mümkün kılmayacaktır. A matrisi ve ona aktarılan A matrisi karakteristik denklemi D(A)=0'ı sağlar. Ancak derecesi n'den küçük olan ve (A)=(A)=0 eşitliğinin de geçerli olduğu polinomların () olduğu ortaya çıkabilir. Bu tür polinomlar arasında baş katsayısı 1 olan ve derecesi en küçük olan tek bir polinom vardır. Bu polinoma minimal denir. Matrisin minimum polinomu karakteristik polinomla çakışmıyorsa, başlangıç vektörünün herhangi bir seçimi için C = 0 olur. Bu durumda AC0=0 ve C0, AC0, ..., Аn-1C0 vektörleri doğrusal bağımlıdır.
Pratikte Krylov yöntemini kullanırken böyle bir durum ancak özel koşullar altında ortaya çıkabilir.
1.2 Krylov yöntemi
Krylov'un yöntemi, M kare matrisinin karakteristik polinomunu ortadan kaldırma özelliğine dayanmaktadır. Bu çalışmada, M matrisi teknolojik bağlantı katsayılarının bir matrisidir ve şu şekildedir:
Hamilton-Cali teoremine göre her Kare matris karakteristik polinomunun köküdür ve bu nedenle onu sıfıra çevirir. (1.2.1) karakteristik polinom olsun
İfadedeki λ değerini M ile değiştirerek şunu elde ederiz:
Sıfırdan farklı rastgele bir Y 0 vektörü alıp (1.2.2) ifadesinin her iki tarafını da bununla çarparak şunu elde ederiz:
Veya formda
Bu sistem varsa tek karar, bu durumda p 1, p 2 .....p n kökleri karakteristik polinomun (1.2.1) katsayılarıdır.
Karakteristik polinomun katsayıları р 1, р 2…..р n ve kökleri λ 1, λ 2,….λ n biliniyorsa, Krylov yöntemi karşılık gelen vektörleri şu şekilde bulmayı mümkün kılar: aşağıdaki formül:
Burada y (n -1), y (n -2), …. y (0) – р 1 , р 2 .....р n katsayılarını Krylov yöntemiyle bulmak için kullanılan vektörler ve q ij () katsayıları Horner şeması kullanılarak belirlenir.
q 0i = 1, q ij = λ ben q i-1,i +p ben (1.2.7)
Belirlemek için özdeğerler matris M, ortaya çıkan karakteristik denklemi çözmek gerekir. M matrisi için bu denklem beşinci dereceden olacaktır; bu çalışmada böyle bir denklemi teğet yöntemini veya Newton yöntemini kullanarak çözeceğiz.
1.3 Newton yöntemi (teğet yöntemi)
Newton'un yöntemi (teğet yöntemi olarak da bilinir) yinelemeli bir yöntemdir. Sayısal yöntem Belirli bir fonksiyonun kökünü (sıfır) bulma. Çözüm arayışı ardışık yaklaşımlar oluşturularak gerçekleştirilir ve basit yineleme ilkelerine dayanır. Yöntem ikinci dereceden yakınsamaya sahiptir. Yöntemin bir geliştirmesi akorlar ve teğetler yöntemidir. Newton'un yöntemi, çok boyutlu bir uzay durumunda birinci türevin veya gradyanın sıfırını belirlemenin gerekli olduğu optimizasyon problemlerini çözmek için de kullanılabilir.
Basit yineleme yöntemini kullanarak f(x) = 0 denklemini sayısal olarak çözmek için, şuna indirgenmelidir: aşağıdaki form: x = f(x), burada f(x) bir daralma eşlemesidir.
Yöntemin en iyi yakınsaması için koşulun bir sonraki yaklaşım noktasında karşılanması gerekir. Çözüm verilen denklem formda arama yapın, ardından:
Yaklaşım noktasının köke "yeterince yakın" olduğu varsayılırsa ve bu verilen fonksiyon sürekli olduğundan son formül şu şekildedir:
(1.3.2)
Bunu dikkate alarak fonksiyon şu ifadeyle tanımlanır:
(1.3.3)
Bu işlev, kökün yakınında sıkıştırılmış bir haritalama gerçekleştirir ve bulma algoritması sayısal çözüm denklem yinelemeli bir hesaplama prosedürüne indirgenir:
(1.3.4)
Banach teoremine göre, yaklaşımların sırası denklemin köküne doğru yönelir.
Şekil 1.1- Grafik gösterimi Newton'un yöntemi
Yöntemin ana fikri şu şekildedir: varsayımsal kökün yakınında bir başlangıç yaklaşımı belirlenir, ardından apsis ekseni ile kesişimin bulunduğu yaklaşım noktasında incelenen fonksiyona bir teğet oluşturulur. Bu nokta bir sonraki yaklaşım olarak alınır. Ve bu, gerekli doğruluk elde edilene kadar devam eder.
Newton yönteminin avantajları:
1) eğer minimize edilen fonksiyon ikinci dereceden ise, o zaman yöntem minimumu bir adımda bulmanızı sağlayacaktır;
2) eğer minimize edilen fonksiyon dönüş yüzeyleri sınıfına aitse, o zaman yöntem aynı zamanda tek adımda yakınsamayı da sağlar;
3) eğer fonksiyon asimetrikse, o zaman yöntem yakınsamayı garanti etmez. son sayı adımlar. Ancak birçok işlev için çok daha fazlası elde edilir yüksek hız yöntemin diğer modifikasyonlarını kullanırken olduğundan daha yakınsama en dik iniş.
Krylov yöntemi ve Newton yönteminin kullanımı eklerde verilmiştir. Yöntemler MathCAD ve VB.Net ortamında uygulandı.
Gelişim için ve malzeme maliyetleri. Dolayısıyla diploma tasarımının amacı, yazılım paketi Radar durumunu kişisel bir bilgisayarda modellemek için, radar durumunu simüle etmenize olanak tanır. verilen parametreler, hesaplanan modeli içeren bir çıktı dosyası oluşturun, elde edilen dosyayı gerçek işlem cihazlarını test etmek için kullanın...
