Matrisin kanonik görünümü. Matris türleri

Herhangi ikinci dereceden form dejenere olmayan bir doğrusal dönüşüm kullanılarak azaltılabilir kanonik form , formülle tanımlanmış

şekil nerede F sıralaması N bilinmiyor; sayıları pozitif kabul edilir, ancak formül (VII.5)'in bazı terimleri negatif olabilir.

Bu durumda , yerine; ve dejenere olmayan doğrusal dönüşüm ikinci dereceden formu azaltır normal akıl yani

Toplam sayı kareler ikinci dereceden formun rütbesine eşittir.

İkinci dereceden formu normal forma (VII.6) indirgeyen birçok doğrusal dönüşüm vardır, ancak işaretlerin konumuna kadar böyle bir azalma tektir.

İkinci dereceden gerçek formlar için tutar eylemsizlik yasası . Gerçek katsayılı belirli bir ikinci dereceden formun gerçek bir doğrusal dönüşümle indirgendiği normal formdaki pozitif ve negatif karelerin sayısı, bu dönüşümün seçimine bağlı değildir.

Pozitif (negatif) karelerin sayısı normal biçim formlar F isminde pozitif (negatif) atalet indeksi (formül (VII.6)'da bu k), pozitif ve negatif atalet indeksleri arasındaki farka denir imza formlar F(formül (VII.6)'da şuna eşittir: R-k).

Verilmesine izin ver kare matris boyutlar N ikinci dereceden form F. Bu matrisin ana köşegeni boyunca yer alan küçükler 1, 2, ..., derecelerindendir. N, sonuncusu matrisin determinantıyla çakışıyor , yani

denir ana küçük formlar F.

Teorem VII.1.İkinci dereceden şekil F itibaren N Gerçek katsayılı bilinmeyenlerin sayısı, ancak ve ancak baştaki tüm küçüklerin pozitif olması durumunda pozitif terimlerden oluşacaktır.

Örnek VII.3.İkinci dereceden şekil

matrisin tüm önde gelen küçükleri pozitif olduğundan pozitif tanımlıdır:

, , .

Daha önce de belirtildiği gibi, ikinci dereceden bir formu kanonik forma getirmek birçok yolla mümkündür, ancak normal görünüm bir. Bunu bir örnekle gösterelim.

Örnek VII.4.İkinci dereceden formu kanonik forma düşürün.

Çözüm. Doğrusal bir dönüşüm ayarlayalım:

1) o zaman alırız .

Başka bir dönüşüm için elimizde

2) o zaman alırız .

Her iki kanonik formun da karşılık geldiği ikinci dereceden bir formun normal formu, .

Egzersiz yapmak. Elde edilen formüllerin geçerliliğini, 1) ve 2) numaralı dönüşümleri doğrudan orijinal ikinci dereceden forma koyarak kontrol edin.

Oldukça doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor: "Doğrusal dönüşümün (operatör) matrisi nasıl bulunur?"

Biz bakmadan önce aşağıdaki örnek, bazı açıklamalar yapalım. Özünü bozmadan ortak yaklaşım kendimizi denklemle sınırlandırıyoruz

Nerede sağ taraf verilen ikinci dereceden bir formdur Kartezyen sistem koordinatlar Öte yandan bu ifade ikinci dereceden bir doğruyu tanımlamaktadır. Son eşitliğin sağ tarafı değişkenlerin karelerinin toplamı ile temsil edilirse açıktır.

,

o zaman ikinci dereceden formun kanonik formuna sahibiz.

Her iki denklem de aynı ikinci dereceden doğruyu açıklayacaktır, eğer formdaysa H aynı ölçek korunur. Kanonik formu elde etmek için H Genellikle karakteristik denklem kullanılır. Bu yaklaşımın dezavantajı koordinat sistemleri arasındaki ilişkinin olmasıdır. Mecazi anlamda hattın yerini bilmiyoruz L koordinat sisteminde kanonik biçimde yazılmışsa H. Böyle bir geçiş, koordinat sisteminin eksenlerinin belirli bir açıyla döndürülmesiyle gerçekleştirilebilir. J(Şekil VII.1), yani koordinatlardan gidin X, senİle X 1 , sen 1 formüllere göre

İçin ters dönüşüm köşenin değiştirilmesi gerekiyor J
Açık - J.

Doğrunun yerini bulmak için eşitliği sağlayan koordinat dönüşümünü bulmalıyız. H akla H. Ölçeği korumak için ortonormal koordinat sistemine geçmemiz gerektiğini unutmayın.

Örnek VII.5. Kartezyen koordinat sisteminde ikinci dereceden bir form verildiğinde

Kanonik forma getirmek yani sistemdeki formunu yazıp doğrusal dönüşümünü bulmak gerekiyor. İkinci dereceden bir formun normal formunu elde edin.

Çözüm. Simetrik bir doğrusal dönüşüm matrisi (operatör) A oluşturalım

.

Haydi inşa edelim karakteristik polinom ve özdeğerleri ve özvektörleri bulun. Daha sonra örneğin görevlerini sırasıyla gerçekleştireceğiz. Sahibiz

Karakteristik denklem eşitlik görünüyor

.

Matrisin determinantını hesapladıktan sonra kökleri şu şekilde olan bir polinom elde ederiz: özdeğerler. Kanonik biçimi (VII.7) yazalım:

Doğrusal bir dönüşüm bulalım, yani sistemler arasında bir bağlantı kuralım. Kökler gerçek ve farklı olduğundan ve sıfır olmadığından dönüşüm dejenere değildir. Tabandaki özvektörleri bulalım (vektörleri sütunlarda temsil edeceğiz). Bunu yapmak için denklem sistemini çözüyoruz

özdeğerlerin her biri için tanımlanır.

için (VII.8)'den elimizde matris denklemi

.

Zorunlu olarak elde ettiğimizi varsayarsak

, bizde . İlk özvektör bulundu , uzunluğu.

elimizde olduğunda

veya

İkinciyi birinci denkleme ekleyerek, ortaya çıkan denklemin üçüncülü bir sistem olarak çözülmesi durumunda mutlaka birinciye geçeceğimizi not ediyoruz. özvektör. İlk iki ve ikinci denklemin toplamından bir denklem sistemi oluşturmaya devam ediyor, sonra şunu elde ederiz:

Basitleştirmelerden sonra sistemi elde ettiğimizi varsayalım.

1. Önce hangisinin karşılaştırmalı olduğunu bulalım basit görünüm Yalnızca sol temel işlemleri uygulayarak dikdörtgen bir polinom matrisini azaltmak mümkündür.

Matrisin ilk sütununun tamamen sıfır olmayan elemanlar içerdiğini varsayalım. Bunların en küçük derecesine sahip bir polinomu alalım ve satırları yeniden düzenleyerek onu bir eleman haline getirelim. Bundan sonra polinomu ; bölümü ve kalanı ve ile gösteririz

Şimdi daha önce ile çarptığımız ilk satırı üçüncü satırdan çıkaralım. Kalanların tümü aynı şekilde sıfır değilse, sıfıra eşit olmayan ve en küçük dereceye sahip olan, satırlar yeniden düzenlenerek yerine yerleştirilebilir. Tüm bu işlemler sonucunda polinomun derecesi azalacaktır.

Şimdi bu işlemi tekrarlayacağız vb. Polinomun derecesi sonlu olduğundan, bir aşamada bu süreç artık sürdürülemez, yani bu aşamada tüm elemanlar aynı şekilde sıfır olacaktır.

Daha sonra elemanı alın ve aynı işlemi sayıların bulunduğu satırlara uygulayın. O zaman neyi başaracağız ve . Bu şekilde devam edersek sonunda matrisi aşağıdaki forma indirgeyeceğiz:

(5)

Polinom tamamen sıfır değilse, ikinci tipin sol temel işlemini kullanarak, elemanın derecesini dereceden küçük yapacağız (sıfır dereceye sahipse, o zaman aynı şekilde sıfıra eşit olacaktır). Aynı şekilde, eğer , o zaman ikinci tipteki sol elemanter işlemleri kullanarak, elemanı değiştirmeden, elemanların derecelerini dereceden daha küçük hale getireceğiz, vb.

Aşağıdaki teoremi kurduk:

Teorem 1. Keyfi dikdörtgen polinom matrisi sol temel işlemleri kullanan boyutlar her zaman (5) formuna indirgenebilir; burada polinomlar, eğer varsa, 'den daha düşük bir dereceye sahiptir ve eğer varsa hepsi aynı şekilde sıfırdır. .

Tamamen aynı şekilde kanıtlandı

Teorem 2. Boyutları olan rastgele bir dikdörtgen çok değerli matris, doğru temel işlemler kullanılarak her zaman forma indirgenebilir.

(6)

burada polinomlar 'den daha düşük bir dereceye sahiptir ve hepsi aynı şekilde sıfıra eşittir, eğer .

2. Aşağıdakiler Teorem 1 ve 2'den kaynaklanmaktadır

Sonuçlar. Çok değerli bir kare matrisin determinantı sıfıra bağlı değilse ve sıfırdan farklıysa, bu matris çarpım olarak temsil edilebilir. sonlu sayı temel matrisler.

Aslında, Teorem 1'e göre, sol temel işlemler kullanılarak matris şu forma indirgenebilir:

(7)

matrisin sırası nerede. Temel işlemleri bir kare polinom matrisine uygularken, bu matrisin determinantı yalnızca sıfır olmayan sabit bir faktörle çarpıldığından, matrisin (7) determinantı, determinant gibi, bağımlı değildir ve ondan farklıdır. sıfır, yani

.

Ancak aynı Teorem 1'e göre, matris (7) köşegen bir forma sahiptir ve bu nedenle tip 1'in sol temel işlemleri kullanılarak birim matrise indirgenebilir. Daha sonra ve tam tersi, birim matris, matrislerle sol temel işlemlerin kullanılmasına indirgenebilir. Buradan,

Kanıtlanmış sonuçtan, polinom matrislerinin denkliğinin iki tanımı olan 2 ve 2"nin denkliğini elde ediyoruz (bkz. sayfa 137 – 138).

3. Diferansiyel denklem sistemi (4) örneğimize dönelim. Teorem 1'i operatör katsayıları matrisine uygulayalım. Daha sonra sayfa 138'de belirtildiği gibi sistem (4) eşdeğer bir sistemle değiştirilecektir.

(4")

Nerede . Bu sistemde fonksiyonları keyfi olarak seçebiliyoruz, sonrasında fonksiyonlar sırayla belirleniyor ve bu tanımın her aşamasında bir tanesini entegre etmemiz gerekiyor. diferansiyel denklem bilinmeyen bir işlevle.

4. Şimdi dikdörtgen bir polinom matrisinin hem sol hem de sağ temel işlemler uygulanarak indirgenebileceği “kanonik” formu oluşturmaya geçelim.

Matrisin tamamen sıfır olmayan tüm elemanları arasında, derecesine göre en küçük olan elemanı alırız ve satır ve sütunların uygun şekilde yeniden düzenlenmesiyle onu bir eleman haline getiririz. Bundan sonra polinomları bölerken bölümleri ve kalanları bulacağız ve şu şekilde bulacağız:

Geriye kalanlardan en az biri ise Örneğin, tam olarak sıfıra eşit değilse, daha önce ile çarptığımız ilk sütunu bu sütundan çıkararak öğeyi, derecesinden daha düşük olan kalanla değiştiririz. Daha sonra soldaki elemanın derecesini tekrar azaltma fırsatımız var. üst köşe matrisine göre en küçük dereceye sahip elemanı bu yere yerleştiririz.

Eğer tüm kalıntılar ; aynı şekilde sıfırsa, daha sonra birinci satırdan daha önce çarpılan ilk sütunu ve üçüncü sütundan (önceden çarpılan ilk sütunu) çıkararak polinom matrisimizi forma indirgeyeceğiz.

Eğer elementlerden en az biri sıfır sayısal faktörlere bölünemediğinden, polinomların baş katsayılarının olmasını sağlayacağız ve bu polinomları matrisin elemanlarına bağlayan formüller oluşturabileceğiz.

Matrisler çok çeşitli problemleri çözmek için kullanışlı bir araçtır. cebirsel problemler. Biraz bilmek basit kurallar onlarla çalışmak, matrisleri uygun ve gerekli olan herhangi bir değere indirmenize olanak tanır şu anda formlar. Matrisin kanonik formunu kullanmak sıklıkla faydalıdır.

Talimatlar

Matrisin kanonik formunun tüm ana köşegen boyunca bir tane olmasını gerektirmediğini unutmayın. Tanımın özü, matrisin kanonik formundaki sıfır olmayan tek elemanlarının bir olmasıdır. Varsa ana köşegende bulunurlar. Üstelik sayıları sıfırdan matristeki satır sayısına kadar değişebilir.

Temel dönüşümlerin herhangi bir şeye izin verdiğini unutmayın. matris kanonikliğe yol açmak akıl. En büyük zorluk, en basit eylem zinciri dizisini sezgisel olarak bulmak ve hesaplamalarda hata yapmamaktır.

Bir matristeki satır ve sütunlarla yapılan işlemlerin temel özelliklerini öğrenin. Temel dönüşümler üç standart dönüşümü içerir. Bu, bir matris satırının sıfırdan farklı herhangi bir sayıyla çarpılması, satırların toplanması (birbirlerine ekleme, bir sayıyla çarpılma dahil) ve yeniden düzenlenmesidir. Bu tür eylemler şunları elde etmenizi sağlar: matris buna eşdeğer. Buna göre sütunlar üzerinde bu tür işlemleri eşdeğerliği kaybetmeden gerçekleştirebilirsiniz.

Birkaç şeyi aynı anda yapmamaya çalışın temel dönüşümler: Engellemek için sahneden sahneye geçin rastgele hata.

Ana köşegendeki birlerin sayısını belirlemek için matrisin sırasını bulun: bu size aradığınız kanonik formun son formunun ne olacağını söyleyecek ve sadece onu kullanmak istiyorsanız dönüşüm gerçekleştirme ihtiyacını ortadan kaldıracaktır. çözüm için.

Önceki tavsiyeyi takip etmek için sınırdaki küçükler yöntemini kullanın. K'inci derecedeki minörleri ve çevresindeki (k+1) derecedeki tüm minörleri hesaplayın. Sıfıra eşitlerse, matrisin sırası k sayısıdır. Küçük Mij'nin, orijinalden i satırı ve j sütunu silinerek elde edilen matrisin determinantı olduğunu unutmayın.

İlginç olan her şey

Veri kaydetmenin tablo şeklinde bir biçimi olan matrisler, sistemlerle çalışırken yaygın olarak kullanılır. doğrusal denklemler. Ayrıca denklem sayısı matrisin satır sayısını, değişken sayısı ise sütunlarının sırasını belirler. Sonuç olarak...

Bir S matrisinin rütbesi, sıfırdan farklı olan küçüklerinin mertebelerinin en büyüğüdür. Küçükler, rastgele satır ve sütunlar seçilerek orijinal matristen elde edilen bir kare matrisin determinantlarıdır. Derece Rg S ile gösterilir ve hesaplanması...

Matris, dikdörtgen bir tablo olan matematiksel bir nesnedir. Bu tablonun sütun ve satırlarının kesişiminde matris elemanları bulunur - tamsayı, gerçek veya karmaşık sayılar. Matrisin boyutu onun sayısına göre belirlenir ...

Cebirsel tamamlayıcı bir matrisin veya doğrusal cebir kavramlardan biri yüksek matematik determinant, minör ve ters matris ile birlikte. Ancak görünürdeki karmaşıklığa rağmen cebirsel tümleyenleri bulmak zor değildir. Talimatlar...

Matris, sayıların sıralı bir koleksiyonudur dikdörtgen masa, m satır x n sütun boyutlarına sahip. Çözüm karmaşık sistemler Doğrusal denklemler verilen katsayılardan oluşan matrislerin hesaplanmasına dayanır. İÇİNDE genel durum...'da

Matris cebiri, matrislerin özelliklerinin incelenmesine, bunların karmaşık denklem sistemlerini çözmek için uygulanmasına ve ayrıca bölme de dahil olmak üzere matrisler üzerindeki işlemlere ilişkin kurallara adanmış bir matematik dalıdır. Talimatlar 1 Matrislerde üç işlem vardır: toplama,...

Cebirsel tamamlayıcılar kavramlardan biridir matris cebiri matrisin elemanlarına uygulanır. Bulma cebirsel eklemeler ters matrisin belirlenmesine yönelik algoritmanın eylemlerinden ve ayrıca matris bölme işleminden biridir. ...

Çarpmaları bir birim matris E üretiyorsa, B matrisinin A matrisinin tersi olduğu kabul edilir. "Ters matris" kavramı yalnızca bir kare matris için mevcuttur; matrisler “ikiye iki”, “üçe üç” vb....

Her tekil olmayan (determinantı |A| sıfıra eşit olmayan) kare matris A için benzersiz bir matris vardır. ters matris, A^(-1) ile gösterilir, öyle ki (A^(-1))A=A, A^(-1)=E. Talimat 1E'ye birim matris denir. Şunlardan oluşur:

Matematiksel matris, belirli sayıda satır ve sütuna sahip sıralı bir öğe tablosudur. Bir matrise çözüm bulmak için matris üzerinde hangi eylemin gerçekleştirilmesi gerektiğini belirlemeniz gerekir. Bundan sonra mevcut olana göre hareket edin...

Matematik elbette bilimlerin “kraliçesidir”. Her insan onun özünün tam derinliğini anlayamaz. Matematik birçok bölümü birleştirir ve her biri matematik zincirinin benzersiz bir halkasıdır. Aynı temel...

Herhangi bir A matrisinde keyfi k satır ve sütun alırsak ve bu satır ve sütunların elemanlarından k boyutunda bir alt matris oluşturursak, böyle bir alt matrise A matrisinin küçük kısmı denir. Satır ve sütun sayısı en büyüğünde bu kadar küçük, farklı...

Т" = с (i), Т" = 1………….(i), Т"" = 0…1……….(i) b(λ)……….(j) 1…0… …….(J) .

Doğru temel işlemin uygulanmasının bir sonucu olarak, A(λ) matrisi sağdan karşılık gelen T matrisi ile çarpılır.

Eğer i ve j endeksleri ikincisinde yer değiştirirse, T" matrisinin S" matrisiyle çakıştığını ve T", T"" matrislerinin S", S"" matrisleriyle çakıştığını unutmayın. S", S", S"" (veya aynısı olan T", T", T"" tipi matrislere temel matrisler denir.

İki λ-matris A(λ) ve B(λ) aynı boyutlar Sonlu sayıda temel dönüşüm zinciri kullanılarak A(λ) matrisinden B(λ)'ya gidilebiliyorsa, m x n'ye eşdeğer denir, A(λ) ~ B(λ). Eşdeğerlik ilişkisinin üç ana özelliği vardır:

1) dönüşlülük: her matris kendisine eşdeğerdir A(λ) ~ B(λ);

2) simetri: eğer A(λ) ~ B(λ), o zaman B(λ) ~ A(λ);

3) geçişlilik: eğer A(λ) ~ B(λ) ve B(λ) ~ C(λ), bu durumda A(λ) ~ C(λ).

§2. λ-matrisin kanonik formu

Eşdeğerlik ilişkisinin geçişli, simetrik ve dönüşlü olduğu yukarıda gösterilmiştir. Buradan m x n boyutları verilen tüm λ matrislerinin kümesinin ayrık sınıflara bölündüğü sonucu çıkar. eşdeğer matrisler, yani aynı sınıftan herhangi iki matris eşdeğer olacak şekilde sınıflara ayrılır ve farklı sınıflar- birbirine eşdeğer değildir. Şu soru ortaya çıkıyor kanonik formλ-matris karakterize edici bu sınıf eşdeğer λ-matrisleri.

Boyutları m x n olan kanonik bir köşegen λ-matris, ana köşegeni E1(λ), ​​​​E2(λ), ..., Ep(λ) polinomlarını içeren bir λ-matristir; burada p, m sayılarından daha küçüktür. ve n ve değil sıfıra eşit bu polinomların baş katsayıları bire eşittir ve sonraki her polinom bir öncekine bölünür, ancak ana köşegenin dışındaki elemanlar sıfıra eşittir.

Teorem 1. Herhangi bir λ-matris, sonlu sayıda temel dönüşümle kanonik köşegen forma indirgenebilir.

Kanıt. A(λ) dikdörtgen bir polinom matrisi olsun. A(λ)'ya hem sol hem de sağ temel işlemleri uygulayarak kanonik köşegen forma ulaşırız.

A(λ) matrisinin sıfır olmayan tüm elemanları аіј(λ) arasında, λ'ya göre en küçük dereceye sahip olan elemanı alırız ve satırları ve sütunları uygun şekilde yeniden düzenleyerek onu bir a11(λ) elemanı yaparız. Bundan sonra, аі1(λ) ve а1ј(λ) polinomlarını а11(λ)'ya bölmenin bölümlerini ve kalanlarını bulacağız:

аі1(λ) = а11(λ) qі1(λ) + rі1 (λ), а1ј(λ) = а11(λ) q1ј(λ) + r1ј(λ)

(i = 2, 3, …, m; j = 2, 3, …, n).

rі1(λ), ​​r1ј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n) kalanlarından en az biri, örneğin r1ј (λ), tam olarak sıfır değilse, o zaman, birinci sütunun önceden q1ј(λ) ile çarpılan j-'sinden çıkararak, a1ј(λ) öğesini a11(λ)'dan daha düşük bir dereceye sahip olan r1ј(λ) geri kalanıyla değiştiririz. Daha sonra matrisin sol üst köşesindeki elemanın derecesini tekrar azaltma fırsatına sahip oluruz ve bu yere λ'ya göre en düşük dereceye sahip elemanı yerleştiririz.

Eğer kalanların tümü r21(λ), ​​​​… rm1(λ); r12(λ), …, r1n(λ) aynı şekilde sıfırdır, bu durumda, daha önce qі1(λ) (i = 2, …, m) ile çarpılmış olan ilk i'inci satırdan çıkarılır ve j'inci satırdan çıkarılır. sütun - ilki , önceden q1ј(λ) (j = 2, …, n) ile çarpılır, matrisimizi forma indirgeriz

а11(λ) 0 … 0

0 а22(λ) … а2n(λ)

….…………………… .

0 am2(λ) … amn(λ)

Aynı zamanda аіј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n) elemanlarından en az biri а11(λ)'ya kalansız bölünemiyorsa, o zaman ilkine ekleme yaparak Bu elemanı içeren sütunu sütuna aldığımızda önceki duruma geleceğiz ve dolayısıyla a11(λ) elemanını yine daha düşük dereceli bir polinomla değiştirebileceğiz.

Orijinal eleman a11(λ) olduğundan belli bir derece ve bu dereceyi azaltma süreci süresiz olarak devam edemez, o zaman sonlu sayıda temel işlemden sonra şu formun bir matrisini elde etmeliyiz:

(*) 0 b22(λ) … b 2n(λ)

….…………………… ,

0 bm2 (λ) …bmn (λ)

bіј(λ)'nın tüm elemanları а1(λ)'ya kalansız bölünebilir. Bu elemanlar arasında bіј(λ) aynı sıfır değilse, 2, …, m numaralı satırlar ve 2, …, n numaralı sütunlar için aynı indirgeme işlemine devam ederek matrisi (*) forma indirgeyeceğiz.

Böylece, keyfi bir dikdörtgen polinom matrisi A(λ)'nın bazı kanonik köşegen matrislere eşdeğer olduğunu kanıtlamış olduk.

Matris matematikte özel bir nesnedir. Dikdörtgen şeklinde veya kare masa, oluşan belli bir sayı satırlar ve sütunlar. Matematikte boyut ve içerik bakımından değişen çok çeşitli matris türleri vardır. Satır ve sütunlarının sayılarına sipariş denir. Bu nesneler matematikte doğrusal denklem sistemlerinin kaydını düzenlemek ve sonuçlarını rahatça aramak için kullanılır. Matris kullanan denklemler, Carl Gauss, Gabriel Cramer yöntemi, küçükler ve cebirsel toplamaların yanı sıra diğer birçok yöntem kullanılarak çözülür. Matrislerle çalışırken temel beceri, standart görünüm. Ancak önce matematikçiler tarafından hangi tür matrislerin ayırt edildiğini bulalım.

Boş tür

Bu tip matrisin tüm bileşenleri sıfırdır. Bu arada satır ve sütun sayıları tamamen farklıdır.

Kare tipi

Bu tip matrislerin sütun ve satır sayıları aynıdır. Yani “kare” şeklinde bir masadır. Sütunlarının (veya satırlarının) sayısına sıra denir. Özel durumlar arasında ikinci dereceden bir matrisin (2x2 matris) varlığı yer alır, dördüncü sıra(4x4), onuncu (10x10), on yedinci (17x17) vb.

Sütun vektörü

Bu, yalnızca bir sütun içeren ve üç sütun içeren en basit matris türlerinden biridir. sayısal değerler. Bir diziyi temsil ediyor ücretsiz üyeler(değişkenlerden bağımsız sayılar) doğrusal denklem sistemlerinde.

Öncekine benzer görünüm. Sırasıyla tek bir satır halinde düzenlenmiş üç sayısal öğeden oluşur.

Çapraz tip

Matrisin köşegen formundaki sayısal değerler yalnızca ana köşegenin bileşenlerini alır (vurgulanmıştır) yeşil). Ana köşegen sağ üst köşedeki elemanla başlar ve üçüncü satırın üçüncü sütunundaki sayıyla biter. Kalan bileşenler sıfıra eşittir. Köşegen tipi yalnızca belirli bir düzene sahip bir kare matristir. Köşegen matrisler arasında skaler matris ayırt edilebilir. Tüm bileşenleri alır aynı değerler.

Köşegen matrisin bir alt türü. Onun hepsi sayısal değerler birimlerdir. Tek tip bir matris tablosu kullanılarak, temel dönüşümler gerçekleştirilir veya orijinalin tersi bir matris bulunur.

Kanonik tip

Matrisin kanonik formu ana formlardan biri olarak kabul edilir; Bunu azaltmak genellikle iş için gereklidir. Kanonik bir matristeki satır ve sütunların sayısı değişir; kare tipi. Birlik matrisine biraz benzer, ancak bu durumda ana köşegenin tüm bileşenleri değeri almaz. bire eşit. İki veya dört ana çapraz birim olabilir (hepsi matrisin uzunluğuna ve genişliğine bağlıdır). Veya hiç birim olmayabilir (o zaman sıfır kabul edilir). Kanonik tipin geri kalan bileşenlerinin yanı sıra köşegen ve birim elemanlar da sıfıra eşittir.

Üçgen tip

Determinantını ararken ve basit işlemleri gerçekleştirirken kullanılan en önemli matris türlerinden biri. Üçgen türü köşegen türünden gelir, dolayısıyla matris de karedir. Üçgen tipi matris, üst üçgen ve alt üçgene bölünmüştür.

Üst üçgen matriste (Şekil 1), yalnızca ana köşegenin üzerindeki elemanlar sıfıra eşit bir değer alır. Köşegenin bileşenleri ve matrisin altında bulunan kısmı sayısal değerler içerir.

Alt üçgen matriste (Şekil 2) ise tam tersine matrisin alt kısmında yer alan elemanlar sıfıra eşittir.

Görünüm, bir matrisin rütbesini bulmak ve ayrıca bunlar üzerindeki temel işlemler için gereklidir (ayrıca üçgen tipi). Adım matrisi, sıfırların karakteristik "adımlarını" içerdiğinden (şekilde gösterildiği gibi) bu şekilde adlandırılmıştır. Adım türünde sıfırlardan oluşan bir köşegen oluşturulur (ana olanın olması gerekmez) ve bu köşegenin altındaki tüm elemanların da sıfıra eşit değerleri vardır. Önkoşul şudur: Adım matrisinde sıfır satır varsa, bunun altındaki kalan satırlar da sayısal değerler içermez.

Biz de baktık en önemli türler onlarla çalışmak için gerekli matrisler. Şimdi matrisi gerekli forma dönüştürme problemine bakalım.

Üçgen forma küçültme

Matris nasıl azaltılır üçgen görünüm? Çoğu zaman görevlerde, determinantını (diğer adıyla determinantı) bulmak için bir matrisi üçgen forma dönüştürmeniz gerekir. Bu prosedürü gerçekleştirirken, matrisin ana köşegenini "korumak" son derece önemlidir, çünkü üçgen matrisin determinantı, ana köşegeninin bileşenlerinin çarpımına eşittir. Determinantın bulunmasına yönelik alternatif yöntemleri de hatırlatayım. Kare tipinin determinantı özel formüller kullanılarak bulunur. Örneğin üçgen yöntemini kullanabilirsiniz. Diğer matrisler için satır, sütun veya elemanlarına göre ayrıştırma yöntemi kullanılır. Ayrıca küçükler ve cebirsel matris toplama yöntemini de kullanabilirsiniz.

Bazı görevlerin örneklerini kullanarak bir matrisi üçgen forma indirgeme sürecini ayrıntılı olarak analiz edelim.

Görev 1

Sunulan matrisin determinantını üçgen forma indirgeme yöntemini kullanarak bulmak gerekir.

Bize verilen matris üçüncü dereceden bir kare matristir. Bu nedenle onu dönüştürmek için üçgen şekli birinci sütunun iki bileşenini ve ikinci sütunun bir bileşenini sıfıra çevirmemiz gerekiyor.

Üçgen forma getirmek için dönüşüme matrisin sol alt köşesinden - 6 sayısından başlıyoruz. Sıfıra çevirmek için ilk satırı üçle çarpın ve son satırdan çıkarın.

Önemli! Üst satır değişmez ancak orijinal matristekiyle aynı kalır. Orijinalinden dört kat daha büyük bir dize yazmaya gerek yoktur. Ancak bileşenlerinin sıfıra ayarlanması gereken dizelerin değerleri sürekli değişiyor.

Geriye kalan tek şey son değer- ikinci sütunun üçüncü satırının öğesi. Bu sayı (-1). Sıfıra çevirmek için ikinciyi ilk satırdan çıkarın.

Kontrol edelim:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Bu, görevin cevabının -22 olduğu anlamına gelir.

Görev 2

Matrisin determinantını üçgen forma indirgeyerek bulmak gerekir.

Sunulan matris kare tipine ait olup dördüncü dereceden bir matristir. Bu, birinci sütunun üç bileşenini, ikinci sütunun iki bileşenini ve üçüncü sütunun bir bileşenini sıfıra çevirmenin gerekli olduğu anlamına gelir.

Sol alt köşede bulunan elemandan - 4 rakamından dönüştürmeye başlayalım. verilen numara sıfıra. Bunu yapmanın en kolay yolu, üstteki satırı dörtle çarpıp dördüncüden çıkarmaktır. Dönüşümün ilk aşamasının sonucunu yazalım.

Yani dördüncü satır bileşeni sıfıra ayarlandı. Üçüncü satırın ilk elemanı olan 3 sayısına geçelim. Benzer bir işlem gerçekleştiriyoruz. İlk satırı üçle çarpıp üçüncü satırdan çıkarıyoruz ve sonucu yazıyoruz.

Ana köşegenin dönüşüm gerektirmeyen bir öğesi olan 1 sayısı hariç, bu kare matrisin ilk sütununun tüm bileşenlerini sıfırlamayı başardık. Artık ortaya çıkan sıfırları korumak önemli, bu nedenle dönüşümleri sütunlarla değil satırlarla gerçekleştireceğiz. Sunulan matrisin ikinci sütununa geçelim.

Son satırın ikinci sütununun öğesiyle yeniden alttan başlayalım. Bu sayı (-7)'dir. Ancak, bu durumdaÜçüncü satırın ikinci sütununun öğesi olan (-1) sayısıyla başlamak daha uygundur. Sıfıra çevirmek için ikinciyi üçüncü satırdan çıkarın. Daha sonra ikinci satırı yediyle çarpıp dördüncüden çıkarıyoruz. İkinci sütunun dördüncü satırında yer alan öğenin yerine sıfır aldık. Şimdi üçüncü sütuna geçelim.

Bu sütunda yalnızca bir sayıyı sıfıra (4) çevirmemiz gerekiyor. Bunu yapmak zor değil: sadece son satırüçüncüsü ve ihtiyacımız olan sıfırı görüyoruz.

Yapılan tüm dönüşümlerden sonra önerilen matrisi üçgen forma getirdik. Şimdi, determinantını bulmak için, yalnızca ana köşegenin sonuçta ortaya çıkan elemanlarını çarpmanız gerekir. Şunu elde ederiz: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Bu nedenle çözüm 160'tır.

Yani artık matrisi üçgen forma indirgeme sorunu sizi rahatsız etmeyecek.

Kademeli forma indirgeme

Matrisler üzerindeki temel işlemler için kademeli biçim, üçgen biçime göre daha az "talep edilir". Çoğunlukla bir matrisin sırasını (yani sıfır olmayan satırların sayısını) bulmak veya doğrusal olarak bağımlı ve bağımsız satırları belirlemek için kullanılır. Bununla birlikte, basamaklı matris türü daha evrenseldir, çünkü yalnızca kare türü için değil aynı zamanda diğerleri için de uygundur.

Matrisin azaltılması için kademeli görünümönce determinantını bulmanız gerekir. Yukarıdaki yöntemler bunun için uygundur. Determinantı bulmanın amacı, onun adım matrisine dönüştürülüp dönüştürülemeyeceğini bulmaktır. Determinant büyükse veya sıfırdan az, ardından göreve güvenle başlayabilirsiniz. Sıfıra eşit olması durumunda matrisi adım adım forma indirgemek mümkün olmayacaktır. Bu durumda kayıtta veya matris dönüşümlerinde herhangi bir hata olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir. Böyle bir yanlışlık yoksa, görev çözülemez.

Çeşitli görev örneklerini kullanarak bir matrisi adım adım forma nasıl indirgeyebileceğimize bakalım.

Görev 1. Verilen matris tablosunun rütbesini bulun.

Önümüzde üçüncü dereceden bir kare matris (3x3) var. Dereceyi bulmak için onu kademeli bir forma indirmenin gerekli olduğunu biliyoruz. Bu nedenle öncelikle matrisin determinantını bulmamız gerekir. Üçgen yöntemini kullanalım: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Determinant = 12. O sıfırdan büyük bu, matrisin kademeli bir forma indirgenebileceği anlamına gelir. Haydi onu dönüştürmeye başlayalım.

Buna üçüncü satırın sol sütununun öğesiyle başlayalım - 2 sayısı. Üst satırı ikiyle çarpın ve üçüncüden çıkarın. Bu işlem sayesinde hem ihtiyacımız olan eleman hem de üçüncü sıranın ikinci sütununun elemanı olan 4 sayısı sıfıra döndü.

Düşüş sonucunda şunu görüyoruz. üçgen matris. Bizim durumumuzda kalan bileşenler sıfıra indirilemediği için dönüşüme devam edemiyoruz.

Bu, bu matristeki sayısal değerleri içeren satır sayısının (veya sıralamasının) 3 olduğu sonucuna vardığımız anlamına gelir. Görevin cevabı: 3.

Görev 2. Bu matrisin doğrusal bağımsız satır sayısını belirleyin.

Herhangi bir dönüşümle sıfıra dönüştürülemeyen dizeleri bulmamız gerekiyor. Aslında sıfır olmayan satırların sayısını veya sunulan matrisin sırasını bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için basitleştirelim.

Kare tipine ait olmayan bir matris görüyoruz. 3x4 ölçülerindedir. İndirgemeye sol alt köşedeki sayı (-1) ile de başlayalım.

Daha fazla dönüşümleri imkansızdır. Bu, içindeki doğrusal bağımsız çizgilerin sayısının ve görevin cevabının 3 olduğu sonucuna vardığımız anlamına gelir.

Artık matrisi kademeli bir forma indirgemek sizin için imkansız bir iş değil.

Bu görevlerin örneklerini kullanarak bir matrisin üçgen forma ve kademeli forma indirgenmesini inceledik. Sıfır yapmak için gerekli değerler matris tabloları, bazı durumlarda hayal gücünüzü kullanmanız ve sütunlarını veya satırlarını doğru şekilde dönüştürmeniz gerekir. Matematikte ve matrislerle çalışmada iyi şanslar!