2 distancia de un punto a un plano. Distancia de un punto a un plano

Primero, considere un círculo con radio 1 y centro en (0;0). Para cualquier αЄR, el radio 0A se puede dibujar de modo que la medida en radianes del ángulo entre 0A y el eje 0x sea igual a α. El sentido antihorario se considera positivo. Sea el final del radio A las coordenadas (a,b).

Definición de seno

Definición: El número b, igual a la ordenada del radio unitario construido de la manera descrita, se denota por senα y se llama seno del ángulo α.

Ejemplo: sen 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

Definición de coseno

Definición: El número a, igual a la abscisa del extremo del radio unitario construido de la manera descrita, se denota por cosα y se llama coseno del ángulo α.

Ejemplo: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2

Estos ejemplos utilizan la definición del seno y el coseno de un ángulo en términos de las coordenadas del extremo del radio unitario y circulo unitario. Para una representación más visual, necesitas dibujar un círculo unitario y trazar los puntos correspondientes en él, y luego contar sus abscisas para calcular el coseno y las ordenadas para calcular el seno.

Definición de tangente

Definición: La función tgx=senx/cosx para x≠π/2+πk, kЄZ, se llama cotangente del ángulo x. Dominio funciones tgx esto es todo numeros reales, excepto x=π/2+πn, nЄZ.

Ejemplo: tg0 tgπ = 0 0 = 0

Este ejemplo es similar al anterior. Para calcular la tangente de un ángulo, debes dividir la ordenada de un punto por su abscisa.

Definición de cotangente

Definición: La función ctgx=cosx/sinx para x≠πk, kЄZ se llama cotangente del ángulo x. El dominio de definición de la función ctgx = son todos los números reales excepto los puntos x=πk, kЄZ.

Veamos un ejemplo usando un triángulo rectángulo regular.

Para que quede más claro qué son coseno, seno, tangente y cotangente. Veamos un ejemplo usando un triángulo rectángulo regular con ángulo y y lados a,b,c. Hipotenusa c, catetos a y b respectivamente. El ángulo entre la hipotenusa c y el cateto b y.

Definición: El seno del ángulo y es la razón pierna opuesta a la hipotenusa: siny = a/c

Definición: El coseno del ángulo y es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa: cosy= in/c

Definición: La tangente del ángulo y es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente: tgy = a/b

Definición: La cotangente del ángulo y es la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto: ctgy= in/a

El seno, el coseno, la tangente y la cotangente también se denominan funciones trigonométricas. Cada ángulo tiene su propio seno y coseno. Y casi todo el mundo tiene su propia tangente y cotangente.

Se cree que si nos dan un ángulo, entonces conocemos su seno, coseno, tangente y cotangente. Y viceversa. Dado un seno, o cualquier otra función trigonométrica, respectivamente, conocemos el ángulo. Incluso se han creado mesas especiales donde funciones trigonométricas para cada ángulo.

¿Qué es el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo te ayudará a comprender? triángulo rectángulo.

¿Cómo se llaman los lados de un triángulo rectángulo? Así es, hipotenusa y catetos: la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto (en nuestro ejemplo este es el lado \(AC\)); Los catetos son los dos lados restantes \(AB\) y \(BC\) (los adyacentes a ángulo recto), y, si consideramos los catetos con respecto al ángulo \(BC\), entonces el cateto \(AB\) es el cateto adyacente, y el cateto \(BC\) es el opuesto. Entonces, ahora respondamos la pregunta: ¿qué son el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo?

Seno de ángulo– esta es la relación entre el cateto opuesto (distante) y la hipotenusa.

En nuestro triángulo:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

coseno de ángulo– esta es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y la hipotenusa.

En nuestro triángulo:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

tangente del ángulo– esta es la relación entre el lado opuesto (distante) y el adyacente (cercano).

En nuestro triángulo:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangente de ángulo– esta es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y el opuesto (lejos).

En nuestro triángulo:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Estas definiciones son necesarias recordar! Para que sea más fácil recordar qué pierna dividir en qué, debe comprender claramente que en tangente Y cotangente solo las piernas se sientan y la hipotenusa aparece solo en seno Y coseno. Y luego puedes crear una cadena de asociaciones. Por ejemplo, este:

Coseno→toque→toque→adyacente;

Cotangente→toque→toque→adyacente.

En primer lugar, debes recordar que el seno, el coseno, la tangente y la cotangente como proporciones de los lados de un triángulo no dependen de las longitudes de estos lados (en el mismo ángulo). ¿No creen? Entonces asegúrate mirando la imagen:

Considere, por ejemplo, el coseno del ángulo \(\beta \) . Por definición, de un triángulo \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), pero podemos calcular el coseno del ángulo \(\beta \) del triángulo \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Verás, las longitudes de los lados son diferentes, pero el valor del coseno de un ángulo es el mismo. Así, los valores de seno, coseno, tangente y cotangente dependen únicamente de la magnitud del ángulo.

Si comprende las definiciones, ¡adelante y consolidelas!

Para el triángulo \(ABC \) que se muestra en la siguiente figura, encontramos \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

Bueno, ¿lo entendiste? Entonces pruébalo tú mismo: calcula lo mismo para el ángulo \(\beta \) .

Respuestas: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Círculo unitario (trigonométrico)

Entendiendo los conceptos de grados y radianes, consideramos un círculo con un radio igual a \(1\) . Tal círculo se llama soltero. Te será muy útil a la hora de estudiar trigonometría. Por tanto, veámoslo con un poco más de detalle.

Como se puede ver, circulo dado construido en sistema cartesiano coordenadas Radio del círculo igual a uno, mientras que el centro del círculo se encuentra en el origen, posición inicial El vector de radio se fija a lo largo de la dirección positiva del eje \(x\) (en nuestro ejemplo, este es el radio \(AB\)).

Cada punto del círculo corresponde a dos números: la coordenada a lo largo del eje \(x\) y la coordenada a lo largo del eje \(y\). ¿Cuáles son estos números de coordenadas? Y en general, ¿qué tienen que ver con el tema que nos ocupa? Para hacer esto, debemos recordar el triángulo rectángulo considerado. En la figura de arriba, puedes ver dos triángulos rectángulos completos. Considere el triángulo \(ACG\) . Es rectangular porque \(CG\) es perpendicular al eje \(x\).

¿Qué es \(\cos \ \alpha \) del triángulo \(ACG \)? Así es \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Además, sabemos que \(AC\) es el radio del círculo unitario, lo que significa \(AC=1\) . Sustituyamos este valor en nuestra fórmula del coseno. Esto es lo que sucede:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

¿A qué es igual \(\sin \ \alpha \) del triángulo \(ACG \)? Bueno, por supuesto, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Sustituye el valor del radio \(AC\) en esta fórmula y obtienes:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Entonces, ¿puedes decir qué coordenadas tiene el punto \(C\) que pertenece al círculo? Bueno, ¿de ninguna manera? ¿Qué pasa si te das cuenta de que \(\cos \ \alpha \) y \(\sin \alpha \) son solo números? ¿A qué coordenada corresponde \(\cos \alpha \)? Bueno, por supuesto, ¡la coordenada \(x\)! ¿Y a qué coordenada corresponde \(\sin \alpha \)? Así es, ¡coordina \(y\)! Entonces el punto \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Entonces, ¿a qué son iguales \(tg \alpha \) y \(ctg \alpha \)? Así es, usemos las definiciones correspondientes de tangente y cotangente y obtengamos eso \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

¿Qué pasa si el ángulo es mayor? Por ejemplo, como en esta imagen:

¿Qué ha cambiado en en este ejemplo? Vamos a resolverlo. Para hacer esto, volvamos nuevamente a un triángulo rectángulo. Considere un triángulo rectángulo \(((A)_(1))((C)_(1))G \): ángulo (como adyacente al ángulo \(\beta \) ). ¿Cuál es el valor del seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Así es, nos adherimos a las definiciones correspondientes de funciones trigonométricas:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Bueno, como puedes ver, el valor del seno del ángulo todavía corresponde a la coordenada \(y\) ; el valor del coseno del ángulo - coordenada \(x\) ; y los valores de tangente y cotangente a las razones correspondientes. Por tanto, estas relaciones se aplican a cualquier rotación del vector radio.

Ya se ha mencionado que la posición inicial del vector radio está a lo largo de la dirección positiva del eje \(x\). Hasta ahora hemos rotado este vector en el sentido contrario a las agujas del reloj, pero ¿qué pasa si lo rotamos en el sentido de las agujas del reloj? Nada extraordinario, también obtendrás un ángulo de cierto valor, pero solo será negativo. Por lo tanto, al girar el vector de radio en sentido antihorario, obtenemos ángulos positivos , y al girar en el sentido de las agujas del reloj – negativo.

Entonces, sabemos que la revolución completa del vector radio alrededor del círculo es \(360()^\circ \) o \(2\pi \) . ¿Es posible rotar el vector de radio en \(390()^\circ \) o en \(-1140()^\circ \)? ¡Bueno, por supuesto que puedes! En el primer caso, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), por lo tanto, el vector de radio hará una revolución completa y se detendrá en la posición \(30()^\circ \) o \(\dfrac(\pi )(6) \) .

En el segundo caso, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), es decir, el vector radio formará tres revoluciones completas y se detendrá en la posición \(-60()^\circ \) o \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Por lo tanto, de los ejemplos anteriores podemos concluir que los ángulos que difieren en \(360()^\circ \cdot m \) o \(2\pi \cdot m \) (donde \(m \) es cualquier número entero), corresponden a la misma posición del vector radio.

La siguiente figura muestra el ángulo \(\beta =-60()^\circ \) . La misma imagen corresponde a la esquina. \(-420()^\circ,-780()^\circ,\ 300()^\circ,660()^\circ \) etc. Esta lista puede continuar indefinidamente. Todos estos ángulos se pueden escribir mediante la fórmula general. \(\beta +360()^\circ \cdot m\) o \(\beta +2\pi \cdot m \) (donde \(m \) es cualquier número entero)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Ahora bien, conociendo las definiciones de las funciones trigonométricas básicas y utilizando el círculo unitario, intenta responder cuáles son los valores:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Aquí tienes un círculo unitario para ayudarte:

¿Tiene dificultades? Entonces averigüémoslo. Entonces sabemos que:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(array)\)

A partir de aquí determinamos las coordenadas de los puntos correspondientes a determinadas medidas de ángulos. Bueno, empecemos en orden: la esquina en \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) corresponde a un punto con coordenadas \(\left(0;1 \right) \) , por lo tanto:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- no existe;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Además, siguiendo la misma lógica, descubrimos que las esquinas en \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) corresponden a puntos con coordenadas \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \derecha) \), respectivamente. Sabiendo esto, es fácil determinar los valores de funciones trigonométricas en los puntos correspondientes. Pruébelo usted mismo primero y luego verifique las respuestas.

Respuestas:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- no existe

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- no existe

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\pecado \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- no existe

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- no existe

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Así, podemos hacer la siguiente tabla:

No es necesario recordar todos estos valores. Basta recordar la correspondencia entre las coordenadas de los puntos del círculo unitario y los valores de las funciones trigonométricas:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(¡¡Debes recordarlo o poder generarlo!! \) !}

Pero los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos en y \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) indicado en la siguiente tabla, debe recordar:

No te asustes, ahora te mostramos un ejemplo de memorización bastante sencilla de los valores correspondientes:

Para utilizar este método, es vital recordar los valores de los senos para las tres medidas de ángulo ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi (3)\)), así como el valor de la tangente del ángulo en \(30()^\circ \) . Conociendo estos valores \(4\), es bastante sencillo restaurar la tabla completa: los valores del coseno se transfieren de acuerdo con las flechas, es decir:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\end(matriz)\)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), sabiendo esto, puedes restaurar los valores para \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). El numerador "\(1 \)" corresponderá a \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) y el denominador "\(\sqrt(\text(3)) \)" corresponderá a \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Los valores cotangentes se transfieren de acuerdo con las flechas indicadas en la figura. Si comprende esto y recuerda el diagrama con las flechas, será suficiente recordar solo \(4\) valores de la tabla.

Coordenadas de un punto en un círculo.

¿Es posible encontrar un punto (sus coordenadas) en un círculo, conociendo las coordenadas del centro del círculo, su radio y ángulo de rotación? ¡Bueno, por supuesto que puedes! vamos a sacarlo formula general para encontrar las coordenadas de un punto. Por ejemplo, aquí hay un círculo frente a nosotros:

Nos dan ese punto \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centro del círculo. El radio del círculo es \(1,5\). Es necesario encontrar las coordenadas del punto \(P\) obtenidas al rotar el punto \(O\) en \(\delta \) grados.

Como se puede ver en la figura, la coordenada \(x\) del punto \(P\) corresponde a la longitud del segmento \(TP=UQ=UK+KQ\). La longitud del segmento \(UK\) corresponde a la coordenada \(x\) del centro del círculo, es decir, es igual a \(3\) . La longitud del segmento \(KQ\) se puede expresar usando la definición de coseno:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Entonces tenemos que para el punto \(P\) la coordenada \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Usando la misma lógica, encontramos el valor de la coordenada y para el punto \(P\). De este modo,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Entonces, en general, las coordenadas de los puntos están determinadas por las fórmulas:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(matriz) \), Dónde

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordenadas del centro del círculo,

\(r\) - radio del círculo,

\(\delta \) - ángulo de rotación del radio del vector.

Como puede ver, para el círculo unitario que estamos considerando, estas fórmulas se reducen significativamente, ya que las coordenadas del centro son cero y el radio es uno:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Los profesores creen que todo alumno debería poder realizar cálculos, saber fórmulas trigonométricas, pero no todos los profesores explican qué son el seno y el coseno. ¿Cuál es su significado, dónde se utilizan? ¿Por qué hablamos de triángulos, pero el libro de texto muestra un círculo? Intentemos conectar todos los hechos.

Asignatura escolar

El estudio de la trigonometría generalmente comienza en los grados 7-8. escuela secundaria. En este momento, se explica a los estudiantes qué son el seno y el coseno y se les pide que resuelvan problemas geométricos usando estas funciones. Más aparecen más tarde fórmulas complejas y expresiones que se requieren algebraicamente transformar (fórmulas de doble y medio ángulo, funciones de potencia), el trabajo se realiza con un círculo trigonométrico.

Sin embargo, los profesores no siempre son capaces de explicar claramente el significado de los conceptos utilizados y la aplicabilidad de las fórmulas. Por lo tanto, el estudiante a menudo no ve el sentido de este tema y la información memorizada se olvida rápidamente. Sin embargo, vale la pena explicarle una vez a un estudiante de secundaria, por ejemplo, la conexión entre función y movimiento oscilatorio, y la conexión lógica será recordada durante muchos años, y las bromas sobre la inutilidad del tema serán cosa del pasado.

Uso

Por curiosidad, analicemos varias ramas de la física. ¿Quieres determinar el alcance de un proyectil? ¿O estás calculando la fuerza de fricción entre un objeto y una determinada superficie? ¿Balancear el péndulo, observar los rayos que atraviesan el vidrio, calcular la inducción? En casi cualquier fórmula aparecen conceptos trigonométricos. Entonces, ¿qué son el seno y el coseno?

Definiciones

El seno de un ángulo es la razón del lado opuesto a la hipotenusa, el coseno es la razón del lado adyacente a la misma hipotenusa. Aquí no hay absolutamente nada complicado. Quizás los estudiantes suelen sentirse confundidos por los significados que ven en tabla trigonométrica, porque allí aparecen raíces cuadradas. Sí, sacar decimales de ellos no es muy conveniente, pero ¿quién dijo que todos los números en matemáticas deben ser iguales?

De hecho, puedes encontrar una pista curiosa en los libros de problemas de trigonometría: la mayoría de las respuestas aquí son pares y, en el peor de los casos, contienen la raíz de dos o tres. La conclusión es simple: si su respuesta resulta ser una fracción de "varios pisos", vuelva a verificar la solución para detectar errores en los cálculos o el razonamiento. Y lo más probable es que los encuentres.

que recordar

Como cualquier ciencia, la trigonometría tiene datos que es necesario aprender.

Primero, debes recordar valores numéricos para senos, cosenos de un triángulo rectángulo 0 y 90, así como 30, 45 y 60 grados. Estos indicadores se dan en nueve de cada diez tareas escolares. Al observar estos valores en un libro de texto, perderá mucho tiempo y no habrá ningún lugar donde consultarlos durante una prueba o examen.

Hay que recordar que el valor de ambas funciones no puede exceder de uno. Si en algún lugar de sus cálculos obtiene un valor fuera del rango 0-1, deténgase e intente resolver el problema nuevamente.

La suma de los cuadrados del seno y el coseno es igual a uno. Si ya encontró uno de los valores, use esta fórmula para encontrar el restante.

Teoremas

Hay dos teoremas básicos en trigonometría básica: senos y cosenos.

El primero establece que la razón entre cada lado de un triángulo y el seno del ángulo opuesto es la misma. La segunda es que el cuadrado de cualquier lado se puede obtener sumando los cuadrados de los dos lados restantes y restando su doble producto multiplicado por el coseno del ángulo que se encuentra entre ellos.

Así, si sustituimos el valor de un ángulo de 90 grados en el teorema del coseno, obtenemos... el teorema de Pitágoras. Ahora, si necesita calcular el área de una figura que no es un triángulo rectángulo, ya no tiene que preocuparse: los dos teoremas discutidos simplificarán significativamente la solución del problema.

Metas y objetivos

Aprender trigonometría será mucho más fácil cuando te des cuenta de un hecho simple: todas las acciones que realizas tienen como objetivo lograr un solo objetivo. Se pueden encontrar todos los parámetros de un triángulo si se conoce la mínima información sobre él: podría ser el valor de un ángulo y la longitud de dos lados o, por ejemplo, tres lados.

Para determinar el seno, coseno y tangente de cualquier ángulo, estos datos son suficientes y con su ayuda puedes calcular fácilmente el área de la figura. Casi siempre, la respuesta requiere uno de los valores mencionados y se pueden encontrar usando las mismas fórmulas.

Inconsistencias en el aprendizaje de trigonometría

Una de las preguntas desconcertantes que los escolares prefieren evitar es descubrir la conexión entre diferentes conceptos en trigonometría. Parecería que los triángulos se utilizan para estudiar los senos y cosenos de los ángulos, pero por alguna razón los símbolos se encuentran a menudo en la figura del círculo. Además, existe un gráfico ondulatorio completamente incomprensible llamado onda sinusoidal, que no tiene ningún parecido externo ni con un círculo ni con un triángulo.

Además, los ángulos se miden en grados o en radianes, y el número Pi, escrito simplemente como 3,14 (sin unidades), por alguna razón aparece en las fórmulas, correspondiente a 180 grados. ¿Cómo se relaciona todo esto?

Unidades

¿Por qué Pi es exactamente 3,14? ¿Recuerdas cuál es este significado? Este es el número de radios que caben en un arco en medio círculo. Si el diámetro del círculo es de 2 centímetros, la circunferencia será 3,14 * 2, o 6,28.

Segundo punto: habrás notado la similitud entre las palabras “radián” y “radio”. El hecho es que un radian es numéricamente igual al valor el ángulo subtendido desde el centro del círculo en un arco de un radio de longitud.

Ahora combinaremos los conocimientos adquiridos y entenderemos por qué "Pi a la mitad" se escribe en la parte superior del eje de coordenadas en trigonometría y "Pi" a la izquierda. Este magnitud angular, medido en radianes, porque un semicírculo mide 180 grados, o 3,14 radianes. Y donde hay grados, hay senos y cosenos. Es fácil dibujar un triángulo desde el punto deseado, apartando segmentos hacia el centro y hacia el eje de coordenadas.

Miremos hacia el futuro

La trigonometría, estudiada en la escuela, se ocupa de un sistema de coordenadas rectilíneo, donde, por extraño que parezca, una línea recta es una línea recta.

Pero hay más formas complejas trabajando con el espacio: la suma de los ángulos del triángulo aquí será más de 180 grados, y la línea recta en nuestra vista parecerá un arco real.

¡Pasemos de las palabras a la acción! Toma una manzana. Haz tres cortes con un cuchillo para que, visto desde arriba, obtengas un triángulo. Saca el trozo de manzana resultante y mira las “costillas” donde termina la cáscara. No son nada heterosexuales. La fruta que tienes en tus manos se puede llamar convencionalmente redonda, pero ahora imagina lo complejas que deben ser las fórmulas con las que puedes encontrar el área de la pieza cortada. Pero algunos especialistas resuelven estos problemas todos los días.

Funciones trigonométricas en la vida.

¿Has notado que la ruta más corta para un avión desde el punto A al punto B en la superficie de nuestro planeta tiene una forma de arco pronunciada? La razón es simple: la Tierra es esférica, lo que significa que no se pueden calcular muchas cosas usando triángulos; hay que usar fórmulas más complejas.

No puedes prescindir del seno/coseno ángulo agudo en cualquier asunto relacionado con el espacio. Es interesante que aquí confluyen una gran cantidad de factores: se requieren funciones trigonométricas para calcular el movimiento de los planetas a lo largo de círculos, elipses y diversas trayectorias. formas complejas; el proceso de lanzamiento de cohetes, satélites, lanzaderas y desacoplamiento de vehículos de investigación; supervisión estrellas distantes y el estudio de galaxias a las que los humanos no podrán llegar en un futuro previsible.

En general, el campo de actividad de una persona que conoce la trigonometría es muy amplio y, aparentemente, solo se ampliará con el tiempo.

Conclusión

Hoy aprendimos, o al menos repetimos, qué son el seno y el coseno. Estos son conceptos a los que no debes temer; simplemente deséalos y entenderás su significado. Recuerde que la trigonometría no es una meta, sino sólo una herramienta que puede usarse para satisfacer necesidades reales. necesidades humanas: construye casas, garantiza la seguridad del tráfico e incluso explora la inmensidad del universo.

De hecho, la ciencia en sí puede parecer aburrida, pero tan pronto como encuentre en ella una manera de lograr sus propios objetivos y su autorrealización, el proceso de aprendizaje se volverá interesante y su motivación personal aumentará.

Como tarea Intente encontrar formas de aplicar funciones trigonométricas en un área de actividad que le interese personalmente. Imagínese, use su imaginación y probablemente descubrirá que los nuevos conocimientos le serán útiles en el futuro. Y además, las matemáticas son útiles para desarrollo general pensamiento.

Este artículo habla sobre cómo determinar la distancia de un punto a un plano. Analicemos el método de coordenadas, que nos permitirá encontrar la distancia desde Punto dado espacio tridimensional. Para reforzar esto, veamos ejemplos de varias tareas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

La distancia de un punto a un plano se encuentra mediante distancia conocida de un punto a otro, donde uno de ellos es dado y el otro es una proyección sobre un plano dado.

Cuando se especifica un punto M 1 con un plano χ en el espacio, entonces a través del punto se puede dibujar perpendicular al plano directo. H1 es punto común sus intersecciones. De esto obtenemos que el segmento M 1 H 1 es una perpendicular trazada desde el punto M 1 al plano χ, donde el punto H 1 es la base de la perpendicular.

Definición 1

Llame a la distancia desde un punto dado hasta la base de una perpendicular trazada desde un punto dado como avión dado.

La definición se puede escribir en diferentes formulaciones.

Definición 2

Distancia de un punto a un plano es la longitud de la perpendicular trazada desde un punto dado a un plano dado.

La distancia desde el punto M 1 al plano χ se determina de la siguiente manera: la distancia desde el punto M 1 al plano χ será la más pequeña desde un punto dado hasta cualquier punto del plano. Si el punto H 2 está ubicado en el plano χ y no es igual al punto H 2, entonces obtenemos un triángulo rectángulo de la forma M 2 H 1 H 2 , que es rectangular, donde hay un cateto M 2 H 1, M 2 H 2 – hipotenusa. Esto significa que se sigue que M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 Se considera inclinado el que se traza desde el punto M 1 hasta el plano χ. Tenemos que la perpendicular trazada desde un punto dado al plano es menor que la inclinada trazada desde el punto al plano dado. Veamos este caso en la siguiente figura.

Distancia de un punto a un plano: teoría, ejemplos, soluciones.

Hay un numero problemas geométricos, cuyas soluciones deben contener la distancia del punto al plano. Puede haber diferentes formas de identificar esto. Para resolverlo utilizamos el teorema de Pitágoras o la semejanza de triángulos. Cuando, según la condición, sea necesario calcular la distancia de un punto a un plano, especificada en sistema rectangular Las coordenadas del espacio tridimensional se resuelven mediante el método de coordenadas. Este párrafo analiza este método.

De acuerdo con las condiciones del problema, tenemos que se da un punto en el espacio tridimensional con coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) con un plano χ, es necesario determinar la distancia de M 1 a; el plano χ. Se utilizan varios métodos de solución para resolver este problema.

primera manera

Este método se basa en encontrar la distancia de un punto a un plano utilizando las coordenadas del punto H 1, que son la base de la perpendicular del punto M 1 al plano χ. A continuación, debe calcular la distancia entre M 1 y H 1.

Para resolver el problema de la segunda manera, use ecuación normal plano dado.

Segunda manera

Por condición, tenemos que H 1 es la base de la perpendicular, que descendió desde el punto M 1 al plano χ. Luego determinamos las coordenadas (x 2, y 2, z 2) del punto H 1. La distancia requerida desde M 1 al plano χ se encuentra mediante la fórmula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, donde M 1 (x 1, y 1, z 1) y H 1 (x 2, y 2, z 2). Para resolverlo, necesitas conocer las coordenadas del punto H 1.

Tenemos que H 1 es el punto de intersección del plano χ con la recta a, que pasa por el punto M 1 situado perpendicular al plano χ. De ello se deduce que es necesario compilar una ecuación para una línea recta que pasa por un punto dado perpendicular a un plano dado. Es entonces cuando podremos determinar las coordenadas del punto H 1. Es necesario calcular las coordenadas del punto de intersección de la recta y el plano.

Algoritmo para encontrar la distancia desde un punto con coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) al plano χ:

Definición 3

• Dibuje una ecuación de la recta a que pasa por el punto M 1 y al mismo tiempo
• perpendicular al plano χ;
• encuentre y calcule las coordenadas (x 2 , y 2 , z 2 ) del punto H 1, que son puntos
• intersección de la línea a con el plano χ;
• calcule la distancia de M 1 a χ usando la fórmula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Tercera vía

En un sistema de coordenadas rectangular dado O x y z hay un plano χ, entonces obtenemos una ecuación normal del plano de la forma cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. De aquí obtenemos que la distancia M 1 H 1 con el punto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) trazado al plano χ, calculada mediante la fórmula M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γz-p. Esta fórmula es válida, ya que fue establecida gracias al teorema.

Teorema

Si el punto M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) se da en espacio tridimensional, teniendo una ecuación normal del plano χ de la forma cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, entonces la distancia del punto al plano M 1 H 1 se calcula a partir de la fórmula M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, ya que x = x 1, y = y 1, z = z 1.

Prueba

La demostración del teorema se reduce a encontrar la distancia de un punto a una recta. De esto obtenemos que la distancia de M 1 al plano χ es el módulo de la diferencia entre la proyección numérica del vector de radio M 1 con la distancia del origen al plano χ. Entonces obtenemos la expresión M 1 H 1 = n p n → O M → - p. El vector normal del plano χ tiene la forma n → = cos α, cos β, cos γ, y su longitud es igual a uno, n p n → O M → es la proyección numérica del vector O M → = (x 1, y 1 , z 1) en la dirección determinada por el vector n → .

Apliquemos la fórmula de cálculo. vectores escalares. Luego obtenemos una expresión para encontrar un vector de la forma n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , ya que n → = cos α , cos β , cos γ · z y O M → = (x 1 , y 1 , z 1 ) . formulario de coordenadas La entrada tomará la forma n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , entonces M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . El teorema ha sido demostrado.

De aquí obtenemos que la distancia desde el punto M 1 (x 1, y 1, z 1) al plano χ se calcula sustituyendo en lado izquierdo ecuación normal del plano cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 en lugar de x, y, z coordenadas x 1, y 1 y z 1, relacionado con el punto M 1, tomando valor absoluto el valor obtenido.

Veamos ejemplos de cómo encontrar la distancia desde un punto con coordenadas a un plano determinado.

Ejemplo 1

Calcula la distancia desde el punto de coordenadas M 1 (5, - 3, 10) al plano 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Solución

Resolvamos el problema de dos maneras.

El primer método comienza calculando el vector director de la recta a. Por condición, tenemos que la ecuación dada 2 x - y + 5 z - 3 = 0 es una ecuación del plano vista general, y n → = (2, - 1, 5) es el vector normal del plano dado. Se utiliza como vector director de una recta a, que es perpendicular a un plano dado. debe estar escrito ecuación canónica una línea recta en el espacio que pasa por M 1 (5, - 3, 10) con un vector director con coordenadas 2, - 1, 5.

La ecuación será x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Se deben determinar los puntos de intersección. Para hacer esto, combine suavemente las ecuaciones en un sistema para pasar de las ecuaciones canónicas a las ecuaciones de dos líneas que se cruzan. Este punto tomemos H 1. lo entendemos

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Después de lo cual necesitas habilitar el sistema.

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Pasemos a la regla de solución del sistema gaussiano:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Obtenemos que H 1 (1, - 1, 0).

Calculamos la distancia desde un punto dado al avión. Tomamos los puntos M 1 (5, - 3, 10) y H 1 (1, - 1, 0) y obtenemos

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

La segunda solución es reducir primero la ecuación dada 2 x - y + 5 z - 3 = 0 a aspecto normal. Determinamos el factor de normalización y obtenemos 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. De aquí derivamos la ecuación del plano 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. El lado izquierdo de la ecuación se calcula sustituyendo x = 5, y = - 3, z = 10, y debes tomar la distancia de M 1 (5, - 3, 10) a 2 x - y + 5 z - 3 = 0 módulo. Obtenemos la expresión:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Respuesta: 2 30.

Cuando el plano χ se especifica mediante uno de los métodos de la sección sobre métodos para especificar un plano, primero debe obtener la ecuación del plano χ y calcular la distancia requerida utilizando cualquier método.

Ejemplo 2

En el espacio tridimensional, se especifican puntos con coordenadas M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Calcula la distancia desde M 1 al plano A B C.

Solución

Primero necesitas escribir la ecuación del plano que pasa por los tres puntos dados con coordenadas M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1).

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

De ello se deduce que el problema tiene una solución similar al anterior. Esto significa que la distancia desde el punto M 1 al plano A B C tiene un valor de 2 30.

Respuesta: 2 30.

Encontrar la distancia desde un punto dado en un plano o hasta un plano al que son paralelos es más conveniente aplicando la fórmula M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . De esto obtenemos que las ecuaciones normales de los planos se obtienen en varios pasos.

Ejemplo 3

Encuentre la distancia desde un punto dado con coordenadas M 1 (- 3 , 2 , - 7) a Plano coordinado O x y z y avión, dado por la ecuación 2 y - 5 = 0 .

Solución

El plano de coordenadas O y z corresponde a una ecuación de la forma x = 0. Para el plano O y z es normal. Por lo tanto, es necesario sustituir los valores x = - 3 en el lado izquierdo de la expresión y tomar el valor absoluto de la distancia desde el punto con coordenadas M 1 (- 3, 2, - 7) al plano. Obtenemos un valor igual a - 3 = 3.

Después de la transformación, la ecuación normal del plano 2 y - 5 = 0 tomará la forma y - 5 2 = 0. Luego puedes encontrar la distancia requerida desde el punto con coordenadas M 1 (- 3, 2, - 7) al plano 2 y - 5 = 0. Sustituyendo y calculando, obtenemos 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Respuesta: La distancia requerida desde M 1 (- 3, 2, - 7) a O y z tiene un valor de 3, y a 2 y - 5 = 0 tiene un valor de 5 2 - 2.

Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter