Plan

Antiderivada de una función e integral indefinida. Propiedades básicas de la integral indefinida. Tabla de integrales indefinidas básicas. Métodos básicos de integración: integración directa, método de sustitución, integración por partes.

Fracciones racionales. Integrando lo más simple fracciones racionales. Integrando fracciones racionales.

Integración funciones trigonométricas. integrando algunos funciones irracionales. Integrales que no se pueden expresar mediante funciones elementales.

Integral definida. Propiedades básicas de una integral definida. Integral con variable limite superior. Fórmula de Newton-Leibniz. Métodos básicos para calcular una integral definida (cambio de variable, integración por partes).

Aplicaciones geométricas integral definida. Algunas aplicaciones de la integral definida en economía.

Integrales impropias(integrales con límites infinitos integraciones, integrales de funciones ilimitadas).

Antiderivada de una función e integral indefinida

En cálculo integral, la tarea principal es encontrar la función. y=F(X) por su derivada conocida.

Definición 1. Función F(X) se llama antiderivada funciones F(X) en el intervalo ( a, b), si por alguna la igualdad se cumple: o .

Teorema 1. Cualquier línea continua en el intervalo [ a, b] función F(X) tiene una primitiva en este segmento F(X).

En lo que sigue consideraremos funciones que son continuas en un intervalo.

Teorema 2. Si la función F(X) es la antiderivada de la función F(X) en el intervalo ( a, b), entonces el conjunto de todas las antiderivadas viene dado por la fórmula F(X)+CON, Dónde CON -numero constante.

Prueba.

Función F(X)+CON es la antiderivada de la función F(X), porque .

Dejar F(X) – otro, diferente de F(X) función antiderivada F(X), es decir. . Entonces tenemos

Lo que significa que

,

Dónde CON– número constante. Por eso,

Definición 2. El conjunto de todas las funciones antiderivadas. F(X)+CON para función F(X) se llama No integral definida de la función F(X) y se denota con el símbolo .

Así, por definición

(1)

En la fórmula (1) F(X) se llama función integrando, F(X)dx – integrando, X– variable de integración, signo de la integral indefinida.

La operación de encontrar la integral indefinida de una función se llama integración esta función.

Una integral geométricamente indefinida es una familia de curvas. (a cada valor numérico CON corresponde a una determinada curva de la familia). La gráfica de cada antiderivada (curva) se llama curva integral. No se cruzan ni se tocan. Sólo una curva integral pasa por cada punto del plano. Todas las curvas integrales se obtienen unas de otras. transferencia paralela a lo largo del eje Oh.

Propiedades básicas de la integral indefinida.

Consideremos las propiedades de la integral indefinida que se derivan de su definición.

1. La derivada de la integral indefinida es igual al integrando, el diferencial de la integral indefinida es igual a integrando :

Prueba.

Dejar Entonces

2. Integral indefinida del diferencial de alguna función. igual a la suma esta función y una constante arbitraria:

Prueba.

En realidad, .

3. factor constante a() se puede sacar como signo de la integral indefinida:

4. Integral indefinida de una suma algebraica Número finito funciones es igual suma algebraica integrales de estas funciones:

5. Si F(X) – función antiderivada f(X), Eso

Prueba.

En realidad,

6 (invariancia de fórmulas de integración). Cualquier fórmula de integración conserva su forma si variable de integración reemplazar por cualquier función diferenciable con esta variable:

donde tu– función diferenciable.

Tabla de integrales indefinidas básicas

Dado que la integración es la acción inversa de la diferenciación, la mayoría de las fórmulas dadas se pueden obtener invirtiendo fórmulas correspondientes diferenciación. En otras palabras, la mesa fórmulas básicas la integración se obtiene de la tabla de derivadas funciones elementales al leerlo al revés (de derecha a izquierda).

A continuación se muestra una tabla de las principales integrales indefinidas. (Tenga en cuenta que aquí, como en el cálculo diferencial, la letra tu puede significar tanto la variable independiente ( tu=X), y una función de la variable independiente ( tu=tu(X)).)

Las integrales 1 a 12 se llaman tabular.

Algunas de las fórmulas anteriores de la tabla de integrales, que no tienen análogo en la tabla de derivadas, se verifican diferenciando sus lados derechos.

CÁLCULO INTEGRAL- rama de las matemáticas en la que se estudian las integrales varios tipos, como integral definida, integral indefinida, integral de línea, integral de superficie, integral doble, integral triple etc., sus propiedades, métodos de cálculo, así como aplicaciones de estas integrales a diversos problemas de las ciencias naturales.

La fórmula central de I. y. es la fórmula de Newton-Leibniz (ver Fórmula de Newton-Leibniz), que conecta las funciones integrales definidas e indefinidas (ver Integral definida, Integral indefinida), cantidades definidas en términos que son completamente diferentes entre sí.

Es esta fórmula la que establece que

bajo las siguientes condiciones y anotaciones:

Segmento de línea eje numérico, - función continua, - partición de un segmento en puntos , - segmento , - punto de un segmento , , es decir, el máximo de las longitudes de los segmentos , es una función antiderivada para , es decir, tal que . El límite en el lado izquierdo existe en el caso función continua, cualquier método para refinar la partición, en la que y cualquier elección de puntos.

Ver límites Surgen al calcular muchas cantidades asociadas a conceptos físicos, geométricos, etc. Al mismo tiempo, calcular la antiderivada para funciones simples Se lleva a cabo con bastante eficacia según las reglas de I. y. Estas reglas se basan en las propiedades de funciones diferenciables estudiadas en cálculo diferencial, de modo que I. y. y el cálculo diferencial forman un objetivo inseparable.

Al pasar de funciones de una variable a funciones de varias variables, el contenido de la información y. se vuelve mucho más rico. Los conceptos de doble, triple (y generalmente n-veces), superficial y integrales curvilíneas. Yo y. establece reglas para calcular estas integrales reduciéndolas a cálculos repetidos varias veces de determinadas integrales.

Una sección separada de I. y. funciones de varias variables es la teoría de campos (ver Teoría de campos), una parte esencial de la cual consiste en teoremas que establecen la conexión entre integrales sobre un dominio e integrales sobre el límite de un dominio (ver Fórmula de Ostrogradsky, Fórmula de Green, Fórmula de Stokes).

En su desarrollo posterior I. y. condujo al estudio de las integrales de Stieltjes, Lebesgue y Denjoy, basándose en ideas más generales que las integrales analizadas anteriormente.

El surgimiento de I. y. asociado con problemas de cálculo de áreas y volúmenes diferentes cuerpos. Algunos avances en esta dirección se produjeron en Antigua Grecia(Eudoxo de Kindsky, Arquímedes, etc.). En los siglos XVI y XVII se produjo en Europa un resurgimiento del interés por problemas de este tipo. En ese momento, los matemáticos europeos tuvieron la oportunidad de familiarizarse con las obras de Arquímedes, traducidas al latín. Pero la razón principal de tanta atención es Y y. apareció desarrollo industrial varios países europeos, lo que planteó nuevos desafíos para las matemáticas. En este momento, un gran aporte para I. y. aportado por I. Kepler, B. Cavalieri, E. Torricelli, J. Wallis, B. Pascal, P. Fermat, X. Huygens.

Cambio cualitativo en I. y. Aparecieron las obras de I. Newton y G. Leibniz, quienes crearon una serie métodos comunes encontrar los límites de sumas integrales. Importante tenía un simbolismo conveniente I. y. (todavía usado), presentado por G. Leibniz. Después de los trabajos de I. Newton y G. Leibniz, muchos problemas de la inteligencia artificial, que antes requerían una gran habilidad para resolverlos, quedaron reducidos a un nivel puramente técnico. En este caso, las fórmulas de diferenciación fueron especialmente importantes función compleja, la regla para cambiar variables en integrales definidas e indefinidas y (sobre todo) la fórmula de Newton-Leibniz mencionada anteriormente.

Más desarrollo historico Yo y. asociado con los nombres de I. Bernoulli, L. Euler, O. Cauchy y los matemáticos rusos M. V. Ostrogradsky, V. Ya Bunyakovsky, P. L. Chebyshev.

Yo y. Juntos con calculo diferencial hasta el día de hoy es una de las principales herramientas matemáticas de muchas ciencias físicas y técnicas.

Introducción

El símbolo integral se introdujo en 1675 y las cuestiones del cálculo integral se han estudiado desde 1696. Aunque la integral es estudiada principalmente por matemáticos, los físicos también han contribuido a esta ciencia. Casi ninguna fórmula física puede prescindir del cálculo diferencial e integral. Por eso, decidí explorar la integral y su aplicación.

Historia del calculo integral

La historia del concepto de integral está estrechamente relacionada con los problemas de encontrar cuadraturas. Los matemáticos de la antigua Grecia y Roma llamaban problemas de cuadratura de una determinada figura plana para calcular áreas. palabra latina quadratura se traduce como “dar forma cuadrada" La necesidad de un término especial se explica por el hecho de que en la antigüedad (y más tarde, hasta el siglo XVIII) las ideas sobre numeros reales. Los matemáticos operaron con sus análogos geométricos o cantidades escalares, que no se puede multiplicar. Por lo tanto, los problemas para encontrar áreas debían formularse, por ejemplo, así: “Construye un cuadrado de igual área este circulo" (Este problema clásico“La cuadratura de un círculo”, como se sabe, no se puede resolver con la ayuda de un compás y una regla.)

El símbolo t fue introducido por Leibniz (1675). Esta señal es un cambio. letra latina S (la primera letra de la palabra summ a) La palabra integral en sí fue inventada por J. Bernoulli (1690). Probablemente provenga del latín integro, que se traduce como traer a un estado anterior, restaurar. (De hecho, la operación de integración “restaura” la función al diferenciar cuál se obtuvo el integrando). Quizás el origen del término integral sea diferente: la palabra entero significa entero.

Durante la correspondencia, I. Bernoulli y G. Leibniz estuvieron de acuerdo con la propuesta de J. Bernoulli. Al mismo tiempo, en 1696, apareció el nombre de una nueva rama de las matemáticas: el cálculo integral (calculus integralis), que fue introducido por I. Bernoulli.

Otros términos conocidos relacionados con cálculo integral, apareció mucho más tarde. El nombre “función primitiva”, actualmente en uso, ha reemplazado al anterior “función primitiva”, introducido por Lagrange (1797). La palabra latina primitivus se traduce como “inicial”: F(x) = m f(x)dx - inicial (u original, o antiderivada) de f (x), que se obtiene de F(x) por diferenciación.

EN literatura moderna El conjunto de todas las primitivas de la función f(x) también se llama integral indefinida. Este concepto fue destacado por Leibniz, quien señaló que todo funciones antiderivadas difieren en una constante arbitraria b, se les llama integral definida (la designación fue introducida por C. Fourier (1768-1830), pero los límites de integración ya fueron indicados por Euler).

Muchos logros importantes de los matemáticos de la antigua Grecia en la resolución de problemas de búsqueda de cuadraturas (es decir, cálculo de áreas) figuras planas, así como la cubatura (cálculo de volúmenes) de cuerpos están asociados con el uso del método de agotamiento propuesto por Eudoxo de Cnido (c. 408 - c. 355 a. C.). Con este método, Eudoxo demostró, por ejemplo, que las áreas de dos círculos están relacionadas como los cuadrados de sus diámetros, y que el volumen de un cono es igual a 1/3 del volumen de un cilindro que tiene la misma base y altura.

El método de Eudoxo fue mejorado por Arquímedes. Las principales etapas que caracterizan el método de Arquímedes: 1) se demuestra que el área de un círculo menos área cualquier descripción sobre él polígono regular, Pero más área cualquier inscrito; 2) está demostrado que con una duplicación ilimitada del número de lados, la diferencia en las áreas de estos polígonos tiende a cero; 3) para calcular el área de un círculo, queda por encontrar el valor al que tiende la relación del área de un polígono regular cuando el número de sus lados se duplica ilimitadamente.

Utilizando el método de agotamiento y otras consideraciones ingeniosas (incluido el uso de modelos mecánicos), Arquímedes resolvió muchos problemas. Dio una estimación del número p (3,10/71

Arquímedes anticipó muchas de las ideas del cálculo integral. (Agregamos que en la práctica los primeros teoremas sobre límites fueron demostrados por él). Pero tuvieron que pasar más de mil quinientos años antes de que estas ideas encontraran una expresión clara y fueran llevadas al nivel del cálculo.

Los matemáticos del siglo XVII, que obtuvieron muchos resultados nuevos, aprendieron de los trabajos de Arquímedes. También se utilizó activamente otro método: el método de los indivisibles, que también se originó en la antigua Grecia (está asociado principalmente con las opiniones atomistas de Demócrito). Por ejemplo, imaginaron un trapecio curvo (Fig. 1, a) compuesto por segmentos verticales de longitud f(x), al que, sin embargo, le asignaron un área igual al valor infinitesimal f(x)dx. De acuerdo con este entendimiento, el área requerida se consideró igual a la suma

un número infinitamente grande de áreas infinitamente pequeñas. A veces incluso se enfatizaba que los términos individuales de esta suma son ceros, pero ceros de un tipo especial que, sumados a un número infinito, dan una suma positiva bien definida.

Sobre una base que ahora parece al menos dudosa, J. Kepler (1571-1630) en sus escritos “Nueva Astronomía”.

1609 y "Estereometría de barriles de vino" (1615) calcularon correctamente una serie de áreas (por ejemplo, el área de una figura delimitada por una elipse) y volúmenes (el cuerpo se cortó en 6 placas finitamente delgadas). Estos estudios fueron continuados por los matemáticos italianos B. Cavalieri (1598-1647) y E. Torricelli (1608-1647). El principio formulado por B. Cavalieri, introducido por él bajo algunos supuestos adicionales, conserva su importancia en nuestro tiempo.

Sea necesario encontrar el área de la figura que se muestra en la Figura 1, b, donde las curvas que limitan la figura desde arriba y desde abajo tienen las ecuaciones

y = f(x) y y=f(x)+c.

Imaginando una figura formada por columnas “indivisibles”, en la terminología de Cavalieri, infinitamente delgadas, observamos que todas ellas tienen una longitud total c. Moviéndolos en dirección vertical, podemos formar un rectángulo con base b-a y altura c. Por lo tanto, el área requerida es igual al área del rectángulo resultante, es decir

S = S1 = c (b-a).

El principio general de Cavalieri para las áreas de figuras planas se formula de la siguiente manera: Dejemos que las líneas de un determinado conjunto de paralelos crucen las figuras Ф1 y Ф2 a lo largo de segmentos de igual longitud (Fig. 1, c). Entonces las áreas de las figuras F1 y F2 son iguales.

Un principio similar opera en estereometría y es útil para encontrar volúmenes.

En el siglo 17 Se hicieron muchos descubrimientos relacionados con el cálculo integral. Así, P. Fermat ya en 1629 resolvió el problema de la cuadratura de cualquier curva y = xn, donde n es un número entero (es decir, esencialmente derivó la fórmula m xndx = (1/n+1)xn+1), y Sobre esta base resolvió una serie de problemas para encontrar centros de gravedad. I. Kepler, al deducir sus famosas leyes del movimiento planetario, en realidad se basó en la idea de integración aproximada. I. Barrow (1630-1677), maestro de Newton, estuvo cerca de comprender la conexión entre integración y diferenciación. El trabajo de representación de funciones en forma de series de potencias fue de gran importancia.

Sin embargo, a pesar de la importancia de los resultados obtenidos por muchos matemáticos extremadamente inventivos del siglo XVII, el cálculo aún no existía. Era necesario resaltar las ideas generales que subyacen a la solución de muchos problemas particulares, así como establecer una conexión entre las operaciones de diferenciación e integración, lo que da un algoritmo bastante general. Esto lo hicieron Newton y Leibniz, quienes descubrieron de forma independiente un hecho conocido como fórmula de Newton-Leibniz. Así, finalmente se formó el método general. Todavía tenía que aprender a encontrar antiderivadas de muchas funciones, realizar nuevos cálculos lógicos, etc. Pero lo principal ya está hecho: se ha creado el cálculo diferencial e integral.

Los métodos de análisis matemático se desarrollaron activamente en el siglo siguiente (en primer lugar, cabe mencionar los nombres de L. Euler, que completó un estudio sistemático de la integración de funciones elementales, y I. Bernoulli). Los matemáticos rusos M.V. participaron en el desarrollo del cálculo integral. Ostrogradsky (1801-1862), V.Ya. Bunyakovsky (1804-1889), P.L. Chebyshev (1821-1894). De fundamental importancia, en particular, fueron los resultados de Chebyshev, quien demostró que hay integrales que no pueden expresarse mediante funciones elementales.

Una presentación rigurosa de la teoría integral apareció recién en el siglo pasado. La solución a este problema está asociada a los nombres de O. Cauchy, uno de los más grandes matemáticos, el científico alemán B. Riemann (1826-1866) y el matemático francés G. Darboux (1842-1917).

Las respuestas a muchas preguntas relacionadas con la existencia de áreas y volúmenes de figuras se obtuvieron con la creación de la teoría de la medida por C. Jordan (1838-1922).

Ya a principios de nuestro siglo, los matemáticos franceses A. Lebesgue (1875-1941) y A. Denjoy (188 4-1974), el matemático soviético A.Ya. Khinchinchin (1894-1959).

TEOREMAS DE LÍMITE DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

La desigualdad de Chebyshev y su significado. El teorema de Chebyshev. Teorema de Bernoulli. El teorema del límite central de la teoría de la probabilidad (teorema de Lyapunov) y su uso en estadística matemática.

La teoría de la probabilidad estudia los patrones inherentes a los fenómenos aleatorios masivos. Los teoremas de límite de la teoría de la probabilidad establecen la relación entre azar y necesidad. El estudio de los patrones que se manifiestan en fenómenos aleatorios masivos nos permite predecir científicamente los resultados de futuras pruebas.

Los teoremas límite de la teoría de la probabilidad se dividen en dos grupos, uno de los cuales se llama ley de los grandes números, y el otro - .

Este capítulo analiza los siguientes teoremas relacionados con la ley de los grandes números: la desigualdad de Chebyshev, los teoremas de Chebyshev y los teoremas de Bernoulli.

La ley de los grandes números consta de varios teoremas que prueban la aproximación de características medias, sujetas a determinadas condiciones, a determinados valores constantes.

1. La desigualdad de Chebyshev.

Si una variable aleatoria tiene una expectativa y una varianza finitas, entonces para cualquier número positivo se cumple la siguiente desigualdad:

, (9.1)

es decir, la probabilidad de que la desviación de una variable aleatoria de su expectativa matemática en valor absoluto no exceda la diferencia entre la unidad y la relación entre la varianza de esta variable aleatoria y el cuadrado.

Anotemos ahora la probabilidad del evento. , es decir, el evento opuesto al evento . Es obvio que

. (9.2)

La desigualdad de Chebyshev es válida para cualquier ley de distribución de una variable aleatoria y se aplica tanto a variables aleatorias positivas como negativas. La desigualdad (9.2) limita desde arriba la probabilidad de que una variable aleatoria se desvíe de su expectativa matemática en una cantidad mayor que. De esta desigualdad se deduce que a medida que disminuye la dispersión, el límite superior de la probabilidad también disminuye y los valores de una variable aleatoria con pequeña dispersión se concentran alrededor de su expectativa matemática.

Ejemplo 1. Para organizar adecuadamente el ensamblaje de una unidad, es necesario estimar la probabilidad con la que las dimensiones de las piezas se desvían del centro del campo de tolerancia en no más de . Se sabe que la mitad del campo de tolerancia coincide con la expectativa matemática de las dimensiones de las piezas mecanizadas y la desviación estándar es igual.

Solución. Según las condiciones del problema tenemos: ,. En nuestro caso, el tamaño de las piezas que se procesan. Usando la desigualdad de Chebyshev, obtenemos

2. Teorema de Chebyshev.

Con un número suficientemente grande de pruebas independientes, es posible, con una probabilidad cercana a la unidad, afirmar que la diferencia entre la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria y la expectativa matemática de este valor en valor absoluto será ser menor que un número arbitrariamente pequeño, siempre que la variable aleatoria tenga una dispersión finita, es decir

donde es un número positivo cercano a cero.

Pasando entre llaves al evento opuesto, obtenemos

.

El teorema de Chebyshev permite juzgar la expectativa matemática utilizando la media aritmética con suficiente precisión, o viceversa: utilizando la expectativa matemática para predecir el valor esperado de la media. Por lo tanto, sobre la base de este teorema, se puede argumentar que si se realiza un número suficientemente grande de mediciones de un determinado parámetro con un dispositivo libre de errores sistemáticos, entonces la media aritmética de los resultados de estas mediciones difiere lo menos posible. del valor real del parámetro medido.

Ejemplo 2. Para determinar la necesidad de metal líquido y materias primas, el peso promedio de la pieza fundida de una camisa para un motor de automóvil se determina de forma selectiva, ya que el peso de la pieza fundida calculado a partir del modelo de metal difiere del peso real. ¿Cuántas piezas fundidas se deben tomar para que con una probabilidad mayor que , se pueda afirmar que el peso promedio de las piezas fundidas seleccionadas difiere del peso calculado, aceptado como expectativa matemática, en no más de kg? Se ha establecido que la desviación estándar del peso es igual a kg .

Solución. Según las condiciones del problema que tenemos,, , donde es el peso promedio de las piezas fundidas del revestimiento. Si aplicamos la desigualdad de Chebyshev a una variable aleatoria, obtenemos

,

y teniendo en cuenta las igualdades (4.4) y (4.5) -

.

Sustituyendo estos problemas aquí, obtenemos

,

¿De dónde lo encontramos?

3. Teorema de Bernoulli.

El teorema de Bernoulli establece una conexión entre la frecuencia de ocurrencia de un evento y su probabilidad.

Con un número suficientemente grande de ensayos independientes, se puede afirmar con una probabilidad cercana a la unidad que la diferencia entre la frecuencia de ocurrencia de un evento en estos ensayos y su probabilidad en un ensayo separado en valor absoluto será menor que un valor arbitrariamente pequeño. número, si la probabilidad de que ocurra este evento en cada ensayo es constante e igual a .

El enunciado del teorema se puede escribir como la siguiente desigualdad:

, (9.3)

donde y son números positivos arbitrariamente pequeños.

Utilizando la propiedad de expectativa y dispersión matemática, así como la desigualdad de Chebyshev, la fórmula (9.3) se puede escribir en la forma

, (9.4)

Al resolver problemas prácticos, a veces es necesario estimar la probabilidad de la mayor desviación de la frecuencia de ocurrencia de un evento de su valor esperado. La variable aleatoria en este caso es el número de ocurrencias del evento en ensayos independientes. Tenemos:

,

.

Usando la desigualdad de Chebyshev, en este caso obtenemos

.

Ejemplo 3. De los productos enviados al taller de montaje, se examinaron productos seleccionados al azar. Entre ellos había algunos defectuosos. Tomando la proporción de productos defectuosos entre los seleccionados como la probabilidad de producir un producto defectuoso, estime la probabilidad de que todo el lote de productos defectuosos contenga no más de % ni menos de %.

Solución. Determinemos la probabilidad de producir un producto defectuoso:

.

La mayor desviación de la frecuencia de aparición de productos defectuosos de la probabilidad en valor absoluto es igual a ; número de pruebas. Usando la fórmula (9.4), encontramos la probabilidad deseada:

,

.

4. Teorema de Lyapunov.

Los teoremas considerados de la ley de los grandes números se refieren a la cuestión de la aproximación de determinadas variables aleatorias a determinados valores límite, independientemente de su ley de distribución. En teoría de la probabilidad, existe otro grupo de teoremas relacionados con las leyes límite de distribución de una suma de variables aleatorias. Este grupo de teoremas tiene el nombre general teorema del límite central. Las diferentes formas del teorema del límite central difieren entre sí en las condiciones impuestas a la suma de las variables aleatorias constituyentes.

La ley de distribución de la suma de variables aleatorias independientes ( ) se acerca a la ley de distribución normal con aumento ilimitado si se cumplen las siguientes condiciones:

1) todas las cantidades tienen expectativas y varianzas matemáticas finitas:

; ;,

Dónde , ;

2) ninguna de las cantidades difiere mucho en valor de todas las demás:

.

Al resolver muchos problemas prácticos, se utiliza la siguiente formulación del teorema de Lyapunov para la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria, que también es una variable aleatoria (se cumplen las condiciones enumeradas anteriormente):

Si una variable aleatoria tiene esperanza y varianza matemática finita, entonces la distribución de la media aritmética , calculado a partir de los valores observados de una variable aleatoria en pruebas independientes, se acerca a la ley normal con expectativas matemáticas de dispersión, es decir.

.

Por lo tanto, la probabilidad de lo que está contenido en el intervalo se puede calcular mediante la fórmula

(9.5)

Usando la función de Laplace (ver Apéndice 2), la fórmula (9.5) se puede escribir en la siguiente forma, conveniente para los cálculos:

; .

Cabe señalar que el teorema del límite central es válido no solo para variables aleatorias continuas, sino también discretas. La importancia práctica del teorema de Lyapunov es enorme. La experiencia demuestra que la ley de distribución de la suma de variables aleatorias independientes comparables en su dispersión se acerca rápidamente a la normalidad. Ya con un número de términos del orden de diez, la ley de distribución de la suma puede sustituirse por una normal.

Un caso especial del teorema central del límite es el teorema de Laplace (ver Capítulo 3, párrafo 5). Considera el caso en el que las variables aleatorias ,, son discretas, están distribuidas idénticamente y toman sólo dos valores posibles: y. Para la aplicación de este teorema en estadística matemática, consulte el párrafo 6 del Capítulo 3.

PREGUNTAS DE AUTOEVALUACIÓN

1. ¿Cómo se llama la ley de los grandes números? ¿Cuál es el significado de este nombre?

2. Formule la desigualdad de Chebyshev y el teorema de Chebyshev.

3. ¿Cuál es el papel de los teoremas de límites en la teoría de la probabilidad?

4. ¿Cuál de las leyes de distribución aparece como ley limitante?

5. ¿Cuál es el teorema del límite central de Lyapunov?

6. ¿Cómo se puede interpretar el teorema de Laplace como un teorema límite en la teoría de la probabilidad?

TAREAS PARA SOLUCIÓN INDEPENDIENTE.

1. La longitud de los productos manufacturados representa una variable aleatoria, cuyo valor promedio (expectativa matemática) es igual a cm. La varianza de esta cantidad es . Utilizando la desigualdad de Chebyshev, estime la probabilidad de que: a) la desviación de la longitud del producto manufacturado de su valor promedio en valor absoluto no exceda; b) la longitud del producto se expresará por el número comprendido entre y cm.

Respuesta: a); b).

2. El dispositivo consta de elementos que funcionan de forma independiente. La probabilidad de falla de cada elemento a lo largo del tiempo es igual. Utilizando la desigualdad de Chebyshev, estime la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre el número de elementos fallidos y el número promedio (expectativa matemática) de fallos a lo largo del tiempo sea menor.