SECCIONES CÓNICAS, rectas que se obtienen cortando un cono circular recto con planos que no pasan por su vértice. Hay secciones cónicas tres tipos. 1) El plano de corte cruza todas las generatrices del cono en los puntos de una de sus cavidades (Fig., a); la línea de intersección es una curva ovalada cerrada: una elipse, un círculo como caso especial Se obtiene una elipse cuando el plano de corte es perpendicular al eje del cono. 2) El plano de corte es paralelo a uno de los planos tangentes del cono (Fig., b); en la sección transversal, el resultado es una curva abierta que llega al infinito: una parábola que se extiende enteramente sobre una cavidad. 3) El plano de corte cruza ambas cavidades del cono (Fig., c); la línea de intersección, una hipérbola, consta de dos partes idénticas no cerradas (ramas de la hipérbola) que se extienden hasta el infinito, cada una de las cuales se encuentra en su propia cavidad del cono.

EN geometría analítica Las secciones cónicas son líneas reales, que no se desintegran, de segundo orden. En los casos en que una sección cónica tiene un centro de simetría (centro), es decir, es una elipse o hipérbola, su ecuación es sistema cartesiano Las coordenadas se pueden reducir (moviendo el origen de las coordenadas al centro) a la forma a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33, donde a 11, a 12, a 22 y 33 son constantes. Las ecuaciones de estas curvas se pueden reducir a más vista sencilla

Aх 2 + Βу 2 = С, (*)

si para las direcciones de los ejes de coordenadas elegimos las llamadas direcciones principales, las direcciones de los ejes principales (ejes de simetría) de la sección cónica. Si las constantes A y B tienen signos idénticos(coincidiendo con el signo C), entonces la ecuación (*) define una elipse; si A y B son de diferente signo, entonces es una hipérbole.

La ecuación de una parábola no se puede reducir a la forma (*). Con una elección adecuada de los ejes de coordenadas (un eje de coordenadas es el único eje de simetría de la parábola, el otro es una línea recta perpendicular a él que pasa por el vértice de la parábola), su ecuación se puede reducir a la forma y 2 = 2 píxeles.

Secciones cónicas eran conocidos por los matemáticos Antigua Grecia. El hecho de que la elipse, la hipérbola y la parábola sean secciones de conos fue descubierto por Menecmo (alrededor del 340 a. C.). Mayoría ensayo completo, dedicado a estas curvas, es “Secciones cónicas” de Apolonio de Perga (alrededor del 200 a. C.). Mayor desarrollo La teoría de las secciones cónicas está asociada con la creación en el siglo XVII de los métodos proyectivos (J. Desargues, B. Pascal) y coordinados (R. Descartes, P. Fermat). Con la elección adecuada del sistema de coordenadas (el eje de abscisas es el eje de simetría de la sección cónica, el eje de ordenadas es tangente al vértice de la sección cónica), la ecuación de la sección cónica se reduce a la forma y 2 = 2рх + λх 2, donde р y λ son constantes, р≠0. Para λ = 0 esta ecuación define una parábola, para λ<0 - эллипс, при λ>0 es una hipérbole. Esta propiedad de la sección cónica, contenida en la última ecuación, era conocida por los antiguos geómetras griegos y fue la razón por la que Apolonio de Perga le asignó ciertos tipos nombres de secciones cónicas que han sobrevivido hasta el día de hoy: la palabra "parábola" significa aplicación (ya que en geometría griega, la transformación de un rectángulo de un área dada y 2 en un rectángulo igual con una base dada 2p se llama aplicación de un área dada y 2 rectángulo a esta base); la palabra "elipse" es una desventaja (aplicación con desventaja); la palabra “hipérbole” es un exceso (una aplicación con exceso).

La definición estereométrica de una sección cónica puede sustituirse por definiciones planimétricas de estas curvas como conjuntos de puntos en un plano. Así, por ejemplo, una elipse es un conjunto de puntos para los cuales la suma de las distancias a dos puntos dados (focos) tiene el mismo valor. Es posible dar otra definición planimétrica de sección cónica, que abarque los tres tipos de estas curvas: una sección cónica es un conjunto de puntos, para cada uno de los cuales la relación entre las distancias a un punto dado (foco) y la distancia a una recta dada (directriz) es igual a una dada numero positivo(excentricidad) e.<1 коническое сечение - эллипс; при е >1 - hipérbole; cuando e = 1 - parábola.

El interés en la sección cónica siempre se ha mantenido por el hecho de que estas líneas se encuentran a menudo en descripciones. varios fenómenos naturaleza y en actividad humana. Las secciones cónicas adquirieron un significado especial después de que I. Kepler (1609) estableciera mediante observaciones e I. Newton (1687) fundamentara teóricamente las leyes del movimiento planetario (una de las cuales establece que los planetas y los cometas sistema solar moverse a lo largo de secciones cónicas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol).

Iluminado: Guardián B. L. van der. Despertar la ciencia. 2da ed. M., 2006; Alexandrov P. S. Conferencias sobre geometría analítica. 2da ed. M., 2008.

Institución Educativa Municipal

Promedio Escuela comprensiva №4

Secciones cónicas

Terminado

Antón Spiridonov

estudiante de la clase 11A

Comprobado

Korobeynikova A. T.

Tobolsk - 2006

Introducción

El concepto de secciones cónicas.

Tipos de secciones cónicas

Estudiar

Construcción de secciones cónicas.

Aproximación analítica

Solicitud

Bibliografía

Introducción.

Objeto: estudiar secciones cónicas.

Objetivos: aprender a distinguir entre tipos de secciones cónicas, construir secciones cinéticas y aplicar un enfoque analítico.

Las secciones cónicas fueron propuestas por primera vez por el antiguo geómetra griego Menechmo, que vivió en el siglo IV a. C., para resolver el problema de duplicar un cubo. Esta tarea está asociada a la siguiente leyenda.

Un día, estalló una epidemia de peste en la isla de Delos. Los habitantes de la isla recurrieron al oráculo, quien dijo que para detener la epidemia era necesario duplicar el altar de oro, que tenía forma de cubo y estaba ubicado en el templo de Apolo en Atenas. Los isleños hicieron un nuevo altar, cuyas nervaduras eran dos veces más grandes que las del anterior. Sin embargo, la plaga no cesó. Los residentes enojados escucharon del oráculo que habían entendido mal sus instrucciones: no eran los bordes del cubo los que debían duplicarse, sino su volumen, es decir, los bordes del cubo debían duplicarse. En términos álgebra geométrica, que fue utilizado por los matemáticos griegos, el problema significaba: según este segmento y encuentre los segmentos xey tales que a: x = x: y = y: 2a. Entonces la longitud del segmento x será igual a .

La proporción dada se puede considerar como un sistema de ecuaciones:

Pero x 2 =ay y y 2 =2ax son ecuaciones de parábolas. Por tanto, para resolver el problema es necesario encontrar sus puntos de intersección. Si tenemos en cuenta que la ecuación de la hipérbola xy=2a 2 también se puede obtener del sistema, entonces el mismo problema se puede resolver encontrando los puntos de intersección de la parábola y la hipérbola.

Para obtener secciones cónicas, Menaechmus intersecaba un cono -agudo, rectangular u obtuso- con un plano perpendicular a una de las generatrices. Para un cono de ángulo agudo, la sección por un plano perpendicular a su generatriz tiene forma de elipse. Un cono obtuso da una hipérbola y un cono rectangular da una parábola.

De aquí provienen los nombres de las curvas, que fueron introducidos por Apolonio de Perga, que vivió en el siglo III a.C.: elipse (έλλείψίς), que significa defecto, deficiencia (del ángulo de un cono a una línea recta) ; hipérbola (ύπέρβωλη) - exageración, preponderancia (de un ángulo de cono sobre una línea recta); parábola (παραβολη) - aproximación, igualdad (del ángulo del cono ángulo recto). Más tarde, los griegos se dieron cuenta de que se podían obtener las tres curvas en un cono cambiando la inclinación del plano de corte. En este caso, debes tomar un cono formado por dos cavidades y pensar que se extienden hasta el infinito (Fig. 1).

Si dibujamos una sección de un cono circular perpendicular a su eje, y luego giramos el plano de corte, dejando estacionario un punto de su intersección con el cono, veremos cómo el círculo primero se estira, convirtiéndose en una elipse. Entonces el segundo vértice de la elipse irá al infinito, y en lugar de una elipse obtendrás una parábola, y luego el plano también cruzará la segunda cavidad del cono y obtendrás una hipérbola.

El concepto de secciones cónicas.

Las secciones cónicas son curvas planas que se obtienen al cortar un cono circular recto con un plano que no pasa por su vértice. Desde el punto de vista de la geometría analítica, una sección cónica es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen una ecuación de segundo orden. Con la excepción de los casos degenerados discutidos en la última sección, las secciones cónicas son elipses, hipérbolas o parábolas (Fig. 2).

Al girar triángulo rectángulo cerca de uno de los catetos, la hipotenusa con sus extensiones describe una superficie cónica, llamada superficie de un cono circular recto, que puede considerarse como una serie continua de líneas que pasan por el vértice y se denominan generadores, descansando todos los generadores en el mismo círculo. , llamado generador. Cada uno de los generadores representa la hipotenusa de un triángulo giratorio (en su posición conocida), extendido en ambas direcciones hasta el infinito. Así, cada generatriz se extiende a ambos lados del vértice, por lo que la superficie tiene dos cavidades: convergen en un punto en un vértice común. Si dicha superficie es intersecada por un plano, entonces la sección producirá una curva, que se llama sección cónica. Puede ser de tres tipos:

1) si un plano cruza una superficie cónica a lo largo de todas las generatrices, entonces solo se diseca una cavidad y en la sección se obtiene una curva cerrada llamada elipse;

2) si el plano de corte cruza ambas cavidades, entonces se obtiene una curva que tiene dos ramas y se llama hipérbola;

3) si el plano de corte es paralelo a una de las generatrices, entonces se obtiene una parábola.

Si el plano de corte es paralelo al círculo generador, entonces se obtiene un círculo, que puede considerarse como un caso especial de elipse. Un plano de corte puede cortar una superficie cónica sólo en un vértice, entonces la sección produce un punto, como en el caso especial de una elipse.

Si un plano que pasa por el vértice intersecta ambas cavidades, entonces la sección produce un par de líneas que se cruzan, considerado como un caso especial de hipérbola.

Si el vértice está infinitamente distante, entonces la superficie cónica se vuelve cilíndrica y su sección por un plano, paralelo a los generadores, da un par de rectas paralelas como un caso especial de parábola. Las secciones cónicas se expresan mediante ecuaciones de segundo orden, cuya forma general es

Hacha 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

y se llaman curvas de segundo orden.

Tipos de secciones cónicas.

Las secciones cónicas pueden ser de tres tipos:

1) el plano de corte corta todas las generatrices del cono en puntos de una de sus cavidades; la línea de intersección es una curva ovalada cerrada: una elipse; un círculo como caso especial de elipse se obtiene cuando el plano de corte es perpendicular al eje del cono.

2) El plano de corte es paralelo a uno de los planos tangentes del cono; en la sección transversal, el resultado es una curva abierta que llega al infinito: una parábola que se extiende enteramente sobre una cavidad.

3) El plano de corte intersecta ambas cavidades del cono; la línea de intersección, una hipérbola, consta de dos partes abiertas idénticas que se extienden hasta el infinito (ramas de la hipérbola) que se encuentran en ambas cavidades del cono.

Estudiar.

En los casos en que una sección cónica tiene un centro de simetría (centro), es decir, es una elipse o hipérbola, su ecuación se puede reducir (moviendo el origen de coordenadas al centro) a la forma:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Estudios posteriores de dichas secciones cónicas (llamadas centrales) muestran que sus ecuaciones se pueden reducir a una forma aún más simple:

Hacha 2 + Wu 2 = C,

si elegimos las direcciones principales para las direcciones de los ejes de coordenadas, las direcciones de los ejes principales (ejes de simetría) de las secciones cónicas. Si A y B tienen los mismos signos (coincidiendo con el signo de C), entonces la ecuación define una elipse; si A y B son de diferente signo, entonces es una hipérbole.

La ecuación de una parábola no se puede reducir a la forma (Ax 2 + By 2 = C). Con una elección adecuada de los ejes de coordenadas (un eje de coordenadas es el único eje de simetría de la parábola, el otro es una línea recta perpendicular a él que pasa por el vértice de la parábola), su ecuación se puede reducir a la forma:

CONSTRUCCIÓN DE SECCIONES CÓNICAS.

Al estudiar las secciones cónicas como intersecciones de planos y conos, los antiguos matemáticos griegos también las consideraban trayectorias de puntos en un plano. Se descubrió que una elipse se puede definir como el lugar geométrico de los puntos, la suma de las distancias desde los cuales a dos puntos dados es constante; parábola: como lugar geométrico de puntos equidistantes de un punto dado y de una línea recta dada; Hipérbola: como lugar geométrico de puntos, la diferencia de distancias desde dos puntos dados es constante.

Estas definiciones de secciones cónicas como curvas planas también sugieren un método para construirlas usando una cuerda estirada.

Elipse. Si los extremos de un hilo de una longitud determinada se fijan en los puntos F 1 y F 2 (Fig. 3), entonces la curva descrita por la punta de un lápiz que se desliza a lo largo de un hilo muy estirado tiene la forma de una elipse. Los puntos F 1 y F 2 se denominan focos de la elipse, y los segmentos V 1 V 2 y v 1 v 2 entre los puntos de intersección de la elipse con los ejes de coordenadas, los ejes mayor y menor. Si los puntos F 1 y F 2 coinciden, entonces la elipse se convierte en un círculo (Fig. 3).

Hipérbola. Al construir una hipérbola, el punto P, la punta de un lápiz, se fija en un hilo que se desliza libremente a lo largo de clavijas instaladas en los puntos F 1 y F 2, como se muestra en la Figura 4, a, las distancias se seleccionan de modo que el segmento PF 2 es más largo que el segmento PF 1 por un valor fijo menor que la distancia F 1 F 2 . En este caso, un extremo del hilo pasa por debajo de la clavija F 1 y ambos extremos del hilo pasan por encima de la clavija F 2. (La punta del lápiz no debe deslizarse a lo largo del hilo, por lo que debe asegurarse haciendo un pequeño bucle en el hilo y pasando la punta a través de él). Dibujamos una rama de la hipérbola (PV 1 Q), asegurándonos de que el hilo permanece tenso todo el tiempo, y, tirando ambos extremos del hilo hacia abajo pasando el punto F 2, y cuando el punto P esté por debajo del segmento F 1 F 2, sujetando el hilo por ambos extremos y soltándolo con cuidado. Dibujamos la segunda rama de la hipérbola cambiando primero los pines F 1 y F 2 (Fig. 4).

Las ramas de la hipérbola se acercan a dos líneas rectas que se cruzan entre las ramas. Estas líneas rectas, llamadas asíntotas de la hipérbola, se construyen como se muestra en la Figura 4, b. Esquina

los coeficientes de estas rectas son iguales a donde está el segmento bisectriz del ángulo entre las asíntotas, perpendicular al segmento F2F1; el segmento v 1 v 2 se llama eje conjugado de la hipérbola y el segmento V 1 V 2 es su eje transversal. Así, las asíntotas son las diagonales de un rectángulo cuyos lados pasan por cuatro puntos v 1, v 2, V 1, V 2 paralelos a los ejes. Para construir este rectángulo, debe especificar la ubicación de los puntos v 1 y v 2. Están a la misma distancia, iguales.

desde el punto de intersección de los ejes O. Esta fórmula supone la construcción de un triángulo rectángulo con catetos Ov 1 y V 2 O e hipotenusa F 2 O.

Si las asíntotas de una hipérbola son mutuamente perpendiculares, entonces la hipérbola se llama equilátera. Dos hipérbolas que tienen asíntotas comunes, pero con ejes transversales y conjugados reorganizados, se denominan mutuamente conjugadas.

Parábola. Los focos de la elipse y la hipérbola eran conocidos por Apolonio, pero el foco de la parábola aparentemente fue establecido por primera vez por Pappus (segunda mitad del siglo III), quien definió esta curva como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto dado (foco). y una recta dada, que se llama directora. La construcción de una parábola mediante un hilo tensado, basada en la definición de Pappus, fue propuesta por Isidoro de Mileto (siglo VI) (Fig. 5).

Coloquemos la regla de modo que su borde coincida con la directriz y apliquemos el cateto de dibujo AC a este borde. triangulo abc. Fijemos un extremo del hilo de longitud AB en el vértice B del triángulo y el otro en el foco de la parábola F. Después de tirar del hilo con la punta de un lápiz, presione la punta hacia punto variable P al cateto libre AB del triángulo dibujado. A medida que el triángulo se mueve a lo largo de la regla, el punto P describirá el arco de una parábola con foco F y directriz, ya que largo total el hilo es igual a AB, un trozo de hilo es adyacente al cateto libre del triángulo, y por lo tanto el trozo de hilo restante PF debe ser igual a la parte restante del cateto AB, es decir, PA. El punto de intersección de V de la parábola con el eje se llama vértice de la parábola, la recta que pasa por F y V es el eje de la parábola. Si se traza una línea recta a través del foco, perpendicular al eje, entonces el segmento de esta línea recta cortado por la parábola se llama parámetro focal. Para una elipse y una hipérbola, el parámetro focal se determina de manera similar.

APROXIMACIÓN ANALÍTICA

donde no todos los coeficientes A, B y C son iguales a cero. Mediante el uso transferencia paralela y rotación de los ejes, la ecuación (1) se puede reducir a la forma

hacha 2 + por 2 + c = 0

La primera ecuación se obtiene de la ecuación (1) para B 2 > AC, la segunda, para B 2 = AC. Las secciones cónicas cuyas ecuaciones se reducen a la primera forma se denominan centrales. Las secciones cónicas definidas por ecuaciones del segundo tipo con q > 0 se denominan no centrales. Dentro de estas dos categorías hay nueve varios tipos secciones cónicas dependiendo de los signos de los coeficientes.

1) Si los coeficientes a, b y c tienen el mismo signo, entonces no existen puntos reales cuyas coordenadas satisfagan la ecuación. Tal sección cónica se llama elipse imaginaria (o círculo imaginario si a = b).

2) Si a y b tienen el mismo signo y c tiene el signo opuesto, entonces la sección cónica es una elipse; cuando a = b – círculo.

3) Si a y b tienen diferentes signos, entonces la sección cónica es una hipérbola.

4) Si a y b tienen signos diferentes y c = 0, entonces la sección cónica consta de dos líneas que se cruzan.

5) Si a y b tienen el mismo signo y c = 0, entonces solo hay un punto real en la curva que satisface la ecuación, y una sección cónica son dos rectas imaginarias que se cruzan. En este caso, también hablamos de una elipse subtendida a un punto o, si a = b, de una circunferencia subtendida a un punto.

6) Si aob es igual a cero y los otros coeficientes tienen signos diferentes, entonces la sección cónica consta de dos rectas paralelas.

7) Si aob es igual a cero y los coeficientes restantes tienen el mismo signo, entonces no hay un solo punto real que satisfaga la ecuación. En este caso, dicen que una sección cónica está formada por dos rectas paralelas imaginarias.

8) Si c = 0, y a o b también son cero, entonces la sección cónica consta de dos rectas reales coincidentes. (La ecuación no define ninguna sección cónica para a = b = 0, ya que en este caso ecuación original(1) no de segundo grado.)

9) Las ecuaciones del segundo tipo definen parábolas si p y q son diferentes de cero. Si p > 0 y q = 0, obtenemos la curva del paso 8. Si p = 0, entonces la ecuación no define ninguna sección cónica, ya que la ecuación original (1) no es de segundo grado.

Solicitud

Las secciones cónicas se encuentran a menudo en la naturaleza y la tecnología. Por ejemplo, las órbitas de los planetas que giran alrededor del Sol tienen forma de elipses. Un círculo es un caso especial de elipse, en el que eje mayor igual a pequeño. Un espejo parabólico tiene la propiedad de que todos los rayos incidentes paralelos a su eje convergen en un punto (foco). Se utiliza en la mayoría de los telescopios reflectores que utilizan espejos parabólicos, así como en antenas de radar y micrófonos especiales con reflectores parabólicos. Un haz emana de una fuente de luz colocada en el foco de un reflector parabólico. rayos paralelos. Por eso los espejos parabólicos se utilizan en focos de alta potencia y en los faros de los automóviles. Una hipérbole es una gráfica de muchas cosas importantes. relaciones fisicas, por ejemplo, la ley de Boyle (que relaciona la presión y el volumen gas ideal) y la ley de Ohm, que especifica electricidad en función de la resistencia a voltaje constante

Solicitud

Bibliografía.

1. Alekseev. El teorema de Abel en problemas y soluciones. 2001

2. Bazylev V. T., Dunichev K. I., Ivanitskaya V. P.. Tutorial para estudiantes de 1er año de facultades de física y matemáticas institutos pedagógicos. "Ilustración" de Moscú 1974

3. Vereshchagin N.K., A. Shen. Conferencias sobre lógica matemática y teoría de algoritmos. 1999

4. Gelfand I.M.. Conferencias sobre álgebra lineal. 1998.

5. Gladky A.V. Introducción a lógica moderna. 2001

6. ME Kazaryan. Curso de geometría diferencial (2001-2002).

7. Prasolov V.V.. Geometría de Lobachevsky 2004

8. Prasolov V.V.. Problemas de planimetría 2001

9. Sheinman O.K.. Fundamentos de la teoría de la representación. 2004

PRESUPUESTO DEL ESTADO

INSTITUCIÓN EDUCATIVA PROFESIONAL

CIUDADES DE MOSCÚ

"COLEGIO DE POLICÍA"

Resumen sobre la disciplina Matemáticas.

Sobre el tema: “Secciones cónicas y sus aplicaciones en tecnología”

Realizado

Cadete del 15º pelotón

Alekseeva A.I.

Maestro

Zaitseva O.N.

Moscú

2016

Contenido:

Introducción

1. El concepto de secciones cónicas……………………………………………………5

2. Tipos de secciones cónicas…………………………………………...7

3. Investigación………………………………………………………………..8

4. Propiedades de las secciones cónicas…. ……………………………………….9

5. Construcción de secciones cónicas…………………………………….10

6. Enfoque analítico…………………………………………………………14

7. Solicitud……………………………………………………………….16

8. Al otro lado del cono……………………………………………………..17

Lista de literatura usada

Introducción

Un día, estalló una epidemia de peste en la isla de Delos. Los habitantes de la isla recurrieron al oráculo, quien dijo que para detener la epidemia era necesario duplicar el altar de oro, que tenía forma de cubo y estaba ubicado en el templo de Apolo en Atenas. Los isleños hicieron un nuevo altar, cuyas nervaduras eran el doble de grandes que las del anterior. Sin embargo, la plaga no cesó. Los residentes enojados escucharon del oráculo que habían entendido mal sus instrucciones: no eran los bordes del cubo los que debían duplicarse, sino su volumen, es decir, los bordes del cubo debían duplicarse.

De aquí provienen los nombres de las curvas, que fueron introducidas por Apolonio de Perga, que vivió en el siglo III a. C.: elipse, que significa defecto, deficiencia (el ángulo de un cono con respecto a una línea recta); hipérbole - exageración, superioridad (de un ángulo cónico sobre una línea recta); parábola - aproximación, igualdad (de un ángulo de cono a un ángulo recto). Más tarde, los griegos se dieron cuenta de que se podían obtener las tres curvas en un cono cambiando la inclinación del plano de corte. En este caso, debes tomar un cono formado por dos cavidades y pensar que se extienden hasta el infinito (Fig. 1).

Si dibujamos una sección de un cono circular perpendicular a su eje, y luego giramos el plano de corte, dejando inmóvil un punto de su intersección con el cono, veremos cómo el círculo primero se estira, convirtiéndose en una elipse. Entonces el segundo vértice de la elipse irá al infinito, y en lugar de una elipse obtendrás una parábola, y luego el plano también cruzará la segunda cavidad del cono y obtendrás una hipérbola.

Por mucho tiempo Las secciones cónicas no encontraron aplicación hasta que los astrónomos y físicos se interesaron seriamente en ellas. Resultó que estas líneas se encuentran en la naturaleza (un ejemplo de esto son las trayectorias de los cuerpos celestes) y describen gráficamente muchos procesos fisicos(aquí la hipérbole lleva la delantera: recordemos al menos la ley de Ohm y la ley de Boyle-Mariotte), por no hablar de su aplicación en mecánica y óptica. En la práctica, sobre todo en ingeniería y construcción, hay que trabajar con una elipse y una parábola.

Figura 1

diagrama

El concepto de secciones cónicas.

Figura 2

Cuando se gira un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos, la hipotenusa con sus extensiones describe una superficie cónica llamada superficie de un cono circular rectángulo, que puede considerarse como una serie continua de rectas que pasan por el vértice y se denominan generadores, todos generadores. descansando sobre el mismo círculo, llamado produciendo. Cada uno de los generadores representa la hipotenusa de un triángulo giratorio (en su posición conocida), extendido en ambas direcciones hasta el infinito. Así, cada generatriz se extiende a ambos lados del vértice, por lo que la superficie tiene dos cavidades: convergen en un punto en un vértice común. Si dicha superficie es intersecada por un plano, entonces la sección producirá una curva, que se llama sección cónica. Puede ser de tres tipos:

1) si un plano cruza una superficie cónica a lo largo de todas las generatrices, entonces solo se diseca una cavidad y en la sección se obtiene una curva cerrada llamada elipse;

2) si el plano de corte cruza ambas cavidades, entonces se obtiene una curva que tiene dos ramas y se llama hipérbola;

3) si el plano de corte es paralelo a una de las generatrices, entonces se obtiene una parábola.

Si un plano que pasa por un vértice intersecta ambos planos, entonces la sección produce un par de líneas que se cruzan, considerado como un caso especial de hipérbola.

Si el vértice está infinitamente distante, entonces la superficie cónica se vuelve cilíndrica, y su sección por un plano paralelo a los generadores da un par de líneas paralelas como un caso especial de parábola. Las secciones cónicas se expresan mediante ecuaciones de segundo orden, cuya forma general es

Hacha 2 +Vaya+C + dx + Ey + F= 0 y se denominan curvas de segundo orden.
(sección cónica)

Tipos de cónico secciones .

Las secciones cónicas pueden ser de tres tipos:

(Fig. 1) parábola (Fig. 2) elipse (Fig. 3) hipérbola

Estudiar

a 11 X 2 +2xy+a 22 y 2 = un 33 .

Estudios posteriores de dichas secciones cónicas (llamadas centrales) muestran que sus ecuaciones se pueden reducir a una forma aún más simple:

Oh 2 + Wu 2 =C,

Reducir la ecuación de la parábola a la forma (Ah 2 + Wu 2 = C) es imposible. Con una elección adecuada de los ejes de coordenadas (un eje de coordenadas es el único eje de simetría de la parábola, el otro es una línea recta perpendicular a él que pasa por el vértice de la parábola), su ecuación se puede reducir a la forma:

y 2 = 2 píxeles.

PROPIEDADES DE LAS SECCIONES CÓNICAS

Definiciones de Pappus. Establecer el foco de una parábola le dio a Pappus la idea de dar una definición alternativa de las secciones cónicas en general. Sea F - punto fijo(foco), y L es una línea recta dada (directriz) que no pasa por F, y DF y DL son las distancias desde el punto en movimiento P hasta el foco F y la directriz L, respectivamente. Entonces, como mostró Papp, las secciones cónicas se definen como lugares geométricos puntos P para los cuales la relación DF:DL es una constante no negativa. Esta relación se llama excentricidad e de la sección cónica. cuando e< 1 коническое сечение - эллипс; при e >1 - hipérbole; cuando e = 1 - parábola. Si F está en L, entonces los lugares geométricos tienen la forma de líneas (reales o imaginarias), que son secciones cónicas degeneradas. La sorprendente simetría de la elipse y la hipérbola sugiere que cada una de estas curvas tiene dos directrices y dos focos, y esta circunstancia llevó a Kepler en 1604 a la idea de que la parábola también tiene un segundo foco y una segunda directriz, infinitamente punto remoto y recto. De la misma forma, un círculo puede considerarse como una elipse, cuyos focos coinciden con el centro y las directrices están en el infinito. La excentricidad e en este caso es cero.

Propiedades. Las propiedades de las secciones cónicas son verdaderamente inagotables y cualquiera de ellas puede considerarse definitoria. Lugar importante en la Colección Matemática de Pappus, la Geometría de Descartes (1637) y los Principia de Newton (1687), se aborda el problema de la ubicación geométrica de puntos con respecto a cuatro líneas rectas. Si se dan cuatro rectas L en el plano 1 , l 2 , l 3 y L4 (dos de los cuales pueden coincidir) y el punto P es tal que el producto de las distancias de P a L 1 y yo 2 proporcional al producto de las distancias de P a L 3 y yo 4 , entonces el lugar geométrico de los puntos P es una sección cónica.

CONSTRUCCIÓN DE SECCIONES CÓNICAS

Estas definiciones de secciones cónicas como curvas planas también sugieren un método para construirlas usando una cuerda estirada.

Elipse. Si los extremos de un hilo de una longitud determinada se fijan en los puntos F 1 y f 2 (Fig. 3), entonces la curva descrita por la punta de un lápiz que se desliza a lo largo de un hilo muy tenso tiene forma de elipse. puntos F 1 y F2 se llaman focos de la elipse, y los segmentos V 1 V 2 y V 1 v 2 entre los puntos de intersección de la elipse con los ejes de coordenadas: los ejes mayor y menor. Si los puntos F 1 y f 2 coinciden, entonces la elipse se convierte en un círculo (Fig. 3).

Fig. 3

Hipérbola. Al construir una hipérbola, el punto P, la punta de un lápiz, se fija a un hilo que se desliza libremente a lo largo de clavijas instaladas en los puntos F. 1 y f 2 , como se muestra en la Figura 4, a, las distancias se seleccionan de modo que el segmento PF 2 más largo que el segmento PF 1 por un valor fijo menor que la distancia F 1 F 2 . En este caso, un extremo del hilo pasa por debajo del pasador F. 1 , y ambos extremos del hilo pasan por encima del pasador F 2 . (La punta del lápiz no debe deslizarse a lo largo del hilo, por lo que debe asegurarse haciendo un pequeño bucle en el hilo y pasando la punta a través de él). Una rama de la hipérbola (PV 1 Q) tiramos, asegurándonos de que el hilo permanezca tenso en todo momento, y tirando ambos extremos del hilo hacia abajo más allá del punto F 2 , y cuando el punto P está debajo del segmento F 1 F 2 , sujetando el hilo por ambos extremos y soltándolo con cuidado. Dibujamos la segunda rama de la hipérbola cambiando primero los pines F 1 y f 2 (Figura 4).

Fig.4

Las ramas de la hipérbola se acercan a dos líneas rectas que se cruzan entre las ramas. Estas líneas se llaman asíntotas de una hipérbola. Coeficientes de ángulo de estas rectas son iguales a donde está el segmento de la bisectriz del ángulo entre las asíntotas, perpendicular al segmento F 2 F 1 ; segmento v 1 v 2 se llama eje conjugado de la hipérbola y el segmento V 1 V 2 – su eje transversal. Así, las asíntotas son las diagonales de un rectángulo cuyos lados pasan por cuatro puntos v 1 ,v 2 , V. 1 , V. 2 paralelo a los ejes. Para construir este rectángulo, necesita especificar la ubicación de los puntos v 1 y V 2 . Están a la misma distancia, igual al punto de intersección de los ejes O. Esta fórmula supone la construcción de un triángulo rectángulo con catetos Ov. 1 y V 2 O y hipotenusa F 2 o.

Parábola. Los focos de la elipse y la hipérbola eran conocidos por Apolonio, pero el foco de la parábola aparentemente fue establecido por primera vez por Pappus (segunda mitad del siglo III), quien definió esta curva como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto dado (foco). y una recta dada, que se llama directora. La construcción de una parábola mediante un hilo tensado, basada en la definición de Pappus, fue propuesta por Isidoro de Mileto (siglo VI) (Fig. 5).

Fig.5

APROXIMACIÓN ANALÍTICA

Clasificación algebraica. En términos algebraicos, las secciones cónicas se pueden definir como curvas planas cuyas coordenadas en el sistema de coordenadas cartesiano satisfacen una ecuación de segundo grado. En otras palabras, la ecuación de todas las secciones cónicas se puede escribir en forma general donde no todos los coeficientes A, B y C son iguales a cero. Usando traslación y rotación paralelas de los ejes, la ecuación (1) se puede reducir a la forma

hacha 2 + por 2 + c = 0

píxeles 2 +q y = 0.

La primera ecuación se obtiene de la ecuación (1) para B2 > AC, la segunda - para B 2 = aire acondicionado. Las secciones cónicas cuyas ecuaciones se reducen a la primera forma se denominan centrales. Las secciones cónicas definidas por ecuaciones del segundo tipo con q > 0 se denominan no centrales. Dentro de estas dos categorías, existen nueve tipos diferentes de secciones cónicas según los signos de los coeficientes.

2) Si a y b tienen el mismo signo y c tiene el signo opuesto, entonces la sección cónica es una elipse; cuando a = b - círculo.

3) Si a y b tienen signos diferentes, entonces la sección cónica es una hipérbola.

4) Si a y b tienen signos diferentes y c = 0, entonces la sección cónica consta de dos líneas que se cruzan.

5) Si a y b tienen el mismo signo y c = 0, entonces solo hay un punto real en la curva que satisface la ecuación, y la sección cónica son dos rectas imaginarias que se cruzan. En este caso, también hablamos de una elipse subtendida a un punto o, si a = b, de una circunferencia subtendida a un punto.

6) Si aob es igual a cero y los otros coeficientes tienen signos diferentes, entonces la sección cónica consta de dos rectas paralelas.

Solicitud

Las secciones cónicas se encuentran a menudo en la naturaleza y la tecnología. Por ejemplo, las órbitas de los planetas que giran alrededor del Sol tienen forma de elipses. Un círculo es un caso especial de elipse en el que el eje mayor es igual al eje menor. Un espejo parabólico tiene la propiedad de que todos los rayos incidentes paralelos a su eje convergen en un punto (foco). Se utiliza en la mayoría de los telescopios reflectores que utilizan espejos parabólicos, así como en antenas de radar y micrófonos especiales con reflectores parabólicos. Un haz de rayos paralelos emana de una fuente de luz colocada en el foco de un reflector parabólico. Por eso los espejos parabólicos se utilizan en focos de alta potencia y en los faros de los automóviles. La hipérbola es una gráfica de muchas relaciones físicas importantes, como la ley de Boyle (que relaciona la presión y el volumen de un gas ideal) y la ley de Ohm, que define la corriente eléctrica como una función de la resistencia a un voltaje constante.

Todos los cuerpos del Sistema Solar se mueven alrededor del Sol en elipses. Cuerpos celestiales ingresando al sistema solar desde otros sistemas estelares, se mueven alrededor del Sol en una órbita hiperbólica y, si su movimiento no está influenciado significativamente por los planetas del sistema solar, lo dejan en la misma órbita. Se mueven en elipses alrededor de la Tierra. satélites artificiales Y Satélite natural- Luna, eh. naves espaciales, lanzados hacia otros planetas, se mueven al final de los motores en parábolas o hipérbolas (según la velocidad) hasta que la atracción de otros planetas o del Sol se vuelve comparable a gravedad(Fig. 3).

Al otro lado del cono

La elipse y sus casos especiales: el círculo, la parábola y la hipérbola son fáciles de obtener experimentalmente. Por ejemplo, un cono de helado sería muy adecuado para el papel de cono. Dibuja mentalmente una de sus generatrices y corta el cuerno por debajo. diferentes ángulos A ella. La tarea consiste en hacer sólo cuatro intentos y obtener todas las secciones cónicas posibles en los cortes. Es aún más fácil realizar el experimento con una linterna: dependiendo de su posición en el espacio, el cono de luz creará puntos en la pared de la habitación. Diferentes formas. El límite de cada punto es una de las secciones cónicas. Al girar la linterna en un plano vertical, verás cómo una curva reemplaza a otra: el círculo se estira hasta formar una elipse, luego se convierte en una parábola, y ésta, a su vez, en una hipérbola.

Un matemático resuelve teóricamente el mismo problema comparando dos ángulos: α - entre el eje del cono y la generatriz y β - entre el plano cortante y el eje del cono. Y aquí está el resultado: para α< β в сечении получится эллипс или окружность, при α = β - парабола, а при α >β es una rama de una hipérbola. Si consideramos que los generadores son líneas rectas y no segmentos, es decir, consideremos un número ilimitado figura simétrica de dos conos con cima común, quedará claro que una elipse es una curva cerrada, una parábola consta de una rama infinita y una hipérbola consta de dos.

La sección cónica más simple, un círculo, se puede dibujar con un hilo y un clavo. Basta con atar un extremo del hilo a un clavo clavado en el papel y el otro a un lápiz y apretarlo. Habiendo hecho vuelta completa, el lápiz trazará un círculo. O puedes usar una brújula: cambiando su solución, puedes dibujar fácilmente toda una familia de círculos.

LISTA DE REFERENCIAS UTILIZADAS

1.Vereshchagin N.K., A.Shen. Conferencias sobre lógica matemática y teoría de algoritmos. 1999

2. Prasolov V.V.. Geometría de Lobachevsky 2004

4. Prasolov V.V.. Geometría de Lobachevsky 2004

SECCIONES CÓNICAS
curvas planas que se obtienen al cortar un cono circular recto con un plano que no pasa por su vértice (Fig. 1). Desde el punto de vista de la geometría analítica, una sección cónica es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen una ecuación de segundo orden. Excepto en los casos degenerados analizados en la última sección, las secciones cónicas son elipses, hipérbolas o parábolas.

Las secciones cónicas se encuentran a menudo en la naturaleza y la tecnología. Por ejemplo, las órbitas de los planetas que giran alrededor del Sol tienen forma de elipses. Un círculo es un caso especial de elipse en el que el eje mayor es igual al menor. Un espejo parabólico tiene la propiedad de que todos los rayos incidentes paralelos a su eje convergen en un punto (foco). Se utiliza en la mayoría de los telescopios reflectores que utilizan espejos parabólicos, así como en antenas de radar y micrófonos especiales con reflectores parabólicos. Un haz de rayos paralelos emana de una fuente de luz colocada en el foco de un reflector parabólico. Por eso los espejos parabólicos se utilizan en focos de alta potencia y en los faros de los automóviles. La hipérbola es una gráfica de muchas relaciones físicas importantes, como la ley de Boyle (que relaciona la presión y el volumen de un gas ideal) y la ley de Ohm, que define la corriente eléctrica como una función de la resistencia a un voltaje constante.
ver también MECÁNICA CELESTE.
HISTORIA TEMPRANA
Se supone que el descubridor de las secciones cónicas fue Menecmo (siglo IV a. C.), alumno de Platón y maestro de Alejandro Magno. Menecmo utilizó una parábola y una hipérbola equilátera para resolver el problema de duplicar un cubo. Tratados sobre secciones cónicas escritos por Aristeo y Euclides a finales del siglo IV. C. C., se perdieron, pero sus materiales se incluyeron en las famosas Secciones Cónicas de Apolonio de Perga (c. 260-170 a. C.), que han sobrevivido hasta el día de hoy. Apolonio abandonó el requisito de que el plano secante de la generatriz del cono fuera perpendicular y, variando el ángulo de su inclinación, obtuvo todas las secciones cónicas de un cono circular, recto o inclinado. Estamos en deuda con Apolo y nombres modernos curvas: elipse, parábola e hipérbola. En sus construcciones, Apolonio utilizó dos cavidades. cono circular(como en la Fig. 1), por primera vez quedó claro que una hipérbola es una curva con dos ramas. Desde la época de Apolonio, las secciones cónicas se han dividido en tres tipos según la inclinación del plano de corte con respecto a la generatriz del cono. Se forma una elipse (Fig. 1a) cuando el plano de corte cruza todas las generatrices del cono en los puntos de una de sus cavidades; parábola (Fig. 1, b): cuando el plano de corte es paralelo a uno de los planos tangentes del cono; hipérbola (Fig.1, c): cuando el plano de corte cruza ambas cavidades del cono.
CONSTRUCCIÓN DE SECCIONES CÓNICAS
Al estudiar las secciones cónicas como intersecciones de planos y conos, los antiguos matemáticos griegos también las consideraban trayectorias de puntos en un plano. Se descubrió que una elipse se puede definir como el lugar geométrico de los puntos, la suma de las distancias desde los cuales a dos puntos dados es constante; parábola: como lugar geométrico de puntos equidistantes de un punto dado y de una línea recta dada; Hipérbola: como lugar geométrico de puntos, la diferencia de distancias desde dos puntos dados es constante. Estas definiciones de secciones cónicas como curvas planas también sugieren un método para construirlas usando una cuerda estirada.
Elipse. Si los extremos de un hilo de una longitud determinada se fijan en los puntos F1 y F2 (Fig. 2), entonces la curva descrita por la punta de un lápiz que se desliza a lo largo de un hilo muy estirado tiene la forma de una elipse. Los puntos F1 y F2 se denominan focos de la elipse, y los segmentos V1V2 y v1v2 entre los puntos de intersección de la elipse con los ejes de coordenadas, los ejes mayor y menor. Si los puntos F1 y F2 coinciden, entonces la elipse se convierte en un círculo.

Hipérbola. Al construir una hipérbola, el punto P, la punta de un lápiz, se fija a un hilo, que se desliza libremente a lo largo de clavijas instaladas en los puntos F1 y F2, como se muestra en la Fig. 3, a. Las distancias se seleccionan de modo que el segmento PF2 sea más largo que el segmento PF1 en una cantidad fija menor que la distancia F1F2. En este caso, un extremo del hilo pasa por debajo del pasador F1 y ambos extremos del hilo pasan por encima del pasador F2. (La punta del lápiz no debe deslizarse a lo largo del hilo, por lo que debe asegurarse haciendo un pequeño bucle en el hilo y pasando la punta a través de él). Dibujamos una rama de la hipérbola (PV1Q), asegurándonos de que el hilo permanece tenso en todo momento, y tirando del hilo de ambos extremos hacia abajo más allá del punto F2, y cuando el punto P esté por debajo del segmento F1F2, sujetando el hilo por ambos extremos y grabándolo con cuidado (es decir, soltándolo). Dibujamos la segunda rama de la hipérbola (P"V2Q"), habiendo intercambiado previamente los roles de los pines F1 y F2.

Las ramas de la hipérbola se acercan a dos líneas rectas que se cruzan entre las ramas. Estas líneas, llamadas asíntotas de la hipérbola, se construyen como se muestra en la figura. 3, b. Los coeficientes angulares de estas rectas son iguales a ± (v1v2)/(V1V2), donde v1v2 es el segmento de la bisectriz del ángulo entre las asíntotas, perpendicular al segmento F1F2; el segmento v1v2 se llama eje conjugado de la hipérbola y el segmento V1V2 es su eje transversal. Así, las asíntotas son las diagonales de un rectángulo cuyos lados pasan por cuatro puntos v1, v2, V1, V2 paralelos a los ejes. Para construir este rectángulo, debe especificar la ubicación de los puntos v1 y v2. Están a la misma distancia, iguales.

Desde el punto de intersección de los ejes O. Esta fórmula supone la construcción de un triángulo rectángulo con catetos Ov1 y V2O e hipotenusa F2O. Si las asíntotas de una hipérbola son mutuamente perpendiculares, entonces la hipérbola se llama equilátera. Dos hipérbolas que tienen asíntotas comunes, pero con ejes transversales y conjugados reorganizados, se denominan mutuamente conjugadas.
Parábola. Los focos de la elipse y la hipérbola eran conocidos por Apolonio, pero el foco de la parábola aparentemente fue establecido por primera vez por Pappus (segunda mitad del siglo III), quien definió esta curva como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto dado (foco). y una recta dada, que se llama directora. La construcción de una parábola mediante un hilo estirado, basada en la definición de Pappus, fue propuesta por Isidoro de Mileto (siglo VI). Coloquemos la regla de modo que su borde coincida con la directriz LLў (Fig. 4) y fijemos el cateto AC del triángulo dibujado ABC a este borde. Fijemos un extremo del hilo de longitud AB en el vértice B del triángulo y el otro en el foco de la parábola F. Habiendo tirado del hilo con la punta de un lápiz, presione la punta en el punto variable P hacia el cateto libre AB del triángulo dibujado. A medida que el triángulo se mueve a lo largo de la regla, el punto P describirá el arco de una parábola con foco F y directriz LLў, dado que la longitud total del hilo es igual a AB, el trozo de hilo es adyacente al cateto libre del triángulo, y por lo tanto el trozo restante de hilo PF debe ser igual a las partes restantes del cateto AB, es decir PENSILVANIA. El punto de intersección de V de la parábola con el eje se llama vértice de la parábola, la recta que pasa por F y V es el eje de la parábola. Si se traza una línea recta a través del foco, perpendicular al eje, entonces el segmento de esta línea recta cortado por la parábola se llama parámetro focal. Para una elipse y una hipérbola, el parámetro focal se determina de manera similar.

PROPIEDADES DE LAS SECCIONES CÓNICAS
Definiciones de Pappus. Establecer el foco de una parábola le dio a Pappus la idea de dar una definición alternativa de las secciones cónicas en general. Sean F un punto dado (foco) y L una línea recta dada (directriz) que no pasa por F, y DF y DL las distancias desde el punto en movimiento P hasta el foco F y la directriz L, respectivamente. Entonces, como demostró Papp, las secciones cónicas se definen como el lugar geométrico de los puntos P para los cuales la relación DF/DL es una constante no negativa. Esta relación se llama excentricidad e de la sección cónica. Cuando e 1 - hipérbola; cuando e = 1 - parábola. Si F está en L, entonces los lugares geométricos tienen la forma de líneas (reales o imaginarias), que son secciones cónicas degeneradas. La sorprendente simetría de la elipse y la hipérbola sugiere que cada una de estas curvas tiene dos directrices y dos focos, y esta circunstancia llevó a Kepler en 1604 a la idea de que una parábola también tiene un segundo foco y una segunda directriz: un punto en el infinito y una línea recta. . De la misma forma, un círculo puede considerarse como una elipse, cuyos focos coinciden con el centro y las directrices están en el infinito. La excentricidad e en este caso es cero.
Diseño de diente de león. Los focos y directrices de una sección cónica se pueden demostrar claramente si utilizamos esferas inscritas en un cono y llamadas esferas de Dandelin (bolas) en honor al matemático e ingeniero belga J. Dandelin (1794-1847), quien propuso la siguiente construcción. Sea una sección cónica la intersección de un cierto plano p con un cono circular recto de dos láminas con su vértice en el punto O. Inscribamos en este cono dos esferas S1 y S2, que tocan el plano p en los puntos F1 y F2, respectivamente. Si la sección cónica es una elipse (Fig. 5a), entonces ambas esferas están dentro de la misma cavidad: una esfera está ubicada encima del plano p y la otra debajo de él. Cada generatriz del cono toca ambas esferas, y el lugar geométrico de los puntos de contacto tiene la forma de dos círculos C1 y C2 ubicados en planos paralelos p1 y p2. Sea P - punto arbitrario en una sección cónica. Dibujemos las líneas rectas PF1, PF2 y extendamos la línea recta PO. Estas líneas son tangentes a las esferas en los puntos F1, F2 y R1, R2. Como todas las tangentes trazadas a la esfera desde un punto son iguales, entonces PF1 = PR1 y PF2 = PR2. Por lo tanto, PF1 + PF2 = PR1 + PR2 = R1R2. Como los planos p1 y p2 son paralelos, el segmento R1R2 tiene una longitud constante. Por tanto, el valor PR1 + PR2 es el mismo para todas las posiciones del punto P, y el punto P pertenece al lugar geométrico de los puntos para los cuales la suma de las distancias de P a F1 y F2 es constante. Por tanto, los puntos F1 y F2 son los focos de la sección elíptica. Además, se puede demostrar que las líneas a lo largo de las cuales el plano p corta a los planos p1 y p2 son las directrices de la elipse construida. Si p cruza ambas cavidades del cono (Fig. 5, b), entonces dos esferas de Dandelin se encuentran en un lado del plano p, una esfera en cada cavidad del cono. En este caso, la diferencia entre PF1 y PF2 es constante, y el lugar geométrico de los puntos P tiene la forma de una hipérbola con focos F1 y F2 y líneas rectas (las líneas de intersección de p con p1 y p2) como directivas. Si la sección cónica es una parábola, como se muestra en la Fig. 5c, entonces sólo se puede inscribir una esfera de diente de león en el cono.

Otras propiedades. Las propiedades de las secciones cónicas son verdaderamente inagotables y cualquiera de ellas puede considerarse definitoria. Un lugar importante en la Colección Matemática de Pappus (c. 300), la Geometría de Descartes (1637) y los Principia de Newton (1687) lo ocupa el problema de la ubicación geométrica de puntos en relación con cuatro líneas rectas. Si en el plano se dan cuatro rectas L1, L2, L3 y L4 (dos de las cuales pueden coincidir) y el punto P es tal que el producto de las distancias de P a L1 y L2 es proporcional al producto de las distancias a P a L3 y L4, entonces el lugar geométrico de los puntos P es la sección cónica. Creyendo erróneamente que Apolonio y Pappus eran incapaces de resolver el problema del lugar geométrico de los puntos relativos a cuatro líneas rectas, Descartes creó la geometría analítica para obtener una solución y generalizarla.
APROXIMACIÓN ANALÍTICA
Clasificación algebraica. En términos algebraicos, las secciones cónicas se pueden definir como curvas planas cuyas coordenadas en el sistema de coordenadas cartesiano satisfacen una ecuación de segundo grado. En otras palabras, la ecuación de todas las secciones cónicas se puede escribir en vista general Cómo

Donde los coeficientes A, B y C no son todos cero. Usando traslación y rotación paralelas de los ejes, la ecuación (1) se puede reducir a la forma ax2 + by2 + c = 0
o px2 + qy = 0. La primera ecuación se obtiene de la ecuación (1) con B2 No. AC, la segunda - con B2 = AC. Las secciones cónicas cuyas ecuaciones se reducen a la primera forma se denominan centrales. Las secciones cónicas definidas por ecuaciones del segundo tipo con q No. 0 se denominan no centrales. Dentro de estas dos categorías, existen nueve tipos diferentes de secciones cónicas según los signos de los coeficientes. 1) Si los coeficientes a, b y c tienen el mismo signo, entonces no existen puntos reales cuyas coordenadas satisfagan la ecuación. Tal sección cónica se llama elipse imaginaria (o círculo imaginario si a = b). 2) Si a y b tienen el mismo signo y c tiene el signo opuesto, entonces la sección cónica es una elipse (Fig. 1,a); cuando a = b - círculo (Fig.6, b).

3) Si a y b tienen signos diferentes, entonces la sección cónica es una hipérbola (Fig. 1, c). 4) Si a y b tienen signos diferentes y c = 0, entonces la sección cónica consta de dos líneas que se cruzan (Fig. 6, a). 5) Si a y b tienen el mismo signo y c = 0, entonces solo hay un punto real en la curva que satisface la ecuación, y la sección cónica son dos rectas imaginarias que se cruzan. En este caso, también hablamos de una elipse contraída hasta un punto o, si a = b, de un círculo contraída hasta un punto (Fig. 6,b). 6) Si aob es igual a cero y los otros coeficientes tienen signos diferentes, entonces la sección cónica consta de dos rectas paralelas. 7) Si aob es igual a cero y los coeficientes restantes tienen el mismo signo, entonces no hay un solo punto real que satisfaga la ecuación. En este caso, dicen que una sección cónica está formada por dos rectas paralelas imaginarias. 8) Si c = 0, y a o b también son cero, entonces la sección cónica consta de dos rectas reales coincidentes. (La ecuación no define ninguna sección cónica cuando a = b = 0, ya que en este caso la ecuación original (1) no es de segundo grado.) 9) Las ecuaciones del segundo tipo definen parábolas si p y q son distintos de cero. Si p No. 0, y q = 0, obtenemos la curva del paso 8. Si p = 0, entonces la ecuación no define ninguna sección cónica, ya que la ecuación original (1) no es de segundo grado. Derivación de ecuaciones de secciones cónicas. Cualquier sección cónica también se puede definir como una curva a lo largo de la cual un plano intersecta una superficie cuadrática, es decir con una superficie dada por la ecuación de segundo grado f (x, y, z) = 0. Aparentemente, las secciones cónicas fueron reconocidas por primera vez en esta forma, y sus nombres (ver más abajo) están relacionados con el hecho de que fueron obtenidas por Plano de intersección con el cono z2 = x2 + y2. Sea ABCD la base de un cono circular recto (Fig.7) con un ángulo recto en el vértice V. Sea el plano FDC corta a la generatriz VB en el punto F, la base a lo largo de la recta CD y la superficie del cono a lo largo la curva DFPC, donde P es cualquier punto de la curva. Dibujemos por el medio del segmento CD - punto E - recta EF y diámetro AB. Dibujamos un plano que pasa por el punto P, paralelo a la base cono, que corta el cono a lo largo del círculo RPS y la línea recta EF en el punto Q. Entonces QF y QP pueden tomarse, respectivamente, como la abscisa x y la ordenada y del punto P. La curva resultante será una parábola. La construcción mostrada en la Fig. 7, se puede utilizar para salida ecuaciones generales secciones cónicas. El cuadrado de la longitud de un segmento perpendicular restablecido desde cualquier punto del diámetro hasta la intersección con el círculo es siempre igual al producto longitudes de segmentos de diámetro. Es por eso

y2 = RQ*QS.
Para una parábola, el segmento RQ tiene una longitud constante (ya que para cualquier posición del punto P igual al segmento AE), y la longitud del segmento QS es proporcional a x (de la relación QS/EB = QF/FE). Resulta que

Donde un - coeficiente constante. El número a expresa la longitud del parámetro focal de la parábola. Si el ángulo en el vértice del cono es agudo, entonces el segmento RQ no es igual al segmento AE; pero la relación y2 = RQ×QS es equivalente a una ecuación de la forma

Donde a y b son constantes o, después de desplazar los ejes, la ecuación

Cuál es la ecuación de una elipse. Las intersecciones en x de la elipse (x = a y x = -a) y las intersecciones en y de la elipse (y = by y = -b) definen los ejes mayor y menor, respectivamente. Si el ángulo en el vértice del cono es obtuso, entonces la curva de intersección del cono y el plano tiene la forma de una hipérbola y la ecuación toma la siguiente forma:

O, después de transferir los ejes,

En este caso, las intersecciones en x, dadas por x2 = a2, definen el eje transversal, y las intersecciones en y, dadas por y2 = -b2, definen el eje conjugado. Si las constantes a y b en la ecuación (4a) son iguales, entonces la hipérbola se llama equilátera. Al girar los ejes, su ecuación se reduce a la forma xy = k.
Ahora, a partir de las ecuaciones (3), (2) y (4) podemos entender el significado de los nombres dados por Apolonio a las tres secciones cónicas principales. Los términos "elipse", "parábola" e "hipérbola" provienen de palabras griegas, que significa "deficiente", "igual" y "superior". De las ecuaciones (3), (2) y (4) queda claro que para la elipse y2 (2b2/a) x. En cada caso, el valor entre paréntesis es igual al parámetro focal de la curva. El propio Apolonio consideró sólo tres tipo general secciones cónicas (tipos 2, 3 y 9 enumerados anteriormente), pero su enfoque permite una generalización para considerar todas las curvas reales de segundo orden. Si el plano de corte se elige paralelo a la base circular del cono, entonces la sección transversal dará como resultado un círculo. Si el plano de corte tiene solo una punto común con un cono, su vértice, se obtiene una sección del tipo 5; si contiene un vértice y una tangente al cono, entonces obtenemos una sección de tipo 8 (Fig. 6,b); si el plano de corte contiene dos generatrices del cono, entonces la sección produce una curva de tipo 4 (Fig. 6a); cuando el vértice se mueve al infinito, el cono se convierte en un cilindro, y si el plano contiene dos generatrices, se obtiene una sección del tipo 6. Si el círculo se ve desde un ángulo oblicuo, parece una elipse. La relación entre un círculo y una elipse, conocida por Arquímedes, se vuelve obvia si el círculo X2 + Y2 = a2 se transforma en una elipse mediante la sustitución X = x, Y = (a/b) y, dado por la ecuación(3a). La transformación X = x, Y = (ai/b) y, donde i2 = -1, nos permite escribir la ecuación del círculo en la forma (4a). Esto muestra que una hipérbola puede verse como una elipse con un eje menor imaginario o, a la inversa, una elipse puede verse como una hipérbola con un eje conjugado imaginario. La relación entre las ordenadas de un círculo x2 + y2 = a2 y la elipse (x2/a2) + (y2/b2) = 1 conduce directamente a la fórmula de Arquímedes A = pab para el área de una elipse. Kepler conocía la fórmula aproximada p (a + b) para el perímetro de una elipse cercana a un círculo, pero la expresión exacta no se obtuvo hasta el siglo XVIII. después de la introducción de integrales elípticas. Como demostró Arquímedes, el área de un segmento parabólico es cuatro tercios del área de un triángulo inscrito, pero la longitud del arco de una parábola sólo pudo calcularse después del siglo XVII. Se inventó el cálculo diferencial.
ENFOQUE PROYECTIVO
La geometría proyectiva está estrechamente relacionada con la construcción de la perspectiva. Si dibuja un círculo en una hoja de papel transparente y lo coloca debajo de una fuente de luz, este círculo se proyectará en el plano de abajo. Además, si la fuente de luz está ubicada directamente encima del centro del círculo, y el plano y la lámina transparente son paralelos, entonces la proyección también será un círculo (Fig. 8). La posición de la fuente de luz se llama punto de fuga. Se designa con la letra V. Si V no se encuentra por encima del centro del círculo o si el plano no es paralelo a la hoja de papel, entonces la proyección del círculo toma la forma de una elipse. Con una inclinación aún mayor del plano, el eje mayor de la elipse (proyección del círculo) se alarga y la elipse se convierte gradualmente en una parábola; en un plano paralelo a la recta VP, la proyección tiene forma de parábola; con una inclinación aún mayor, la proyección toma la forma de una de las ramas de la hipérbola.

Cada punto del círculo original corresponde a un determinado punto de la proyección. Si la proyección tiene forma de parábola o hipérbola, entonces se dice que el punto correspondiente al punto P está en el infinito o en el infinito. Como hemos visto, con una elección adecuada de puntos de fuga, un círculo se puede proyectar en elipses. varios tamaños y con diferentes excentricidades, y las longitudes de los ejes mayores no tienen relación directa al diámetro del círculo proyectado. Por tanto, la geometría proyectiva no se ocupa de distancias o longitudes per se; su tarea es estudiar la relación de longitudes que se conserva durante la proyección. Esta relación se puede encontrar utilizando la siguiente construcción. Por cualquier punto P del plano trazamos dos tangentes a cualquier circunferencia y conectamos los puntos tangentes de la recta p. Dejemos que otra línea que pasa por el punto P corte el círculo en los puntos C1 y C2, y la línea p en el punto Q (Fig. 9). En planimetría está demostrado que PC1/PC2 = -QC1/QC2. (El signo menos surge porque la dirección del segmento QC1 es opuesta a las direcciones de los otros segmentos). En otras palabras, los puntos P y Q dividen el segmento C1C2 externa e internamente en la misma proporción; También dicen que la relación armónica de los cuatro segmentos es -1. Si el círculo se proyecta en una sección cónica y se mantienen las mismas notaciones para los puntos correspondientes, entonces la relación armónica (PC1)(QC2)/(PC2)(QC1) seguirá siendo igual a -1. El punto P se llama polo de la línea p con respecto a la sección cónica, y la línea recta p se llama polar del punto P con respecto a la sección cónica.

Cuando el punto P se aproxima a una sección cónica, la polar tiende a ocupar una posición tangente; si el punto P se encuentra en una sección cónica, entonces su polar coincide con la tangente a la sección cónica en el punto P. Si el punto P está ubicado dentro de la sección cónica, entonces su polar se puede construir de la siguiente manera. Dibujemos por el punto P cualquier recta que corte la sección cónica en dos puntos; dibujar tangentes a la sección cónica en los puntos de intersección; supongamos que estas tangentes se cruzan en el punto P1. Dibujemos otra línea que pase por el punto P, que corte la sección cónica en otros dos puntos; Supongamos que las tangentes a la sección cónica en estos nuevos puntos se cruzan en el punto P2 (Fig. 10). La recta que pasa por los puntos P1 y P2 es la p polar deseada. Si un punto P se acerca al centro O de la sección cónica central, entonces el p polar se aleja de O. Cuando el punto P coincide con O, entonces su polar se vuelve infinito, o una línea recta ideal en el plano. ver también GEOMETRÍA PROYECTIVA.

EDIFICIOS ESPECIALES
De particular interés para los astrónomos es la siguiente construcción sencilla de puntos de elipse utilizando un compás y una regla. Sea una línea recta arbitraria que pasa por el punto O (Fig.11, a) interseca en los puntos Q y R dos círculos concéntricos con centro en el punto O y radios b y a, donde b

Para una hipérbola, la construcción es muy similar. Una línea recta arbitraria que pasa por el punto O corta uno de los dos círculos en el punto R (Fig. 11,b). Al punto R de un círculo y a punto final S del diámetro horizontal de otro círculo, dibuje tangentes que intersequen a OS en el punto T y OR en el punto Q. Sea una línea vertical que pase por el punto T y una línea horizontal que pase por el punto Q se intersequen en el punto P. Entonces el lugar geométrico de los puntos P durante segmento de rotación O alrededor de O habrá una hipérbola dada por ecuaciones paramétricas x = a sec f, y = b tan f, donde f es el ángulo excéntrico. Estas ecuaciones se obtuvieron matemático francés A. Legendre (1752-1833). Eliminando el parámetro f, obtenemos la ecuación (4a). Una elipse, como señaló N. Copérnico (1473-1543), se puede construir mediante un movimiento epicíclico. Si un círculo rueda sin deslizarse adentro otro círculo de dos veces el diámetro, entonces cada punto P que no se encuentra en el círculo más pequeño, pero que está inmóvil con respecto a él, describirá una elipse. Si el punto P está en un círculo más pequeño, entonces la trayectoria de este punto es un caso degenerado de una elipse: el diámetro del círculo más grande. Proclo propuso una construcción aún más simple de la elipse en el siglo V. Si los extremos A y B de un segmento recto AB de una longitud determinada se deslizan a lo largo de dos líneas rectas fijas que se cruzan (por ejemplo, a lo largo de ejes de coordenadas), entonces cada punto interno P del segmento describe una elipse; El matemático holandés F. van Schoten (1615-1660) demostró que cualquier punto en el plano de líneas que se cruzan, fijado con respecto a un segmento deslizante, también describirá una elipse. B. Pascal (1623-1662) a la edad de 16 años formuló el ahora famoso teorema de Pascal, que establece: tres puntos de intersección lados opuestos de un hexágono inscrito en cualquier sección cónica se encuentran en la misma línea recta. Pascal derivó más de 400 corolarios de este teorema.
LITERATURA
Van der Waerden B.L. Despertar la ciencia. M., 1959 Alexandrov P.S. Conferencias sobre geometría analítica. Moscú, 1968.

Enciclopedia de Collier. - Sociedad Abierta. 2000 .

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Secciones cónicas: círculo, elipse, parábola (el plano de sección es paralelo a la generatriz del cono), hipérbola. Una sección cónica o cónica es la intersección de un plano con un cono circular. Hay tres tipos principales de secciones cónicas: elipse, ... ... Wikipedia

Curvas resultantes de la intersección de un cono con un plano en diferentes direcciones; sus tipos: elipse, hipérbola, parábola. diccionario completo palabras extranjeras, que han entrado en uso en el idioma ruso. Popov M., 1907. SECCIONES CÓNICAS así llamadas. curvas...... Diccionario de palabras extranjeras de la lengua rusa.

Líneas de intersección de un cono circular (ver. Superficie cónica) con planos que no pasan por su vértice. Dependiendo de posición relativa Cono y plano de corte, se obtienen tres tipos de secciones cónicas: elipse, parábola, hipérbola... Gran diccionario enciclopédico

SECCIONES CÓNICAS

- Curvas planas que se obtienen al cortar un cono circular recto con un plano que no pasa por su vértice. Desde el punto de vista de la geometría analítica, una sección cónica es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen una ecuación de segundo orden. Excepto en casos degenerados, las secciones cónicas son elipses, hipérbolas o parábolas.

Las secciones cónicas se encuentran a menudo en la naturaleza y la tecnología. Por ejemplo, las órbitas de los planetas que giran alrededor del Sol tienen forma de elipses. Un círculo es un caso especial de elipse en el que el eje mayor es igual al menor. Un espejo parabólico tiene la propiedad de que todos los rayos incidentes paralelos a su eje convergen en un punto (foco). Se utiliza en la mayoría de los telescopios reflectores que utilizan espejos parabólicos, así como en antenas de radar y micrófonos especiales con reflectores parabólicos. Un haz de rayos paralelos emana de una fuente de luz colocada en el foco de un reflector parabólico. Por eso los espejos parabólicos se utilizan en focos de alta potencia y en los faros de los automóviles. La hipérbola es una gráfica de muchas relaciones físicas importantes, como la ley de Boyle (que relaciona la presión y el volumen de un gas ideal) y la ley de Ohm, que define la corriente eléctrica como una función de la resistencia a un voltaje constante.

Se supone que el descubridor de las secciones cónicas fue Menecmo (siglo IV a. C.), alumno de Platón y maestro de Alejandro Magno. Menecmo utilizó una parábola y una hipérbola equilátera para resolver el problema de duplicar un cubo. Tratados sobre secciones cónicas escritos por Aristeo y Euclides a finales del siglo IV. C. C., se perdieron, pero sus materiales se incluyeron en las famosas Secciones Cónicas de Apolonio de Perga (c. 260-170 a. C.), que han sobrevivido hasta el día de hoy. Apolonio abandonó el requisito de que el plano secante de la generatriz del cono fuera perpendicular y, variando el ángulo de su inclinación, obtuvo todas las secciones cónicas de un cono circular, recto o inclinado. A Apolonio también le debemos los nombres modernos de las curvas: elipse, parábola e hipérbola. En sus construcciones, Apolonio utilizó un cono circular de dos hojas, por lo que por primera vez quedó claro que una hipérbola es una curva con dos ramas. Desde la época de Apolonio, las secciones cónicas se han dividido en tres tipos según la inclinación del plano de corte con respecto a la generatriz del cono. Una elipse se forma cuando un plano cortante corta todas las generatrices del cono en puntos de una de sus cavidades; parábola: cuando el plano de corte es paralelo a uno de los planos tangentes del cono; hipérbola: cuando el plano de corte cruza ambas cavidades del cono.

Los focos de la elipse y la hipérbola eran conocidos por Apolonio, pero el foco de la parábola aparentemente fue establecido por primera vez por Pappus (segunda mitad del siglo III), quien definió esta curva como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto dado (foco). y una recta dada, que se llama directora. La construcción de una parábola mediante un hilo estirado, basada en la definición de Pappus, fue propuesta por Isidoro de Mileto (siglo VI).

Establecer el foco de una parábola le dio a Pappus la idea de dar una definición alternativa de las secciones cónicas en general. Sean F un punto dado (foco) y L una línea recta dada (directriz) que no pasa por F, y DF y DL las distancias desde el punto en movimiento P hasta el foco F y la directriz L, respectivamente. Entonces, como demostró Papp, las secciones cónicas se definen como el lugar geométrico de los puntos P para los cuales la relación DF/DL es una constante no negativa. Esta relación se llama excentricidad e de la sección cónica. cuando e< 1 коническое сечение - эллипс; при e >1 - hipérbole; cuando e = 1 - parábola. Si F está en L, entonces los lugares geométricos tienen la forma de líneas (reales o imaginarias), que son secciones cónicas degeneradas. La sorprendente simetría de la elipse y la hipérbola sugiere que cada una de estas curvas tiene dos directrices y dos focos, y esta circunstancia llevó a Kepler en 1604 a la idea de que una parábola también tiene un segundo foco y una segunda directriz: un punto en el infinito y una línea recta. . De la misma forma, un círculo puede considerarse como una elipse, cuyos focos coinciden con el centro y las directrices están en el infinito. La excentricidad e en este caso es cero.

LITERATURA
Van der Waerden B.L. Despertar la ciencia. M., 1959 Alexandrov P.S. Conferencias sobre geometría analítica. Moscú, 1968.

Sección canónica. Secciones cónicas

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