En las clases de álgebra, los profesores nos dicen que hay una clase pequeña (de hecho, muy grande) ecuaciones trigonométricas que no se resuelven utilizando métodos estándar- ni mediante factorización, ni mediante cambio de variable, ni siquiera mediante términos homogéneos. En este caso entra en juego un enfoque fundamentalmente diferente: el método ángulo auxiliar.

¿Qué es este método y cómo aplicarlo? Primero, recordemos las fórmulas para el seno de la suma/diferencia y el coseno de la suma/diferencia:

\[\begin(align)& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ alfa \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end(align)\]

Creo que usted conoce bien estas fórmulas; de ellas se derivan las fórmulas de doble argumento, sin las cuales no hay absolutamente ninguna parte en trigonometría. Pero veamos ahora una ecuación simple:

Divida ambos lados por 5:

Tenga en cuenta que $((\left(\frac(3)(5) \right))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \right))^(2))= 1 $, lo que significa que seguramente habrá un ángulo $\alpha $ para el cual estos números son coseno y seno, respectivamente. Por lo tanto, nuestra ecuación se reescribirá de la siguiente manera:

\[\begin(align)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \right)=1 \\\end(align)\]

Y esto ya se soluciona fácilmente, después de lo cual solo queda descubrir por qué. igual al ángulo$\alfa$. Cómo averiguarlo y también cómo elegir el número correcto para dividir ambos lados de la ecuación (en este ejemplo sencillo dividimos entre 5) - sobre esto en la lección en video de hoy:

Hoy analizaremos la solución de ecuaciones trigonométricas o, más precisamente, una técnica única llamada "método de los ángulos auxiliares". ¿Por qué este método? Simplemente porque durante los últimos dos o tres días, cuando estaba enseñando a unos alumnos a los que les hablaba de resolver ecuaciones trigonométricas, y estábamos examinando, entre otras cosas, el método de los ángulos auxiliares, y todos los alumnos, como uno solo, cometieron el mismo error. . Pero el método es generalmente sencillo y, además, es una de las principales técnicas de la trigonometría. Por eso muchos problemas trigonométricos no pueden resolverse en absoluto excepto mediante el método de los ángulos auxiliares.

Por lo tanto, ahora primero veremos un par de tareas simples y luego pasaremos a tareas más serias. Sin embargo, todo esto de una forma u otra requerirá que utilicemos el método del ángulo auxiliar, cuya esencia contaré en el primer diseño.

Resolver problemas trigonométricos simples

Ejemplo 1

\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]

Transformemos un poco nuestra expresión:

\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\left| \left(-1 \right) \right.\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]

¿Cómo lo solucionaremos? El truco estándar es resolver $\sin 2x$ y $\cos 2x$ usando las fórmulas doble angulo, y luego reescribe la unidad como $((\sin )^(2))x((\cos )^(2))x$, obtén ecuación homogénea, llévalo a tangentes y resuelve. Sin embargo, este es un camino largo y tedioso que requiere una gran cantidad de cálculos.

Te sugiero que pienses en esto. Tenemos $\sin$ y $\cos$. Recordemos la fórmula del coseno y el seno de la suma y la diferencia:

\[\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]

Volvamos a nuestro ejemplo. Reduzcamos todo al seno de la diferencia. Pero primero es necesario transformar un poco la ecuación. Encontremos el coeficiente:

$\sqrt(l)$ es el mismo coeficiente por el que hay que dividir ambos lados de la ecuación para que delante del seno y el coseno aparezcan números que son a su vez senos y cosenos. Dividamos:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

Miremos lo que tenemos a la izquierda: ¿existe un $\sin $ y $\cos $ tal que $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$ y $\sin \alpha =\frac(1)(2)$? Obviamente existe: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$. Por lo tanto podemos reescribir nuestra expresión de la siguiente manera:

\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

\[\sin 2x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ texto( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\frac(1)(2)\]

Ahora tenemos la fórmula para el seno de la diferencia. Podemos escribir así:

\[\sin \left(2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6)) \right)=\frac(1)(2) \]

Aquí tenemos la construcción trigonométrica clásica más simple. Déjame recordarte:

Anotaremos esto para nuestra expresión específica:

\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(6)=2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(\text(6))+2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\ ]

\[\left[ \begin(align)& 2x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\pi \!\!\text( )n \\& 2x=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+2\text( )\!\!\pi\!\!\text ( )n \\\end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\\end(align) \right.\]

Matices de la solución.

Entonces, ¿qué debes hacer si te encuentras con un ejemplo similar?

1. Modifique el diseño si es necesario.
2. Encuentra el factor de corrección, sácale la raíz y divide ambos lados del ejemplo por él.
3. Veamos qué valores de seno y coseno obtienen los números.
4. Ampliamos la ecuación usando las fórmulas de suma o diferencia de seno o coseno.
5. Resolvemos la ecuación trigonométrica más simple.

En este sentido, los estudiantes atentos probablemente tendrán dos preguntas.

¿Qué nos impide anotar $\sin $ y $\cos $ en la etapa de encontrar el factor de corrección? - La identidad trigonométrica básica nos lo impide. El hecho es que los $\sin $ y $\cos $ resultantes, como cualquier otro con el mismo argumento, al elevarlos al cuadrado deberían dar exactamente “uno” en total. Durante el proceso de decisión hay que tener mucho cuidado y no perder el “2” antes de la “X”.

El método del ángulo auxiliar es una herramienta que ayuda a reducir una ecuación “fea” a una completamente adecuada y “hermosa”.

Ejemplo No. 2

\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]

Vemos que tenemos $((\sin )^(2))x$, así que usemos los cálculos de reducción de potencia. Sin embargo, antes de usarlos, eliminémoslos. Para ello, recuerda cómo encontrar el coseno de un ángulo doble:

\[\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos )^(2))x-1=1-2(( \sin )^(2))x\]

Si escribimos $\cos 2x$ en la tercera opción, obtenemos:

\[\cos 2x=1-2((\sin )^(2))x\]

\[((\sin )^(2))x=\frac(1-((\cos )^(2))x)(x)\]

Lo escribiré por separado:

\[((\sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]

Lo mismo se puede hacer para $((\cos )^(2))x$:

\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]

Sólo necesitamos los primeros cálculos. Comencemos a trabajar en la tarea:

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]

Ahora usemos los cálculos del coseno de la diferencia. Pero primero, calculemos la corrección $l$:

Reescribámoslo teniendo en cuenta este hecho:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]

En este caso, podemos escribir que $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$, y $\frac(1)(2)=\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$. Reescribamos:

\[\sin \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]

\[-\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos x\]

Agreguemos un "menos" entre corchetes de una manera inteligente. Para hacer esto, tenga en cuenta lo siguiente:

\[\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\text( )\!\!\pi\!\!\text( +)\frac(\text( )\!\!\pi\! \!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\]

\[=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\varphi \right)=-\cos \varphi \]

Volvamos a nuestra expresión y recordemos que en el rol de $\varphi $ tenemos la expresión $-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x $. Por tanto, escribamos:

\[-\left(-\cos \left(-\frac(2\text()\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x \right) \right)=\cos X\]

\[\cos \left(2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3) \right)=\cos x\]

Resolver tarea similar, debes recordar esto:

\[\cos \alpha =\cos \beta \]

\[\left[ \begin(align)& \alpha =\beta +2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& \alpha =-\beta +2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\]

Veamos nuestro ejemplo:

\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=x+2\text( )\!\ !\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=-x+2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\]

Calculemos cada una de estas ecuaciones:

Y el segundo:

Anotemos la respuesta final:

\[\left[ \begin(align)& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\ pi\!\!\text( )n \\& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(9)+\frac(2\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )n)(3) \\\end(align) \right.\]

Matices de la solución.

De hecho, esta expresión se puede resolver de muchas maneras diferentes, pero es el método del ángulo auxiliar el que se utiliza. en este casoóptimo. Además, utilizando este diseño como ejemplo, me gustaría llamar su atención sobre algunas técnicas y hechos más interesantes:

• Fórmulas para reducir grados. No es necesario memorizar estas fórmulas, pero sí saber cómo derivarlas, que es de lo que les hablé hoy.
• Resolver ecuaciones de la forma $\cos \alpha =\cos \beta $.
• Añadiendo un "cero".

Pero eso no es todo. Hasta ahora, $\sin $ y $\cos $, que dedujimos como argumento adicional, creíamos que debían ser positivos. Por tanto, ahora resolveremos problemas más complejos.

Análisis de problemas más complejos.

Ejemplo 1

\[\sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]

Transformemos el primer término:

\[\sin 3x=\sin \left(2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]

\[=2\left(1-\cos 2x \right)\cdot \sin x\]

Ahora sustituyamos todo esto en nuestra construcción original:

\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin 2x\cos x-\operatorname(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin \left(2x-x \right)+2\sin x+4\cos x=5\]

Introduzcamos nuestra enmienda:

Anotamos:

\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]

Tal $\alpha $ para el cual $\sin $ o $\cos $ sería igual a $\frac(3)(5)$ y $\frac(4)(5)$ en tabla trigonométrica No. Así que escribámoslo así y reduzcamos la expresión al seno de la suma:

\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]

\[\sin \left(x+\varphi \right)=1\]

Este caso especial, la construcción trigonométrica más simple:

Queda por encontrar a qué es igual $\varphi $. Aquí es donde muchos estudiantes se equivocan. El hecho es que $\varphi $ está sujeto a dos requisitos:

\[\left\( \begin(align)& \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5) \\\end(align) \right .\]

Dibujemos un radar y veamos dónde ocurren esos valores:

Volviendo a nuestra expresión, escribimos lo siguiente:

Pero esta entrada se puede optimizar un poco. Porque sabemos lo siguiente:

\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(2)),\]

entonces en nuestro caso podemos escribirlo así:

Ejemplo No. 2

Esto requerirá una comprensión aún más profunda de las técnicas de solución. tareas estándar sin trigonometría. Pero para resolver este ejemplo también utilizamos el método de los ángulos auxiliares.\[\]

Lo primero que llama la atención es que no hay grados superiores al primero y por tanto nada se puede ampliar según las fórmulas de descomposición de grados. Utilice cálculos inversos:

¿Por qué desembolsé $5$? Mira aquí:

Una unidad según básico. identidad trigonométrica podemos escribirlo como $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x$:

¿Qué nos aporta semejante registro? El caso es que el primer paréntesis contiene un cuadrado exacto. Colapsémoslo y obtengamos:

Sugiero introducir una nueva variable:

\[\sin x+\cos x=t\]

En este caso obtendremos la expresión:

\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]

\[((t)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]

En total obtenemos:

\[\left[ \begin(align)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\end(align) \right.\]

Por supuesto estudiantes conocedores Ahora dirán que este tipo de construcciones se solucionan fácilmente reduciéndolas a una estructura homogénea. Sin embargo, resolveremos cada ecuación usando el método de los ángulos auxiliares. Para ello, primero calculamos la corrección $l$:

\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]

Dividamos todo por $\sqrt(2)$:

\[\left[ \begin(align)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\ sqrt(2)) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2 ) \\\end(align) \right.\]

Reduzcamos todo a $\cos $:

\[\cos x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\sin x\sin \frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(4))\]

\[\left[ \begin(align)& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) \right) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \ derecha)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\end(align) \right.\]

Veamos cada una de estas expresiones.

La primera ecuación no tiene raíces y para demostrar este hecho nos ayudará la irracionalidad en el denominador. Notemos lo siguiente:

\[\sqrt(2)<1,5\]

\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1.5)=\frac(3)(3)=1\]

En total, hemos demostrado claramente que se requiere que $\cos \left(x-\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ sea igual al numero, que es mayor que “uno” y, por tanto, esta construcción no tiene raíces.

Ocupémonos del segundo:

Resolvamos esta construcción:

En principio, puedes dejar la respuesta así, o puedes escribirla:

Puntos importantes

En conclusión, me gustaría llamar su atención una vez más sobre el trabajo con argumentos "feos", es decir. cuando $\sin $ y $\cos $ no son valores de la tabla. El problema es que si decimos que en nuestra ecuación $\frac(3)(5)$ es $\cos $ y $\frac(4)(5)$ es $\sin $, entonces al final, después de Para decidir el diseño, debemos tener en cuenta ambos requisitos. Obtenemos un sistema de dos ecuaciones. Si no tenemos esto en cuenta, obtendremos la siguiente situación. En este caso, obtendremos dos puntos y en lugar de $\varphi $ tendremos dos números: $\arcsin \frac(4)(5)$ y $-\arcsin \frac(4)(5)$, pero esto último no nos deja satisfechos en modo alguno. Lo mismo sucederá con el punto $\frac(3)(5)$.

Este problema sólo surge cuando estamos hablando acerca de sobre argumentos “feos”. Cuando nosotros tenemos valores de la tabla, entonces no hay nada de eso.

Espero que la lección de hoy te haya ayudado a comprender qué es el método del ángulo auxiliar y cómo aplicarlo con ejemplos. niveles diferentes dificultades. Pero esta no es la única lección dedicada a la resolución de problemas utilizando el método de los ángulos auxiliares. ¡Así que estad atentos!

Fórmula para un argumento adicional (auxiliar)

Considere una expresión de la forma

en el que los números y no son iguales a cero al mismo tiempo. Multipliquemos y dividamos cada uno de los términos por y saquemos multiplicador común fuera de paréntesis:

Es fácil comprobar que

lo que significa que, según el teorema 2, existe un ángulo real tal que

Por lo tanto, usando el seno de la fórmula de la suma, obtenemos

donde un ángulo como y se denomina fórmula de argumento auxiliar y se utiliza para resolver problemas no homogéneos ecuaciones lineales y desigualdades.

Funciones trigonométricas inversas

Definiciones

Hasta ahora hemos resuelto el problema de determinar funciones trigonométricas ángulos dados. ¿Y si vale la pena? problema inverso: conociendo cualquier función trigonométrica, determine el ángulo correspondiente.

arcoseno

Considere la expresión ¿dónde está el conocido? Número Real. Por definición, el seno es la ordenada del punto de intersección del rayo que forma un ángulo con el eje de abscisas y el círculo trigonométrico. Por lo tanto, para resolver la ecuación, necesitas encontrar los puntos de intersección de una línea recta y un círculo trigonométrico.

Obviamente, cuando una línea recta y un círculo no tienen puntos comunes, lo que significa que la ecuación no tiene soluciones. Es decir, es imposible encontrar un ángulo cuyo seno sea mayor que 1 en valor absoluto.

Cuando una línea recta y un círculo tienen puntos de intersección, por ejemplo, y (ver figura). Por tanto, el seno dado tendrá, y todos los ángulos que difieran de él en una cantidad entera revoluciones completas, es decir. , - un número infinito de ángulos. ¿Cómo elegir un ángulo entre esta infinita variedad?

Para determinar de forma inequívoca el ángulo correspondiente al número, es necesario exigir el cumplimiento de una condición adicional: este ángulo debe pertenecer al segmento. Este ángulo se llama arcoseno del número. identidad de la función trigonométrica del ángulo

arcoseno número real es un número real cuyo seno es igual a. Este número está designado.

arco coseno

Consideremos ahora una ecuación de la forma. Para resolverlo es necesario encontrar todos los puntos de la circunferencia trigonométrica que tengan abscisa, es decir puntos de intersección con una recta. Como en el caso anterior, la ecuación considerada no tiene soluciones. Y si hay puntos de intersección de una línea recta y un círculo, correspondientes número infinito esquinas, .

Para determinar inequívocamente el ángulo correspondiente a coseno dado, ingresar Condición adicional: este ángulo debe pertenecer al segmento; tal ángulo se llama arco coseno del número.

arco coseno número real es un número real cuyo coseno es igual a. Este número está designado.

Arctangente y arcocotangente

Miremos la expresión. Para resolverlo, necesitas encontrar en el círculo todos los puntos de intersección con la línea, pendiente cual igual a tangente el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto a la dirección positiva del eje x. Tan directo delante de todos. valores reales cruces círculo trigonométrico en dos puntos. Estos puntos son simétricos con respecto al origen y corresponden a los ángulos, .

Para definición inequívocaángulo con una tangente dada, se selecciona del intervalo.

Arctangente Un número real arbitrario es un número real cuya tangente es igual a. Este número está designado.

Para determinar el arco tangente de un ángulo se utiliza un razonamiento similar, con la única diferencia de que se considera la intersección de un círculo con una línea recta y el ángulo se selecciona del intervalo.

Arcotangente Un número real arbitrario es un número real cuya cotangente es igual a. Este número está designado.

Propiedades de funciones trigonométricas inversas.

Dominio y Dominio

par/impar

Convertir funciones trigonométricas inversas

Para transformar expresiones que contienen funciones trigonométricas inversas, a menudo se utilizan las propiedades que se derivan de la definición de estas funciones:

Para cualquier número real que se tenga

y viceversa:

De manera similar para cualquier número real que tenga

y viceversa:

Gráficas de funciones trigonométricas y trigonométricas inversas.

Gráficas de funciones trigonométricas.

Comencemos trazando la gráfica de una función en un segmento. Para hacer esto, usaremos la definición de seno en un círculo trigonométrico. Dividamos el círculo trigonométrico en (en este caso 16) partes iguales y coloquemos un sistema de coordenadas cerca, donde el segmento en el eje también se divide en partes iguales. Trazando líneas rectas paralelas al eje a través de los puntos divisorios del círculo, en la intersección de estas líneas con las perpendiculares restauradas desde los puntos divisorios correspondientes en el eje, obtenemos puntos cuyas coordenadas, por definición, son iguales a los senos de los ángulos correspondientes. Dibujando una curva suave a través de estos puntos, obtenemos una gráfica de la función para. Para obtener una gráfica de una función en toda la recta numérica, use la periodicidad del seno: , .

Para obtener la gráfica de la función usaremos la fórmula de reducción. Por tanto, la gráfica de una función se obtiene a partir de la gráfica de una función mediante transferencia paralela a la izquierda por un segmento de longitud.

El uso de gráficas de funciones trigonométricas proporciona otra forma sencilla de obtener fórmulas de reducción. Veamos algunos ejemplos.

Simplifiquemos la expresión. En el eje denotamos el ángulo y denotamos su seno y coseno como y respectivamente. Encontremos el ángulo en el eje y restablezcamos la perpendicular a la intersección con la gráfica del seno. De la figura se desprende claramente que.

Tarea: simplifica la expresión.

Pasemos a construir una gráfica de la función. Primero, recuerda que para un ángulo, la tangente es la longitud del segmento. AB. Por analogía con la construcción de una gráfica de senos, dividiendo el semicírculo recto en partes iguales y trazando los valores tangentes resultantes, obtenemos la gráfica que se muestra en la figura. Para otros valores, la gráfica se obtiene utilizando la propiedad de periodicidad tangente, .

Las líneas de puntos en el gráfico representan asíntotas. Asíntota una curva es una línea recta a la que la curva se acerca tanto como se desea cuando se mueve hacia el infinito, pero no la cruza.

Para una tangente, las asíntotas son líneas rectas, cuya apariencia está asociada con la conversión a cero en estos puntos.

Usando un razonamiento similar, se obtiene una gráfica de la función. Para ello, las asíntotas son rectas, . Este gráfico también se puede obtener utilizando la fórmula de reducción, es decir transformación de simetría alrededor del eje y desplazamiento hacia la derecha.

Propiedades de funciones trigonométricas

Gráficas de funciones trigonométricas inversas.

Primero introducimos el concepto de función inversa.

Si una función aumenta o disminuye monótonamente, entonces para ella existe función inversa. Para construir una gráfica de la función inversa, la gráfica debe someterse a una transformación de simetría con respecto a la línea recta. Las figuras muestran un ejemplo de cómo obtener una gráfica de la función inversa.

Dado que las funciones arcoseno, arcocoseno, arcotangente y arcocotangente son inversas de las funciones seno, coseno, tangente y cotangente, respectivamente, sus gráficas se obtienen mediante la transformación descrita anteriormente. Las gráficas de las funciones originales en las figuras están sombreadas.

De las figuras anteriores se desprende una de las principales propiedades de las funciones trigonométricas inversas: la suma de las cofunciones del mismo número da.

Lema. Si la suma de los cuadrados de dos numeros reales es igual a uno, entonces uno de estos números puede considerarse como un coseno y el otro como el seno de algún ángulo.

En otras palabras, si A 2 + b 2 = 1 , entonces hay un ángulo φ , tal que

A = cosφ; b= pecadoφ.

Antes de probar este lema, expliquemoslo en siguiente ejemplo:

$$ (\frac(\sqrt3)(2))^2 + (\frac(1)(2)) = \frac(3)(4) + \frac(1)(4) = 1 $$

Por lo tanto hay un ángulo φ , tal que \(\frac(\sqrt3)(2) \) = cos φ ; 1/2 = pecado φ .

Como φ en este caso, podrá seleccionar cualquiera de los ángulos 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 360°, etc.

Prueba del lema:

Considere un vector \(\vec(0A)\) con coordenadas ( a, b ). Porque el A 2 + b 2 = 1 , la longitud de este vector es 1. Pero en este caso sus coordenadas deben ser iguales porque φ Y pecadoφ, Dónde φ - el ángulo que se forma vector dado con el eje de abscisas.

Entonces, A = cosφ; b= pecadoφ, que era lo que había que demostrar.

El lema probado nos permite transformar la expresión. a pecado x + b porque x a una forma más conveniente para el estudio.

En primer lugar, saquemos la expresión \(\sqrt(a^2 + b^2)\) entre paréntesis.

$$ a sinx + b cosx = \sqrt(a^2 + b^2)(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2))sinx + \frac(b)(\sqrt(a ^2 + b^2))cosx) $$

Porque el

$$ (\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 + (\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 = 1 $ $

el primero de los números \(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) y \(\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) puede considerarse como el coseno de algún ángulo φ , y el segundo - como el seno del mismo ángulo. φ :

$$ \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) = cos\phi, \;\; \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) = pecado\phi $$

Pero en ese caso

a pecado x + b cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\)(cos φ sin x + sin φ cos x) = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ )

a pecado x + b porque x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ), donde el ángulo φ se determina a partir de las condiciones

$$ pecado\phi = \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \;\; cos\phi = \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) $$

Ejemplos.

1) \(sin x + cos x = \sqrt2 (\frac(1)(\sqrt2) sin x + \frac(1)(\sqrt2)cos x) = \sqrt2 (cos\frac(\pi)(4 )sen x + sin\frac(\pi)(4)cos x) =\\= \sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4)) \)

La fórmula resultante pecado X+porque X= \(\sqrt2(senx + \frac(\pi)(4))\)útil para recordar.

2) Si uno de los números A Y b positivo y el otro negativo, entonces la expresión
a pecado x + b porque x Es más conveniente convertir no al seno de la suma, sino al seno de la diferencia de dos ángulos. Entonces,

$$ 3sinx - 4cosx = \sqrt(9+16)(\frac(3)(\sqrt(9+16))sinx - \frac(4)(\sqrt(9+16))cosx) =\\= 5(sinx\cdot\frac(3)(5) - cosx\cdot\frac(4)(5)) = 5sin(x - \phi), $$

donde debajo φ podemos referirnos a cualquier ángulo que satisfaga las siguientes condiciones:

porque φ = 3/5, pecado φ = 4 / 5

En particular, se puede poner φ = arctán 4 / 3 . Entonces obtenemos:

3 sen x - 4 cos x = 5 sen (x - arctan 4/3).

Las ecuaciones trigonométricas elementales son ecuaciones de la forma, donde --- una de las funciones trigonométricas: , .

Las ecuaciones trigonométricas elementales tienen un número infinito de raíces. Por ejemplo, se satisface la ecuación siguientes valores: , etc. Formula general a lo largo del cual se encuentran todas las raíces de la ecuación, donde es:

Aquí puede tomar cualquier valor entero, cada uno de ellos corresponde a una raíz específica de la ecuación; en esta fórmula (así como en otras fórmulas mediante las cuales se resuelven ecuaciones trigonométricas elementales) se llaman parámetro. Por lo general, se escriben para enfatizar que el parámetro puede aceptar cualquier valor entero.

Las soluciones a la ecuación donde se encuentran mediante la fórmula.

La ecuación se resuelve usando la fórmula

y la ecuación es por la fórmula

Observemos especialmente algunos casos especiales de ecuaciones trigonométricas elementales, cuando la solución se puede escribir sin utilizar fórmulas generales:

Al resolver ecuaciones trigonométricas. papel importante juega el período de funciones trigonométricas. Por tanto, presentamos dos teoremas útiles:

Teorema Si --- básico período de la función, entonces el número es el período principal de la función.

Los periodos de las funciones y se dicen conmensurables si existen números enteros Así que lo que.

Teorema Si funciones periódicas y, tienen proporcionales y, luego tienen periodo general, que es el periodo de las funciones, .

El teorema establece cuál es el período de una función y no es necesariamente el período principal. Por ejemplo, el período principal de las funciones y --- , y el período principal de su producto --- .

Introduciendo un argumento auxiliar

La forma estándar de transformar expresiones de la forma es la siguiente: let --- esquina, dado por las igualdades, . Para cualquiera, ese ángulo existe. De este modo. Si, o, en otros casos.

Esquema para resolver ecuaciones trigonométricas.

El esquema básico que seguiremos a la hora de resolver ecuaciones trigonométricas es el siguiente:

solución ecuación dada se reduce a una decisión ecuaciones elementales. Soluciones --- conversiones, factorización, sustitución de incógnitas. El principio rector es no perder las raíces. Esto significa que al ir a a la siguiente ecuación(ecuaciones) no tememos la aparición de raíces adicionales (extrañas), solo nos importa que cada ecuación posterior de nuestra "cadena" (o un conjunto de ecuaciones en el caso de ramificación) sea consecuencia de la anterior. Uno de métodos posibles La selección de raíces es un control. Observemos de inmediato que en el caso de las ecuaciones trigonométricas, las dificultades asociadas con la selección de raíces y la verificación, por regla general, aumentan considerablemente en comparación con las ecuaciones algebraicas. Después de todo, tenemos que comprobar series que constan de número infinito miembros.

Mención especial merece la sustitución de incógnitas a la hora de resolver ecuaciones trigonométricas. En la mayoría de los casos, después del reemplazo necesario, resulta ecuación algebraica. Además, las ecuaciones no son tan raras que, aunque sean trigonométricas en apariencia, esencialmente no lo son, ya que después del primer paso --- reemplazos las variables --- se convierten en algebraicas, y el regreso a la trigonometría se produce solo en la etapa de resolución de ecuaciones trigonométricas elementales.

Permítanos recordarle una vez más: el reemplazo de la incógnita debe realizarse en la primera oportunidad; la ecuación resultante después del reemplazo debe resolverse hasta el final, incluida la etapa de selección de raíces, y solo entonces regresar a la incógnita original.

Una de las características de las ecuaciones trigonométricas es que la respuesta en muchos casos se puede escribir. diferentes caminos. Incluso para resolver la ecuación, la respuesta se puede escribir de la siguiente manera:

1) en forma de dos series: , ;

2) en forma estándar, que es una combinación de las series anteriores: , ;

3) desde entonces, la respuesta se puede escribir en la forma, . (En el futuro, la presencia de un parámetro, o en un registro de respuesta, significará automáticamente que este parámetro acepta todos los valores enteros posibles. Se especificarán excepciones).

Evidentemente, los tres casos enumerados no agotan todas las posibilidades para escribir la respuesta a la ecuación considerada (hay una infinidad de ellos).

Por ejemplo, cuando la igualdad es verdadera. Por tanto, en los dos primeros casos, si, podemos sustituir por.

Por lo general, la respuesta se escribe en base al punto 2. Es útil recordar la siguiente recomendación: si el trabajo no termina con la resolución de la ecuación, aún es necesario realizar una investigación y selección de raíces, entonces la forma más conveniente de registrar se indica en el punto 1. (Se debe dar una recomendación similar para la ecuación).

Consideremos un ejemplo que ilustra lo dicho.

Ejemplo Resuelve la ecuación.

Solución. La forma más obvia es la siguiente. Esta ecuación se divide en dos: i. Resolviendo cada uno de ellos y combinando las respuestas obtenidas, encontraremos.

De otra manera. Desde entonces, reemplazando y utilizando las fórmulas para reducir el grado. Después de algunas transformaciones menores llegamos a dónde.

A primera vista, la segunda fórmula no presenta ventajas especiales sobre la primera. Sin embargo, si tomamos, por ejemplo, resulta que, es decir la ecuación tiene solución, mientras que el primer método nos lleva a la respuesta. “Ver” y demostrar la igualdad no es tan fácil.