Diapositiva 3

Horner Williams George (1786-22.9.1837) - matemático inglés. Nacido en Brístol. Estudió y trabajó allí y luego en escuelas de Bath. Trabajos básicos de álgebra. En 1819 publicó un método para el cálculo aproximado de las raíces reales de un polinomio, que ahora se llama método de Ruffini-Horner (este método era conocido por los chinos en el siglo XIII. El esquema para dividir un polinomio por un binomio x-a se llama). después de Horner.

Diapositiva 4

ESQUEMA DE HORNER

Método de dividir un polinomio enésimo grado en un binomio lineal - a, basado en el hecho de que los coeficientes del cociente incompleto y el resto están relacionados con los coeficientes del polinomio divisible y con las fórmulas:

Diapositiva 5

Los cálculos según el esquema de Horner se muestran en la tabla:

Ejemplo 1. Dividir El cociente parcial es x3-x2+3x - 13 y el resto es 42=f(-3).

Diapositiva 6

La principal ventaja de este método es la compacidad de la grabación y la capacidad división rápida polinomio a binomio. De hecho, el esquema de Horner es otra forma de registrar el método de agrupación, aunque, a diferencia de este último, es completamente no visual. La respuesta (factorización) se obtiene aquí por sí sola y no vemos el proceso para obtenerla. No nos ocuparemos de una fundamentación rigurosa del esquema de Horner, sino que sólo mostraremos cómo funciona.

Diapositiva 7

Ejemplo 2.

Demostremos que el polinomio P(x)=x4-6x3+7x-392 es divisible por x-7 y encontremos el cociente de la división. Solución. Usando el esquema de Horner, encontramos P(7): De aquí obtenemos P(7)=0, es decir resto al dividir un polinomio por x-7 igual a cero y, por tanto, el polinomio P(x) es múltiplo de (x-7). Además, los números de la segunda fila de la tabla son los coeficientes del cociente de P(x) dividido por (x-7). por lo tanto P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).

Diapositiva 8

Factoriza el polinomio x3 – 5x2 – 2x + 16.

Este polinomio tiene coeficientes enteros. Si un número entero es la raíz de este polinomio, entonces es divisor del número 16. Así, si un polinomio dado tiene raíces enteras, entonces estas sólo pueden ser los números ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Por verificación directa estamos convencidos de que el número 2 es la raíz de este polinomio, es decir, x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), donde Q(x) es un polinomio de segundo grado

Diapositiva 9

Los números resultantes 1, −3, −8 son los coeficientes del polinomio, que se obtiene dividiendo el polinomio original entre x – 2. Esto significa que el resultado de la división es: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. El grado de un polinomio resultante de la división es siempre 1 menor que el grado del polinomio original. Entonces: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

Etc. es de carácter educativo general y tiene gran importancia para estudiar TODO el curso Matemáticas avanzadas. Hoy repetiremos las ecuaciones "escolares", pero no sólo las "escolares", sino las que se encuentran en todas partes en varias tareas vyshmat. Como es habitual, la historia se contará de forma aplicada, es decir. No me centraré en definiciones y clasificaciones, pero compartiré exactamente con ustedes. experiencia personal soluciones. La información está destinada principalmente a principiantes, pero los lectores más avanzados también encontrarán mucho por sí mismos. momentos interesantes. Y por supuesto habrá nuevo material, ir más allá escuela secundaria.

Entonces la ecuación…. Muchos recuerdan esta palabra con escalofríos. ¿Cuánto valen las “sofisticadas” ecuaciones con raíces... ...olvídate de ellas! Porque entonces conocerás a los “representantes” más inofensivos de esta especie. o aburrido ecuaciones trigonométricas con docenas de métodos de solución. Para ser honesto, a mí tampoco me gustaban mucho... ¡No entrar en pánico! – entonces le esperan sobre todo “dientes de león” con una solución obvia en 1-2 pasos. Aunque la "bardana" ciertamente se adhiere, aquí hay que ser objetivo.

Curiosamente, en matemáticas superiores es mucho más común tratar con ecuaciones muy primitivas como lineal ecuaciones

¿Qué significa resolver esta ecuación? Esto significa encontrar TAL valor de “x” (raíz) que lo convierta en una verdadera igualdad. Echemos el “tres” hacia la derecha con cambio de signo:

y restablecer el “dos” a lado derecho (o, lo mismo, multiplica ambos lados por) :

Para comprobarlo, sustituyamos el trofeo ganado por ecuación original :

Se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que el valor encontrado es efectivamente una raíz ecuación dada. O, como también dicen, satisface esta ecuación.

Tenga en cuenta que la raíz también se puede escribir en la forma decimal:
¡Y trata de no ceñirte a este mal estilo! Repetí el motivo más de una vez, en particular, en la primera lección sobre álgebra superior.

Por cierto, la ecuación también se puede resolver “en árabe”:

Y lo que es más interesante... esta entrada completamente legal! Pero si no eres profesor, entonces es mejor no hacer esto, porque aquí la originalidad se castiga =)

Y ahora un poco sobre

método de solución gráfica

La ecuación tiene la forma y su raíz es coordenada "X" puntos de intersección gráfico de función lineal con horario función lineal (eje x):

Parecería que el ejemplo es tan elemental que no hay nada más que analizar aquí, pero se puede “exprimir” un matiz más inesperado: presentemos la misma ecuación en la forma y construyamos gráficas de las funciones:

Donde, por favor no confundas los dos conceptos: una ecuación es una ecuación, y función– ¡Esta es una función! Funciones solo ayuda encontrar las raíces de la ecuación. De los cuales pueden haber dos, tres, cuatro o incluso una infinidad. El ejemplo más cercano en este sentido es el conocido ecuación cuadrática, cuyo algoritmo de solución recibió un párrafo separado fórmulas escolares "calientes". ¡Y esto no es una coincidencia! Si puedes resolver una ecuación cuadrática y sabes Teorema de pitágoras, entonces se podría decir “la mitad de las matemáticas superiores ya está en tu bolsillo” =) ¡Exagerado, por supuesto, pero no tan lejos de la verdad!

Por lo tanto, no seamos perezosos y resolvamos alguna ecuación cuadrática usando algoritmo estándar:

, lo que significa que la ecuación tiene dos diferentes válido raíz:

Es fácil verificar que ambos valores encontrados realmente satisfacen esta ecuación:

¿Qué hacer si de repente olvida el algoritmo de solución y no hay medios o ayuda disponible? Esta situación puede surgir, por ejemplo, durante una prueba o examen. ¡Utilizamos el método gráfico! Y hay dos maneras: puedes construir punto por punto parábola , descubriendo así dónde se cruza con el eje (si se cruza). Pero es mejor hacer algo más astuto: imaginar la ecuación en la forma, dibujar gráficas más funciones simples- Y Coordenadas "X"¡sus puntos de intersección son claramente visibles!


Si resulta que la línea recta toca la parábola, entonces la ecuación tiene dos raíces coincidentes (múltiples). Si resulta que la línea recta no corta a la parábola, entonces no hay raíces reales.

Para hacer esto, por supuesto, necesitas poder construir gráficas de funciones elementales, pero, por otro lado, incluso un escolar puede realizar estas habilidades.

Y nuevamente: una ecuación es una ecuación y funciones son funciones que solo ayudó¡resuelve la ecuación!

Y aquí, por cierto, conviene recordar una cosa más: Si todos los coeficientes de una ecuación se multiplican por un número distinto de cero, entonces sus raíces no cambiarán..

Así, por ejemplo, la ecuación tiene las mismas raíces. Como “prueba” simple, quitaré la constante entre paréntesis:
y lo quitaré sin dolor (Dividiré ambas partes por “menos dos”):

¡PERO! Si consideramos la función ¡Entonces no puedes deshacerte de la constante aquí! Sólo está permitido sacar el multiplicador de paréntesis: .

Mucha gente subestima el método de solución gráfica, considerándolo algo "indigno", y algunos incluso se olvidan por completo de esta posibilidad. ¡Y esto es fundamentalmente incorrecto, ya que trazar gráficos a veces simplemente salva la situación!

Otro ejemplo: supongamos que no recuerdas las raíces de la ecuación trigonométrica más simple: . Formula general es en libros de texto escolares, en todos los libros de referencia sobre matemáticas elementales, pero no están disponibles para usted. Sin embargo, resolver la ecuación es fundamental (también conocido como "dos"). ¡Hay una salida! – construir gráficas de funciones:


tras lo cual anotamos tranquilamente las coordenadas “X” de sus puntos de intersección:

Hay infinitas raíces y en álgebra se acepta su notación condensada:
, Dónde ( – conjunto de números enteros) .

Y, sin “irnos”, unas palabras sobre el método gráfico para resolver desigualdades con una variable. El principio es el mismo. Entonces, por ejemplo, la solución a la desigualdad es cualquier “x”, porque La sinusoide se encuentra casi completamente debajo de la línea recta. La solución a la desigualdad es el conjunto de intervalos en los que las partes de la sinusoide se encuentran estrictamente por encima de la recta. (eje x):

o, en resumen:

Pero aquí están las muchas soluciones a la desigualdad: vacío, ya que ningún punto de la sinusoide se encuentra por encima de la línea recta.

¿Hay algo que no entiendes? Estudie urgentemente las lecciones sobre conjuntos Y gráficas de funciones!

Vamos a calentar:

Ejercicio 1

Resuelve gráficamente las siguientes ecuaciones trigonométricas:

Respuestas al final de la lección.

Como puedes ver, estudiar Ciencias Exactas¡No hay necesidad de abarrotar fórmulas y libros de referencia! Además, este es un enfoque fundamentalmente defectuoso.

Como ya les aseguré al comienzo de la lección, las ecuaciones trigonométricas complejas en un curso estándar de matemáticas superiores rara vez deben resolverse. Toda complejidad, por regla general, termina con ecuaciones como , cuya solución son dos grupos de raíces que se originan a partir de las ecuaciones más simples y . No te preocupes demasiado por resolver esto último: busca en un libro o encuéntralo en Internet =)

El método de solución gráfica también puede resultar útil en casos menos triviales. Considere, por ejemplo, la siguiente ecuación “irregular”:

Las perspectivas para su solución parecen... no se parecen en nada, pero sólo hay que imaginar la ecuación en la forma , construir gráficas de funciones y todo resultará increíblemente sencillo. Hay un dibujo en el medio del artículo sobre funciones infinitesimales (se abrirá en la siguiente pestaña).

Mismo método gráfico Puedes descubrir que la ecuación ya tiene dos raíces, y una de ellas es igual a cero, y la otra, aparentemente, irracional y pertenece al segmento . raíz dada se puede calcular aproximadamente, por ejemplo, método tangente. Por cierto, en algunos problemas sucede que no es necesario encontrar las raíces, sino descubrirlas. ¿Existen en absoluto?. Y aquí también un dibujo puede ayudar: si las gráficas no se cruzan, entonces no hay raíces.

Raíces racionales de polinomios con coeficientes enteros.
Esquema de Horner

Y ahora te invito a que vuelvas la mirada hacia la Edad Media y sientas la atmósfera única del álgebra clásica. Para una mejor comprensión del material, te recomiendo que leas al menos un poco. números complejos.

Ellos son los mejores. Polinomios.

El objeto de nuestro interés serán los polinomios más comunes de la forma con entero coeficientes Número natural llamado grado de polinomio, número – coeficiente del grado más alto (o simplemente el coeficiente más alto), y el coeficiente es miembro gratuito.

Denotaré brevemente este polinomio por .

Raíces de un polinomio llamar a las raíces de la ecuación

Me encanta la lógica de hierro =)

Para ver ejemplos, vaya al principio del artículo:

No hay problemas para encontrar las raíces de polinomios de 1.º y 2.º grado, pero a medida que aumentas, esta tarea se vuelve cada vez más difícil. Aunque por otro lado ¡todo es más interesante! Y esto es exactamente a lo que se dedicará la segunda parte de la lección.

Primero, literalmente la mitad de la pantalla de la teoría:

1) Según el corolario teorema fundamental del álgebra, el polinomio de grado tiene exactamente complejo raíces Algunas raíces (o incluso todas) pueden ser particularmente válido. Además, entre las raíces reales puede haber raíces idénticas (múltiples) (mínimo dos, máximo piezas).

Si algún número complejo es raíz de un polinomio, entonces conjugado su número también es necesariamente la raíz de este polinomio (conjugado raíces complejas parece ).

El ejemplo más simple es una ecuación cuadrática que apareció por primera vez en 8 (como) clase, y que finalmente “rematamos” en el tema números complejos. Permítanme recordarles: una ecuación cuadrática tiene dos raíces reales diferentes, raíces múltiples o raíces complejas conjugadas.

2) De teorema de bezout de ello se deduce que si un número es la raíz de una ecuación, entonces el polinomio correspondiente se puede factorizar:
, donde es un polinomio de grado.

Y nuevamente, nuestro viejo ejemplo: puesto que es la raíz de la ecuación, entonces. Después de lo cual no es difícil obtener la conocida expansión “escolar”.

El corolario del teorema de Bezout tiene un gran valor práctico: si conocemos la raíz de una ecuación de tercer grado, entonces podemos representarla en la forma y a partir de la ecuación cuadrática es fácil encontrar las raíces restantes. Si conocemos la raíz de una ecuación de cuarto grado, entonces es posible expandir el lado izquierdo en un producto, etc.

Y aquí hay dos preguntas:

Pregunta uno. ¿Cómo encontrar esta misma raíz? En primer lugar, definamos su naturaleza: en muchos problemas de matemáticas superiores es necesario encontrar racional, En particular entero raíces de polinomios, y en este sentido, a continuación nos interesarán principalmente... ...¡son tan buenos, tan esponjosos, que querrás encontrarlos! =)

Lo primero que me viene a la mente es el método de selección. Consideremos, por ejemplo, la ecuación . El problema aquí está en el término libre: si fuera igual a cero, entonces todo estaría bien; sacamos la "x" de los paréntesis y las raíces mismas "caen" a la superficie:

pero tenemos miembro gratuito es igual a "tres", por lo que comenzamos a sustituir en la ecuación diferentes numeros, afirmando ser la “raíz”. En primer lugar, se sugiere la sustitución de valores únicos. Sustituyamos:

Recibió incorrecto igualdad, por tanto, la unidad “no encajaba”. Bueno, está bien, sustituyamos:

Recibió verdadero¡igualdad! Es decir, el valor es la raíz de esta ecuación.

Para encontrar las raíces de un polinomio de tercer grado, existen método analítico (las llamadas fórmulas de Cardano), pero ahora estamos interesados ​​en una tarea ligeramente diferente.

Dado que - es la raíz de nuestro polinomio, el polinomio se puede representar en la forma y surge Segunda pregunta: ¿Cómo encontrar un “hermano menor”?

Las consideraciones algebraicas más simples sugieren que para hacer esto necesitamos dividir por . ¿Cómo dividir un polinomio por un polinomio? Mismo metodo escolar compartido números ordinarios- ¡“en una columna”! Este método Lo discutí en detalle en los primeros ejemplos de la lección. Límites complejos, y ahora veremos otro método, que se llama Esquema de Horner.

Primero escribimos el polinomio "más alto" con todos , incluidos coeficientes cero:
, después de lo cual ingresamos estos coeficientes (estrictamente en orden) en la fila superior de la tabla:

Escribimos la raíz a la izquierda:

Inmediatamente haré una reserva de que el esquema de Horner también funciona si el número "rojo" No es la raíz del polinomio. Sin embargo, no apresuremos las cosas.

Eliminamos el coeficiente principal de arriba:

El proceso de llenar las celdas inferiores recuerda algo al bordado, donde "menos uno" es una especie de "aguja" que impregna los pasos siguientes. Multiplicamos el número "arrastrado hacia abajo" por (–1) y sumamos el número de la celda superior al producto:

Multiplicamos el valor encontrado por la “aguja roja” y sumamos al producto el siguiente coeficiente de ecuación:

Y finalmente, el valor resultante se vuelve a “procesar” con la “aguja” y el coeficiente superior:

El cero en la última celda nos dice que el polinomio se divide en sin dejar rastro (como debería ser), mientras que los coeficientes de expansión se “eliminan” directamente de la línea inferior de la tabla:

Así, pasamos de la ecuación a una ecuación equivalente y todo queda claro con las dos raíces restantes. (V en este caso obtenemos raíces complejas conjugadas).

La ecuación, por cierto, también se puede resolver gráficamente: trazar "iluminación" y observa que la gráfica cruza el eje x () en el punto . O el mismo truco "astuto": reescribimos la ecuación en el formulario, dibujamos graficos elementales y detectar la coordenada “X” de su punto de intersección.

Por cierto, la gráfica de cualquier función polinomio de tercer grado cruza el eje al menos una vez, lo que significa que la ecuación correspondiente tiene al menos uno válido raíz. Este hecho válido para cualquier función polinómica de grado impar.

Y aquí también me gustaría detenerme en punto importante que se refiere a la terminología: polinomio Y función polinómica – no es lo mismo! Pero en la práctica a menudo se habla, por ejemplo, de la “gráfica de un polinomio”, lo cual, por supuesto, es negligencia.

Sin embargo, volvamos al esquema de Horner. Como mencioné recientemente, este esquema funciona para otros números, pero si el número No es la raíz de la ecuación, entonces aparece una suma distinta de cero (resto) en nuestra fórmula:

"Ejecutemos" el valor "fallido" según el esquema de Horner. En este caso, es conveniente utilizar la misma tabla: escriba una nueva "aguja" a la izquierda, mueva el coeficiente principal desde arriba (flecha verde izquierda), y listo:

Para comprobarlo, abramos los paréntesis y presentemos términos similares:
, DE ACUERDO.

Es fácil notar que el resto (“seis”) es exactamente el valor del polinomio en . Y de hecho, ¿cómo es?
, y aún mejor, así:

De los cálculos anteriores es fácil entender que el esquema de Horner permite no sólo factorizar el polinomio, sino también realizar una selección "civilizada" de la raíz. Le sugiero que consolide usted mismo el algoritmo de cálculo con una pequeña tarea:

Tarea 2

Usando el esquema de Horner, encuentre raíz entera ecuación y factorizar el polinomio correspondiente

En otras palabras, aquí debe verificar secuencialmente los números 1, –1, 2, –2, ... – hasta que se "dibuje" un resto cero en la última columna. Esto significará que la “aguja” de esta recta es la raíz del polinomio

Es conveniente ordenar los cálculos en una sola tabla. Solución detallada y la respuesta al final de la lección.

El método de selección de raíces es bueno para relativamente casos simples, pero si los coeficientes y/o el grado del polinomio son grandes, entonces el proceso puede llevar más tiempo. ¿O tal vez hay algunos valores de la misma lista 1, –1, 2, –2 y no tiene sentido considerarlos? Y, además, las raíces pueden resultar fraccionarias, lo que conducirá a un pinchazo completamente poco científico.

Afortunadamente, existen dos teoremas poderosos que pueden reducir significativamente la búsqueda de valores "candidatos" en raíces racionales:

Teorema 1 Consideremos irreducible fracción , donde . Si el número es la raíz de la ecuación, entonces el término libre se divide por y el coeficiente principal se divide por.

En particular, si el coeficiente principal es , entonces esta raíz racional es un número entero:

Y comenzamos a explotar el teorema con sólo este sabroso detalle:

Volvamos a la ecuación. Dado que su coeficiente principal es , entonces las raíces racionales hipotéticas pueden ser exclusivamente enteras, y el término libre necesariamente debe dividirse en estas raíces sin resto. Y “tres” sólo se puede dividir en 1, –1, 3 y –3. Es decir, tenemos sólo 4 "candidatos raíz". Y, según Teorema 1, otro numeros racionales no pueden ser las raíces de esta ecuación EN PRINCIPIO.

Hay un poco más de “contendientes” en la ecuación: el término libre se divide en 1, –1, 2, – 2, 4 y –4.

Tenga en cuenta que los números 1, –1 son "habituales" de la lista de posibles raíces. (una consecuencia obvia del teorema) y la mayoría mejor elección para control de prioridad.

Pasemos a ejemplos más significativos:

Problema 3

Solución: dado que el coeficiente principal es , entonces las raíces racionales hipotéticas solo pueden ser enteras y necesariamente deben ser divisores del término libre. “Menos cuarenta” se divide en los siguientes pares de números:
– un total de 16 “candidatos”.

Y aquí aparece inmediatamente un pensamiento tentador: ¿es posible eliminar todo lo negativo o todo? raíces positivas? ¡En algunos casos es posible! Formularé dos signos:

1) si Todo Si los coeficientes del polinomio no son negativos, entonces no puede tener raíces positivas. Desafortunadamente, este no es nuestro caso (Ahora, si nos dieran una ecuación, entonces sí, al sustituir cualquier valor del polinomio, el valor del polinomio es estrictamente positivo, lo que significa que todos los números positivos (y los irracionales también) no pueden ser las raíces de la ecuación.

2) Si los coeficientes en grados impares no son negativos y para todas las potencias pares (incluido miembro gratuito) son negativos, entonces el polinomio no puede tener raíces negativas. ¡Este es nuestro caso! Mirando un poco más de cerca, puedes ver que cuando sustituyes cualquier “x” negativa en la ecuación lado izquierdo será estrictamente negativo, lo que significa raíces negativas desaparecer

Así, quedan 8 números por investigar:

Los “cobramos” secuencialmente según el esquema de Horner. Espero que ya hayas dominado los cálculos mentales:

La suerte nos esperaba a la hora de probar el “dos”. Por tanto, ¿es la raíz de la ecuación considerada, y

Queda por estudiar la ecuación. . Esto es fácil de hacer mediante el discriminante, pero realizaré una prueba indicativa utilizando el mismo esquema. En primer lugar, observemos que el término libre es igual a 20, lo que significa Teorema 1 los números 8 y 40 salen de la lista de posibles raíces, dejando los valores para la investigación (uno fue eliminado según el esquema de Horner).

Escribimos los coeficientes del trinomio en la línea superior. nueva mesa Y Empezamos a comprobar con los mismos "dos". ¿Por qué? Y como las raíces pueden ser múltiplos, por favor: - esta ecuación tiene 10 raíces idénticas. Pero no nos distraigamos:

Y aquí, por supuesto, estaba un poco mentido, sabiendo que las raíces son racionales. Después de todo, si fueran irracionales o complejos, entonces me enfrentaría a una verificación fallida de todos los números restantes. Por lo tanto, en la práctica, déjese guiar por el discriminante.

Respuesta: raíces racionales: 2, 4, 5

Tuvimos suerte en el problema que analizamos porque: a) se cayeron enseguida valores negativos, yb) encontramos la raíz muy rápidamente (y en teoría podríamos comprobar la lista completa).

Pero en realidad la situación es mucho peor. Te invito a ver un emocionante juego llamado “ último héroe»:

Problema 4

Encuentra las raíces racionales de la ecuación.

Solución: Por Teorema 1 numeradores de hipotéticos raíces racionales debe satisfacer la condición (leemos “doce se divide entre el”), y los denominadores corresponden a la condición . En base a esto, obtenemos dos listas:

"listar el":
y "lista um": (afortunadamente, los números aquí son naturales).

Ahora hagamos una lista de todas las raíces posibles. Primero, dividimos la “lista el” entre . Está absolutamente claro que se obtendrán las mismas cifras. Por conveniencia, pongámoslos en una tabla:

Se han reducido muchas fracciones, dando como resultado valores que ya están en la “lista de héroes”. Agregamos solo "novatos":

De manera similar, dividimos la misma “lista” por:

y finalmente en

Así, se completa el equipo de participantes en nuestro juego:


Desafortunadamente, el polinomio de este problema no satisface el criterio "positivo" o "negativo" y, por lo tanto, no podemos descartar la fila superior o inferior. Tendrás que trabajar con todos los números.

¿Cómo te sientes? Vamos, levanta la cabeza: hay otro teorema que en sentido figurado puede llamarse el "teorema asesino"…. ...“candidatos”, por supuesto =)

Pero primero debes desplazarte por el diagrama de Horner durante al menos un El conjunto números. Tradicionalmente, tomemos uno. En la línea superior escribimos los coeficientes del polinomio y todo queda como siempre:

Como cuatro claramente no es cero, el valor no es la raíz del polinomio en cuestión. Pero ella nos ayudará mucho.

Teorema 2 si por algunos en general el valor del polinomio es distinto de cero: , entonces sus raíces racionales (si ellos estan) satisfacer la condición

En nuestro caso y por lo tanto todas las raíces posibles deben satisfacer la condición (llamémoslo Condición No. 1). Estos cuatro serán los “asesinos” de muchos “candidatos”. A modo de demostración, veremos algunas comprobaciones:

Revisemos al "candidato". Para ello, representémoslo artificialmente en forma de fracción, de la que se ve claramente que . Calculemos la diferencia de prueba: . Cuatro se divide por “menos dos”: , lo que significa que la posible raíz ha pasado la prueba.

Comprobemos el valor. Aquí la diferencia de prueba es: . Por supuesto, y por tanto el segundo “tema” también permanece en la lista.

Existe un algoritmo para dividir un polinomio. F(X) en ( x–a), llamado esquema de Horner.

Dejar F(X) = , grados f(X) = norte, un 0. dividir F(X) en ( x–a), obtenemos: (*) F(X) = (x – un) ×q(X)+r, Dónde rÎ F,gradoq(X) = norte – 1.

vamos a escribirlo q(X)= segundo norte -1 x norte -1 + segundo norte -2 x norte -2 + … + segundo 1 x + segundo 0. Luego sustituyendo (*) en igualdad en su lugar F(X) Y q(X) sus expresiones, obtenemos:

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 = (x – un) (segundo n-1 x n-1 + segundo n-2 x n-2 + … + segundo 1 x + segundo 0)+r

Como los polinomios son iguales, los coeficientes de las potencias correspondientes deben ser iguales.

r – ab 0 = a 0 r = a 0 + ab 0

segundo 0 – ab 1 = un 1 segundo 0 = un 1 + ab 1

…………… .. ……………

b norte -1 = una norte una norte = una norte -1

Calcular los coeficientes de un polinomio. q(X) es más conveniente de implementar usando una tabla (diagrama de Horner).

Usando el esquema de Horner, puedes resolver los siguientes tipos de problemas:

1. Encuentra q(x) Y r al dividir F(X) en ( x – un);

2. Calcula el valor del polinomio. F(X) en x = un;

3. Descubra si habrá x = un raíz del polinomio F(X), y f;

4. Determinar la multiplicidad de la raíz;

5. Expande el polinomio en potencias ( x – un).

6. Calcular el valor de un polinomio. F(X) y todos sus derivados en x = un.

Ejemplo. Dejar F(X) = X 5 – 15 x4 + 76 x3 – 140x2 + 75x– 125 y un = 5.

Hagamos un diagrama de Horner:

1. Calcula el cociente incompleto. q(X) y el resto r al dividir F(X) en ( X - 5). En la segunda fila de la tabla vemos que los coeficientes del cociente q(X) son iguales a: 1, – 10, 26, – 10, 25, por lo tanto q(X) = 1x4– 10x3+ 26x2– 10x + 25 y el resto r es igual a 0.

2. Calcula el valor del polinomio. F(X) en x= 5. Usemos el teorema de Bezout: F(5) = r = 0.

3. Averigüemos si habrá x= 5 raíz de un polinomio F(X). priorato A- raíz F(X), Si F(A) = 0. Desde F(5) = r= 0, entonces 5 es la raíz F(X).

4. De la segunda, tercera y cuarta filas de la tabla vemos que F(X) dividido por ( X– 5) 3, pero F(X) no es divisible por ( X– 5) 4 . Por lo tanto, la raíz del número 5 es múltiplo de 3.

5. Expandamos el polinomio. F(X) por grados ( X - 5), los coeficientes de expansión c 0, c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 se obtienen en las últimas celdas de la segunda, tercera, cuarta, quinta, sexta y séptima líneas del esquema de Horner:

F(X) = c 0 + c 1 ( X - 5)+ con 2 ( X - 5) 2 + con 3 ( X - 5) 3 + con 4 ( X - 5) 4 + con 5 ( X - 5) 5 o

F(X) = 26 (X - 5) 3 + 10 (X - 5) 4 + (X - 5) 5 .

6. Calcula el valor del polinomio. F(X) y todos sus derivados en x= 5.

con 0 = F(5) = 0, s 1 = F'(5) = 0, s 2 = = 0 F"(5) = 0,

s 3 = = 26 F'''(5) = 26 ∙ 3! = 156, con 4 = = 10 F′ v (5) = 10 ∙ 4! = 240,

con 5 = = 1 F v (5) = 1 ∙ 5! = 120.

MÉTODO 15."Función logarítmica".

1. Lógica – Análisis matemático Temas.

Este tema Estudió en décimo grado.

Conceptos básicos:

función, dado por la fórmula y=log a x, donde a>0, se llama a≠0 función logarítmica con base a.

El término es una función logarítmica.

El género es una función.

Diferencias de especies: 1) a>0, a≠0; 2) la función viene dada por la fórmula y=log a x.

Ofertas principales:

Propiedades de la función logarítmica.

1°. El dominio de definición de una función logarítmica es el conjunto de todos numeros positivos R+, es decir D(log)=R+.

2°. El rango de una función logarítmica es el conjunto de todos los números reales.

3°. La función logarítmica en todo el dominio de definición aumenta (para a>1) o disminuye (para 0<а<1).

La siguiente afirmación es cierta: las gráficas de funciones exponenciales y logarítmicas que tienen la misma base son simétricas con respecto a la recta y=x.

Ideas principales y métodos de estudio:

Las definiciones de conceptos son explícitas, a través de las diferencias más cercanas entre géneros y especies, constructivas.

Métodos de prueba:

Deductivo (basado en definición) utilizando métodos matemáticos: logaritmo de grados, propiedades básicas de los grados, método por contradicción.

Por ejemplo, la propiedad de que para a>1 una función aumenta se demuestra definiendo una función creciente, utilizando el método de la contradicción.

1. - en matemáticas superiores (lógica matemática, análisis matemático).

Principales tipos de problemas matemáticos sobre el tema.

Encuentra el dominio de la función;

Construya una gráfica de la función;

Encuentra el rango de la función;

Encuentra los intervalos de signo constante de la función;

Explora la función y construye su gráfica;

Encuentre el valor mayor y menor de una función;

Encuentra el valor de la expresión.

Errores típicos y dificultades al estudiar el tema.

Errores matemáticos:

ü errores de cálculo: al resolver ecuaciones y desigualdades, al encontrar valores de funciones, al operar con potencias;

ü errores lógicos: al realizar transformaciones de identidad, al utilizar las propiedades de los logaritmos, al definir conceptos, al derivar fórmulas;

ü errores gráficos: al construir gráficas de funciones (no se tienen en cuenta las propiedades de las funciones); Las transformaciones de gráficos se aplican incorrectamente.

3. Métodos y técnicas para que los estudiantes trabajen con un libro de texto de matemáticas de acuerdo con las características de edad de los estudiantes.

En los grados 5-6, se utilizan los siguientes métodos para trabajar con el libro de texto:

1. lectura de reglas, definiciones y enunciados de teoremas por parte de los estudiantes después de la explicación del profesor

2. lectura en voz alta por parte del profesor a los alumnos, destacando lo principal y esencial

3. trabajar con fórmulas e ilustraciones en la portada del libro de texto

4. estudiantes leyendo el libro de texto y respondiendo las preguntas del maestro

En los grados 7-8, se agregan los siguientes métodos para trabajar con el libro de texto:

1. leer textos después de que el profesor los explique

2. estudiantes que leen el texto y lo dividen en párrafos significativos

3. leer el texto del libro de texto por parte de los alumnos y anotar las frases principales del tema según el plan propuesto por el profesor

En los grados 9 a 11, se agrega lo siguiente a todo lo que se ofrece:

1. análisis de ejemplos por parte de los estudiantes en el libro de texto, después de que el profesor explica el tema

2. lectura del texto por parte de los estudiantes y redacción de un resumen de apoyo sobre este texto

3. leer el texto del libro de texto y los estudiantes elaboran de forma independiente un plan para este texto.

4. leer el texto del libro de texto y la respuesta del alumno según un plan elaborado de forma independiente

2. Fragmento de una lección sobre el estudio de un tema nuevo: “Función logarítmica”.

Educativo: durante la lección, asegúrese de dominar el concepto de función logarítmica, desarrolle la capacidad de determinar las propiedades de funciones logarítmicas y desarrolle la capacidad de representar gráficas de una función logarítmica.

De desarrollo: promover el desarrollo del pensamiento, la percepción, la memoria, la imaginación, la atención.

Educativo: cultivar un interés sostenible por las matemáticas, cultivar las cualidades de la personalidad individual: precisión, perseverancia, trabajo duro.

Tipo de lección: aprender material nuevo

Estructura de la lección:

1. momento organizativo; 2. establecer objetivos de lección; 3.comprobar la tarea; 4. preparación para estudiar material nuevo; 5. aprender material nuevo; 6.consolidación primaria y comprensión de material nuevo; 7. establecer tareas; 8. resumiendo la lección;

Calcular el valor de un polinomio en un punto es una de las formas más sencillas problemas clásicos programación.
Al realizar varios tipos de cálculos, a menudo es necesario determinar los valores de los polinomios en valores dados argumentos. A menudo, el cálculo aproximado de funciones se reduce al cálculo de polinomios aproximados.
No se puede decir que el lector medio de Habrahabr no tenga experiencia en el uso de todo tipo de perversiones. Una de cada dos personas dirá que el polinomio debe calcularse utilizando la regla de Horner. Pero siempre hay un pequeño “pero”, ¿el esquema de Horner es siempre el más efectivo?

Esquema de Horner

Excepciones

¿Hay algo más, ya que el esquema de Horner es el más económico?

En algunos casos, es recomendable utilizar esquemas de dos etapas para obtener valores polinomiales. En la primera etapa, las acciones se realizan sólo sobre los coeficientes del polinomio al que se transforma; tipo especial. En la segunda etapa, se calcula el valor del polinomio en sí para los valores dados del argumento. En este caso, puede resultar que el número de operaciones realizadas en la segunda etapa sea menor que en los cálculos según el esquema de Horner.

Nuevamente, observo que tales métodos de cálculo son apropiados al calcular los valores de un polinomio para gran número valores x. La ganancia se obtiene debido a que la primera etapa del polinomio se realiza solo una vez. Un ejemplo sería el cálculo funciones elementales, donde el polinomio aproximado se prepara de antemano.

En futuras discusiones, hablando sobre el número de operaciones para calcular, tendré en cuenta la complejidad de la segunda etapa de cálculos.

Esquema de J. Todt para polinomios de grado 6

Los coeficientes están determinados por el método. coeficientes inciertos basado en la condición. A partir de la última condición componemos un sistema de ecuaciones, igualando los coeficientes para grados iguales polinomios.

No presentaré aquí el sistema en sí. Pero puede resolverse fácilmente mediante el método de sustituciones, y hay que resolverlo ecuaciones cuadráticas. Los coeficientes pueden resultar complejos, pero si resultan ser reales, entonces los cálculos requieren tres multiplicaciones y siete sumas en lugar de cinco multiplicaciones y seis sumas según el esquema de Horner.

No es necesario hablar de la universalidad de este esquema, pero el lector puede apreciar claramente la reducción en el número de operaciones en comparación con el esquema de Horner.

Esquema yu.l. Ketková

yu.l. Ketkov dio Idea general polinomio de enésimo grado para n>5, siempre conduce a expresiones reales y requiere [(n+1)/2]+ multiplicaciones y n+1 sumas para calcular el polinomio de enésimo grado.

Por ejemplo, con n=2k, el esquema de Ketkov se reduce a encontrar polinomios:

Todos los coeficientes desconocidos se encuentran a partir de la igualdad. En las obras de Ketkov, se da un método para resolver los sistemas resultantes que siempre da coeficientes reales.

Esquemas de V.Ya. pana

V.Ya. Pan trabajó en problemas de cálculo óptimo de polinomios. En particular, propuso varios esquemas para calcular polinomios reales, que se acercaban mucho a las estimaciones de E. Belaga. Daré algunos de los esquemas de Pan para polinomios reales.
1. Esquema de cálculo de polinomios de cuarto grado.
Se considera un polinomio.

Presentémoslo en la forma:

Para calcular el valor de un polinomio utilizamos las siguientes expresiones:

Este circuito requiere multiplicación y suma en la segunda etapa.

La peculiaridad de este esquema es que los coeficientes siempre existen para los coeficientes reales del polinomio original.

En V.Ya. Existen otros esquemas para calcular polinomios, incluidos los complejos.

Conclusión

Sin embargo, si la cantidad de valores polinomiales que deben calcularse es grande y el rendimiento es muy importante, entonces tiene sentido considerar usar métodos especiales cálculos polinómicos.

Algunos lectores dirán que jugar con esquemas distintos al de Horner es difícil, tedioso y no vale la pena molestarse en ello. Sin embargo, en vida real Hay problemas en los que solo necesitas calcular. numero enorme valores de polinomios con en grandes grados(por ejemplo, pueden tardar meses en calcularse), y reducir a la mitad el número de multiplicaciones dará una ganancia de tiempo significativa, incluso si tienes que dedicar un par de días a implementar un circuito específico para calcular polinomios.

Literatura

1. Ketkov Yu.L. Acerca de una forma de calcular polinomios en máquinas matemáticas. // Noticias de la Universidad, vol. 1., No. 4, 1958.
2. V. Ya. Pan, “Cálculo de polinomios utilizando esquemas con procesamiento preliminar de coeficientes y un programa para encontrar parámetros automáticamente”, Zh. matemáticas. y matemáticas. Fiz., 2:1 (1962), 133-140
3. V. Ya. Pan, "Sobre métodos para calcular los valores de polinomios", Uspekhi Mat, 21:1(127) (1966), 103-134.
4. V. Ya. Pan, “Sobre el cálculo de polinomios de quinto y séptimo grado con coeficientes reales”, Zh. matemáticas. y matemáticas. Fiz., 5:1 (1965), 116-118
5. Pan V. Ya. Algunos esquemas para calcular los valores de polinomios con coeficientes reales. Problemas de la cibernética. vol. 5. M.: Nauka, 1961, 17-29.
6. Belaga E. G. Sobre el cálculo de los valores de un polinomio en una variable con procesamiento preliminar de los coeficientes. Problemas de la cibernética. vol. 5. M.: Fizmatgiz, 1961, 7-15.

Puedes ayudar y transferir algunos fondos para el desarrollo del sitio.

Calcular el valor de un polinomio en un punto es uno de los problemas de programación clásica más simples.
Al realizar varios tipos de cálculos, a menudo es necesario determinar los valores de los polinomios para valores dados de los argumentos. A menudo, el cálculo aproximado de funciones se reduce al cálculo de polinomios aproximados.
No se puede decir que el lector medio de Habrahabr no tenga experiencia en el uso de todo tipo de perversiones. Una de cada dos personas dirá que el polinomio debe calcularse utilizando la regla de Horner. Pero siempre hay un pequeño “pero”, ¿el esquema de Horner es siempre el más efectivo?


Mi objetivo no es describir con precisión algoritmos para calcular polinomios, sino sólo mostrar que en algunos casos es posible (necesario) aplicar esquemas distintos a las reglas de Horner. Para quienes estén interesados ​​en el material, al final del artículo hay una lista de referencias que pueden consultarse para un estudio más detallado del tema.
Además, a veces resulta una pena que los nombres de nuestros matemáticos rusos sigan siendo poco conocidos. Además, me complace hablar sobre el trabajo de nuestros matemáticos.

Esquema de Horner

Excepciones

¿Hay algo más, ya que el esquema de Horner es el más económico?

En algunos casos, es recomendable utilizar esquemas de dos etapas para obtener valores polinomiales. En la primera etapa, las acciones se realizan sólo sobre los coeficientes del polinomio, éste se convierte a una forma especial. En la segunda etapa, se calcula el valor del polinomio en sí para los valores dados del argumento. En este caso, puede resultar que el número de operaciones realizadas en la segunda etapa sea menor que en los cálculos según el esquema de Horner.

Nuevamente, tenga en cuenta que estos métodos de cálculo son útiles al calcular los valores de un polinomio para una gran cantidad de valores de x. La ganancia se obtiene debido a que la primera etapa del polinomio se realiza solo una vez. Un ejemplo es el cálculo de funciones elementales, donde el polinomio aproximado se prepara de antemano.

En futuras discusiones, hablando sobre el número de operaciones para calcular, tendré en cuenta la complejidad de la segunda etapa de cálculos.

Esquema de J. Todt para polinomios de grado 6

Los coeficientes se determinan mediante el método de coeficientes indeterminados en función de la condición. A partir de la última condición componemos un sistema de ecuaciones, igualando los coeficientes de grados iguales de polinomios.

No presentaré aquí el sistema en sí. Pero se puede resolver fácilmente mediante el método de sustitución, que requiere resolver ecuaciones cuadráticas. Los coeficientes pueden resultar complejos, pero si resultan ser reales, entonces los cálculos requieren tres multiplicaciones y siete sumas en lugar de cinco multiplicaciones y seis sumas según el esquema de Horner.

No es necesario hablar de la universalidad de este esquema, pero el lector puede apreciar claramente la reducción en el número de operaciones en comparación con el esquema de Horner.

Esquema yu.l. Ketková

yu.l. Ketkov dio una representación general del polinomio de enésimo grado para n>5, que siempre conduce a expresiones reales y requiere [(n+1)/2]+ multiplicaciones y n+1 sumas para calcular el polinomio de enésimo grado.

Por ejemplo, con n=2k, el esquema de Ketkov se reduce a encontrar polinomios:

Todos los coeficientes desconocidos se encuentran a partir de la igualdad. En las obras de Ketkov, se da un método para resolver los sistemas resultantes que siempre da coeficientes reales.

Esquemas de V.Ya. pana

V.Ya. Pan trabajó en problemas de cálculo óptimo de polinomios. En particular, propuso varios esquemas para calcular polinomios reales, que se acercaban mucho a las estimaciones de E. Belaga. Daré algunos de los esquemas de Pan para polinomios reales.
1. Esquema de cálculo de polinomios de cuarto grado.
Se considera un polinomio.

Presentémoslo en la forma:

Para calcular el valor de un polinomio utilizamos las siguientes expresiones:

Este circuito requiere multiplicación y suma en la segunda etapa.

La peculiaridad de este esquema es que los coeficientes siempre existen para los coeficientes reales del polinomio original.

En V.Ya. Existen otros esquemas para calcular polinomios, incluidos los complejos.

Conclusión

Sin embargo, si la cantidad de valores polinomiales que deben calcularse es grande y el rendimiento es muy importante, entonces tiene sentido considerar el uso de métodos especiales para calcular polinomios.

Algunos lectores dirán que jugar con esquemas distintos al de Horner es difícil, tedioso y no vale la pena molestarse en ello. Sin embargo, en la vida real hay problemas en los que es necesario calcular simplemente una gran cantidad de valores de polinomios con grandes potencias (por ejemplo, su cálculo puede llevar meses), y reducir el número de multiplicaciones a la mitad dará un resultado significativo. Ganancia de tiempo, incluso si tiene que dedicar un par de días a implementar un esquema específico para calcular polinomios.

Literatura

1. Ketkov Yu.L. Acerca de una forma de calcular polinomios en máquinas matemáticas. // Noticias de la Universidad, vol. 1., No. 4, 1958.
2. V. Ya. Pan, “Cálculo de polinomios utilizando esquemas con procesamiento preliminar de coeficientes y un programa para encontrar parámetros automáticamente”, Zh. matemáticas. y matemáticas. Fiz., 2:1 (1962), 133-140
3. V. Ya. Pan, "Sobre métodos para calcular los valores de polinomios", Uspekhi Mat, 21:1(127) (1966), 103-134.
4. V. Ya. Pan, “Sobre el cálculo de polinomios de quinto y séptimo grado con coeficientes reales”, Zh. matemáticas. y matemáticas. Fiz., 5:1 (1965), 116-118
5. Pan V. Ya. Algunos esquemas para calcular los valores de polinomios con coeficientes reales. Problemas de la cibernética. vol. 5. M.: Nauka, 1961, 17-29.
6. Belaga E. G. Sobre el cálculo de los valores de un polinomio en una variable con procesamiento preliminar de los coeficientes. Problemas de la cibernética. vol. 5. M.: Fizmatgiz, 1961, 7-15.