Probar un enunciado significa demostrar que este enunciado se sigue lógicamente de un sistema de enunciados verdaderos y relacionados.
En lógica, se cree que si la afirmación en cuestión se deriva lógicamente de afirmaciones ya probadas, entonces está justificada y es tan cierta como esta última.
Por tanto, la base de la demostración matemática es método deductivo. La prueba es la totalidad. técnicas lógicas fundamentar la verdad de una afirmación con la ayuda de otras afirmaciones verdaderas y relacionadas.
Una demostración matemática no es sólo un conjunto de conclusiones, sino conclusiones dispuestas en un orden determinado.
La evidencia distingue entre directo e indirecto.
evidencia directa.
1) A partir de algunas oraciones verdaderas y las condiciones del teorema, se construye una cadena de inferencias deductivas que conducen a una conclusión verdadera.
Ejemplo. Probemos que ángulos verticales son iguales. Los ángulos 1 y 2 son adyacentes, por lo tanto, 1 +2 = 180 o. Los ángulos 2 y 3 son adyacentes, por lo tanto, 2 + 3 = 180 o. Tenemos:1 = 180 o –23 = 180 o –21 =2.
2) Método de inducción matemática. La afirmación es cierta para cualquier número natural. norte, si: es cierto para norte= 1 y de la validez de la declaración para cualquier natural arbitrario norte=k sigue su justicia por norte=k+ 1. (Se discutirá con más detalle en los cursos para personas mayores).
3) induccion completa(ver antes).
Pruebas indirectas.
1) El método es por contradicción. Sea necesario demostrar un teorema. AEN. Se supone que su conclusión es falsa y por tanto su negación. 
verdadero. Adjuntando una frase 
al conjunto de premisas verdaderas utilizadas en el proceso de prueba (entre las que se encuentra la condición A), construye una cadena de inferencias deductivas hasta obtener un enunciado que contradice una de las premisas. La contradicción resultante prueba el teorema.
Ejemplo. Si dos rectas son paralelas a la misma recta, entonces son paralelas entre sí.
Dado: incógnita Con,en Con. demostrar que incógnita en.
Prueba. Déjalo ser recto incógnita no paralelo a la recta en, es decir. Las líneas se cruzan en algún punto. A. Por tanto, a través del punto A hay dos rectas paralelas a la recta Con, lo cual es imposible según el axioma del paralelismo.
2) Prueba basada en la ley de contraposición: en lugar de un teorema AEN demostrar un teorema equivalente a él 
. Si es cierto, entonces el teorema original también lo es.
Ejemplo. Si incógnita 2 – número par, Eso incógnita– un número par.
Prueba. Supongamos que incógnita– un número impar, es decir incógnita= 2k+ 1incógnita 2 = (2k+ 1) 2 = = 4k 2 + 4k+ 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 – impar.
Preguntas de seguridad
¿A qué se le llama inferencia?
¿Qué conclusión se llama deductiva?
Defina inducción incompleta y completa.
Defina la inferencia por analogía.
Escriba los esquemas de inferencias deductivas y demuestre la verdad idéntica de las fórmulas subyacentes a estas reglas.
¿Cómo comprobar la exactitud de las conclusiones utilizando los círculos de Euler? ¿Qué otros métodos se conocen para comprobar la exactitud de las inferencias?
¿Qué conclusión se llama sofisma?
¿Qué significa probar una declaración?
¿Qué evidencia se distingue por el método de presentación?
Describir formas de conducir el razonamiento cuando varias formas evidencia directa e indirecta.
Probar un enunciado significa demostrar que este enunciado se sigue lógicamente de un sistema de enunciados verdaderos y relacionados.
En lógica, se cree que si la afirmación en cuestión se deriva lógicamente de afirmaciones ya probadas, entonces está justificada y es tan cierta como esta última.
Por tanto, la base de la demostración matemática es el método deductivo. Una prueba es un conjunto de técnicas lógicas para fundamentar la verdad de una afirmación con la ayuda de otras afirmaciones verdaderas y relacionadas.
Una demostración matemática no es sólo un conjunto de conclusiones, sino conclusiones dispuestas en un orden determinado.
La evidencia distingue entre directo e indirecto.
evidencia directa.
1) A partir de algunas oraciones verdaderas y las condiciones del teorema, se construye una cadena de inferencias deductivas que conducen a una conclusión verdadera.
Ejemplo. Demostremos que los ángulos verticales son iguales. Los ángulos 1 y 2 son adyacentes, por lo tanto
Р 1 + Р 2 = 180 о. Los ángulos 2 y 3 son adyacentes, por lo tanto, Р 2 + Р 3 = 180 о. Tenemos: Ð 1 = 180 o – Ð 2 Ð 3 = 180 o – Ð 2 Þ Ð 1 = Ð 2.
2
2) Método inducción matemática. La afirmación es cierta para cualquier número natural. norte, si: es cierto para norte= 1 y de la validez de la declaración para cualquier natural arbitrario norte = k sigue su justicia por norte = k+ 1. (Se analizará con más detalle en los cursos para personas mayores).
3) Inducción completa (ver antes).
Pruebas indirectas.
1) El método es por contradicción. Sea necesario demostrar un teorema. A Þ EN. Se supone que su conclusión es falsa y, por tanto, su negación es verdadera. Al adjuntar una oración a un conjunto de premisas verdaderas utilizadas en el proceso de prueba (entre las cuales hay una condición A), construye una cadena de inferencias deductivas hasta obtener un enunciado que contradice una de las premisas. La contradicción resultante demuestra el teorema.
Ejemplo. Si dos rectas son paralelas a la misma recta, entonces son paralelas entre sí.
Dado: incógnitaúú Con, enúú Con. demostrar que incógnitaúú en.
Prueba. Déjalo ser recto incógnita no paralelo a la recta en, es decir. Las líneas se cruzan en algún punto. A. Por tanto, a través del punto A hay dos rectas paralelas a la recta Con, lo cual es imposible según el axioma del paralelismo.
2) Prueba basada en la ley de contraposición: en lugar de un teorema A Þ EN demostrar un teorema equivalente a él. Si es cierto, entonces el teorema original también lo es.
Ejemplo. Si incógnita 2 es un número par, entonces incógnita– un número par.
Prueba. Supongamos que incógnita– un número impar, es decir incógnita = 2k+ 1 Þ incógnita 2 = (2k + 1) 2 =
= 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 – impar.
1. ¿Qué se llama inferencia?
2. ¿Qué conclusión se llama deductiva?
3. Defina inducción incompleta y completa.
4. Defina la inferencia por analogía.
5. Escriba los esquemas de inferencias deductivas y demuestre la verdad idéntica de las fórmulas subyacentes a estas reglas.
6. ¿Cómo comprobar la exactitud de las conclusiones utilizando los círculos de Euler? ¿Qué otros métodos se conocen para comprobar la exactitud de las inferencias?
7. ¿Qué conclusión se llama sofisma?
8. ¿Qué significa probar una afirmación?
9. ¿Qué evidencia se distingue por el método de realización?
10. Describir los métodos de razonamiento en diversas formas de evidencia directa e indirecta.
Pongamos un ejemplo del uso de la inducción incompleta al trabajar con niños en edad preescolar: usando el juego " Maravillosa bolsa"Con figuras geométricas tridimensionales, le gritamos la tarea al niño: “Saca la figura y nómbrala”. Después de varios intentos, el niño adivina:
Pelota. Pelota. Pelota. Probablemente todas las bolas estén aquí.
Tarea 14
Sugiera razonamientos adicionales para verificar la verdad (o falsedad) de la declaración recibida.
Es imposible sobreestimar la importancia de la evidencia en nuestras vidas y especialmente en la ciencia. Todo el mundo recurre a la evidencia, pero no siempre piensa en lo que significa "probar*". Las habilidades prácticas de prueba y las ideas intuitivas al respecto son suficientes para muchos propósitos cotidianos, pero no para los científicos.
Probar un enunciado es demostrar que este enunciado lógico se sigue lógicamente de un sistema de enunciados verdaderos y relacionados.
La prueba es operación lógica fundamentar la verdad de una afirmación con la ayuda de otras afirmaciones verdaderas y relacionadas.
La prueba identifica tres elementos estructurales:
1) la declaración que debe probarse;
2) sistema declaraciones verdaderas, con cuya ayuda se fundamenta la verdad de lo que se prueba;
3) conexión lógica entre párrafos. 1 y 2.
El principal método de prueba matemática es inferencia deductiva.
Según su forma prueba- se trata de una inferencia deductiva o una cadena de inferencias deductivas que van de premisas verdaderas a una afirmación probada.
En una demostración matemática, el orden de las conclusiones es importante. Según el método de administración se distinguen evidencia directa e indirecta. La evidencia directa incluye la inducción completa, que se analizó en el párrafo 1.6.
induccion completa- un método de prueba en el que la verdad de una afirmación se deriva de su verdad en todos los casos particulares.
induccion completa Se utiliza a menudo en juegos con niños en edad preescolar como: "Dilo en una palabra".
Un ejemplo de prueba directa del enunciado “La suma de los ángulos de cualquier cuadrilátero es 360°”:
“Consideremos un cuadrilátero arbitrario. Al dibujar una diagonal en ella, obtenemos 2 triángulos. La suma de los ángulos del cuadrilátero será igual a la suma de los ángulos de los dos triángulos resultantes. Como la suma de los ángulos en cualquier triángulo es 180°, sumando 180° y 180°, obtenemos la suma de los ángulos en dos triángulos, será 360°. Por tanto, la suma de los ángulos de cualquier cuadrilátero es 360”, que es lo que había que demostrar”.
De la prueba anterior se pueden extraer las siguientes conclusiones:
1. Si la figura es un cuadrilátero, entonces puedes dibujar en ella una diagonal que dividirá el cuadrilátero en 2 triángulos. Esta figura es un cuadrilátero. Por tanto, se puede dividir en 2 triángulos construyendo una diagonal.
2. En cualquier triángulo, la suma de los ángulos es ISO." Estas figuras son triángulos. Por lo tanto, la suma de los ángulos de cada una de ellas es 180°.
3. Si un cuadrilátero está formado por dos triángulos, entonces la suma de sus ángulos es igual a la suma de los ángulos de estos triángulos. Este cuadrilátero está formado por dos triángulos cuya suma de ángulos es de 180°. 180°+180°=360°. Por tanto, la suma de los ángulos de este cuadrilátero es 360°.
Todas las inferencias anteriores se hacen según la regla de inferencia, por tanto, son deductivas.
Un ejemplo de evidencia indirecta es la prueba por contradicción. EN en este caso está permitido que la conclusión es falsa, por lo tanto su negación es verdadera. Habiendo adjuntado esta oración a un conjunto de premisas verdaderas, llevan a cabo el razonamiento hasta obtener una contradicción.
Pongamos un ejemplo de prueba por contradicción del teorema: “Si dos rectas A Y b paralelas a la tercera recta c, entonces son paralelas entre sí”:
“Supongamos que las líneas rectas A Y b no son paralelas, entonces se cortarán en algún punto A que no pertenece a la recta c. Luego encontramos que por el punto A podemos trazar dos rectas a y b, paralelas a c. Esto contradice el axioma del paralelismo: “A través de un punto
8.Haz reglas definición explícita a través de diferencias de género y especie.
9. ¿Cómo se llama la definición?
Contextual;
¿Ostensivo?
10. ¿Qué es una declaración y qué es una forma expresiva?
11. ¿Cuándo son verdaderas las oraciones de los tipos “A y B”, “A o B”, “No A” y cuándo son falsas?
12. Enumere los cuantificadores generales y los cuantificadores de existencia. ¿Cómo establecer el valor de verdad de oraciones con varios cuantificadores?
13. ¿Cuándo hay una relación de consecuencia entre oraciones y cuándo hay una relación de equivalencia? ¿Cómo se designan?
14. ¿Qué es la inferencia? ¿Qué conclusión se llama deductiva?
15. Escriba las reglas de conclusión, la regla de negación, la regla de silogismo utilizando símbolos.
16. ¿Qué inferencias se llaman inducción incompleta y cuáles inferencias por analogía?
17. ¿Qué significa probar una declaración?
18. ¿Qué es una prueba matemática?
19. Defina inducción completa.
20. ¿Qué son los sofismas?
El concepto de heurística en matemáticas.
1.1. Concepto de prueba en matemáticas.
La teoría de la prueba se desarrolla en lógica e incluye tres componentes estructurales: tesis (lo que se supone probado), argumentos (un conjunto de hechos, conceptos generalmente aceptados, leyes, etc. de la ciencia correspondiente) y demostración (el procedimiento para desarrollar la prueba en sí; una cadena secuencial de inferencias, cuando la la enésima inferencia se convierte en una de las premisas n+ 1ª conclusión). Se resaltan las reglas de prueba y se indican los posibles errores lógicos.
La demostración matemática tiene mucho en común con los principios que se establecen lógica formal. Además, reglas matemáticas El razonamiento y las operaciones obviamente sirvieron como uno de los fundamentos en el desarrollo del procedimiento de prueba en lógica. En particular, los investigadores de la historia de la formación de la lógica formal creen que en un momento, cuando Aristóteles dio los primeros pasos para crear leyes y reglas de la lógica, recurrió a las matemáticas y a la práctica de la actividad jurídica. En estas fuentes encontró material para la construcción lógica de su teoría planificada.
En el siglo XX El concepto de evidencia ha perdido su significado estricto, lo que sucedió en relación con el descubrimiento. paradojas lógicas, oculto en la teoría de conjuntos y especialmente en relación con los resultados aportados por los teoremas de K. Gödel sobre la incompletitud de la formalización. Serebryanikov O.F. Principios heurísticos y pensamiento lógico. Moscú: 1979. - p. 111
En primer lugar, esto afectó a las matemáticas mismas, en relación con las cuales se creía que el término "prueba" no tiene ningún significado. definición precisa. Pero si tal opinión (que todavía existe hoy) afecta a las matemáticas mismas, entonces llegan a la conclusión de que la demostración no debe aceptarse en el sentido lógico-matemático, sino en el sentido sentido psicológico. Además, una visión similar se encuentra en el propio Aristóteles, quien creía que probar significa llevar a cabo un razonamiento que nos convenza hasta tal punto que, usándolo, convenzamos a otros de la rectitud de algo. cierta sombra enfoque psicológico encontrado en A.E. Yesenin-Volpina. Se opone tajantemente a la aceptación de la verdad sin prueba, relacionándola con un acto de fe y además escribe: "La prueba de un juicio es una recepción honesta que hace que este juicio sea innegable". Yesenin informa que su definición aún necesita aclaración. Al mismo tiempo, ¿la caracterización misma de la evidencia como “recepción honesta” no revela una apelación a una evaluación moral y psicológica?
Al mismo tiempo, el descubrimiento de las paradojas de la teoría de conjuntos y la aparición de los teoremas de Gödel contribuyeron al desarrollo de la teoría de la prueba matemática emprendida por los intuicionistas, especialmente los de dirección constructivista, y D. Hilbert.
A veces se cree que una prueba matemática es de naturaleza universal y representa opción ideal prueba científica. Sin embargo, no es el único método, existen otras formas de procedimientos y operaciones basados en evidencia. Lo único cierto es que una prueba matemática tiene muchas similitudes con la prueba lógica formal implementada en las ciencias naturales, y que una prueba matemática tiene una cierta especificidad, así como un conjunto de técnicas y operaciones. Nos detendremos ahí, omitiendo las características comunes que lo hacen similar a otras formas de prueba, es decir, sin ampliar el algoritmo, reglas, errores, etc. en todos los pasos (incluso los principales). proceso de prueba.
Una prueba matemática es un razonamiento cuya tarea es fundamentar la verdad (por supuesto, en un sentido matemático, es decir, deducible) de cualquier afirmación.
El conjunto de reglas utilizadas en la prueba se formó junto con la llegada de construcciones axiomáticas teoría matemática. Esto se comprendió más clara y completamente en la geometría de Euclides. Sus “Principios” se convirtieron en una especie de estándar modelo de organización axiomática. conocimiento matemático Y por mucho tiempo siguió siendo así para los matemáticos.
Las declaraciones presentadas en forma de una secuencia determinada deben garantizar una conclusión que, sujeta a las reglas de operación lógica, se considera probada. Hay que subrayar que un determinado razonamiento es una prueba sólo respecto de un determinado sistema axiomático.
Al caracterizar una demostración matemática, se distinguen dos características principales. En primer lugar, la demostración matemática excluye cualquier referencia a la evidencia empírica. Todo el procedimiento para justificar la verdad de una conclusión se lleva a cabo en el marco de la axiomática aceptada. El académico A.D. Alexandrov enfatiza a este respecto. Puedes medir los ángulos de un triángulo miles de veces y asegurarte de que sean iguales a 2d Serebryanikov O.F. Principios heurísticos y pensamiento lógico. Moscú: 1979. - p. 48-49. . Pero no se puede demostrar nada con las matemáticas. Puedes demostrárselo si deduces la afirmación anterior de los axiomas. Aquí las matemáticas se acercan a los métodos de la escolástica, que también rechaza fundamentalmente la argumentación basada en hechos experimentales.
Por ejemplo, cuando se descubrió la inconmensurabilidad de los segmentos, al demostrar este teorema, se recurrió a experimento fisico, ya que, en primer lugar, el concepto mismo de "inconmensurabilidad" carece de significado fisico y, en segundo lugar, los matemáticos, cuando se ocupaban de la abstracción, no podían ayudar a extensiones materialmente concretas, mensurables mediante métodos sensoriales-visuales. La inconmensurabilidad, en particular, de los lados y las diagonales de un cuadrado se demuestra basándose en la propiedad de los números enteros utilizando el teorema de Pitágoras sobre la igualdad del cuadrado de la hipotenusa (respectivamente, la diagonal) a la suma de los cuadrados de los catetos. (dos lados triangulo rectángulo). O cuando Lobachevsky buscó la confirmación de su geometría, recurriendo a los resultados de las observaciones astronómicas, esta confirmación la llevó a cabo por medio de un carácter puramente especulativo. Las interpretaciones de la geometría no euclidiana llevadas a cabo por Cayley-Klein y Beltrami también presentaban características típicamente matemáticas más que objetos fisicos Lakatos I. Pruebas y refutaciones. M., 1967. - pág. 84. .
La segunda característica de la prueba matemática es su máxima abstracción, en la que se diferencia de los procedimientos de prueba de otras ciencias. Y nuevamente, como en el caso del concepto de objeto matemático, estamos hablando de no sólo sobre el grado de abstracción, sino sobre su naturaleza. El caso es que alto nivel La demostración también alcanza la abstracción en varias otras ciencias, por ejemplo en la física, la cosmología y, por supuesto, en la filosofía, ya que el tema de esta última son los problemas últimos del ser y del pensamiento. Las matemáticas se distinguen por el hecho de que aquí funcionan variables cuyo significado está en abstracción de cualquier propiedad específica. Recordemos que, por definición, las variables son signos que en sí mismos no tienen significado y adquieren este último sólo cuando se les sustituye por nombres. ciertos artículos(variables individuales) o al indicar propiedades y relaciones específicas (variables predicadas), o, finalmente, en casos de sustitución de una variable por una declaración significativa (variable proposicional).
Esta característica determina la naturaleza de la abstracción extrema de los signos utilizados en la demostración matemática, así como de los enunciados que, debido a la inclusión de variables en su estructura, se convierten en funciones de enunciados.
Así, se pueden sacar las siguientes conclusiones.
Una prueba matemática es un argumento destinado a demostrar la verdad de una afirmación.
Al caracterizar una demostración matemática, se distinguen dos características principales. En primer lugar, la demostración matemática excluye cualquier referencia a la evidencia empírica. La segunda característica de la prueba matemática es su máxima abstracción, en la que se diferencia de los procedimientos de prueba de otras ciencias.
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1. Métodos de demostración matemática.
2. Pruebas directas e indirectas. Prueba por contradicción.
3. Principales conclusiones
Métodos de prueba matemática.
EN la vida cotidiana A menudo, cuando hablan de pruebas, se refieren simplemente a comprobar la declaración hecha. En matemáticas, verificación y prueba son cosas diferentes, aunque están relacionadas. Digamos, por ejemplo, que quieres demostrar que si un cuadrilátero tiene tres ángulos rectos, entonces es un rectángulo.
Si tomamos cualquier cuadrilátero cuyos tres ángulos sean rectos y, al medir el cuarto, estamos convencidos de que efectivamente es recto, entonces esta verificación hará que esta afirmación sea más plausible, pero aún no está demostrada.
Para probar esta afirmación, consideremos un cuadrilátero arbitrario en el que tres ángulos son rectos. Como en cualquier cuadrilátero convexo la suma de los ángulos es 360⁰, entonces en éste es 360⁰. La suma de tres ángulos rectos es 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), y por tanto el cuarto tiene un valor de 90⁰ (360⁰ - 270⁰). Si todos los ángulos de un cuadrilátero son ángulos rectos, entonces es un rectángulo. Por lo tanto, este cuadrilátero será un rectángulo. Q.E.D.
Tenga en cuenta que la esencia de la prueba es construir una secuencia de enunciados verdaderos (teoremas, axiomas, definiciones), de los cuales se sigue lógicamente el enunciado que se va a demostrar.
En absoluto Probar un enunciado significa demostrar que este enunciado se deriva lógicamente de un sistema de enunciados verdaderos y relacionados..
En lógica, se cree que si la afirmación en cuestión se deriva lógicamente de afirmaciones ya probadas, entonces está justificada y es tan cierta como esta última.
Por tanto, la base de la prueba matemática es la inferencia deductiva. Y la prueba en sí es una cadena de inferencias, y la conclusión de cada una de ellas (excepto la última) es una premisa en una de las inferencias posteriores.
Por ejemplo, en la prueba anterior se pueden distinguir las siguientes conclusiones:
1. En cualquier cuadrilátero convexo, la suma de los ángulos es 360⁰; esta figura – cuadrilátero convexo, por lo tanto, la suma de los ángulos que contiene es 360⁰.
2. Si se conoce la suma de todos los ángulos de un cuadrilátero y la suma de tres de ellos, entonces mediante resta se puede encontrar el valor del cuarto; la suma de todos los ángulos de un cuadrilátero dado es 360⁰, la suma de tres es 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), luego el valor del cuarto es 360⁰ - 270⁰ = 90⁰.
3. Si todos los ángulos de un cuadrilátero son rectos, entonces este cuadrilátero es un rectángulo; En un cuadrilátero dado todos los ángulos son rectos, por lo tanto es un rectángulo.
Todas las inferencias anteriores se hacen según la regla de inferencia y, por tanto, son deductivas.
La prueba más simple consiste en una única inferencia. Ésta, por ejemplo, es la prueba de la afirmación de que 6< 8.
Entonces, hablando de la estructura de una demostración matemática, debemos entender que ella, en primer lugar, incluye el enunciado que se está demostrando y el sistema de enunciados verdaderos con cuya ayuda se realiza la demostración.
También cabe señalar que una demostración matemática no es sólo un conjunto de conclusiones, sino conclusiones dispuestas en un orden determinado.
Según el método de administración (forma) se distinguen directa e indirecta prueba. La prueba considerada anteriormente fue directa: en ella, a partir de alguna oración verdadera y teniendo en cuenta las condiciones del teorema, se construyó una cadena de inferencias deductivas que llevaron a una conclusión verdadera.
Un ejemplo de evidencia indirecta es la evidencia. por contradicción . Su esencia es la siguiente. Sea necesario demostrar un teorema.
A ⇒ B. Al demostrar por contradicción, se supone que la conclusión del teorema (B) es falsa y, por tanto, su negación es verdadera. Al adjuntar la oración “no B” al conjunto de premisas verdaderas utilizadas en el proceso de prueba (entre las cuales se encuentra la condición A), construyen una cadena de conclusiones deductivas hasta obtener un enunciado que contradice una de las premisas y, en particular, Condición A. Como solo se establece tal contradicción, se completa el proceso de prueba y se dice que la contradicción resultante prueba la verdad del teorema.
Problema 1. Demostrar que si a + 3 > 10, entonces a ≠ 7. Método por contradicción.
Problema 2. Demuestra que si x² es un número par, entonces x es par. El método opuesto.
Problema 3. Dados cuatro números naturales consecutivos. ¿Es cierto que el producto de los números promedio de esta secuencia más trabajo los extremos por 2? Método de inducción incompleta.
induccion completa- este es un método de prueba en el que la verdad de un enunciado se deriva de su verdad en todos los casos particulares.
Problema 4. Demuestre que cada componente número natural, mayor que 4 pero menor que 20, se puede representar como la suma de dos números primos.
Problema 5. ¿Es cierto que si el número natural n no es múltiplo de 3, entonces el valor de la expresión n² + 2 es múltiplo de 3? Método de inducción completa.
Hallazgos clave
En este punto, nos familiarizamos con los conceptos: inferencia, premisa y conclusión, inferencias deductivas (correctas), inducción incompleta, analogía, prueba directa, prueba indirecta, inducción completa.
Hemos descubierto que la inducción y la analogía incompletas están estrechamente relacionadas con la deducción: las conclusiones obtenidas mediante inducción y analogía incompletas deben ser probadas o refutadas. Por el contrario, la deducción no se produce en espacio vacío, pero es el resultado de un estudio inductivo preliminar del material.
El razonamiento deductivo permite obtener nuevas verdades a partir del conocimiento existente, y además, con la ayuda del razonamiento, sin recurrir a la experiencia, la intuición, etc.
Descubrimos que una demostración matemática es una cadena de inferencias deductivas realizadas según ciertas reglas. Nos familiarizamos con los más simples: la regla de conclusión, la regla de negación, la regla del silogismo. Aprendimos que puedes comprobar la exactitud de tus conclusiones utilizando los círculos de Euler.
PROBLEMA DE TEXTO Y SU PROCESO DE SOLUCIÓN
Conferencia 11. problema de palabras y el proceso para resolverlo
1. Estructura de un problema planteado
2. Métodos y métodos para resolver problemas planteados.
3. Etapas de resolución del problema y métodos de su implementación.
Excepto varios conceptos, propuestas, pruebas en cualquier curso de matematicas hay tareas. en la enseñanza de las matemáticas niños de primaria los predominantes son los llamados aritméticos, textuales, argumentales. Estas tareas se formulan en lenguaje natural (se llaman texto): generalmente describen el lado cuantitativo de algunos fenómenos o eventos (por eso a menudo se les llama aritmética o trama); representan problemas para encontrar lo que se busca y se reducen a calcular el valor desconocido de una determinada cantidad (por eso a veces se les llama computacional).
En este manual utilizaremos el término "problemas planteados", ya que se utiliza con mayor frecuencia en la metodología de enseñanza de matemáticas a niños de primaria.
Resolver problemas verbales cuando educacion primaria se presta mucha atención. Esto se debe al hecho de que tales tareas a menudo no son sólo un medio para formar muchos conceptos matemáticos, pero lo más importante: un medio para desarrollar habilidades para construir modelos matemáticos fenómenos reales, así como un medio para desarrollar el pensamiento de los niños.
Hay varios enfoques metodológicos para enseñar a los niños a resolver problemas planteados. Pero no importa qué método de enseñanza elija el profesor, necesita saber cómo funcionan esos problemas y poder resolverlos. varios metodos y maneras.
Estructura de un problema verbal
Como se mencionó anteriormente, cualquier tarea de texto es una descripción de un fenómeno (situación, proceso). Desde este punto de vista, una tarea textual es un modelo verbal de un fenómeno (situación, proceso). Y, como en cualquier modelo, el problema textual no describe el fenómeno en su conjunto, sino sólo algunos de sus aspectos, principalmente sus características cuantitativas. Considere, por ejemplo, el siguiente problema: “El automóvil salió del punto A a una velocidad de 60 km/h. Al cabo de dos horas, un segundo coche salió tras él a una velocidad de 90 km/h. ¿A qué distancia de A el segundo automóvil adelantará al primero?
El problema describe el movimiento de dos autos. Como sabes, cualquier movimiento se caracteriza por tres cantidades: distancia recorrida, velocidad y tiempo de movimiento. En este problema se conocen las velocidades del primer y segundo automóvil (60 km/h y 90 km/h), se sabe que recorrieron la misma distancia desde el punto A hasta el lugar de encuentro, cuyas características cuantitativas deben ser encontró. Además, se sabe que el primer coche estuvo en la carretera 2 horas más que el segundo.
Para resumir, podemos decir que un problema escrito es una descripción de lenguaje natural algún fenómeno (situación, proceso) con el requisito de dar una característica cuantitativa de cualquier componente de este fenómeno, establecer la presencia o ausencia de alguna relación entre los componentes, o determinar el tipo de esta relación.
Consideremos otro problema de curso inicial matemáticos: “Se tejieron un suéter, un gorro y una bufanda con 1 kg 200 g de lana. La bufanda requirió 100 g más de lana que el gorro y 400 g menos que el suéter. ¿Cuánta lana usaste para cada prenda?
El problema tiene que ver con gastar lana en un suéter, gorro y bufanda. Respecto a estos objetos hay ciertas declaraciones Y requisitos.
Declaraciones:
1. Se tejen un suéter, un gorro y una bufanda con 1200 g de lana.
2. Gastamos 100 g más en la bufanda que en el gorro.
3. Gastamos 400 g menos en la bufanda que en el jersey.
Requisitos:
1. ¿Cuánta lana usaste para el suéter?
2. ¿Cuánta lana usaste para el gorro?
3. ¿Cuánta lana usaste para la bufanda?
Los enunciados del problema se llaman condiciones(o condición, como en la escuela primaria). Un problema normalmente no contiene una condición, sino varias condiciones elementales. Representan características cuantitativas o cualitativas de los objetos de la tarea y las relaciones entre ellos. Puede haber varios requisitos en una tarea. Se pueden formular tanto en forma interrogativa como forma afirmativa. Las condiciones y los requisitos están interrelacionados.
Un sistema de condiciones y requisitos interconectados se denomina modelo expresivo de una tarea.
Así, para comprender cuál es la estructura de una tarea, es necesario identificar sus condiciones y requisitos, descartando todo lo innecesario, secundario, que no afecte su estructura. En otras palabras, es necesario construir un modelo expresivo del problema.
Para obtener este modelo, es necesario ampliar el texto de la tarea (esto se puede hacer por escrito u oralmente), ya que el texto de la tarea, por regla general, se presenta en forma abreviada y contraída. Para hacer esto, puedes reformular el problema, construir un modelo gráfico del mismo, introducir alguna notación, etc.
Además, el aislamiento de condiciones problemáticas se puede realizar con diferentes profundidades. La profundidad del análisis de las condiciones y requisitos de una tarea depende principalmente de si estamos familiarizados con el tipo de problemas al que pertenece la tarea dada y si sabemos cómo resolver dichos problemas.
Ejemplo 1. Formule las condiciones y requisitos de la tarea:
Dos niñas corrieron simultáneamente una hacia la otra por una pista deportiva cuya longitud es de 420 m. Cuando se encontraron, la primera corrió 60 m más que la segunda. ¿A qué velocidad corrió cada niña si se encontraron después de 30 segundos?
El problema se refiere al movimiento de dos niñas hacia la otra. Como sabes, el movimiento se caracteriza por tres cantidades: distancia, velocidad y tiempo.
Condiciones del problema:
1. Dos niñas corren una hacia la otra.
2. Empezaron a moverse al mismo tiempo.
3. La distancia que corrieron fue 420 m.
4. Una niña corrió 60 m más que la otra.
5. Las chicas se encontraron después de 30 segundos.
6. La velocidad de una niña es mayor que la velocidad de movimiento.
otro.
Requisitos de la tarea:
1. ¿Qué tan rápido corrió la primera niña?
2. ¿Qué tan rápido corrió la segunda niña?
En relación a condiciones y requisitos, existen:
A) ciertas tareas - en ellos condiciones dadas cuanto
necesario y suficiente para cumplir con los requisitos;
b) tareas subdefinidas - las condiciones en ellos no son suficientes para obtener una respuesta;
V) tareas redefinidas - contienen condiciones innecesarias.
EN escuela primaria Las tareas indeterminadas se consideran tareas con datos faltantes y las tareas sobredeterminadas se consideran tareas con datos redundantes.
Por ejemplo, la tarea “Cerca de la casa había 5 manzanos, 2 cerezos y 3 abedules. ¿Cuántos árboles frutales crecieron cerca de la casa? se anula porque contiene una condición adicional.
Problema “Primero sacaron 12 sillas del pasillo, luego 5 más. ¿Cuántas sillas quedaron en el pasillo?” está indeterminado: sus condiciones no son suficientes para responder a la pregunta planteada.
Aclaremos ahora el significado del término “solución del problema”. Sucedió que este término se refiere a diferentes conceptos:
1) la solución al problema es el resultado, es decir respuesta a la demanda
tareas;
2) resolver un problema es el proceso de encontrar este resultado, y este proceso se considera de dos maneras: y como método para encontrar el resultado (por ejemplo, hablan de resolver un problema manera aritmética) y como una secuencia de aquellas acciones que realiza quien decide, utilizando uno u otro método (es decir, en en este caso bajo
se entiende por solución de un problema todas las actividades de quien resuelve el problema).
Ceremonias
1. En las siguientes tareas, resaltar las condiciones y requisitos:
a) Dos autobuses partieron simultáneamente de la ciudad al pueblo, cuya distancia es de 72 km. El primer autobús llegó al pueblo 15 minutos antes que el segundo. ¿A qué velocidad viajaba cada autobús si la velocidad de uno de ellos era 4 km/h mayor que la del otro?
b) La suma de dos números es 199. Calcula estos números si uno de ellos es 61 más que el otro.
2. Formule los problemas del ejercicio 1 de tal manera que la oración que contiene el requisito no contenga condiciones.
3. En los problemas del ejercicio 1 forma imperativa Reemplazar requisitos por interrogativo, interrogativo por imperativo.
4. Resuelve los problemas del ejercicio I.
5. Se dan las condiciones de la tarea: "Recolectamos 42 kg de pepinos y 5/7 de todos los pepinos estaban encurtidos".
De la lista siguiente, seleccione los requisitos para esta condición y resuelva el problema resultante:
a) ¿Cuántos kilogramos de pepinos quedan sin sal?
b) ¿Cuántos kilogramos de tomates quedan sin sal?
c) ¿Qué es mayor: la masa de pepinos salados o la masa de pepinos que quedaron sin sal?
6. Formule posibles requisitos para las condiciones del problema:
a) Compramos 12 m de tela y usamos un tercio de la tela en un vestido.
b) Un peatón salió del pueblo y 2 horas después lo dejó un ciclista. La velocidad de un ciclista es de 10 km/h y la de un peatón es de 5 km/h.
7. ¿Qué datos se necesitan para responder al siguiente requisito?
tareas:
a) ¿Qué parte de la lección se utilizó para resolver el problema?
b) ¿Cuántos vestidos se hicieron con la tela comprada?
c) Calcula el perímetro del rectángulo.
8. Al estudiante se le asignó una tarea: “El ciclista montó durante 2 horas con
algo de velocidad. Después de recorrer 60 km con el mismo
velocidad, su recorrido será de 48 km. ¿Qué tan rápido iba?
¿ciclista?" Lo resolvió así:
1)60-48= 12 (kilómetros)
2) 12:2 = 6 (km/h)
Respuesta: 6 km/h es la velocidad del ciclista.
¿Estás de acuerdo con esta solución a este problema?
9. ¿Puedes dar una respuesta al requisito del siguiente problema?
a) Por 3 m de tela pagaron 60.000 rublos. La segunda vez compramos 6 m de tela. ¿Cuánto dinero pagaste por la tela que compraste la segunda vez?
b) Dos motociclistas se dirigen uno hacia el otro. La velocidad de uno es de 62 km/h y la velocidad del otro es de 54 km/h. ¿En cuántas horas se encontrarán los motociclistas?
Si es imposible responder al requisito del problema, complemente su condición y resuelva el problema.
10. ¿Hay alguna las tareas a continuación con datos adicionales:
a) El volumen de la habitación es de 72 m³. La altura de la habitación es de 3 m. Calcula el área del piso de la habitación si su longitud es de 6 m.
5) Se destinó un terreno de 300 hectáreas para plantación forestal. Se plantaron Du6s en 7/10 de la parcela y pinos en 3/10 de la parcela. ¿Cuántas hectáreas están ocupadas por robles y pinos?
Si el problema contiene datos innecesarios, elimínelos y solucione el problema.
