Al resolver problemas usando ecuaciones, normalmente buscábamos una incógnita. Pero también hay problemas en los que existen varias incógnitas. Estos problemas suelen resolverse mediante la construcción de sistemas de ecuaciones.
Dos ciclistas viajan uno hacia el otro de una ciudad a otra, la distancia entre ellos es de 30 km. Supongamos que si el ciclista 1 sale 2 horas antes que su amigo, entonces se encontrarán 2,5 horas después de que salga el ciclista 2; Si el ciclista 2 sale 2 horas antes que el ciclista 1, entonces la reunión se realizará 3 horas después de la salida del primero. ¿A qué velocidad viaja cada ciclista?
Solución.
1. Definamos la velocidad del ciclista 1 como x km/h, y la velocidad del ciclista 2 como y km/h.
2. Si el primer ciclista sale 2 horas antes que el segundo, entonces, según la condición, tardará 4,5 horas en llegar a la reunión, mientras que el segundo tardará 2,5 horas. En 4,5 horas, el primero cubrirá una distancia de 4,5x km, y en 2,5 horas el segundo cubrirá una distancia de 2,5y km.
3. El encuentro de dos ciclistas significa que han recorrido una distancia total de 30 km, es decir. 4,5x + 2,5 y = 30. Esta es nuestra primera ecuación.
4. Si el segundo sale por 2 horas antes que el primero, entonces, según la condición, viajará 5 horas hasta la reunión, mientras que la primera tardará 3 horas. Usando un razonamiento similar al anterior, llegamos a la ecuación:
5. Entonces, tenemos un sistema de ecuaciones.
(4,5x + 2,5 y = 30,
(3x + 5y = 30.
6. Habiendo resuelto el sistema de ecuaciones resultante, encontraremos las raíces: x = 5, y = 3.
Así, el primer ciclista viaja a una velocidad de 5 km/h, y el segundo, a 3 km/h.
Respuesta: 5 km/h, 3 km/h.
Después de un año, el inversionista recibió $6 de interés sobre sus ahorros. Al agregar $44, el inversionista dejó el dinero para un año más. Al final del año se volvieron a acumular intereses y ahora el depósito junto con los intereses ascendía a 257,5 dólares. ¿Cuál fue el monto del depósito inicial y cuánto interés cobra el banco?
Solución.
1. Sea x ($) el depósito inicial e y (%) el interés que se acumula anualmente.
2. Luego, al final del año (y/100) se sumará ∙ x $ a la contribución inicial.
De la condición obtenemos la ecuación (ух/100) = 6.
3. Por condición, se sabe que al final del año el inversionista aportó otros $44, por lo que el aporte al inicio del segundo año fue x + 6 + 44, es decir (x+50)$. Por tanto, la cantidad recibida al final del segundo año, teniendo en cuenta los devengos, fue igual a (x + 50 + (y/100)(x + 50)) $. Según la condición, esta cantidad equivale a 275,5 dólares. Esto nos permitió crear una segunda ecuación:
x + 50 + (y/100)(x + 50) = 257,5
4. Entonces, obtuvimos un sistema de ecuaciones:
((x/100) = 6,
(x + 50 + (y/100)(x + 50) = 257,5
Después de transformar el sistema de ecuaciones obtenemos:
(xy = 600,
(100x + 50y + xy = 20750. 
Habiendo resuelto el sistema de ecuaciones, encontramos dos raíces: 200 y 1,5. Sólo el primer valor satisface nuestra condición.
Sustituye el valor de x en la ecuación y encuentra el valor de y:
si x = 200, entonces y = 3.
Así, el depósito inicial fue de $200 y el banco realiza un devengo del 3% anual.
Respuesta: $200; 3%.
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Los sistemas de ecuaciones se han utilizado ampliamente en la industria económica con modelo matematico varios procesos. Por ejemplo, a la hora de resolver problemas de gestión y planificación de la producción, las rutas logísticas ( problema de transporte) o colocación de equipos.
Los sistemas de ecuaciones se utilizan no sólo en matemáticas, sino también en física, química y biología, para resolver problemas de búsqueda del tamaño de una población.
Sistema ecuaciones lineales nombrar dos o más ecuaciones con varias variables para las cuales es necesario encontrar una solución común. Tal secuencia de números para la cual todas las ecuaciones se convierten en verdaderas igualdades o prueban que la secuencia no existe.
Ecuación lineal
Las ecuaciones de la forma ax+by=c se llaman lineales. Las designaciones x, y son las incógnitas cuyo valor se debe encontrar, b, a son los coeficientes de las variables, c es el término libre de la ecuación.
Resolver una ecuación graficandola se verá como una línea recta, cuyos puntos son soluciones del polinomio.
Tipos de sistemas de ecuaciones lineales.
Se considera que los ejemplos más simples son sistemas de ecuaciones lineales con dos variables X e Y.
F1(x, y) = 0 y F2(x, y) = 0, donde F1,2 son funciones y (x, y) son variables de función.
Resolver sistema de ecuaciones. - esto significa encontrar valores (x, y) en los que el sistema se convierte en una verdadera igualdad o establecer que no existen valores adecuados de xey.
Un par de valores (x, y), escritos como las coordenadas de un punto, se denomina solución de un sistema de ecuaciones lineales.
Si los sistemas tienen una solución común o no existe ninguna solución, se llaman equivalentes.
Los sistemas homogéneos de ecuaciones lineales son sistemas. parte derecha que es igual a cero. Si la parte derecha después del signo igual tiene un valor o se expresa mediante una función, dicho sistema es heterogéneo.
El número de variables puede ser mucho mayor que dos, entonces deberíamos hablar de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales con tres o más variables.
Ante los sistemas, los escolares suponen que el número de ecuaciones debe coincidir necesariamente con el número de incógnitas, pero no es así. El número de ecuaciones en el sistema no depende de las variables; puede haber tantas como se desee.
Métodos simples y complejos para resolver sistemas de ecuaciones.
no hay nada comun método analítico soluciones a tales sistemas, todos los métodos se basan en soluciones numéricas. EN curso escolar matemáticas, métodos como la permutación, la suma algebraica, la sustitución, así como gráficos y método matricial, solución por método gaussiano.
La tarea principal al enseñar métodos de solución es enseñar cómo analizar correctamente el sistema y encontrar el algoritmo de solución óptimo para cada ejemplo. Lo principal no es memorizar un sistema de reglas y acciones para cada método, sino comprender los principios del uso de un método en particular.
Resolución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales del programa de 7mo grado. Escuela secundaria bastante simple y explicado con gran detalle. En cualquier libro de texto de matemáticas, esta sección recibe suficiente atención. La resolución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss y Cramer se estudia con más detalle en los primeros años de educación superior.
Resolver sistemas mediante el método de sustitución.
Las acciones del método de sustitución tienen como objetivo expresar el valor de una variable en términos de la segunda. La expresión se sustituye en la ecuación restante y luego se reduce a una forma con una variable. La acción se repite dependiendo del número de incógnitas en el sistema.
Demos una solución a un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales de clase 7 usando el método de sustitución:
Como puede verse en el ejemplo, la variable x se expresó mediante F(X) = 7 + Y. La expresión resultante, sustituida en la segunda ecuación del sistema en lugar de X, ayudó a obtener una variable Y en la segunda ecuación. . Solución este ejemplo no causa dificultades y permite obtener el valor Y. El último paso es comprobar los valores obtenidos.
No siempre es posible resolver un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales mediante sustitución. Las ecuaciones pueden ser complejas y expresar la variable en términos de la segunda incógnita será demasiado engorroso para realizar más cálculos. Cuando hay más de 3 incógnitas en el sistema, resolver por sustitución tampoco es apropiado.
Solución de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneas:
Solución usando suma algebraica
Cuando buscan soluciones a sistemas utilizando el método de la suma, realizan sumas y multiplicaciones término por término de ecuaciones por diferentes numeros. La última meta Las operaciones matemáticas son una ecuación con una variable.
Para aplicaciones este método Se requiere práctica y observación. Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de la suma cuando hay 3 o más variables no es fácil. La suma algebraica es conveniente cuando las ecuaciones contienen fracciones y decimales.
Algoritmo de solución:
- Multiplica ambos lados de la ecuación por un número determinado. Como resultado acción aritmética uno de los coeficientes de la variable debe ser igual a 1.
- Suma la expresión resultante término por término y encuentra una de las incógnitas.
- Sustituye el valor resultante en la segunda ecuación del sistema para encontrar la variable restante.
Método de solución introduciendo una nueva variable.
Se puede introducir una nueva variable si el sistema requiere encontrar una solución para no más de dos ecuaciones; el número de incógnitas tampoco debe ser superior a dos.
El método se utiliza para simplificar una de las ecuaciones introduciendo una nueva variable. La nueva ecuación se resuelve para la incógnita introducida y el valor resultante se usa para determinar la variable original.
El ejemplo muestra que al introducir una nueva variable t, fue posible reducir la primera ecuación del sistema a la estándar. trinomio cuadrático. Puedes resolver un polinomio encontrando el discriminante.
Es necesario encontrar el valor discriminante mediante fórmula conocida: D = b2 - 4*a*c, donde D es el discriminante deseado, b, a, c son los factores del polinomio. EN ejemplo dado a=1, b=16, c=39, por lo tanto D=100. Si el discriminante Por encima de cero, entonces hay dos soluciones: t = -b±√D / 2*a, si el discriminante menos que cero, entonces solo hay una solución: x= -b / 2*a.
La solución de los sistemas resultantes se encuentra mediante el método de la suma.
Método visual para resolver sistemas.
Adecuado para sistemas de 3 ecuaciones. El método consiste en construir sobre eje de coordenadas gráficas de cada ecuación incluida en el sistema. Las coordenadas de los puntos de intersección de las curvas y serán decisión general sistemas.
El método gráfico tiene varios matices. Veamos varios ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales de forma visual.
Como se puede ver en el ejemplo, para cada línea se construyeron dos puntos, los valores de la variable x se eligieron arbitrariamente: 0 y 3. Con base en los valores de x, se encontraron los valores de y: 3 y 0. Los puntos con coordenadas (0, 3) y (3, 0) se marcaron en el gráfico y se conectaron mediante una línea.
Los pasos deben repetirse para la segunda ecuación. El punto de intersección de las rectas es la solución del sistema.
EN siguiente ejemplo necesito encontrar solución gráfica sistemas de ecuaciones lineales: 0.5x-y+2=0 y 0.5x-y-1=0.
Como se puede ver en el ejemplo, el sistema no tiene solución, porque las gráficas son paralelas y no se cruzan en toda su longitud.
Los sistemas de los ejemplos 2 y 3 son similares, pero cuando se construyen resulta obvio que sus soluciones son diferentes. Cabe recordar que no siempre es posible decir si un sistema tiene solución o no; siempre es necesario construir una gráfica.
La matriz y sus variedades.
Las matrices se utilizan para nota corta sistemas de ecuaciones lineales. Una matriz es una tabla. tipo especial lleno de números. n*m tiene n - filas ym - columnas.
Una matriz es cuadrada cuando el número de columnas y filas es igual. Una matriz-vector es una matriz de una columna con infinito numero posible líneas. Matriz con unidades a lo largo de una de las diagonales y otras cero elementos llamada unidad.
Una matriz inversa es una matriz que, cuando se multiplica, la original se convierte en una matriz unitaria; dicha matriz existe sólo para la matriz cuadrada original;
Reglas para convertir un sistema de ecuaciones en una matriz.
En relación con los sistemas de ecuaciones, los coeficientes y miembros libres ecuaciones, una ecuación, una fila de la matriz.
Se dice que una fila de una matriz es distinta de cero si al menos un elemento de la fila no lo es igual a cero. Por lo tanto, si en alguna de las ecuaciones el número de variables difiere, entonces es necesario ingresar cero en lugar de la incógnita que falta.
Las columnas de la matriz deben corresponder estrictamente a las variables. Esto significa que los coeficientes de la variable x se pueden escribir solo en una columna, por ejemplo en la primera, el coeficiente de la desconocida y solo en la segunda.
Al multiplicar una matriz, todos los elementos de la matriz se multiplican secuencialmente por un número.
Opciones para encontrar la matriz inversa.
La fórmula para encontrar la matriz inversa es bastante simple: K -1 = 1 / |K|, donde K -1 - matriz inversa, y |K| es el determinante de la matriz. |K| no debe ser igual a cero, entonces el sistema tiene solución.
El determinante se calcula fácilmente para una matriz de dos por dos; sólo necesitas multiplicar los elementos de la diagonal entre sí. Para la opción “tres por tres”, existe una fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 segundo 2 do 1 . Puede usar la fórmula o recordar que debe tomar un elemento de cada fila y de cada columna para que los números de columnas y filas de elementos no se repitan en el trabajo.
Resolver ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales usando el método matricial.
El método matricial para encontrar una solución le permite reducir las entradas engorrosas al resolver sistemas con gran cantidad variables y ecuaciones.
En el ejemplo, a nm son los coeficientes de las ecuaciones, la matriz es un vector x n son variables y b n son términos libres.
Resolver sistemas mediante el método gaussiano.
EN Matemáticas avanzadas El método gaussiano se estudia junto con el método de Cramer, y el proceso de encontrar soluciones a sistemas se denomina método de solución de Gauss-Cramer. Estos métodos se utilizan para encontrar sistemas variables con un gran número de ecuaciones lineales.
El método de Gauss es muy similar a las soluciones que utilizan sustituciones y suma algebraica, pero más sistemático. En el curso escolar se utiliza la solución por el método gaussiano para sistemas de 3 y 4 ecuaciones. El objetivo del método es reducir el sistema a la forma de un trapezoide invertido. Por transformaciones algebraicas y sustituciones, el valor de una variable se encuentra en una de las ecuaciones del sistema. La segunda ecuación es una expresión con 2 incógnitas, mientras que 3 y 4 son, respectivamente, con 3 y 4 variables.
Después de llevar el sistema a la forma descrita, la solución adicional se reduce a la sustitución secuencial de variables conocidas en las ecuaciones del sistema.
EN libros de texto escolares para el grado 7, un ejemplo de una solución por el método gaussiano se describe a continuación:
Como se puede ver en el ejemplo, en el paso (3) se obtuvieron dos ecuaciones: 3x 3 -2x 4 =11 y 3x 3 +2x 4 =7. Resolver cualquiera de las ecuaciones te permitirá encontrar una de las variables x n.
El teorema 5, que se menciona en el texto, establece que si una de las ecuaciones del sistema se reemplaza por una equivalente, entonces el sistema resultante también será equivalente al original.
El método Gauss es difícil de entender para los estudiantes. escuela secundaria, pero es una de las formas más interesantes de desarrollar el ingenio de los niños matriculados en programas de aprendizaje avanzado en clases de matemáticas y física.
Para facilitar el registro, los cálculos generalmente se realizan de la siguiente manera:
Los coeficientes de las ecuaciones y términos libres se escriben en forma de matriz, donde cada fila de la matriz corresponde a una de las ecuaciones del sistema. coordinados lado izquierdo ecuaciones desde la derecha. Los números romanos indican el número de ecuaciones del sistema.
Primero se escribe la matriz a trabajar, luego todas las acciones realizadas con una de las filas. La matriz resultante se escribe después del signo de "flecha" y continúa realizando lo necesario operaciones algebraicas hasta lograr el resultado.
El resultado debe ser una matriz en la que una de las diagonales sea igual a 1 y todos los demás coeficientes sean iguales a cero, es decir, la matriz se reduce a una forma unitaria. No debemos olvidarnos de realizar cálculos con números a ambos lados de la ecuación.
Este método de grabación es menos engorroso y permite no distraerse enumerando numerosas incógnitas.
El uso gratuito de cualquier método de solución requerirá cuidado y cierta experiencia. No todos los métodos son de naturaleza aplicada. Algunos métodos para encontrar soluciones son más preferibles en un área particular de la actividad humana, mientras que otros existen con fines educativos.
Ser capaz de resolver sistemas de ecuaciones lineales es muy bueno, pero resolver sistemas de ecuaciones en sí mismo es sólo un método para más tareas complejas. Usando sistemas de ecuaciones puedes resolver varias tareas que encontramos en la vida.
El álgebra es la ciencia de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Ésta es exactamente la definición que utilizaban los científicos a finales del siglo XX. El famoso científico René Descartes es famoso por una de sus obras, que se llama "Método Descartes". Descartes creía que cualquier problema puede reducirse a uno matemático, cualquier problema de matemáticas se puede reducir a sistema algebraico ecuaciones. Y cualquier sistema puede reducirse a resolver una sola ecuación.
Desafortunadamente, Descartes no tuvo tiempo de completar completamente su método y no escribió todos sus puntos, pero la idea es muy buena.
Y ahora nosotros, como Descartes, resolveremos problemas utilizando sistemas de ecuaciones, por supuesto, no cualquiera, sino solo aquellos que puedan reducirse a resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Esquema general para resolver el problema utilizando sistemas de ecuaciones.
Describamos el esquema general para resolver problemas usando sistemas de ecuaciones:
- 1. Para cantidades desconocidas, introducimos ciertas notaciones y componemos un sistema de ecuaciones lineales.
- 2. Resuelva el sistema resultante de ecuaciones lineales.
- 3. Utilizo las notaciones ingresadas y escribo la respuesta.
Intentemos aplicar este diagrama en una tarea específica.
Se sabe que dos lápices y tres cuadernos cuestan 35 rublos, y dos cuadernos y tres lápices cuestan 40 rublos. Necesitas saber cuánto cuestan cinco lápices y seis cuadernos.
Solución:
Necesitamos encontrar cuánto cuestan un lápiz y un cuaderno por separado. Si disponemos de esos datos, no será difícil decidir cuánto cuestan cinco lápices y seis cuadernos.
Denotemos por x el precio de un lápiz en rublos. Y y es el precio de un cuaderno en rublos. Ahora leemos atentamente la condición y creamos una ecuación.
“dos lápices y tres cuadernos cuestan 35 rublos” significa
- 2*x+3*y = 35;
“dos cuadernos y tres lápices cuestan 40 rublos” por tanto
- 3*x+2*y = 40;
Obtenemos un sistema de ecuaciones:
(2*x+3*y = 35;
(3*x+2*y = 40;
El primer punto ha terminado. Ahora es necesario resolver el sistema de ecuaciones resultante utilizando cualquiera de los métodos conocidos.
Resolviendo, obtenemos x=10 e y=5.
Volviendo a la notación original, tenemos que el precio de un lápiz es de 10 rublos y el precio de un cuaderno es de 5 rublos.
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contra la corriente
Con el flujo
No. 1193. Matemáticas 5to grado. N.Ya.Vilenkin
? kilómetros por hora
? kilómetros por hora
№ 14.1
La distancia entre dos puntos a lo largo del río es de 80 km. El barco recorre esta distancia a lo largo del río en 4 horas y contra corriente en 5 horas. Encuentre la velocidad del barco río abajo y río arriba.
Con el flujo
4(x+y)
5(xy)
Respuesta:
№ 14.4
Un barco recorre 10 km río abajo en 4 horas menos que en 6 horas contra corriente. Encontrar propia velocidad barcos, si una balsa en el mismo río recorre la misma distancia en 15 horas que un barco en un lago en 2 horas.
Antiflujo
Con el flujo
4(x+y)
en 10
6(xy)
4(x+y) +10 =6(x-y)
4x+4y+10=6x-6y
4x-6x+4y+6y=-10
Respuesta:
№ 14.10
No, ja
en 1 dia
Cantidad
días
hectáreas totales
1 conductor de tractor
2 conductores de tractores
№ 14.10
- Dos tractoristas araron juntos 678 hectáreas. El primer conductor del tractor trabajó durante 8 días y el segundo, 11 días. ¿Cuántas hectáreas labró cada tractorista al día, si el primer tractorista aró 22 hectáreas menos en cada 3 días que el segundo en 4 días?
No, ja
en 1 dia
Cantidad
días
hectáreas totales
1 conductor de tractor
en 22 hectáreas
menos
2 conductores de tractores
Respuesta:
№ 14.5
Un barco a motor recorre 120 km en 5 horas contra la corriente del río y 180 km en 6 horas río abajo. Encuentre la velocidad del flujo del río y la velocidad del propio barco.
Con el flujo
6(x+y)
5(xy)
Respuesta:
№ 14.11
Cant.
En 1 hora
Cantidad
horas
Total
brigada
brigada
№ 14.11
- Dos equipos trabajaron recogiendo patatas. El primer día, un equipo trabajó 2 horas y el segundo, 3 horas, y recogieron 23 céntimos de patatas. El segundo día, el primer equipo recogió 2 quintales más en 3 horas de trabajo que el segundo en 2 horas. ¿Cuántos céntimos de patatas cosechó cada equipo en 1 hora de trabajo?
Cant.
En 1 hora
Cantidad
horas
Total
brigada
por 2 quilates
más
brigada
Respuesta:
№ 14.7
número x-1
número y-2
3(x-y)=(x+y)+6
2(x-y)=(x+y)+9
Respuesta:
№ 14.12
cantidad t
para 1 vuelo
Cantidad
vuelos
Total
montones
auto
auto
№ 14.12
- El primer día se exportaron 27 toneladas de grano, realizando un vehículo 4 viajes y el otro 3 viajes. Al día siguiente, el segundo carro transportó 11 toneladas más en 4 viajes que el primero en 3 viajes. ¿Cuántas toneladas de grano se transportaron en cada vehículo en un viaje?
cantidad t
para 1 vuelo
Cantidad
vuelos
Total
montones
auto
a las 11t
más
auto
Respuesta:
№ 14.14
Cantidad kg
en 1 caja
Cantidad
cajas
Total
cerezas
para 3 cajones
menos
cereza
№ 14.14
- En el mercado se compraron 84 kg de cerezas y guindas, y se compraron 3 cajas menos de cerezas que de cerezas. ¿Cuántas cajas de cerezas y guindas se compraron por separado, si 1 caja contiene 8 kg de cerezas y 10 kg de guindas?
Cantidad kg
en 1 caja
Cantidad
cajas
Total
cerezas
cereza
Respuesta:
№ 14.8
№ 14.25
№ 14.31
10 A + B - fórmula para un número de dos dígitos
A es el número de decenas, B es el número de unidades.
