Conceptos básicos. Teoremas de suma y multiplicación.
Fórmulas probabilidad total, Bayes, Bernoulli. Teoremas de Laplace.
Preguntas
- Tema de la teoría de la probabilidad.
- Tipos de eventos.
- Definición clásica de probabilidad.
- Definición estadística probabilidades.
- Definición geométrica probabilidades.
- Teorema de la suma de probabilidades No eventos conjuntos.
- El teorema de la multiplicación de probabilidades no es eventos dependientes.
- La probabilidad condicional.
- Multiplicar eventos dependientes.
- Adición de eventos conjuntos.
- Fórmula de probabilidad total.
- Fórmula de Bayes.
13. Ley de distribución binomial y polinomial.
- Tema de la teoría de la probabilidad. Conceptos básicos.
Un evento en la teoría de la probabilidad es cualquier hecho que puede ocurrir como resultado de alguna experiencia (prueba).
Por ejemplo: El tirador dispara al objetivo. Un disparo es una prueba, dar en el blanco es un acontecimiento. Los eventos generalmente se designan
Un único evento aleatorio es consecuencia de muchas causas aleatorias, que muy a menudo no pueden tenerse en cuenta. Sin embargo, si consideramos eventos masivos y homogéneos (observados muchas veces durante el experimento en las mismas condiciones), resulta que están sujetos a ciertos patrones: si arrojas una moneda en las mismas condiciones una gran cantidad de veces, puedes predecir con un pequeño error de que el número de apariciones del escudo de armas será igual a la mitad del número de lanzamientos.
El tema de la teoría de la probabilidad es el estudio de patrones probabilísticos de eventos aleatorios masivos y homogéneos. Los métodos de la teoría de la probabilidad se utilizan ampliamente en las teorías de la confiabilidad, el disparo, el control automático, etc. La teoría de la probabilidad sirve como base para las matemáticas y estadísticas aplicadas, que a su vez se utiliza en la planificación y organización de la producción, en el análisis procesos tecnológicos etc.
Definiciones.
1. Si como resultado de la experiencia el evento
a) siempre sucederá, entonces es un evento confiable,
b) nunca sucederá, entonces - un evento imposible,
c) puede suceder, puede no suceder, entonces es un evento aleatorio (posible).
2. Los eventos se consideran igualmente posibles si hay razones para creer que ninguno de estos eventos ha ocurrido. más posibilidades emergen de la experiencia que otros.
3. Hechos y son conjuntos (incompatibles), si la ocurrencia de uno de ellos no excluye (excluye) la ocurrencia del otro.
4. Un grupo de eventos es compatible si al menos dos eventos de este grupo son compatibles, en caso contrario es incompatible.
5. Un grupo de eventos se considera completo si uno de ellos ocurrirá definitivamente como resultado de la experiencia.
Ejemplo 1. Se realizan tres disparos al objetivo: Let - acertar (fallar) en el primer disparo - en el segundo disparo - en el tercer disparo. Entonces
a) - un grupo conjunto de eventos igualmente posibles.
b) - un grupo completo de eventos incompatibles. - un evento que es todo lo contrario.
c) - un grupo completo de eventos.
Clásica y probabilidad estadística
Manera clásica La determinación de probabilidad se aplica a un grupo completo de eventos incompatibles igualmente posibles.
Cada evento de este grupo se denominará caso o resultado elemental. En relación a cada evento, los casos se dividen en favorables y desfavorables.
Definición 2. La probabilidad de un evento es la cantidad.
donde es el número de casos favorables a la ocurrencia del evento, es el número total de casos igualmente posibles esta experiencia casos.
Ejemplo 2. dos tirados dado. Sea el evento: la suma de los puntos eliminados es igual a . Encontrar .
a) Decisión equivocada. Sólo hay 2 casos posibles: y - un grupo completo de eventos incompatibles. Sólo un caso es favorable, es decir. 
Esto es un error, ya que no son igualmente posibles.
b) Total de casos igualmente posibles. Casos favorables: prolapso
Las debilidades de la definición clásica son:
1.- el número de casos es finito.
2. Muy a menudo, el resultado de un experimento no puede representarse en forma de un conjunto de acontecimientos elementales (casos).
3. Es difícil indicar las razones por las que los casos se consideran igualmente posibles.
Que se realicen una serie de pruebas.
Definición 3. La frecuencia relativa de un evento es la cantidad
donde es el número de ensayos en los que aparecieron eventos y es el número total de ensayos.
Las observaciones a largo plazo han demostrado que en varias experiencias suficientemente grande
Cambia poco, fluctuando alrededor de un cierto numero constante, que llamamos probabilidad estadística.
La probabilidad tiene las siguientes propiedades:
álgebra de eventos
7.3.1 Definiciones.
8. La suma o unión de varios hechos es un hecho formado por al menos uno de ellos.
9. El producto de varios eventos es un evento que consiste en la ocurrencia conjunta de todos estos eventos.
Del ejemplo 1. 
- al menos un acierto con tres disparos, - un acierto con el primer y segundo disparo y un fallo con el tercero.
Exactamente un golpe.
Al menos dos aciertos.
10. Dos eventos se llaman independientes (dependientes) si la probabilidad de uno de ellos no depende (depende) de la ocurrencia o no ocurrencia del otro.
11. Varios eventos se llaman colectivamente independientes si cada uno de ellos y cualquier combinación lineal de los eventos restantes son eventos independientes.
12. Probabilidad condicional 
es la probabilidad de un evento calculada bajo el supuesto de que el evento ocurrió.
7.3.2 Teorema de la multiplicación de probabilidades.
La probabilidad de ocurrencia (producción) conjunta de varios eventos es igual al producto de la probabilidad de uno de ellos por probabilidades condicionales Eventos restantes calculados bajo el supuesto de que todos los eventos anteriores tuvieron lugar.
Corolario 1. Si - son conjuntamente independientes, entonces
En efecto: desde .
Ejemplo 3. En la urna hay 5 bolas blancas, 4 negras y 3 azules. Cada prueba consiste en sacar una bola al azar de una urna. ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera prueba haya bola blanca, con la segunda - una bola negra, con la tercera - una bola azul, si
a) cada vez que la bola regresa a la urna.
- en la urna después de la primera prueba de bolas, 4 de ellas son blancas. . De aquí
b) la pelota no regresa a la urna. Entonces - independiente en conjunto y
7.3.3 Teorema de la suma de probabilidades.
La probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos es igual a
Corolario 2. Si los eventos son incompatibles por pares, entonces
De hecho en este caso
Ejemplo 4. Se disparan tres tiros a un objetivo. La probabilidad de acertar en el primer disparo es , en el segundo - , en el tercero - . Encuentre la probabilidad de al menos un acierto.
Solución. Que haya un acierto en el primer disparo, en el segundo, en el tercero y al menos un acierto en tres disparos. Entonces, ¿dónde están los conjuntos independientes en el agregado? Entonces
Corolario 3. Si se forman eventos incompatibles por pares grupo completo, Eso
Corolario 4. Para eventos opuestos
A veces, al resolver problemas, es más fácil encontrar la probabilidad del evento opuesto. Por ejemplo, en el ejemplo 4: un fallo de tres tiros. Dado que es independiente en conjunto, y luego
Como se indicó anteriormente, definición clásica La probabilidad supone que todos los resultados elementales son igualmente posibles. La igualdad de los resultados del experimento se concluye debido a consideraciones de simetría. Los problemas en los que se pueden utilizar consideraciones de simetría son raros en la práctica. En muchos casos es difícil dar razones para creer que todos los resultados elementales son igualmente posibles. En este sentido, se hizo necesario introducir otra definición de probabilidad, denominada estadística. Primero introduzcamos el concepto de frecuencia relativa.
Frecuencia relativa del evento., o frecuencia, es la relación entre el número de experimentos en los que ocurrió este evento y el número de todos los experimentos realizados. Denotemos la frecuencia del evento. A a través de WASHINGTON), Entonces
Dónde norte– número total de experimentos; metro– número de experimentos en los que ocurrió el evento A.
Con un número pequeño de experimentos, la frecuencia del evento es en gran medida aleatoria y puede variar notablemente de un grupo de experimentos a otro. Por ejemplo, con unos diez lanzamientos de moneda es muy posible que el escudo aparezca 2 veces (frecuencia 0,2), con otros diez lanzamientos es muy posible que obtengamos 8 escudos (frecuencia 0,8). Sin embargo, a medida que aumenta el número de experimentos, la frecuencia del evento pierde cada vez más su carácter aleatorio; las circunstancias aleatorias inherentes a cada experiencia individual se anulan en la masa, y la frecuencia tiende a estabilizarse, acercándose con pequeñas fluctuaciones a un cierto promedio valor constante. Esta constante, que es objetiva característica numérica Los fenómenos se consideran la probabilidad de que ocurra un evento determinado.
Definición estadística de probabilidad: probabilidad Los eventos nombran el número alrededor del cual se agrupan los valores de frecuencia de un evento dado en diferentes series. gran número pruebas.
La propiedad de la estabilidad de la frecuencia, probada repetidamente experimentalmente y confirmada por la experiencia de la humanidad, es uno de los patrones más característicos observados en eventos aleatorios. Existe una conexión profunda entre la frecuencia de un evento y su probabilidad, que se puede expresar de la siguiente manera: cuando evaluamos el grado de posibilidad de un evento, asociamos esta evaluación con una mayor o menor frecuencia de ocurrencia de eventos similares en la práctica. .
probabilidad geométrica
La definición clásica de probabilidad supone que el número resultados elementales Ciertamente. En la práctica, hay experimentos en los que el conjunto de resultados es infinito. Para superar este inconveniente de la definición clásica de probabilidad, que es que no es aplicable a pruebas con un número infinito de resultados, introducen probabilidades geométricas: las probabilidades de que un punto caiga en un área.
Supongamos que se da una región cuadratable en el plano GRAMO, es decir. área que tiene área SG. En la zona GRAMO contiene área gramoárea sg. a la región GRAMO Se lanza un punto al azar. Supondremos que el punto lanzado puede caer en alguna parte del área. GRAMO con una probabilidad proporcional al área de esta parte e independiente de su forma y ubicación. deja que el evento A– “la punta lanzada impacta en el área gramo", Entonces probabilidad geométrica este evento está determinado por la fórmula:
EN caso general El concepto de probabilidad geométrica se presenta a continuación. Denotemos la medida del área. gramo(longitud, área, volumen) hasta mesg, y la medida del área GRAMO- a través de mes G ; deja también A– evento “una punta lanzada golpea el área gramo, que está contenida en el área GRAMO" Probabilidad de golpear el área. gramo puntos lanzados al área GRAMO, está determinado por la fórmula
.
Tarea. Un cuadrado está inscrito en un círculo. Se lanza un punto al azar dentro del círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que el punto caiga dentro del cuadrado?
Solución. Sea el radio del círculo R, entonces el área del círculo es . La diagonal del cuadrado es , luego el lado del cuadrado es , y el área del cuadrado es . La probabilidad del evento deseado se define como la relación entre el área del cuadrado y el área del círculo, es decir, 
.
Preguntas de control
1. ¿Qué se llama prueba (experiencia)?
2. ¿Qué es un evento?
3. ¿Qué evento se llama a) confiable? b) aleatorio? c) imposible?
4. ¿Qué eventos se llaman a) incompatibles? b) articulación?
5. ¿Qué eventos se llaman opuestos? ¿Son a) incompatibles b) compatibles o aleatorios?
6. ¿Cómo se llama un grupo completo de eventos aleatorios?
7. Si los eventos no pueden suceder todos juntos como resultado de la prueba, ¿serán incompatibles por pares?
8. ¿Se forman los eventos? A y el grupo completo?
9. ¿Qué resultados elementales son favorables? este evento?
10. ¿Qué definición de probabilidad se llama clásica?
11. ¿Cuáles son los límites de la probabilidad de cualquier evento?
12. ¿Bajo qué condiciones se aplica? probabilidad clásica?
13. ¿Bajo qué condiciones se aplica la probabilidad geométrica?
14. ¿Qué definición de probabilidad se llama geométrica?
15. ¿Cuál es la frecuencia de un evento?
16. ¿Qué definición de probabilidad se llama estadística?
1. Se selecciona al azar una letra de las letras de la palabra “conservatorio”. Calcula la probabilidad de que esta letra sea vocal. Calcula la probabilidad de que sea la letra "o".
2. Las letras “o”, “p”, “s”, “t” están escritas en tarjetas idénticas. Calcula la probabilidad de que la palabra “cable” aparezca en tarjetas colocadas al azar en una fila.
3. Hay 4 mujeres y 3 hombres en el equipo. Se sortean 4 entradas al teatro entre brigadistas. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los poseedores de boletos haya 2 mujeres y 2 hombres?
4. Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que la suma de puntos de ambos dados sea mayor que 6.
5. Las letras l, m, o, o, t están escritas en cinco tarjetas idénticas ¿Cuál es la probabilidad de que, sacando las tarjetas una a la vez, obtengamos la palabra “martillo” en el orden en que aparecieron?
6. De 10 boletos, 2 ganan ¿Cuál es la probabilidad de que entre cinco boletos tomados al azar, uno gane?
7. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo seleccionado al azar? número de dos dígitos los números son tales que su producto es igual a cero.
8. Se elige al azar un número que no excede 30. Calcula la probabilidad de que este número sea divisor de 30.
9. Se elige al azar un número que no exceda 30. Calcula la probabilidad de que este número sea múltiplo de 3.
10. Se elige al azar un número que no exceda 50. Calcula la probabilidad de que este número sea primo.
Índice correlación de rango Kendall, probando la hipótesis correspondiente sobre la importancia de la relación.
2.Definición clásica de probabilidad. Propiedades de la probabilidad.
La probabilidad es uno de los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad. Existen varias definiciones de este concepto. Demos una definición que se llama clásica. A continuación indicamos lados débiles esta definición y dar otras definiciones que nos permitan superar las deficiencias de la definición clásica.
Veamos un ejemplo. Supongamos que una urna contiene 6 bolas idénticas y completamente mezcladas, 2 de ellas son rojas, 3 son azules y 1 es blanca. Obviamente, la posibilidad de sacar al azar una bola de color (es decir, roja o azul) de una urna es mayor que la posibilidad de sacar una bola blanca. ¿Se puede cuantificar esta oportunidad? Resulta que es posible. Este número se llama probabilidad de un evento (la aparición de una bola de color). Por tanto, la probabilidad es un número que caracteriza el grado de posibilidad de que ocurra un evento.
Pongámonos la tarea de dar evaluación cuantitativa la posibilidad de que una bola tomada al azar sea de color. La aparición de una bola de color se considerará como evento A. Se denominará a cada uno de los posibles resultados de la prueba (la prueba consiste en sacar la bola de la urna). resultado elemental (evento elemental). Denotamos resultados elementales por w 1, w 2, w 3, etc. En nuestro ejemplo, son posibles los siguientes 6 resultados elementales: w 1 - aparece una bola blanca; w 2, w 3 - apareció una bola roja; w 4, w 5, w 6: aparece una bola azul. Es fácil ver que estos resultados forman un grupo completo de eventos incompatibles por pares (solo aparecerá una bola) y son igualmente posibles (la bola se extrae al azar, las bolas son idénticas y están completamente mezcladas).
Llamaremos a aquellos resultados elementales en los que ocurre el evento que nos interesa. favorable este evento. En nuestro ejemplo, los siguientes 5 resultados favorecen el evento A (la aparición de una bola de color): w 2, w 3, w 4, w 5, w 6.
Por lo tanto, el evento A se observa si uno de los resultados elementales que favorecen a A ocurre en la prueba, sin importar cuál; en nuestro ejemplo, A se observa si ocurre w 2, w 3, w 4, w 5 o w 6. En este sentido, el evento A se divide en varios eventos elementales (w 2, w 3, w 4, w 5, w 6); un evento elemental no se subdivide en otros eventos. Ésta es la diferencia entre el evento A y un evento elemental (un resultado elemental).
La relación entre el número de resultados elementales favorables al evento A y su numero total se llama probabilidad del evento A y se denota por P (A). En el ejemplo que estamos considerando, hay 6 resultados elementales; 5 de ellos favorecen el evento A. En consecuencia, la probabilidad de que la bola tomada sea de color es igual a P (A) = 5 / 6. Este número da una evaluación cuantitativa del grado de posibilidad de que aparezca una bola de color que quería encontrar. Demos ahora la definición de probabilidad.
Probabilidad del evento A llaman a la relación entre el número de resultados favorables a este evento y el número total de todos los resultados elementales incompatibles igualmente posibles que forman el grupo completo. Entonces, la probabilidad del evento A está determinada por la fórmula
donde m es el número de resultados elementales favorables a A; n es el número de todos los posibles resultados de pruebas elementales.
Aquí se supone que los resultados elementales son incompatibles, igualmente posibles y forman un grupo completo. Las siguientes propiedades se derivan de la definición de probabilidad:
Con aproximadamente s t en aproximadamente 1. Probabilidad evento confiable igual a uno.
De hecho, si el evento es confiable, entonces cada resultado elemental de la prueba favorece el evento. En este caso m = n, por lo tanto,
P(A) = m/n = n/n = 1.
S en aproximadamente s t en aproximadamente 2. La probabilidad de un evento imposible es cero.
De hecho, si un evento es imposible, entonces ninguno de los resultados elementales de la prueba favorece el evento. En este caso m = 0, por lo tanto,
P (A) = m / n = 0 / n = 0.
Con en aproximadamente con t en aproximadamente 3. Probabilidad evento al azar Hay numero positivo, encerrado entre cero y uno.
De hecho, sólo una parte del número total de resultados elementales de la prueba se ve favorecida por un evento aleatorio. En este caso 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,
0 < Р (А) < 1
Entonces, la probabilidad de cualquier evento satisface la doble desigualdad.
Observación: Los cursos modernos y rigurosos de teoría de la probabilidad se basan en la teoría de conjuntos. Limitémonos a presentar en el lenguaje de la teoría de conjuntos los conceptos discutidos anteriormente.
Sea uno y sólo uno de los eventos w i, (i = 1, 2, ..., n) como resultado de la prueba. Eventos donde me llaman eventos elementales (resultados elementales). De esto se sigue que los acontecimientos elementales son incompatibles por pares. El conjunto de todos los eventos elementales que pueden ocurrir en una prueba se llama espacio de eventos elementales W, y los eventos elementales mismos son puntos en el espacio w.
El evento A se identifica con un subconjunto (del espacio W), cuyos elementos son resultados elementales favorables a A; el evento B es un subconjunto de W cuyos elementos son resultados favorables a B, etc. Por tanto, el conjunto de todos los eventos que pueden ocurrir en una prueba es el conjunto de todos los subconjuntos de W. El propio W ocurre para cualquier resultado de la prueba, por lo tanto W es un evento confiable; un subconjunto vacío del espacio W es un evento imposible (no ocurre bajo ningún resultado de la prueba).
Tenga en cuenta que los eventos elementales se distinguen de todos los eventos por el hecho de que cada uno de ellos contiene solo un elemento W.
A cada resultado elemental w i se le asigna un número positivo pag i es la probabilidad de este resultado, y
Por definición, la probabilidad P(A) del evento A es igual a la suma de las probabilidades de resultados elementales favorables a A. De aquí es fácil obtener que la probabilidad de un evento confiable es igual a uno, un evento imposible es igual a cero, y un evento arbitrario está entre cero y uno.
Consideremos un importante caso especial cuando todos los resultados son igualmente posibles. El número de resultados es n, la suma de las probabilidades de todos los resultados es igual a uno; por lo tanto, la probabilidad de cada resultado es 1/n. Sea el evento A el que favorezca m resultados. La probabilidad del evento A es igual a la suma de las probabilidades de resultados que favorezcan a A:
P(A) = 1/n + 1/n + .. + 1/n.
Considerando que el número de términos es igual a m, tenemos
P(A) = m/n.
Se obtiene una definición clásica de probabilidad.
Construcción lógicamente teoria completa probabilidades basadas en definición axiomática evento aleatorio y su probabilidad. En el sistema de axiomas propuesto por A. N. Kolmogorov, los conceptos indefinibles son evento elemental y probabilidad. Aquí están los axiomas que definen la probabilidad:
1. Cada evento A está asociado con un valor no negativo Número Real REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES). Este número se llama probabilidad del evento A.
2. La probabilidad de un evento confiable es igual a uno:
3. La probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos incompatibles por pares es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos.
A partir de estos axiomas, las propiedades de las probabilidades y las dependencias entre ellas se derivan como teoremas.
3.Determinación estática de probabilidad, frecuencia relativa.
La definición clásica no requiere experimentación. mientras real problemas aplicados tener número infinito resultados, y la definición clásica en este caso no puede proporcionar una respuesta. Por lo tanto, en tales problemas usaremos definición estática probabilidades, que se calcula después de un experimento o experimento.
probabilidad estática w(A) o frecuencia relativa es la relación entre el número de resultados favorables a un evento determinado y el número total de pruebas realmente realizadas.
w(A)=Nuevo Méjico
Frecuencia relativa evento tiene propiedad de estabilidad:
Lim norte→∞PAG(∣ ∣ Nuevo Méjico−pag∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)
4. Probabilidades geométricas.
En enfoque geométrico a la definición probabilidades un conjunto arbitrario se considera como el espacio de eventos elementales Medida finita de Lebesgue en una línea, plano o espacio. Los eventos se llaman todo tipo de mensurables subconjuntos del conjunto.
Probabilidad del evento A está determinado por la fórmula
donde denota Medida de Lebesgue del conjunto A. Con esta definición de eventos y probabilidades, todo Los axiomas de A.N. Kolmogorov se cumplen.
En tareas específicas que se reducen a lo anterior. esquema probabilístico, la prueba se interpreta como una selección aleatoria de un punto en algún área, y el evento A– cómo el punto seleccionado llega a un determinado subregión A de la región. En este caso, se requiere que todos los puntos de la región tengan igualdad de oportunidades para ser seleccionado. Este requisito generalmente se expresa en palabras. “al azar”, “al azar”, etc.
El concepto de probabilidad de un evento se refiere a los conceptos fundamentales de la teoría de la probabilidad. La probabilidad es una medida cuantitativa de la posibilidad de que ocurra un evento aleatorio A. Se denota por P(A) y tiene las siguientes propiedades.
La probabilidad es un número positivo que va de cero a uno:
La probabilidad de un evento imposible es cero.
La probabilidad de un evento confiable es igual a uno.
Definición clásica de probabilidad. Sea = (1, 2,…, n) el espacio de eventos elementales que describen todos los resultados elementales posibles y forman un grupo completo de eventos incompatibles e igualmente posibles. Sea el evento A correspondiente a un subconjunto de m resultados elementales.
estos resultados se denominan favorables al evento A. En la definición clásica de probabilidad, se cree que la probabilidad de cualquier resultado elemental
y la probabilidad del evento A favorecido por m resultados es igual a
De ahí la definición:
La probabilidad del evento A es la relación entre el número de resultados favorables a este evento y el número total de todos los resultados elementales incompatibles igualmente posibles que forman el grupo completo. La probabilidad viene dada por la fórmula.
donde m es el número de resultados elementales favorables al evento A y es el número de todos los resultados elementales posibles de la prueba.
La definición clásica de probabilidad permite en algunos problemas calcular analíticamente la probabilidad de un evento.
Realicemos un experimento como resultado del cual pueden ocurrir ciertos eventos. Si estos eventos forman un grupo completo de eventos igualmente posibles e incompatibles por pares, entonces se dice que la experiencia tiene simetría de resultados posibles y se reduce a un "esquema de casos". Para experimentos que se reducen a un esquema de casos, se aplica la fórmula de probabilidad clásica.
Ejemplo 1.13. La lotería sortea 1000 billetes, incluidos 5 ganadores. Determine la probabilidad de que al comprar un billete de lotería reciba un premio
El evento elemental de esta experiencia es la compra de una entrada. Cada billete de lotería es único, ya que tiene su propio número y el billete comprado no se devuelve. El evento A es que se compra el boleto ganador. Al comprar uno de 1000 boletos, todos los resultados posibles de este experimento serán = 1000, los resultados forman un grupo completo de eventos incompatibles. El número de resultados favorables al evento A será igual a =5. Entonces la probabilidad de ganar comprando un boleto es igual a
P(A) = = 0,005
Para calcular probabilidades directamente es conveniente utilizar fórmulas combinatorias. Demostremos esto usando el ejemplo de un problema de control de muestreo.
Ejemplo 1.14 Supongamos que hay un lote de productos, algunos de los cuales son defectuosos. Una parte de los productos se selecciona para su control. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los productos seleccionados haya exactamente productos defectuosos?
El evento elemental en este experimento es la selección de un subconjunto elemental del conjunto elemental original. La selección de cualquier parte de un lote de productos puede considerarse un evento igualmente posible, por lo que esta experiencia se reduce a un esquema de casos. Para calcular la probabilidad del evento A = (entre productos defectuosos, si fueron seleccionados de un lote de productos defectuosos), se puede aplicar la fórmula de probabilidad clásica. El número de todos los resultados posibles del experimento es el número de formas en que se pueden seleccionar los productos de un lote, es igual al número de combinaciones de elementos mediante: . Un evento favorable al evento A consiste en el producto de dos eventos elementales: (de productos defectuosos se seleccionan (de productos estándar se seleccionan). El número de tales eventos, de acuerdo con la regla de multiplicación de combinatoria, será
Entonces la probabilidad deseada
Por ejemplo, sea =100, =10, =10, =1. Entonces la probabilidad de que entre los 10 productos seleccionados haya exactamente un producto defectuoso es igual a
Definición estadística de probabilidad. Para aplicar la definición clásica de probabilidad en las condiciones de un experimento dado, es necesario que el experimento corresponda al esquema de casos, y para la mayoría de los problemas reales estos requisitos son prácticamente imposibles de cumplir. Sin embargo, la probabilidad de un evento es una realidad objetiva que existe independientemente de si la definición clásica es aplicable o no. Es necesaria otra definición de probabilidad, aplicable cuando la experiencia no se corresponde con el patrón de casos.
Supongamos que el experimento consista en realizar una serie de pruebas repitiendo el mismo experimento y que el evento A ocurra una vez en una serie de experimentos. La frecuencia relativa del evento W(A) es la relación entre el número de experimentos en los que ocurrió el evento A y el número de todos los experimentos realizados.
Se ha demostrado experimentalmente que la frecuencia tiene la propiedad de estabilidad: si el número de experimentos en una serie es lo suficientemente grande, entonces las frecuencias relativas del evento A en diferentes series del mismo experimento difieren poco entre sí.
La probabilidad estadística de un evento es el número al que tienden las frecuencias relativas si el número de experimentos aumenta sin límite.
A diferencia de la probabilidad clásica a priori (calculada antes del experimento), la probabilidad estadística es a posteriori (obtenida después del experimento).
Ejemplo 1.15 Las observaciones meteorológicas durante 10 años en un área determinada mostraron que el número de días de lluvia en julio en diferentes años fue: 2; 4; 3; 2; 4; 3; 2; 3; 5; 3. Determine la probabilidad de que cualquier día particular de julio sea lluvioso.
El evento A es que lloverá en un día determinado de julio, por ejemplo el 10 de julio. Las estadísticas proporcionadas no contienen información sobre qué días específicos llovió en julio, por lo que podemos suponer que todos los días son igualmente probables para este evento. Sea un año una serie de pruebas de 31 días. Hay 10 series en total. Las frecuencias relativas de las series son:
Las frecuencias son diferentes, pero se observa que se agrupan alrededor del número 0,1. Este número se puede tomar como la probabilidad del evento A. Si tomamos todos los días de julio durante diez años como una serie de pruebas, entonces la probabilidad estadística del evento A será igual a
Definición geométrica de probabilidad. Esta definición de probabilidad generaliza la definición clásica al caso en que el espacio de resultados elementales incluye un conjunto incontable de eventos elementales y la ocurrencia de cada uno de los eventos es igualmente posible. La probabilidad geométrica del evento A es la relación entre la medida (A) de la región favorable para la ocurrencia del evento y la medida () de toda la región.
Si las áreas representan a) longitudes de segmentos, b) áreas de figuras, c) volúmenes de figuras espaciales, entonces las probabilidades geométricas son respectivamente iguales.
Ejemplo 1.16. Los anuncios se colocan a intervalos de 10 metros a lo largo de la zona comercial. Algunos clientes tienen un ancho de visión de 3 metros. ¿Cuál es la probabilidad de que no note el anuncio si se mueve perpendicularmente a la fila de compras y puede cruzar la fila en cualquier punto?
La sección de la fila de compras ubicada entre dos anuncios se puede representar como un segmento recto AB (figura 1.6). Luego, para que el comprador note los anuncios, deberá pasar por tramos rectos AC o DV iguales a 3 m. Si cruza la fila de compras en uno de los puntos del segmento SD, cuya longitud es de 4 m, no notará el anuncio. La probabilidad de este evento será
La aleatoriedad de la ocurrencia de eventos está asociada con la imposibilidad de predecir de antemano el resultado de una prueba en particular. Sin embargo, si consideramos, por ejemplo, una prueba: lanzamiento repetido de una moneda, ω 1, ω 2, ..., ω n, entonces resulta que en aproximadamente la mitad de los resultados ( norte / 2) se descubre un determinado patrón que corresponde al concepto de probabilidad.
Bajo probabilidad eventos A Se entiende como una determinada característica numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. A. Denotemos esta característica numérica. R(A). Existen varios enfoques para determinar la probabilidad. Los principales son estadístico, clásico y geométrico.
Que se produzca norte pruebas y al mismo tiempo algún evento A Ha llegado norte Un tiempo. Número norte a se llama frecuencia absoluta(o simplemente la frecuencia) del evento A, y la relación se llama frecuencia relativa de ocurrencia del evento A. Frecuencia relativa de cualquier evento. caracterizado por las siguientes propiedades:
La base para aplicar los métodos de la teoría de la probabilidad al estudio de procesos reales es la existencia objetiva de eventos aleatorios que tienen la propiedad de estabilidad de frecuencia. Múltiples ensayos del evento que se está estudiando. A demostrar que para grandes norte Frecuencia relativa ( A) permanece aproximadamente constante.
La definición estadística de probabilidad es que la probabilidad del evento A se considera un valor constante p(A), alrededor del cual fluctúan los valores de las frecuencias relativas. (A) con un aumento ilimitado en el número de pruebasnorte.
Nota 1. Tenga en cuenta que B. Pascal eligió los límites de cambio en la probabilidad de un evento aleatorio de cero a uno por la conveniencia de su cálculo y aplicación. En correspondencia con P. Fermat, Pascal indicó que se podía elegir cualquier intervalo como intervalo indicado, por ejemplo, de cero a cien intervalos más. En los problemas que aparecen a continuación en este manual, las probabilidades a veces se expresan como porcentajes, es decir, de cero a cien. En este caso, los porcentajes indicados en los problemas deberán convertirse en participaciones, es decir, dividir por 100.
Ejemplo 1. Se realizaron 10 series de lanzamientos de moneda, cada una con 1000 lanzamientos. Magnitud ( A) en cada una de las series es igual a 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Estas frecuencias se agrupan alrededor R(A) = 0,5.
Este ejemplo confirma que la frecuencia relativa ( A) es aproximadamente igual R(A), es decir.
