Traído a la fecha en frasco abierto Problemas del Examen Estatal Unificado de Matemáticas (mathege.ru), cuya solución se basa en una sola fórmula, que es definición clásica probabilidades.

La forma más sencilla de entender la fórmula es con ejemplos.
Ejemplo 1. Hay 9 bolas rojas y 3 bolas azules en la canasta. Las bolas se diferencian sólo en el color. Sacamos uno de ellos al azar (sin mirar). ¿Cuál es la probabilidad de que la bola elegida de esta manera sea azul?

Un comentario. En los problemas de teoría de la probabilidad, algo sucede (en en este caso nuestra acción de sacar la pelota), que puede tener un resultado diferente: el resultado. Cabe señalar que el resultado se puede considerar de diferentes maneras. “Sacamos una especie de pelota” también es un resultado. “Sacamos la bola azul”: el resultado. "Sacamos exactamente esta bola de todas las bolas posibles": esta visión menos generalizada del resultado se denomina resultado elemental. Son los resultados elementales los que se entienden en la fórmula para calcular la probabilidad.

Solución. Ahora calculemos la probabilidad de elegir la bola azul.
Evento A: “la bola seleccionada resultó ser azul”
Número total de todos los resultados posibles: 9+3=12 (el número de todas las bolas que podríamos sacar)
Número de resultados favorables para el evento A: 3 (el número de resultados en los que ocurrió el evento A, es decir, el número de bolas azules)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Respuesta: 0,25

Para el mismo problema, calculemos la probabilidad de elegir una bola roja.
El número total de resultados posibles seguirá siendo el mismo, 12. Número de resultados favorables: 9. Probabilidad buscada: 9/12=3/4=0,75

La probabilidad de cualquier evento siempre está entre 0 y 1.
A veces en discurso cotidiano(¡pero no en la teoría de la probabilidad!) la probabilidad de los eventos se estima como un porcentaje. La transición entre puntuaciones de matemáticas y conversación se logra multiplicando (o dividiendo) por 100%.
Entonces,
Además, la probabilidad es cero para eventos que no pueden suceder: increíble. Por ejemplo, en nuestro ejemplo esta sería la probabilidad de sacar una bola verde de la canasta. (El número de resultados favorables es 0, P(A)=0/12=0, si se calcula mediante la fórmula)
La probabilidad 1 tiene eventos que es absolutamente seguro que sucederán, sin opciones. Por ejemplo, la probabilidad de que "la bola seleccionada sea roja o azul" es para nuestra tarea. (Número de resultados favorables: 12, P(A)=12/12=1)

Hemos revisado ejemplo clásico, que ilustra la definición de probabilidad. Todos similares Tareas del examen estatal unificado Según la teoría de la probabilidad, se resuelven mediante esta fórmula.
En lugar de bolas rojas y azules puede haber manzanas y peras, niños y niñas, billetes aprendidos y no aprendidos, billetes que contienen o no una pregunta sobre un tema determinado (prototipos), bolsas o bombas de jardín defectuosas y de alta calidad ( prototipos), el principio sigue siendo el mismo.

Difieren ligeramente en la formulación del problema teórico. probabilidad del examen estatal unificado, donde es necesario calcular la probabilidad de que ocurra un evento en un día específico. ( , ) Como en problemas anteriores, es necesario determinar cuál es el resultado elemental y luego aplicar la misma fórmula.

Ejemplo 2. La conferencia dura tres días. En el primer y segundo día hay 15 oradores, en el tercer día, 20. ¿Cuál es la probabilidad de que el informe del profesor M. caiga en el tercer día si el orden de los informes se determina por sorteo?

¿Cuál es el resultado elemental aquí? – Asignar el informe del profesor a uno de todos los posibles. números seriales para una actuación. En el sorteo participan 15+15+20=50 personas. Por tanto, el informe del profesor M. puede recibir uno de los 50 números. Eso significa resultados elementales solo 50.
¿Cuáles son los resultados favorables? - Aquellas en las que resulta que el profesor hablará al tercer día. Es decir, los últimos 20 números.
Según la fórmula, probabilidad P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
Respuesta: 0,4

El sorteo aquí representa el establecimiento de una correspondencia aleatoria entre personas y lugares ordenados. En el ejemplo 2, se consideró el establecimiento de correspondencia desde el punto de vista de cuál de los lugares se podría tomar. persona especial. Puedes abordar la misma situación desde el otro lado: cuál de las personas con qué probabilidad podría llegar a un lugar específico (prototipos, , , ):

Ejemplo 3. En el sorteo participan 5 alemanes, 8 franceses y 3 estonios. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero (/segundo/séptimo/último – no importa) sea un francés?

Número de resultados elementales – número de todos personas posibles, que podría, por sorteo, llegar a este lugar. 5+8+3=16 personas.
Resultados favorables: francés. 8 personas.
Probabilidad requerida: 8/16=1/2=0,5
Respuesta: 0,5

El prototipo es ligeramente diferente. Todavía hay problemas con las monedas () y dado(), algo más creativo. La solución a estos problemas se puede encontrar en las páginas de prototipos.

A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo lanzar una moneda o un dado.

Ejemplo 4. Cuando lanzamos una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara?
Hay 2 resultados: cara o cruz. (se cree que la moneda nunca cae de canto) Un resultado favorable es cruz, 1.
Probabilidad 1/2=0,5
Respuesta: 0,5.

Ejemplo 5.¿Qué pasa si lanzamos una moneda dos veces? ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en ambas ocasiones?
Lo principal es determinar qué resultados elementales consideraremos al lanzar dos monedas. Después de lanzar dos monedas, puede ocurrir uno de los siguientes resultados:
1) PP – las dos veces salió cara
2) PO – cara por primera vez, cara por segunda vez
3) OP – cara la primera vez, cruz la segunda vez
4) OO – salieron caras en ambas ocasiones
No hay otras opciones. Esto significa que hay 4 resultados elementales. Sólo el primero, 1, es favorable.
Probabilidad: 1/4=0,25
Respuesta: 0,25

¿Cuál es la probabilidad de que dos lanzamientos de moneda resulten cruz?
El número de resultados elementales es el mismo, 4. Los resultados favorables son el segundo y el tercero, 2.
Probabilidad de obtener una cola: 2/4=0,5

En tales problemas, puede resultar útil otra fórmula.
Si durante el lanzamiento de una moneda opciones posibles tenemos 2 resultados, entonces para dos lanzamientos los resultados serán 2 2 = 2 2 = 4 (como en el ejemplo 5), para tres lanzamientos 2 2 2 = 2 3 = 8, para cuatro: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... para N lanzamientos los resultados posibles serán 2·2·...·2=2 N .

Entonces, puedes encontrar la probabilidad de obtener 5 caras en 5 lanzamientos de moneda.
Número total de resultados elementales: 2 5 =32.
Resultados favorables: 1. (RRRRRR – cabeza las 5 veces)
Probabilidad: 1/32=0,03125

Lo mismo ocurre con los dados. Con un lanzamiento, hay 6 resultados posibles. Entonces, para dos lanzamientos: 6 6 = 36, para tres 6 6 6 = 216, etc.

Ejemplo 6. Tiramos los dados. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par?

Resultados totales: 6, según el número de bandos.
Favorable: 3 resultados. (2, 4, 6)
Probabilidad: 3/6=0,5

Ejemplo 7. Lanzamos dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que el total sea 10? (redondear a la centésima más cercana)

Para un dado hay 6 resultados posibles. Esto significa que para dos, según la regla anterior, 6·6=36.
¿Qué resultados serán favorables para que el total obtenga 10?
10 se debe descomponer en la suma de dos números del 1 al 6. Esto se puede hacer de dos maneras: 10=6+4 y 10=5+5. Esto significa que son posibles las siguientes opciones para los cubos:
(6 en el primero y 4 en el segundo)
(4 en el primero y 6 en el segundo)
(5 en el primero y 5 en el segundo)
En total, 3 opciones. Probabilidad requerida: 3/36=1/12=0,08
Respuesta: 0,08

Otros tipos de problemas de B6 se analizarán en un artículo futuro sobre Cómo resolverlos.

Respuestas a trabajo de prueba según la teoría de la probabilidad ayudará a los estudiantes de primer año que estudian disciplinas matemáticas. Las tareas cubren mucho. material teórico, y el fundamento de su decisión será útil para todos los estudiantes.

Problema 1. Un cubo con todos los bordes pintados se corta en 1000 cubos del mismo tamaño. Determine la probabilidad de que un cubo extraído al azar tenga:

• a) un borde pintado;
• b) dos caras sombreadas.

Cálculos: si el cubo se corta en cubos. mismo tamaño entonces todas las caras se dividirán en 100 cuadrados. (Aproximadamente como en la imagen)
Además, según la condición, el cubo debe tener un borde sombreado; esto significa que los cubos deben pertenecer a Superficie exterior pero no se acueste en los bordes del cubo (2 superficies sombreadas) ni en las esquinas: tienen tres superficies sombreadas.
Por lo tanto, la cantidad requerida es igual al producto de 6 caras por el número de cubos en un cuadrado de tamaño 8*8.
6*8*8=384 – cubos con 1 superficie pintada.
La probabilidad es igual al número de eventos favorables a su número total P=384/1000=0,384.
b) Dos caras sombreadas tienen cubos a lo largo de las aristas sin los vértices del cubo. Habrá 8 de esos cubos en un borde. Hay un total de 12 aristas en el cubo, por lo que las dos caras sombreadas tienen
8*12=96 cubos.
Y la probabilidad de sacarlos entre los 1000 es igual.
P=96/1000=0,096.
Esta tarea está solucionada y pasamos a la siguiente.

Tarea 2. Las letras A, A, A, N, N, C están escritas en tarjetas idénticas. ¿Cuál es la probabilidad de que, al colocar las cartas en fila al azar, obtengamos la palabra PIÑA?
Cálculos: Siempre se debe razonar a partir de lo que se sabe. Dadas 3 letras A, 2-H y 1 - C, hay 6 en total. Comencemos a elegir letras para la palabra "piña". La primera letra es la A, que podemos elegir de 3 formas de 6, porque hay 3 letras A entre las 6 conocidas. Por lo tanto, la probabilidad de sacar A primero es
P1 =3/6=1/2.
La segunda letra es la H, pero no debemos olvidar que después de sacar la A, quedan 5 letras para elegir. Por lo tanto, la probabilidad de sacar el número 2 H es igual a
P2 = 2/5.
Siguiente Una probabilidad de empatar entre los 4 que quedan
P3=2/4.
A continuación, H se puede extraer de la probabilidad
P4 = 1/3.
Cuanto más cerca del final más como, y ya podemos extraer A con
P5=1/2.
Después de esto, sólo queda una carta C, por lo que la probabilidad de sacarla es del 100 por ciento o
P6 =1.
La probabilidad de formar la palabra PIÑA es igual al producto de las probabilidades.
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0,016(6).
En esto se basan tareas similares según la teoría de la probabilidad.

Tarea 3. El comerciante selecciona muestras al azar de un lote de productos. La probabilidad de que un producto tomado al azar sea de la calidad más alta es 0,8. Encuentre la probabilidad de que entre 3 productos seleccionados haya dos productos de mayor calidad.
Cálculos: este ejemplo sobre la aplicación de la fórmula de Bernoulli.
p=0,8; q=1-0,8=0,2.
Calculamos la probabilidad usando la fórmula.

Si no lo explicas en el lenguaje de las fórmulas, entonces necesitas hacer combinaciones de tres eventos, dos de los cuales son favorables y uno no. Esto se puede escribir como la suma de los productos.

Ambas opciones son equivalentes, sólo la primera se puede aplicar en todas las tareas, y la segunda en aquellas similares a la considerada.

Problema 4. De cinco tiradores, dos dieron en el blanco con una probabilidad de 0,6 y tres con una probabilidad de 0,4. ¿Qué es más probable: que un tirador elegido al azar dé en el blanco o no?
Cálculos: Por fórmula probabilidad total Determinamos la probabilidad de que el tirador acierte.
P=2/5*0,6+3/5*0,4=0,24+0,24=0,48.
Probabilidad menor que P<0,5 , следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
La probabilidad de no acertar es

o
P=2/5*(1-0,6)+3/5*(1-0,4)=0,16+0,36=0,52.

Problema 5. De los 20 estudiantes que acudieron al examen, 10 estaban perfectamente preparados (sabían todas las preguntas), 7 estaban bien preparados (sabían 35 preguntas cada uno) y 3 estaban mal preparados (10 preguntas). El programa contiene 40 preguntas. Un estudiante llamado al azar respondió tres preguntas en el boleto. ¿Cuál es la probabilidad de que esté preparado para

• a) excelente;
• b) malo.

Cálculos: La esencia del problema es que el estudiante respondió tres preguntas en el boleto, es decir, todo lo que se le preguntó, pero ahora calcularemos cuál es la probabilidad de obtenerlas.
Encontremos la probabilidad de que el estudiante haya respondido correctamente tres preguntas. Esta será la relación entre el número de estudiantes y todo el grupo multiplicada por la probabilidad de sacar boletos que conozcan entre todos los posibles.

Ahora encontremos la probabilidad de que un estudiante pertenezca a un grupo que esté “excelentemente” preparado. Esto es equivalente a la proporción del primer término de la probabilidad preliminar con respecto a la probabilidad misma.

La probabilidad de que un estudiante pertenezca a un grupo que estaba mal preparado es bastante pequeña e igual a 0,00216.

Esta tarea está completa. Entiéndelo bien y recuerda cómo calcularlo, ya que es común en cuestionarios y exámenes.

Problema 6. Se lanza una moneda 5 veces. Encuentre la probabilidad de que el escudo de armas aparezca menos de 3 veces.
Cálculos: La probabilidad de sacar un escudo o frac es equivalente e igual a 0,5. Menos de 3 veces significa que el escudo puede aparecer 0, 1 o 2 veces. “O” siempre se expresa en probabilidad en operaciones por suma.
Encontramos las probabilidades usando la fórmula de Bernoulli.

Dado que p=q=0.5, entonces la probabilidad es

La probabilidad es 0,5.

Problema 7. Al estampar terminales metálicos se obtiene una media del 90% de los estándar. Encuentre la probabilidad de que entre 900 terminales, al menos 790 y como máximo 820 terminales sean estándar.

Cálculos: Se deben realizar cálculos.

Conferencia 1.

Probabilidad

La teoría de la probabilidad considera fenómenos o experimentos cuyo resultado específico no está determinado únicamente por las condiciones del experimento (aleatorio), sino por los resultados. gran número Los experimentos en promedio se pueden predecir (la propiedad de la estabilidad estadística).

Un evento elemental (un resultado elemental) Cualquier evento se denomina resultado de una experiencia que no puede representarse como una combinación de otros eventos. Dado que el resultado del experimento es aleatorio, entonces cualquier evento elemental es aleatorio, de ahora en adelante hablaremos simplemente de eventos, sin enfatizar su aleatoriedad.

El espacio de los acontecimientos elementales.W.(resultados) se llama conjunto de todos los eventos elementales (resultados). (w 1 , …wn n … ), si como resultado del experimento se produce cualquiera de los resultados elementales y solo uno (un resultado excluye cualquier otro). El espacio de eventos elementales puede contener un conjunto finito, contable e incluso infinito de eventos elementales.

Por un evento aleatorio (evento) se llama subconjunto del espacio de eventos elementales. Cualquier conjunto es una colección de elementos. Los elementos de un evento son los eventos elementales que componen ese evento.

Ejemplo. Se lanza una moneda y puede caer en cara (w 1 = G) o cruz (w 1 = P). W=(G,P).

Ejemplo. Se lanzan dos monedas W = ((G, G), (G,P), (P,G), (P,P))

Ejemplo. Una gota de lluvia cae sobre un área rectangular.

W= ((x,y), a

evento confiable– un evento que siempre ocurre como resultado de una experiencia dada, contiene todos los eventos elementales y se denota por W.

Evento imposible– un evento que no puede ocurrir como resultado de una experiencia determinada, no contiene eventos elementales y se denota Æ.

Acciones sobre eventos.

Los eventos se definen como conjuntos, por lo que las acciones sobre ellos son similares a las acciones sobre conjuntos y están bien ilustradas mediante diagramas de Venn.

Espacio W. Denotaremos un rectángulo, un evento elemental – un punto del rectángulo, y cada evento – un subconjunto de puntos de este rectángulo. El resultado de la operación sobre eventos estará sombreado.

Deje que las cartas se seleccionen de una baraja de cartas. Evento A – elección de una tarjeta roja, evento B – elección de diez

Propiedades de las operaciones de eventos

1. = Ø6. A = Un

2. A + A = A 7. AØ = Ø Corto. Si A EN, Eso

3. A A = A 8 = AA + B = B

4. A + = 9. A B = A

5. A + Ø = A 10. = Ø

Conmutatividad de operaciones

A + B = B + A; A B = B A

Asociatividad de operaciones

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C A(B C) = (A B) C = A B C

Distributividad de la operación de suma relativa a multiplicación.

A (B + C) = A B + A C

Distributividad de la operación de multiplicación relativa a la suma.

A + (B C) = (A + B)(A + C)

Ejemplo. Calculemos (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC.

En efecto, BAÌA, ACÌA, AA=A, luego AA+BA=A, A+AC=A.

Regla de dualidad (teorema de de Morgan)

Para cualquier evento complejo expresado a través de la suma y el producto (incluso de un número contable) de eventos, el evento opuesto se puede obtener reemplazando los eventos con sus opuestos y reemplazando el signo del producto con el signo de la suma, y ​​el signo de la suma con el signo del producto, dejando inalterado el orden de las operaciones

Ejemplo .

Álgebra de eventos.

Sea W el espacio de eventos elementales. Un álgebra de eventos S es un sistema de eventos aleatorios S tal que

1) SÉW, 2) " A, B Ì S Þ A+BÌS, ABÌS, ABÌS.

Corolario Æ= WW Ì S

Sea W un número finito de elementos, W= (w 1 ,…w n ). Entonces el álgebra S puede construirse como el conjunto de todos los subconjuntos de W.

S=(Æ, (w 1 ), … (w n ), (w 1 ,w 2 ), …(w 1 ,w n ), …(w n -1 ,wn ), …(w 1, …, w n )) , tiene solo 2 n elementos

El álgebra para un número contable de eventos se construye de manera similar.

Si como resultado del experimento se supo si los eventos A, B ocurrieron o no, entonces podemos concluir si los eventos A + B, AB, AB ocurrieron o no, por lo tanto, los eventos deben seleccionarse de una determinada clase: la álgebra de eventos.

Para un número infinito (no contable) de eventos, la clase de eventos debe reducirse. Se introduce el s-álgebra de eventos.

Álgebra sigma (s-álgebra) de eventosB es un sistema no vacío de subconjuntos del espacio de eventos elementales tal que

2) A 1 , A 2 , …A n , …ÌBÞ(A 1 +A 2 + …+A n +, …)ÌB, …ÌB.

Cualquier álgebra de eventos sigma es un álgebra de eventos, pero no al revés.

Probabilidad.

Definición clásica de probabilidad de evento.

En la definición clásica de probabilidad, se supone que el espacio de eventos elementales Ω contiene un número finito de resultados elementales, todos los cuales son igualmente posibles.

Casos Se denominan eventos igualmente posibles e incompatibles que forman un grupo completo.

En la definición clásica de probabilidad estamos dentro del marco de casos en el sentido de que Los eventos elementales son igualmente posibles, es decir. representan casos.

Dejar norte– número total de casos en Ω , A norteA – número de casos que forman un evento A(o, como dicen, favorable al evento A).

Definición. Probabilidad del evento A se llama razón numérica N / A casos favorables al evento A sobre el número total N de casos, es decir PAG(A) = . Esta definición de la probabilidad de un evento generalmente se llama definición clásica de probabilidad.

Ejemplos. 1. Lanzar un dado. Ω = {w 1 , w 2 ,…, w 6 } norte = 6.

A – el número de puntos es múltiplo de tres A = ( w 3 , w 6 } N / A = 2.

2. Lanzar 2 dados. Ω = {w 11 , w 12 ,…, w 66 }; norte =36.

wkl = (ak, bl), k, yo =

A– la suma de números (puntos) es 5. A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; N / A = 4

.

3. Una urna contiene bolas a blancas y b negras. Experiencia: se extrae una bola.

A – bola negra.

Con base en la definición clásica de probabilidad, es fácil demostrar las propiedades de la probabilidad:

1) PAG( Ω ) = 1 (N / A = norte);

3) si A B= Ø, entonces P(A + B) = P(A) + P(B)( N / A + B= N / A+ nótese bien)

y sus consecuencias

4) R(Ø) = 0 ( norte Ø) = 0;

5) P() = 1- P(A) ( = Ø, P(A) + P( ) = 1);

6) Si, entonces PENSILVANIA) P(B) (N / A nótese bien).

En la aplicación práctica de la fórmula de probabilidad clásica, lo más difícil es determinar el número total de resultados igualmente posibles y el número de resultados favorables.

aqui se usa Principio básico de la combinatoria: Sea alguna operación P una secuencia de n operaciones P k (k=1,…n), cada una de las cuales se puede realizar de m r maneras. Entonces la operación P se puede realizar de varias maneras.

Seleccionemos m elementos (por ejemplo, bolas) de n elementos uno por uno. Podemos devolver la siguiente bola (al número de n bolas), luego con cada siguiente selección tendremos las mismas n bolas. Una muestra así se llama muestra. bienvenido de nuevo. O puede que no devolvamos la pelota, entonces con cada elección elegiremos entre un número cada vez menor de pelotas. Una muestra así se llama muestra. sin retorno. Por otro lado, podemos tener en cuenta orden la aparición de bolas. Esta muestra se llama ordenada o alojamiento desdenortebolas pormetropelotas. Si al elegir no se tiene en cuenta el orden de las bolas, solo importa qué bolas se seleccionan, pero no en qué orden, entonces dicha selección se llama desordenado o combinación denortebolas pormetropelotas. Averigüemos de cuántas maneras se puede hacer una muestra en particular.

Las fórmulas para ubicaciones se obtienen fácilmente a partir del principio de combinatoria. Para pasar de colocaciones (sin devoluciones) a combinaciones (sin devoluciones), es necesario ordenar las selecciones, es decir, excluir aquellos que difieren sólo en el orden de los elementos. Las muestras que difieren sólo en el orden de los elementos se llaman permutaciones. El número de permutaciones de m elementos es igual a P m ==m!. Es por eso .

Aceptaremos la fórmula para combinaciones con recurrencia sin prueba (su prueba se da en el número XV1 en las páginas 50 – 51).

Ejemplo. Se seleccionan dos bolas (m=2) de una urna que contiene 3 bolas (n=3). Presentemos estas muestras.

1) Alojamiento con regreso

(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) = 3 2 = 9.

2) Alojamiento (no reembolsable) (1.2) (1.3) (2.1) (2.3) (3.1) (3.2) .

3) Combinaciones con retorno (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)

4) Combinaciones (sin retorno) (1,2) (1,3) (2,3) .

Ejemplo. El problema del muestreo de piezas defectuosas..

En un lote de N piezas idénticas, M son defectuosas. Selecciona (sin regresar) n partes. ¿Cuál es la probabilidad de que entre ellos haya exactamente m defectuosos?

El número total de casos (combinaciones de N partes por n) es igual a . Seleccionamos m piezas defectuosas entre M defectuosas, pero al mismo tiempo seleccionamos (n-m) piezas sin defectos entre N-M piezas sin defectos. Entonces, según el principio básico de la combinatoria, esta elección se ve favorecida por los casos. Por tanto, la probabilidad deseada es igual a .

probabilidad geométrica

La fórmula de probabilidad clásica se aplica sólo en el esquema de casos, lo cual es bastante raro. Actitud PAG(A)=N / A/ norte representa la “fracción” de resultados favorables entre todos los resultados posibles. De manera similar, la probabilidad de un evento se calcula en algunos casos más complejos cuando hay infinito número igualmente posible resultados.

Ejemplo. Problema de reunión. Dos estudiantes acordaron encontrarse de 10 a 11 horas en un lugar determinado, y el primero en llegar al lugar espera a un amigo durante 15 minutos y se va. ¿Cuál es la probabilidad de encontrarse?

Elijamos el origen del sistema de coordenadas en el punto (10, 10). Tracemos a lo largo de los ejes del sistema de coordenadas x - la hora de llegada del primer estudiante, y - la hora de llegada del segundo estudiante.

Entonces el conjunto |x-y|<1/4, 0

Contiene puntos de encuentro (eventos) para estudiantes. Su medida (área) colina baja es igual a 1- (3/4) 2 = 7/16. Como mesW =1, entonces P(A) = 7/16.

Probabilidad estadística

Las fórmulas de probabilidad clásica y probabilidad geométrica son válidas sólo para el caso igualmente posible resultados. En realidad, en la práctica tenemos desigualmente posible resultados. En estos casos, puede determinar la probabilidad de un evento aleatorio utilizando el concepto frecuencia de eventos . Supongamos que necesitamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento en una prueba. A. Para ello, se realizan pruebas en condiciones idénticas, en cada una de las cuales son posibles dos resultados: A Y . Frecuencia eventos A llamaremos la razón del número N / A ensayos en los que el evento A se registró en el número total norte pruebas.

Probabilidad del evento A se llama el límite de la frecuencia del evento A con un aumento ilimitado en el número de pruebasnorte, aquellos. . Así se determina probabilidad estadística de un evento .

Tenga en cuenta que según las definiciones clásica, geométrica y estadística, la probabilidad de un evento P(A) tiene tres propiedades principales:

P(A)³0, 2) P(W)=1, 3) P(A 1 + …+A n) = P(A 1) + …+P(A n), si A 1, A n son por pares inconsistente. Sin embargo, en estas definiciones se supone que los eventos elementales son igualmente posibles.

UN. Kolmogorov abandonó el supuesto de igualdad de posibilidades de eventos elementales, introdujo el álgebra sigma de eventos y extendió la tercera propiedad a un número contable de eventos. Esto hizo posible dar una definición axiomática de la probabilidad de un evento.

Definición axiomática de probabilidad(según A.N. Kolmogorov).

La probabilidad P(A) es una función numérica definida en el álgebra sigma de eventos que satisface tres axiomas:

1) no negatividad P(A)³0, "AÎB - sigma – álgebra de eventos en W

2) normalización P(W) = 1

3) axioma de suma extendida: para cualquier evento incompatible por pares A 1 , ... A n ... satisfecho

P(A 1 + …+A n + …) = P(A 1) + …+P(A n) +…

(aditividad contable).

Entonces, según A.N. Kolmogórov la probabilidad (medida de probabilidad) es una función numérica no negativa, normalizada y contablemente aditiva (conjuntos – eventos) definida en el álgebra sigma de eventos.

Si W consta de un número finito o contable de eventos, entonces el álgebra S de eventos puede considerarse como el álgebra sigma B. Entonces, según el axioma 3, la probabilidad de cualquier evento A es igual a la suma de las probabilidades de los eventos elementales que componen A.

Espacio de probabilidad llamado triple (W, B, P).

Propiedades de la probabilidad

1) . De hecho, son incompatibles. Según el axioma 3.

2) P(Æ) = 0. Dado que "A A+Æ = A, por el axioma 3 P(A+Æ) = P(A) + P(Æ) = P(A) ÞP(Æ) = 0

3) Si AÌ B, entonces P(A) £ P(B). Dado que B = A+ BA, por el axioma 3 P(B) = P(A) + P(BA), pero por el axioma 1 P(BA)³0

Ejemplo. De una urna con cuatro bolas con los números 1, 2, 3, 4 se saca una bola al azar tres veces y se anota su número a) devolviendo las bolas b) sin devolver las bolas. ¿Cuál es la probabilidad de 1) obtener una combinación de 111, 2) formar una secuencia creciente a partir de los números de bolas?

En el caso a) tenemos colocaciones con retorno, N = 4 3, 1), N A =1, P = ¼ 3, 2) N A =, ya que una secuencia creciente siempre puede estar compuesta por números no repetidos, P = / 4 3.

En el caso b) N = ,1) P = 0, ya que los números de las bolas no se repiten, entonces N A =0, 2) P = 1, ya que N = N A = .

Ejemplo. Cinco personas suben a un tren subterráneo compuesto por cinco vagones. ¿Cuál es la probabilidad de que terminen en autos diferentes?

El número total de eventos elementales es igual al número de colocaciones con repetición de cinco elementos de cinco N = 5 5 . ¡El número de eventos elementales que componen A es 5! Por lo tanto P = 5!/ 5 5.

Las conferencias 1 y 2 se escribieron a partir de las conferencias de V.F. Panov con la adición de material original y ejemplos.

Teoría de la probabilidad y estadística matemática

1. La asignatura de teoría de la probabilidad y su importancia para la resolución de problemas económicos y técnicos. Probabilidad y su definición.

Durante mucho tiempo, la humanidad estudió y utilizó únicamente los llamados patrones deterministas para sus actividades. Sin embargo, dado que los eventos aleatorios irrumpen en nuestras vidas sin nuestro deseo y nos rodean constantemente, y además, dado que casi todos los fenómenos naturales son aleatorios por naturaleza, es necesario aprender a estudiarlos y desarrollar métodos de estudio para este propósito.

Según la forma de manifestación de las relaciones causales, las leyes de la naturaleza y la sociedad se dividen en dos clases: deterministas (predeterminadas) y estadísticas.

Por ejemplo, basándose en las leyes de la mecánica celeste, basándose en las posiciones actualmente conocidas de los planetas del sistema solar, su posición en un momento dado se puede predecir casi sin ambigüedades, incluidos los eclipses solares y lunares se pueden predecir con mucha precisión. Este es un ejemplo de leyes deterministas.

Sin embargo, no todos los fenómenos pueden predecirse con precisión. Por lo tanto, los cambios climáticos a largo plazo y los cambios climáticos a corto plazo no son objetos para una predicción exitosa, es decir, muchas leyes y patrones encajan mucho menos en un marco determinista. Este tipo de leyes se denominan leyes estadísticas. Según estas leyes, el estado futuro del sistema no se determina de forma inequívoca, sino sólo con una cierta probabilidad.

La teoría de la probabilidad, como otras ciencias matemáticas, revivió y se desarrolló a partir de las necesidades de la práctica. Ella estudia los patrones inherentes a eventos aleatorios masivos.

La teoría de la probabilidad estudia las propiedades de eventos aleatorios masivos que pueden repetirse muchas veces cuando se reproduce un determinado conjunto de condiciones. La propiedad principal de cualquier evento aleatorio, independientemente de su naturaleza, es la medida o probabilidad de que ocurra.

Los eventos (fenómenos) que observamos se pueden dividir en tres tipos: confiables, imposibles y aleatorios.

Un evento que es seguro que sucederá se llama cierto. Imposible es un evento que sabemos que no sucederá. Un evento aleatorio es un evento que puede suceder o no suceder.

La teoría de la probabilidad no se propone la tarea de predecir si un evento ocurrirá o no, ya que es imposible tener en cuenta la influencia de todas las causas en un evento aleatorio. Por otro lado, resulta que un número suficientemente grande de eventos aleatorios homogéneos, independientemente de su naturaleza específica, están sujetos a ciertos patrones, a saber, patrones probabilísticos.

Entonces, el tema de la teoría de la probabilidad es el estudio de patrones probabilísticos de eventos aleatorios masivos y homogéneos.

Algunos problemas relacionados con fenómenos aleatorios de masas se intentaron resolver utilizando el aparato matemático adecuado ya a principios del siglo XVII. Al estudiar el curso y los resultados de varios juegos de azar, B. Pascal, P. Fermat y H. Huygens sentaron las bases de la teoría clásica de la probabilidad a mediados del siglo XVII. En sus obras utilizaron implícitamente los conceptos de probabilidad y expectativa matemática variable aleatoria. Sólo a principios del siglo XVIII. J. Bernoulli formula el concepto de probabilidad.

La teoría de la probabilidad debe otros éxitos a Moivre, Laplace, Gauss, Poisson y otros.

Los matemáticos rusos y soviéticos como P.L. hicieron una enorme contribución al desarrollo de la teoría de la probabilidad. Chebyshev, A.A. Markov, A.M. Lyapunov, S.N. Bernstein, A.N. Kolmogorov, A.Ya. Khinchin, A. Prokhorov y otros.

Un lugar especial en el desarrollo de la teoría de la probabilidad pertenece a la escuela uzbeka, cuyos representantes destacados son los académicos V.I. Romanovsky, S.Kh. Sirazhdinov, T.A. Sarymsakov, T.A. Azlarov, Sh.K. Farmanov, profesor I.S. Badalbaev, M.U. Gafurov, Sh.A. Khashimov y otros.

Como ya se señaló, las necesidades de la práctica, que contribuyeron al surgimiento de la teoría de la probabilidad, alimentaron su desarrollo como ciencia, lo que llevó al surgimiento de cada vez más ramas y secciones. Basado en la teoría de la probabilidad. estadística matemática, cuya tarea es restablecer, a partir de una muestra, con un cierto grado de fiabilidad, las características inherentes a la población general. Ramas de la ciencia como la teoría de los procesos aleatorios, la teoría de las colas, la teoría de la información, la teoría de la confiabilidad, los modelos econométricos, etc., se han separado de la teoría de la probabilidad.

Las áreas más importantes de aplicación de la teoría de la probabilidad incluyen las ciencias económicas y técnicas. Actualmente, es difícil imaginar el estudio de los fenómenos económicos y técnicos sin modelización basada en la teoría de la probabilidad, sin modelos de análisis de correlación y regresión, adecuación y modelos adaptativos “sensibles”.

Los eventos que ocurren en el flujo del tráfico, el grado de confiabilidad de los componentes del automóvil, los accidentes automovilísticos en la carretera, diversas situaciones en el proceso de diseño de la carretera debido a su indeterminismo se incluyen en la gama de problemas estudiados utilizando métodos de la teoría de la probabilidad.

Los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad son experiencia o experimento y eventos. Llamamos experimento a las acciones que se llevan a cabo bajo determinadas condiciones y circunstancias. Cada implementación específica de un experimento se llama prueba.

Cada resultado concebible de un experimento se llama evento elemental y se denota por. Los eventos aleatorios constan de un cierto número de eventos elementales y se denotan por A, B, C, D,...

Un conjunto de eventos elementales tales que

1) como resultado de un experimento, siempre ocurre uno de los eventos elementales;

2) durante una prueba, solo ocurrirá un evento elemental, llamado espacio de eventos elementales y denotado por.

Por tanto, cualquier evento aleatorio es un subconjunto del espacio de eventos elementales. Por definición del espacio de eventos elementales, un evento confiable puede denotarse por. Un evento imposible se denota por.

Ejemplo 1: se lanza un dado. El espacio de eventos elementales correspondiente a este experimento tiene la siguiente forma:

Ejemplo 2. Deja que la urna contenga 2 rojas, 3 azules y 1 blanca, para un total de 6 bolas. El experimento consiste en sacar bolas al azar de una urna. El espacio de eventos elementales correspondiente a este experimento tiene la siguiente forma:

donde los acontecimientos elementales tienen los siguientes significados: - apareció una bola blanca; - apareció una bola roja; - apareció una bola azul. Considere los siguientes eventos:

A - la aparición de una bola blanca;

B - la aparición de una bola roja;

C - la aparición de una bola azul;

D: la apariencia de una bola de color (no blanca).

Aquí vemos que cada uno de estos eventos tiene uno u otro grado de posibilidad: algunos son mayores, otros son menos. Obviamente, el grado de posibilidad del evento B es mayor que el del evento A; eventos C - que eventos B; eventos D - que eventos C. Para comparar cuantitativamente eventos entre sí según el grado de posibilidad, obviamente, es necesario asociar un cierto número con cada evento, que es mayor cuanto más posible sea el evento.

Denotamos este número por y lo llamamos probabilidad del evento A. Demos ahora la definición de probabilidad.

Sea el espacio de eventos elementales un conjunto finito y sean sus elementos. Supondremos que son eventos elementales igualmente posibles, es decir cada evento elemental no tiene mayores posibilidades de ocurrir que otros. Como es sabido, cada evento aleatorio A consta de eventos elementales como un subconjunto. Estos eventos elementales se denominan favorables para A.

La probabilidad del evento A está determinada por la fórmula

donde m es el número de eventos elementales favorables para A, n es el número de todos los eventos elementales incluidos en.

Si en el ejemplo 1 A denota el evento en el que aparecerá un número par de puntos, entonces

En el ejemplo 2, las probabilidades de eventos tienen los siguientes valores:

Las siguientes propiedades se derivan de la definición de probabilidad:

1. La probabilidad de un evento confiable es igual a uno.

De hecho, si un evento es confiable, entonces todos los eventos elementales lo favorecen. En este caso m=n y por lo tanto

2. La probabilidad de un evento imposible es cero.

De hecho, si un evento es imposible, entonces ningún evento elemental lo favorece. En este caso m=0 y por lo tanto

3. La probabilidad de un evento aleatorio es un número positivo entre cero y uno.

De hecho, sólo una parte del número total de eventos elementales favorece un evento aleatorio. En este caso, y por tanto, y por tanto,

Entonces, la probabilidad de cualquier evento satisface las desigualdades.

La frecuencia relativa de un evento es la relación entre el número de ensayos en los que ocurrió el evento y el número total de ensayos realmente realizados.

Por tanto, la frecuencia relativa del evento A está determinada por la fórmula

donde m es el número de ocurrencias del evento, n es el número total de ensayos.

Comparando las definiciones de probabilidad y frecuencia relativa, concluimos: la definición de probabilidad no requiere que las pruebas se realicen realmente; La determinación de la frecuencia relativa supone que las pruebas se llevaron a cabo realmente.

Ejemplo 3. De 80 piezas idénticas seleccionadas al azar, se identificaron 3 defectuosas. La frecuencia relativa de piezas defectuosas es

Ejemplo 4. Durante el año se realizaron 24 inspecciones en una de las instalaciones y se registraron 19 violaciones a la ley. La frecuencia relativa de violaciones de la ley es

Las observaciones a largo plazo han demostrado que si los experimentos se llevan a cabo en condiciones idénticas, en cada una de las cuales el número de pruebas es bastante grande, entonces la frecuencia relativa cambia poco (cuanto menos, más pruebas se realizan), fluctuando alrededor de una cierta constante número. Resultó que este número constante es la probabilidad de que ocurra el evento.

Por tanto, si la frecuencia relativa se establece experimentalmente, entonces el número resultante puede tomarse como un valor de probabilidad aproximado. Ésta es la definición estadística de probabilidad.

En conclusión, veamos la definición geométrica de probabilidad.

Si el espacio de eventos elementales se considera como un área determinada en un plano o en el espacio, y A como su subconjunto, entonces la probabilidad del evento A se considerará como la relación de las áreas o volúmenes de A y, y se encontrará según las siguientes fórmulas:

Preguntas para repetición y control:

1. ¿En qué clases se dividen las leyes de la naturaleza y la sociedad según la forma de manifestación de las relaciones causales?

2. ¿En qué tipos de eventos se pueden dividir?

3. ¿Cuál es el tema de la teoría de la probabilidad?

4. ¿Qué sabes sobre la historia del desarrollo de la teoría de la probabilidad?

5. ¿Cuál es la importancia de la teoría de la probabilidad para los problemas económicos y técnicos?

6. ¿Qué es un experimento, prueba, evento elemental y evento, cómo se designan?

7. ¿Cómo se llama el espacio de eventos elementales?

8. ¿Cómo se determina la probabilidad de un evento?

9. ¿Qué propiedades de la probabilidad conoces?

10. ¿Qué sabes sobre la frecuencia relativa de un evento?

11. ¿Cuál es la esencia de la definición estadística de probabilidad?

12. ¿Cuál es la definición geométrica de probabilidad?

Biografía y obra de A.N.

La teoría de la probabilidad elemental es esa parte de la teoría de la probabilidad en la que uno tiene que tratar con las probabilidades de sólo un número finito de eventos. La teoría de la probabilidad como disciplina matemática...

Espacio vectorial. Resolver problemas de programación lineal gráficamente.

Ahora veamos varios problemas de programación lineal y resolvámoslos gráficamente. Problema 1. máx Z = 1+ - , . Solución. Tenga en cuenta que los semiplanos definidos por el sistema de desigualdades de este problema no tienen puntos comunes (Figura 2, luego F(X) = .

Dejar X Î ( b,+¥], entonces F(X) = = 0 + .

Encontremos la mediana X 0,5. Tenemos F(X 0,5) = 0,5, por lo tanto

Entonces, la mediana de la distribución uniforme coincide con la mitad del segmento. La figura 1 muestra el gráfico de densidad. R(X) y funciones de distribución F(X)

para una distribución uniforme.

Distribución normal

Definición 7. Una variable aleatoria continua tiene una distribución normal, con dos parámetros a, s, si

, s>0. (5)

El hecho de que una variable aleatoria tenga una distribución normal se escribirá brevemente en la forma X ~ norte(a;s).

demostremos que pag(X) - densidad

(mostrado en la conferencia 6).

Gráfico de densidad distribución normal(Fig. 3) se llama curva normal (curva gaussiana).

La densidad de distribución es simétrica con respecto a una línea recta. X = a. Si X® ¥, entonces R(X) ® 0. A medida que s disminuye, la gráfica se “contrae” con el eje de simetría X = a.

Juegos de distribución normal papel especial en teoría de la probabilidad y sus aplicaciones. Esto se debe a que, de acuerdo con el informe central teorema del límite teoría de la probabilidad, cuando se cumplen ciertas condiciones, la suma de un gran número variables aleatorias tiene una distribución “aproximadamente” normal.

Porque - densidad ley normal distribuciones con parámetros A= 0 y s =1, entonces la función = F(X), que se utiliza para calcular la probabilidad , es la función de distribución de la distribución normal con parámetros A= 0 y s =1.

Función de distribución de una variable aleatoria. X con parámetros arbitrarios A, s se puede expresar mediante F(X) – función de distribución de una variable aleatoria normal con parámetros A= 0 y s =1.

Dejar X ~ norte(a;s), entonces

. (6)

Hagamos un cambio de variables bajo el signo integral, obtenemos

=

F(X) = . (7)

EN aplicaciones prácticas La teoría de la probabilidad a menudo requiere encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor de un intervalo determinado. De acuerdo con la fórmula (7), esta probabilidad se puede encontrar a partir de valores de la tabla Funciones de Laplace

Encontremos la mediana de una variable aleatoria normal. X ~ norte(a;s). Dado que la densidad de distribución p(x) es simétrica con respecto al eje X = A, Eso

R(X < a) = pag(X > a) = 0,5.

Por tanto, la mediana de una variable aleatoria normal coincide con el parámetro A:

X 0,5 = A.

Tarea 1. Los trenes de metro pasan cada 2 minutos. El pasajero ingresa al andén en algún momento. El tiempo X durante el cual tendrá que esperar el tren es una variable aleatoria distribuida con densidad uniforme en el área (0, 2) min. Encuentre la probabilidad de que un pasajero no tenga que esperar más de 0,5 minutos para el siguiente tren.

Solución. Es obvio que pag(x)= 1/2. Entonces, P 0,5 = R( 1,5 2) = = 0,25