Probabilidad El evento se llama razón numérica. resultados elementales, favorable este evento, al número de todos los resultados igualmente posibles de la experiencia en la que puede aparecer este evento. La probabilidad del evento A se denota por P(A) (aquí P es la primera letra Palabra francesa probabilidad - probabilidad). Según la definición
(1.2.1)
¿Dónde está el número de resultados elementales favorables al evento A? - el número de todos los resultados elementales igualmente posibles del experimento, formando grupo completo eventos.
Esta definición de probabilidad se llama clásica. Surgió el etapa inicial desarrollo de la teoría de la probabilidad.

La probabilidad de un evento tiene las siguientes propiedades:
1. probabilidad evento confiable igual a uno. Denotemos un evento confiable con la letra . Por lo tanto, para un determinado evento
(1.2.2)
2. La probabilidad de un evento imposible es cero. Denotemos un evento imposible con la letra. Para un evento imposible, por lo tanto
(1.2.3)
3. Probabilidad evento al azar es expresado numero positivo, menos que uno. Dado que para un evento aleatorio se satisfacen las desigualdades , o , entonces
(1.2.4)
4. La probabilidad de cualquier evento satisface las desigualdades.
(1.2.5)
Esto se desprende de las relaciones (1.2.2) - (1.2.4).

Ejemplo 1. Una urna contiene 10 bolas de igual tamaño y peso, de las cuales 4 son rojas y 6 son azules. Se extrae una bola de la urna. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea azul?

Solución. Denotamos el evento “la bola extraída resultó ser azul” con la letra A. Esta prueba tiene 10 resultados elementales igualmente posibles, de los cuales 6 favorecen el evento A. De acuerdo con la fórmula (1.2.1), obtenemos

Ejemplo 2. Todos los números naturales del 1 al 30 se escriben en tarjetas idénticas y se colocan en una urna. Después de barajar bien las cartas, se retira una carta de la urna. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la tarjeta extraída sea múltiplo de 5?

Solución. Denotemos por A el evento "el número de la tarjeta tomada es múltiplo de 5". En esta prueba hay 30 resultados elementales igualmente posibles, de los cuales el evento A se ve favorecido por 6 resultados (los números 5, 10, 15, 20, 25, 30). Por eso,

Ejemplo 3. Se lanzan dos dados y se calculan los puntos totales. caras superiores. Encuentre la probabilidad del evento B tal que las caras superiores de los dados tengan un total de 9 puntos.

Solución. En esta prueba sólo hay 6 2 = 36 resultados elementales igualmente posibles. El evento B se ve favorecido por 4 resultados: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), por lo tanto

Ejemplo 4. Seleccionado al azar número natural, sin exceder 10. ¿Cuál es la probabilidad de que este número sea primo?

Solución. Denotemos con la letra C el evento “el número elegido es primo”. EN en este caso norte = 10, metro = 4 ( números primos 2, 3, 5, 7). Por lo tanto, la probabilidad requerida

Ejemplo 5. Se lanzan dos monedas simétricas. ¿Cuál es la probabilidad de que haya números en las caras superiores de ambas monedas?

Solución. Denotemos con la letra D el evento "hay un número en la parte superior de cada moneda". En esta prueba hay 4 resultados elementales igualmente posibles: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (La notación (G, C) significa que la primera moneda tiene un escudo de armas, la segunda tiene un número). El evento D se ve favorecido por un resultado elemental (C, C). Como m = 1, n = 4, entonces

Ejemplo 6.¿Cuál es la probabilidad de que un número de dos cifras elegido al azar tenga los mismos dígitos?

Solución. números de dos dígitos son números del 10 al 99; Hay 90 números de este tipo en total. 9 números tienen dígitos idénticos (estos son los números 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Como en este caso m = 9, n = 90, entonces
,
donde A es el evento "número con dígitos idénticos".

Ejemplo 7. De las letras de la palabra. diferencial Se elige una letra al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esta letra sea: a) vocal, b) consonante, c) letra? h?

Solución. La palabra diferencial tiene 12 letras, de las cuales 5 son vocales y 7 son consonantes. Letras h no hay nada en esta palabra. Designemos los eventos: A - “letra vocal”, B - “letra consonante”, C - “letra h". El número de resultados elementales favorables: - para el evento A, - para el evento B, - para el evento C. Dado que n = 12, entonces
, Y .

Ejemplo 8. Se lanzan dos dados y se anota el número de puntos en la parte superior de cada dado. Calcula la probabilidad de que ambos dados lancen mismo número puntos.

Solución. Denotemos este evento con la letra A. El evento A se ve favorecido por 6 resultados elementales: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). El número total de resultados elementales igualmente posibles que forman un grupo completo de eventos, en este caso n=6 2 =36. Esto significa que la probabilidad requerida

Ejemplo 9. El libro tiene 300 páginas. ¿Cuál es la probabilidad de que una página abierta al azar tenga un número de serie divisible por 5?

Solución. De las condiciones del problema se deduce que todos los resultados elementales igualmente posibles que forman un grupo completo de eventos serán n = 300. De estos, m = 60 favorecen la ocurrencia del evento especificado. De hecho, un número que es múltiplo de 5 tiene la forma 5k, donde k es un número natural, y , de donde . Por eso,
, donde A - el evento "página" tiene un número de secuencia que es múltiplo de 5".

Ejemplo 10. Se lanzan dos dados y se calcula la suma de los puntos de las caras superiores. ¿Qué es más probable: obtener un total de 7 u 8?

Solución. Designemos los eventos: A - “se obtienen 7 puntos”, B – “se obtienen 8 puntos”. El evento A se ve favorecido por 6 resultados elementales: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), y el evento B se ve favorecido. por 5 resultados: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Todos los resultados elementales igualmente posibles son n = 6 2 = 36. Por tanto, Y .

Entonces, P(A)>P(B), es decir, obtener un total de 7 puntos es un evento más probable que obtener un total de 8 puntos.

Tareas

1. Se elige al azar un número natural que no excede 30. ¿Cuál es la probabilidad de que este número sea múltiplo de 3?
2. En la urna a rojo y b bolas azules, idénticas en tamaño y peso. ¿Cuál es la probabilidad de que una bola extraída al azar de esta urna sea azul?
3. Se elige al azar un número que no excede 30. ¿Cuál es la probabilidad de que este número sea divisor de 30?
4. En la urna A azul y b bolas rojas, idénticas en tamaño y peso. Se saca una bola de esta urna y se reserva. Esta bola resultó ser roja. Después de esto, se extrae otra bola de la urna. Calcula la probabilidad de que la segunda bola también sea roja.
5. Se elige al azar un número nacional que no exceda de 50. ¿Cuál es la probabilidad de que este número sea primo?
6. Se lanzan tres dados y se calcula la suma de los puntos de las caras superiores. ¿Qué es más probable: obtener un total de 9 o 10 puntos?
7. Se lanzan tres dados y se calcula la suma de los puntos obtenidos. ¿Qué es más probable: obtener un total de 11 (evento A) o 12 puntos (evento B)?

Respuestas

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - probabilidad de obtener 9 puntos en total; p 2 = 27/216 - probabilidad de obtener 10 puntos en total; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Preguntas

1. ¿Cómo se llama la probabilidad de un evento?
2. ¿Cuál es la probabilidad de un evento confiable?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra un evento imposible?
4. ¿Cuáles son los límites de la probabilidad de un evento aleatorio?
5. ¿Cuáles son los límites de la probabilidad de cualquier evento?
6. ¿Qué definición de probabilidad se llama clásica?

Traído a la fecha en frasco abierto Problemas del Examen Estatal Unificado de Matemáticas (mathege.ru), cuya solución se basa en una sola fórmula, que es definición clásica probabilidades.

La forma más sencilla de entender la fórmula es con ejemplos.
Ejemplo 1. Hay 9 bolas rojas y 3 bolas azules en la canasta. Las bolas se diferencian sólo en el color. Sacamos uno de ellos al azar (sin mirar). ¿Cuál es la probabilidad de que la bola elegida de esta manera sea azul?

Un comentario. En los problemas de teoría de la probabilidad, sucede algo (en este caso, nuestra acción de sacar la pelota) que puede tener un resultado diferente: un desenlace. Cabe señalar que el resultado se puede considerar de diferentes maneras. “Sacamos una especie de pelota” también es un resultado. “Sacamos la bola azul”: el resultado. "Sacamos exactamente esta bola de todas las bolas posibles": esta visión menos generalizada del resultado se denomina resultado elemental. Son los resultados elementales los que se entienden en la fórmula para calcular la probabilidad.

Solución. Ahora calculemos la probabilidad de elegir la bola azul.
Evento A: “la bola seleccionada resultó ser azul”
Número total de todos los resultados posibles: 9+3=12 (el número de todas las bolas que podríamos sacar)
Número de resultados favorables para el evento A: 3 (el número de resultados en los que ocurrió el evento A, es decir, el número de bolas azules)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Respuesta: 0,25

Para el mismo problema, calculemos la probabilidad de elegir una bola roja.
El número total de resultados posibles seguirá siendo el mismo, 12. Número de resultados favorables: 9. Probabilidad buscada: 9/12=3/4=0,75

La probabilidad de cualquier evento siempre está entre 0 y 1.
A veces en discurso cotidiano(¡pero no en la teoría de la probabilidad!) la probabilidad de los eventos se estima como un porcentaje. La transición entre puntuaciones de matemáticas y conversación se logra multiplicando (o dividiendo) por 100%.
Entonces,
Además, la probabilidad es cero para eventos que no pueden suceder: increíble. Por ejemplo, en nuestro ejemplo esta sería la probabilidad de sacar una bola verde de la canasta. (El número de resultados favorables es 0, P(A)=0/12=0, si se calcula mediante la fórmula)
La probabilidad 1 tiene eventos que es absolutamente seguro que sucederán, sin opciones. Por ejemplo, la probabilidad de que "la bola seleccionada sea roja o azul" es para nuestra tarea. (Número de resultados favorables: 12, P(A)=12/12=1)

Hemos revisado ejemplo clásico, que ilustra la definición de probabilidad. Todo tareas similares Los exámenes estatales unificados de teoría de la probabilidad se resuelven con esta fórmula.
En lugar de bolas rojas y azules puede haber manzanas y peras, niños y niñas, billetes aprendidos y no aprendidos, billetes que contienen o no una pregunta sobre un tema determinado (prototipos), bolsas o bombas de jardín defectuosas y de alta calidad ( prototipos), el principio sigue siendo el mismo.

Difieren ligeramente en la formulación del problema teórico. probabilidad del examen estatal unificado, donde es necesario calcular la probabilidad de que ocurra un evento en un día específico. ( , ) Como en problemas anteriores, es necesario determinar cuál es el resultado elemental y luego aplicar la misma fórmula.

Ejemplo 2. La conferencia dura tres días. En el primer y segundo día hay 15 oradores cada uno, el tercer día, 20. ¿Cuál es la probabilidad de que el informe del profesor M. caiga en el tercer día si el orden de los informes se determina por sorteo?

¿Cuál es el resultado elemental aquí? – Asignar el informe del profesor a uno de todos los posibles. números seriales para una actuación. En el sorteo participan 15+15+20=50 personas. Por tanto, el informe del profesor M. puede recibir uno de los 50 números. Esto significa que sólo hay 50 resultados elementales.
¿Cuáles son los resultados favorables? - Aquellas en las que resulta que el profesor hablará al tercer día. Es decir, los últimos 20 números.
Según la fórmula, probabilidad P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
Respuesta: 0,4

El sorteo aquí representa el establecimiento de una correspondencia aleatoria entre personas y lugares ordenados. En el ejemplo 2, se consideró el establecimiento de correspondencia desde el punto de vista de cuál de los lugares se podría tomar. persona especial. Puedes abordar la misma situación desde el otro lado: cuál de las personas con qué probabilidad podría llegar a un lugar específico (prototipos, , , ):

Ejemplo 3. En el sorteo participan 5 alemanes, 8 franceses y 3 estonios. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero (/segundo/séptimo/último – no importa) sea un francés?

Número de resultados elementales – número de todos personas posibles, que podría, por sorteo, llegar a este lugar. 5+8+3=16 personas.
Resultados favorables: francés. 8 personas.
Probabilidad requerida: 8/16=1/2=0,5
Respuesta: 0,5

El prototipo es ligeramente diferente. Todavía hay problemas con las monedas () y dado(), algo más creativo. La solución a estos problemas se puede encontrar en las páginas de prototipos.

A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo lanzar una moneda o un dado.

Ejemplo 4. Cuando lanzamos una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara?
Hay 2 resultados: cara o cruz. (se cree que la moneda nunca cae de canto) Un resultado favorable es cruz, 1.
Probabilidad 1/2=0,5
Respuesta: 0,5.

Ejemplo 5.¿Qué pasa si lanzamos una moneda dos veces? ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en ambas ocasiones?
Lo principal es determinar qué resultados elementales consideraremos al lanzar dos monedas. Después de lanzar dos monedas, puede ocurrir uno de los siguientes resultados:
1) PP – las dos veces salió cara
2) PO – cara por primera vez, cara por segunda vez
3) OP – cara la primera vez, cruz la segunda vez
4) OO – salieron caras en ambas ocasiones
No hay otras opciones. Esto significa que hay 4 resultados elementales. Sólo el primero, 1, es favorable.
Probabilidad: 1/4=0,25
Respuesta: 0,25

¿Cuál es la probabilidad de que dos lanzamientos de moneda resulten cruz?
El número de resultados elementales es el mismo, 4. Los resultados favorables son el segundo y el tercero, 2.
Probabilidad de obtener una cola: 2/4=0,5

En tales problemas, puede resultar útil otra fórmula.
Si durante el lanzamiento de una moneda opciones posibles tenemos 2 resultados, entonces para dos lanzamientos los resultados serán 2 2 = 2 2 = 4 (como en el ejemplo 5), para tres lanzamientos 2 2 2 = 2 3 = 8, para cuatro: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... para N lanzamientos los resultados posibles serán 2·2·...·2=2 N .

Entonces, puedes encontrar la probabilidad de obtener 5 caras en 5 lanzamientos de moneda.
Número total de resultados elementales: 2 5 =32.
Resultados favorables: 1. (RRRRRR – cabeza las 5 veces)
Probabilidad: 1/32=0,03125

Lo mismo ocurre con los dados. Con un lanzamiento, hay 6 resultados posibles. Entonces, para dos lanzamientos: 6 6 = 36, para tres 6 6 6 = 216, etc.

Ejemplo 6. Tiramos los dados. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par?

Resultados totales: 6, según el número de bandos.
Favorable: 3 resultados. (2, 4, 6)
Probabilidad: 3/6=0,5

Ejemplo 7. Lanzamos dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que el total sea 10? (redondear a la centésima más cercana)

Para un dado hay 6 resultados posibles. Esto significa que para dos, según la regla anterior, 6·6=36.
¿Qué resultados serán favorables para que el total obtenga 10?
10 se debe descomponer en la suma de dos números del 1 al 6. Esto se puede hacer de dos maneras: 10=6+4 y 10=5+5. Esto significa que son posibles las siguientes opciones para los cubos:
(6 en el primero y 4 en el segundo)
(4 en el primero y 6 en el segundo)
(5 en el primero y 5 en el segundo)
En total, 3 opciones. Probabilidad requerida: 3/36=1/12=0,08
Respuesta: 0,08

Otros tipos de problemas de B6 se analizarán en un artículo futuro sobre Cómo resolverlos.

Respuestas a trabajo de prueba según la teoría de la probabilidad ayudará a los estudiantes de primer año que estudian disciplinas matemáticas. Las tareas cubren mucho. material teórico, y el fundamento de su decisión será útil para todos los estudiantes.

Problema 1. Un cubo con todos los bordes pintados se corta en 1000 cubos del mismo tamaño. Determine la probabilidad de que un cubo extraído al azar tenga:

• a) un borde pintado;
• b) dos caras sombreadas.

Cálculos: si el cubo se corta en cubos. mismo tamaño entonces todas las caras se dividirán en 100 cuadrados. (Aproximadamente como en la imagen)
Además, según la condición, el cubo debe tener un borde sombreado; esto significa que los cubos deben pertenecer a Superficie exterior pero no se acueste en los bordes del cubo (2 superficies sombreadas) ni en las esquinas: tienen tres superficies sombreadas.
Por lo tanto, la cantidad requerida es igual al producto de 6 caras por el número de cubos en un cuadrado de tamaño 8*8.
6*8*8=384 – cubos con 1 superficie pintada.
La probabilidad es igual al número de eventos favorables a su número total P=384/1000=0,384.
b) Dos caras sombreadas tienen cubos a lo largo de las aristas sin los vértices del cubo. Habrá 8 de esos cubos en un borde. Hay un total de 12 aristas en el cubo, por lo que las dos caras sombreadas tienen
8*12=96 cubos.
Y la probabilidad de sacarlos entre los 1000 es igual.
P=96/1000=0,096.
Esta tarea está solucionada y pasamos a la siguiente.

Tarea 2. Las letras A, A, A, N, N, C están escritas en tarjetas idénticas. ¿Cuál es la probabilidad de que, al colocar las cartas en fila al azar, obtengamos la palabra PIÑA?
Cálculos: Siempre se debe razonar a partir de lo que se sabe. Dadas 3 letras A, 2-H y 1 - C, hay 6 en total. Comencemos a elegir letras para la palabra "piña". La primera letra es la A, que podemos elegir de 3 formas de 6, porque hay 3 letras A entre las 6 conocidas. Por lo tanto, la probabilidad de sacar A primero es
P1 =3/6=1/2.
La segunda letra es la H, pero no debemos olvidar que después de sacar la A, quedan 5 letras para elegir. Por lo tanto, la probabilidad de sacar el número 2 H es igual a
P2 = 2/5.
Siguiente Una probabilidad de empatar entre los 4 que quedan
P3=2/4.
A continuación, H se puede extraer de la probabilidad
P4 = 1/3.
Cuanto más cerca del final más como, y ya podemos extraer A con
P5=1/2.
Después de esto, sólo queda una carta C, por lo que la probabilidad de sacarla es del 100 por ciento o
P6 =1.
La probabilidad de formar la palabra PIÑA es igual al producto de las probabilidades.
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0,016(6).
En esto se basan problemas similares en la teoría de la probabilidad.

Tarea 3. El comerciante selecciona muestras al azar de un lote de productos. La probabilidad de que un producto tomado al azar sea de la calidad más alta es 0,8. Encuentre la probabilidad de que entre 3 productos seleccionados haya dos productos de mayor calidad.
Cálculos: este ejemplo sobre la aplicación de la fórmula de Bernoulli.
p=0,8; q=1-0,8=0,2.
Calculamos la probabilidad usando la fórmula.

Si no lo explicas en el lenguaje de las fórmulas, entonces necesitas hacer combinaciones de tres eventos, dos de los cuales son favorables y uno no. Esto se puede escribir como la suma de los productos.

Ambas opciones son equivalentes, sólo la primera se puede aplicar en todas las tareas, y la segunda en aquellas similares a la considerada.

Problema 4. De cinco tiradores, dos dieron en el blanco con una probabilidad de 0,6 y tres con una probabilidad de 0,4. ¿Qué es más probable: que un tirador elegido al azar dé en el blanco o no?
Cálculos: Por fórmula probabilidad total Determinamos la probabilidad de que el tirador acierte.
P=2/5*0,6+3/5*0,4=0,24+0,24=0,48.
Probabilidad menor que P<0,5 , следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
La probabilidad de no acertar es

o
P=2/5*(1-0,6)+3/5*(1-0,4)=0,16+0,36=0,52.

Problema 5. De los 20 estudiantes que acudieron al examen, 10 estaban perfectamente preparados (sabían todas las preguntas), 7 estaban bien preparados (sabían 35 preguntas cada uno) y 3 estaban mal preparados (10 preguntas). El programa contiene 40 preguntas. Un estudiante llamado al azar respondió tres preguntas en el boleto. ¿Cuál es la probabilidad de que esté preparado para

• a) excelente;
• b) malo.

Cálculos: La esencia del problema es que el estudiante respondió tres preguntas en el boleto, es decir, todo lo que se le preguntó, pero ahora calcularemos cuál es la probabilidad de obtenerlas.
Encontremos la probabilidad de que el estudiante haya respondido correctamente tres preguntas. Esta será la relación entre el número de estudiantes y todo el grupo multiplicada por la probabilidad de sacar boletos que conozcan entre todos los posibles.

Ahora encontremos la probabilidad de que un estudiante pertenezca a un grupo que esté “excelentemente” preparado. Esto es equivalente a la proporción del primer término de la probabilidad preliminar con respecto a la probabilidad misma.

La probabilidad de que un estudiante pertenezca a un grupo que estaba mal preparado es bastante pequeña e igual a 0,00216.

Esta tarea está completa. Entiéndelo bien y recuerda cómo calcularlo, ya que es común en cuestionarios y exámenes.

Problema 6. Se lanza una moneda 5 veces. Encuentre la probabilidad de que el escudo de armas aparezca menos de 3 veces.
Cálculos: La probabilidad de sacar un escudo o frac es equivalente e igual a 0,5. Menos de 3 veces significa que el escudo puede aparecer 0, 1 o 2 veces. “O” siempre se expresa en probabilidad en operaciones por suma.
Encontramos las probabilidades usando la fórmula de Bernoulli.

Dado que p=q=0.5, entonces la probabilidad es

La probabilidad es 0,5.

Problema 7. Al estampar terminales metálicos se obtiene una media del 90% de los estándar. Encuentre la probabilidad de que entre 900 terminales, al menos 790 y como máximo 820 terminales sean estándar.

Cálculos: Se deben realizar cálculos.

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¿Qué es la probabilidad?

La primera vez que encontré este término, no habría entendido de qué se trataba. Por tanto, intentaré explicarlo claramente.

La probabilidad es la posibilidad de que suceda el evento que queremos.

Por ejemplo, decidiste ir a la casa de un amigo, recuerdas la entrada e incluso el piso en el que vive. Pero olvidé el número y la ubicación del apartamento. Y ahora estás parado en las escaleras y frente a ti hay puertas para elegir.

¿Cuál es la posibilidad (probabilidad) de que si tocas el primer timbre, tu amigo te abra la puerta? Solo hay apartamentos y un amigo vive solo detrás de uno de ellos. Con las mismas posibilidades podemos elegir cualquier puerta.

¿Pero cuál es esta oportunidad?

La puerta, la puerta correcta. Probabilidad de adivinar tocando el primer timbre: . Es decir, una de cada tres veces adivinarás con precisión.

Queremos saber, habiendo llamado una vez, ¿con qué frecuencia adivinaremos la puerta? Veamos todas las opciones:

1. Usted llamó 1er puerta
2. Usted llamó 2do puerta
3. Usted llamó 3er puerta

Ahora veamos todas las opciones donde podría estar un amigo:

A. Detrás 1er la puerta
b. Detrás 2do la puerta
v. Detrás 3er la puerta

Comparemos todas las opciones en forma de tabla. Una marca de verificación indica opciones cuando su elección coincide con la ubicación de un amigo, una cruz, cuando no coincide.

¿Cómo ves todo? Tal vez opciones la ubicación de tu amigo y tu elección de a qué puerta llamar.

A resultados favorables de todos . Es decir, adivinarás una vez tocando el timbre una vez, es decir. .

Esto es probabilidad: la relación entre un resultado favorable (cuando su elección coincide con la ubicación de su amigo) y el número de eventos posibles.

La definición es la fórmula. La probabilidad generalmente se denota por p, por lo tanto:

No es muy conveniente escribir una fórmula de este tipo, por lo que tomaremos por el número de resultados favorables y por el número total de resultados.

La probabilidad se puede escribir como un porcentaje; para hacer esto, debes multiplicar el resultado resultante por:

La palabra “resultados” probablemente le llamó la atención. Dado que los matemáticos llaman experimentos a varias acciones (en nuestro caso, tal acción es un timbre), el resultado de tales experimentos generalmente se denomina resultado.

Bueno, hay resultados favorables y desfavorables.

Volvamos a nuestro ejemplo. Digamos que llamamos a una de las puertas, pero un extraño nos abrió. No acertamos. ¿Cuál es la probabilidad de que si tocamos una de las puertas restantes, nuestro amigo nos la abra?

Si pensabas eso, entonces esto es un error. Vamos a resolverlo.

Nos quedan dos puertas. Entonces tenemos posibles pasos:

1) Llamar 1er puerta
2) Llamar 2do puerta

El amigo, a pesar de todo esto, definitivamente está detrás de uno de ellos (al fin y al cabo, no estaba detrás del que llamamos):

a) Amigo por 1er la puerta
b) Amigo por 2do la puerta

Dibujemos la tabla nuevamente:

Como puede ver, sólo hay opciones que son favorables. Es decir, la probabilidad es igual.

¿Por qué no?

La situación que consideramos es ejemplo de eventos dependientes. El primer evento es el primer timbre, el segundo evento es el segundo timbre.

Y se les llama dependientes porque influyen en las siguientes acciones. Después de todo, si después del primer toque de timbre fue abierto un amigo, ¿cuál sería la probabilidad de que estuviera detrás de uno de los otros dos? Bien, .

Pero si hay eventos dependientes, entonces también debe haberlos. independiente? Así es, suceden.

Un ejemplo de libro de texto es lanzar una moneda.

1. Lanza una moneda una vez. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara, por ejemplo? Así es, porque hay todas las opciones (ya sea cara o cruz, descuidamos la probabilidad de que la moneda caiga en su borde), pero solo nos conviene.
2. Pero salió cara. Bien, lancemos de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara ahora? Nada ha cambiado, todo sigue igual. ¿Cuantas opciones? Dos. ¿Con cuántos estamos contentos? Uno.

Y que salga cara al menos mil veces seguidas. La probabilidad de obtener cara a la vez será la misma. Siempre hay opciones y favorables.

Es fácil distinguir eventos dependientes de independientes:

1. Si el experimento se realiza una vez (lanzan una moneda una vez, tocan el timbre una vez, etc.), entonces los eventos son siempre independientes.
2. Si un experimento se lleva a cabo varias veces (se lanza una moneda una vez, se toca el timbre varias veces), entonces el primer evento es siempre independiente. Y luego, si cambia el número de resultados favorables o el número de todos los resultados, entonces los eventos son dependientes, y si no, son independientes.

Practiquemos un poco la determinación de la probabilidad.

Ejemplo 1.

La moneda se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara dos veces seguidas?

Solución:

Consideremos todas las opciones posibles:

1. águila-águila
2. Cara y cruz
3. Colas-Cabezas
4. colas-colas

Como puedes ver, sólo hay opciones. De ellos sólo estamos satisfechos. Es decir, la probabilidad:

Si la condición simplemente te pide que encuentres la probabilidad, entonces la respuesta debe darse en forma de fracción decimal. Si se especificara que la respuesta debe darse en porcentaje, entonces multiplicaríamos por.

Respuesta:

Ejemplo 2.

En una caja de bombones, todos los bombones están empaquetados en el mismo envoltorio. Sin embargo, de los dulces: con nueces, con coñac, con cerezas, con caramelo y con turrón.

¿Cuál es la probabilidad de tomar un caramelo y obtener un caramelo con nueces? Da tu respuesta como porcentaje.

Solución:

¿Cuántos resultados posibles hay? .

Es decir, si coges un caramelo, será uno de los disponibles en la caja.

¿Cuántos resultados favorables?

Porque la caja contiene sólo bombones con nueces.

Respuesta:

Ejemplo 3.

En una caja de globos. de los cuales son blancos y negros.

1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca?
2. Agregamos más bolas negras a la caja. ¿Cuál es ahora la probabilidad de sacar una bola blanca?

Solución:

a) En la caja sólo hay bolas. De ellos son blancos.

La probabilidad es:

b) Ahora hay más bolas en la caja. Y quedan otros tantos blancos...

Respuesta:

Probabilidad total

Digamos que hay bolas rojas y verdes en una caja. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja? ¿Bola verde? ¿Bola roja o verde?

Probabilidad de sacar una bola roja.

Bola verde:

Bola roja o verde:

Como puede ver, la suma de todos los eventos posibles es igual a (). Comprender este punto te ayudará a resolver muchos problemas.

Ejemplo 4.

Hay marcadores en el cuadro: verde, rojo, azul, amarillo, negro.

¿Cuál es la probabilidad de sacar NO un marcador rojo?

Solución:

contemos el numero resultados favorables.

NO es un marcador rojo, eso significa verde, azul, amarillo o negro.

Regla para multiplicar las probabilidades de eventos independientes.

Ya sabes qué son los eventos independientes.

¿Qué pasa si necesitas encontrar la probabilidad de que ocurran dos (o más) eventos independientes seguidos?

Digamos que queremos saber cuál es la probabilidad de que si lanzamos una moneda una vez, veamos cara dos veces.

Ya hemos considerado - .

¿Qué pasa si lanzamos una moneda una vez? ¿Cuál es la probabilidad de ver un águila dos veces seguidas?

Total de opciones posibles:

1. águila-águila-águila
2. Cara-cara-cruz
3. Cara-cruz-cara
4. Cara-cruz-cruz
5. Cruz-cara-cara
6. Cruz-cara-cruz
7. Cruz-cruz-cara
8. Colas-colas-colas

No sé ustedes, pero yo cometí errores varias veces al compilar esta lista. ¡Guau! Y sólo nos conviene la opción (la primera).

Para 5 lanzamientos, usted mismo puede hacer una lista de posibles resultados. Pero los matemáticos no son tan trabajadores como tú.

Por lo tanto, primero notaron y luego demostraron que la probabilidad de una determinada secuencia de eventos independientes disminuye cada vez en la probabilidad de un evento.

En otras palabras,

Veamos el ejemplo de la misma moneda desafortunada.

¿Probabilidad de sacar cara en un desafío? . Ahora lanzamos la moneda una vez.

¿Cuál es la probabilidad de obtener cara seguida?

Esta regla no sólo funciona si se nos pide que encontremos la probabilidad de que el mismo evento ocurra varias veces seguidas.

Si quisiéramos encontrar la secuencia CORAS-CARA-COLAS para lanzamientos consecutivos, haríamos lo mismo.

La probabilidad de que salga cara es - , cara - .

La probabilidad de obtener la secuencia COLAS-CABEZAS-COLAS-COLAS:

Puedes comprobarlo tú mismo haciendo una tabla.

La regla para sumar las probabilidades de eventos incompatibles.

¡Así que deja de! Nueva definición.

Vamos a resolverlo. Tomemos nuestra moneda gastada y lancemos una vez.
Posibles opciones:

1. águila-águila-águila
2. Cara-cara-cruz
3. Cara-cruz-cara
4. Cara-cruz-cruz
5. Cruz-cara-cara
6. Cruz-cara-cruz
7. Cruz-cruz-cara
8. Colas-colas-colas

Entonces, los eventos incompatibles son una secuencia determinada de eventos. - Estos son eventos incompatibles.

Si queremos determinar cuál es la probabilidad de dos (o más) eventos incompatibles, entonces sumamos las probabilidades de estos eventos.

Debes entender que cara o cruz son dos eventos independientes.

Si queremos determinar la probabilidad de que ocurra una secuencia (o cualquier otra), entonces usamos la regla de multiplicar probabilidades.
¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en el primer lanzamiento y cruz en el segundo y tercer lanzamiento?

Pero si queremos saber cuál es la probabilidad de obtener una de varias secuencias, por ejemplo, cuando sale cara exactamente una vez, es decir opciones y, luego debemos sumar las probabilidades de estas secuencias.

Las opciones totales nos convienen.

Podemos obtener lo mismo sumando las probabilidades de ocurrencia de cada secuencia:

Por lo tanto, sumamos probabilidades cuando queremos determinar la probabilidad de ciertas secuencias de eventos inconsistentes.

Existe una gran regla que le ayudará a evitar confundirse cuándo multiplicar y cuándo sumar:

Volvamos al ejemplo en el que lanzamos una moneda una vez y queríamos saber la probabilidad de ver cara una vez.
Que es lo que va a pasar?

Debería caerse:
(cara Y cruz Y cruz) O (cruz Y cara Y cruz) O (cruz Y cruz Y cara).
Así resulta:

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 5.

Hay lápices en la caja. rojo, verde, naranja y amarillo y negro. ¿Cuál es la probabilidad de sacar lápices rojos o verdes?

Solución:

Ejemplo 6.

Si se lanza un dado dos veces ¿cuál es la probabilidad de obtener un total de 8?

Solución.

¿Cómo podemos conseguir puntos?

(y) o (y) o (y) o (y) o (y).

La probabilidad de obtener una (cualquier) cara es .

Calculamos la probabilidad:

Capacitación.

Creo que ahora entiendes cuándo necesitas calcular probabilidades, cuándo sumarlas y cuándo multiplicarlas. ¿No es? Practiquemos un poco.

Tareas:

Tomemos una baraja de cartas que contenga cartas que incluyan espadas, corazones, 13 tréboles y 13 diamantes. Del al As de cada palo.

1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar tréboles seguidos (devolvemos a la baraja la primera carta extraída y la barajamos)?
2. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta negra (picas o tréboles)?
3. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un dibujo (jota, reina, rey o as)?
4. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos dibujos seguidos (quitamos la primera carta extraída de la baraja)?
5. ¿Cuál es la probabilidad, al tomar dos cartas, de obtener una combinación (sota, reina o rey) y un as? No importa el orden en que se extraigan las cartas.

Respuestas:

Si pudiste resolver todos los problemas tú mismo, ¡eres genial! ¡Ahora resolverás como loco los problemas de teoría de la probabilidad en el Examen Estatal Unificado!

TEORÍA DE PROBABILIDAD. NIVEL PROMEDIO

Veamos un ejemplo. Digamos que lanzamos un dado. ¿Qué clase de hueso es este? ¿Lo sabes? Así llaman a un cubo con números en sus caras. Cuántas caras, tantos números: ¿de hasta cuántos? Antes.

Entonces tiramos los dados y queremos que salga o. Y lo entendemos.

En la teoría de la probabilidad dicen lo que pasó. evento auspicioso(no confundir con próspero).

Si sucediera, el evento también sería favorable. En total, sólo pueden ocurrir dos eventos favorables.

¿Cuantos son desfavorables? Como hay totales de eventos posibles, significa que los desfavorables son eventos (esto es si o cae).

Definición:

La probabilidad es la relación entre el número de eventos favorables y el número de todos los eventos posibles.. Es decir, la probabilidad muestra qué proporción de todos los eventos posibles son favorables.

Denotan probabilidad con una letra latina (aparentemente de la palabra inglesa probabilidad - probabilidad).

Se acostumbra medir la probabilidad como porcentaje (ver tema). Para hacer esto, el valor de probabilidad debe multiplicarse por. En el ejemplo de los dados, probabilidad.

Y en porcentaje: .

Ejemplos (decide por ti mismo):

1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda? ¿Cuál es la probabilidad de que caiga cara?
2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado? ¿Cuál es extraño?
3. En una caja de lápices sencillos, azules y rojos. Dibujamos un lápiz al azar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener uno simple?

Soluciones:

1. ¿Cuántas opciones hay? Cara y cruz, solo dos. ¿Cuantos de ellos son favorables? Sólo uno es un águila. Entonces la probabilidad

   Lo mismo ocurre con las colas: .

2. Opciones totales: (cuántas caras tiene el cubo, tantas opciones diferentes). Favorables: (todos estos son números pares :).
   Probabilidad. Por supuesto, ocurre lo mismo con los números impares.
3. Total: . Favorable: . Probabilidad: .

Probabilidad total

Todos los lápices de la caja son verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz rojo? No hay posibilidades: probabilidad (después de todo, eventos favorables -).

Tal evento se llama imposible.

¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz verde? Hay exactamente el mismo número de eventos favorables que eventos totales (todos los eventos son favorables). Entonces la probabilidad es igual a o.

Un evento así se llama confiable.

Si una caja contiene lápices verdes y rojos, ¿cuál es la probabilidad de sacar lápices verdes o rojos? Una vez más. Tengamos en cuenta esto: la probabilidad de sacar el verde es igual y la roja es igual.

En resumen, estas probabilidades son exactamente iguales. Eso es, la suma de las probabilidades de todos los eventos posibles es igual a o.

Ejemplo:

En una caja de lápices, entre ellos están los azules, rojos, verdes, lisos, amarillos y el resto son naranjas. ¿Cuál es la probabilidad de no sacar verde?

Solución:

Recordamos que todas las probabilidades suman. Y la probabilidad de salir verde es igual. Esto significa que la probabilidad de no sacar el verde es igual.

Recuerda este truco: La probabilidad de que un evento no ocurra es igual a menos la probabilidad de que ocurra el evento.

Eventos independientes y la regla de la multiplicación.

Lanzas una moneda una vez y quieres que salga cara las dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra?

Repasemos todas las opciones posibles y determinemos cuántas hay:

Cara-cara, cruz-cara, cara-cruz, cruz-cruz. ¿Qué otra cosa?

Opciones totales. De ellos, sólo uno nos conviene: Eagle-Eagle. En total, la probabilidad es igual.

Bien. Ahora lancemos una moneda una vez. Haz los cálculos tú mismo. ¿Sucedió? (respuesta).

Es posible que hayas notado que con la adición de cada lanzamiento posterior, la probabilidad se reduce a la mitad. La regla general se llama regla de multiplicación:

Las probabilidades de eventos independientes cambian.

¿Qué son los eventos independientes? Todo es lógico: son los que no dependen unos de otros. Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda varias veces, cada vez se realiza un nuevo lanzamiento, cuyo resultado no depende de todos los lanzamientos anteriores. Con la misma facilidad podemos lanzar dos monedas diferentes al mismo tiempo.

Más ejemplos:

1. Los dados se lanzan dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga ambas veces?
2. La moneda se lanza una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara la primera vez y luego cruz dos veces?
3. El jugador tira dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen en ellos sea igual?

Respuestas:

1. Los eventos son independientes, lo que significa que la regla de la multiplicación funciona: .
2. La probabilidad de que salga cara es igual. La probabilidad de que salga cruz es la misma. Multiplicar:
3. 12 sólo se puede obtener si se lanzan dos -ki: .

Eventos incompatibles y la regla de la suma

Los eventos que se complementan hasta el punto de tener total probabilidad se denominan incompatibles. Como sugiere el nombre, no pueden ocurrir simultáneamente. Por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire, puede salir cara o cruz.

Ejemplo.

En una caja de lápices, entre ellos están los azules, rojos, verdes, lisos, amarillos y el resto son naranjas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar verde o rojo?

Solución .

La probabilidad de sacar un lápiz verde es igual. Rojo - .

Eventos favorables en todos: verde + rojo. Esto significa que la probabilidad de sacar verde o rojo es igual.

La misma probabilidad se puede representar de esta forma: .

Esta es la regla de la suma: las probabilidades de eventos incompatibles se acumulan.

Problemas de tipo mixto

Ejemplo.

La moneda se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que los resultados de las tiradas sean diferentes?

Solución .

Esto significa que si el primer resultado es cara, el segundo debe ser cruz, y viceversa. Resulta que hay dos pares de eventos independientes y estos pares son incompatibles entre sí. Cómo no confundirse acerca de dónde multiplicar y dónde sumar.

Existe una regla simple para tales situaciones. Intenta describir lo que va a pasar usando las conjunciones “Y” u “O”. Por ejemplo, en este caso:

Debería aparecer (cara y cruz) o (cruz y cara).

Donde hay conjunción “y” habrá multiplicación, y donde hay “o” habrá suma:

Inténtalo tú mismo:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que si se lanza dos veces una moneda, caiga en el mismo lado ambas veces?
2. Los dados se lanzan dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de puntos?

Soluciones:

Otro ejemplo:

Lanza una moneda una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara al menos una vez?

Solución:

TEORÍA DE PROBABILIDAD. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

La probabilidad es la relación entre el número de eventos favorables y el número de todos los eventos posibles.

Eventos independientes

Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no cambia la probabilidad de que ocurra el otro.

Probabilidad total

La probabilidad de todos los eventos posibles es igual a ().

La probabilidad de que un evento no ocurra es igual a menos la probabilidad de que ocurra el evento.

Regla para multiplicar las probabilidades de eventos independientes.

La probabilidad de una determinada secuencia de eventos independientes es igual al producto de las probabilidades de cada evento.

Eventos incompatibles

Los eventos incompatibles son aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente como resultado de un experimento. Varios eventos incompatibles forman un grupo completo de eventos.

Las probabilidades de eventos incompatibles se acumulan.

Habiendo descrito lo que debería suceder, usando las conjunciones “Y” u “O”, en lugar de “Y” ponemos un signo de multiplicación, y en lugar de “O” ponemos un signo de suma.

Bueno, se acabó el tema. Si estás leyendo estas líneas es que eres muy guay.

Porque sólo el 5% de las personas son capaces de dominar algo por sí mismas. Y si lees hasta el final, ¡estás en este 5%!

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Teoría de la probabilidad y estadística matemática

1. La asignatura de teoría de la probabilidad y su importancia para la resolución de problemas económicos y técnicos. Probabilidad y su definición.

Durante mucho tiempo, la humanidad estudió y utilizó únicamente los llamados patrones deterministas para sus actividades. Sin embargo, dado que los eventos aleatorios irrumpen en nuestras vidas sin nuestro deseo y nos rodean constantemente, y además, dado que casi todos los fenómenos naturales son aleatorios por naturaleza, es necesario aprender a estudiarlos y desarrollar métodos de estudio para este propósito.

Según la forma de manifestación de las relaciones causales, las leyes de la naturaleza y la sociedad se dividen en dos clases: deterministas (predeterminadas) y estadísticas.

Por ejemplo, basándose en las leyes de la mecánica celeste, basándose en las posiciones actualmente conocidas de los planetas del sistema solar, su posición en un momento dado se puede predecir casi sin ambigüedades, incluidos los eclipses solares y lunares se pueden predecir con mucha precisión. Este es un ejemplo de leyes deterministas.

Sin embargo, no todos los fenómenos pueden predecirse con precisión. Por lo tanto, los cambios climáticos a largo plazo y los cambios climáticos a corto plazo no son objetos para una predicción exitosa, es decir, muchas leyes y patrones encajan mucho menos en un marco determinista. Este tipo de leyes se denominan leyes estadísticas. Según estas leyes, el estado futuro del sistema no se determina de forma inequívoca, sino sólo con una cierta probabilidad.

La teoría de la probabilidad, como otras ciencias matemáticas, revivió y se desarrolló a partir de las necesidades de la práctica. Ella estudia los patrones inherentes a eventos aleatorios masivos.

La teoría de la probabilidad estudia las propiedades de eventos aleatorios masivos que pueden repetirse muchas veces cuando se reproduce un determinado conjunto de condiciones. La propiedad principal de cualquier evento aleatorio, independientemente de su naturaleza, es la medida o probabilidad de que ocurra.

Los eventos (fenómenos) que observamos se pueden dividir en tres tipos: confiables, imposibles y aleatorios.

Un evento que es seguro que sucederá se llama cierto. Imposible es un evento que sabemos que no sucederá. Un evento aleatorio es un evento que puede suceder o no suceder.

La teoría de la probabilidad no se propone la tarea de predecir si un evento ocurrirá o no, ya que es imposible tener en cuenta la influencia de todas las causas en un evento aleatorio. Por otro lado, resulta que un número suficientemente grande de eventos aleatorios homogéneos, independientemente de su naturaleza específica, están sujetos a ciertos patrones, a saber, patrones probabilísticos.

Entonces, el tema de la teoría de la probabilidad es el estudio de patrones probabilísticos de eventos aleatorios masivos y homogéneos.

Algunos problemas relacionados con fenómenos aleatorios de masas se intentaron resolver utilizando el aparato matemático adecuado ya a principios del siglo XVII. Al estudiar el curso y los resultados de varios juegos de azar, B. Pascal, P. Fermat y H. Huygens sentaron las bases de la teoría clásica de la probabilidad a mediados del siglo XVII. En sus trabajos utilizaron implícitamente los conceptos de probabilidad y expectativa matemática de una variable aleatoria. Sólo a principios del siglo XVIII. J. Bernoulli formula el concepto de probabilidad.

La teoría de la probabilidad debe otros éxitos a Moivre, Laplace, Gauss, Poisson y otros.

Los matemáticos rusos y soviéticos como P.L. hicieron una enorme contribución al desarrollo de la teoría de la probabilidad. Chebyshev, A.A. Markov, A.M. Lyapunov, S.N. Bernstein, A.N. Kolmogorov, A.Ya. Khinchin, A. Prokhorov y otros.

Un lugar especial en el desarrollo de la teoría de la probabilidad pertenece a la escuela uzbeka, cuyos representantes destacados son los académicos V.I. Romanovsky, S.Kh. Sirazhdinov, T.A. Sarymsakov, T.A. Azlarov, Sh.K. Farmanov, profesor I.S. Badalbaev, M.U. Gafurov, Sh.A. Khashimov y otros.

Como ya se señaló, las necesidades de la práctica, que contribuyeron al surgimiento de la teoría de la probabilidad, alimentaron su desarrollo como ciencia, lo que llevó al surgimiento de cada vez más ramas y secciones. La estadística matemática se basa en la teoría de la probabilidad, cuya tarea es reconstruir a partir de una muestra, con cierto grado de fiabilidad, las características inherentes a la población general. Ramas de la ciencia como la teoría de los procesos aleatorios, la teoría de las colas, la teoría de la información, la teoría de la confiabilidad, los modelos econométricos, etc., se han separado de la teoría de la probabilidad.

Las áreas más importantes de aplicación de la teoría de la probabilidad incluyen las ciencias económicas y técnicas. Actualmente, es difícil imaginar el estudio de los fenómenos económicos y técnicos sin modelización basada en la teoría de la probabilidad, sin modelos de análisis de correlación y regresión, adecuación y modelos adaptativos “sensibles”.

Los eventos que ocurren en el flujo del tráfico, el grado de confiabilidad de los componentes del automóvil, los accidentes automovilísticos en la carretera, diversas situaciones en el proceso de diseño de la carretera debido a su indeterminismo se incluyen en la gama de problemas estudiados utilizando métodos de la teoría de la probabilidad.

Los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad son experiencia o experimento y eventos. Llamamos experimento a las acciones que se llevan a cabo bajo determinadas condiciones y circunstancias. Cada implementación específica de un experimento se llama prueba.

Cada resultado concebible de un experimento se llama evento elemental y se denota por. Los eventos aleatorios constan de un cierto número de eventos elementales y se denotan por A, B, C, D,...

Un conjunto de eventos elementales tales que

1) como resultado de un experimento, siempre ocurre uno de los eventos elementales;

2) durante una prueba, solo ocurrirá un evento elemental, llamado espacio de eventos elementales y denotado por.

Por tanto, cualquier evento aleatorio es un subconjunto del espacio de eventos elementales. Por definición del espacio de eventos elementales, un evento confiable puede denotarse por. Un evento imposible se denota por.

Ejemplo 1: se lanza un dado. El espacio de eventos elementales correspondiente a este experimento tiene la siguiente forma:

Ejemplo 2. Deja que la urna contenga 2 rojas, 3 azules y 1 blanca, para un total de 6 bolas. El experimento consiste en sacar bolas al azar de una urna. El espacio de eventos elementales correspondiente a este experimento tiene la siguiente forma:

donde los acontecimientos elementales tienen los siguientes significados: - apareció una bola blanca; - apareció una bola roja; - apareció una bola azul. Considere los siguientes eventos:

A - la aparición de una bola blanca;

B - la aparición de una bola roja;

C - la aparición de una bola azul;

D: la apariencia de una bola de color (no blanca).

Aquí vemos que cada uno de estos eventos tiene uno u otro grado de posibilidad: algunos son mayores, otros son menos. Obviamente, el grado de posibilidad del evento B es mayor que el del evento A; eventos C - que eventos B; eventos D - que eventos C. Para comparar cuantitativamente eventos entre sí según el grado de posibilidad, obviamente, es necesario asociar un cierto número con cada evento, que es mayor cuanto más posible sea el evento.

Denotamos este número por y lo llamamos probabilidad del evento A. Demos ahora la definición de probabilidad.

Sea el espacio de eventos elementales un conjunto finito y sean sus elementos. Supondremos que son eventos elementales igualmente posibles, es decir cada evento elemental no tiene mayores posibilidades de ocurrir que otros. Como es sabido, cada evento aleatorio A consta de eventos elementales como un subconjunto. Estos eventos elementales se denominan favorables para A.

La probabilidad del evento A está determinada por la fórmula

donde m es el número de eventos elementales favorables para A, n es el número de todos los eventos elementales incluidos en.

Si en el ejemplo 1 A denota el evento en el que aparecerá un número par de puntos, entonces

En el ejemplo 2, las probabilidades de eventos tienen los siguientes valores:

Las siguientes propiedades se derivan de la definición de probabilidad:

1. La probabilidad de un evento confiable es igual a uno.

De hecho, si un evento es confiable, entonces todos los eventos elementales lo favorecen. En este caso m=n y por lo tanto

2. La probabilidad de un evento imposible es cero.

De hecho, si un evento es imposible, entonces ningún evento elemental lo favorece. En este caso m=0 y por lo tanto

3. La probabilidad de un evento aleatorio es un número positivo entre cero y uno.

De hecho, sólo una parte del número total de eventos elementales favorece un evento aleatorio. En este caso, y por tanto, y por tanto,

Entonces, la probabilidad de cualquier evento satisface las desigualdades.

La frecuencia relativa de un evento es la relación entre el número de ensayos en los que ocurrió el evento y el número total de ensayos realmente realizados.

Por tanto, la frecuencia relativa del evento A está determinada por la fórmula

donde m es el número de ocurrencias del evento, n es el número total de ensayos.

Comparando las definiciones de probabilidad y frecuencia relativa, concluimos: la definición de probabilidad no requiere que las pruebas se realicen realmente; La determinación de la frecuencia relativa supone que las pruebas se llevaron a cabo realmente.

Ejemplo 3. De 80 piezas idénticas seleccionadas al azar, se identificaron 3 defectuosas. La frecuencia relativa de piezas defectuosas es

Ejemplo 4. Durante el año se realizaron 24 inspecciones en una de las instalaciones y se registraron 19 violaciones a la ley. La frecuencia relativa de violaciones de la ley es

Las observaciones a largo plazo han demostrado que si los experimentos se llevan a cabo en condiciones idénticas, en cada una de las cuales el número de pruebas es bastante grande, entonces la frecuencia relativa cambia poco (cuanto menos, más pruebas se realizan), fluctuando alrededor de una cierta constante número. Resultó que este número constante es la probabilidad de que ocurra el evento.

Por tanto, si la frecuencia relativa se establece experimentalmente, entonces el número resultante puede tomarse como un valor de probabilidad aproximado. Ésta es la definición estadística de probabilidad.

En conclusión, veamos la definición geométrica de probabilidad.

Si el espacio de eventos elementales se considera como un área determinada en un plano o en el espacio, y A como su subconjunto, entonces la probabilidad del evento A se considerará como la relación de las áreas o volúmenes de A y, y se encontrará según las siguientes fórmulas:

Preguntas para repetición y control:

1. ¿En qué clases se dividen las leyes de la naturaleza y la sociedad según la forma de manifestación de las relaciones causales?

2. ¿En qué tipos de eventos se pueden dividir?

3. ¿Cuál es el tema de la teoría de la probabilidad?

4. ¿Qué sabes sobre la historia del desarrollo de la teoría de la probabilidad?

5. ¿Cuál es la importancia de la teoría de la probabilidad para los problemas económicos y técnicos?

6. ¿Qué es un experimento, prueba, evento elemental y evento, cómo se designan?

7. ¿Cómo se llama el espacio de eventos elementales?

8. ¿Cómo se determina la probabilidad de un evento?

9. ¿Qué propiedades de la probabilidad conoces?

10. ¿Qué sabes sobre la frecuencia relativa de un evento?

11. ¿Cuál es la esencia de la definición estadística de probabilidad?

12. ¿Cuál es la definición geométrica de probabilidad?

Biografía y obra de A.N.

La teoría de la probabilidad elemental es esa parte de la teoría de la probabilidad en la que uno tiene que tratar con las probabilidades de sólo un número finito de eventos. La teoría de la probabilidad como disciplina matemática...

Espacio vectorial. Resolver problemas de programación lineal gráficamente.

Ahora veamos varios problemas de programación lineal y resolvámoslos gráficamente. Problema 1. máx Z = 1+ - , . Solución. Tenga en cuenta que los semiplanos definidos por el sistema de desigualdades de este problema no tienen puntos comunes (Figura 2)