Compléments algébriques et mineurs. Propriétés d'une matrice inverse

Un déterminant du second ordre est un nombre égal à la différence produits des éléments des diagonales principale et secondaire :

L’expression suivante est appelée déterminant du troisième ordre :

Le déterminant du troisième ordre est facile à calculer si l’on prend en compte règle suivante: avec un signe plus sont les produits de triplets de nombres situés sur la diagonale principale de la matrice, et aux sommets de triangles de base parallèle à cette diagonale et de sommet dans le coin opposé de la matrice. Avec un signe moins on distingue les triplets de la deuxième diagonale et des triangles construits par rapport à cette diagonale. Le diagramme suivant illustre cette règle, appelée règle du triangle. Dans le diagramme, le bleu (à gauche) indique les éléments dont les produits sont accompagnés d'un signe plus, et le vert (à droite) - avec un signe moins.

Déterminants de tout ordre. Propriétés des déterminants.

Tout d’abord, nous décrivons les propriétés fondamentales des déterminants concernant les transformations matricielles. Connaître ces propriétés permettra de simplifier les calculs et de trouver des déterminants d'ordre arbitraire.

Propriété 1. Le déterminant ne change pas lors de la transposition. Cela signifie que le déterminant d'une matrice est égal au déterminant d'une matrice transposée (une matrice dans laquelle les lignes sont remplacées par les colonnes correspondantes).

Sur la base de la première propriété, dans les propriétés restantes, nous ne pouvons parler que de lignes, ce qui implique que ces propriétés s'appliquent également aux colonnes.

Propriété 2. Si l'une des lignes du déterminant est constituée de zéros, alors le déterminant est égal à zéro.

Propriété 3. Lorsque deux lignes sont réorganisées, le déterminant change de signe.

Propriété 4. Le déterminant contenant deux chaînes identiques est égal à zéro.

Propriété 5. Si tous les éléments d'une certaine chaîne sont multipliés par un certain nombre, alors le déterminant lui-même sera multiplié par ce nombre.

Propriété 6. Un déterminant contenant deux lignes proportionnelles est égal à zéro.

Propriété 7. Si tous les éléments ième ligne du déterminant d'ordre n est présenté comme une somme de deux termes : a ij =b j +c j , j = 1, ..., n, alors le déterminant égal à la somme deux déterminants dans lesquels toutes les lignes sauf la i-ème sont les mêmes que dans le déterminant donné, et ième ligne dans l'un des termes se compose d'éléments b j, dans l'autre - d'éléments c j.

Propriété 8. Si l'une des lignes d'un déterminant est une combinaison linéaire de ses autres lignes, alors le déterminant est égal à zéro..

Propriété 9. Le déterminant ne change pas si une combinaison linéaire d'autres lignes est ajoutée à l'une de ses lignes.

Théorème (sur le développement du déterminant dans une ligne) : le déterminant est égal à la somme des produits de tous les éléments de n'importe quelle ligne par leur ajouts algébriques . Cela signifie que le déterminant de la matrice n×n est égal à (complément algébrique A ij =(-1) i+j M ij. Ici le mineur M ij est le déterminant obtenu à partir du déterminant principal en supprimant le i- ème ligne et j-ème colonne)

Le théorème de développement de lignes permet de réduire le calcul du déterminant d’une matrice n×n au calcul de n déterminants de matrices (n-1)×(n-1). Ainsi, le calcul des déterminants d'ordre supérieur au tiers se réduit à la décomposition en somme des déterminants d'ordre tiers.

En utilisant les propriétés des déterminants décrites ci-dessus, vous pouvez effectuer des transformations matricielles préliminaires qui facilitent les calculs ultérieurs. Par exemple, si, avant de développer un déterminant d’ordre n sur une ligne, on accumule des zéros dans cette ligne, alors l’expansion conduit à un plus petit nombre de déterminants d’ordre n-1. Vous trouverez ci-dessous un exemple dans lequel la deuxième ligne est d'abord soustraite de la première ligne (dans ce cas, deux zéros apparaissent), puis l'expansion est effectuée le long de la première ligne (en raison des deux zéros, quatre déterminants du troisième ordre ne sont pas obtenu, mais seulement deux) :

Conférence 2.qualificatifs

Déterminants du second ordre

Déterminants de troisième ordre

Compléments algébriques et mineurs

Développer le déterminant par ligne ou colonne

Propriétés des déterminants

Matrice inverse

Propriétés d'une matrice inverse

1. Déterminants du second ordre

La notion de déterminant est introduite uniquement pour matrice carrée.

Déterminant est un nombre calculé selon certaines règles. Ordre déterminant est l'ordre de la matrice carrée. Si des parenthèses rondes étaient utilisées pour spécifier les matrices, alors dans la théorie des déterminants, des parenthèses droites sont utilisées.

Associons chaque matrice carrée à un certain nombre, que nous appellerons déterminant de la matrice, et indiquer la règle de son calcul. Désignations :

.

Exemple 1.
.

2. Déterminants de troisième ordre

Chaque produit ne contient pas de chiffres d'une colonne ou d'une ligne.

Donnons un schéma pour mémoriser l'ordre d'obtention des termes dans le déterminant.

Le produit des nombres sur une diagonale est pris avec le signe «+» (c'est la diagonale principale de la matrice), et sur l'autre – avec le signe opposé.

Exemple 2.

3. Compléments algébriques et mineurs

Pour calculer les déterminants d'ordre supérieur à trois, d'autres méthodes de calcul sont utilisées.

Exemple 3. Mineure
déterminant Il y a.

.

Il est utile de se rappeler que
Et
.

Exemple 4. Dans l'exemple 3, l'addition algébrique

4. Développement du déterminant dans une ligne ou une colonne

Calcul du déterminant l'ordre peut être réduit au calcul des déterminants de l'ordre
en utilisant les formules suivantes.

Ce nombre est égal à la somme des produits éléments n'importe lequel ème lignes sur leurs compléments algébriques.

Exemple 5. Calculer le déterminant du troisième ordre
expansion le long de la première rangée.

Solution

Ce nombre est égal à la somme des produits des éléments de tout ème colonne à leurs compléments algébriques.

Quelle que soit la méthode de décomposition utilisée, la même réponse est toujours obtenue.

5. Propriétés des déterminants

1. Lors de la transposition d'une matrice carrée son déterminant ne change pas :
.

Conclusion. Les propriétés des déterminants formulées pour les lignes sont également valables pour les colonnes.

2. Lors de la réorganisation de deux chaînes (colonnes) le déterminant change de signe en sens inverse. Par exemple,
.

3. Le déterminant est nul , Si:

a) il a une ligne (colonne) nulle
;

b) il a des lignes (colonnes) proportionnelles (identiques)
.

4. Facteur commun en ligne (colonne) peut être retiré comme signe déterminant. Par exemple,
.

5. Le déterminant ne change pas , si vous ajoutez (soustrayez) les éléments correspondants d'une autre ligne aux éléments d'une ligne, multipliés par n'importe quel nombre.

Par exemple,
.

6. Si dans le déterminant chaque l'élément de ligne est la somme deux termes, alors ce déterminant est égal à la somme de deux déterminants :

.

7. Déterminant du produit de deux matrices carrées du même ordre égal au produit déterminants de ces matrices :

.

8. Déterminant d'une matrice triangulaire carrée égal au produit des éléments sur la diagonale principale :

.

6. Matrice inverse

Au lieu de l'opération de division matricielle, le concept est introduit matrice inverse.

Désigné par matrice inverse
, c'est .

L'analogie avec les nombres est évidente : pour le nombre 2, le nombre ½ est l'inverse, puisque
. C'est pourquoi la matrice inverse de A est notée
.

Théorème « Condition nécessaire et suffisante pour l'existence matrice inverse». Pour une matrice carrée avait une matrice inverse
, il faut et il suffit que le déterminant de la matrice n'était pas égal à zéro.

Règle pour trouver la matrice inverse

0) Voyons si la matrice est carrée. Sinon, alors la matrice inverse n’existe pas ; si c'est carré, passez à l'étape 1.

1) Calcul du déterminant de la matrice
: si elle n'est pas nulle, alors la matrice inverse existe :
; s'il est égal à zéro, alors il n'y a pas de matrice inverse.

2) Pour chaque élément de la matrice on calcule son complément algébrique .

3) On compose une matrice d'additions algébriques, que l'on transpose ensuite :
.

4) Chaque élément de la matrice
diviser par le déterminant :
On obtient la matrice inverse de celle-ci.

7. Trouver la matrice inverse pour les matrices du second ordre

Exemple 6.Étant donné une matrice
. Trouvez la matrice inverse.

Solution.

Examen. Assurons-nous que la matrice inverse est réellement trouvée. Trouvons le produit des matrices Et
.

8. Propriétés de la matrice inverse

1.
,

où A et B sont des matrices carrées non singulières du même ordre.

2.
.

3.
.

4.
.

Questions de sécurité

Qu'est-ce qu'un déterminant du second ordre ?

Comment calculer le déterminant du troisième ordre ?

Comment calculer le déterminant du 3ème ordre en utilisant la règle du triangle ?

Quel est le complément algébrique d'un élément d'un déterminant ? Donnez des exemples de déterminants de 2e et 3e ordres.

Écrivez des développements du déterminant de troisième ordre sur des éléments d'une ligne arbitraire et d'une colonne arbitraire.

En pratique, un chercheur doit souvent faire face à des quantités inconnues liées entre elles par certaines dépendances prédéterminées qui peuvent être exprimées par n'importe quelle formule. Si un certain nombre de conditions sont remplies :

1. les coefficients dans les formules sont constants,
2. les inconnues ne sont incluses dans les formules qu'au premier degré,
3. il n'y a pas d'œuvres entre les inconnus eux-mêmes,

alors ces dépendances sont dites linéaires.

Exemple. En laboratoire, 10 échantillons pèsent au total 280 g. poids moyen un échantillon, si le récipient pèse 15 g.

Solution. Pour répondre à la question, nous utiliserons une équation simple :

désignant par x le poids moyen d’un échantillon. La solution de l'équation compilée sera de 26,5 g.

Exemple. Au laboratoire, 10 échantillons reçus du 1er service et 10 échantillons reçus du 2ème service ont un poids total de 280 g, et 5 échantillons du premier lot et 2 échantillons du deuxième lot ont un poids total de 128 g. le poids moyen des échantillons dans chaque ensemble.

Solution. Pour répondre à la question, créons deux équations, désignant par x le poids moyen de l'échantillon de roche 1, et par y le poids moyen de l'échantillon de roche 2,

10x+10y=280 ; 5x+2y=128,

en résolvant cela ensemble, nous obtenons x=24 g ; y=4g.

Dans les deux exemples considérés, nous avions affaire à dépendances linéaires: dans le premier cas – avec linéaire équation, et dans le second – avec linéaire système d'équations.

Remplaçons les coefficients par des lettres et obtenons un système d'équations linéaire :

Définition 1. Matrice nous appellerons n'importe qui table rectangulaire composé de chiffres un ij

Définition 2. Éléments un ij à partir duquel la matrice est composée sont appelés les éléments de cette matrice

Définition 3. Déterminant du deuxième ordre ou déterminant, correspondant à la matrice (1.2) appelons le numéro D tel que

Le déterminant est désigné par les lettres D ou et écrit

Il convient de noter que bien que le déterminant soit un nombre, par définition 3, mais jusqu'à ce que sa valeur soit trouvée sous la forme d'un nombre singulier (en utilisant la formule 1.2 ou une autre méthode valide), il est écrit sous la forme d'un tableau. Ensuite, nous pouvons parler, par exemple, de la réorganisation des lignes ou des colonnes de ce tableau. Dans ce cas, il faut dire « le déterminant correspondant à la matrice ». Mais dans la pratique, la deuxième partie de cette phrase est généralement omise par souci de simplicité, et il ne reste alors qu'un seul mot - déterminant. Afin de distinguer ce que l'on entend - le déterminant lui-même sous la forme d'un tableau ou sa valeur trouvée, dans le second cas, le mot déterminant est utilisé. Par conséquent, s'ils disent, par exemple, « le nombre de lignes dans le déterminant... », alors ils désignent le déterminant correspondant à la matrice, mais pas encore calculé en un seul nombre. Et s’ils disent déterminant, ils veulent dire que ce déterminant est représenté singulier, calculé soit par formule, soit d'une autre manière acceptable.

Exemple. Étant donné un système d'équations

Composez la matrice du système et calculez le déterminant.

Solution. Depuis coefficients du système Créons une matrice : et son déterminant correspondant

Effectuons des calculs en utilisant la formule (2), nous obtenons

Définition 4. Le nombre de lignes (ou de colonnes) du déterminant est appelé ordre du déterminant

Dans l’exemple, le déterminant du second ordre a été calculé.

Les déterminants ont les propriétés suivantes.

Propriété 1. Le déterminant ne changera pas si ses lignes sont remplacées par des colonnes et vice versa.

Montrons-le. Soit un déterminant du second ordre

Remplaçons les lignes par des colonnes et calculons à nouveau le déterminant résultant

En comparant D avec D *, nous pouvons voir que D = D * .

Définition 5. L'opération consistant à remplacer des lignes par des colonnes (ou vice versa) dans un déterminant est appelée transposition.

Propriété 2. Lorsque deux lignes ou colonnes sont réorganisées, le déterminant change de signe.

Nous vérifierons cette propriété à l'aide d'un exemple, comme pour la propriété 1. Soit le déterminant

Échangeons les colonnes et calculons le déterminant résultant.

En comparant les résultats, nous sommes convaincus que le déterminant a bien changé de signe. Inversons maintenant les lignes et vérifions à nouveau la validité de cette propriété.

LEÇON 2

2.1 DÉTERMINANTS DU DEUXIÈME ORDRE

Déterminant du deuxième ordre(correspondant à cette matrice

) s'appelle un nombre

Exemple1: Calculons le déterminant de la matrice

Exemple 2. Calculer les déterminants du second ordre :

2(-4) - 5(-3) = -8 + 15 = 7

=

2.2 DÉTERMINANTS DE TROISIÈME ORDRE

Soit une matrice carrée du troisième ordre :

UN=

Déterminant (ou déterminant) du troisième ordre correspondant à une matrice donnée est le nombre

détUN = =

Exemple 3

Première solution :

La formule est longue et il est facile de se tromper par imprudence. Comment éviter les erreurs gênantes ? A cet effet, une deuxième méthode de calcul du déterminant a été inventée, qui coïncide en fait avec la première. On l'appelle méthode Sarrus ou méthode des « bandes parallèles ». L'essentiel est qu'à droite du déterminant, attribuez les première et deuxième colonnes et tracez soigneusement des lignes avec un crayon :

Les multiplicateurs situés sur les diagonales « rouges » sont inclus dans la formule avec un signe « plus ». Les multiplicateurs situés sur les diagonales « bleues » sont inclus dans la formule avec un signe moins :

Exemple 3

Deuxième solution :

Comparez les deux solutions. Il est facile de voir que c'est LA MÊME chose, c'est juste que dans le second cas, les facteurs de formule sont légèrement réorganisés et, surtout, la probabilité de se tromper est bien moindre.

Exemple 4

Calculez le déterminant du troisième ordre :

Exemple 5

Calculer le déterminant du troisième ordre

PRATIQUE 2

TÂCHE N°1, Que…

Solution:

Que

Par condition , Alors

TÂCHE N°2Sujet : Déterminants du second ordre Si le déterminant du deuxième ordre

, Que…

Solution:

Dans notre cas nous avons

Par condition , Alors

TÂCHE N°3

Sujet : Déterminants du second ordre Si le déterminant du deuxième ordre

, Que…

Solution: Depuis le déterminant du deuxième ordre égal au nombre, qui s'obtient selon la règle :

Que

Par condition , Alors

TÂCHE N°4Sujet : Déterminants du second ordre Si le déterminant est du second ordre, alors...

Solution: Nous vous rappelons que le déterminant du second ordre est égal au nombre obtenu par la règle :

Dans notre cas nous avons

Par condition , Alors

TÂCHE N°5Sujet : Déterminants de troisième ordre La valeur du déterminant du troisième ordre peut être calculée à l'aide de la "règle des triangles", indiquée schématiquement sur les figures. Le déterminant est alors...

Solution:

TÂCHE N°6

Sujet : Déterminants de troisième ordre La valeur du déterminant du troisième ordre peut être calculée à l'aide de la "règle des triangles", indiquée schématiquement sur les figures. Le déterminant est alors...

Solution: Le déterminant du troisième ordre est égal à la somme de six termes, dont trois sont pris avec le signe « + » et trois avec le signe « - ». La règle de calcul des termes avec le signe « + » est représentée schématiquement sur la Fig. 1. L'un des termes est égal au produit des éléments du déterminant situés sur la diagonale principale. Chacun des deux autres se trouve comme le produit des éléments situés sur une parallèle à cette diagonale, avec l'ajout d'un troisième facteur venant du coin opposé du déterminant. Les termes avec le signe « - » sont obtenus de la même manière, mais par rapport à la deuxième diagonale (Fig. 2). Alors

TRAVAIL INDÉPENDANT 2

TÂCHE N°1Sujet : Déterminants du second ordre Si le déterminant du deuxième ordre , Que…

2. DÉTERMINANTS ET RÈGLE DE CRAMER

2.1. Déterminants du second ordre

Déterminant la matrice du deuxième ordre se trouve comme suit:

(2.1)
Il est égal au produit des éléments de la diagonale principale de la matrice moins le produit des éléments de la deuxième diagonale.

Par exemple,


Il convient de souligner encore une fois qu'une matrice est un tableau de nombres, tandis qu'un déterminant est un nombre déterminé à travers les éléments d'une matrice carrée.

Considérons maintenant un système de deux équations linéaires à deux inconnues :

En utilisant le concept de déterminant du 2ème ordre, la solution de ce système peut s'écrire comme suit :

(2.2)

C'est là La règle de Cramer résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues, à condition que 0.

Exemple 2.1. Résolvez un système d'équations linéaires en utilisant la règle de Cramer :

Solution . Trouvons les déterminants :



Informations historiques. Idée conceptuelle "déterminant" pourrait appartenir G.Leibniz(1646-1716), s'il avait développé et publié ses idées sur les déterminants, auxquelles il est parvenu en 1693. Par conséquent, la priorité dans le développement d'une méthode de déterminants pour résoudre des systèmes d'équations linéaires appartient à G. Kramer(1704-1752), qui publia ses recherches sur ce sujet en 1750. Cependant, Cramer n'a pas construit théorie complète de plus, il lui manquait une désignation pratique. La première étude approfondie consacrée aux déterminants a été A. Vandermonde(1735-1796) en 1772. Il donne une présentation logique de la théorie des déterminants et introduit la règle de décomposition d'un déterminant à l'aide de mineurs. Un exposé complet de la théorie des déterminants n'a été donné qu'en 1812.
J. Binet(1786-1856) et O. Cauchy(1789-1858). Terme "déterminant" ("déterminant") dans son sens moderne a été introduit par Cauchy (auparavant ce terme était utilisé par K. Gauss pour désigner le discriminant d'une forme quadratique).

2.2. Déterminants de troisième ordre

(2.3)

Naturellement, il est assez difficile de retenir cette formule. Cependant, il existe des règles qui facilitent l'écriture d'une expression pour un déterminant de troisième ordre.

Règle du triangle : les trois termes inclus dans l'expression originale avec un signe plus sont des produits d'éléments de la diagonale principale ou de triangles dont les bases sont parallèles à cette diagonale. Les trois termes restants, accompagnés d'un signe moins, se trouvent de la même manière, mais par rapport à la deuxième diagonale.

Règle de Sarrus : ajoutez la première puis la deuxième colonne à la matrice de droite. Alors les termes « positifs » seront sur les droites parallèles à la diagonale principale, et les termes « négatifs » sur les droites parallèles à la diagonale principale. parallèlement à la seconde diagonales.

2.3. La règle de Cramer

En utilisant des déterminants du 3ème ordre, la solution d'un tel système peut s'écrire sous la même forme que pour un système de deux équations, c'est-à-dire

(2.4)

si 0. Ici

C'est là La règle de Cramer résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues.

Exemple 2.3. Résolvez un système d'équations linéaires en utilisant la règle de Cramer :

Solution . Trouver le déterminant de la matrice principale du système

Depuis 0, pour trouver une solution au système, nous pouvons appliquer la règle de Cramer, mais nous calculons d’abord trois déterminants supplémentaires :

Examen:

La solution a donc été trouvée correctement. 

Règles de Cramer dérivées pour systèmes linéaires 2ème et 3ème ordre, suggèrent que les mêmes règles peuvent être formulées pour des systèmes linéaires de n'importe quel ordre. Cela arrive vraiment

Théorème de Cramer. Système carrééquations linéaires avec un déterminant non nul de la matrice principale du système (0) a une et une seule solution et cette solution est calculée à l'aide des formules

(2.5)

Où  – déterminant de la matrice principale,  je – déterminant matriciel, obtenu du principal, remplaçantjeème colonne colonne de termes gratuits.

Notez que si =0, alors la règle de Cramer ne s’applique pas. Cela signifie que le système n’a aucune solution ou qu’il possède une infinité de solutions.

Après avoir formulé le théorème de Cramer, la question se pose naturellement du calcul des déterminants d'ordres supérieurs.

2.4. Déterminants du nième ordre

Par exemple, trouvons les mineurs et les compléments algébriques des éléments un 23 et un 31 qualifiés

Nous obtenons



En utilisant la notion de complément algébrique on peut formuler théorème de développement déterminantn-ième ordre par ligne ou colonne.

Théorème 2.1.Déterminant matricielUNest égal à la somme des produits de tous les éléments d'une certaine ligne (ou colonne) par leurs compléments algébriques :

(2.6)

Ce théorème est à la base de l'une des principales méthodes de calcul des déterminants, dite. méthode de réduction de commande. En raison de l'expansion du déterminant nème ordre sur n’importe quelle ligne ou colonne, nous obtenons n déterminants ( n–1)ème ordre. Pour avoir moins de déterminants de ce type, il est conseillé de sélectionner la ligne ou la colonne qui comporte le plus de zéros. En pratique, la formule de développement du déterminant s’écrit généralement sous la forme :

ceux. les ajouts algébriques sont écrits explicitement en termes de mineurs.

Exemples 2.4. Calculez les déterminants en les triant d’abord dans une ligne ou une colonne. En règle générale, dans de tels cas, sélectionnez la colonne ou la ligne contenant le plus de zéros. La ligne ou la colonne sélectionnée sera indiquée par une flèche.



2.5. Propriétés de base des déterminants

Propriété 1. Le déterminant ne changera pas si les lignes et les colonnes qu'il contient sont permutées, c'est-à-dire lors de la transposition d'une matrice:

.

Cette propriété indique l'égalité des lignes et des colonnes du déterminant. En d’autres termes, toute affirmation concernant les colonnes d’un déterminant est également vraie pour ses lignes et vice versa.

Propriété 2. Le déterminant change de signe lorsque deux lignes (colonnes) sont interverties.

Conséquence. Si le déterminant a deux lignes (colonnes) identiques, alors il est égal à zéro.

Propriété 3. Multiplicateur total tous les éléments de n'importe quelle ligne (colonne) peuvent être retirés du signe déterminant.

Par exemple,

Conséquence. Si tous les éléments d'une certaine ligne (colonne) d'un déterminant sont égaux à zéro, alors le déterminant lui-même est égal à zéro.

Propriété 4. Le déterminant ne changera pas si les éléments d'une ligne (colonne) sont ajoutés aux éléments d'une autre ligne (colonne), multipliés par un certain nombre.

Par exemple,

Propriété 5. Le déterminant du produit des matrices est égal au produit des déterminants des matrices :

2.6.

Transformations élémentaires les matrices sont appelées les transformations suivantes : 1) multiplier une ligne (colonne) par un nombre, non égal à zéro; 2) ajouter une ligne (colonne) à une autre ; 3) réarrangement de deux lignes (colonnes).

Méthode de transformation élémentaire est d'utiliser des transformations élémentaires, prenant en compte les propriétés des déterminants, pour réduire la matrice à vue triangulaire.

Exemple 2.5. Calculer le déterminant à l'aide de transformations élémentaires, en les mettant sous forme triangulaire :



Exemple 2.6. Calculez le déterminant :

.

Solution . Simplifions ce déterminant puis calculons-le :

. 
Exemple 2.7. Calculer le déterminant
.

Solution . Méthode 1 .En utilisant des transformations élémentaires de la matrice, en tenant compte des propriétés des déterminants, nous obtiendrons des zéros dans n'importe quelle ligne ou colonne, puis nous développerons le déterminant résultant le long de cette ligne ou colonne :

–6

2

-2


.
Méthode 2 .A l'aide de transformations élémentaires de la matrice, prenant en compte les propriétés des déterminants, on réduit la matrice à une forme triangulaire :

. 

Le calcul des déterminants à l'aide de transformations élémentaires, en le réduisant à une forme triangulaire, est l'une des méthodes les plus courantes. Cela est dû au fait qu'il s'agit de la principale méthode de calcul des déterminants sur un ordinateur. Plus précisément, c'est l'une des modifications Méthode Gauss , qui est généralement utilisé lors de la résolution de systèmes d'équations linéaires.

Exemple 2.8. Calculez le déterminant en utilisant la méthode gaussienne :

Solution. Considérez la première colonne et sélectionnez la ligne qui contient 1. S'il n'y a pas d'unités, alors vous devez créer cette unité à l'aide de transformations élémentaires : réorganiser des lignes ou des colonnes, les ajouter ou les soustraire les unes aux autres, les multiplier ou les diviser par certains. nombre (en tenant compte, bien entendu, des propriétés des déterminants). Prenons comme base la deuxième ligne et utilisons-la pour obtenir des zéros dans la première colonne :

Après cela, on ne prête plus attention à la première ligne. Regardons la 2ème colonne.

Le résultat est une matrice triangulaire. Pour calculer le déterminant, il suffit de multiplier les éléments matriciels situés sur la diagonale principale. Ainsi, nous obtenons la réponse : –2(–1)(–1)1334 = –264. 