Lorsque vous étudiez l'algèbre dans une école secondaire (9e année), l'un des sujets importants est l'étude des séquences de nombres, qui comprennent des progressions - géométriques et arithmétiques. Dans cet article, nous examinerons une progression arithmétique et des exemples de solutions.

Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ?

Pour comprendre cela, il faut définir la progression en question, ainsi que donner formules de base, qui sera ensuite utilisé pour résoudre des problèmes.

On sait que dans certaines progressions algébriques le 1er terme est égal à 6, et le 7ème terme est égal à 18. Il faut trouver la différence et restituer cette suite au 7ème terme.

Utilisons la formule pour déterminer le terme inconnu : a n = (n - 1) * d + a 1 . Remplaçons-y les données connues de la condition, c'est-à-dire les nombres a 1 et a 7, nous avons : 18 = 6 + 6 * d. A partir de cette expression vous pouvez facilement calculer la différence : d = (18 - 6) /6 = 2. Ainsi, nous avons répondu à la première partie du problème.

Pour restituer la séquence au 7ème terme, vous devez utiliser la définition d'une progression algébrique, c'est-à-dire a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, et ainsi de suite. En conséquence, on restitue la séquence entière : a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , un 6 = 14 + 2 = 16, un 7 = 18.

Exemple n°3 : établir une progression

Compliquons encore les choses état plus fort tâches. Nous devons maintenant répondre à la question de savoir comment trouver une progression arithmétique. Vous pouvez citer exemple suivant: deux nombres sont donnés, par exemple - 4 et 5. Il est nécessaire de créer une progression algébrique pour que trois termes supplémentaires soient placés entre ceux-ci.

Avant de commencer à résoudre ce problème, il est nécessaire de comprendre quelle place sera occupée nombres donnés dans la progression future. Puisqu'il y aura trois autres termes entre eux, alors a 1 = -4 et a 5 = 5. Après avoir établi cela, passons au problème, qui est similaire au précédent. Encore une fois, pour le nième terme nous utilisons la formule, nous obtenons : a 5 = a 1 + 4 * d. De : d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ce que nous obtenons ici n’est pas une valeur entière de la différence, mais c’est nombre rationnel, donc les formules de la progression algébrique restent les mêmes.

Ajoutons maintenant la différence trouvée à 1 et restaurons les termes manquants de la progression. On obtient : a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, ce qui a coïncidé avec les conditions du problème.

Exemple n°4 : premier terme de progression

Continuons à donner des exemples de progression arithmétique avec solutions. En tout tâches précédentes le premier nombre de la progression algébrique était connu. Considérons maintenant un problème d'un type différent : donnons deux nombres, où a 15 = 50 et a 43 = 37. Il faut trouver par quel nombre commence cette suite.

Les formules utilisées jusqu'à présent supposent la connaissance de a 1 et d. Dans l’énoncé du problème, on ne sait rien de ces chiffres. Néanmoins, nous écrirons des expressions pour chaque terme sur lequel des informations sont disponibles : a 15 = a 1 + 14 * d et a 43 = a 1 + 42 * d. Nous avons reçu deux équations dans lesquelles il y a 2 quantités inconnues (a 1 et d). Cela signifie que le problème se réduit à résoudre un système d’équations linéaires.

La façon la plus simple de résoudre ce système est d’exprimer un 1 dans chaque équation, puis de comparer les expressions résultantes. Première équation : a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d ; deuxième équation : a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. En égalisant ces expressions, nous obtenons : 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, d'où la différence d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (seulement 3 décimales sont données).

Connaissant d, vous pouvez utiliser l'une des 2 expressions ci-dessus pour un 1. Par exemple, d'abord : a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Si vous avez des doutes sur le résultat obtenu, vous pouvez le vérifier, par exemple, déterminer le 43ème terme de la progression, qui est précisé dans la condition. On obtient : a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. La petite erreur est due au fait que les calculs ont été arrondis au millième.

Exemple n°5 : montant

Examinons maintenant plusieurs exemples avec des solutions pour la somme d'une progression arithmétique.

Qu'il soit donné progression numérique de la forme suivante : 1, 2, 3, 4, ...,. Comment calculer la somme de 100 de ces nombres ?

Grâce au développement technologie informatique vous pouvez résoudre ce problème, c'est-à-dire additionner tous les nombres séquentiellement, ce qui ordinateur fera dès que la personne appuie sur la touche Entrée. Cependant, le problème peut être résolu mentalement si vous faites attention au fait que la série de nombres présentée est une progression algébrique et que sa différence est égale à 1. En appliquant la formule de la somme, nous obtenons : S n = n * ( une 1 + une n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Il est intéressant de noter que ce problème est appelé « gaussien » car dans début XVIII siècle, le célèbre Allemand, alors qu'il n'avait que 10 ans, était capable de le résoudre dans sa tête en quelques secondes. Le garçon ne connaissait pas la formule de la somme d'une progression algébrique, mais il a remarqué que si l'on additionne les nombres aux extrémités de la séquence par paires, on obtient toujours le même résultat, c'est-à-dire 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., et puisque ces sommes seront exactement 50 (100 / 2), alors pour obtenir la bonne réponse il suffit de multiplier 50 par 101.

Exemple n°6 : somme de termes de n à m

Un de plus exemple typique la somme d'une progression arithmétique est la suivante : étant donné une série de nombres : 3, 7, 11, 15, ..., il faut trouver à quoi sera égale la somme de ses termes de 8 à 14.

Le problème est résolu de deux manières. La première consiste à trouver les termes inconnus de 8 à 14, puis à les additionner séquentiellement. Comme il y a peu de termes, cette méthode ne demande pas beaucoup de travail. Néanmoins, il est proposé de résoudre ce problème en utilisant une deuxième méthode, plus universelle.

L'idée est d'obtenir une formule pour la somme de la progression algébrique entre les termes m et n, où n > m sont des nombres entiers. Dans les deux cas, on écrit deux expressions pour la somme :

1. S m = m * (un m + un 1) / 2.
2. S n = n * (un n + un 1) / 2.

Puisque n > m, il est évident que la 2ème somme inclut la première. La dernière conclusion signifie que si nous prenons la différence entre ces sommes et y ajoutons le terme a m (dans le cas de la différence, il est soustrait de la somme S n), nous obtiendrons la réponse nécessaire au problème. On a : S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + un m * (1- m/2). Il est nécessaire de substituer des formules pour a n et a m dans cette expression. On obtient alors : S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

La formule résultante est quelque peu lourde, cependant, la somme S mn ne dépend que de n, m, a 1 et d. Dans notre cas, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. En substituant ces nombres, nous obtenons : S mn = 301.

Comme le montrent les solutions ci-dessus, tous les problèmes sont basés sur la connaissance de l’expression du nième terme et de la formule de la somme de l’ensemble des premiers termes. Avant de commencer à résoudre l'un de ces problèmes, il est recommandé de lire attentivement la condition, de comprendre clairement ce que vous devez trouver, puis de procéder ensuite à la solution.

Un autre conseil est de rechercher la simplicité, c'est-à-dire que si vous pouvez répondre à une question sans utiliser de calculs mathématiques complexes, c'est exactement ce que vous devez faire, car dans ce cas, la probabilité de commettre une erreur est moindre. Par exemple, dans l'exemple d'une progression arithmétique avec la solution n°6, on pourrait s'arrêter à la formule S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, et casser tâche commune en sous-tâches distinctes (dans dans ce cas trouvez d'abord les termes a n et a m).

Si vous avez des doutes sur le résultat obtenu, il est recommandé de le vérifier, comme cela a été fait dans certains des exemples donnés. Nous avons découvert comment trouver une progression arithmétique. Si vous comprenez, ce n'est pas si difficile.

Progression arithmétique nommer une séquence de nombres (termes d'une progression)

Dans lequel chaque terme suivant diffère du précédent par un nouveau terme, également appelé différence de pas ou de progression.

Ainsi, en précisant l'étape de progression et son premier terme, vous pouvez retrouver n'importe lequel de ses éléments grâce à la formule

Propriétés d'une progression arithmétique

1) Chaque membre d'une progression arithmétique, à partir du deuxième nombre, est la moyenne arithmétique des membres précédent et suivant de la progression

L’inverse est également vrai. Si la moyenne arithmétique des termes impairs (pairs) adjacents d’une progression est égale au terme qui les sépare, alors cette séquence de nombres est une progression arithmétique. En utilisant cette instruction, il est très facile de vérifier n’importe quelle séquence.

De plus, grâce à la propriété de progression arithmétique, la formule ci-dessus peut être généralisée à la suivante

Ceci est facile à vérifier si vous écrivez les termes à droite du signe égal

Il est souvent utilisé dans la pratique pour simplifier les calculs dans les problèmes.

2) La somme des n premiers termes d'une progression arithmétique est calculée à l'aide de la formule

Rappelez-vous bien la formule de la somme d'une progression arithmétique ; elle est indispensable dans les calculs et se retrouve assez souvent dans des situations simples de la vie.

3) Si vous avez besoin de trouver non pas la somme entière, mais une partie de la suite à partir de son kème terme, alors la formule de somme suivante vous sera utile

4) Il est d'un intérêt pratique de trouver la somme de n termes d'une progression arithmétique à partir du kième nombre. Pour ce faire, utilisez la formule

Sur ce matériel théorique se termine et nous passons à la résolution des problèmes courants dans la pratique.

Exemple 1. Trouver le quarantième terme de la progression arithmétique 4;7;...

Solution:

Selon la condition que nous avons

Déterminons l'étape de progression

Par formule bien connue trouver le quarantième terme de la progression

Exemple 2. Progression arithmétique est donné par ses troisième et septième termes. Trouvez le premier terme de la progression et la somme de dix.

Solution:

Écrivons les éléments donnés de la progression à l'aide des formules

On soustrait la première de la deuxième équation, on trouve ainsi le pas de progression

Nous substituons la valeur trouvée dans l'une des équations pour trouver le premier terme de la progression arithmétique

On calcule la somme des dix premiers termes de la progression

Sans postuler calculs complexes Nous avons trouvé toutes les quantités requises.

Exemple 3. Une progression arithmétique est donnée par le dénominateur et l'un de ses termes. Trouver le premier terme de la progression, la somme de ses 50 termes à partir de 50 et la somme des 100 premiers.

Solution:

Écrivons la formule du centième élément de la progression

et trouve le premier

A partir du premier, on retrouve le 50ème terme de la progression

Trouver la somme de la partie de la progression

et la somme des 100 premiers

Le montant de la progression est de 250.

Exemple 4.

Trouver le nombre de termes d'une progression arithmétique si :

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Solution:

Écrivons les équations en fonction du premier terme et de l'étape de progression et déterminons-les

Nous substituons les valeurs obtenues dans la formule de somme pour déterminer le nombre de termes dans la somme

Nous effectuons des simplifications

et résoudre l'équation quadratique

Parmi les deux valeurs trouvées, seul le chiffre 8 correspond aux conditions problématiques. Ainsi, la somme des huit premiers termes de la progression est 111.

Exemple 5.

Résoudre l'équation

1+3+5+...+x=307.

Solution: Cette équation est la somme d'une progression arithmétique. Écrivons son premier terme et trouvons la différence de progression

Avant de commencer à décider problèmes de progression arithmétique, regardons ce que c'est séquence de nombres, puisque la progression arithmétique est cas particulier séquence de nombres.

La séquence de nombres est ensemble de numéros, dont chaque élément a son propre numéro de série . Les éléments de cet ensemble sont appelés membres de la séquence. Le numéro d'ordre d'un élément de séquence est indiqué par un index :

Le premier élément de la séquence ;

Cinquième élément de la séquence ;

- le « nième » élément de la séquence, c'est-à-dire élément "en file d'attente" au numéro n.

Il existe une relation entre la valeur d'un élément de séquence et son numéro de séquence. On peut donc considérer une séquence comme une fonction dont l’argument est le numéro ordinal de l’élément de la séquence. En d'autres termes, nous pouvons dire que la séquence est fonction de l'argument naturel :

La séquence peut être définie de trois manières :

1 . La séquence peut être spécifiée à l'aide d'un tableau. Dans ce cas, nous définissons simplement la valeur de chaque membre de la séquence.

Par exemple, quelqu'un a décidé de se lancer dans la gestion personnelle de son temps et, pour commencer, de compter combien de temps il passe sur VKontakte au cours de la semaine. En inscrivant l'heure dans le tableau, il recevra une séquence composée de sept éléments :

La première ligne du tableau indique le numéro du jour de la semaine, la seconde - l'heure en minutes. Nous voyons que lundi, quelqu'un a passé 125 minutes sur VKontakte, c'est-à-dire jeudi - 248 minutes, et vendredi seulement 15.

2 . La séquence peut être spécifiée à l’aide de la formule du nième terme.

Dans ce cas, la dépendance de la valeur d'un élément de séquence sur son numéro est exprimée directement sous forme de formule.

Par exemple, si , alors

Pour trouver la valeur d'un élément de séquence avec un nombre donné, nous substituons le numéro de l'élément dans la formule du nième terme.

Nous faisons la même chose si nous devons trouver la valeur d’une fonction si la valeur de l’argument est connue. Nous substituons la valeur de l'argument dans l'équation de la fonction :

Si, par exemple, , Que

Permettez-moi de noter encore une fois que dans l'ordre, contrairement à l'arbitraire fonction numérique, l'argument ne peut être qu'un nombre naturel.

3 . La séquence peut être spécifiée à l'aide d'une formule qui exprime la dépendance de la valeur du numéro de membre de séquence n sur les valeurs des membres précédents.

Dans ce cas, il ne suffit pas de connaître uniquement le numéro du membre de la séquence pour trouver sa valeur. Nous devons spécifier le ou les premiers membres de la séquence. ,

Par exemple, considérons la séquence On peut trouver les valeurs des membres de la séquence un par un

, à partir du troisième : Autrement dit, à chaque fois, pour trouver la valeur du nième terme de la suite, on revient aux deux précédents. Cette méthode de spécification d'une séquence est appelée récurrent , depuis mot latin récurrent

- revenir.

Progression arithmétique Nous pouvons maintenant définir une progression arithmétique. Une progression arithmétique est un cas particulier simple d’une séquence de nombres.

est une suite numérique dont chaque membre, à partir du second, est égal au précédent ajouté au même nombre. Le numéro est appelé différence de progression arithmétique

. La différence d'une progression arithmétique peut être positive, négative ou égale à zéro.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Si titre="d>0.

croissant

Par exemple, 2 ; 5 ; 8 ; 11;... Si , alors chaque terme d’une progression arithmétique est inférieur au précédent, et la progression est.

décroissant

Si , alors tous les termes de la progression sont égaux au même nombre, et la progression est stationnaire.

Par exemple, 2;2;2;2;...

La propriété principale d'une progression arithmétique :

Regardons la photo.

Nous voyons que

, et en même temps

En additionnant ces deux égalités, on obtient :

.

Divisons les deux côtés de l'égalité par 2 :

Ainsi, chaque membre de la progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des deux voisins :

De plus, puisque

, et en même temps

, Que

, et donc

Chaque terme d'une progression arithmétique, commençant par title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formule du ème terme.

On voit que les termes de la progression arithmétique satisfont les relations suivantes :

et enfin

Nous avons formule du nième terme.

IMPORTANT! Tout membre d'une progression arithmétique peut être exprimé par et. Connaissant le premier terme et la différence d'une progression arithmétique, vous pouvez trouver n'importe lequel de ses termes.

La somme de n termes d'une progression arithmétique.

Dans une progression arithmétique arbitraire, les sommes des termes équidistants des extrêmes sont égales entre elles :

Considérons une progression arithmétique à n termes. Soit la somme des n termes de cette progression égale à .

Classons les termes de la progression d'abord par ordre croissant de nombres, puis par ordre décroissant :

Ajoutons par paires :

La somme dans chaque parenthèse est , le nombre de paires est n.

On obtient :

Donc, la somme de n termes d'une progression arithmétique peut être trouvée à l'aide des formules :

Considérons résoudre des problèmes de progression arithmétique.

1 . La suite est donnée par la formule du nième terme : . Montrer que cette suite est une progression arithmétique.

Montrons que la différence entre deux termes adjacents de la suite est égale au même nombre.

Nous avons constaté que la différence entre deux membres adjacents de la séquence ne dépend pas de leur nombre et est une constante. Par définition, cette suite est donc une progression arithmétique.

2 . Étant donné une progression arithmétique -31 ; -27;...

a) Trouvez 31 termes de la progression.

b) Détermine si le nombre 41 est inclus dans cette progression.

UN) Nous le voyons ;

Écrivons la formule du nième terme de notre progression.

En général

Dans notre cas , c'est pourquoi

Calculateur en ligne.
Résoudre une progression arithmétique.
Étant donné : a n , d, n
Trouver : un 1

Ce programme de mathématiques trouve \(a_1\) d'une progression arithmétique basée sur les nombres spécifiés par l'utilisateur \(a_n, d\) et \(n\).
Les nombres \(a_n\) et \(d\) peuvent être spécifiés non seulement sous forme d'entiers, mais également sous forme de fractions. De plus, nombre fractionnaire peut être saisi sous forme de fraction décimale (\(2,5\)) et sous forme de fraction commune(\(-5\frac(2)(7)\)).

Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais affiche également le processus de recherche d'une solution.

Ce calculateur en ligne peut être utile aux lycéens écoles secondaires en préparation essais et des examens, lors de la vérification des connaissances avant l'examen d'État unifié, permettant aux parents de contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement le faire le plus rapidement possible ? devoirs

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Si vous ne connaissez pas les règles de saisie des chiffres, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.

Règles de saisie des chiffres
Les nombres \(a_n\) et \(d\) peuvent être spécifiés non seulement sous forme d'entiers, mais également sous forme de fractions.

Le nombre \(n\) ne peut être qu’un entier positif.
Règles de saisie des fractions décimales. Entier et partie fractionnaire
en fractions décimales peuvent être séparées par un point ou une virgule. Par exemple, vous pouvez saisir décimales

donc 2,5 ou alors 2,5
Règles de saisie des fractions ordinaires.

Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif. En entrant fraction numérique /
Le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division :
Saisir:

Résultat : \(-\frac(2)(3)\) Partie entière &
Le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division :
séparé de la fraction par une esperluette :

Trouver un 1
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Un peu de théorie.

Séquence numérique La numérotation est souvent utilisée dans la pratique quotidienne divers articles

Dans une caisse d'épargne, en utilisant le numéro de compte personnel du déposant, vous pouvez facilement retrouver ce compte et voir quel dépôt s'y trouve. Laissez le compte n° 1 contenir un dépôt de 1 roubles, le compte n° 2 contient un dépôt de 2 roubles, etc. séquence de nombres
une 1 , une 2 , une 3 , ..., une N
où N est le nombre de tous les comptes. Ici, chaque nombre naturel n de 1 à N est associé à un nombre a n.

Également étudié en mathématiques séquences de nombres infinies :
une 1 , une 2 , une 3 , ..., une n , ... .
Le nombre un 1 s'appelle premier terme de la suite, numéro un 2 - deuxième terme de la suite, numéro un 3 - troisième terme de la suite etc.
Le nombre a n s'appelle nième (énième) membre de la séquence, et l'entier naturel n est son nombre.

Par exemple, dans une suite de carrés nombres naturels 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... et 1 = 1 est le premier terme de la suite ; et n = n 2 est nième mandat séquences ; a n+1 = (n + 1) 2 est le (n + 1)ème (n plus premier) terme de la séquence. Souvent, une séquence peut être spécifiée par la formule de son nième terme. Par exemple, la formule \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) définit la séquence \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Progression arithmétique

La durée de l'année est d'environ 365 jours. Plus valeur exacte est égal à \(365\frac(1)(4)\) jours, donc tous les quatre ans une erreur d'un jour s'accumule.

Pour tenir compte de cette erreur, un jour est ajouté toutes les quatre années et l’année prolongée est appelée année bissextile.

Par exemple, au troisième millénaire années bissextiles sont les années 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Dans cette séquence, chaque membre, à partir du second, est égal au précédent, ajouté au même nombre 4. De telles séquences sont appelées progressions arithmétiques.

Définition.
La suite de nombres a 1, a 2, a 3, ..., an n, ... est appelée progression arithmétique, si pour tout naturel n l'égalité
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
où d est un nombre.

De cette formule, il résulte que a n+1 - a n = d. Le nombre d s'appelle la différence progression arithmétique.

Par définition d'une progression arithmétique on a :
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
où
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), où \(n>1 \)

Ainsi, chaque terme d'une progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique de ses deux termes adjacents. Ceci explique le nom de progression « arithmétique ».

Notez que si a 1 et d sont donnés, alors les termes restants de la progression arithmétique peuvent être calculés à l'aide de la formule récurrente a n+1 = a n + d. De cette façon, il n'est pas difficile de calculer les premiers termes de la progression, cependant, par exemple, un 100 nécessitera déjà beaucoup de calculs. Généralement, la formule du nième terme est utilisée pour cela. Par définition de la progression arithmétique
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
etc.
Du tout,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
parce que nième mandat d'une progression arithmétique s'obtient à partir du premier terme en ajoutant (n-1) fois le nombre d.
Cette formule s'appelle formule pour le nième terme d'une progression arithmétique.

Somme des n premiers termes d'une progression arithmétique

Trouvez la somme de tous les nombres naturels de 1 à 100.
Écrivons ce montant de deux manières :
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Additionnons ces égalités terme par terme :
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Cette somme comporte 100 termes
Par conséquent, 2S = 101 * 100, donc S = 101 * 50 = 5050.

Considérons maintenant une progression arithmétique arbitraire
une 1 , une 2 , une 3 , ..., une n , ...
Soit S n la somme des n premiers termes de cette progression :
S n = une 1 , une 2 , une 3 , ..., une n
Alors la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique est égale à
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Puisque \(a_n=a_1+(n-1)d\), alors en remplaçant un n dans cette formule, nous obtenons une autre formule pour trouver somme des n premiers termes d'une progression arithmétique:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Ou l'arithmétique est un type de séquence numérique ordonnée dont les propriétés sont étudiées dans cours scolaire algèbre. Cet article aborde en détail la question de savoir comment trouver la somme d'une progression arithmétique.

De quel genre de progression s’agit-il ?

Avant de passer à la question (comment trouver la somme d'une progression arithmétique), il convient de comprendre de quoi nous parlons.

Toute séquence de nombres réels obtenue en ajoutant (soustrayant) une valeur de chaque nombre précédent est appelée une progression algébrique (arithmétique). Cette définition, traduite en langage mathématique, prend la forme :

Ici i est le numéro de série de l'élément de la ligne a i. Ainsi, ne connaissant qu'un seul numéro de départ, vous pouvez facilement restaurer toute la série. Le paramètre d dans la formule est appelé différence de progression.

On peut facilement montrer que pour la série de nombres considérée, l’égalité suivante est vraie :

un n = un 1 + d * (n - 1).

Autrement dit, pour trouver la valeur du nième élément dans l'ordre, vous devez ajouter la différence d au premier élément a 1 n-1 fois.

Quelle est la somme d'une progression arithmétique : formule

Avant de donner la formule du montant indiqué, il convient de considérer un cas particulier simple. Étant donné une progression de nombres naturels de 1 à 10, vous devez trouver leur somme. Comme il y a peu de termes dans la progression (10), il est possible de résoudre le problème de front, c'est-à-dire de sommer tous les éléments dans l'ordre.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Une chose à considérer chose intéressante: puisque chaque terme diffère du suivant par la même valeur d = 1, alors la sommation par paires du premier avec le dixième, du second avec le neuvième, et ainsi de suite donnera le même résultat. Vraiment:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Comme vous pouvez le constater, il n'y a que 5 de ces sommes, soit exactement deux fois moins que le nombre d'éléments de la série. En multipliant ensuite le nombre de sommes (5) par le résultat de chaque somme (11), vous arriverez au résultat obtenu dans le premier exemple.

Si l’on généralise ces arguments, on peut écrire l’expression suivante :

S n = n * (une 1 + une n) / 2.

Cette expression montre qu'il n'est pas du tout nécessaire de sommer tous les éléments d'affilée ; il suffit de connaître la valeur du premier a 1 et du dernier a n , ainsi que nombre total n termes.

On pense que Gauss fut le premier à penser à cette égalité lorsqu'il cherchait une solution à un problème donné. professeur d'école tâche : additionner les 100 premiers entiers.

Somme des éléments de m à n : formule

La formule donnée dans le paragraphe précédent répond à la question de savoir comment trouver la somme d'une progression arithmétique (les premiers éléments), mais souvent dans les problèmes il est nécessaire de sommer une série de nombres au milieu de la progression. Comment faire cela ?

La façon la plus simple de répondre à cette question est de considérer l’exemple suivant : supposons qu’il soit nécessaire de trouver la somme des termes du mois au nième. Pour résoudre le problème, vous devez représenter le segment donné de m à n de la progression comme un nouveau série de nombres. Dans ce m-ième représentation le terme a m sera le premier, et a n sera numéroté n-(m-1). Dans ce cas, en appliquant la formule standard pour la somme, on obtiendra l'expression suivante :

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Exemple d'utilisation de formules

Sachant comment trouver la somme d'une progression arithmétique, il convient de considérer un exemple simple d'utilisation des formules ci-dessus.

Ci-dessous une séquence numérique, vous devriez trouver la somme de ses termes, en commençant par le 5 et en terminant par le 12 :

Les nombres donnés indiquent que la différence d est égale à 3. En utilisant l'expression du nième élément, vous pouvez trouver les valeurs des 5ème et 12ème termes de la progression. Il s'avère :

une 5 = une 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8 ;

une 12 = une 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Connaissant les valeurs des nombres aux extrémités de la progression algébrique considérée, ainsi que connaissant quels nombres de la série ils occupent, vous pouvez utiliser la formule de la somme obtenue dans le paragraphe précédent. Il s'avérera :

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Il est à noter que cette valeur pourrait être obtenue différemment : trouvez d'abord la somme des 12 premiers éléments par formule standard, puis calculez la somme des 4 premiers éléments en utilisant la même formule, puis soustrayez le second de la première somme.